高数基本初等函数图像及性质.

(完整版)六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

1(3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。

b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm yxf x xxx g ⎪⎫⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。

高数16个基本初等函数

高数是一门重要的数学课程，其中最基础的内容就是16个基本初等函数。

这些函数在数学和实际应用中都有着广泛的应用，下面我们将逐一介绍这16个函数。

一、常数函数常数函数是指函数f(x)=c，其中c为常数。

这个函数的图像是一条平行于x轴的直线，它的斜率为0。

常数函数在实际应用中常用于表示一些固定的量，如重力加速度g=9.8m/s²。

二、幂函数幂函数是指函数f(x)=x^a，其中a为常数。

幂函数的图像随着a的不同而变化，当a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0<a<1时，函数的图像呈现出下降的趋势。

幂函数在实际应用中常用于描述一些具有指数增长或衰减的现象，如人口增长、放射性衰变等。

三、指数函数指数函数是指函数f(x)=a^x，其中a为常数。

指数函数的图像随着a的不同而变化，当a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0<a<1时，函数的图像呈现出下降的趋势。

指数函数在实际应用中常用于描述一些具有指数增长或衰减的现象，如利息的复利计算、细胞的增长等。

四、对数函数对数函数是指函数f(x)=loga(x)，其中a为常数。

对数函数的图像是一条上升的曲线，它的斜率在x=1处为1。

对数函数在实际应用中常用于描述一些量的倍数关系，如声音的强度、地震的震级等。

五、三角函数三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数。

正弦函数和余弦函数的图像都是周期性波动的曲线，它们的周期为2π。

正切函数的图像则是一条无限延伸的曲线。

三角函数在实际应用中常用于描述周期性变化的现象，如天体运动、电流的交流等。

六、反三角函数反三角函数是指正弦函数的反函数、余弦函数的反函数和正切函数的反函数。

反三角函数的图像是一条上升或下降的曲线，它们的定义域和值域与对应的三角函数相反。

反三角函数在实际应用中常用于求解三角函数的反函数值，如角度的计算、电路的分析等。

七、双曲函数双曲函数是指双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数。

六大基本初等函数图像及其性质

3.〔选，补充〕指数函数值的大小比拟；
，
的函数图像关于y轴对称。
时，a值越大，
的图像越靠近y轴；
时，a值越大，
的图像越远离y轴。
4.指数的运算法那么〔公式〕；
；
(1)
(2)
(3)
(4)
b.根式的性质；
(1) ； (2)当n为奇数时，
当n为偶数时，
c.分数指数幂；
(1)
(2)
四、对数函数 ( 是常数且 )，定义域 [无界]
六大根本初等函数图像及其性质
一、常值函数〔也称常数函数〕y =C〔其中C为常数〕；
常数函数〔〕
y
y
O
O
平行于x轴的直线
y轴本身
定义域R
定义域R
二、幂函数，是自变量，是常数；
：
2.幂函数的性质；
性质
函数
定义域
R
R
R
[0,+∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
{y|y≠0}
奇偶性
3〕当α为正有理数时，n为偶数时函数的定义域为〔0, +∞〕，n为奇数时函数的定义域为〔-∞,+∞〕，函数的图形均经过原点和〔1 ,1〕；
4〕如果m>n图形于x轴相切，如果m<n,图形于y轴相切，且m为偶数时，还跟y轴对称；m，n均为奇数时，跟原点对称；
5〕当α为负有理数时，n为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
1.对数的概念：如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，就是，那么数b叫做以a为底N的对数，记作 ,其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子叫做对数式。

九种基本初等函数图像及性质

九种基本初等函数图像及性质基本初等函数包括一次函数、平方函数、立方函数、根号函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数和正切函数等9种函数。

下面简单介绍它们的图像及性质。

一次函数的图像是一条直线，表达函数的形式为：y=ax+b(a≠0)，其中a表示斜率，b表示函数的截距，函数的性质是其增减性由斜率a决定。

平方函数的图像为一条凹凸不平的抛物线，表达函数的形式为：y=ax2+bx+c，其中a、b、c为实数，a≠0，此函数的性质是其单调性由a的正负决定，是增函数当a>0时，是减函数当a<0时。

立方函数的图像是一条弯曲的曲线，表达函数的形式为：y=ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d为实数，a≠0，函数的性质是其单调性由a的正负决定，是增函数当a>0时，是减函数当a<0时。

根号函数的图像是一条弯曲的曲线，表达函数的形式为：y=a√x+b，其中a、b为实数，a>0，此函数的性质是常数变动，函数的解析式在a变动时它的单调性也由正负变化。

指数函数的图像是一条右倾的曲线，表达函数的形式为：y=axb，其中a、b为实数，a>0、b≠0，函数的性质是其单调性由a、b的正负决定，是增函数当a>0且b>0时，是减函数当a>0且b<0时。

对数函数的图像是一个右倾的曲线，表达函数的形式为：y=alogx + b，其中a、b为实数，a>0，此函数的性质是变数变动，函数的解析式在x变动时它的单调性也由正负变化。

正弦函数的图像是一个周期性的曲线，表达函数的形式为：y=Asin（ωx+φ），其中A、ω、φ为实数，A>0，此函数的性质是其单调性由A的正负决定，是增函数当A>0时，是减函数当A<0时。

余弦函数的图像同正弦函数，表达函数的形式为：y=Acos（ωx+φ），其中A、ω、φ为实数，A>0，此函数的性质同正弦函数一样。

正切函数的图像为一个弯曲的曲线，表达函数的形式为：y=tanx，其中x代表，函数的性质是函数的单调性变化于π/2，函数的解析式在x变动到π。

六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2xy =3x y =21xy =1-=x y定义域 R RR [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增[0,+∞) 增增增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xyOxy =2x y =3x y =1-=x y 21xy =O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数在），（∞+∞-是减函数1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

高数总结：基本初等函数图像及其性质

⾼数总结：基本初等函数图像及其性质基本初等函数图像及其性质⼀、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数n4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为⼤于零的⼀切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的⼀切实数。

三、指数函数xa y =(x 是⾃变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[⽆界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上⽅； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

1(3.（选，补充）指数函数值的⼤⼩⽐较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ?=1)(的函数图像关于y 轴对称。

b.1.当1>a 时，a 值越⼤，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=?m n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m n m(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a amnm nm yxf x xxx g ?=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [⽆界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式⼦N a log 叫做对数式。

五大基本初等函数性质及其图像

五、基本初等函数及其性质和图形1.幂函数函数称为幂函数。

如，，，都是幂函数。

没有统一的定义域，定义域由值确定。

如,。

但在内总是有定义的，且都经过（1,1）点。

当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。

下面给出几个常用的幂函数：的图形，如图1-1-2、图1-1-3。

图1-1-2图1-1-32.指数函数函数称为指数函数，定义域，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。

高等数学中常用的指数函数是时，即。

以与为例绘出图形，如图1-1-4。

图1-1-43.对数函数函数称为对数函数，其定义域，值域。

当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。

与互为反函数。

当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。

以为例绘出图形，如图1-1-5。

图1-1-54.三角函数有，它们都是周期函数。

对三角函数作简要的叙述：（１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。

它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。

图形为图1-1-6、图1-1-7。

图1-1-6 正弦函数图形图1-1-7 余弦函数图形（２）正切函数，定义域，值域为。

周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8图1-1-8（３）余切函数，定义域，值域为，周期。

在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。

图1-1-9（４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。

图1-1-10（５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。

图1-1-115.反三角函数反正弦函数，定义域，值域，为有界函数，在其定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-12；图1-1-12，为有界函数，在其定义域内为单调减少的非奇非偶函数，图形如图1-1-13；图1-1-13反正切函数，定义域，值域为，为有界函数，在定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-14；图1-1-14为有界函数，在其定义域内单调减少的非奇非偶函数。

六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增[0,+∞) 增增增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xyOxy =2x y =3x y =1-=xy 21xy =O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

高数第一章初等函数

2）反余弦函数余弦函数
反余弦函数
y cos x
y
1
0

2
x [0, ]
y arccos x x [1,1]
y

y [1,1]
y [0, ]

x
1
1
0
x 1
余弦函数 y cos x 在 [0, ] 上的反函数，称为
反余弦函数，记为 y arccos x x [1,1] y [0, ]
10
例2 判断函数 f ( x) ln ( x 2 1 x) 的奇偶性. 解
f x f x
ln [ x 2 1 x] [ x 2 1 x]

ln1 0
则此函数为奇函数
11
（4）三角函数 1）正弦函数的性质
y sin x
x ,
解：
x e ln x , x 0

ln x 1 0 e 1 f ln x ln x ln x e e 1
ye
y
x
1 f x x e
0 e 1
x
e 1
x
0,1
x
1 x 0 f x x e 0 x
22
反余弦函数的性质
y arccos x
x [1,1]
y

y [0, ]
（1）在[ -1, 1 ]是有界函数；
0 arccos x
（2）是非奇非偶函数；
1
0
x 1
（3）在 [1, 1] 上是单调减函数。
23
3）反正切函数正切函数 y tan x 在 (

基本初等函数图像及性质小结

为高等数学小结的——基本初等函数1.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性复习的时候一定要从这四个方面去研究函数。

3.每个函数的图像很重要. 幂函数(a为实数)定义域：随a的不同而不同，但无论a取什么值，x^a在内总有定义。

值域：随a的不同而不同有界性：单调性：若a>0,函数在内单调增加；若a<0,函数在内单调减少。

奇偶性：要知道这些函数那些事奇函数，那些是偶函数周期性：每种函数的图像.. 指数函数定义域：值域：有界性：单调性：若a>1 函数单调增加；若0<a<1 函数单调减少奇偶性：周期性：注意：图形过（0，1）点暨 a^0=1 直线y=0为函数图形的水平渐近线今后用的较多这个函数的图形，性质要记清楚1、. 对数函数1、定义域：值域：有界性：单调性：a>1时，函数单调增加；0<a<1时，函数单调减少奇偶性：周期性：主要性质：与指数函数互为反函数，图形过（1，0）点，直线x=0为函数图形的铅直渐近线e=2.7182……，无理数经常用到以e为底的对数. 三角函数强调：图像定义域：值域：[-1,1]有界性：[-1,1] 有界函数单调性：（-T/2,T/2）单调递增奇偶性：奇函数周期性：以为周期的周期函数；定义域：值域：[-1,1] 有界性：[-1,1] 有界函数单调性：奇偶性：偶函数周期性：定义域：值域：有界性：单调性：奇偶性：奇函数周期性：，定义域：值域：有界性：单调性：奇偶性：奇函数周期性：，. 反三角函数定义域： [-1,1] 值域：有界性：单调性：单调增加奇偶性：奇函数周期性：---定义域值域：定义域： [-1,1] 值域：有界性：单调性：单调减少奇偶性：周期性：---定义域定义域：值域：有界性：单调性：单调增加奇偶性：奇函数周期性：---定义域定义域：值域：有界性：单调性：单调减少；奇偶性：周期性：以上是五种基本初等函数，关于它们的常用运算公式都应掌握。

(完整版)六大基本初等函数图像与性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

1(3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。

b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm yxf x xxx g ⎪⎫⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。

六大基本初等函数图像及性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增[0,+∞) 增增增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xyOxy =2x y =3x y =1-=xy 21xy =O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

高数课件1-2-初等函数

单调性是指函数在某点或某区间上的增减性
单调性可以通过函数的导数来判断
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添加标题添加标题添 Nhomakorabea标题单调性是初等函数的基本性质之一
单调性在解决实际问题中具有重要意义
周期函数的定义：对于任意x， f(x+T)=f(x)
周期函数的应用：在信号处理、物理、工程等领域有广泛应用
添加标题
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旋转变换：将函数图像绕原点旋转一定角度
对称变换：将函数图像沿x轴或y 轴翻转，形成对称图形
轴对称：函数图像关于y轴对称中心对称：函数图像关于原点对称奇偶性：函数图像关于y轴对称，且关于原点对称单调性：函数图像在某点处具有单调性，即函数值随自变量变化而变化
初等函数的图像是函数值的集合图像的形状和位置由函数的解析式决定图像的斜率表示函数的变化率图像的拐点表示函数的极值点
微分性质：线性性、保号性、可加性、可减性
微分定义：函数在某一点的切线斜率
微分公式： d(f(x))=f'(x)dx
微分应用：求极限、求导数、求积分、求极值等
求极限：通过导数可以求解函数的极限求导数：通过微分可以求解函数的导数求最大值和最小值：通过导数可以求解函数的最大值和最小值求积分：通过微分可以求解函数的积分
极限的定义：函数在某点处的极限是指函数在该点附近的变化趋势
极限的性质：极限具有唯一性、局部性、保号性、有界性等性质
极限的存在性：函数在某点处的极限存在，当且仅当函数在该点附近的变化趋势趋于一个确定的值
极限的应用：极限在微积分、函数分析、概率论等领域有着广泛的应用
连续性定义：函数在某点处连续，是指在该点处有极限，且极限值等于

六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增[0,+∞) 增增增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xy Ox y =2x y =21xy =1-=xy 3x y = O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

4、基本初等函数图像及其性质

基本初等函数图像以及性质一、指数函数的图象及性质函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)图象0<a <1a >1图象特征在x 轴上方，过定点(0，1)当x 逐渐增大时，图象逐渐下降当x 逐渐增大时，图象逐渐上升性质定义域 R 值域(0，＋∞)单调性减增函数值变化规律当x ＝0时，y ＝1当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1当x <0时，0<y <1；当x >0时，y >1在同一平面直角坐标系中，分别作出指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x (a ＞1，b ＞1，0＜c ＜1，0＜d ＜1)的图象，如图所示．作出直线x ＝1，分别与四个图象自上而下交于点A (1，a )，B (1，b )，C (1，c )，D (1，d )，得到底数的大小关系是：a ＞b ＞1＞c ＞d ＞0.根据y 轴右侧的图象，也可以利用口诀：“底大图高”来记忆．考点一指数函数的图像例1、如果函数在R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是（） A ．｜a ｜＞ B ．＜｜a ｜＜ C ．｜a ｜＞ D ．｜a ｜＜3x a x f )2()(2-=22331、已知指数函数(0,1)x y a a a =>≠在[]1,2上的最大值比最小值大2a，则a =例2、函数y ＝a x －a －1(a >0且a ≠1)的图象可能是( )A BC D1、函数f (x )＝21－x 的大致图象为( )2、函数y＝xa x|x|(a>1)的图象大致是()例3、若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．1、若方程|3x－1|＝k有一解，则k的取值范围为________．2、若函数y＝21－x＋m的图象不经过第一象限，则m的取值范围为________．考点二指数函数单调性的应用例4、设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是() A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<a1、已知函数f(x)＝a x＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．2、如果函数y＝a2x＋2a x－1(a>0，a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为()A.13B．1C．3 D.13或33、(2017·合肥模拟)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有() A．x＋y≥0 B．x＋y≤0C．x－y≤0 D．x－y≥0 对数函数的图象与性质定义域：(0，＋∞)在同一平面直角坐标系中，分别作出对数函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x(a＞1，b＞1，0＜c＜1，0＜d＜1)的图象，如图所示．作出直线y＝1，分别与四个图象自左向右交于点A(c，1)，B(d，1)，C(a，1)，D(b，1)，得到底数的大小关系是：b＞a＞1＞d＞c＞0.根据直线x＝1右侧的图象，单调性相同时也可以利用口诀：“底大图低”来记忆．考点三对数的图像例5、函数y＝2log4(1－x)的图象大致是()1、【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1xya=，1(2log)ay x=+(a>0，且a≠1)的图象可能是2、已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．a>1，c>1B．a>1，0<c<1C．0<a<1，c>1D．0<a<1，0<c<13、(2018·张家界三模)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax，g(x)＝log a(x＋2)(a>0，且a≠1)的图象大致为()A BC D例6、函数y ＝log a (x ＋4)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn ＝－1上，且m >0，n >0，则3m ＋n 的最小值为( )A ．13B ．16C ．11＋6 2D ．281、(2017·河北五校质监)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋n y ＋2＝0上，其中m >0，n>0，则2m ＋1n 的最小值为 ( )A ．2 2B ．4 C.52 D.92 考点六解不等式以及定义域例7、求不等式的解集（1）()113log 3<+x （2） 0log )12(21≥-x1、已知集合=⋂>-=<=N M x x N x M x x 则},0)1(log |{},33|{21322A ．)23,0(B ．)2,23(C ．)23,1(D ．(0,1)2、设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1，2]B ．[0，2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)例8、求下列函数的定义域（1）)1(log 121-=x y （2）y =1、【2018年江苏卷】函数f (x )＝log 13（4x －5）的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，54 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32 2、（2016年全国II 卷高考）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是（）（A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x （D）y =考点七复合函数的定义域例9、求下列函数的单调区间（1） xx y 2221-⎪⎭⎫⎝⎛= （2）20.2()log (45)f x x x =-++1、【2017课标II ，文8】函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是 A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞2、【2014江苏高考】若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)3、(2016·青海平安一中月考)已知函数f (x )＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(2，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．考点八比较大小例10、(2017·天津一模)已知a ＝log 25，b ＝log 5(log 25)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.52，则a ，b ，c的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ＜c1、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b <<D ．b c a <<2、【2019年高考天津理数】已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<3、已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f (log 215)，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b考点九数形结合例11、已知函数f (x )＝log a (2x －a )(a >0且a ≠1)在区间[12，23]上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(13，1) B ．[13，1) C ．(23，1) D ．[23，1)1、(2017·合肥月考)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（）A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)2、(2016·南京师大附中等四校联考)若函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，x ≤2，log a x ，x ＞2(a >0且a ≠1)的值域是[2，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．。

六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增[0,+∞) 增增增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xyOxy =2x y =3x y =1-=xy 21xy =O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

基本初等函数的图象与性质

零点
二次函数的零点是函数与x轴的交点，可以通过零点来求解二次方程。
指数函数的图象与性质
1
指数增长
指数函数的图象呈指数增长，随着自变量的增大，函数值呈指数级增加。
2
底数
底数决定了指数函数的增长速度和形状，大于1时增长快，小于1时增长慢。
3
指数规律
指数函数的图象在底数相同的情况下，具有相似的形状和性质。
反函数的图象在原函数的图象上方以y=x 为对称轴进行镜像。
一对一映射
函数有反函数当且仅当函数是一对一映射，即每个y值对应唯一的x值。
函数的奇偶性与周期性
奇偶函数
奇函数关于原点对称，即f(-x) = -f(x)；偶函数关于y轴对称，即f(-x) = f(x)。
周期函数
周期函数的图象在一段区间内重复出现，具有固定的周期和重复性质。
对数函数的图象与性质
反指数函数
对数函数是指数函数的反函数，可以解决指数方程和表示指数增长的逆过程。
对数刻度
对数函数的图象在对数刻度下呈直线，有助于表示大范围的数值。
指数衰减
对数函数的图象在底数小于1 时呈指数衰减，逐渐趋近于零。
三角函数的图象与性质
1
正弦函数
正弦函数的图象是连续的波动曲线，用于描述周期性现象和波动。
函数的零点为x轴与图象的交点，截距为y轴与图象的交点，可以通过它们来分析函数的特性。
二次函数的图象与性质
抛物线
二次函数的图象呈抛物线形状，有开口向上和开口向下两种情况。
轴对称性
二次函数的图象关于一条垂直线对称，这条线称为对称轴。
顶点
抛物线的顶点是函数的最值点，可以通过顶点来确定抛物线的最值和对称轴。

基本初等函数图像及性质大全

非奇非偶
在定义域上是减函数
4
函数值的变化情况
a 变化对图象的影响
log a x 0 (x 1) log a x 0 (x 1) log a x 0 (0 x 1)
log a x 0 (x 1) log a x 0 ( x 1) log a x 0 (0 x 1)
在第一象限内， a 越大图象越靠低；在第四象限内， a 越大图象越靠高．
（5）对数函数函数名称
对数函数
定义
函数 y loga x(a 0 且 a 1) 叫做对数函数
a1
x1
y
y loga x
0 a1
x1
y
y loga x
图象
(1,0)
O
(1,0)
x
O
x
定义域值域
过定点奇偶性单调性
(0, )
R
图象过定点 (1,0) ，即当 x 1时， y 0 ．
在定义域上是增函数
一、一次函数与二次函数
（一）一次函数
一次函数
k，b 符号
b0
k0 b0
k kx b k 0
b0
b0
图象
y
y
y
y
O
xO
x
O
x
O
x
k0 b0 y
b0 y
O
xO
x
性质
y 随 x 的增大而增大
（二）二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式： f ( x) ax2 bx c(a 0)
②顶点式： f ( x) a(x h)2 k(a 0)
y 随 x 的增大而减小
③两根式： f ( x) a( x x1)( x x2 )( a 0)