第3.1章矩形波导 2019

( A1
cos kx
x)(
B1 sin kyb)
又由于B1≠0，A1≠0，故有：
sin kyb 0 sin kxa 0
kyb np kxa mp
整理可得：
mp A2 0, kx a m 0,1, 2,...
np B2 0, ky b n 0,1, 2,...
由于对所有的m和n ,均可满足边界条件，则通解为所有 m和所有n式的叠加：
则可得到通解：
H 0 z ( x , y ) ( A1 c o s k x x A 2 sin k x x )( B 1 c o s k y y B 2 sin k y y )
X (x)
Y (y)
则由纵横关系式可得电场：
E0x (x, y) 0, E0y (x, y) 0,
y 0,b x 0, a

m
a
2



n
b
2


(2) TM模
对于TM模： Ez 0,
Hz 0
边界条件： E0z (x, y) 0, E0z ( x, y) 0,
则可得到通解：
y 0, b x 0, a
E0z (x, y) (A1 cos kx x A2 sin kx x)(B1 cos k y y B2 sin k y y)
横纵向场关系式:
Ex

j
k
2 c


E z x
H z
y

Ey

k
j
2 c


E z y
H z
x

Hx

k
j
2 c


H z x
Ez
y

Hy

j
k
2 c


H z y
Ez
x

与TE波 相同
H y


m1 n1
j
k
2 c
m
a
Emn
cos
mx
a
sin
ny
b
e
j (t z )
Hz 0
式中
k
2 c

k
2 x

k
2 y

m
a
2

n
b
2

m≠0, n≠0
有无穷多TM导模，TMmn表示。最低TM11模。
2．导模的场结构
H10
sin
x
a
e
jz
Hz

H 10
cos
x
a
e
jz
Ex Ez H y 0
分析上式可以得出：
①电场
其电场只有Ey分量，电力线是 一些平等于y轴的电力线;
Ey


ja
H10
sin x
a
e jz
Hx
ja
H10
sin
x
a
e
jz
Hz

H10
cos x
2E0z y 2

k
2 c
E0z
0
2 H 0z x 2

2 H 0z y 2

k
2 c
H
0
z
0
式中
k
2 c

k
2


2
由于波导中不存在TEM波，故只有TE波和TM波。下面 分别讨论这两种情况：
1）TE模
对于TE模：
Ez 0, H z 0
导体边界上电场的 切向分量为零
正z方向传播的波
Z ( z) A1e jz A2e jz 式中 为导波的传播常数或相移系数（沿z方向）
色散关系：
k
2 c

2

k2

k
2

k
2 c
k
1 (kc / k)2
式中
k
w me
2p
l
若介质有损耗，则
0r (1 j tan )
式中 tan /
解各种情况下的亥姆霍兹方程的电场或磁场纵向 分量特解； 由横纵向场关系式求各横向场分量。
导波场的求解方法 在规则导行系统中： 麦克斯韦方程组
横、纵向场关系式
电场或磁场纵向分量满足 亥姆霍兹方程
边界条件（波 导内壁：Et=0） 求解
电场或磁场纵向分量特解
各横向场分量
导波方程及其解的条件： (1)波导内壁的电导率为无限大；
导行波的纵向场分量满足亥姆霍兹方程：
2Ez k2Ez 0 2Hz k2Hz 0
由分离变量法： Ez (x, y, 代入上式并进行分离：
Z (z)
2 t
E0z
(x,
y)
E
z) E0z (x, -kc2
0Et2z E0(zx0(z,x(y,x)y, d)ydz)22
y
Z
)Z (z)
最基本的场结构模型
TE10 TE01 TE11 TM11
相应的高次模与基本场结构模有一定的关系。
不同的模式具有相同的传输特性参量的现象称为“简
并”。
(1) TE10模与TEm0模
TE10模中，m=1, n=0, 代入场分量：（某时刻）
Ey


ja
H10
sin
x
a
e

jz
Hx

ja
a
e jz
Ex Ez H y 0
其幅度不随y变化（与y无关）， 故沿b边电场无变化；

Ey与x轴有关，且Ey与
sin
x
a
成正比；如图，沿宽边a电
场按正弦律变化。在x=0和x=a处，电场Ey为零；在x=a/2
处，电场Ey为最大；为一个半驻波分布；波沿+z方向传播，
即整个场型沿z 轴传播。
mx
a
cos
ny
b
e
j (t z )
H y


m0 n0
j
k
2 c
n
b
H
mn
cos
mx
a
sin
ny
b
e
j (t z )

Hz
m0 n0
H
mn
cos
mx
a
cos
ny
b
e
j (t z )
式中
k
2 c

k
2 x

k
2 y
m
a
n
b
则通解为：
m 0,1,2,... n 0,1,2,...
Ez (x, y, z)
m 1n 1
Emn
sin
mp a
x
sin
np b
y
e
jb z
代入可得 传输型TM
模场分量：
Ex Ey

j
k2
m1 n1 c
m
a
Emn
cos
mx
a
sin
ny
b
e
j (t z )
(2)波导内的介质是均匀无耗、线性及各向同性的；
(3)波导内无自由电荷和传导电流(ρ=0, J=0)，且 远离波源；
(4)波导无限长。
§3.1 矩形波导
矩形波导：截面为矩形的 金属波导管。
尺寸：
a b, a b
1．矩形波导的导模
沿波导传播的电磁波复矢量可以写为：
v E
v Et
zvEz
E(x, y, z) Et (x, y, z) zˆEz (x, y, z) H (x, y, z) Ht (x, y, z) zˆH z (x, y, z)
E0x (x,
y)


jk y
k
2 c
( A1
cos kx x

A2
sin kx x)(B1 sin k y y

B2
cos k y
y)
E0y (x,
y)


j k x
k
2 c
( A1 sin kx x

A2
cos kx x)(B1
cos k y
y

B2
sin k y
y)
由y=0边界条件： 由x=0边界条件：
2
n
b
2
m 0,1, 2, 3,... n 0,1, 2, 3,...
有无穷多TE导模，TEmn表示。最低TE10模。 注： 对于m=0, n=0的解无意义。
并由前式： kc2 k 2 2
k w me 2p l
可得

k
2

k
2 c
=
2



m1 n1
j
k
2 c
n
b
Emn
sin
mx
a
cos
ny
b
e
j (t z )
（P68）

Ez
m1 n1
Emn
sin
mx
a
sin
ny
b
e
j (t z )
H x


m1 n1
j n
k
2 c
b
Emn
sin
mx
a
cos
ny