21.1二次根式精品PPT课件

小练习
1. 辨别下列式子，哪些是二次根式？
4 2 1 m(m
x 1 a b b 5(b
0) 0
5) 3 7
n(n 0) a2 1 2 x（y x、y异号）
2. 你能用魔法师变出的这些数和式作 为被开方数构造二次根式吗？
－3
b
a2＋1
5
3a＋2
(m＋1)2
3b 3(a2 1) 3(3a 2) 3(m 1)2
（
2
2）
=
2
（
2
4）
=
4
举一反三
（ ） 1 2 = 1
3
3
2
（ 0） = 0
2
a a （a ≥ 0）
知识要点
（ ） 5 2
2
=
5 2
例题 计算：
（1）
2
1.5
= 1.5
2
29（2）来自=994
42
16
2
（3）
4
2 3
= 42
2
2
16 2
32
3
33
ab 2 a2b2
2
（4） x 1 （x ≥ 0）
解：∵ x ≥ 0
课堂小结
1. 二次根式的概念：
形如 a（a≥0）的式子叫做二次根式，
边长为_____S___。
提示
根据正方形面积公式 S = a2求解。
举一反三
面积为 b－5 的正方
形边长为___b___5__。
S a= ？
S
r=？
S
3. 圆桌的面积为 S ，则半径为________。
提示 根据圆的面积公式 S = πr2 求解。
S3
举一反三 若圆桌的面积为 S＋3，则半径为____π____。
解： 由
得
x≥0
x≠ 1
x≥0
1
当x≥0且x ≠1时， 1 在x 实数范围内有意义。
抢答
当 x 是怎样的实数时，下列各式在 实数范围内有意义？
（1） x 1 x ≥ 1
（2） 2x
3 x≥
3 2
（3） 1 x2 x 是任意实数
（4） x2
x 是任意实数
（5） x x x = 0
(6) x 1 x
回顾旧知
什么叫平方根？
一般地，如果 一个数的平方等于 a ，那么这个数叫 做 a 的平方根或二 次方根。如果 x2 = a ，那么 x 叫做 a 的平方根。
正数
0
平方根的 个数
2个
只有1个：0
负数
没有
什么叫算术平方根？
一般地，如果一 个正数 x 的平方等于 a ，即 x2 = a ，那么 这个正数 x 叫做 a 的 算术平方根。a 的算 术平方根记为 a ， 读作“ 根号 a ”，a 叫做被开方数。
b(a2 1) 5b b(3a 2) b(m 1)2
5(a2 1) (a2 1)(3a 2) (a2 1)(m 1)2
例题
当 x 是怎样的实数时，下列各式在 实数范围内有意义？
（1） x 3
解： 由 x－3≥0，得 x≥3
当 x≥3 时， x 3在实数范围内有意义。
1
（2） 1 x
1－ x ≠ 0
∴ x ＋1 ＞ 0
∴
x
2
1
x1
2
（5） a2 2a 1 解：∵ a2 2a 1 a 1 2
a 12 0
∴ a2 2a 1 0
∴ a2
2
2a 1
a2
2a 1
探究 填空：
22 42
= ___4_ = __1_6_
= __2__ = _4___
举一反三
1 3
2
=
1
___9_
1
= _3___
a2
a（a ≥ 0）
（7） 1 x2
（8） x3
x≥－1 且x ≠0 x≠0 x ≥0
求二次根式中字母的取值范围的基本依据
被开方数不小于零。 分母中有字母时，要保证分母不为零。
a=0时
√正数？
√ × 0 ? 负数 ?
a（a≥0）是一个怎样的数？
a 是 a 的算术平方根。
a（a≥0）是一个非负数。
知识要点
探究
回忆平方根定义，每一组数之间有什么关系？
教学目标
【知识与能力】
➢ 理解二次根式的概念。
➢ 理解 a（a≥0）是一个非负数，
2
a
a（a≥0），
a2 a（a≥0）。
【过程与方法】
➢ 先提出问题，让学生探讨、分析问题，师 生共同归纳，得出概念。再对概念的内涵进 行分析，得出几个重要结论，并运用这些重 要结论进行二次根式的计算和化简。
【情感态度与价值观】
➢ 利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神。
教学重难点
➢ 二次根式 a（a≥0）的内涵。
➢ a（a≥0）是一个非负数。
➢
2
a
a（a≥0）。
➢ a2 a（a≥0）及其运用。
1. 电视塔塔座形成的 直角三角形的斜边长为
___m_2____9_0_0__米。 提示 根据勾股定理求解。
30米 ?
m米
2. 面积为 S 的正方形
4. 关系式 h = 5t2 （t > 0）中，用含有 h
h
的式子表示 t ，则 t = ____5____。
提示
h t2 = 5 （t > 0）
t=
h 5
你认为以上所得的式子有哪些 共同特点？
m2 900 S
S
S3
π
b5
h 5
它们都表示一些正数的算术平方根。
知识要点
像这样一些正数的算术平方根的 式子，我们就把它称二次根式。因此，
a2
a （a ≥ 0）
a=
－a （a < 0）
抢答
2
2 3 = 12
12 =
7
1 7
( π)2 = π
10 2 = 10 1
b
3， x ＋1， 144, (2x 3)2 , a
用基本运算符号（基本运算包 括加、减、乘、除、乘方和开方） 把数和表示数的字母连接起来的式 子，我们称这样的式子为代数式 （algebraic expression）。
例题
1. 如果x2 144，那么 x = ±__1_2___ 。
±12 是144 的平方根，12 是144 的算术平方根。
2. 如果x2 18 ，那么 x = __3___2_ 。
3 2 是 18 的平方根，3 2 是 18 的算术平方根。
3. 如果x2 a，那么 x = ____a__ 。
a 是 a 的平方根， a 是 a 的算术平方根。
02 = ___0_ = __0__
知识要点
5 2
2
25
= ___4_
5
= __2__
例题 化简：
（1） 144 = 122 12
（2）
22 =
22
2
3
3
3
4
22
2
（3） 25 = 5
5
（4） (4x2 12x 9)2 = (2x 3)2 2x 3
× √ 2x 3
若 2x－3 < 0 ，
a2 a （a ≥ 0） 这个结果还正确吗？
、
一般地，我们把形如 （a≥a0）的式 子叫做二次根式，“ ”称为二次 根号。
－1 有算术平方根吗？
1
当 a < 0， a 有意义吗？ 无意义。
二次根式 a 的特点
在形式上含有二次根号 ，表示 a 的算术平方根。 被开方数 a≥0，即必须是非负数。 a 可以是数，也可以是式。 既可表示开方运算，也可表示运算的结果。