21、晶体中电子的平均速度和加速度 金属、半导体和绝缘体(杨)

k ( r ) e ik r uk ( r )
k k ( r ) ir k ( r ) e ik r k uk ( r ) ( 2)
将算符
ˆ k 作用到薛定谔方程 H k ( r ) E ( k ) k ( r )
的两端，分别得到：
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第五章 方程左边 k 方程右边
第五章
晶体中电子能带理论
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§5.8 晶体中电子运动的速度和加速度—电子的准经典运动 一、准经典近似，电子的平均速度 晶体中电子的能带理论：在具有晶体的平衡对称性的电势能中，电子
的量子力学本征态可以由布洛赫电子的调制平面波的波函数来描述，能量
本征值就是能带。
为了计算晶体的电性质，要考虑在外加的电场中的布洛赫电子的量子
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第五章 晶体中电子能带理论 §5.11 金属、半导体和绝缘体 能带理论的一大贡献即成功地解释了固体为何会具有极不相同的导 电本领，有的表现为导体，有的表现为绝缘体和半导体。
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一、满带不导电
首先讨论没有外加电场的情形。考虑 一维布拉菲格子中与原子1s能级相对应的 能带。 单位体积晶体中，其中一个波矢为 k xi 的电子对电流密度的贡献为 ev x k x 能带中所有电子对电流的贡献为零。
第五章
晶体中电子能带理论
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以简立方为例，计算紧束缚近似下电子的有效质量： 紧束缚近似下，简立方的s态电子的能量为：
at E s E s C s 2J s (cos k x a cos k y a cos k z a )
m m
xx
2 1 cos k x a 2 2a J s 2 cos k y a 2 2a J s
因能量与波矢由色散关系相联系，能量E变化意味着电子波矢k改变，故
F eE (r , t ) v(k ) B(r , t )
K的变化率正比于电子所受的外力，并有相同的方向，具有牛顿第二 定律的形式。但f是外力。
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第五章
晶体中电子能带理论
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dv d 1 dE a dt dt dk
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第五章
晶体中电子能带理论
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一个电子的代表点越过位于π /a 的布里渊区的边界－－相当于又从
位于－ π /a 的边界进入同一布里渊区。 有电场后，満带中电子的状态随时发 生变化，但整体上的分布始终没有变化， 仍保持对称分布。 所有电子对电流的贡献依然与无外电
场时一样地成对相消，即当有外电场时，
a
,

a
)
m m m zz xx yy
2 0 2 2a J s
在能带：
k (

2a
,

2a
,

2a
)
m , m , m zz xx yy
上面讨论表明：在带底及带顶, m*=常数, 与自由粒子在实空间中的运
动相似. 随着E的增大（见第一布里渊区的约化能带图）, 能带展宽越大, 2E * 2 也越大, m 就越小. 此时电子越容易加速, 共有化运动的特征越明显。 k
ˆ ˆ rH Hr
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ˆ ˆ k ( r ) rH Hr k (r )dr
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第五章
晶体中电子能带理论
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v
将梯度算符
dr 1 ˆ ˆ rH Hr dt i
(1)
作用到布洛赫函数：
k i i i k x k y k z
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第五章
晶体中电子能带理论
晶体中电子的有效质量不同于自由电子的质量，是因为计入了周 期场的影响，而这种影响主要通过布拉格反射的形式在电子和晶格之 间交换动量： • 有效质量大于零的情况，电子从外力场Ｆ获得的动量多于电子交给晶 格的动量 • 有效质量小于零的情况，电子从外场中得到的动量比它交给晶格的动 量少。 • 有效质量趋于无穷时，电子从外场中获得的能量全部交给晶格，这时， 电子的平均加速度这零。
p m

mi
由于晶体哈密顿算符中的势场项与动量算符p不对易
k
表明处于 k
波函数并非是速度算符的本征函数 状态的电子没有确定的速度，只能计算其平均速度
1 v k k d mv i
dr 1 ˆ ˆ rH Hr v dt i (1)
上式乘以 k (r )并对晶体积分，积分结果等式右边为零：



N
ˆ (r ) Heik r k uk (r )dr
k N
N

ˆ (r ) e ik r u (r )dr H k k k
根据算符的厄米性质

k (r ) Eeik r k uk (r )dr

ˆ ˆ k r irH iHr k r dr
与（1）式比较，得到电子的平均速度：
1 v k E (k )
(5)
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第五章 2、能量和速度的关系
晶体中电子能带理论
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由（5）式，可知，电子的平均速度
公与能量和状态（k）有关，由于
E (k ) E ( k )
(3)
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第五章
晶体中电子能带理论
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有外加电场的情形
现在设加上指向左方的外电场
,
则
每个电子均受到一电场力，使其波矢在经历 Δ t时间后的增加量可计算如下：
dE dE k x Fx v x t , dk x 1 dE dk x
vx
k x Fx t 1 1 k x Fx t e t (4)
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（a）无外电场
（b）有外电场
不满带电子在k空间的分布
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第五章
晶体中电子能带理论
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三、价带填充程度决定导电性－－导体、绝缘体与半导体 原子结合成晶体后，原子的能级转化为相应的能带。由于原子内层
电子能级是充满的，所以相应内层能带也是满带，是不导电的。
晶体是否导电取决于与价电子能级对应的价带是否被电子充满。 如果价带是满带，这种晶体就是绝缘体或半导体，否则就是导体。 由于每个能带可容纳2N个电子，N是晶体原胞数目，因此： 价带是否被电子填満取决于每个原胞所含的价电子数目，以及能带
上式两边相等，得到
( 4)
ˆ ˆ k E (k ) k (r ) irH k (r ) iHr k ( r ) ˆ He ik r u (r ) E ( k )e ik r u ( r )
k k k k
上式整理得
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第五章
晶体中电子能带理论
ˆ ˆ ˆ k E ( k ) irH iHr k r H E ( k ) e ik r k uk ( r )
i

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第五章 这是因为
晶体中电子能带理论
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Es ( k x ) Es ( k x )
(2)
1 dEs (k x ) 1 dEs (k x ) vx (k x ) v x ( k x ) d k x d k x
波矢为kx和-kx的电子对电流的贡献成对抵消 因而总电流为零。
yy


1
m zz
1 2 cos k z a 2 2a J s
其它交叉项的倒数全为零。在能带底处： k (0,0,0)
m
xx
m
yy
m
zz
2 0 2 2a J s
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第五章
晶体中电子能带理论
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在能带顶处：
k (

a
,

満带也不导电。
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第五章 二、不满能带
晶体中电子能带理论
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无外场时，不满能带电子的分布是对称的，总电流为零，当施加外电 场经时间Δ t后波矢变化Δ k ，破坏了电子在倒空间的对称分布，电子速 度不再能全部成对抵消，如图。因而能产生电流。即不满的带能导电。
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第五章
晶体中电子能带理论
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第五章
晶体中电子能带理论
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于是所有电子均右移 k x , 使电子在k空间的分布如右图。
満带不导电的解释：
能量具有倒格子的周期性，
E s (k x ) E s (k x n
2 ) a
图中位于π /a右方 Δ k范围内的状态（现在
是被电子占有的状态），完全等价于－
π /a左方Δ k范围内的状态（现在是空态）， 因此两图的电子分布是完全等价的。
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第五章
晶体中电子能带理论
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二、电子在外场作用下的加速度，有效质量 当对一维电子施加外场时，电子受到外场力的作用。
单位时间内外力所作的功等于电子能量的改变量：
dE F v, dt dE F vdt
Fv dE dE dk , dt dk dt v
( 6)
1 dE dk dk dt (7 )
是否交叠。
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第五章
晶体中电子能带理论
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对Li,Na,K等碱金属, 每原子含一个价电子、体心立方布拉菲晶格、
每个原胞只有一个价电子，整个晶体中的价电子只能填満半个价带，它们
是导体； 例如：对于Na金属：每个原子11个电子，电子组态为：
1s 2 ,2 s 2 ,2 p 6 ,3s1
N个原子组成晶体时，3s能级过渡成能带，能带中有N个状态，可以容纳 2N个电子。但钠只有N个3s电子，因此能带是半満的，在电场作用下， 可以产生电流。
速度是波矢的奇函数：
v(k ) v( k )
在能带的底部和顶部，斜率dE/dk=0， 所以在带顶和带底电子的速度为零。
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第五章
晶体中电子能带理论
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d 2E 在能带中 0 处，速度的数 2 dk
值最大，如图拐点C。 这种情况和自由粒子速度总是随能量 C
增加而单调增加是显然不同的。
因此称
m 为有效质量。
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第五章
晶体中电子能带理论
1
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在三维情况下，晶体中电子的有效质量是二阶张量，其分量为
m

1 E 2 k k
2

(11)
由于有效质量是张量，所以电子的加速度一般与外力方向不一致。
这是因为除了外力作用外，电子还受到晶格周期场的作用，这个作用由
有效质量所概括。 有效质量取决于电子的状态，因为不同的状态能带的曲率不同。
一般而言，对于宽能带，E（k）随k的变化较大，有效质量小，而
对于窄能带，有较质量较大。 紧束缚观点：原子外层电子波函数交叠较多，能带较宽，有较质量 较小，而内层电子波函数交叠甚少，能带较窄，有较质量较大，定域性 更强一些。
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厄米算符的定义：
ˆdr F dr ˆ F

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第五章 所以等式左边也为零：
晶体中电子能带理论
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N

ˆ ˆ k r k E ( k ) irH iHr k r dr 0
k E (k )
N
晶体中电子能带理论
ik r
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ˆ ˆ ˆ ˆ H r H r iHr r He
k k k k
k uk ( r )
( 3)
k E ( k ) k ( r )
H中不显含k
ˆ k E ( k ) k ( r ) irH k ( r ) E ( k )e ik r k uk ( r )
态－－这是非常困难的。 原因：外加的电势能qV(r)可能破坏了布洛赫电子的哈密顿量的晶格平 衡对称性。 解决办法：准经典近似－－把电子运动当作经典粒子来处理。固体中 的电子对外加电磁场的响应有如一质量为有效质量的经典自由电子。
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第五章 1、电子平均速度
晶体中电子能带理论
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由量子力学，电子的速度算符为
1 d 2 E dk 1 d 2E 2 2 F 2 d k dt d k
令 （8）式化为
( 8)
(9)
1 d E m 2 2 d k
2
1
F m
dv dt
(10 )

上式表明在外力作用下，晶体中的电子犹如一个质量为 m 的自由粒子
的运动—次准经典运动。