数学高考试题目分类整理汇编三角函数练习
三角函数(教师版)--2020-2023高考真题数学专题分类汇编
专题五三角函数--2020-2023高考真题数学专题分类汇编真题卷题号考点考向2023新课标1卷8三角恒等变换给值求值15三角函数的性质及应用余弦型函数的零点问题2023新课标2卷7三角恒等变换给值求值16三角函数的图象与性质由部分图象求解析式、求函数值2022新高考1卷6三角函数的性质及应用求三角函数的解析式、求函数值2022新高考2卷6三角恒等变换三角求值9三角函数的图象与性质求三角函数的单调区间、对称轴、极值点、求切线方程2021新高考1卷4三角函数的性质及应用求三角函数的单调区间2021新高考2卷6三角恒等变换给值求值2020新高考1卷10三角函数的图象与性质由图象求三角函数的解析式15三角函数的应用三角函数解决实际问题2020新高考2卷11三角函数的图象与性质由图象求三角函数的解析式16三角函数的应用三角函数解决实际问题【2023年真题】1.（2023·新课标I卷第8题）已知1sin()3αβ-=，1cos sin6αβ=，则cos(22)αβ+=()A.79 B.19 C.19- D.79-【解析】本题考查两角和与差的正弦公式以及二倍角公式，属于中档题.利用两角和与差的正弦公式先求出sin cos αβ的值，从而可以得到sin()αβ+的值，再结合二倍角的余弦公式即可得出结果.解：因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，则1sin cos .2αβ=故112sin()sin cos cos sin .263αβαβαβ+=+=+=即2221cos(22)12sin ()12(.39αβαβ+=-+=-⨯=故选B.2.（2023·新课标II 卷第7题）已知α为锐角，15cos 4α+=，则sin 2α=()A.358- B.158-+ C.354- D.154-【答案】D 【解析】【分析】本题考查倍角公式，属于基础题．观察题干，发现未知角为已知角的一半，考虑倍角公式，即可得证.【解答】解：221511cos 36114sin ()sin 222816424ααα+----=====⇒=故选：.D 3.（2023·新课标I 卷第15题）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是__________.【答案】[2,3).【解析】【分析】本题考查了余弦型函数的零点问题，属中档题.解：令()cos 10f x x ω=-=，得cos 1x ω=，又[0,2]x π∈，则[0,2]x ωωπ∈，所以426πωππ<，得2 3.ω<故答案为：[2,3).4.（2023·新课标II 卷第16题）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若||6AB π=，则()f π=.【答案】32-【解析】【分析】主要考查了函数sin()y A x ωϕ=+的性质与图象，诱导公式等，属于一般题.根据AB 的长度求出.ω函数图象过点2(,0)3π，求.ϕ诱导公式得到答案.【解答】解：设相邻的两个交点A ，B 的横坐标为1 t ，2 t ，则21 - 6t t π=又1sin()2x ωϕ+=，522,.0,66x k k k Z k ππωϕππ+=++∈=或当时16t πωϕ+=，256t πωϕ+=，212( - )3t t πω=，故 4.ω=函数图象过点2(,0)3π，8sin ()03πϕ+=，故8 ,.3k k Z πϕπ=-∈2k =时满足图片条件，故2.3πϕ=-23()sin(4.32f πππ=-=-【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷第6题）记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为.T 若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，则(2f π=()A.1 B.32C.52D.3【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查三角函数的周期性和对称性，属于中档题.根据周期范围，确定ω范围，再根据对称中心确定21(34k ω=-，k Z ∈，二者结合可得结果.【解答】解：由题可知：22(,)3T πππω=∈，所以(2,3).ω∈又因为()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，所以2b =，且33()sin() 2.224f b πππω=⨯++=所以21(34k ω=-，k Z ∈，所以5.2ω=所以5()sin( 2.24f x x π=++所以() 1.2f π=6.（2022·新高考II 卷第6题）若sin()cos())sin 4παβαβαβ+++=+，则()A.tan()1αβ+=-B.tan()1αβ+=C.tan()1αβ-=-D.tan()1αβ-=【答案】C 【解析】【分析】本题考查三角恒等变换的应用法一：利用特殊值法，排除错误选项即可法二，利用三角恒等变换，求出正确选项【解答】解：解法一：设0β=则sin cos 0αα+=，取34απ=，排除B ，D 再取0α=则sin cos 2sin βββ+=，取4πβ=，排除;A 选.C解法二：由sin()cos())]44ππαβαβαβαβ+++=++=++)cos44ππαβαβ=+++，cos )sin 44ππαβαβ+=+故sin()cos cos()sin 044ππαβαβ+-+=，即sin()04παβ+-=，故22sin(sin()cos()0422παβαβαβ-+=-+-=，故sin()cos()αβαβ-=--，故tan() 1.αβ-=-7.（2022·新高考II 卷第9题）（多选）已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象关于点2(,0)3π对称，则()A.()f x 在5(0,12π单调递减B.()f x 在11(,)1212ππ-有两个极值点C.直线76x π=是曲线()y f x =的一条对称轴D.直线2y x =-是曲线()y f x =的一条切线【答案】AD 【解析】【分析】本题考查三角函数的图象与性质，三角函数的单调性、三角函数的对称轴与对称中心，函数的极值，切线方程的求解，属于中档题.【解答】解：由题意得：24()sin()033f ππϕ=+=，所以43k πϕπ+=，即43k πϕπ=-+，k Z ∈，又0ϕπ<<，所以2k =时，23πϕ=，故2()sin(2).3f x x π=+选项5:(0,)12A x π∈时，2232(,)332x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在5(0,)12π单调递减;选项11:(,1212B x ππ∈-时，252(,)322x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在11(,1212ππ-有1个极值点;选项:C 由于，故直线76x π=不是()f x 的对称轴;选项:D 令，得21cos(2)32x π+=-，解得222233x k πππ+=+或242233x k πππ+=+，k Z ∈，从而得x k π=或3x k ππ=+，k Z ∈，令0k =，则是斜率为1-的直线与曲线的切点，从而切线方程为3(0)2y x -=--，即3.2y x =-【2021年真题】8.（2021·新高考I 卷第4题）下列区间中，函数()7sin ()6f x x π=-单调递增的区间是()A.0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】本题考查正弦型函数的单调递增区间，属于基础题.由正弦函数图象和性质可知，得()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，分析选项可得答案.【解答】解：由22262k x k πππππ-+-+，得222,33k xk k Z ππππ-++∈，所以()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，一个单调递增区间为2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知20,,233πππ⎛⎫⎡⎤⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：.A 9.（2021·新高考I 卷第6题）若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+()A.65-B.25-C.25 D.65【答案】C 【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，涉及同角三角函数的关系、二倍角公式，属于中档题.利用同角三角函数关系、二倍角公式将其化简为2sin sin cos θθθ+后，添加分母1，转化为齐次式，再分子分母同除2cos θ即可.【解答】解：原式22sin (sin cos 2sin cos )sin cos θθθθθθθ++=+22sin (sin cos )sin sin cos sin cos θθθθθθθθ+==++22222sin sin cos tan tan 422sin cos tan 1415θθθθθθθθ++-====+++，故选：.C 【2020年真题】10.（2020·新高考I 卷第10题、II 卷第11题）（多选）如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则()sin x ωϕ+()A.sin ()3x π+ B.sin (2)3x π- C.cos (2)6x π+D.5cos (2)6x π-【答案】BC 【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图象，考查逻辑推理能力，属于中档题.借助图象分别求出,ωϕ，结合诱导公式即可判断.【解答】解：由图象可知222()||36T ππππω==-=，故A 错误;解得2ω=±，点5(,1)12π-在函数图象上，当2ω=时，522,k Z 122k ππϕπ⨯+=-+∈，解得42,k Z 3k πϕπ=-+∈，故44sin 2sin 2sin 2333y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2ω=-时，522,k Z 122k ππϕπ-⨯+=-+∈解得2,k Z 3k πϕπ=+∈，故函数解析式为sin 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，又cos 2sin 2sin 26263x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选.BC11.（2020·新高考I 卷第15题、II 卷第16题）)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3tan 5ODC ∠=，//BH DG ，12EF cm =，2DE cm =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为__________2.cm 【答案】542π+【解析】【分析】本题考查平面图形中的边角关系，扇形的面积公式，是困难题.设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，由题中长度关系易得45AGD ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，即可得到OL 和DL 的长度，根据3tan 5ODC ∠=可得到22x =12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形求解即可.【解答】解：设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，记扇形OAB 的面积为S 扇形，由题中的长度关系易知45AGD ︒∠=，所以45AHO ︒∠=，又90OAH ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，可得22OJ AJ x ==，252OL JK x ==-，72DL DK LK DK OJ x=-=-=-，3tan 5OL ODC DL ∠==，2532522x -=，解得x =，12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形222131154()24222cm πππ=⨯⨯+⨯-=+，故答案为54.2π+。
高三考试数学试题分类汇编三角函数 Word版含答案
江苏省市高三上学期考试数学试题分类汇编三角函数一、填空题、（南京市、盐城市届高三第一次模拟）将函数的图象向右平移（）个单位后，所得函数为偶函数，则▲ .、（南通市届高三第一次调研测）函数的最小正周期为▲．、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）届高三上学期期中）若，且，则的值为▲．、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）届高三上学期期末）若函数的最小正周期为，则的值为、（苏州市届高三上学期期中调研）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则的最小值等于▲．、（苏州市届高三上期末调研测试）若，则、（泰州市届高三第一次调研）函数的最小正周期为＿＿＿、（无锡市届高三上学期期末）设，则在上的单调递增区间为.、（盐城市届高三上学期期中）在中，已知，则此三角形的最大内角的大小为▲．、（扬州市届高三上学期期中）。
、（扬州市届高三上学期期末）已知，则▲．、（镇江市届高三上学期期末）将函数的图象向左平移个单位后，所得函数图象关于轴对称，则．二、解答题、（南京市、盐城市届高三第一次模拟）在中，,,分别为内角,,的对边，且．（）求角；（）若，求的值.、（南通市届高三第一次调研测）如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边作锐角，其终边与单位圆交于点．以为始边作锐角，其终边与单位圆交于点，．（）求的值；（）若点的横坐标为，求点的坐标．、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）届高三上学期期中）在中，已知角，，所对的边分别为，，，且，．（）求角的大小；（）若，求的长．、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）届高三上学期期末）在中，角的对边分别为．已知．（）求角的值；（）若，求的值．。
三角函数高考大题整理
三角函数高考大题(一)姓名________日期_________1.（14广东16）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ， （1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f2.（14湖北17）某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h ）的变化近似满足函数关系；(1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？3.（2014•福建）已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣． （1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间.三角函数高考大题（二）姓名________日期_________ 1.（2014•江西）已知函数f （x ）=sin （x+θ）+acos （x+2θ），其中a ∈R ，θ∈（﹣，）（1）当a=，θ=时，求f （x ）在区间[0，π]上的最大值与最小值；（2）若f （）=0，f （π）=1，求a ，θ的值．2.（14天津）（本小题满分13分）已知函数()23cos sin 3cos 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.（14山东本小题满分12分）已知向量()(),cos 2,sin 2,a m x b x n ==，函数()f x a b =⋅ ，且()y f x =的图像过点,312π⎛⎫⎪⎝⎭和点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭.（I ）求,m n 的值；（II ）将()y f x =的图像向左平移()0ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间.三角函数高考大题（三）姓名________日期_________1.（2014•四川）已知函数f （x ）=sin （3x+）．（1）求f （x ）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f （）=cos （α+）cos2α，求cos α﹣sin α的值．2.（2014•重庆）已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π． （Ⅰ）求ω和φ的值； （Ⅱ）若f （）=（＜α＜），求cos （α+）的值．(14江苏本小题满分14分) 已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值； (2)求)265cos(απ-的值.三角函数高考大题（四）姓名________日期_________1.（13天津）已知函数.(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f(x)在区间上的最大值和最小值.2.（13江苏）已知向量，。
五年(2018-22)高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷卷等)专题16 三角函数单选题(解析版)
【答案】C解析:法1：由基本不等式有 ，
同理 ， ，
故 ，故 不可能均大于 ．
取 ， ， ，则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，故选C．
法2：不妨设 ，则 ，
由排列不等式可得：
，
而 ，
故 不可能均大于 ．
取 ， ， ，则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，故选C．
【题目栏目】三角函数\三角恒等变换\三角恒等变换的综合应用
又因为函数图象关于点 对称，所以 ，且 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 ．故选：A
【题目栏目】三角函数\三角函数的图像与性质\三角函数的图象
【题目来源】2022新高考全国I卷·第6题
6．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第11题)函数 在区间 的最小值、最大值分别为( )
A． B． C． D．
【答案】D
2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编
专题16三角函数单选题
一、选择题
1．(2022高考北京卷·第5题)已知函数 ，则( )
A． 在 上单调递减B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减D． 在 上单调递增
【答案】C
解析:因为 ．
对于A选项，当 时， ，则 在 上单调递增，A错；
对于B选项，当 时， ，则 在 上不单调，B错；
对于C选项，当 时， ，则 在 上单调递减，C对；
对于D选项，当 时， ，则 在 上不单调，D错．
故选,C．
【题目栏目】三角函数\三角函数的图像与性质\三角函数的单调性与周期性
【题目来源】2022高考北京卷·第5题
2．(2022年浙江省高考数学试题·第6题)为了得到函数 1年新高考Ⅰ卷·第4题
高考中三角函数和解三角形的真题（常见的题型）汇总
三角函数类型一：角度的概念、弧长和三角函数的概念1已知角q 的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若),4(y P 是角q 终边上的一点，且552sin -=q ，则y的值的值2已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所对的弧长是 3若0cos sin <q q ，则角q 在第在第___________________________象限角。
象限角。
象限角。
4 4 已知已知q 为第二象限角；则2q可能为第可能为第_____________________象限角。
象限角。
象限角。
5已知q 为第二象限角；则24a p +所在的象限是所在的象限是_____________________。
6已知角a 的终边过点)60cos 6,8(--m P ，且54cos -=a ，则m 的值为的值为7在平面直角坐标系中，若角a 的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终点经过点)4,3(a a P -)0(<a ，则a a cos sin +的值为的值为8 8 已知角已知角a 的终边经过点)3,4(-，则a cos 等于等于答案：1 -8-8；；21sin 2；3 二或四；4 一或三；5 一或三；6 21；7 51；8 54-。
类型二：同角三角函数的求值与化解（a a a a a cos tan sin ,1cos sin 22×==+）1求300sin =_______=_______。
2已知3cos sin cos sin =-+xx x x ，则x tan 的值是的值是________________________。
3若点)9,(a 在函数xy 3=的图像上，则6tanpa 的值为的值为 4已知a 是第二象限角，135sin =a ，则a cos 的值的值5已知51)25sin(=+a p ，那么a cos 的值的值6已知21tan -=a ，则1cos 22sin 2--a a 等于等于7)1410tan(-的值的值8 8 记记cos(80)k -°=,那么tan100°= 9已知11-tan tan -=a a，则2cos sin sin 2++a a a = 10 已知角)2,0(p Îx ，21cos 22££-x 的解集是_____。
【山东8年高考】2007-2014年高考数学真题分类汇编(名师整理)：三角函数
三角函数（一）选择题1、（07山东理5）函数sin 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期和最大值分别为（ ） A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，2答案：A2、（07山东文4）要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象（ ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位答案：A3.（08山东卷5）已知cos （α-6π）+sin α=473,sin()56πα+则的值是 （A ）-532 （B ）532 (C)-54 (D) 54答案：C4.(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A.cos 2y x =B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =【解析】:将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos22cos y x x =+=,故选B.答案:B【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.5.(2009山东卷文)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A. 22cos y x =B. 22sin y x =C.)42sin(1π++=x y D. cos 2y x =【解析】:将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos22cos y x x =+=,故选A.答案:A【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.6、（2010山东文数）（10）观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= （A ）()f x (B)()f x - (C) ()g x (D)()g x - 答案：D7、（2011山东3）若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan6a π的值为 A ．0 B ．33C ．1D ．3答案：D8、（2011山东理数6）若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=A ．3B ．2C ．32D ．23 答案：C9、（2011山东文数6）若函数()sin f x x ω= （ω>0）在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=A ．23 B ．32C ．2D ．3答案：B10、(2012山东卷文(5))设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是(A)p 为真 (B)q ⌝为假 (C)p q ∧为假 (D)p q ∨为真 答案：C11、(2012山东卷文(8))函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为A (A)23- (B)0 (C)－1 (D)13-- 答案：A12（2013山东数学理）8．函数cos sin y x x x =+的图象大致为答案：8．D13、（2013山东数学文）(9)、函数x x x y sin cos +=的图象大致为答案：D（二）填空题1.（08山东卷15）已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝答案：6π. 2、（2010山东数）2、已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a=2b=2sin +cos =2=B B A 若，，，则3.（2014山东文12）函数23sin 2cos 2y x x =+的最小正周期为 . 答案：π4.（2014山东理12）在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC ∆的面积为________. 答案：61（三）解答题1、（07山东理20）如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？ 解法一：如图，连结11A B ，由已知22102A B =，122030210260A A =⨯=， 1221A A A B ∴=，又12218012060A A B =-=∠，122A A B ∴△是等边三角形，1212102A B A A ∴==，北1B2B1A2A120 105 乙 甲北 1B2B1A2A120 105甲乙由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=∠，在121A B B △中，由余弦定理，22212111212122cos45B B A B A B A B A B =+-22220(102)2201022=+-⨯⨯⨯ 200=．12102B B ∴=．因此，乙船的速度的大小为1026030220⨯=（海里/小时）． 答：乙船每小时航行302海里．解法二：如图，连结21A B ，由已知1220A B =，122030210260AA =⨯=，112105B A A =∠， cos105cos(4560)=+cos 45cos60sin 45sin 60=-2(13)4-=，sin105sin(4560)=+sin 45cos60cos 45sin 60=+2(13)4+=．在211A A B △中，由余弦定理，22221221211122cos105A B A B A A A B A A =+-222(13)(102)202102204-=+-⨯⨯⨯北1B2B1A2A120 105 乙甲100(423)=+．1110(13)A B ∴=+．由正弦定理1112111222202(13)2sin sin 4210(13)A B A A B B A A A B +===+∠∠， 12145A A B ∴=∠，即121604515B A B =-=∠，2(13)cos15sin1054+==．在112B A B △中，由已知12102AB =，由余弦定理，22212112221222cos15B B A B A B A B A B =++2222(13)10(13)(102)210(13)1024+=++-⨯+⨯⨯200=．12102B B ∴=，乙船的速度的大小为1026030220⨯=海里/小时． 答：乙船每小时航行302海里．2、（07山东文17）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan 37a b c C =，，，． （1）求cos C ；（2）若52CB CA =，且9a b +=，求c ． 解：（1）sin tan 3737cos C C C=∴=，又22sin cos 1C C +=解得1cos 8C =±． tan 0C >，C ∴是锐角．1cos 8C ∴=．（2）52CB CA =， 5cos 2ab C ∴=，20ab ∴=．又9a b +=22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．6c ∴=．3.（08山东卷17）（本小题满分12分）已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）美洲f （8π）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间. 解：（Ⅰ）f (x )＝)cos()sin(3ϕωϕω+-+x x＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+)cos(21)sin(232ϕωϕωx x＝2sin(ϕω+x -6π) 因为 f (x )为偶函数，所以 对x ∈R ,f (-x )=f (x )恒成立，因此 sin （-ϕω+x -6π）＝sin (ϕω+x -6π). 即-sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6π)=sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6π),整理得 sin x ωcos(ϕ-6π)=0.因为 ω＞0，且x ∈R ,所以 cos （ϕ-6π）＝0.又因为 0＜ϕ＜π，故 ϕ-6π＝2π.所以 f (x )＝2sin(x ω+2π)=2cos x ω.由题意得 .2,222 ＝ 所以 ωπωπ⋅=故 f (x )=2cos2x . 因为 .24cos2)8(==ππf（Ⅱ）将f (x )的图象向右平移个6π个单位后，得到)6(π-x f 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到)64(ππ-f 的图象.).32(cos 2)64(2cos 2)64()(ππππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=f f x g 所以 当 2k π≤32ππ-≤2 k π+ π (k ∈Z),即 4k π＋≤32π≤x ≤4k π+38π(k ∈Z)时，g (x )单调递减.因此g (x )的单调递减区间为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++384,324ππππk k (k ∈Z)4.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x. (1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若cosB=31，1()24c f =-，且C 为锐角，求sinA. 解: （1）f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x.=1cos 213cos 2cos sin 2sin sin 233222x x x x ππ--+=- 所以函数f(x)的最大值为132+,最小正周期π. （2）()2c f =13sin 22C -=－41, 所以3sin 2C =, 因为C 为锐角, 所以3C π=,又因为在∆ABC 中, cosB=31, 所以 2s i n33B =, 所以2113223sin sin()sin cos cos sin 232326A B C B C B C +=+=+=⨯+⨯=. 【命题立意】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性质以及三角形中的三角关系. 5.(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2)0(sin sin cos 2cossin 2πϕϕϕ<<-+x x x 在π=x 处取最小值.(3) 求ϕ.的值;(4) 在∆ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 23)(=A f ,求角C.. 解: （1）1cos ()2sin cos sin sin 2f x x x x ϕϕ+=⋅+- sin sin cos cos sin sin x x x x ϕϕ=++- sin cos cos sin x x ϕϕ=+ sin()x ϕ=+因为函数f(x)在π=x 处取最小值，所以sin()1πϕ+=-,由诱导公式知sin 1ϕ=,因为0ϕπ<<,所以2πϕ=.所以()sin()cos 2f x x x π=+=（2）因为23)(=A f ,所以3cos 2A =,因为角A 为∆ABC 的内角,所以6A π=.又因为,2,1==b a 所以由正弦定理,得sin sin a b A B =,也就是sin 12sin 222b A B a ==⨯=, 因为b a >,所以4π=B 或43π=B .当4π=B 时,76412C ππππ=--=;当43π=B 时,36412C ππππ=--=. 【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合. 6、（2010山东文数）(17)（本小题满分12分） 已知函数2()sin()cos cos f x x x x πωωω=-+（0ω>）的最小正周期为π， （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值.7、（2010山东理数）8、（2011山东理数17）在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cos A-2cos C 2c-a =cos B b． （I ）求sin sin C A的值； （II ）若cosB=14，b=2，ABC ∆的面积S 。
2022年高考数学真题分类汇编专题：三角函数
2022年高考数学真题分类汇编专题08：三角函数一、单选题(共11题；共55分)1．（5分）（2022·浙江）为了得到函数y=2sin3x的图象，只要把函数y=2sin(3x+π5)图象上所有的点（）A．向左平移π5个单位长度B．向右平移π5个单位长度C．向左平移π15个单位长度D．向右平移π15个单位长度【答案】D【解析】【解答】函数图象平移满足左加右减，y=2sin(3x+π5)=2sin[3(x−π15)+π5]=2sin3x，因此需要将函数图象向右平移π15个单位长度，可以得到y=2sin3x的图象.故答案为：D【分析】由已知结合正弦函数图象的平移即可求解．2．（5分）（2022·浙江）设x∈R，则“ sinx=1”是“ cosx=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【解答】sinx=1，则x=π2+2kπ，k∈Z；cosx=0，则x=π2+kπ，k∈Z，若sinx=1可推出cosx=0，充分性成立；反之不成立，必要性不成立，故充分部必要条件.故答案为：A【分析】利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．3．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos(α+π4)sinβ，则（）A．tan(α+β)=−1B．tan(α+β)=1C．tan(α−β)=−1D．tan(α−β)=1【答案】C【解析】【解答】根据两角和的正弦、余弦公式化简已知式子得：sinαcosβ+cosαsinβ+ cosαcosβ−sinαsinβ=2(cosα−sinα)sinβ，即：sinαcosβ−cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0，即：sin(α−β)+cos(α−β)=0，所以tan(α−β)=−1，故答案为：C【分析】由两角和差的正、余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.4．（5分）（2022·全国甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB⌢是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在AB⌢上，CD⊥AB．“会圆术”给出AB⌢的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+CD 2OA．当OA= 2，∠AOB=60°时，s=（）A．11−3√32B．11−4√32C．9−3√32D．9−4√32【答案】B【解析】【解答】解：如图，连接OC，因为C是AB的中点，所以OC⊥AB，又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线，即OD=OA=OB=2 ，又⊥AOB=60° ， 所以AB=OA=OB=2， 则OC =√3 ， 故CD =2−√3 ， 所以s =AB +CD 2OA =2+(2−√3)22=11−4√32. 故选：B.【分析】连接OC ，分别求出AB ，OC ，CD ，再根据题意的新定义即可得出答案.5．（5分）（2022·全国甲卷）设函数 f(x)=sin(ωx +π3) 在区间 (0，π) 恰有三个极值点、两个零点，则 ω 的取值范围是（ ） A ．[53，136)B ．[53，196)C ．(136，83]D ．(136，196]【答案】C【解析】【解答】解：依题意可得ω>0 ，因为x⊥（0，π），所以ωx +π3∈(π3，ωπ+π3) ， 要使函数在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx ，(π3，3π) 的图象如下所示：则5π2<ωπ+π3≤3π， 解得136<ω≤83，即ω⊥ (136，83] ．故选：C【分析】由x 的取值范围得到ωx +π3的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式，解得即可．6．（5分）（2022·全国甲卷）已知 a =3132，b =cos 14，c =4sin 14，则（ ） A ．c >b >aB ．b >a >cC ．a >b >cD ．a >c >b【答案】A【解析】【解答】解：因为c b =4tan 14，因为当x ∈(0，π2)，sinx<x<tanx ，所以tan 14>14 ，即c b >1， 所以c>b ；设f (x )=cosx +12x 2−1，x ∈(0，+∞)，f'(x)=-sinx+x>0 ，所以f(x)在（0，+∞）单调递增，则f (14)>f (0)=0， 所以cos 14−3132>0 ，所以b>a ， 所以c>b>a ， 故选：A【分析】由c b =4tan 14结合三角函数的性质可得c>b ；构造函数f (x )=cosx +12x 2−1，x ∈(0，+∞)，利用导数可得b>a ，即可得解.7．（5分）（2022·全国甲卷）将函数 f(x)=sin(ωx +π3)(ω>0) 的图像向左平移 π2 个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则 ω 的最小值是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】C【解析】【解答】解：由题意知：曲线C 为 y =sin [ω(x +π2)π3]=sin (ωx +ωπ2+π3) ， 又曲线C 关于y 轴对称，则ωπ2+π3=π2+kπ，k ∈Z ， 解得ω=13+2k ，k ∈Z ，又ω>0，故当k=0时，ω的最小值为 13 .故选：C.【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得ωπ2+π3=π2+kπ，k ∈Z ，即可求出ω的最小值.8．（5分）（2022·北京）已知函数 f(x)=cos 2x −sin 2x ，则（ ）A ．f(x) 在 (−π2，−π6) 上单调递增 B ．f(x) 在 (−π4，π12) 上单调递增C ．f(x) 在 (0，π3) 上单调递减D ．f(x) 在 (π4，7π12) 上单调递增【答案】C【解析】【解答】 f(x)=cos 2x −sin 2x =cos2x ，选项A 中： 2x ∈(−π，−π3) ，此时 f(x) 单调递增；选项B 中： 2x ∈(−π2，π6) ，此时 f(x) 先递增后递减；选项C 中： 2x ∈(0，2π3) ，此时 f(x) 单调递减；选项D 中： 2x ∈(π2，7π6) ，此时 f(x) 先递减后递增.故答案为：C【分析】先根据余弦的二倍角公式化简 f(x)=cos2x ，再逐项分析选项即可.9．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）记函数 f(x)=sin(ωx +π4)+b(ω>0) 的最小正周期为T ，若 2π3<T <π， 则 y =f(x) 的图像关于点 (3π2，2) 中心对称，则 f(π2)= （ ）A ．1B ．32C ．52D ．3【答案】A【解析】【解答】解：由题意得，ω=2πT∈(2，3)， 又 y =f(x) 的图像关于点 (3π2，2) 中心对称，则b=2，且f (3π2)=2，所以sin (3π2ω+π4)+2=2，则3π2ω+π4=2kπ，k ∈Z ，解得ω=8k−16，又ω∈(2，3)， 则k=2，ω=52，故f (π2)=sin (52·π2+π4)+2=1，故选：A【分析】由正弦函数的图象与性质，先求得b ，ω，再求得f (π2)即可.10．（5分）（2022·浙江学考）已知α⊥R ，则cos （π-α）=（）A ．sinαB ．-sinαC ．cosαD ．-cosα【答案】D【解析】【解答】因为 cos(π−α)=−cosα 。
【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 三角小题(精解精析)
2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 三角小题 （精解精析）一、选择题1．(2021年高考全国甲卷理科)若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α= ( )A ．1515B ．55C ．53D ．153【答案】A 解析：cos tan 22sin ααα=-2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=， 215cos 1sin 4αα∴=-=，sin 15tan cos 15ααα∴==． 故选：A ．【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α． 2．(2021年高考全国乙卷理科)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =( )( )A ．⨯+表高表距表目距的差表高B ．⨯-表高表距表目距的差表高C ．⨯+表高表距表目距的差表距D ．⨯表高表距-表目距的差表距【答案】A 解析：如图所示：由平面相似可知，,DE EH FG CGAB AH AB AC==，而DE FG =，所以 DE EH CG CG EH CG EHAB AH AC AC AH CH--====-，而CH CE EH CG EH EG =-=-+， 即CG EH EG EG DE AB DE DE CG EH CG EH-+⨯=⨯=+--＝+⨯表高表距表高表目距的差． 故选：A ．【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出． 3．(2021年高考全国乙卷理科)把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x = ( )A ．7sin 212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（ ）A ． 7sin 212x x ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ． sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C ． 7sin 212x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ． sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 4．(2021年高考全国甲卷理科)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m )，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ．B ．C 三点，且A ．B ．C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45AC B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ．C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-约为3 1.732≈) ( )A ．346B ．373C ．446D ．473【答案】B 解析：过C 作'CH BB ⊥，过B 作'BD AA ⊥，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+， 由题，易知ADB △为等腰直角三角形，所以AD DB =． 所以''100''100AA CC DB A B -=+=+． 因为15BCH ∠=︒，所以100''tan15CH C B ==︒在'''A B C 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒，而62sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 304︒=︒-︒=︒︒-︒︒=， 所以210042''31)27362A B ⨯==≈-，所以''''100373AA CC A B -=+≈． 故选：B ．【点睛】本题关键点在于如何正确将''AA CC -的长度通过作辅助线的方式转化为''100A B +． 5．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为( )( )A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题． 6．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若α为第四象限角，则 ( )A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<0【答案】D解析：方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α< 故选：D ． 方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误； 当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误； 由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．7．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= ( )A B ．23C ．13D 【答案】A【解析】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=， 即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin απα∈∴==故选：A ．【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题．8．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ= ( ) A ．–2 B ．–1C ．1D ．2【答案】D解析：2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题． 9．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = ( ) A ．19B ．13C ．12D ．23【答案】A 解析：在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB = 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．10．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数()sin()5f x x ωπ=+(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在0,2π)(有且仅有3个极大值点②()f x 在0,2π)(有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是1229[)510， 其中所有正确结论的编号是 ( )A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【解析】()f x 在0,2π)(有且仅有3个极大值点，分别对应59=,,5222x ππππω+，故①正确．()f x 在0,2π)(有2个或3个极小值点，分别对应37=,522x πππω+和3711=,5222x ππππω+，，故②不正确．因为当[0,2]x ∈π时，2555x πππω+ωπ+≤≤，由()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点．则265x ππω+<π5≤，解得1229[)510ω∈，，故④正确．由1229[)510ω∈，，得[0.44,0.49)105ππω+∈ππ，10.492π<π，所以()f x 在(0,)10π单调递增，故③正确．综上所述，本题选D ．【点评】本题为三角函数与零点结合问题，难度中等，可数形结合，分析得出答案，考查数形结合思想．在本题中，极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错． 11．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos21αα=+，则sin α= ( )A ．15B ．5C ．3D ．5【答案】B【解析】∵2sin 2cos21α=α+，∴24sin cos 2cos α⋅α=α.0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴cos 0α>，sin 0α>，∴2sin cos α=α，又22sin cos 1αα+=，∴25sin 1α=，21sin 5α=，又sin 0α>，∴sin 5α=，故选B ．【点评】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．12．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)下列函数中，以2π为周期且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是()( )A ．()cos2f x x =B ．()sin 2f x x =C ．()cos f x x =D ．()sin f x x =【答案】A【解析】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除B ，故选A .【点评】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数；③函数2()()y f x f x ==例如，21cos 4cos 2cos 22xy x x +===，所以周期242T ππ==. 13．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 ③()f x 在[,]ππ-有4个零点④()f x 的最大值为2 其中所有正确结论的编号是( )A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C解析：作出函数sin ,sin ,sin sin y x y x y x x ===+的图象如图所示，由图可知，()f x 是偶函数，①正确，()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，②错误， ()f x 在[,]ππ-有3个零点，③错误；()f x 的最大值为2，④正确，故选C ．ABC △的面积为2224a b c +-，则C =( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C解析：由余弦定理可得2222cos a b c ab C +-=， 所以由222112cos sin sin 2424ABCa b c ab C S ab C ab C +-==⇒=△ 所以tan 1C =，而()0,πC ∈，所以π4C =，故选C ． 15．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)若1sin 3α=，则cos2α= ( )A ．89B ．79C ．79-D ．89-【答案】B解析：2217cos 212sin 1239αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭，故选B ．16．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是( )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π【答案】A解析：由已知()sin cos 0f x x x '=--≤，得sin cos 0≥x x +，即04)≥x π+，解得322,()44≤≤k x k k Z ππππ-++∈，即[]3,,44a a ππ⎡⎤-⊂-⎢⎥⎣⎦，所以434≥≤a a a a ππ⎧⎪-<⎪⎪--⎨⎪⎪⎪⎩，得04≤a π<，所以a 的最大值是4π，故选A ．17．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)在ABC △中，cos2C =1BC =，5AC =，则AB = ( ) A．BCD．【答案】A解析：因为223cos 2cos 12125C C =-=⨯-=-， 所以22232cos 125215()325AB BC AC BC AC C =+-⨯⨯=+-⨯⨯⨯-=，所以AB =，故选A ．18．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知曲线1:cos C y x =,22π:sin 23C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,则下面结论正确的是( )A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2C【答案】 D【解析】因为12,C C 函数名不同,所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名,则22π2πππ:sin 2cos 2cos 23326C y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为sin 2y x =,再将曲线向左平移π12个单位得到2C ,故选D ． 【考点】三角函数图像变换．【点评】对于三角函数图像变换问题,首先要将不同名函数转换成同名函数,利用诱导公式,需要重点记住ππsin cos(),cos sin()22αααα=-=+;另外,在进行图像变换时,提倡先平移后伸缩,而先伸缩后平移在考试中经常出现,无论哪种变换,记住每一个变换总是对变量x 而言．19．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是 ( ) A ．()f x 的一个周期为2π- B ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x π+的一个零点为6x π= D ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】 D【解析】函数()f x 的周期为2n π，n Z ∈，故A 正确；又函数()f x 的对称轴为,3x k k Z ππ+=∈，即3x k ππ=-，k Z∈，当3k =时，得83x π=，故B 正确；由()0cos 03f x x π⎛⎫=⇒+= ⎪⎝⎭32x k πππ⇒+=+，所以函数()f x 的零点为,6x k k Z ππ=+∈，当0k =时，6x π=，故C 正确；由223k x k ππππ≤+≤+，解得22233k x k ππππ-≤≤+，所以函数()f x 的单调递减区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，而2,2,2233k k ππππππ⎛⎫⎡⎤⊄-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故D 错误．【考点】函数()cos y A x ωϕ=+的性质【点评】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2πT ω=；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x b ω=+的形式．（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z ，求x ；求()f x 的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可． 20．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)在△ABC 中,4B π=,BC 边上的高等于13BC ,则cos A = ( )ABC． D．【答案】C【解析】设BC 边上的高线为AD ,则3BC AD =,所以AC ==,AB =.由余弦定理,知222222cos 2AB AC BC A AB AC +-===⋅,故选C . 21．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)若3tan 4α=,则2cos 2sin 2αα+= ( ) A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【答案】A【解析】由3tan 4α=,得3sin 5α=,4cos 5α=或3sin 5α=-,4cos 5α=- 所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=,故选A . 22．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若π3cos 45α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2α=( ) A ．725B ．15C ．15-D ．725-【答案】C【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．23．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．()26k x k Z ππ=-∈ B ．()26k x k Z ππ=+∈ C ．()212k x k Z ππ=-∈D ．()212k x k Z ππ=+∈【答案】B【解析】将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度的到2sin 2()2sin(2)126y xx的图像，令2,62xkk Z 则1,26xk k Z ，故选B ．24．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为 ( ) (A )11(B )9(C )7(D )5【答案】B 【解析】由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则21k ω=+，其中k ∈Z()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减故选B ．25．(2015高考数学新课标1理科)函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为 ( )A ．13(,),k 44k k ππ-+∈Z B ．13(2,2),k 44k k ππ-+∈Z C ．13(,),k 44k k -+∈Z D ．13(2,2),k 44k k -+∈Z【答案】D解析：由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D ． 考点：三角函数图像与性质26．(2015高考数学新课标1理科)sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒= ( )A．2-B．2C ．12-D ．12【答案】D解析：原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D ． 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式． 27．(2014高考数学课标2理科)设函数xf x m()sinπ=．若存在f x ()的极值点x 0满足x f x m 22200[()]+<，则m 的取值范围是 ( )A ．(,6)(6,)-∞-⋃+∞B ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞C ．(,2)(2,)-∞-⋃+∞D ．(,1)(4,)-∞-⋃+∞【答案】C 解析：π()3sinxf x m的极值为3，即200||[()]3,||2m f x x ， 2222200[()]3344m m x f x m ，，解得||2m ，故选C 。
高三数学三角函数练习大题经典22套
三角函数（三）1、在△ABC 中，AC=3，sinC=2sinA.（1）求AB 的值。
（2）求sin(2A －4π)的值。
2、设△ABC 的内角A 、B 、C 所以的边长分别为a,b,c ，3cos cos 5a Bb A C -=，（1）tan cot A B 的值。
（2）tan()A B -的最大值。
3、在△ABC中，5cos13B=-，4cos5C=.（I）sin A的值；（II）设△ABC的面积S△ABC=332，求BC的长。
4、设△ABC的内角A、B、C的对边分别为,,a b c，且A=60°，c=3b。
求（I）ac的值；（II）cot cotB C+的值.三角函数（四）1、在△ABC 中ambmc 分别为角A 、B 、C 的对的边长，a = ，tantan 422A B C++=，2sin sin cos 2AB C =。
求A 、B 及a 、c .2、在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别为,,a b c ，已知2,3c C π==（I ）若S △ABC ,a b .（II ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求△ABC 的面积。
3、设锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为,,a b c，2sina b A=.（I）求角B的大小；（II）求cos sinA C+的取值范围。
4、在△ABC中，1tan4A=，3tan5B=,（I）求角C的大小；（II）若△ABC三角函数（五）1、已知△ABC的内角A、B及其对边,a b满足cot cot,a b a A b B+=+求内角C.2、△ABC中，D为BC上的一点，BD=33，5sin13B=，3cos5ADC∠=，求AD.3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1cos 24C =-. （I ）求sin C 的值；（2）当2,2sin sin a A C ==时，求b c 及的长。
专题15 三角函数解答题【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
(2)若 ，求b．
【答案】(1)
(2)
解析：(1)由题意得 ，则 ，
即 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又 ，
则 ， ，则 ；
(2)由正弦定理得： ，则 ，则 ， ．
【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理\正、余弦定理的综合应用
【题目来源】2022新高考全国II卷·第18题
3．(2022新高考全国I卷·第18题)记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
可得 ， ，
与条件 矛盾，则问题中的三角形不存在．
解法二：∵ ,
∴ ,
，
∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,
若选①， ,∵ ,∴ ,∴c=1;
若选②， ,则 , ;
若选③,与条件 矛盾．
【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理\正、余弦定理的综合应用
【题目来源】2020新高考II卷(海南卷)·第17题
8．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第17题) 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理\三角形中的面积问题
【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第17题
13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题)(12分) 的内角 的对边分别为 ．已知 ， ， ．
(1)求 ；
(2)设 为 边上一点，且 ，求 的面积．
【答案】(1) ;(2)
【解析】(1)由 可得 ,因为 ,故 ．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】解法一：
由 可得： ，
不妨设 ，
则： ，即 ．
高考数学三角函数试题汇编
高考数学三角函数试题汇编函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ,如下结论中正确的选项是__________〔写出所有正确结论的编号．．〕． ①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． ①②③〔安徽理6〕函数()3sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象为C , ①图象C 关于直线1112x =π对称； ②函数()f x 在区间5ππ⎛⎫-⎪1212⎝⎭，内是增函数； ③由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 以上三个论断中,正确论断的个数是〔 〕 A ．0B ．1C ．2D ．3C〔北京理1〕cos tan 0θθ<,那么角θ是〔 〕Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角C〔北京理13〕2022年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为根底设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形〔如图〕．如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,那么cos2θ的值等于．725〔北京文3〕函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是〔 〕 Ａ．π2Ｂ．πＣ．2πＤ．4πB〔福建理5〕函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π,那么该函数的图象〔 〕 A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称D ．关于直线x π=3对称 A〔福建文5〕函数πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象〔 〕 Ａ．关于点π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称Ｂ．关于直线π4x =对称 Ｃ．关于点π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称Ｄ．关于直线π3x =对称 A〔广东理3〕假设函数21()sin ()2f x x x =-∈R ,那么()f x 是〔 〕A ．最小正周期为π2的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数D〔广东文9〕简谐运动ππ()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象经过点(01)，,那么该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为〔 〕Ａ．6T =,π6ϕ=Ｂ．6T =,π3ϕ=Ｃ．6πT =,π6ϕ=Ｄ．6πT =,π3ϕ=A〔海南、宁夏理3〕函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是〔 〕A〔海南宁夏理9〕假设cos 22πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭,那么cos sin αα+的值为〔 〕Ａ．2-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．2C〔湖北理2〕将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移,那么平移后所得图象的解析式为〔 〕 Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭A〔湖北文1〕tan690°的值为〔 〕Ａ． Ｄ． A〔湖南理12〕在ABC △中,角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，,假设1a =,b =,c =π3C =,那么B = ．12．5π6〔江苏1〕以下函数中,周期为π2的是〔 〕 Ａ．sin2x y =Ｂ．sin 2y x =Ｃ．cos4x y =Ｄ．cos 4y x =D〔江苏5〕函数[]()sin (π0)f x x x x =∈-，的单调递增区间是〔 〕Ａ．5ππ6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，Ｂ．5ππ66⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， Ｃ．π03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，Ｄ．π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D〔江苏11〕假设1cos()5αβ+=,3cos()5αβ-=,那么tan tan αβ=_____． 11．12〔江苏15〕在平面直角坐标系xOy 中,ABC △的顶点(40)A -，和(40)C ，,顶点B 在椭圆221259x y +=上,那么sin sin sin A CB+=_____．15．54〔江西理3〕假设πtan 34α⎛⎫-=⎪⎝⎭,那么cot α等于〔 〕 Ａ．2-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．2A〔江西理5〕假设π02x <<,那么以下命题中正确的选项是〔 〕 Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x >Ｃ．224sin πx x < Ｄ．224sin πx x >D〔江西文2〕函数5tan(21)y x =+的最小正周期为〔 〕 Ａ．π4Ｂ．π2Ｃ．πＤ．2πB〔江西文4〕假设tan 3α=,4tan 3β=,那么tan()αβ-等于〔 〕 Ａ．3-Ｂ．13- Ｃ．3 Ｄ．13D〔全国卷1理1〕α是第四象限角,5tan 12α=-,那么sin α=〔 〕 A ．15B ．15-C ．513D ．513-D全国卷1理〔12〕 函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是〔 〕 A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，A〔全国卷1文10〕函数22cos y x =的一个单调增区间是〔 〕 Ａ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭，Ｂ．π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，Ｃ．π3π44⎛⎫ ⎪⎝⎭，Ｄ．ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，D〔全国卷2理1〕sin 210=〔 〕A ．2B ．2-C ．12D ．12-D〔全国卷2理2〕函数sin y x =的一个单调增区间是〔 〕A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， C〔全国卷2文1〕cos330=〔 〕A ．12B ．12-C ．2D ．2-C〔山东理5〕函数sin 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期和最大值分别为〔 〕A ．π,1B ．πC ．2π,1D ．2πA〔山东文4〕要得到函数sin y x =的图象,只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象〔 〕 A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位A〔陕西理4〕sin α=,那么44sin cos αα-的值为〔 〕 A ．15-B ．35-C ．15D ．35A〔上海理6〕函数⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πsin 3πsin x x y 的最小正周期=T ． 6． π〔四川理16〕下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|. ③在同一坐标系中,函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点.④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y 其中真命题的序号是 〔写出所言 〕① ④〔天津理3〕“2π3θ=〞是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭〞的〔 〕 Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件A〔天津文9〕设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ,那么()f x 〔 〕 A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C ．在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数A〔浙江理2〕假设函数()2sin()f x x ωϕ=+,x ∈R 〔其中0ω>,2ϕπ<〕的最小正周期是π,且(0)f =那么〔 〕A ．126ωϕπ==， B ．123ωϕπ==， C ．26ωϕπ==，D ．23ωϕπ==，D〔浙江理12〕1sin cos 5θθ+=,且324θππ≤≤,那么cos2θ的值是 ．725-〔浙江文12〕假设1sin cos 5θθ+=,那么sin 2θ的值是 ． 12．2425-〔重庆文6〕以下各式中,的是〔 〕 A ．2sin15cos15 B ．22cos 15sin 15- C ．22sin 151-D ．22sin 15cos 15+B〔安徽理16〕0αβπ<<4，为()cos 2f x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭的最小正周期,1tan 14αβ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，a (cos 2)α=，b ,且a b m =．求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值． 本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数根本关系式,考查运算水平和推理水平．本小题总分值12分． 解：由于β为π()cos 28f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期,故πβ=． 因m =·a b ,又1cos tan 24ααβ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ab ··． 故1cos tan 24m ααβ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭·． 由于π04α<<,所以 222cos sin 2()2cos sin(22π)cos sin cos sin ααβαααααα++++=--22cos sin 22cos (cos sin )cos sin cos sin ααααααααα++==--1tan π2cos 2cos tan 2(2)1tan 4m ααααα+⎛⎫==+=+ ⎪-⎝⎭·〔安徽文20〕设函数232()cos 4sincos 43422x xf x x t t t t =--++-+,x ∈R , 其中1t ≤,将()f x 的最小值记为()g t ． 〔I 〕求()g t 的表达式；〔II 〕讨论()g t 在区间(11)-，内的单调性并求极值．本小题主要考查同角三角函数的根本关系,倍角的正弦公式,正弦函数的值域,多项式函数的导数,函数的单调性,考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间,极值与最值等问题的综合水平．本小题总分值14分． 解：〔I 〕我们有232()cos 4sin cos 43422x xf x x t t t t =--++-+222sin 12sin 434x t t t t =--++-+ 223sin 2sin 433x t x t t t =-++-+23(sin )433x t t t =-+-+．由于2(sin )0x t -≥,1t ≤,故当sin x t =时,()f x 到达其最小值()g t ,即3()433g t t t =-+．〔II 〕我们有2()1233(21)(21)1g t t t t t '=-=+--1<<，． 列表如下：由此可见,()g t 在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，和112⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增加,在区间1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减小,极小值为122g ⎛⎫= ⎪⎝⎭,极大值为42g 1⎛⎫-= ⎪⎝⎭．〔福建理17〕在ABC △中,1tan 4A =,3tan 5B =． 〔Ⅰ〕求角C 的大小；〔Ⅱ〕假设ABC △求最小边的边长．本小题主要考查两角和差公式,用同角三角函数关系等解斜三角形的根本知识以及推理和运算水平,总分值12分． 解：〔Ⅰ〕π()C A B =-+,1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC <<,3π4C ∴=．〔Ⅱ〕34C =π,AB ∴边最大,即AB =又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，,∴角A 最小,BC 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,得sin 17A =．由sin sin AB BC C A =得：sin 2sin A BC AB C==所以,最小边BC =〔广东理16〕ABC △顶点的直角坐标分别为(34)A ，,(00)B ，,(0)C c ，． 〔1〕假设5c =,求sin A ∠的值； 〔2〕假设A ∠是钝角,求c 的取值范围．解析： 〔1〕(3,4)AB =--,(3,4)AC c =--,假设c=5, 那么(2,4)AC =-,∴6161cos cos ,5255A AC AB -+∠=<>==⨯,∴si n ∠A ＝255； 2〕假设∠A 为钝角,那么391600c c -++<⎧⎨≠⎩解得253c >,∴c 的取值范围是25(,)3+∞；〔海南宁夏理17〕如图,测量河对岸的塔高AB 时,可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，,并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ,求塔高AB ．解：在BCD △中,πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠． 所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·．在ABC Rt △中,tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．〔湖北理16〕ABC △的面积为3,且满足06AB AC ≤≤,设AB 和AC 的夹角为θ．〔I 〕求θ的取值范围；〔II 〕求函数2()2sin 324f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π的最大值与最小值．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等根本知识,考查推理和运算水平．解：〔Ⅰ〕设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，, 那么由1sin 32bc θ=,0cos 6bc θ≤≤,可得0cot 1θ≤≤,ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．〔Ⅱ〕2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵,ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，,π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时,max ()3f θ=；当π4θ=时,min ()2f θ=．〔湖北文16〕函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭,ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． 〔I 〕求()f x 的最大值和最小值；〔II 〕假设不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立,求实数m 的取值范围．本小题主要考查三角函数和不等式的根本知识,以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的水平．解：〔Ⅰ〕π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵ π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵,ππ2π2633x -∴≤≤,即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤, max min ()3()2f x f x ==，∴．〔Ⅱ〕()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵,ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+,14m <<∴,即m 的取值范围是(14)，．〔湖南理16〕函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,1()1sin 22g x x =+． 〔I 〕设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴,求0()g x 的值． 〔II 〕求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． 解：〔I 〕由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++． 由于0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴,所以0π26x +πk =, 即0 π2π6x k =-〔k ∈Z 〕． 所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时,01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭, 当k 为奇数时,01π15()1sin 12644g x =+=+=． 〔II 〕1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π3113cos 2sin 2cos2sin 22622222x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 当πππ2π22π232k x k -++≤≤,即5ππππ1212k x k -+≤≤〔k ∈Z 〕时, 函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数,故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，〔k ∈Z 〕． 〔湖南文16〕函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．求： 〔I 〕函数()f x 的最小正周期； 〔II 〕函数()f x 的单调增区间．解：ππ()cos(2)sin(2)44f x x x =+++πππ))2442x x x =++=+=．〔I 〕函数()f x 的最小正周期是2ππ2T ==；〔II 〕当2ππ22πk x k -≤≤,即πππ2k x k -≤≤〔k ∈Z 〕时,函数()2f x x =是增函数,故函数()f x 的单调递增区间是π[ππ]2k k -，〔k ∈Z 〕．〔江西理18〕如图,函数π2cos()(0)2y x x ωθθ=+∈R ，≤≤的图象与y轴交于点(0,且在该点处切线的斜率为2-． 〔1〕求θ和ω的值；〔2〕点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,点P 是该函数图象上一点,点00()Q x y ，是PA 的中点,当0y =0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,求0x 的值． 解：〔1〕将0x =,y =2cos()y x ωθ=+得cos θ=由于02θπ≤≤,所以6θπ=． 又由于2sin()y x ωωθ'=-+,02x y ='=-,6θπ=,所以2ω=,因此2cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．〔2〕由于点02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,00()Q x y ，是PA 的中点,0y =所以点P 的坐标为022x π⎛-⎝．又由于点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上,所以05cos 462x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 由于02x ππ≤≤,所以075194666x πππ-≤≤, 从而得0511466x ππ-=或0513466x ππ-=． 即023x π=或034x π=．〔全国卷1理17〕设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =． 〔Ⅰ〕求B 的大小；〔Ⅱ〕求cos sin A C +的取值范围．解：〔Ⅰ〕由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC △为锐角三角形得π6B =． 〔Ⅱ〕cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知,22A B ππ->-,2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<,所以1sin 232A π⎛⎫+<⎪⎝⎭．3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以,cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．〔全国卷2理17〕在ABC △中,内角A π=3,边BC =B x =,周长为y ． 〔1〕求函数()y f x =的解析式和定义域； 〔2〕求y 的最大值．解：〔1〕ABC △的内角和A B C ++=π,由00A B C π=>>3，，得20B π<<3． 应用正弦定理,知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3,2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭．由于y AB BC AC =++,所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭,〔2〕由于14sin sin 2y x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭,所以,当x ππ+=62,即x π=3时,y取得最大值〔山东理20〕如图,甲船以每小时海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时,乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里？解法一：如图,连结11A B ,由22A B =,122060A A ==,1221A A A B ∴=,又12218012060A A B =-=∠,122A A B ∴△是等边三角形,1212A B A A ∴==,由,1120A B =,1121056045B A B =-=∠,在121A B B △中,由余弦定理,22212111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-22202202=+-⨯⨯ 200=．1A2A120 105 乙1A2A120 10512B B ∴=因此,60=〔海里/小时〕．答：乙船每小时航行海里．解法二：如图,连结21A B ,由1220A B =,122060A A ==112105B A A =∠, cos105cos(4560)=+cos 45cos60sin 45sin 60=-4-=, sin105sin(4560)=+sin 45cos60cos 45sin 60=+4+=． 在211A A B △中,由余弦定理,22221221211122cos105A B A B A A A B A A =+-2220220=+-⨯100(4=+．1110(1A B ∴=．由正弦定理1112111222202(13)2sin sin 4210(13)A B A A B B A A A B +===+∠∠, 12145A A B ∴=∠,即121604515B A B =-=∠,2(1cos15sin1054+==．1A2A120 105 乙在112B A B △中,由12A B =,由余弦定理,22212112221222cos15B B A B A B A B A B =++22210(1210(1=+-⨯+⨯200=．12B B ∴=60=/小时．答：乙船每小时航行海里．〔山东文17〕在ABC △中,角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，〔1〕求cos C ；〔2〕假设52CB CA =,且9a b +=,求c ．解：〔1〕sin tan cos CC C=∴= 又22sin cos 1C C +=解得1cos 8C =±． tan 0C >,C ∴是锐角．1cos 8C ∴=．〔2〕52CB CA =,5cos 2ab C ∴=, 20ab ∴=．又9a b +=22281a ab b ∴++=．2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．6c ∴=．〔陕西理17〕设函数()f x =·a b ,其中向量(cos2)m x =，a ,(1sin 21)x =+，b ,x ∈R ,且()y f x =的图象经过点π24⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 〔Ⅰ〕求实数m 的值；〔Ⅱ〕求函数()f x 的最小值及此时x 值的集合． 解：〔Ⅰ〕()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++,由πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得1m =．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭,∴当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时,()f x 的最小值为1由πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ，． 〔上海理17〕在ABC △中,a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．假设4π,2==C a ,5522cos =B ,求ABC △的面积S ．解： 由题意,得3cos 5B B =，为锐角,54sin =B ,10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A , 由正弦定理得 710=c , ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯=．〔四川理17〕0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,(Ⅰ)求α2tan 的值.〔Ⅱ〕求β.此题考察三角恒等变形的主要根本公式、三角函数值的符号,三角函数值求角以及计算水平.解：〔Ⅰ〕由1cos ,072παα=<<,得sin α==∴sin 7tan cos 1ααα===于是22tan tan 21tan1ααα==--〔Ⅱ〕由02παβ<<<,得02παβ<-<又∵()13cos 14αβ-=,∴()sin αβ-===由()βααβ=--得：()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-11317142=⨯+= 所以3πβ=〔天津理17〕函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． 〔Ⅰ〕求函数()f x 的最小正周期；〔Ⅱ〕求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等根底知识,考查根本运算水平．总分值12分．〔Ⅰ〕解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此,函数()f x 的最小正周期为π．〔Ⅱ〕解法一：由于π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数,在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数,又π08f ⎛⎫=⎪⎝⎭,3π28f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,3π3πππ2sin 2cos 14244f ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为2,最小值为1-．解法二：作函数π()2sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如下：由图象得函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,最小值为3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．〔天津文17〕在ABC △中,2AC =,3BC =,4cos 5A =-． 〔Ⅰ〕求sinB 的值； 〔Ⅱ〕求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 本小题考查同角三角函数的根本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识,考查根本运算水平．总分值12分．〔Ⅰ〕解：在ABC △中,2243sin 1cos 155A A ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭,由正弦定理,sin sin BC ACA B=． 所以232sin sin 355AC B A BC ==⨯=． 〔Ⅱ〕解：由于4cos 5A =-,所以角A 为钝角,从而角B 为锐角,于是cos 5B ===,217cos 22cos 121525B B =-=⨯-=,2sin 22sin cos 25515B B B ==⨯⨯=．sin 2sin 2cos cos 2sin 666B B B πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭171252=+⨯1750=．〔浙江理18〕ABC △1,且sin sin A B C +=．〔I 〕求边AB 的长； 〔II 〕假设ABC △的面积为1sin 6C ,求角C 的度数．解：〔I 〕由题意及正弦定理,得1AB BC AC ++=,BC AC +=,两式相减,得1AB =． 〔II 〕由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =,得13BC AC =, 由余弦定理,得222cos 2AC BC AB C AC BC+-=22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==, 所以60C =．C 浙江文2．πcos 2ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭,且π||2ϕ<,那么tan ϕ=〔 〕A．3-B．3C．D〔重庆理17〕设2()6cos 2f x x x =．〔Ⅰ〕求()f x 的最大值及最小正周期；〔Ⅱ〕假设锐角α满足()3f α=-求4tan 5α的值． 解：〔Ⅰ〕1cos 2()622xf x x +=3cos 223x x =+12sin 232x x ⎫=-+⎪⎪⎭236x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．故()f x的最大值为3； 最小正周期22T π==π．〔Ⅱ〕由()3f α=-2336απ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭故cos 216απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 又由02απ<<得2666απππ<+<π+,故26απ+=π,解得512α=π．从而4tan tan 53απ==．〔重庆文18〕函数π124()πsin 2x f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 〔Ⅰ〕求()f x 的定义域；〔Ⅱ〕假设角α在第一象限且3cos 5α=,求()f α． 解：〔Ⅰ〕 由πsin 02x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭得ππ2x k ≠-+,即ππ2x k ≠-()k ∈Z ． 故()f x 的定义域为π|π2x x k k ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭R Z ，．〔Ⅱ〕由条件得4sin 5α===．从而π124()πsin 2f ααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππ1cos 2cos sin 2sin 44cos ααα⎫++⎪⎝⎭= 21cos 2sin 22cos 2sin cos cos cos ααααααα+++==142(cos sin )5αα=+=．。
高中数学三角函数历年高考题汇编(附答案)
三角函数历年高考题汇编一.选择题1、（2009）函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是A ．最小正周期为πの奇函数B ．最小正周期为πの偶函数C ．最小正周期为2πの奇函数 D ．最小正周期为2πの偶函数 2、（2008）已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ）A 、最小正周期为πの奇函数B 、最小正周期为2πの奇函数 C 、最小正周期为πの偶函数 D 、最小正周期为2πの偶函数3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+の图象不可能．．．是（ ）4.(2009山东卷文)将函数sin 2y x =の图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象の函数解析式是 A. 22cos y x = B. 22sin y x = C.)42sin(1π++=x y D. cos 2y x =5.（2009江西卷文）函数()(13tan )cos f x x x =+の最小正周期为A ．2πB ．32π C ．π D ．2π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+の图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φの最小值为A.6π B.4π C. 3π D. 2π7.（2008海南、宁夏文科卷）函数()cos 22sin f x x x =+の最小值和最大值分别为（ ）A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，328.（2007海南、宁夏）函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，の简图是（）二.填空题1.（2009宁夏海南卷文）已知函数()2sin()f x x ωφ=+の图像如图所示，则712f π⎛⎫=⎪⎝⎭。
2.（2009年上海卷）函数22cos sin 2y x x =+の最小值是_____________________ .3.（2009辽宁卷文）已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>の图象如图所示,则ω ＝三.解答题1、（2008）已知函数()sin()(0,0),f x A x a x R ϕϕπ=+><<∈の最大值是1，其图像经过点1(,)32M π。
三角函数--2024年数学高考真题和模拟好题分类汇编(解析版)
专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2，则cos(α-β)=()A.-3mB.-m3C.m3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cosαcosβ,sinαsinβ的关系，结合tanαtanβ的值可求前者，故可求cosα-β的值.【详解】因为cosα+β=m，所以cosαcosβ-sinαsinβ=m，而tanαtanβ=2，所以=12×2b×kb×sin A2+12×kb×b×sin A2，故cosαcosβ-2cosαcosβ=m即cosαcosβ=-m，从而sinαsinβ=-2m，故cosα-β=-3m，故选：A.2(新课标全国Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y=sin x与y=2sin3x-π6的交点个数为() A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y=sin x的的最小正周期为T=2π，函数y=2sin3x-π6的最小正周期为T=2π3，所以在x∈0,2π上函数y=2sin3x-π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax，当x∈(-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=()A.-1B.12C.1D.2【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3 ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A：当x∈-π8 ,π3时，2x-π3∈-7π12,π3，由函数y=sin x在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8 ,π3上不为单调递增，故A错误；对B：当x=5π6时，2x-π3=4π3，由x=4π3不是函数y=sin x的对称轴，故x=5π6不是f x 图象的对称轴，故B错误；对C：当x∈-π6 ,π4时，2x-π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,1 2，故C错误；对D：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y=sin2x+2×5π12-π3=sin2x+π2=cos2x，该函数关于y轴对称，故D正确.故选：D.8(2024·广东广州·二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由fπ4=1，得sinπ4ω+φ=22，又点π4,1及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2kπ,k∈Z，由f5π8=0，点5π8,0及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2kπ,k∈Z，联立解得ω=2，φ=-π4+2kπ,k∈Z，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f(x)=2sin2x-π4，若将函数f(x)的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y=sin2x-2θ-π4，则-2θ-π4=π2-kπ,k∈Z，而θ>0，因此θ=-3π8+kπ2,k∈N，所以当k=1时，θ取得最小值为π8 .故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。
江苏省2023届新高考数学高三上学期10月月考试卷分类汇编：三角部分小题之三角函数图象性质(原卷版)
江苏省2023届新高考数学高三上学期10月期初考试试卷分类汇编：三角部分小题【类型二：三角函数的图象与性质】1．(2023·江苏南通如皋10月)(多选题)下列说法错误．．的是 ( ) A. 若角 2 rad α=，则角α为第二象限角B. 将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30︒C. 若角α为第一象限角，则角2α也是第一象限角D. 若一扇形的圆心角为30︒，半径为3cm ，则扇形面积为232cm π2．(2023·江苏南通如皋10月)“角α与β的终边关于直线y x =对称”是“sin()1αβ+=”的( )A. 充分必要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件3．(2023·江苏南京镇江八校联盟10月)已知点P (cos 23π，1)是角α终边上一点，则cos α＝( )A ．55 B ．－55 C ．255 D ．－324．(2023·江苏姜堰、如东、沭阳如东10月联考)(多选题)要得到函数f (x )＝3sin(2x －2π3)－1的图像，需要把函数g (x )＝3sin2x －1的图像向 ( )A ．右 π3B ．左 π3C ．右 4π3D ．左 2π35．(2023·江苏泰州中学10月)将函数y ＝3sin(2x ＋π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ．6．(2023·江苏金陵中学、海安中学10月第二次联考)设常数a 使方程sin2x ＋3cos2x ＝a 在区间[0，2π]上恰有五个解x i (i ＝1，2，3，4，5)，则∑=51i i x ＝( )A ．7π3B ．25π6C ．13π3D ．14π37．(2023·江苏丹阳高级中学、常州高级中学、南菁高级中学10月联考)如图是一个近似扇形的湖面，其中OA ＝OB ＝r ，弧AB 的长为l (l ＜r )．为了方便观光，欲在A ，B 两点之间修建一条笔直的走廊AB ．若当0＜x ＜12时，sin x ≈x －x 36，扇形OAB的面积记为S ，则ABS 的值约为A ．2l －r 212l 3B ．2r －l 212r 3C ．1l －r 224l 3D ．1r －l 224r38．(2023·江苏常州八校10月联考)设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)，下列结论正确的是A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点x ＝π6D ．f (x )在(π2，π)上单调递减9．(2023·江苏淮安涟水县第一中学10月月考)已知函数()2sin f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向左平移π4个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的()10ωω>得到，若π8x =是函数()g x 图象的一条对称轴，则ω的最小值为______．10．(2023·江苏阜宁县实验高级中学10月月考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．34πB ．π4C ．0D ．－π411．(2023·江苏阜宁县实验高级中学10月月考)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ≤π2)的部分图象如图所示，则点P (ω，φ)的坐标为 ．12．(2023·江苏南京市建邺区第一次联合统测10月)(多选题)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)(0＜ω＜2)，f (x )＋f (x ＋π)＝0，f (α)＝f (β)(0＜α＜β＜π)，则 A ．f (x )＝f (x ＋4π) B ．f (x )＋f (x ＋9π)＝0 C ．f (α＋β)＜f (β－α)＝12D ．f (β－α)＜f (α＋β)＝1213．(2023·江苏苏州中学10月)(多选题)关于函数f (x )＝－2sin 2x ＋cos(2x ＋32π)＋1的描述正确的是( )A ．f (x )图象可由y ＝2sin2x 的图象向左平移π8个单位得到B ．f (x )在(0，π2)单调递减C ．f (x )的图象关于直线x ＝π8对称D ．f (x )的图象关于点(－π8，0)对称14．(2023·江苏无锡堰桥高级中学10月)已知函数1)4(sin 22cos 3)(2+--=x x x f π，将y ＝f （x ）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为（ ）A ．3π B ．4π C ．6πD ．12π15．(2023·江苏无锡堰桥高级中学10月)(多选题)已知函数f (x )＝cos 2x ＋23sin x cos x －sin 2x ，则( )A. π是函数f (x )的一个周期B. 是函数f (x )的一条对称轴C. 函数f (x )的一个增区间是D. 把函数的图象向左平移个单位，得到函数f (x )的图象16．(2023·江苏无锡堰桥高级中学10月)已知函数)),2(,0(),sin()(ππϕωϕω∈>+=x x f 的部分图象如图所示，则f (2021)＝ ．17．(2023·江苏扬州中学10月)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所，将f (x )的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍(纵坐标不变)，再把所得的图象沿x 轴向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的一个单调递增区间为( )6π-=x )6,3(ππ-x y 2sin 2=12πA ．[3π8，π2]B ．[π3，7π3]C ．[π4，3π8]D ．[－5π3，π3]18．(2023·江苏泰州中学10月)(多选题)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋π4)(ω＞0)，则下列说法正确的是( )A ．若函数f (x )的最小正周期为π，则其图象关于直线x ＝π8对称B ．若函数f (x )的最小正周期为π，则其图象关于点(π8，0)对称C ．若函数f (x )在区间(0，π8)上单调递增，则ω的最大值为2D ．若函数f (x )在[0，2π]有且仅有5个零点，则ω的取值范围是198≤ω＜23819．(2023·江苏苏州外国语10月模拟)(多选题)向量→a ＝(sin ωx ，cos ωx )，→b ＝(sin 2(ωx 2＋π4)，cos 2ωx 2)，ω＞0，函数f (x )＝→a ·→b ，则下述结论正确的有 A ．若f (x )的图像关于直线x ＝π2对称，则ω可能为12B ．周期T ＝π时，则f (x )的图像关于点(3π8，0)对称C ．若f (x )的图像向左平移π3个单位长度后得到一个偶函数，则ω的最小值为34D ．若f (x )在[－2π5，π6]上单调递增，则ω∈(0，32]20．(2023·江苏南京六校联合体10月)(多选题) 将函数x x f sin 21)(=图象向右平移3π个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的21倍，得到)(x g 的图象，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．41)4(=πgB ．函数g (x )的图象关于点)0,6(π中心对称C ．函数)(x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,3ππ上为增函数D ．函数)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,12ππ上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43,41 21．(2023·江苏常州八校10月联考)(多选题)在单位圆O ：x 2＋y 2＝1上任取一点P (x ，y )，圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 逆时针旋转到OP 所成的角为θ，记x ，y 关于θ的表达式分别为x ＝f (θ)，y ＝g (θ)，则下列说法正确的是A ．x ＝f (θ)是偶函数，y ＝g (θ)是奇函数B ．x ＝f (θ)在[－π2，π2]为增函数，y ＝g (θ)在[－π2，π2]为减函数C ．1≤f (θ)＋g (θ)≤2对于θ∈[0，π2]恒成立D ．函数h (θ)＝2f (θ)＋g (2θ)的最大值为33222．(2023·江苏丹阳高级中学、常州高级中学、南菁高级中学10月联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，φ＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是A ．f (x )的图象的最小正周期为4B ．f (x )的图象的对称轴方程为x ＝2π3＋2k π(k ∈Z )C ．f (x )的图象的对称中心为(－13＋2k ，0)(k ∈Z )D ．f (x )的单调递增区间为[4k －43，4k ＋23](k ∈Z )23．(2023·江苏金陵中学、海安中学10月第二次联考)(多选题)已知函数f (x )＝cos2x －2sin(π2－x )cos(π2＋x )，则( )A ．f (x )的最大值为3B ．f (x )的最小正周期为πC ．f (x )的图象关于直线x ＝π8对称D ．f (x )在区间[－3π8，π8]上单调递减24．(2023·江苏丹阳高级中学、常州高级中学、南菁高级中学10月联考)(多选题)声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音中包含着正弦函数．若某声音对应的函数可近似为f (x )＝sin x ＋12sin2x ，则下列叙述正确的是A ．x ＝π2为f (x )的对称轴 B ．(π，0)为f (x )的对称中心C ．f (x )在区间[0，10]上有3个零点D ．f (x )在区间[5π3，7π3]上单调递增25．(2023·江苏丹阳高级中学、常州高级中学、南菁高级中学10月联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋π3)，先将y ＝f (x )的图象上所有点的纵坐标不变横坐标变为原来的4倍，再将图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的最小正周期为 ．。
数学高考试题目分类整理汇编三角函数练习
数学高考试题目分类整理汇编三角函数练习2008年数学高考试题分类汇编三角函数一，选择题 1．函数sin ()sin 2sin2x f x xx =+是（ ）A ．以4π为周期的偶函数 B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数2．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x=的图像（ ）A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位3．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ）A ．1 B 2 C 3 D ．2 4．2(sin cos )1y x x =--是（ ）A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数5．已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量31)(cos sin )A A =-=，，，m n ．若⊥m n ，且cos cos sin aB b A cC +=，则角A B ，的大小分别为（ ）A ．ππ63， B ．2ππ36， C ．ππ36， D ．ππ33， 6．已知π4cos sin 365αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭则7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．23 B 23 C ．45- D ．457．()2tan cot cosx x x +=( )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x（Ｄ）cot x8．若02,sin 3απαα≤≤>，则α的取值范围是：( )（Ａ）,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭（Ｂ）,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭（Ｃ）4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭（Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭9．设()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( )（Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f =（Ｄ）()'00f =10．ABC ∆的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若5,22a A B ==，则cos B =( )（Ａ）5 （Ｂ）5（Ｃ）55（Ｄ）5611．把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）（A ）sin(2)3y x π=-，x R ∈ （B ）sin()26x y π=+，x R∈ （C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)32y x π=+，x R∈12．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ）（A ）c b a << （B ）a c b << （C ）a c b << （D ）b a c <<13．在同一平面直角坐标系中，函数3πcos 22x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（[02π]x ∈，）的图象和直线12y =的交点个数是（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．414．若cos 2sin 5αα+=-，则tan α=（ ）A ．12 B ．2C ．12- D ．2-15．函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是( )（A ）2π （B ）π （C ）32π （D ）2π16．函数f(x)=32cos 2sin x x--(02x π≤≤) 的值域是( ) （A ）[-22] (B)[-1,0] （C ）2,0]（D ）3,0]17．函数f (x 54cos x+(0≤x ≤2π)的值域是( )(A)[-11,44] (B)[-11,33] (C)[-11,22] (D)[-22,33] 二，填空题18．已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．19．设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数22sin 1sin 2x y x+=的最小值为 ． 20．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．若3)cos cos b c A a C-=，则cos A = ．21．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝三，解答题22．在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c，，，已知2c =，3C π=． （Ⅰ）若ABC △3a b ，； （Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．23．设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a B b A c -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值．24．设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，sin 4b A =．（Ⅰ）求边长a ；（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC△的周长l ．25．已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）求f （8π）的值；（Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.26．已知函数f (x )=sin2x ，g (x )=cos π26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，的图像分别交于M 、N 两点．（1）当π4t =时，求｜MN ｜的值； （2）求｜MN ｜在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时的最大值．27．求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x=-+-的最大值与最小值。
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2008年数学高考试题分类汇编
三角函数
一，选择题
1．函数sin ()sin 2sin
2
x
f x x
x =
+是（ ）A ．以4π为周期的偶函数 B ．以2π为周期的奇函数 C ．以2π为周期的偶函数 D ．以4π为周期的奇函数 2．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π
12个长度单位
B ．向右平移
5π
12个长度单位 C ．向左平移5π
6
个长度单位
D ．向右平移5π
6
个长度单位
3．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则
MN 的最大值为（ ）A ．1
B
C
D ．2
4．2
(sin cos )1y x x =--是（ ）A ．最小正周期为2π的偶函数
B ．最小正周期为
2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数
D ．最小正周期为π的奇函数 5．已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量
1)(cos sin )A A =-=，，m n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，
则角A B ，的大小分别为（ ）A ．ππ
63， B ．2ππ36， C ．ππ36
， D ．ππ
33
，
6
．已知πcos sin 6αα⎛⎫-
+= ⎪⎝
⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值是（ ） A
．5-
B
．
5
C ．45
-
D ．
45
7．()2
tan cot cos x x x +=( )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x
8
．若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是：( )
（Ａ）,32ππ⎛⎫
⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32
ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
9．设()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'
01f
=
（Ｄ）()'
00
f
=
10．ABC ∆的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若,22
a b A B =
=，则
cos B =( )（Ａ）
3 （Ｂ）4（Ｃ）5（Ｄ）6
11．把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3
π
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） （A ）sin(2)3y x π=-，x R ∈ （B ）sin()26x y π
=+，x R ∈
（C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)3
2y x π
=+，x R ∈
12．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7
c π
=，则（ ）
（A ）c b a << （B ）a c b << （C ）a c b << （D ）b a c <<
13．在同一平面直角坐标系中，函数3πcos 22x y ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
（[02π]x ∈，）的图象和直线12y =
的交点个数是（ ）A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
14．若cos 2sin αα+=tan α=（ ）A ．12 B ．2C ．1
2
- D ．2- 15．函数2
(sin cos )1y x x =++的最小正周期是( )（A ）2
π （B ）π （C ）32π （D ）2π
16．函数f(x)
02x π≤≤) 的值域是 ( )
（A ）[-
2
] (B)[-1,0] （C ）]
（D ）]
17．函数f (x
≤x ≤2π)的值域是( )
(A)[-
11,44
]
(B)[-11,
33] (C)[-11
,22
] (D)[-
22
,33
] 二，填空题
18．已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=+
>= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
，有最小值，无最大值，则ω＝__________．
19．设02x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．
20．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．若)cos cos c A a C -=，则cos A = ．
21．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝
三，解答题
22．在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3
C π=．
（Ⅰ）若ABC △，求a b ，；
（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．
23．设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5
a B
b A
c -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值．
24．设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，sin 4b A =． （Ⅰ）求边长a ；（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长l ．
25．已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且函数y
＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为
.2π（Ⅰ）求f （8π
）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移6
π
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到
原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.
26．已知函数f (x )=sin2x ，g (x )=cos π26x ⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
，直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，的图像分别交于M 、N 两点． （1）当π4t =时，求｜MN ｜的值； （2）求｜MN ｜在π02t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，时的最大值．
27．求函数2
4
74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。
28．已知函数2
2s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是
2
π
． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．
29．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60，c =3b.求： （Ⅰ）a
c
的值；（Ⅱ）cot B +cot C 的值.
30．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .已知2
2
2
b c a +=，求：
（Ⅰ）A 的大小;
（Ⅱ）2sin cos sin()B C B C --的值.
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