现代控制理论 第8章 非线性控制系统分析b

2.系统的零输入响应形式 线性系统的零输入响应形式与系统初始状态 的幅值无关 。某些非线性系统的零输入响应形式 与系统的初始状态有关。当初始状态不同时，同 一个非线性系统可能有不同的响应形式，如单调 收敛、振荡收敛或振荡发散等。
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3.自激振荡(极限环) 线性定常系统：例如典型二阶线性系统， 如果阻尼比=0，在初始状态的激励下，系统 的零输入响应为等幅周期振荡,其角频率 取 决于系统的参数，其振幅A与初始状态有关。 但是，实际的线性系统要维持振幅A和角频率 不变的等幅周期振荡是不可能的。一是系统的 参数会发生变化，即使很微小的变化，也将导 致 ≠0 ；二是假定系统的参数不变， ≡ 0 ， 然而，系统不可避免地会受到扰动，将使响应 的振幅A发生变化，因此，原来的等幅周期振 荡不复存在。
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负倒特性
N ( A)

B1 2k a a a [sin 1 ( ) 1 ( )2 ] A A A A
1 a a a [sin 1 ( ) 1 ( )2 ] A A A
1 N ( A) 2k
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2.死区特性的描述函数 单值奇函数，具有半周期的对称性
0, 0 ωt α 1 x(t ) k ( A sin ω t a), α 1 ω t 2
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1.描述函数法 一种等效线性化的图解分析方法，该方法对于满 足结构要求的非线性系统，通过谐波线性化，将非线 性特性近似为复变增益环节，然后推广应用频率法， 分析非线性系统的稳定性或自激振荡。 2.相平面法 一种图解分析方法，适用于具有严重非线性特性 的一阶、二阶系统，该方法通过在相平面绘制相轨迹 曲线，确定非线性微分方程在不同初始条件下解的运 动形式。
2 kA 2a 2a 2a k ( A sinω t a) sinω td(ω t )] [ sin 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) 2 ] 1 2 A A A B1 A1


x(t) sinω td(ω t) 2 [ k ( A sinω t a) sinω td(ω t )
非线性环节的描述函数总是输入信号幅值A的函数， 一般也是频率的函数，因此，描述函数一般记为
N ( A, j )
非线性元件的描述函数或等效幅相频率特性与输 入的正弦振荡的振幅A有关，这是非线性特性本质 的反映。它与线性环节的情况正好相反，线性环 节的幅相特性（频率特性）与正弦输入的幅值无 关。
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3
3.逆系统法 运用内环非线性反馈控制，构造伪线性 系统，以此为基础，设计外环控制网络，该方 法直接应用数学工具研究非线性控制问题，是 非线性系统研究的一个发展方向。但是，这些 方法主要是解决非线性系统的“分析”问题， 且以稳定性问题为主展开的。非线性系统的 “综合”方法的研究成果远不如稳定性问题研 究所取得的成果。
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2. 基本条件 a) 非线性特性是斜对称的，这样输出中的常值分
量为零； b) 线性部分具有较好的低通滤波特性，以衰减高 次谐波； c) 非线性特性不是时间函数，因为描述函数法本 质上是频率法的推广，而频率法对时变系统不 适用；
d) 系统中的非线性特性能简化为一个非线性环节。
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8.2.2 描述函数


42 B1 x (t ) sin ω td (ω t ) π 0
B1 4



2 k ( A sinω t
1
a) sinω td (ω t )
2kA a a a [ sin1 ( ) 1 ( ) 2 ] 2 A A A
N ( A)
2k a a a [ arcsin( ) 1 ( )2 ] π 2 A A A
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非线性系统的运动特点
由于描述非线性系统运动的数学模型为非 线性微分方程，叠加原理不再适用，因此非线 性系统的运动表现出以下特点：
1.稳定性分析复杂 2.系统的零输入响应形式 3.自激振荡(极限环) 4.频率响应
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1.稳定性分析复杂 在研究非线性系统的稳定性问题时，必须要 明确两点： a.指明给定系统的初始状态或输入信号 b.指明相对于哪一个平衡状态来分析系统的 稳定性。
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8.1.3 间隙特性
k e(t ) x(t ) k e(t ) bsigne (t ) x(t ) 0 x(t ) 0 x(t ) 0
式中: ε为间隙宽度
k为间隙特性斜率 危害：使系统输出信号在相位上产生滞后，从而降低系统的相对 稳定性，使系统产生自持振荡。 危害：使系统输出信号在相位上产生滞后，从而降低系统的相对 稳定性，使系统产生自持振荡。
功能：改善系统性能的切换元件
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8.2 描述函数法
8.2.1 描述函数法的基本思想与条件
8.2.2 描述函数 8.2.3 典型非线性特性的描述函数 8.2.4 用描述函数分析非线性系统的自激振荡
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8.2.1 描述函数法的基本思想与条件
1. 基本思想 描述函数法的基本思想是用非线性元件的输出信号中的基 波分量，代替非线性元件在正弦输入作用下的实际输出。 所以这种方法又称为一次谐波法。
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8.1 典型非线性特性
8.1.1 饱和特性
ke(t ) x (t ) kasigne t ) (
1 signe(t ) 1
e(t ) a e(t ) a
e(t ) 0 e(t ) 0
系统若有饱和非线性元件，它的开环增益会大幅度 地减小，从而导致系统的过渡过程时间增加和稳态 误差变大。
2.描述函数的求取
1）绘制输入—输出波形图，写出输入为 e(t ) A sin ω t 时非线性输出表达式
2）由波形图分析
x(t ) 的对称性，并计算
A1 B1 或
3）描述函数为
X1
1
B1 A1 X 1 j1 N ( A) j e A A A
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例
非线性元件的静特性方程为
1 1 x(t ) e(t ) [e(t )] 3 2 4
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有些非线性系统，在初始状态的激励下，可 以产生固定振幅和固定频率的周期振荡，这 种周期振荡称为非线性系统的自激振荡或极 限环。如果非线性系统有一个稳定的极限环， 则它的振幅和频率不受扰动和初始状态的影 响。
4.频率响应 在正弦输入信号作用下，非线性系统 呈现出一些在线性系统中见不到的特殊现象， 诸如跳跃谐振和多值响应、倍频振荡和分频 振荡、频率捕捉(跟踪)现象等。
1.描述函数的定义
A0 x(t ) 2
Ai 1 π
2
( A cosiω t B siniω t )
i i i 1

x(t) cosiω td(ω t)
0
1 Bi π
2
x(t) siniω td(ω t)
0
x1 (t ) A1 cost B1 sint X 1 sin( t 1 )
应当注意，调换串联环节的前后次序， 等效特性将会不同。
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8.2.3 典型非线性特性的描述函数
1.饱和特性的描述函数
kA sin t 0 ω t 1 x(t ) ka b 1 ω t 2
4 B1 [ kA sint sinω td (ω t ) ka sinω td (ω t )] π
x(t)奇函数，A1=0
1 B1
A
2

0
4 A A3 3 x(t ) sinω td(ω t ) [ sinω t sin ω t ] sinω td(ω t ) 2 4
2

0

2


0
A 3 3 (2 sin A sin )d A 2 16
2 2 4
N1
e
G(s)

c
N2
图8.7 两个非线性部件并联的系统
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（2）非线性环节的串联 当两个非线性环节串联时，则先将两个环节的特 性等效为一个特性，然后求总描述函数N(A)。图8.8 表示了死区特性与带死区的继电特性相串联的等效 非线性图形。
x b K M y x M y

=
s
图8.8 非线性环节串联及其等效特性
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8.1.2 死区特性
x(t )
0 x(t ) k e(t ) asigne(t )
e(t ) a e(t ) a
-a
0
k
e(t)
a
式中： a为死区宽度 k为线性区特性的斜率
死区非线性特性对系统的主要影响: 1）使系统的稳态误差增大。 2）死区能滤去从输入端引入的小幅值干扰信号， 提高系统抗扰动的能力。 3）使系统的输出在时间上滞后。
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8.1.4 继电器特性
m a e(t ) a, e(t ) 0 0 0 a e(t ) m a, e(t ) 0 x(t ) bsigne(t ) e(t ) a b e(t ) m a, e(t ) 0 b e(t ) m a, e(t ) 0
0
1


4kA 4ka sin2 d π π
0
1

2

2
1

sind
1

4kA 1 1 4ka ( sin 2 1 ) cos 1 2 4
a a a A[arcsin( ) 1 ( )2 ] A A A

2k
B1 2k a a a N ( A) [sin 1 ( ) 1 ( )2 ] A A A A
2

0 2 0