微分几何期末复习题

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微分几何练习题库及参考答案(已修改)

《微分几何》复习题与参考答案一、填空题1．极限232lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+．2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0lim(()())t f t g t →⋅= 0 ．3．已知{}42r()d =1,2,3t t -⎰， {}64r()d =2,1,2t t -⎰，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则4622()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅⎰⎰{}3,9,5-.4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t =212t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ⨯≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12．已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4()df g dt dt ⋅=⎰4cos 62-．13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ．16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为2111-=--=-z ee y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是方向(d) 与u －曲线的夹角.21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则drd t={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．23．已知{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ϕθϕθϕθϕ=，其中t =ϕ，2t =θ，则dr(,)d tϕθ={}sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+．24．设(,)r r u v =为曲面的参数表示，如果0u v r r ⨯≠，则称参数曲面是正则的；如果:()r G r G → 是一一对应的，则称曲面是简单曲面．25．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网． 26．平面{}r(,),,0u v u v =的第一基本形式为22d d u v +，面积微元为d d u v ．27．悬链面{}r(,)cosh cos ,cosh sin ,u v u v u v u =第一基本量是22cosh 0,cosh E u F G u ===，． 28．曲面z axy =上坐标曲线0x x =，0y y =的交角的余弦值是200222200(1)(1)a x a y ++.29．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的第一基本形式是2222d ()d u u b v ++． 30．双曲抛物面{}r(,)(),(),2u v a u v b u v uv =+-的第一基本形式是2222222222(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++．31．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的平均曲率为 0 ．32．方向(d)d :d u v =是渐近方向的充要条件是22()020n k d Ldu Mdudv Ndv =++=或． 33. 方向(d)d :d u v =和(δ)δ:δu v =共轭的充要条件是(,)0()0dr δr Ldu δu M du δv dv δu Ndv δv =+++=II 或．34.λ是主曲率的充要条件是0E L F MF MG Nλλλλ--=--．35.(d)d :d u v =是主方向的充要条件是22d d d d 00d d d d dv dudv du E u F v L u M vE F G F u G v M u N vL MN-++==++或． 36. 根据罗德里格斯定理，如果方向(d)(d :d )u v =是主方向，则n n dn k dr k =-，其中是沿方向(d)的法曲率．37．旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面．38．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线在P 点的测地曲率的绝对值等于(C )在P 点的切平面上的正投影曲线(C*)的曲率．39．,,g n k k k 之间的关系是222g n k k k =+．40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ． 41．正交网时测地线的方程为d ds du dsdv dsθθθ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩． 42．曲线是曲面的测地线，曲线(C )上任一点在其切平面的正投影曲线是直线 . 二、单项选择题1．已知{}(),,t t r t e t e -=，则r (0)''为（ A ）．A. {}1,0,1；B. {}1,0,1-；C. {}0,1,1；D. {}1,0,1-. 2．已知()()r t r t λ'=，λ为常数，则()r t 为（ C ）．A. ta λ；B. a λ；C. t e a λ；D. e a λ. 其中a 为常向量．3. 曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（ D ）．A ．切线与固定方向成固定角；B ．副法线与固定方向成固定角；C ．主法线与固定方向垂直；D ．副法线与固定方向垂直． 4. 曲面在每一点处的主方向（ A ）A ．至少有两个；B ．只有一个；C ．只有两个；D ．可能没有. 5．球面上的大圆不可能是球面上的（ D ）A ．测地线；B ．曲率线；C ．法截线；D ．渐近线．. 6. 已知{}r(,),,x y x y xy =，求(1,2)dr 为（ D ）．A. {}d ,d ,d 2d x y x y +；B. {}d d ,d d ,0x y x y +-；C. {}d -d ,d +d ,0x y x y ；D. {}d ,d ,2d d x y x y +. 7．圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =的切线与z 轴（ C ）.A. 平行；B. 垂直；C. 有固定夹角4π； D. 有固定夹角3π. 8．设平面曲线:()C r r s =，s 为自然参数，αβ,是曲线的基本向量．叙述错误的是（ C ）．A. α为单位向量；B. αα⊥；C. k αβ=-；D. k βατγ=-+. 9．直线的曲率为（ B ）．A. -1；B. 0；C. 1；D. 2.10．关于平面曲线的曲率:()C r r s =不正确的是（ D ）．A. ()()k s s α=；B. ()()k s s ϕ=，ϕ为()s α的旋转角；C. ()k s αβ=-⋅；D. ()|()|k s r s =.11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（ D ）．A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件. 12．下列论述不正确的是（ D ）．A. ,αβγ,均为单位向量；B. αβ⊥；C. βγ⊥；D. αβ. 13．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）．A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件. 14．2sin4),cos 1(),sin (t a z t a y t t a x =-=-=在点2π=t 的切线与z 轴关系为（ D ）． A. 垂直； B. 平行； C. 成3π的角； D. 成4π的角. 15．椭球面2222221x y z a b c++=的参数表示为（ C ）．A. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z ϕθϕθϕ=；B. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b ϕθϕθϕ=；C. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b c ϕθϕθϕ=；D. {}{},,cos cos ,sin cos ,sin 2x y z a b c ϕθϕθθ=.16．曲面{}2233(,)2,,r u v u v u v u v =-+-在点(3,5,7)M 的切平面方程为（ B ）．A. 2135200x y z +-+=；B. 1834410x y z +--=；C. 756180x y z +--=；D. 1853160x y z +-+=.17．球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R u v R u v R u =的第一基本形式为（ D ）．A. 2222(d sin d )R u u v +；B. 2222(d cosh d )R u u v +；C. 2222(d sinh d )R u u v +；D. 2222(d cos d )R u u v +. 18．正圆柱面{}(,)cos ,sin ,r u v R v R v u =的第一基本形式为（ C ）．A. 22d d u v +；B. 22d d u v -； C 222d d u R v +； D. 222d d u R v -.19．在第一基本形式为222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上，方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的弧长为（ B ）．A ． 21cosh cosh v v -；B ． 21sinh sinh v v -；C ． 12cosh cosh v v -；D ． 12sinh sinh v v -．20．设M 为正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）．A ． 0E =；B ． 0F =；C ． 0G =；D ． 0M =． 21．高斯曲率为零的的曲面称为（ A ）．A ．极小曲面；B ．球面；C ．常高斯曲率曲面；D ．平面． 22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ）．A ． 0；B ． 1；C ．2；D ． 3． 23．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（ B ）．A ．B ．C ．D ． 24．如果测地线同时为渐近线，则它必为（ A ）．A ．直线；B ．平面曲线；C ．抛物线；D ．圆柱螺线．三、判断题（正确打√，错误打×）1. 向量函数()r r t =具有固定长度，则()()r t r t '⊥. √2. 向量函数()r r t =具有固定方向，则()()r t r t '. √3. 向量函数()r t 关于t 的旋转速度等于其微商的模()r t '. ×4. 曲线Γ的曲率、挠率都为常数，则曲线Γ是圆柱螺线. ×5. 若曲线Γ的曲率、挠率都为非零常数，则曲线Γ是圆柱螺线. √6. 圆柱面{cos ,sin ,},r R R z θθ=z -线是渐近线. √7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. × 8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. √ 9. 等距变换一定是保角变换. √10. 保角变换一定是等距变换. × 11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. × 12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一． × 13. 若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线．√ 14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向． √ 15. 高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量． × 16. 曲面上的直线一定是测地线．√17. 微分方程A(,)B(,)0u v du u v dv +=表示曲面上曲线族. ×18. 二阶微分方程22(,)2(,)(,)0A u v du B u v dudv C u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. × 19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. √ 20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. √ 21. 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. × 22. 球面上的圆一定是测地线. × 23. 球面上经线一定是测地线. √ 24. 测地曲率是曲面的内蕴量. √ 四、计算题1．求旋轮线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的π20≤≤t 一段的弧长．解旋轮线{}()(sin ),(1cos )r t a t t a t =--的切向量为{}()cos ,sin r t a a t a t '=-，则在π20≤≤t 一段的弧长为：220()d 8s r t t t a ππ'===⎰⎰．2．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的切向量、主法向量、副法向量．解由题意知 {}()sin cos ,cos sin ,t t r t t t t t t t e te '=+-+， {}()2cos sin ,2sin cos ,2t t r t t t t t t t e te ''=---+，在原点，有 (0)(0,1,1),(0)(2,0,2)r r '''==，又 ()(), r r r r r r r r r r r αβ'''''''''⋅-⋅=='''''⋅⨯，r r r r γ'''⨯='''⨯，所以有22666333(0,,),(,,),(,,)3αβγ==-=-. 3．圆柱螺线为{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =，①求基本向量,,αβγ； ②求曲率k 和挠率τ.解 ①{}()sin ,cos ,r t a t a t b '=-，{}()cos ,sin ,0r t a t a t ''=--，又由公式()(), ,r r r r r r r r r r r r r r r αβγ''''''''''''⋅-⋅⨯===''''''''⋅⨯⨯ {}{}{}2222sin ,cos ,,cos ,sin ,0,sin ,cos ,a t a t b t t b t b t a a ba bαβγ∴=-=--=-++②由一般参数的曲率公式3()r r k t r '''⨯='及挠率公式2(,,)()r r r t r r τ''''''='''⨯ 有22a k a b =+，22b a b +=τ. 4．求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的切平面和法线方程．解 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，切平面方程为cos sin cos sin 00sin cos x u v y u v z bv v v u vu vb---=-，sin cos 0,b v x b u y uz buv ⇒⋅-⋅+-=法线方程为cos sin sin cos x u v y u v z bvb v b v u---==-． 5．求球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r a a a ϕθϕθϕθϕ=上任一点处的切平面与法线方程．解 {}sin cos ,sin sin ,cos r a a a ϕϕθϕθϕ=--， {}cos sin ,cos cos ,0r a a θϕθϕθ=-，312sin cos sin sin cos cos sin cos cos 0e e e r r a a a a a ϕθϕθϕθϕϕθϕθ⨯=--- {}2cos cos cos ,cos sin ,sin a ϕϕθϕθϕ=---∴ 球面上任意点的切平面方程为{}{}2cos cos ,cos sin ,sin cos cos cos ,cos sin ,sin 0,x a y a z a a ϕθϕθϕϕϕθϕθϕ---⋅---=即cos cos cos sin sin 0x y z a θϕϕθϕ⋅+⋅+⋅-=，法线方程为2(cos cos ,cos sin ,sin )cos (cos cos ,cos sin ,sin ),x a y a z a a ϕθϕθϕλϕϕθϕθϕ---=⋅---即cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin x a y a z a ϕθϕθϕϕθϕθϕ---==．6．求圆柱螺线cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(,0,0)a 处的密切平面. 解 (){sin ,cos ,1},r t a t a t '=-(){cos ,sin ,0},r t a t a t ''=--所以曲线在原点的密切平面的方程为00sin cos 10cos sin 0x a y z a t a t =a ta t------，即sin )(cos )sin 0t x t y az a t -+-=(.7．求旋转抛物面22()z a x y =+的第一基本形式．解参数表示为{}22(,),,()r x y x y a x y =+，{}1,0,2x r ax =，{}0,1,2y r ay =，2214x x E r r a x =⋅=+，24x y F r r a xy =⋅=，2214y y G r r a y =⋅=+，2222222(d ,d )(14)d 8d d (14)d x y a x x a xy x y a y y ∴=++++I ．8．求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的第一基本形式．解 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，1u u E r r =⋅=，0u v F r r =⋅=，22v v G r r u b =⋅=+，2222(d ,d )d ()d u v u u b v ∴=++I ．9．计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的第一、第二基本量．解 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，{}0,0,0uu r =，{}sin ,cos ,0uv r v v =-，{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--，{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j k r r v v b v b v u u v u v b⨯==--，sin ,cos ,u v u v b v b v u r r n r r -⨯==⨯， 1u u E r r =⋅=，0u v F r r =⋅=，22v v G r r u b =⋅=+， 0uu L r n =⋅=，2uv M r n b =⋅=-+，0vv N r n =⋅=．10．计算抛物面22z x y =+的高斯曲率和平均曲率．解设抛物面的参数表示为{}22(,),,r x y x y x y =+，则{}1,0,2x r x =，{}0,1,2y r y =，{}0,0,2xx r =，{}0,0,0xy yx r r ==，{}002yy r =，，，{}1022,2,1012x y i j kr r x x y y⨯==--，22,2,1||4x y x y r r x y n r r x ⨯--==⨯214x x E r r x =⋅=+， 4x y F r r xy =⋅=， 214y y G r r y =⋅=+，24xx L r n x =⋅=+， 0xy M r n =⋅=， 24yy N r n x =⋅=+，2222222222404441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++，2232222124422(441)GL FM EN x y HEG Fx y -+++=⋅=-++． 11. 计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =的高斯曲率. 解直接计算知1E =，0F =，22G u a =+，0L =，M =，0N =，222222()LN M a K EG F u a -∴==--+．12. 求曲面2z xy =的渐近线.解 2z xy =，则2z p y x∂==∂，2z q xy y ∂==∂，220zr x ∂==∂，22z s y x y ∂==∂∂，222zt x y ∂==∂ 所以，L =0， M =，N =20=，化简得(2)0dy ydx xdy +=， 020dy ydx xdy =+=或渐近线为y=C 1，x 2y =C 213. 求螺旋面{}cos ,sin ,r u v u v bv =上的曲率线. 解 u v r {cos ,sin v,0},r {u sin v,u cos v,b}v ==-2222u u v v E r 1,F r r 0,G r u b ,===⋅===+{}{}u vu v bsin v,bcos v,u bsin v,bcos v,u r r n r r bsin v,bcos v,u--⨯===⨯- {}{}{}uu uv vv r=0,0,0,r =sin v,cos v,0,r ucos v,usin v,0-=--，L 0,M N 0===曲率线的微分方程为:2222dv dudv du 10u b =00-+ 或du bu dv 221+±=积分得两族曲率线方程:12v ln(u c v u)c .=+=+和14. 求马鞍面22{,,}r u v u v =-在原点处沿任意方向的法曲率. 解 {1,0,2},{0,1,2}==-u v r u r v ，22214,4,14==+==-=+u u v E r u F r r uv G v2222(14)8(14)=+-++u du uvdudv v dv Ⅰu v 2u v 2u,2v,1r r n r r 4u -⨯==⨯ uu 2L nr 4u ==uv M n r 0,== vv 2N n r 4u ==22=-Ⅱ， n k =ⅡⅠ. 15. 求抛物面22()z a x y =+在(0,0)点的主曲率. 解曲面方程即22{,,()},=+r x y a x y{1,0,2},{0,1,2},==x y r ax r ay E(0,0)F(0,0)G(0,0)=1,=0,=1,{0,0,2},{0,0,0},{0,0,2}===xx xy yy r a r r a ，L(0,0)a M(0,0)N(0,0)=2,=0,=2a,代入主曲率公式，NN2a k 0002a k -=-，所以两主曲率分别为 12k k 2a == .16. 求曲面22{,,}r u v u v =+在点(1,1)的主方向.解 {}u r =,u 1,02,{},v r ,v =01,22214,4,14E u F uv G v =+==+(1,)5(1,)4(1,)5;E F G 1=,1=,1= 0,L M N ===2(1,1)(1,1),(1,1)0,3L N M === 代入主方向方程，得()()0du dv du dv +-=,即在点(1,1)主方向:1:1;:1:1du dv u v δδ=-=.17. 求曲面23(,){,,}r u v u v u v =+上的椭圆点，双曲点和抛物点．解由23{,,},r u v u v =+ 得{}u r =,u 1,02,{}2,v r ,v =01,3{}{}{}u u u v v v r =,r =,r =,v 0,02,0,00,0,06, 0,L M N ===2241241vLN M .u +9v +-=①v >0时，是椭圆点；②v <0时，是双曲点；③v =0时，是抛物点. 18. 求曲面32(,){,,}r u v v u u v =+上的抛物点的轨迹方程．解由32(,){,,},r u v v u u v =+ 得{}u r =u,0,21,{}2,v r v ,=30,1{}{}{}u u u v v v r =,r =,r =v ,0,20,0,00,6,00, 20,L M N ===令320LN M .-=得u =0 或v =0所以抛物点的轨迹方程为 {}r=v ,,v 30或{}0r=,u ,u 2. 19.求圆柱螺线(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =自然参数表示.解由(){cos ,sin ,},r t a t a t bt =得{sin ,cos ,}r a t a t b '=-， 2()r t a '=弧长(),t s t =⎰t =曲线的自然参数表示为(){sinr s a a =20. 求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.解设挠曲线为a a s =(),则主法线曲面为：r=a s v s ,β()+() 则,a =a=α',b ==-k βατγ'+a b =k,''-2,22b =k +τ' 所以腰曲线是222a b kr=a s s =a s s k b ββτ'''()-()()+()+ 21．求位于正螺面cos ,sin ,x u v y u v z av ===上的圆柱螺线00cos ,sin ,x u v y u v z av ===（0u =常数）的测地曲率．解因为正螺面的第一基本形式为2222d ()d u u a v =++Ι，螺旋线是正螺面的v -曲线0u u =，由2πθ=得d 0d s θ=．由正交网的坐标曲线的测地曲率得0220g u k u a==+．五、证明题1. 设曲线：(s),r r =证明：2()k -;r ,r ,r =k .ταγτ=⋅⑴⑵证明 ⑴由伏雷内公式，得=k =-,αβγτβ，两式作点积，得=-k =-k,αγτββτ⋅⋅k =-.ταγ∴⋅⑵r=r==k ,ααβ， 2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγ22()()()r ,r ,r =,k ,-k +k +k =,k ,k =k .αβαβτγαβτγτ∴2. 设曲线：(s),r r = 证明：3()()r ,r ,r =k k -k .ττ证明由伏雷内公式，得r==k αβ， 2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγ323()(2)r =-kk +-k +k-k +k +k ατβττγ232()(())(3()(2))r ,r ,r =k -k +k +k -kk +-k +k-k +k +k βαβτγατβττγ⨯3232()(3()(2))=k +k -kk +-k +k-k +k +k γταατβττγ33432=-k k +k k +k τττ3()=k k -k ττ3. 曲线()r r s =是一般螺线，证明1:r R ds αβΓ=-⎰也是一般螺线（R 是曲线的曲率半径）．证明 1r R ds αβ=-⎰，两边关于s 微商，得 11ds R R ds αααβ=+-1R R R αββ=+-R α=， 1αα∴，由于Γ是一般螺线，所以Γ也是一般螺线.4. 证明曲线(){sin (),s (),}(r t a t dt a co t dt bt a,b ϕϕ=⎰⎰是常数）是一般螺线．证明 (){sin (),cos (),},r t a t a t b ϕϕ'=(){()cos (),()sin (),0},r t a t t a t t ϕϕϕϕ''''=-2()(){cos (),sin (),0}(){sin ()cos ()0}r t a t t t a t t t ϕϕϕϕϕϕ''''''=-+-，,22(),r r a t a b ϕ''''⨯=+32()()r r r a b t ϕ'''''''=-,,，322(),r r a k t a b r ϕ'''⨯'==+'()222(),r r r b t a b r r τϕ'''''''==-+'''⨯,, k a bτ∴=- . 5．曲面S 上一条曲线(C), P 是曲线(C)上的正常点，n g k ,k ,k 分别是曲线(C)在点P 的曲率、法曲率与测地曲率，证明222n g k =k +k ．证明测地曲率()g k k k n βεβα=⋅=⋅⨯(,,)k n k n αβγ==⋅sin k .θ=± (θ是主法向量β与法向量n 的夹角)法曲率cos n k k n k βθ=⋅=，222n g k =k +k .∴6. 证明曲线{}cos ,sin ,0t t r e t e t =的切向量与曲线的位置向量成定角．证明对曲线上任意一点，曲线的位置向量为{}cos ,sin ,0t t r e t e t =，该点切线的切向量为：{}(cos sin ),(sin cos ),0t t r e t t e t t '=-+，则有：2cos 22t t r r r r e θ'⋅==='4π. 由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．7．证明：若r '和r ''对一切t 线性相关，则曲线是直线．证明若r '和r ''对一切t 线性相关，则存在不同时为0的(),()f t g t 使()()()()0f t r t g t r t '''+=，则 ,()()0, t r t r t '''∀⨯= 又3()r r k t r '''⨯='，故t ∀有()0k t =.于是该曲线是直线．8．证明圆柱螺线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 的主法线和z 轴垂直相交．证明由题意有{}{}()sin ,cos ,,()cos ,sin ,0r t a t a t b r t a t a t '''=-=--，由()()r r r r r r r r r β''''''''⋅-⋅=''''⋅⨯知{}cos ,sin ,0t t β=--. 另一方面z 轴的方向向量为{}0,0,1a =，而0a β⋅=，故a β⊥，即主法线与z 轴垂直．9．证明曲线t a z t t a y t a x cos ,cos sin ,sin 2===的所有法平面皆通过坐标原点．证明由题意可得{}()sin 2,cos2,sin r t a t a t a t '=-，则任意点的法平面为0)cos (sin )cos sin (2cos )sin (2sin 00000020=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 将点（0,0,0）代入上述方程有左边)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin 0(2sin 00000020t a t a t t a t a t a t a ---+-===0右边，故结论成立．10．证明曲线222132225,1x t+t ,y t t z t =+=-+=-为平面曲线，并求出它所在的平面方程. 证明 {}222132225,1r t+t ,t t t =+-+-，{}34210,2r +t,t t '=-+-，{}410,2r ,''=-，{}00,0r ,'''=(,,)0r r r ,''''''= 0τ=，所以曲线是平面曲线. 它所在的平面就是密切平面{}(0)32,0r ,'=-， {}(0)410,2r ,''=-密切平面方程为12132004102x y z -=-－－－，化简得其所在的平面方程是2x +3y +19z –27＝0.11. 证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.证明设曲线方程()r r s =，定点的向径为0R ，则0()()r s R s λα-=两边求微商，得()()()()s s s s k αλαλαλαλβ=+=+(1())()0s s k λαλβ--= 由于,αβ线性无关，∴100k λλ⎧-⎨⎩＝＝∴ k ＝0曲线是直线.12. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线.证明取定点为坐标原点，曲线的方程为 ()r r t =，则曲面在任一点的密切平面方程为 ((),(),())0r t r t r t ρ'''-=因任一点的密切平面过定点，所以((),(),())0o r t r t r t '''-=, 即 ((),(),())0r t r t r t '''=所以 ()r r t =平行于固定平面，所以 ()r r t =是平面曲线. 13. 若一条曲线的所有法平面包含非零常向量e ，证明曲线是直线或平面曲线.证明根据已知条件，得0.............e α⋅=①，①两边求导，得 0e α⋅=，由伏雷内公式得 0k e β⋅=，ⅰ)0k =，则曲线是直线；ⅱ)0e β⋅= 又有①可知 γ‖e因e 是常向量，所以γ是常向量，于是 ||||0,τγ== 所以0τ= ，所以曲线为平面曲线.14. 设在两条挠曲线,ΓΓ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.证明 γγ±１２＝ , 21ds ds γγ±１２＝由伏雷内公式得211ds ds τβτβ±１２２＝12ββ∴±= 进而12αα=± 15. 证明挠曲线（0τ≠）的主法线曲面是不可展曲面.证明设挠曲线为()r r s =，则挠率0τ≠，其主法线曲面的方程是：()()r s t s ρβ=+ 取(),()a r s b s β==，则(),()k a s b s αβατγ''===-＋所以, (,,)((),(),k )((),(),k )((),(),)0a b b s s s s s s αβατγαβααβτγτ''=-=-≠＋＋＝所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面.16. 证明挠曲线（0τ≠）的副法线曲面是不可展曲面.证明设挠曲线为()r r s =，则挠率0τ≠，其副法线曲面的方程是：()()r s t s ργ=+取(),()a r s b s γ==，则(),()a s b s αγτβ''===-所以, (,,)((),(),)0a b b s s αγτβτ''=-=≠，所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面.17. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证明设曲线r r(s),＝则曲线的主法线曲面为r r s +v s β=()() ,s r v k vk v αατγατγ++=+（-）=(1-) ()v r =s β,s v s v r r n==r r vk ⨯⨯（1-）-（1- 沿曲线（v ＝0）n=γ，所以主法向量与曲面的法向量夹角,2πθ=n cos 0,k k θ==所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线.18. 证明二次锥面{cos ,sin ,}r au bu cu θθ=沿每一条直母线只有一个切平面.证明 {cos ,sin ,}{cos ,sin ,}0()θθθθϕθ===+r au bu cu u a b c u 为直纹面(0,(),()0ϕθϕθ'=）, 所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面.也可以用高斯曲率K =0证明. 19. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，求证Γ是一平面曲线. 证明设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角θ0，则cos γθ0ｎ＝两边求微商，得 0γγｎ＋ｎ＝由于曲线Γ是曲率线，所以αｎ，进而0γｎ＝，由伏雷内公式得0τβ－ｎ＝⑴0τ＝时，Γ是一平面曲线⑵n 0β＝，即n β⊥，n kcos =0k θ=，又因为Γ是曲率线，所以0n dn k dr =-=即n 是常向量，所以Γ是平面曲线.20．求证正螺面上的坐标曲线（即u -曲线族v -曲线族）互相垂直．证明设正螺面的参数表示是{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =，则{}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，{}{}cos ,sin ,0sin ,cos ,0u v r r v v u v u v b ⇒⋅=⋅-=，故正螺面上的坐标曲线互相垂直．21. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证明由欧拉公式2212cos sin θθ=+n k k k*n 1in ππθθ=±-±-k k 222cos （）+k s （）221in cos k θθ=222s +k 所以*n n 12k k k k +=+＝常数.22. 如果曲面上非直线的测地线Γ均为平面曲线，则Γ必是曲率线.证明因为曲线Γ是非直线的测地线，所以沿此曲线有,β=±n从而(),κατγ=±-+n 又因为曲线是平面曲线，所以0,τ=进一步n κα=±.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线.23. 证明在曲面()()z f x f y =+上曲线族x =常数，y =常数构成共轭网.证明曲面的向量表示为 {}(,),,()(),r x y x y f x f y =+x =常数,y =常数是两族坐标曲线.{1,0,}x r f '=,{0,1,}y r g '=.{0,0,},{0,0,0},{0,0,},xx xy yy r f r r g ''''=== 因为0xy r r M r EG ⨯=⋅=-,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x =常数, y =常数构成共轭网.24．证明马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．证明参数表示为{}(,),,r x y x y xy =，则{}1,0,x r y =，{}0,1,y r x =，{}0,0,0xx r =，{}0,0,1xy r =，{}0,0,0yy r =，{},,1x y r r y x ⨯=--，2,,1||x yx y r r y x n r r x ⨯--==⨯+ 0xx L r n =⋅=， 2xy M r n x =⋅=+0yy N r n =⋅=， 222221100011LN M x y x y ∴-=⨯-=-<++++，故马鞍面z xy =上所有点都是双曲点． 25．如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即(d ,d )(d ,d )u v u v II I 与方向无关，则称该点是曲面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的．证明设球面的参数表示为{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R v u R v u R v =，则{}cos sin ,cos cos ,0u r R v u R v u =-，{}sin cos ,sin sin ,cos v r R v u R v u R v =--，{}cos cos ,cos sin ,0uu r R v u R v u =--，{}sin sin ,sin cos ,0uv vu r r R v u R v u ==-，{}cos cos ,cos sin ,sin vv r R v u R v u R v =---，22cosu u E r r R v =⋅=，0u v F r r =⋅=，2v v G r r R =⋅=，2cos L Rv ==-，0M ==，N R ==-， 1(,,)(,,)L M N E F G R∴=-，故球面是全脐的． 26．证明平面是全脐的．证明设平面的参数表示为{}(,),,0r x y x y =，则{}1,0,0x r =，{}0,1,0y r =，{}0,0,0xx r =，{}0,0,0xy r =，{}0,0,0yy r =， 1x x E r r =⋅=，0x y F r r =⋅=，1y y G r r =⋅=，0xx L r n =⋅=，0xy M r n =⋅=，0yy N r n =⋅=(,,)0(,,)L M N E F G ∴=，故平面是全脐的．27．证明曲面3x y z +=的所有点为抛物点．证明曲面的参数表示为{}1/3(,),,()r x y x y x y =+，则{}2/3131,0,()x r x y -=+， {}2/3130,1,()y r x y -=+， {}5/3230,0,()xx r x y -=-+，{}5/3290,0,()xy r x y -=-+， {}5/3290,0,()yy r x y -=-+， {}2/32/31133(),(),1x y r r x y x y --⨯=-+-+， ||x y x y r r n r r ⨯=⨯，{}5/3290,0,()xx L r n x y n -=⋅=-+⋅，{}5/3290,0,()xy M r n x y n -=⋅=-+⋅， {}5/3290,0,()yy N r n x y n -=⋅=-+⋅ 20LN M ⇒-=， ∴曲面3x y z +=的所有点为抛物点．28．求证正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =是极小曲面．证明 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v a =-， {}0,0,0uu r =，{}sin ,cos ,0uv r v v =-，{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--，{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j kr r v v a v a v u u v u v a⨯==--， 22sin ,cos ,||u v u v a v a v u r r n r r a u -⨯==⨯+， 1u u E r r =⋅=，0u v F r r =⋅=，22v v G r r a u=⋅=+， 0uu L r n =⋅=，2uv M r n a =⋅=-，0vv N r n =⋅=，21210,22EN FM GL H EG F -+∴=⋅==-故正螺面是极小曲面． 29. 圆柱面{cos ,sin ,}r a u a u v =上的纬线是测地线．证明由{cos ,sin ,},r a u a u v ={sin ,cos ,0}u r -a u a u =，{0,0,1}v r =，2,0, 1.E a F G ===g d k ds θθθ=-，纬线是u -线，此时0θπ=或， 0.g k ∴= 所以，纬线是测地线．30．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点．证明 1202k k H +==， 12k k ∴=-， 21220K k k k ∴=⋅=-≤ 当0K =时，120k k ==， ∴极小曲面的点都是平点；当0K <时，极小曲面的点都是双曲点．31. 证明 (1)如果测地线同时是渐近线，则它是直线；(2)如果测地线同时是曲率线，则它一定是平面曲线. 证明 (1) 因为曲线是测地线，所以0=g k ，曲线又是渐近线，所以，0=n k ，而222=+n g k k k ，所以k=0，故所给曲线是直线. (2) 证法1 因曲线是测地线，所以沿此曲线有βn ，所以βdn ，又曲线是曲率线，所以αdn dr ，所以(k )ατγα-+，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线. 证法2 因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有,,n n βα 而γαβ=⨯，所以,n γα=±⨯从而()(0)0n n k n γααβ=±⨯+⨯=±-⨯+=，又γτβ=-，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线.。

微分几何期末试题及答案

微分几何期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪一项不是微分几何的研究对象？A. 流形B. 曲线C. 曲面D. 代数方程2. 在微分几何中，下列哪个概念是用来描述曲线的弯曲程度？A. 切线B. 曲率C. 法向量D. 微分3. 给定一个曲面上的点，其邻域内的所有点都可以通过该点的哪种向量场来到达？A. 切向量B. 法向量C. 零向量D. 任意向量4. 以下哪个是微分几何中研究曲面局部性质的重要概念？A. 拓扑B. 度量C. 群论D. 线性代数5. 在曲面上，高斯曲率的计算公式是什么？A. K = R/(2π)B. K = R^2/(2π)C. K = det(II - e^(-2u) * I)D. K = det(I - e^(-2u) * II)6. 以下哪个是微分几何中研究曲面全局性质的重要概念？A. 曲率B. 度量C. 测地线D. 向量场7. 给定一个流形，其上的每一个点都有一组局部坐标，这组坐标被称为该点的什么？A. 切向量B. 法向量C. 坐标图D. 邻域8. 在微分几何中，哪种类型的曲面可以通过一个平面曲线的旋转来生成？A. 圆柱面B. 抛物面C. 双曲面D. 椭球面9. 以下哪个是微分几何中研究曲面上最短路径的概念？A. 测地线B. 切线C. 法线D. 曲率10. 微分几何中的“黎曼几何”主要研究的是什么类型的几何结构？A. 欧几里得空间B. 黎曼流形C. 仿射空间D. 射影空间二、简答题（每题10分，共40分）11. 请简述什么是流形，并给出一个具体的例子。

12. 解释什么是度量张量，并说明它在微分几何中的作用。

13. 描述一下什么是测地线，并说明它在曲面上的性质。

14. 阐述高斯绝妙定理（Gauss's Theorema Egregium）的意义及其在微分几何中的重要性。

三、解答题（每题15分，共30分）15. 给定一个曲面上的两点A和B，证明通过A点的任意一条测地线都可以延伸到B点。

微分几何期末复习题

52.曲面上，曲线(C )在P点的基本向量是，曲面在P点的单位法向量，则在P点沿切向的测地曲率 ()
A. ；B. ；C. ；D. 。
53.若在曲面上一点 ,则曲面在该点的高斯曲率K()
A.>0；B.< 0；C.= 0；D.符号不确定。
54.对于圆柱面，以下结论不正确的是()
A.坐标网是正交网；B.沿同一直母线的切平面是同一个；
C.其上高斯曲率为零；D.其上没有抛物点。
55.曲面是其单位法向量，下列第二类基本量的计算中，不正确的是()
A. ；B. ；C. ；D. 。
56.球面上的大圆不可能是球面上的()
A.测地线；B.曲率线；C.法截线；D.渐近线。
45．曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是。
38．曲面上的曲纹坐标网为正交网的充要条件是。
46．极小曲面是指的曲面。
47．曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的的最大值和最小值.
48．两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是。
49．设曲面在点P处有两个同号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的。
34.已知曲面的第二类基本量L、M、N，则曲面上渐近曲线的微分方程是。
35.若曲面的第一基本形式为，曲面在一点的切向与u -线的夹角为 ,则曲面在这点沿切方向的测地曲率 =。
36.挠率的曲线其副法向量是常向量。
37.曲线在点的主法向量是，则曲线在P点的从切平面方程是。
38.曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是
A.直线；B.平面曲线；C.抛物线；D.圆柱螺线。
33.在伪球面上，任何测地三角形的内角之和()
A.等于；B.小于；C.大于；D.不能确定。

(完整版)微分几何期末1..

1、等距变换一定是保角变换（×）2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√）3、二阶微分方程A(u,v)du2B(u,v)dudv B(u,v)dv0总表示曲面上两族曲线。

（×）224、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的（×）5、坐标曲线网是正交网的充要条件是F0,这里F是第一基本量（√）6、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。

（√ )7、空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置。

(×）8、在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向.（√ )9、LN-M2不是内蕴量。

(×）10、高斯曲率恒为零的曲面一定是可展的。

(√）11、曲线r=....r（s）为一般螺线的充要条件为（r，r,r）=0（√）12、主法向量正向总是指向曲线凹入的方向.(√）13、不存在两条不同曲线,使得一条曲线的主法线都是另一曲线的主法线.（×)14、曲面上平点对应的杜邦指标线是一条直线。

（× )15、每一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线的切线曲面。

（√）16、椭圆的曲率和挠率特征为k=1,τ=0。

(×)17、若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线。

(√ )18、球面曲线的主法线必过球心（×）19、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0。

（×)20、曲面上的渐进网一定存在。

（×）21、在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一.（√)22、圆的曲率、挠率特征是：k=常数，τ=0. (×）23、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。

（√）24、高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量. (×)25、曲面上连接两点的最短线一定是测地线。

(×)26、在空间曲线的非逗留点处,密切平面存在且唯一。

（√ )27、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。

微分几何期末复习题答案

微分几何期末复习题答案1. 曲面上的切向量和法向量的定义是什么？答：曲面上的切向量是与曲面在某点相切的向量，而法向量是垂直于该点切平面的向量。

2. 描述高斯曲率和平均曲率的计算方法。

答：高斯曲率是曲面上某点的主曲率的乘积，平均曲率是主曲率的平均值。

3. 什么是黎曼曲率张量？答：黎曼曲率张量是描述流形曲率的数学对象，它通过测量无穷小测地线之间的偏差来定义。

4. 请解释什么是测地线？答：测地线是在曲面或流形上两点间的最短路径，它是连接这两点的局部最小化曲线。

5. 什么是平行移动？答：平行移动是指在曲面或流形上沿着曲线移动一个向量，使得该向量在移动过程中保持不变。

6. 描述Christoffel符号的作用。

答：Christoffel符号用于描述在曲面或流形上如何沿着曲线平行移动向量，它们是黎曼几何中的基本组成部分。

7. 什么是度量张量？答：度量张量是一个对称张量，它定义了曲面或流形上两点间的距离和角度。

8. 请解释什么是联络形式？答：联络形式是描述在曲面或流形上如何平行移动向量的一种数学工具，它们与Christoffel符号紧密相关。

9. 什么是外微分？答：外微分是一种将微分几何中的函数或形式映射到更高阶形式的操作。

10. 描述Hodge星算子的作用。

答：Hodge星算子是一种将微分形式映射到其对偶形式的线性映射，它在微分几何和拓扑学中有着重要应用。

11. 什么是流形上的拉普拉斯-贝特拉米算子？答：拉普拉斯-贝特拉米算子是定义在流形上的一个微分算子，它推广了欧几里得空间中的拉普拉斯算子。

12. 请解释什么是特征类？答：特征类是拓扑不变量，它们通过将流形上的向量丛与某些代数结构联系起来，提供了关于流形拓扑性质的信息。

13. 描述什么是测地线曲率？答：测地线曲率是描述测地线如何偏离直线的量度，它是衡量流形曲率的一种方式。

14. 什么是全纯曲线？答：全纯曲线是复流形上的一类特殊曲线，它们在复坐标系下保持全纯性。

微分几何复习题

第一章曲线论一、单项选择题1、过点0r 且以非零向量a 为方向的直线方程为A 、 00 =-⨯r a rB 、0)(0 =⨯-r a rC 、0)(0=⋅-a r rD 、0)(0 =⨯-a r r 2、已知向量b a ⊥，则必有； A 、 0 =⋅b a B 、 b a λ= C 、0 =⨯b a D 、 0=⋅b a 3、设s , r 分别是可微的向量函数,则以下运算正确的是； A 、s r s r ⋅'='⋅)( B 、s r s r s r '⋅+⋅'='⋅ )( C 、s r s r ⨯'='⨯)( D 、r s r s s r '⨯+⨯'='⨯ )( 4、过0r 且垂直于非零向量n 的平面方程是A 、0)(0=⋅-n r rB 、 0)(0 =⨯-n r rC 、n v r r =-0D 、0)(0=⋅-r n r 5、设)(),(),(t u t s t r 分别是可微的向量函数,则='),,(u s r ； A 、u s r '⨯⋅ )( B 、u s r '⋅⨯ )( C 、)',','(u s r D 、),,(),,(),,(u s r u s r u s r '+'+'6、单位向量函数)(t r 关于t 的旋转速度等于A 、)('t rB 、)(''t rC 、)('t rD 、 )(''t r7、向量函数)(t r r=具有固定方向的充要条件是； A 、1)(=t r B 、1)('=t r C 、 0)(')( =⨯t r t r D 、 o t r t r =⋅)(')(8、向量函数)(t r r =具有固定长的充要条件是；A 、0)(')(=⋅t r t rB 、0)()(' =⨯t r t rC 、1)(=t rD 、1)('=t r9、星形线t a y t a x 33sin ,cos ==上对应于t 从0到π的一段弧的长等于；A 、aB 、a 2C 、a 3D 、 a 6 10、已知向量b a //，则必有；A 、 0 =⨯b aB 、 b a λ=C 、0 =⋅b aD 、 0=⋅b a11、在曲线的正常点处,曲线的切线和主法线所确定的平面是曲线上该点的；A 、法平面B 、切平面C 、密切平面D 、从切平面12、平面曲线的曲率或挠率特征是；A 、曲率0≡κB 、曲率∞≡κC 、挠率)0(≠=c c τD 、挠率0≡τ13、设圆的半径为R ，则圆上每一点的曲率都是；A 、0B 、1C 、RD 、R1 14、如果一条曲线的密切平面固定，则此曲线是；A 、平面曲线B 、挠曲线C 、一般螺线D 、直线15、设曲线)(t r r =的自然参数方程为)(s r r=，则曲线在任一点的单位切向量是；A 、)(t rB 、)(s rC 、 dt r dD 、 dsr d 16、曲率恒等于零的曲线是；A 、平面曲线B 、直线C 、挠曲线D 、一般螺线17、圆柱螺线},sin ,{cos t t t r = ，在点π=t 的切线方程是；A 、1101π-=-=+z y xB 、1111π-=-=+z y xC 、1101z y x =-=+ D 、0=-+-πz y 18、对于一般螺线，下列命题成立的个数是；① 切线和固定方向作固定角 ②主法线与一个固定方向垂直 ③曲率和挠率的比等于一个常数 ④副法线与一个固定方向作固定角A 、二个B 、三个C 、四个D 、五个19、下列不是一般螺线性质的是；A 、切线和固定方向作固定角B 、主法线与一个固定方向垂直C 、曲率和挠率的积等于一个常数D 、副法线与一个固定方向作固定角E 、曲率和挠率的比等于一个常数20、如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么此曲线是；A 、球面曲线B 、圆C 、平面曲线D 、直线21、空间曲线c 上正则点P 的切线和该点邻近点Q 的平面π，当点Q 沿曲线趋于点P 时，平面π的极限位置称为曲线的点的；A 、密切平面B 、法平面C 、切平面D 、从切平面二、填空题1、设曲线)(t r r =的自然参数方程为)(s r r =，则曲线在任一点的单位切向量是；2、向量函数)(t r 是区间],[b a 上的连续函数,则=⎰])([x adt t r dx d ； 3、直线{}t t t t r 3,2,)(= 的自然参数方程是；4、设曲线参数方程)(s r r =，则参数s 是自然参数的充要条件是；5、最贴近曲线的直线是、最贴近曲线的平面是；6、若空间曲线)(t r r =上的密切平面都垂直于一固定向量e ，则该曲线是；7、空间曲线是直线的充要条件是；8、若空间曲线)(t r r =满足0),,(=''''''r r r ，则该曲线是；9、曲线)(t r r =上的点都是正常点，则必有；10、曲线)(c 上所有点都是正常点时,则称该曲线)(c 为 .11、空间曲线的自然方程是；12、 )(t r 具有固定长的充要条件是；13、)(t r 具有固定方向的充要条件是；14、空间曲线是平面曲线的充要条件是；15、平面曲线在某点邻近的形状由曲线在该点的决定.16、空间曲线在某点邻近的形状由曲线在该点的决定.17、圆柱螺线{}t t t t r ,sin ,cos )(= 在点（1，0，0）处的切线方程是；18、曲线{}t t t t r 5,sin 3,cos 3)(= 上的每一点都是；19、由曲线上一点的主法线与副法线构成的平面是曲线在这点的；20、由曲线上一点的切线与副法线构成的平面是曲线在这点的；21、设圆的半径为R ，则圆上每一点的曲率（按顺时针方向）都是；22、切线和固定方向作固定角的曲线称为；23、圆柱螺线},sin ,cos {bt t a t a r = 的自然参数表示为；24、若曲线b t a t r r ≤≤=),(中的函数是连续可微的函数，则曲线为；25、按照椭圆点、双曲点、抛物点进行分类，可展曲面上的点都是点。

微分几何期末试题及答案

微分几何期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 曲线在点处的切线方程为，若，则该点处的曲率是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 若函数在点处可微，则在该点处的切平面方程为（）。

A.B.C.D.答案：D3. 曲面在点处的法向量为，若，则该点处的高斯曲率是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C4. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的曲率是（）。

A.B.C.D.答案：A5. 若函数在点处的梯度为，则在该点处的方向导数是（）。

A.B.C.D.答案：B6. 曲面在点处的主曲率分别为，则该点处的平均曲率是（）。

A.B.C.D.答案：A7. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的挠率是（）。

A.B.C.D.答案：B8. 若函数在点处的Hessian矩阵为，则在该点处的二阶偏导数是（）。

A.B.C.D.答案：D9. 曲面在点处的切平面方程为，则该点处的法向量是（）。

A.B.C.D.答案：C10. 若函数在点处的Jacobi矩阵为，则在该点处的偏导数是（）。

A.B.C.D.答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 曲线在点处的挠率定义为______。

答案：曲线在点处的挠率定义为。

2. 若函数在点处的偏导数为0，则称该点为函数的______。

答案：临界点。

3. 曲面在点处的高斯曲率定义为______。

答案：曲面在点处的高斯曲率定义为。

4. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的切向量为______。

答案：曲线在点处的切向量为。

5. 若函数在点处的梯度为，则在该点处的方向导数为______。

答案：函数在点处的方向导数为。

三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知曲线的参数方程为，求曲线在点处的切线方程。

答案：首先求出曲线的导数，然后利用点斜式方程求得切线方程。

2. 已知函数在点处的梯度为，求在该点处沿向量方向的方向导数。

答案：首先求出向量的单位向量，然后利用方向导数的定义求得结果。

微分几何练习题库及参考答案（已修改）

微分⼏何练习题库及参考答案（已修改）《微分⼏何》复习题与参考答案⼀、填空题1．极限232lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+．2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0lim(()())t f t g t →?=0．3．已知{}42r()d =1,2,3t t -?，{}64r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则46()()a r t dt+b a r t dt={}3,9,5-.4526.贴近”空间曲线的直线和平⾯分别是该曲线的___切线___7.曲率恒等于零的曲线是_________________.8.9.切线（副法线）和固定⽅向成固定⾓的曲线称为⼀般螺线3αβ=，则曲线在0≠，则(,u v 12．()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ．曲线{()cosh r t a =曲线{()cos r t a =设曲线:C x e =17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线⽅程为11-==-z y x . 18.曲⾯的曲纹坐标⽹是曲率线⽹的充要条件是____F =M =0_______________.19.u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分⽅程是_____E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20.在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是⽅向(d)与u －曲线的夹⾓.21.曲⾯的三个基本形式,,I II III 、⾼斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I =. 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则drd t={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．23．已知{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=，其中t =?，2t =θ，则dr(,)d tθ={}sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+．24．设(,)r r u v =为曲⾯的参数表⽰，如果0u v r r ?≠，则称参数曲⾯是正则的；如果:()r G r G →是⼀⼀对应的，则称曲⾯是简单曲⾯．25．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标⽹为正规坐标⽹． 26．平⾯{}r(,),,0u v u v =的第⼀基本形式为22d d u v +，⾯积微元为d d u v ．27．悬链⾯{}r(,)cosh cos ,cosh sin ,u v u v u v u =第⼀基本量是22cosh 0,cosh E u F G u ===，． 2829224)d b v u +31{cos ,u v =32(d)d :d u v =和34.是主曲率的充要条件是35. 根据罗德⾥格斯定理，如果⽅向n n dn k dr k =-，其中是沿⽅向37旋转曲⾯中的极⼩曲⾯是平⾯或悬链⾯．38．测地曲率的⼏何意义是曲⾯S 上的曲线在P 点的测地曲率的绝对值等于(C )在P 点的切平⾯?上的正投影曲线(C*)的曲率． 39．,,g n k k k 之间的关系是222g n k k k =+．40．如果曲⾯上存在直线，则此直线的测地曲率为0． 41．正交⽹时测地线的⽅程为d ds du ds dv dsθθθ． 42．曲线是曲⾯的测地线，曲线(C )上任⼀点在其切平⾯的正投影曲线是直线. ⼆、单项选择题12其中a 为常向量．3.是⼀般螺线，以下命题不正确的是（．切线与固定⽅向成固定⾓；4.5．曲率线；C ．法截线； 6.(1,2)dr 为（C.{d -d ,d x y x d ,d ,2d x y x +7圆柱螺线{cos ,sin r t =8C ）．A.α为单位向量；B.αα⊥；C.k αβ=-；D.k βατγ=-+. 9．直线的曲率为（B ）．A.-1；B.0；C.1；D.2.10．关于平⾯曲线的曲率:()C r r s =不正确的是（D ）．A.()()k s s α=；B.()()k s s ?=，?为()s α的旋转⾓；C.()k s αβ=-?；D.()|()|k s r s =.11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（D ）．A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件. 12．下列论述不正确的是（D ）．A.,αβγ,均为单位向量；B.αβ⊥；C.βγ⊥；D.αβ. 13．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）．A.充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D. 充要条件. 56x y z +--球⾯{(,)r u v R =2(d sinh d u u v +正圆柱⾯{(,)r u v R =在第⼀基本形式为的曲线段的弧长为（B ）．A ．21cosh cosh v v -；B ．21sinh sinh v v -；C ．12cosh cosh v v -；D ．12sinh sinh v v -．20．设M 为正则曲⾯，则M 的参数曲线⽹为正交曲线⽹的充要条件是（B ）．A ．0E =；B ．0F =；C ．0G =；D ．0M =． 21．⾼斯曲率为零的的曲⾯称为（A ）．A ．极⼩曲⾯；B ．球⾯；C ．常⾼斯曲率曲⾯；D ．平⾯．22．曲⾯上直线（如果存在）的测地曲率等于（A）．A．0；B．1；C．2；D．3．23．当参数曲线构成正交⽹时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（B）．；B．AC．A．直线；B．平⾯曲线；C．抛物线；D．圆柱螺线．1.2.()r t.√r t'.×3.()r t关于t的旋转速度等于其微商的模()4.的曲率、挠率都为常数，则曲线Γ是圆柱螺线5.的曲率、挠率都为⾮零常数，则曲线是圆柱螺线6.7.8.两个曲⾯间的变换等⾓的充要条件是它们的第⼀基本形式成⽐例9.16.19.坐标曲线⽹是正交⽹的充要条件是0F=，这⾥F是第⼀基本量.√20.⾼斯曲率恒为零的曲⾯必是可展曲⾯.√21.连接曲⾯上两点的所有曲线段中，测地线⼀定是最短的.×22.球⾯上的圆⼀定是测地线.×23.球⾯上经线⼀定是测地线.√24.测地曲率是曲⾯的内蕴量.√四、计算题1．求旋轮线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的π20≤≤t ⼀段的弧长．解旋轮线{}()(sin ),(1cos )r t a t t a t =--的切向量为{}()cos ,sin r t a a t a t '=-，则在π20≤≤t ⼀段的弧长为：220()d 8s r t t t a ππ'===??．2．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的切向量、主法向量、副法向量．解由题意知 {}()sin cos ,cos sin ,t t r t t t t t t t e te '=+-+，{}()2cos sin ,2sin cos ,2t t r t t t t t tt e te ''=---+，, r r r r β='''''??，r r γ='''，所以有22666333(0,,),(,,),(,,)223663αβγ==-=-. 3圆柱螺线为{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =，}sin ,cos ,t a t b {}()cos ,sin ,0r t a t a t =--()(), ,r r r r r r r r r r r r r r r αβγ''''''''''''?-??===''''''''②由⼀般参数的曲率公式3()r r k t r '''?='及挠率公式2(,,)()r r r t r r τ''''''='''b +4求正螺⾯{(,)r u v u =解{cos ,sin u r v =，{sin v r u =-cos v 法线⽅程为cos sin sin cos x u v y u v z bvb v b v u-． 5．求球⾯{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r a a a ?θ?θ?θ?=上任⼀点处的切平⾯与法线⽅程．解{}sin cos ,sin sin ,cos r a a a ??θ?θ?=--，{}cos sin ,cos cos ,0r a a θ?θ?θ=-，∴球⾯上任意点的切平⾯⽅程为即cos cos cos sin sin 0x y z a θ??θ??+?+?-=，法线⽅程为即cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin x a y a z a ?θ?θ?θ?θ?---==．6．求圆柱螺线cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(,0,0)a 处的密切平⾯. 解(){sin ,cos ,1},r t a t a t '=-(){cos ,sin ,0},r t a t a t ''=--所以曲线在原点的密切平⾯的⽅程为即sin )(cos )sin 0t x t y az a t -+-=(.7．求旋转抛物⾯22()z a x y =+的第⼀基本形式．228求正螺⾯}(,,sin ,r u v u v bv 的第⼀基本形式． 1u r =，F 2v v r r u b ?=+．9．计算正螺⾯{cos ,u v u =}cos ,sin ,0v v ，{}sin ,cos ,u v u v b =-，}0,0,0，{}uv r =，{cos vv r u =-}cos sin cos ,sin cos u v i j k r r v v b v u v u v b=-{sin u v u v b r r n r r b u==+1u u E r r ==，0u v F r r ?=，G 0uu r n ?=，2uv M uN r =．计算抛物⾯z x =的⾼斯曲率和平均曲率．解设抛物⾯的参数表⽰为{}22(,),,r x y x y x y =+，则{}1,0,2x r x =，{}0,1,2y r y =，{}0,0,2xx r =，{}0,0,0xy yx r r ==，{}002yy r =，，，{}1022,2,1012x y i j kr r x x y y==--，22,2,1||4x y x y r r x y n r r x ?--==214xx E r r x =?=+，4x y F r r xy =?=，214y y G r r y =?=+，xx L r n =?=，0xy M r n =?=，yy N r n =?=，2222222222404441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++， 220=，G =x 求螺旋⾯{cos r u v =解u v r {cos ,sin v,0},r {u sin v,u cos v,b}v ==-{}{}{}uu uv vv r =0,0,0,r =sin v,cos v,0,r ucos v,usin v,0-=--，L 0,M N 0===曲率线的微分⽅程为:2222dv dudv du 10u b =00-+或du bu dv 2积分得两族曲率线⽅程:14.求马鞍⾯22{,,}r u v u v =-在原点处沿任意⽅向的法曲率. 解{1,0,2},{0,1,2}==-u v r u r v ，u v 2u v n r r 4u =?1=+Ⅱ，{0,0,2},{0,0,0},{0,0,2}===xx xy yy r a r r a ，代⼊主曲率公式，N2a 002a k=-，所以两主曲率分别为求曲⾯2{,,r u v u =解{u r =,u 1,02,{}v r ,v =01,2(1,1)(1,1)N =解由23{,,},r u v u v =+得{}u r =,u 1,02,{}2,v r ,v =01,3①v >0时，是椭圆点；②v <0时，是双曲点；③v =0时，是抛物点. 18.求曲⾯32(,){,,}r u v v u u v =+上的抛物点的轨迹⽅程．解由32(,){,,},r u v v u u v =+得{}u r =u,0,21,{}2,v r v ,=30,1令320LN M .-=得u =0或v =0所以抛物点的轨迹⽅程为{}r=v ,,v 30或{}0r=,u ,u 2. 19.求圆柱螺线(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =⾃然参数表⽰.解由(){cos ,sin ,},r t a t a t bt =得{sin ,cos ,}r a t a t b '=-，2()r t a '=弧长(),s t =?t =曲线的⾃然参数表⽰为(){sin r s a a =20.求挠曲线的主法线曲⾯的腰曲线.,=a=αb ==-k βατγ'+b =k,''-b '所以腰曲线是222b kr=a s s =a s s k bββτ'''()-()()+()+ 求位于正螺⾯cos ,sin ,x u v y u v z av ===上的圆柱螺线0x u av ==（0u =0u =，由2πθ=设曲线：(s),r r =证明：2()k -;r ,r ,r =k .ταγτ=?⑵ =k =-,αβγτβ，两式作点积，得=-k =-k,αγτββτ??⑵r=r==k ,ααβ，2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγ设曲线：(s),r r =证明：3()()r ,r ,r =k k -k .ττ由伏雷内公式，得()r r s =是⼀般螺线，证明:r Γ．证明1r R ds αβ=-?，两边关于s 微商，得1αα∴，由于Γ是⼀般螺线，所以Γ也是⼀般螺线.4.证明曲线(){sin (),s (),}(r t a t dt a co t dt bt a,b ??=??是常数）是⼀般螺线．证明(){sin (),cos (),},r t a t a t b ??'=τ∴=-.5．曲⾯S 上⼀条曲线(C),P 是曲线(C)上的正常点，n g k ,k ,k 分别是曲线(C)在点P 的曲率、法曲率与测地曲率，证明222n g k =k +k ．证明测地曲率()g k k k n βεβα=?=??(,,)k n k n αβγ==?sin k .θ=±(θ是主法向量β与法向量n 的夹⾓)法曲率cos n k k n k βθ=?=，6.证明曲线{}cos ,sin ,0t t r e t e t =的切向量与曲线的位置向量成定⾓．证明对曲线上任意⼀点，曲线的位置向量为{}cos ,sin ,0t t r e t e t =，该点切线的切向量为：{t r e '=2t r r e ='由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定⾓．7证明：若r '和r ''()()()r t g t r t '''+=则 ,()t r t r '''??3r r r ''''，故t ?有()k t =8．证明圆柱螺线t a x =,cos 证明由题意有{}{()sin ,cos ,,()cos ,sin r t a t a t b r t a t a '''=-=--()()r r r r r r r r r β''''''''?-?=''''知{cos ,t β=-另⼀⽅⾯z 轴的⽅向向量为{}0,0,1a =9证明曲线y t a x ,sin 2==}2,cos2sin t a t t ，则任意点的法平⾯为0)cos (sin )cos sin (2cos )sin (2sin 00000020=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 将点（0,0,0）代⼊上述⽅程有左边)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin 0(2sin 00000020t a t a t t a t a t a t a ---+-===0右边，故结论成⽴．10．证明曲线222132225,1x t+t ,y t t z t =+=-+=-为平⾯曲线，并求出它所在的平⾯⽅程. 证明{}222132225,1r t+t ,t t t =+-+-，{}34210,2r +t,t t '=-+-，{}410,2r ,''=-，{}00,0r ,'''=(,,)0r r r ,''''''=0τ=，所以曲线是平⾯曲线.它所在的平⾯就是密切平⾯{}(0)32,0r ,'=-，{}(0)410,2r ,''=- 密切平⾯⽅程为12132004102x y z -=-－－－，化简得其所在的平⾯⽅程是2x +3y +19z –27＝0.11.证明如果曲线的所有切线都经过⼀个定点，那么它是直线.证明设曲线⽅程()r r s =，定点的向径为0R ，则())s λαλ-0λ＝曲线是直线.证明如果曲线的所有密切平⾯都经过⼀个定点，那么它是平⾯曲线取定点为坐标原点，曲线的⽅程为()r r t =，(),(),())0r t r t r t '''-=,即((),(),())0r t r t r t '''=所以平⾏于固定平⾯，所以()r r t =是平⾯曲线13.若⼀条曲线的所有法平⾯包含⾮零常向量e ，证明曲线是直线或平⾯曲线根据已知条件，得0.............e α?=①，0e α?=，由伏雷内公式得0k =，则曲线是直线；ⅱ)0e β?=⼜有①可知γ‖e因e 是常向量，所以γ是常向量，|||0,τγ==所以0，所以曲线为平⾯曲线设在两条挠曲线的点之间建⽴了⼀⼀对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平⾏，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平⾏证明γγ±１２＝,21ds ds γγ±１２＝由伏雷内公式得211ds ds τβτβ±１２２＝12ββ∴±=进⽽12αα=± 15.证明挠曲线（0τ≠）的主法线曲⾯是不可展曲⾯.证明设挠曲线为()r r s =，则挠率0τ≠，其主法线曲⾯的⽅程是：()()r s t s ρβ=+取(),()a r s b s β==，则(),()k a s b s αβατγ''===-＋所以,(,,)((),(),k )((),(),k )((),(),)0a b b s s s s s s αβατγαβααβτγτ''=-=-≠＋＋＝所以挠曲线的主法线曲⾯不是可展曲⾯.16.证明挠曲线（0τ≠）的副法线曲⾯是不可展曲⾯.证明设挠曲线为()r r s =，则挠率0τ≠，其副法线曲⾯的⽅程是：()()r s t s ργ=+取(),()a r s b s γ==，则(),()a s b s αγτβ''===-.s v s v =r r vk ?（1-）n=γ，所以主法向量与曲⾯的法向量夹⾓θcos 0,θ=沿每⼀条直母线只有⼀个切平⾯0()?θ+u 为直纹⾯(0,?所以，曲⾯可展，即沿每⼀条直母线只有⼀个切平⾯. 19.cos γθ0ｎ＝0γγｎ＋ｎ＝是曲率线，所以αｎ，进⽽0γｎ＝，由伏雷内公式得是⼀平⾯曲线⑵n 0β＝，即n β⊥，n kcos =0k θ=，⼜因为Γ是曲率线，所以0n dn k dr =-=即n 是常向量，所以Γ是平⾯曲线.20．求证正螺⾯上的坐标曲线（即u -曲线族v -曲线族）互相垂直．证明设正螺⾯的参数表⽰是{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =，则{}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，{}{}cos ,sin ,0sin ,cos ,0u v r r v v u v u v b ??=?-=，故正螺⾯上的坐标曲线互相垂直．21.证明在曲⾯上的给定点处,沿互相垂直的⽅向的法曲率之和为常数.证明由欧拉公式2212cos sin θθ=+n k k k所以*n n 12k k k k +=+＝常数.22.如果曲⾯上⾮直线的测地线Γ均为平⾯曲线，则Γ必是曲率线.证明因为曲线Γ是⾮直线的测地线，所以沿此曲线有,β=±n从⽽(),κατγ=±-+n ⼜因为曲线是平⾯曲线，所以0,τ=进⼀步n κα=±.由罗德⾥格斯定理可知曲线的切线⽅向为主⽅向，故所给曲线为曲率线.23.证明在曲⾯()()z f x f y =+上曲线族x =常数，y =常数构成共轭⽹.因为20xy M r EG F =?=-常数,y =常数构成共轭⽹．证明马鞍⾯z xy =上所有点都是双曲点．}，{0,0,0xx r =，{}0,0,1xy r ={},1x y r r x ?=-，{2|1x yx y r r y n r r x ?-==?++0xx r n =?=，2211xy M r n x y =?=++221001M y x -=?-=-++， {}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R v u R v u R v =，则{}cos sin ,cos cos ,0u r R v u R v u =-，{}sin cos ,sin sin ,cos v r R v u R v u R v =--， {}cos cos ,cos sin ,0uu r R v u R v u =--，{}sin sin ,sin cos ,0uv vu r r R v u R v u ==-， {}cos cos ,cos sin ,sin vv r R v u R v u R v =---，22cos u u E r r R v =?=，0u v F r r =?=，2v v G r r R =?=，2cosL R v==-，0M==，N R==-，1(,,)(,,)L M N E F GR∴=-，故球⾯是全脐的．26．证明平⾯是全脐的．证明设平⾯的参数表⽰为{} (,),,0r x y x y=，则{}1,0,0xr =，{}0,1,0yr =，{}0,0,0xxr =，{}0,0,0xyr =，{}0,0,0yyr =，1x xE r r=?=，0x yF r r=?=，1y yG r r=?=，}，{}0,0,r=，{0,0,yyr =-}),1x y+|x yx yr rnr r=，{}5/3290,0,()xxr n x y n-=?=-+?，{}5/3290,0,()xyM r n x y n-=?=-+?，{}5/3290,0,()yyr n x y n-=?=-+?20LN M-=，曲⾯3x y z+=的所有点为抛物点．．求证正螺⾯{} (,)cos,sin,r u v u v u v av=是极⼩曲⾯．证明{}cos,sinur v=，{sinvr u=-{0,0,0uur=，{sinuvr v=-}cos sin cos,sin cosu vi j kr r v v a v uv u v a=-sin,cos,||u vu va v a v ur rnr r-==1u uE r r=?=，0u vF r r=?=，22v vG r r a u=?=+，uuL r n=?=，uvM r n=?=0vvN r n=?=，21210,22EN FM GLHEG F-+∴=?==-故正螺⾯是极⼩曲⾯．29.圆柱⾯{cos ,sin ,}r a u a u v =上的纬线是测地线．证明由{cos ,sin ,},r a u a u v = 2,0, 1.E a F G ===g d k ds θθθ=+，纬线是u -线，此时0θπ=或， 0.g k ∴=所以，纬线是测地线．30．证明极⼩曲⾯上的点都是双曲点或平点．证明1202k k H +==，12k k ∴=-，21220K k k k ∴=?=-≤ 当0K =时，31.因曲线是测地线，所以沿此曲线有βn ，所以βdn ，⼜曲线是曲率线，所以αdn dr ，k )ατγα+，所以0τ=，故所给曲线是平⾯曲线. 因所给曲线既是测地线⼜为曲率线，所以沿此曲线有,,n βαγαβ=?，所以,n γα=±?从⽽()(0)0n n k n γααβ=±?+?=±-?+=，γτβ=-，所以τ。

(完整word版)《微分几何》考试试卷与参考答案

《微分几何》结业考试试卷一、判断题：（正确打√，错误打×。

每题2分，共10分））1、等距变换一定是保角变换. （）2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （）3、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. （） 4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. （）5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. （）二、填空题：（每空3分，共33分）1、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π<<，则α= ，β= ，γ= ，κ= ，τ= .2、已知曲面{c o s ,s i n ,6}r u v u v v =，0u >，02v π≤<，则它的第一基本形式为，第二基本形式为，高斯曲率K = ，平均曲率 H = ，点(1,0,0)处沿方向:2du dv =的法曲率，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为。

三、计算题（每小题12分，共24分） 1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地曲率.密线封层次报读学校专业姓名四、综合题：（每小题11分，共33分）1、设空间两条曲线Γ和C的曲率处处不为零，若曲线Γ和C可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C在对应点的切线夹固定角.2、给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.3、问曲面上曲线Γ的切向量沿曲线Γ本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线Γ是测地线吗？为什么？《微分几何》参考答案一、判断题：1. √ 2. √ 3. ⨯ 4. ⨯ 5. √ 二、填空题：① 1{3cos ,3sin ,4}5x x -- ②{sin ,cos ,0}x x③1{4cos ,4sin ,3}5x x -- ④625sin 2x⑤825sin 2x⑥ 222(36)du u dv ++⑦du dv⑧2236(36)u -+ ⑨ 0⑩○11 66,3737- 三、计算题：1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.解设33{,,}r u v u v =-则 2{1,0,3}u r u =，2{0,1,3}v r v =-，2243,3,1}||9u v u v r r n u v r r u ⨯==-⨯{0,0,6}uu r u =，0uv r =，{0,0,6}vv r v =-uu L n r =⋅=0uv M n r =⋅=，vv N n r =⋅=（6分）因渐近曲线的微分方程为2220Ldu Mdu dv Ndv ++=即22udu vdv =0=∴ 渐近曲线为33221u v C =+或33222()u v C -=+ （12分）2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地曲率.解 E G v ==，0F =，0u G =，1v E =（4分）u-线的测地曲率ug κ==（8分）v-线的测地曲率0vg κ== （12分）四、综合题：1. 设空间两条曲线Γ和C 的曲率处处不为零，若曲线Γ和C 可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角.证设 :()r r s Γ=，:()r r s **Γ=，则由//ββ*知ββ*=±，从而0αβ*⋅=，0αβ*⋅=，()0d ds ds dsαακβακαβ*****⋅=⋅+⋅= ∴ constant αα*⋅=，即 cos ,C α*=这表明曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角. （11分）2. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.证设 :(,)r r u v ∑=，:(),()u u s v v s Γ==，其中s 是Γ的自然参数，记,r n θ=，则cos r n θ⋅=，两边求导，得d 0d nn rsτβ-⋅+=，（4分）由Γ为曲率线知d //d n r ，即d d //d d n r s s α=，因此d d 0d d n n rn r r s sτβκ⋅=⋅=-⋅= 。

微分几何期末考试试题

微分几何期末考试试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个不是微分几何中的基本概念？A. 流形B. 向量场C. 微分形式D. 群论2. 给定一个光滑曲线 \(\gamma: [a, b] \rightarrow\mathbb{R}^3\)，其参数化形式为 \(\gamma(t)\)，该曲线的切向量是：A. \(\gamma(t)\)B. \(\frac{d\gamma}{dt}\)C. \(\gamma'(t)\)D. 以上都不是3. 曲率（Curvature）是描述曲线局部性质的一个重要概念，以下哪个是曲率的正确定义？A. 曲线在某点的切向量的变化率B. 曲线在某点的法向量的变化率C. 曲线在某点的切线的变化率D. 曲线在某点的法线的变化率4. 在微分几何中，度量张量是用来描述空间的内在度量性质。

以下哪个是度量张量的属性？A. 正定性B. 反对称性C. 线性D. 以上都是5. 黎曼曲率张量是描述黎曼流形的内在曲率性质的量，以下哪个是黎曼曲率张量的属性？A. 对称性B. 反对称性C. 张量性D. 以上都是二、简答题（每题10分，共30分）1. 描述什么是流形的切空间，并给出一个具体的例子。

2. 解释什么是联络，并简述其在微分几何中的重要性。

3. 描述什么是测地线，并解释它在广义相对论中的应用。

三、计算题（每题25分，共50分）1. 给定一个二维黎曼流形 \((M, g)\)，其度量张量 \(g\) 在局部坐标系 \((x^1, x^2)\) 下的分量为 \(g_{11} = 1, g_{12} = 0,g_{22} = x^1\)。

求该流形的黎曼曲率张量 \(R\)。

2. 考虑一个三维空间中的曲面 \(S\)，参数化表示为 \(\phi(u, v) = (u \cos v, u \sin v, v)\)。

计算曲面 \(S\) 的第一基本形式和第二基本形式，并求出其高斯曲率和平均曲率。

微分几何期末试题

数信学院2000级数学与应用数学专业《微分几何》期终考试题（A ）2003/01班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____一、填空题（每空1分, 共20分）1. 正则曲面在其上任一点处的单位法向量z b y a x 2//2222=+=n ，正则曲线在其上任一点处的切线方程为 ⎩⎨⎧=−−=−+11222222z y x z y x . 2. 第一基本形式为22222)(C v u dv du I +++=(其中C 为常数)的曲面与平面 (选填等距或共形)微分同胚, 该曲面的Gauss 曲率为 .3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的方向.4. 距离单位球面球心距离为的平面与球面的交线的法曲率为 )10(<<d d ，测地曲率为 .5. 曲面的坐标曲线网正交的充要条件是 , 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是 .6. 曲面上向量的Levi-Civita 平行移动与道路无关的曲面是曲面，曲面上测地线的切向量在Levi-Civita 平行移动意义下是平行的吗？ .7. 是否存在曲面分别以()和作为它的第一、第二基本型? 22dv du −dudv 2，简述理由 .8. 根据曲线论的基本定理，在可以相差一个空间位置的情况下，唯一决定一条空间曲线的两个不变量是曲线的和 .9. 脐点处，曲面的第一、第二类基本量满足关系，脐点的等距微分同胚像仍是脐点吗？ .10.按椭圆点，双曲点，抛物点进行分类，可展曲面上的点都是点. 极小曲面上的点是点.二、单项选择题（每题2分，共16分）1. 下面各量中, 不是内蕴量的是 ( )A . 曲面上曲线的曲率B . 曲面上曲线的测地曲率C . 曲面上测地三角形的内角和D . 曲面的高斯曲率2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 ( )A . 球面与柱面B . 柱面与平面C . 平面与伪球面D . 伪球面与可展曲面3. 下列曲面不是可展曲面的是 ( )A . r },sin ,cos {),(b au u v u v v u +=B . 曲线r },sin ,cos {)(bt t a t a t =的切线曲面C . 高斯曲率恒为0的无平点曲面D . 与平面等距等价的曲面4. 设曲线C 的曲率为,挠率为k τ,设是C 关于坐标原点的对称曲线,其曲率和 *C 挠率分别记为和，则（）*k *τA . k =，*k τ= B . =-，*τk *k τ=*τC . =，k *k τ=- D . =-，*τk *k τ=-*τ5. 曲线的下列各量中,是参数变换和坐标变换的不变量的是 ( )A . 曲率B . 挠率C . 弧长D . 以上全是6. 设曲面的第一,第二基本型分别是,则曲面 2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= 的两个主曲率分别是 ( )A ．G N k E L k ==21,B . NG k L E k ==21, C . v E G k k ∂∂−==ln 2121 D . u G Ek k ∂∂==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 ( )k g k n k A ．k =+ B . =+ C . D .g k n k g k k n k 222n g k k k +=222n g k k k +=8. 曲面上一点处的两个主方向之间的夹角θ为 ( )A . 2/πθ=B . 0=θC . πθ=D . 不确定三、多项选择题（每题4分，共20分）1.下面关于特殊曲面的正确的结论是( )A.可展曲面(局部地)或为柱面，或为锥面，或为切线面（等距等价意义下）B.常曲率曲面(局部地)或为平面，或为球面，或为伪球面（等距等价意义下）C.全脐点曲面必为球面或平面（或它们的一部分）D.极小曲面必为面积最小的曲面E. 直纹面必与平面等距等价2.下面说法正确的是( )A. 欧氏合同的两曲面必等距等价B. 等距等价的两曲面必欧氏合同C. 欧氏合同的两曲面具有相同的内蕴量和内蕴性质D. 等距等价的曲面具有相同的内蕴量和内蕴性质E. 等距等价的两曲面在对应点具有相同高斯曲率，反之亦成立3.下列关于特殊曲线的论断，正确的是( )A.若曲线上有无穷多个点处曲率为零，则曲线必为直线B.平面曲线的密切平面即曲线所在平面本身C.法截线的曲率反映曲面沿法截线方向的弯曲程度D.柱面螺线的特征是曲率和挠率成定比E.曲面上若含有直线，则直线同时是测地线，渐近曲线，曲率线4.下列关于曲面的主方向和渐近方向，正确的说法是( )A. 曲面上任一点处，至少有两个主方向B. 曲面上任一点处，至多有两个渐近方向C. 除脐点处外，主方向是正交的D. 平面上任何方向既是主方向又是渐近方向F.球面上任何方向既是主方向又是渐近方向5.下列关于测地线，正确的说法是（）A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线B. 测地线具有等距不变性C. 旋转曲面的子午线一定是测地线D. 平面上测地线必是直线E. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小三、计算题（每题10分，共20分）1. 求空间正则参数曲线 r )(t ={}的曲率和挠率. t t t 2cos ,sin ,cos 332. 设单位球面的参数方程为r }sin ,sin cos ,cos {cos ),(u v u v u v u =.是球面上由两条纬线Σ0 ,4/==u u π和两条经线2/ ,0π==v v 所围成的区域。

大学数学专业微分几何复习题

一、填空题：（每小题2分） ⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =_______________。

⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是__________________。

⒊ 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平面是曲线在P 点的_______________________。

⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是__________________________。

⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=___________________。

⒏ 在旋转曲面{}()cos ,()sin ,()r t t t ϕθϕθψ=中，____________________是旋转曲面的经线。

⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

⒑ 直纹面的参数表示总可以写成 r =______________________。

11、向量函数()r r t =使(,,)0r r r '''=的充要条件是()r r t = 。

12、若0()r t 是曲线()r r t =的正则点，则曲线()r r t =在0()r t 的密切平面方程是。

13、一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ 。

15、曲面上一族坐标曲线是测地线，另一族为它的正交轨线坐标网是16、已知曲面(,)r r u v =的第一类基本量为E 、F 、G ，则两方向du:dv 与:u v δδ垂直的充要条件是。

17、对曲面(,)r r u v =有22243dr du dv =+，则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从0t 到t （t >0t ）的弧长s = 。

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一、填空题：（每小题2分） ⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =_______________。

⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是__________________。

⒊ 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平面是曲线在P 点的_______________________。

⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是__________________________。

⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=___________________。

⒏ 在旋转曲面{}()cos ,()sin ,()r t t t ϕθϕθψ=中，____________________是旋转曲面的经线。

⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

⒑ 直纹面的参数表示总可以写成 r =______________________。

11、向量函数()r r t =使(,,)0r r r '''=的充要条件是()r r t = 。

12、若0()r t 是曲线()r r t =的正则点，则曲线()r r t =在0()r t 的密切平面方程是。

13、一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ 。

17、对曲面(,)r r u v =有22243dr du dv =+，则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从0t 到t （t >0t ）的弧长s = 。

微分几何期末复习题

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