微分几何期末复习题
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45．曲面上的曲 纹坐标网为 共轭网的充 要条件是。
38．曲面上的曲 纹坐标网为正交网的充要条件是。
46．极小曲面是指的曲面。
47．曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的的最大值和最小值.
48．两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是。
49．设曲面在点P处有两个同号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的。
34.已知曲面的 第二类基本 量L、M、N，则曲面上渐 近曲线的微 分方程是。
35.若曲面的第 一基本形式 为 ，曲面在一点 的切向与u -线的夹角为 ,则曲面在这 点沿切方向 的测地曲率 =。
36.挠率的曲线其副 法向量是常向量。
37.曲线在点的 主法向量是 ，则曲线在P点的从切平 面方程是。
38.曲面上的曲 纹坐标网是 渐近网的充 要条件是
是曲线在P点的。
9.若是曲线的 正则点，则曲线在的 密切平面方程是。
10.曲线在点的 单位切向量 是 ，则曲线在点 的法平面方 程是。
11.一曲线的副法向量Baidu Nhomakorabea常向量，则这曲线的挠率 。
12.曲线 在t= 1点处有 ，则曲线在t= 1对应的点处其挠率
=。
13.曲线x=cost，y=sint,z=t在t=0处的切线方程是。
54．平面的第一 基本形式为。
55．悬链面的第 一类形式是。
56．曲面上坐标 曲线 ， 的交角的余 弦值是。
57．正螺面的第 一基本形式 是。
58．双曲抛物面 的第一基本 形式是。
59．正螺面的平 均曲率。
60．函数是主曲 率的充要条 件是。
61．方向是主方 向的充要条 件是。
62．根据罗德里 格定理，如果方向是 主方向，则，其中是曲面 沿方向(d)的法曲率。
Ｃ. ；Ｄ. 。
5.直线的曲率k为()
Ａ.–１；Ｂ.０；Ｃ.１；Ｄ.２。
6.关于平面曲 线的曲率 , 为自然参数,不正确的是()
Ａ. ；Ｂ. ， 为的旋转角 ；
Ｃ. ；Ｄ. 。
7.设曲线在P (s)点的基本向 量是 ,则下列论述不正确的是()
Ａ. 均为单位向 量；Ｂ. ；
Ｃ. ；Ｄ. 。
7.曲线在点的 切线与轴关 系为()
29.曲面上一族 坐标曲线是 测地线，另一族为它 的正交轨线的坐标网是。
31.已知曲面的 第一类基本 量为E、F、G，则两方向du:dv与垂直 的充要条件 是。
32.对曲面 有 ,则曲面上曲 线u=u(t),v=v(t)从 到t(t> )的弧长s=。
33.若曲面 在(0，1)点处的第二 基本形式 ，则在(0，1)点处， 。其中为曲面 的单位法向 量。
50．法曲率的最大值和最小值正好是曲面的曲率,使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的方向.
51．距离单位球面球心距离为d(0<d<1)的平面与球面的交线的曲率为，法曲率为。
52．在脐点处曲面的第一、第二类基本量满足,把第二类基本量L=M=N=0的脐点称为。
53．法曲率的最大值和最小值正好是,使法曲率达到最大值和最小值的方向是方向.
63．旋转曲面中的极小曲面 必是平面或。
64．空间曲面的 基本公式中 的Gauss公式是,Weing arten公式是。
65．设曲面S上 的曲线C在P点的曲率为k,测地曲率为kg,法曲率为kn,则它们之间 手关系是。
66．设曲面S上 的曲线C在P点的曲率为k,测地曲率为kg,切方向上的 法曲率为kn,则它们之间 手关系是。
67．如果曲面S上的存在直 线,则此直线的 测地曲率为。
68．测地线的方 程为。
69．简单光滑闭 曲线的Gauss-Bonne t公式是。
70．逐段光滑简 单闭曲线的Gauss -Bonne t公式是。
二、单项选择题
1.下面各量中,不是内蕴量 的是()
A.曲面上曲线 的曲率；B.曲面上曲线 的测地曲率；
10.曲率和挠率 均为非零常 数的曲线是()
A.直线；B.圆；C.圆柱螺线；D.平面曲线。
22.设有曲线 ，当时的切线 方程为。
23.曲面上曲线的弧长，交角，曲面域的面积等都是的的不变量。
24.在旋转曲面 中，是旋转曲面 的经线。
25.若点(u0,v0)为曲面的正则点，则 在(u0,v0)满足。
26.曲面在点的 法线方程是。
27.直纹面的参 数表示总可 以写成 。
28.如果曲线族 和曲线族处 处不相切，则称相应的 坐标网为。
39.曲面上一曲 线，如果它每一 点的切方向 都是主方向 ，则称该曲线 为。
40.半径为R的 球面的高斯 曲率K=。
41.一个曲面为 可展曲面的 充分必要条 件是它的恒等于零。
42．在可展曲面 上，测地三角形 的三内角之 和。
43．球面 上，线是球面上的纬圆。
44．在曲面上圆 点，其第一、第二类基本 量满足关系。
微分几何复习题
一、填空题
1.向量具有固 定方向，则 =。
2.非零向量满 足的充要条 件是。
3.若向量函数 满足 ，则具有固定 。
4.曲线的正常 点是指满足的点.
5.曲线在任意 点的切向量 为。
6.曲线在点的 切向量为。
7.曲线在点的 切向量为。
8.设曲线在P点的切向量 为 ，主法向量为 ，则过P由确 定的平面
C.曲面上测地 三角形的内 角和；D.曲面的高斯 曲率。
2.圆柱螺线在 点的切线为 ()
A． ；B. ；
C. ；D. 。
3.圆柱螺线的 切线与 轴()
Ａ.平行；Ｂ.垂直；
Ｃ.有固定夹角 ；Ｄ.有固定夹角 。
4.设有平面曲 线 ， 为自然参数 ， 是曲线的基 本向量．下列叙述错 误的是()
Ａ. 为单位向量；Ｂ. ；
Ａ.垂直；Ｂ.平行；Ｃ.成 的角；Ｄ.成 的角。
8.曲线 在P(s)点的基本向 量是 ，曲率k(s)，挠率 ，则下式(A)不正确。
A. ；B. ；C. ；D. 。
9.过空间曲线C上点P(非逗留点)的切线和P点的邻近点Q的平面π，当Q沿曲线C趋于点P时，平面π的极 限位置称为 曲线C在P点的()
A.法平面；B.密切平面；C.从切平面；D.不存在。
14.曲线的主法向量的正向总是指向。
15.空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量。
16.曲线 ={t3t2t,t22t+2, 2}上的点不是正常点的是t=。
17.曲线的曲率 是。
18.曲线的挠率 是。
19.一般螺线的曲率和挠率的关系是。
20.曲率为0的曲线是,挠率为0的曲线是。
21.设有曲线 ，当时的切线 方程为。
38．曲面上的曲 纹坐标网为正交网的充要条件是。
46．极小曲面是指的曲面。
47．曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的的最大值和最小值.
48．两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是。
49．设曲面在点P处有两个同号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的。
34.已知曲面的 第二类基本 量L、M、N，则曲面上渐 近曲线的微 分方程是。
35.若曲面的第 一基本形式 为 ，曲面在一点 的切向与u -线的夹角为 ,则曲面在这 点沿切方向 的测地曲率 =。
36.挠率的曲线其副 法向量是常向量。
37.曲线在点的 主法向量是 ，则曲线在P点的从切平 面方程是。
38.曲面上的曲 纹坐标网是 渐近网的充 要条件是
是曲线在P点的。
9.若是曲线的 正则点，则曲线在的 密切平面方程是。
10.曲线在点的 单位切向量 是 ，则曲线在点 的法平面方 程是。
11.一曲线的副法向量Baidu Nhomakorabea常向量，则这曲线的挠率 。
12.曲线 在t= 1点处有 ，则曲线在t= 1对应的点处其挠率
=。
13.曲线x=cost，y=sint,z=t在t=0处的切线方程是。
54．平面的第一 基本形式为。
55．悬链面的第 一类形式是。
56．曲面上坐标 曲线 ， 的交角的余 弦值是。
57．正螺面的第 一基本形式 是。
58．双曲抛物面 的第一基本 形式是。
59．正螺面的平 均曲率。
60．函数是主曲 率的充要条 件是。
61．方向是主方 向的充要条 件是。
62．根据罗德里 格定理，如果方向是 主方向，则，其中是曲面 沿方向(d)的法曲率。
Ｃ. ；Ｄ. 。
5.直线的曲率k为()
Ａ.–１；Ｂ.０；Ｃ.１；Ｄ.２。
6.关于平面曲 线的曲率 , 为自然参数,不正确的是()
Ａ. ；Ｂ. ， 为的旋转角 ；
Ｃ. ；Ｄ. 。
7.设曲线在P (s)点的基本向 量是 ,则下列论述不正确的是()
Ａ. 均为单位向 量；Ｂ. ；
Ｃ. ；Ｄ. 。
7.曲线在点的 切线与轴关 系为()
29.曲面上一族 坐标曲线是 测地线，另一族为它 的正交轨线的坐标网是。
31.已知曲面的 第一类基本 量为E、F、G，则两方向du:dv与垂直 的充要条件 是。
32.对曲面 有 ,则曲面上曲 线u=u(t),v=v(t)从 到t(t> )的弧长s=。
33.若曲面 在(0，1)点处的第二 基本形式 ，则在(0，1)点处， 。其中为曲面 的单位法向 量。
50．法曲率的最大值和最小值正好是曲面的曲率,使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的方向.
51．距离单位球面球心距离为d(0<d<1)的平面与球面的交线的曲率为，法曲率为。
52．在脐点处曲面的第一、第二类基本量满足,把第二类基本量L=M=N=0的脐点称为。
53．法曲率的最大值和最小值正好是,使法曲率达到最大值和最小值的方向是方向.
63．旋转曲面中的极小曲面 必是平面或。
64．空间曲面的 基本公式中 的Gauss公式是,Weing arten公式是。
65．设曲面S上 的曲线C在P点的曲率为k,测地曲率为kg,法曲率为kn,则它们之间 手关系是。
66．设曲面S上 的曲线C在P点的曲率为k,测地曲率为kg,切方向上的 法曲率为kn,则它们之间 手关系是。
67．如果曲面S上的存在直 线,则此直线的 测地曲率为。
68．测地线的方 程为。
69．简单光滑闭 曲线的Gauss-Bonne t公式是。
70．逐段光滑简 单闭曲线的Gauss -Bonne t公式是。
二、单项选择题
1.下面各量中,不是内蕴量 的是()
A.曲面上曲线 的曲率；B.曲面上曲线 的测地曲率；
10.曲率和挠率 均为非零常 数的曲线是()
A.直线；B.圆；C.圆柱螺线；D.平面曲线。
22.设有曲线 ，当时的切线 方程为。
23.曲面上曲线的弧长，交角，曲面域的面积等都是的的不变量。
24.在旋转曲面 中，是旋转曲面 的经线。
25.若点(u0,v0)为曲面的正则点，则 在(u0,v0)满足。
26.曲面在点的 法线方程是。
27.直纹面的参 数表示总可 以写成 。
28.如果曲线族 和曲线族处 处不相切，则称相应的 坐标网为。
39.曲面上一曲 线，如果它每一 点的切方向 都是主方向 ，则称该曲线 为。
40.半径为R的 球面的高斯 曲率K=。
41.一个曲面为 可展曲面的 充分必要条 件是它的恒等于零。
42．在可展曲面 上，测地三角形 的三内角之 和。
43．球面 上，线是球面上的纬圆。
44．在曲面上圆 点，其第一、第二类基本 量满足关系。
微分几何复习题
一、填空题
1.向量具有固 定方向，则 =。
2.非零向量满 足的充要条 件是。
3.若向量函数 满足 ，则具有固定 。
4.曲线的正常 点是指满足的点.
5.曲线在任意 点的切向量 为。
6.曲线在点的 切向量为。
7.曲线在点的 切向量为。
8.设曲线在P点的切向量 为 ，主法向量为 ，则过P由确 定的平面
C.曲面上测地 三角形的内 角和；D.曲面的高斯 曲率。
2.圆柱螺线在 点的切线为 ()
A． ；B. ；
C. ；D. 。
3.圆柱螺线的 切线与 轴()
Ａ.平行；Ｂ.垂直；
Ｃ.有固定夹角 ；Ｄ.有固定夹角 。
4.设有平面曲 线 ， 为自然参数 ， 是曲线的基 本向量．下列叙述错 误的是()
Ａ. 为单位向量；Ｂ. ；
Ａ.垂直；Ｂ.平行；Ｃ.成 的角；Ｄ.成 的角。
8.曲线 在P(s)点的基本向 量是 ，曲率k(s)，挠率 ，则下式(A)不正确。
A. ；B. ；C. ；D. 。
9.过空间曲线C上点P(非逗留点)的切线和P点的邻近点Q的平面π，当Q沿曲线C趋于点P时，平面π的极 限位置称为 曲线C在P点的()
A.法平面；B.密切平面；C.从切平面；D.不存在。
14.曲线的主法向量的正向总是指向。
15.空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量。
16.曲线 ={t3t2t,t22t+2, 2}上的点不是正常点的是t=。
17.曲线的曲率 是。
18.曲线的挠率 是。
19.一般螺线的曲率和挠率的关系是。
20.曲率为0的曲线是,挠率为0的曲线是。
21.设有曲线 ，当时的切线 方程为。