二次函数与几何图形结合题及答案

1.如图，已知抛物线2

1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．

（1）求A 、B 、C 三点的坐标;

（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积;

（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 解：（1）令0y =，得2

10x -= 解得1x =±

令0x =，得1y =-

∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ……………………3分 （2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=

45 ∵A P ∥CB ， ∴∠P AB =

45

过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则∆A P E 为等腰直角三角形

令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a +

∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴2

11a a +=-

解得12a =，21a =-（不合题意，舍去）

∴P E =3……………………………………………………………………………5分

∴四边形ACB P 的面积S

=12AB •O C +12AB •P E =11

2123422

⨯⨯+⨯⨯=………………………………6分

(3)． 假设存在

∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC

∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90 在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC =2

在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A P= 32 ………8分

设M 点的横坐标为m ，则M 2

(,1)m m -

①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时，有

AG PA =MG

CA

∵A G=1m --，MG=2

1m -即2322

=

解得11m =-（舍去） 23m =（舍去）………9分 G

M

C B

y

P

A

o

x

(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有

AG CA =MG

PA

即 2232

=

解得：1m =-（舍去） 22m =-

∴M (2,3)- ………………………………………………………………………10分

② 点M 在y 轴右侧时，则1m > (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时有

AG PA =MG

CA

∵A G=1m +，MG=2

1m -

∴ 2322

=

解得11m =-（舍去） 243

m =

∴M 47

(,)39

………………………11分

(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MG

PA

即

2

232

=

解得：11m =-（舍去） 24m =

∴M (4,15) ………………………………12分

∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆P CA 相似

M 点的坐标为(2,3)-，47

(,)39

，(4,15)…………………………………13分

2.如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB =90,AC =BC ,OA =1，OC =4，抛物线

2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．

（1）求b ,c 的值；

（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点

F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；

（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由.

G M

C B

y

P A

o

x

解：（1）由已知得：A （-1，0） B （4，5）…………………1分

∵二次函数2y x bx c =++的图像经过点A （-1，0）B(4,5)

∴101645b c b c -+=⎧⎨++=⎩

…………………………………………………2分

解得：b=-2 c=-3…………………………………………………3分 （2）如２６题图：∵直线AB 经过点A （-1，0） B(4,5)

∴直线AB 的解析式为：y=x+1……………………………………4分 ∵二次函数223y x x =--

∴设点E(t ， t+1),则F （t ，2

23t t --）………………………5分 ∴EF= 2

(1)(23)t t t +---………………………………………6分 =2

3

25()2

4

t --+

∴当32t =

时，EF 的最大值=254

∴点E 的坐标为（32，5

2

）………………………………7分

（3）①如２６题图：顺次连接点E 、B 、F 、D 得四边形ＥＢＦＤ．

可求出点F 的坐标（32，15

4

-）,点D 的坐标为（1，-4） S EBFD 四边行 = S BEF

+ S

DEF

=

12531253

(4)(1)242242⨯-+⨯- =75

8

………………………………………………10分

②如２６题备用图：ⅰ)过点E 作a ⊥EF 交抛物线于点P,设点P(m ,2

23m m --)

则有：2

5232m m --=

解得:1226

m =－,2226m +=

∴12265

(

,)2

p －, 22265(,)22p + ⅱ）过点F 作b ⊥EF 交抛物线于3P ，设3P （n ，2

23n n --）

则有：215423n n --=- 解得：1

12

n = ，23

2n =（与点F 重合，舍去）

∴3

P 1

1524

（，－） 综上所述：所有点P 的坐标：12265

(

,)22

p －，22265(,)2p +3P （11524（，－）. 能使△EFP 组成以EF 为直角边的直角三角形．…………………………………… 13分

２６题备用图