二项式定理(通项公式)
二项式定理通项公式
例3：计算0.99710 的近似值。精确到0.001
解：0.99710 1 0.00310
c100 110 c110 19 0.003 c120 18 0.003 2
根据精确度的要求，从第三项起的各项都可以省去，所以
0.997 10 110 0.003 45 1 0.000009
a b0 1
a b1 1 1
a b2 1 2 1 a b3 1 3 3 1 a b4 1 4 6 4 1 a b5 1 5 10 10 5 1 a b6 1 6 15 20 15 6 1
表中每行两端都是1，而且除1以外的每 一个数都等于它肩上两数的和.
通项公式的应用:Tk+1=Cnkan-kbk
3
(2) 求展开式中含x2 的项。
(3) 求展开式中系数最大的项和系数
最小的项。
例 的系5. 数已与知第( 三x －项x的22 )系n (数n∈的N比)的为展10开:1。式(中1)第求五展项开
3
式各项系数的和；(2) 求展开式中含 x 2的项。 (3) 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。
分析：要灵活、正确的应用二项展开 式的 通项公式。 (1) 先根据通项公式得到第五项与第 三项 的系数，再由已知条件求出n的 值。由“赋值法”求各项系数的和。
通项公式:TK+1=Cnkan-kbk
2.二项展开式的特点 (1) 项数： 展开式有共n+1项 (2) 系数 ： 都是组合数，
依次为Cn0，Cn1，Cn2，Cn3，…Cnn (3) 指数的特点 ：
1) a的指数 由n 0 (降幂) 2) b的指数由0 n (升幂) 3) a和b的指数和为n
3.二项式定理的几个变式：
二项式的通项公式
二项式的通项公式二项式的通项公式，又称二项定理或二项展开式，是代数学中的一条重要公式，用于展开一个二项式的幂。
它是形如(a+b)ⁿ的二项式的展开结果。
二项式的通项公式可以用有序对的方法、二项式系数的方法或二项式定理的方法进行推导和解释。
首先我们来介绍一下二项式系数的方法。
在二项式(a+b)ⁿ中，每一项的系数都可以用二项系数来表示，记作C(n,k)，其中n表示指数的次数，k表示每一项中b的幂的次数。
二项系数C(n,k)的计算方法如下所示：1.当k等于0或k等于n时，C(n,k)等于12.当k小于0或k大于n时，C(n,k)等于0。
3.当k大于0且k小于n时，C(n,k)等于C(n-1,k-1)+C(n-1,k)。
通过上述计算规则，我们可以得到二项式的通项公式 (a + b)ⁿ =C(n, 0)aⁿb⁰ + C(n, 1)aⁿ⁻¹b¹ + C(n, 2)aⁿ⁻²b² + ... + C(n, n-1)abⁿ⁻¹+ C(n, n)a⁰bⁿ。
另一种解释二项式的通项公式的方法是使用二项式定理。
二项式定理指的是(a+b)ⁿ的展开公式，其中n是一个非负整数。
二项式定理的表达式如下所示：(a + b)ⁿ = C(n, 0)aⁿb⁰ + C(n, 1)aⁿ⁻¹b¹ + C(n, 2)aⁿ⁻²b² + ... +C(n, n-1)abⁿ⁻¹ + C(n, n)a⁰bⁿ这个公式可以通过数学归纳法来证明。
当n等于1时，左边为(a + b)¹ = a + b，右边为C(1, 0)a¹b⁰ + C(1, 1)a⁰b¹ = a + b，两边相等。
假设当n=k时，公式成立，即(a + b)ᵏ = C(k, 0)aᵏb⁰ + C(k, 1)aᵏ⁻¹b¹ +C(k, 2)aᵏ⁻²b² + ... + C(k, k-1)abᵏ⁻¹ + C(k, k)a⁰bᵏ。
二项式定理通项公式
二项式定理(通项公式)二项式定理二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b--+=+++++,以上展开式共n+1项，其中knC 叫做二项式系数，1k n k kk n T C a b-+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k kn n nn n n n a b C a C a b C a b C b---=-++-++-，1(1)k k n k kk n TC a b-+=-01(1)n k kn nn n n n x C C x C x C x+=+++++①0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n kn k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到012nnn n n C C C +++=，即二项式系数和等于2n；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n nn n n CC C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m nnCC -=.（2）二项式系数knC 增减性与最大值：当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的.当n 是偶数时，中间一项2n nC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC +相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)na n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6……=2)1()1(-+f f ⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f经典例题1、“n b a )(+展开式：例1．求4)13(xx +的展开式；【练习1】求4)13(x-的展开式x2.求展开式中的项例2.已知在n的展开式中，第6项为常数项.（1）求n；（2）求含2x的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.【练习2】若n展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项.3.二项展开式中的系数 例 3.已知22)nx 的展开式的二项式系数和比(31)nx -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)nx x-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()n n N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2x（的展开式中，3x项的系数1-+x)(是；5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有项；8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；（2） 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3） 系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-， 则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(x x 展开式中9x 的系数是 ；。
二项式定理(通项公式)
1 1 1 1例 5 化简：(x" y 2) (x 4 yj二、二项式知识回顾1. 二项式定理（a b ）n C 0a n C ：a n B LC ：a n k b k LC ；b n ,k以上展开式共n+1项，其中C n 叫做二项式系数, （请同学完成下列二项展开式）(ab)nC 0a n C ：a n 1b 1 L (1)kC ：a n k b k L (1)n C ：b n , T k 1k k n k k(1) C na b(1 x)nC 0 C ：x L C'x kL C ；x n①(2x 1)nC 0(2x)nC n (2x)n1Lk n kC n(2x)L C ； 1(2x) 1nn 1ia n xa n 1xL a n n kk x L a 1x a 。
②一、指数函数运算知识点：1整数指数幕的概念.a na a a a(n N*)六、二项式定理a 01(a 0) 1a n -(a 0,nN*) *a n 2 •运算性质：a m a n a m n (m,nZ) , (a m )na mn (m,nZ), (ab)3.注意①ma a n 可看作a m anm ••• a nma =a a nm n=a +② (a )n 可看作a n b n.,a 、n J …(_) =an na b = n •bbbm4、a 下 Va m ( a >0, m n € N,且 n > 1) *n 个ana nb n (n Z)例题:例1求值： 2 1 3 SoQ 3碍八 例2用分数指数幕的形式表示下列各式: 1) a 2 <a,a 3 2) Va 4，'a3).a a a例3计算下列各式（式中字母都是正数） 2 1 1 1 (1)(2a 廿)(6a'b 3) 1513(3a'&)；(2)(m"n^)8.例4计算下列各式: 0)； (2)(125 .125) 4 5例6已知x+x -1=3,求下列各式的值:1133(1)x 2 x —(2)x' xk n k kT k 1 C n a b 叫做二项展开式的通项② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和 2. 二项式系数的性质二、经典例题1、“ (a b)n 展开式例1•求(3.. x 1 )4的展开式；解：原式=(3^1)4=(3X ^=J L[C 4(3X )4C 4(；X )3C ：(；X )2C ：(；X )ci2 12 181x84x- 54x x1 )4的展开式x6项为常数项10 2r(2)令10 2「=2，得r 2所以所求的系数为310 2r Z30 r 10,r Z①式中分别令x=1和x=-1，则可以得到Cc n L Cn 2n ，即二项式系数和等于 2n ；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即Cn Coc n c ；(1 )对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即c mn mCnk(2 )二项式系数C n 增减性与最大值:n 1当k时，二项式系数是递增的；当2二项式系数是递减的丄 A 6 4 L1 ' 10 10 * i 1 6I .®l7 il 35 3? 21 7 1n当n 是偶数时，中间一项 C 2取得最大值3.二项展开式的系数 a o , a 1,a 2, a ；,…,a n⑴ a o +a 1+a 2+a ； ......... +a n =f(1) ⑵ a o - a 1+a 2- a 3=__f ( 1)⑷ a 1+a ；+a5+a 7•… ⑶ a o +a 2+a 4+a 6n 是奇数时，中间两项 C n 2和C n 2相等，且同时取得最大值的性质：f( x)= a o +a 1X+a 2X 2+a ；x 3…+(-1) b=f(-1)-f(1) f( 1)n+a n X【练习1】求(3・、x2.求展开式中的项 (1) 求n ;( 2)求含x 2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项解：(1)通项为T r 1 C ：x 3 (/ n 2r1)rC ；x^因为第6项为常数项，所以r=5时，有- 2=0,3即 n=10.C1( 1)2 乎(3)根据通项公式，由题意 例2.已知在(3 x的展开式中，第x 10 2r3k令k(k Z)，则r 5 ，故k 可以取2,0, 2，即r 可以取2，5，8.32所以第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为C 12)( ］)2x 2 G 0( -)5 C 18)(-)2 ' 2 ' 2(1)展开式中含x 的一次幕的项；(2)展开式中所有x 的有理项.3. 二项展开式中的系数例3.已知(3 X x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x 1)n 的展开式的二项式系数和大■2*［练习3］已知(、x 2)n (n N)的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10： 1.x3(1)求展开式中含x 2的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项 4、求两个二项式乘积的展开式指定幕的系数273例4. (x 1)(x 2)的展开式中，X 项的系数是 ________________ ;解：在展开式中，x 3的来源有：① 第一个因式中取出x 2，则第二个因式必出x ，其系数为c：( 2)6 ；4② 第一个因式中取出1,则第二个因式中必出 x 3，其系数为C ?( 2)436644x 3 的系数应为：C 7( 2)6 C 7( 2)41008,填 1008。
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【最新整理，下载后即可编辑】二项式定理二项式知识回顾 1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-，1(1)k k n k kk n T C a b -+=-01(1)n k k n nn n n n x C C x C x C x +=+++++ ①0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n n n n n C C C +++=，即二项式系数和等于2n ；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=.（2）二项式系数k n C 增减性与最大值： 当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的.当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC +相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1)⑶a0+a2+a4+a6……=2)1 ()1(-+ff⑷a1+a3+a5+a7……=2)1 ()1(--ff经典例题1、“n ba)(+展开式：例1．求4)13(xx+的展开式；【练习1】求4)13(xx-的展开式2.求展开式中的项例2.已知在n的展开式中，第6项为常数项.（1）求n；（2）求含2x的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.【练习2】若n展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知22x的展开式的二项式系数和比(31)n)nx-的展开式的二项式系数和大992，求21-的展开式中：（1）二项式系数最(2)nxx大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()n n N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；（2） 一般的系数最大或最小问题例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3） 系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx 展开式中9x 的系数是 ；。
二项式定理(通项公式)
二项式定理二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k kk n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k kn n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-，1(1)k k n k kk n T C a b -+=-01(1)n k kn nn n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n n n n n C C C +++=，即二项式系数和等于2n；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n mn n C C -=.（2）二项式系数kn C 增减性与最大值： 当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC+相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1)⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)na n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2)1()1(-+f f⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f经典例题1、“n b a )(+展开式：例1．求4)13(xx +的展开式；【练习1】求4)13(xx -的展开式2.求展开式中的项例2.已知在n 的展开式中，第6项为常数项.（1） 求n ； （2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.【练习2】若n 展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)nx -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)nx x-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()n n N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8（00）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；（2） 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3） 系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-， 则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx -展开式中9x 的系数是 ；。
二项式定理通项公式-二项定理通项公式
二项式定理二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k kk n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k kn n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-，1(1)k k n k kk n T C a b -+=-01(1)n k kn nn n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n n n n n C C C +++=，即二项式系数和等于2n；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n mn n C C -=.（2）二项式系数kn C 增减性与最大值： 当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC+相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1)⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)na n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2)1()1(-+f f⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f经典例题1、“n b a )(+展开式：例1．求4)13(xx +的展开式；【练习1】求4)13(xx -的展开式2.求展开式中的项例2.已知在n 的展开式中，第6项为常数项.（1） 求n ； （2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.【练习2】若n 展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)nx -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)nx x-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()n n N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；（2） 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3） 系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-， 则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx -展开式中9x 的系数是 ；。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结二项式定理专题一、二项式定理：二项式定理是一个重要的恒等式，它表示了任意实数a,b 和正整数n之间的关系。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下恒等式成立：a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b +。
+ C(n,n-1)*a*b^(n-1) + C(n,n)*b^n其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也就是n个元素中取k个元素的方案数。
右边的多项式叫做(a+b)的二项式展开式，其中各项的系数C(n,k)叫做二项式系数。
二项式定理的理解：1）二项展开式有n+1项。
2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n。
3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立。
通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
例如，当a=1，b=x时，有以下恒等式成立：1+x)^n = C(n,0) + C(n,1)*x +。
+ C(n,n-1)*x^(n-1) +C(n,n)*x^n4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式(a+b)展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式(a+b)^n。
二、二项展开式的通项公式：二项展开式的通项公式是指，二项式展开式中第k+1项的系数C(n,k)的公式。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下通项公式成立：T(k+1) = C(n,k)*a^(n-k)*b^k其中，T(k+1)表示二项式展开式中第k+1项的系数。
通项公式体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心。
它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用。
三、二项展开式系数的性质：在二项式展开式中，二项式系数具有以下性质：①对称性：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C(n,0) = C(n,n)。
二项式定理展开式通项公式
二项式定理展开式通项公式（原创版）目录1.二项式定理的概念和基本形式2.二项式定理的展开式3.二项式定理的通项公式4.二项式定理的应用正文1.二项式定理的概念和基本形式二项式定理，又称为二项式定理公式，是组合数学中的一个重要公式。
它表示的是在多项式乘法中，将一个多项式展开成另一个多项式的幂的形式。
其基本形式如下：(a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + C(n, 2)a^(n-2)b^2 +...+ C(n, n)b^n其中，a 和 b 是任意实数或复数，n 是非负整数，C(n, k) 表示组合数，即从 n 个元素中选取 k 个元素的组合个数，计算公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)2.二项式定理的展开式根据二项式定理的基本形式，我们可以将其展开成一个具体的展开式。
以 (a + b)^3 为例：(a + b)^3 = C(3, 0)a^3 + C(3, 1)a^2b + C(3, 2)ab^2 + C(3, 3)b^3= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3通过这个展开式，我们可以将一个三次多项式展开成一个一次多项式和三次多项式的和。
3.二项式定理的通项公式二项式定理的通项公式是指在二项式定理展开式中，第 k 项的系数。
根据二项式定理的展开式，我们可以得到通项公式如下：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)4.二项式定理的应用二项式定理在数学中有广泛的应用，例如在求解多项式的值、证明恒等式、解方程等方面都有重要的作用。
同时，它也是组合数学中的一个基本工具，对于理解组合数的性质和计算方法有重要意义。
二项式定理(通项公式) (2)
二项式定理二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k k n nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++L L ,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k kk n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-L L ，1(1)k k n k kk n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++L L ①1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++L L ②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到012nn n n n C C C +++=L ，即二项式系数和等于2n ； 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n nn C C C C -++=++=L L ② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=.（2）二项式系数k n C 增减性与最大值： 当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC+相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴a 0+a 1+a 2+a 3......+a n =f(1) ⑵a 0-a 1+a 2-a 3......+(-1)n a n =f(-1) ⑶a 0+a 2+a 4+a 6 (2)1()1(-+f f ⑷a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f 经典例题1、“n b a )(+展开式： 例1．求4)13(xx +的展开式； 【练习1】求4)13(xx -的展开式2.求展开式中的项 例2.已知在n 的展开式中，第6项为常数项.（1） 求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项. 【练习2】若n 展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项. 3.二项展开式中的系数例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)n x -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)n x x-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()nn N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项. 4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是； 5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7103)1(xx -的展开式中有理项共有项；8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是； （2） 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3） 系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx -展开式中9x 的系数是；。
3.二项式定理
例讲三：多项式的展开式问题
1.在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)11 的展开式中，x2 项的系数是 2.(1＋2x2)(1＋x)4 的展开式中 x3 的系数为 3.已知(x－1)(ax＋1)6 的展开式中含 x2 项的系数为 0，则正实数 a＝________． 4.(x2－x＋1)10 的展开式中 x3 项的系数为 5.(x2＋x＋y)5 的展开式中 x5y2 的系数为
二项式定理
一.二项式定理及性质
1.定理：(a＋b)n＝C 0n an＋C 1nan －1b＋…＋C knan－k bk＋…＋C nn bn(n ∈N*)．
2.通项：第 k＋1 项为 Tk＋1＝Cknan－kbk． 3.二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：Ckn (k＝0，1，2，…，n)．
64∶1，则
x3
的系数为
2.若(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝
【解析】 (1)由题意知42nn＝64，得 n＝6，展开式的通项为 Tr＋1＝Cr6x6－r 3xr＝3rCr6x6－32r， 令 6－32r＝3，得 r＝2，则 x3 的系数为 32C26＝135.故选 C. (2)令 x＝0，得 a0＝1，令 x＝－1，得|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝ 511.
2.若
x＋1 x
n展开式的二项式系数之和为
64，则展开式的常数项为_系数为 C25－122＝52.
(2)ax2＋
1x5的展开式的通项
Tr＋1＝C5r (ax2)5－r×
1xr＝Cr5a5－rx10－52r，令
10－52r＝0，得
r＝4，所以 C45a5－4＝－10，解得 a＝－2.
二项式定理
二项式定理一、基础知识 1.二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)；(2)通项公式：T k ＋1＝C k n an －k b k ，它表示第k ＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C 0n ，C 1n ，…，C n n .2.二项式系数的性质(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n . 二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C n n ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关.如(a ＋bx )n 的二项展开式中，第k ＋1项的二项式系数是C k n ，而该项的系数是C k n an －k b k .当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.考点一 二项展开式中特定项或系数问题考法(一) 求解形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)52)2(xx +的展开式中x 4的系数为( )A.10B.20C.40D.80(2)(2019·合肥调研)若(2x －a )5的二项展开式中x 3的系数为720，则a ＝________. (3)(2019·甘肃检测)已知5)(xa x -的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝________. [解析] (1)52)2(xx +的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·)2(xr ＝C r 5·2r ·x 10－3r，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40. (2)(2x －a )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r ·C r 5·(2x )5－r ·a r ＝(－1)r ·C r 5·25－r ·a r ·x 5－r ，令5－r ＝3，解得r ＝2，由(－1)2·C 25·25－2·a 2＝720，解得a ＝±3. (3)5)(x a x -的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r ·r xa )(-＝C r 5(－a )rx 5－32r .由5－32r ＝5，得r ＝0，由5－32r ＝2，得r ＝2，所以A ＝C 05×(－a )0＝1，B ＝C 25×(－a )2＝10a 2，则由1＋10a 2＝11，解得a ＝±1. [答案] (1)C (2)±3 (3)±1 [解题技法]求形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r ，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r ；第三步，把r 代入通项公式中，即可求出T r ＋1，有时还需要先求n ，再求r ，才能求出T r ＋1或者其他量. 考法(二) 求解形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例2] (1)(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是( )A.－4B.－3C.3D.4(2)(2019·南昌模拟)已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝________.[解析] (1)法一：(1－x )6的展开式的通项为C m 6·(－x )m ＝C m 6(－1)m x m 2，(1＋x )4的展开式的通项为C n 4·(x )n＝C n 4x n 2，其中m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4.令m 2＋n 2＝1，得m ＋n ＝2， 于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数等于C 06·(－1)0·C 24＋C 16·(－1)1·C 14＋C 26·(－1)2·C 04＝－3. 法二：(1－x )6(1＋x )4＝[(1－x )(1＋x )]4(1－x )2＝(1－x )4(1－2x ＋x ).于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数为C 04·1＋C 14·(－1)1·1＝－3. (2)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为C 46a 2，含x 项的系数为C 56a ，由(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，可得－C 46a 2＋C 56a ＝0，因为a 为正实数，所以15a ＝6，所以a ＝25.[答案] (1)B (2)25[解题技法]求形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，根据二项式定理把(a ＋b )m 与(c ＋d )n 分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a ＋b )m 与(c ＋d )n 的展开式中的哪些项相乘得到； 第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 考法(三) 求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例3] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( )A.10B.20C.30D.60(2)将3)44(-+xx 展开后，常数项是________. [解析] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为T k ＋1＝C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x 6－k ，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.(2)3)44(-+x x ＝6)2(x x -展开式的通项是C k 6(x )6－k ·k x)2(-＝(－2)k ·C k 6x3－k. 令3－k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.[解析] (1)C (2)－160 [解题技法]求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，把三项的和a ＋b ＋c 看成是(a ＋b )与c 两项的和； 第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.[题组训练]1.(2018·洛阳第一次统考)若a ＝⎰πs inxdx ，则二项式6)1(xx a -的展开式中的常数项为( )A.－15B.15C.－240D.240解析：选D 由a ＝∫π0 sin x d x ＝(－cos x )|π0＝(－cos π)－(－cos 0)＝1－(－1)＝2，得6)12(xx -的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(2x )6－rr x )1(-＝(－1)r C r 6·26－r ·x 3－32r ，令3－32r ＝0，得r ＝2，故常数项为C 26·24＝240.2.(2019·福州四校联考)在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)解析：二项展开式中，含x 5的项是C 562x 5－x 3C 2624x 2＝－228x 5，所以x 5的系数是－228.答案：－228 3.5)212(++x x (x ＞0)的展开式中的常数项为________. 解析：5)212(++x x (x ＞0)可化为10)12(xx +，因而T r ＋1＝C r 10)21(10－r (x )10－2r ，令10－2r ＝0，得r ＝5，故展开式中的常数项为C 510·)21(5＝6322. 答案：6322考点二 二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若nxx )1(3+展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( ) A.63x B.4x C.4x 6x D.4x或4x 6x(2)若nxx )1(2-的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________. [解析] (1)令x ＝1，可得nxx )1(3+的展开式中各项系数之和为2n ，即8＜2n ＜32，解得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )223)1(x ＝63x .(2)nxx )1(2-的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n (x 2)n －r ·r x)1(-＝C r n (－1)r x2n－3r，因为含x 的项为第6项，所以r ＝5,2n －3r ＝1，解得n ＝8， 在(1－3x )n 中，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(1－3)8＝28， 又a 0＝1，所以a 1＋…＋a 8＝28－1＝255.(3)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5，② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3. [答案] (1)A (2)255 (3)3[解题技法]1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如： (1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可. (2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.[题组训练]1.(2019·包头模拟)已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( )A.1B.243C.121D.122 解析：选B 令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1，① 令x ＝－1，得－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243，② ①＋②，得2(a 4＋a 2＋a 0)＝－242， 即a 4＋a 2＋a 0＝－121.①－②，得2(a 5＋a 3＋a 1)＝244，即a 5＋a 3＋a 1＝122. 所以|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝122＋121＝243.2.若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________.解析：令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9， 又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39，∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1. 答案：－3或13.已知(1＋3x )n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________.解析：由已知得C n －2n ＋C n －1n ＋C n n＝121，则12n ·(n －1)＋n ＋1＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8. 答案：C 715(3x )7和C 815(3x )8考点三 二项展开式的应用[典例精析]设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( )A.0B.1C.11D.12 [解析] 由于51＝52－1，512 018＝(52－1)2 018＝C 02 018522 018－C 12 018522 017＋…－C 2 0172 018521＋1，又13整除52，所以只需13整除1＋a ，又0≤a ＜13，a ∈Z ，所以a ＝12.[答案] D[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.[题组训练]1.使得多项式81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1能被5整除的最小自然数x 为( )A.1B.2C.3D.4解析：选C ∵81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1＝(3x ＋1)4，∴上式能被5整除的最小自然数为3.2.1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数为________. 解析：∵1－90C 110＋902C 210＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910，∴8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数为1.答案：1[课时跟踪检测]A 级 1.(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)342)2(x x -的展开式中的常数项为( )A.－32B.32C.6D.－6 解析：选D 通项T r ＋1＝C r 3)2(2x3－r ·(－x 4)r ＝C r 3(2)3－r·(－1)r x －6＋6r ，当－6＋6r ＝0，即r ＝1时为常数项，T 2＝－6，故选D.2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－90121解析：选C 由二项式定理，得a 1＝－C 1524＝－80，a 2＝C 2523＝80，a 3＝－C 3522＝－40，a 4＝C 452＝10，所以a 2＋a 4a 1＋a 3＝－34.3.若二项式72)(xax +的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A.560B.－560C.280D.－280解析：选A 取x ＝1，得二项式72)(xa x +的展开式的各项系数之和为(1＋a )7，即(1＋a )7＝－1,1＋a ＝－1，a ＝－2.二项式72)2(xx -的展开式的通项T r ＋1＝C r 7·(x 2)7－r ·)2(x-r ＝C r 7·(－2)r ·x 14－3r.令14－3r ＝2，得r ＝4.因此，二项式72)2(xx -的展开式中含x 2项的系数为C 47·(－2)4＝560.4.(2018·山西八校第一次联考)已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A.29B.210C.211D.212解析：选A 由题意得C 4n ＝C 6n ，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29. 5.二项式92)21(x x-的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )A.－671B.671C.672D.673解析：选B 令x ＝1，可得该二项式各项系数之和为－1.因为该二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9)1(x9－r·(－2x 2)r ＝C r 9(－2)r ·x 3r －9，令3r －9＝0，得r ＝3，所以该二项展开式中的常数项为C 39(－2)3＝－672，所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671.6.(2018·石家庄二模)在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( )A.－5B.－15C.－25D.25解析：选B 由题意含x 4项的系数为－2C 35＋C 45＝－15.7.(2018·枣庄二模)若(x 2－a )10)1(xx +的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12 C.1 D.2 解析：选D 10)1(xx +的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·r x)1(＝C r 10·x 10－2r，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 4项的系数为C 310.令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 6项的系数为C 210.所以(x 2－a )10)1(xx +的展开式中x 6的系数为C 310－a C 210＝30，解得a ＝2.8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( )A.1或3B.－3C.1D.1或－3解析：选D 令x ＝0，得a 0＝(1＋0)6＝1.令x ＝1，得(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6.∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或m ＝－3.9.(2019·唐山模拟)(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)解析：(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数是C 3623(－1)3＝－160.答案：－16010.(2019·贵阳模拟)9)(xa x +的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________. 解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x9－rr xa)(＝a r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，所以a 3C 39＝－84，解得a＝－1，所以二项式为9)1(xx -，令x ＝1，则(1－1)9＝0，所以展开式的各项系数之和为0. 答案：011.5)11(++xx 展开式中的常数项为________. 解析：5)11(++x x 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·)1(xx +5－r .令r ＝5，得常数项为C 55＝1，令r ＝3，得常数项为C 35·2＝20，令r ＝1，得常数项为C 15·C 24＝30，所以展开式中的常数项为1＋20＋30＝51. 答案：51 12.已知n xx )21(4+的展开式中，前三项的系数成等差数列.(1)求n ；(2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项.解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ， 由已知得2×12C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，解得n ＝8(n ＝1舍去). (2)84)21(xx +的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x )8－r·)21(4xr ＝2－r C r 8x 4－3r4(r ＝0,1，…，8)， 要求有理项，则4－3r 4必为整数，即r ＝0,4,8，共3项，这3项分别是T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2.(3)设第r ＋1项的系数a r ＋1最大，则a r ＋1＝2－rC r8，则a r ＋1a r ＝2－r C r82－(r －1)C r －18＝9－r 2r ≥1，a r ＋1a r ＋2＝2－r C r 82－(r ＋1)C r ＋18＝2(r ＋1)8－r≥1， 解得2≤r ≤3.当r ＝2时，a 3＝2－2C 28＝7，当r ＝3时，a 4＝2－3C 38＝7，因此，第3项和第4项的系数最大，B 级1.在二项式nxx )1(-的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有x 2项的系数是( )A.35B.－35C.－56D.56解析：选C 由于第五项的二项式系数最大，所以n ＝8.所以二项式8)1(xx -展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－x －1)r ＝(－1)r C r 8x8－2r，令8－2r ＝2，得r ＝3，故展开式中含有x 2项的系数是(－1)3C 38＝－56.2.已知C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn 的值等于( )A.64B.32C.63D.31解析：选C 因为C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，所以(1－4)n ＝36，所以n ＝6，因此C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n －1＝26－1＝63.3.(2019·济南模拟)5)12)((xx x ax --的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 4项的系数为________. 解析：令x ＝1，可得5)12)((xx x a x --的展开式中各项系数的和为1－a ＝2，得a ＝－1，则5)12)(1(xx x x -+展开式中含x 4项的系数即是5)12(xx -展开式中的含x 3项与含x 5项系数的和.又5)12(xx -展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(－1)r ·25－r ·x 5－2r，令5－2r ＝3，得r ＝1，令5－2r ＝5，得r ＝0，将r ＝1与r ＝0分别代入通项，可得含x 3项与含x 5项的系数分别为－80与32，故原展开式中含x 4项的系数为－80＋32＝－48.答案：－484.设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x 2 019＝( ) A.i B.－i C.－1＋i D.－i －1解析：选D 因为x ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，所以C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x 2 019＝(1＋x )2 019－1＝(1－1＋i)2 019－1＝i 2 019－1＝－i －1.5.已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A.39B.310C.311D.312解析：选D 对(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9两边同时求导，得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋8a 8x 7＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝32.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝312.6.设a ＝⎠⎛012x d x ，则二项式62)1(xax -展开式中的常数项为________.解析：a ＝⎠⎛012x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，则二项式62)1(x ax -＝62)1(xx -，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·)1(x-r ＝(－1)r C r 6x12－3r，令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为(－1)4C 46＝15.答案：15。
二项式定理公式规律
二项式定理公式规律一、二项式定理公式。
(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^k a^n - kb^k，其中C_n^k=(n!)/(k!(n - k)!)，n∈ N^*。
二、公式规律。
（一）二项展开式的项数。
1. 规律。
- 对于(a + b)^n的展开式，共有n+1项。
例如(a + b)^3=a^3 + 3a^2b+3ab^2 +b^3，这里n = 3，展开式有3 + 1=4项。
2. 理解。
- 展开式的项数与指数n有关，从k = 0到k=n，一共n+1个取值，所以有n + 1项。
（二）二项展开式的通项公式。
1. 规律。
- 二项展开式的通项公式为T_k+1=C_n^k a^n - kb^k（k = 0,1,·s,n）。
例如在(x+2)^5中，a=x，b = 2，n = 5，其通项公式T_k + 1=C_5^k x^5 - k2^k。
2. 理解。
- 通项公式表示展开式中的任意一项。
通过确定k的值，可以得到展开式中特定的项。
它是研究二项式展开式性质的重要工具。
（三）二项式系数的规律。
1. 对称性。
- 规律。
- 二项式系数C_n^k具有对称性，即C_n^k=C_n^n - k。
例如在(a + b)^5的展开式中，C_5^1 = C_5^4，C_5^2=C_5^3。
- 理解。
- 从组合数的定义来看，从n个元素中选k个元素的组合数与从n个元素中选n - k个元素的组合数是相等的。
在二项展开式中，这意味着距离首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。
2. 增减性与最大值。
- 规律。
- 当n为偶数时，中间一项（第(n)/(2)+1项）的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项（第(n + 1)/(2)项和第(n+3)/(2)项）的二项式系数相等且最大。
- 二项式系数先增大后减小。
对于(a + b)^n，二项式系数C_n^k随着k从0到n变化时，当k<(n)/(2)（n为偶数）或k<(n - 1)/(2)（n为奇数）时，C_n^k单调递增；当k>(n)/(2)（n为偶数）或k>(n+1)/(2)（n为奇数）时，C_n^k单调递减。
二项式定理--通项公式
练习3.知四有一：
(6)课本P：31 例2
(7)(2009年全国Ⅰ) (x y)10的展开式中，x7 y3 的系数
与 x3 y7 的系数之和等于_________
析:
因
Tr 1
(1)r
C
r 10
x 10r
y
r
故有 C130 (C170 ) 2C130 240
特殊幂
① a0
1②
an
1 an
⑦ an bn (当n 2,3时，背诵之)
⑧
(a b)n
当 当nn
42时,3时, 二，项背式诵定之理
⑨ (a b)n an bn
m
⑥ a n n am
同底幂
⑩
( a )n b
an bn
异底幂
§248 二项式定理——通项公式
Tr1 Cnr anrbr
注2. 常用的排列数： An0 1 An1 n Ann n！
注3.常用的组合数： Cn0 1 Cn1 n Cnn 1
两理两数四原则 十大题型递推法
排列与组合的关联：
① 排列有序，组合无序，可用特值法来验证有无顺序
② 先组后排：排列可以看作是先取组合，再做全排列
Anm Cnm m!
两理两数四原则 十大题型递推法
(1)条型域：
如图，1 2 3 … n ,用k种颜色染n块区域，相邻
区域不能同色, 则共有 tn k(k 1)n1 种染法
注1：染色基础是条型 方法多多随爱好 从头到尾逐个染 乘法原理显神功
注2：隐含了颜色有剩余
2.环型域： ①无心环型域: 如图，用k种不同的颜色,涂圆中n块区域
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六、二项式定理一、指数函数运算知识点：1．整数指数幂的概念*)(N n a a a a a an n ∈⋅⋅=个 )0(10≠=a a ,0(1N n a a a nn ∈≠=- 2．运算性质： ),(Z n m a a a n m n m ∈=⋅+ ，),()(Z n m a a mn n m ∈=，)()(Z n b a ab n n n ∈⋅= 3．注意 ① nma a ÷可看作nmaa -⋅ ∴n m a a ÷=nm aa -⋅=m a-② n b a )(可看作n n b a -⋅ ∴n b a )(=n n b a -⋅n nb4、n m nma a = (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)例题：例1求值：4332132)8116(,)41(,100,8---.例2用分数指数幂的形式表示下列各式：1） a a a a a a ,,3232⋅⋅ (式中a ＞0) 2)43a a ⋅ 3）a a a例3计算下列各式（式中字母都是正数）);3()6)(2)(1(656131212132b a b a b a -÷- .))(2(88341n m 例4计算下列各式： );0()1(322>a aa a 435)12525)(2(÷-例5化简：)()(41412121y x y x -÷-例6 已知x+x -1=3,求下列各式的值：.)2(,)1(23232121--++x x xx二、二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k k n nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++ ,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++- ，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012nn n n n C C C +++= ，即二项式系数和等于2n； 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n mn n C C -=. （2）二项式系数k n C 增减性与最大值：当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC+相等，且同时取得最大值. 3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6……=2)1()1(-+f f ⑷ a 1+a 3+a 5+a 7 (2)1()1(--f f三、经典例题1、“n b a )(+展开式例1．求4)13(xx +的展开式；解：原式=4)13(xx +=24)13(x x +=])3()3()3()3([144342243144042C CCCC x x x x x ++++=54112848122++++xx x x【练习1】求4)13(xx -的展开式 2.求展开式中的项 例2.已知在n 的展开式中，第6项为常数项.（1） 求n ； （2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项. 解：（1）通项为2333111()()22n r rn r rr r r r nn T C xx C x ---+=-=- 因为第6项为常数项，所以r=5时，有23n r-=0，即n=10. （2）令1023r -=2，得2r =所以所求的系数为2210145()24C -=. （3）根据通项公式，由题意1023010,rZ r r Z-⎧∈⎪⎨⎪≤≤∈⎩令102()3rk k Z -=∈，则352k r =-，故k 可以取2,0,2-，即r 可以取2，5，8. 所以第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为22255882101010111(),(),()222C x C C x ----.【练习2】若n 展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项. 3.二项展开式中的系数例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)n x -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)nx x-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项（先看例9）. 解：由题意知，222992nn -=，所以232n =，解得n=5.（1） (1)由二项式系数性质，101(2)x x-的展开式中第6项的二项式系数最大.5556101(2)()8064T C x x=-=-. （2） 设第1r +项的系数的绝对值最大，110rr T C += 10(2)r x -10102101()(1)2r r r r r C x x---=- 101111010101910102222r r r r r rr r C C C C ----+-⎧≥∴⎨≥⎩得110101101022r r r r C C C C -+⎧≥∴⎨≥⎩，即1122(1)10r r r r -≥⎧⎨+≥-⎩，解得81133r ≤≤. ,3r Z r ∈∴= ，故系数的绝对值最大的项是第4项，3744410215360T C x x =-=-.[练习3]已知*22)()nn N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1. (1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项. 4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ； 解：在展开式中，3x 的来源有：① 第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为667)2(-C ；② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为447)2(-C3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008。
5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ； 解：36323)1(])1([)21(x x x x x x -=-=-+，该式展开后常数项只有一项33336)1(x x C-，即20-6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；解：,)1()(310101rrrr xx T C -=-+ ∴展开式的中间项为535510)1()(xx C-即：65252x -。
当n 为奇数时，nb a )(+的展开式的中间项是212121-+-n n n n ba C和212121+-+n n n nba C；当n 为偶数时，nb a )(+的展开式的中间项是222n n n nb a C。
7、有理项例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；解：341010310101)1()1()(rr r r rr r x xr T CC --+-=-=∴当9,6,3,0=r 时，所对应的项是有理项。
故展开式中有理项有4项。
① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。
8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ； 解：r r rr x T C)1(11111-=-+∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r11为最大，由此得5=r ，从而可知最小项的系数为462)1(5511-=-C（2） 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；解：记第r 项系数为r T ，设第k 项系数最大，则有 ⎩⎨⎧≥≥+-11k k k k T T T T 又1182.+--=r r r C T ，那么有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+--+--+--kkk k k k k k C C C C 2.2.2.2.8118228118即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥⨯--⨯--≥--)!8(!!82)!9)!.(1(!82)!10)!.(2(!8)!9)!.(1(!8K K K K K K K k⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-∴KK K K 1922211解得43≤≤k ，∴系数最大的项为第3项2537x T =和第4项2747x T =。
（3） 系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；解：求系数绝对最大问题都可以将“n b a )(-”型转化为")("nb a +型来处理，故此答案为第4项4347y x C ，和第5项5257y x C -。
9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；解： 443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+令1=x ，有432104)32(a a a a a ++++=+， 令1-=x ，有)()()32(314204a a a a a +-++=+- 故原式=)]()).[((3142043210a a a a a a a a a a +-++++++=44)32.()32(+-+=1)1(4=-【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-， 则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；解： 2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，令1=x ，有1...)21(20042102004=++++=-a a a a 令0=x ，有1)01(02004==-a 故原式=020*********)...(a a a a a +++++=200420031=+ 【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ； 解：rr rr x T C )1()2(661-=-+ ∴65432106210...a a a a a a a a a a a +-+-+-=++++ =)()(5316420a a a a a a a ++-+++ =110利用二项式定理求近似值例15．求6998.0的近似值，使误差小于001.0；分析：因为6998.0=6)002.01(-，故可以用二项式定理展开计算。