(甘志国)蒙日圆及其证明
大招9 蒙日圆及其证明
大招9 蒙日圆及其证明 大招总结定理1曲线2222:1x y a bΓ+=的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆2222x y a b +=+.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.证明当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时,可得点P 的坐标是(,)a b ±,或(,)a b ±-.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时,可设点P 的坐标是()(000,x y x ≠±a ,且)0y b ≠±,所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是()00(0)y y k x x k -=-≠. 由()2222001x y a b y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩,得 ()()()222222222000020a kb x ka kx y x a kx y a b +--+--=由其判别式的值为0,得()()222222200000200xa k x y k yb x a --++=-≠因为,PA PB k k 是这个关于k 的一元二次方程的两个根,所以220220PA PBy b k k x a-⋅=- 由此,得2222001PA PB k k x y a b ⋅=-⇔+=+进而可得欲证成立.定理2（1）双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222x y a b +=-; （2）抛物线22y px =的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.定理3过圆2222x y a b +=+上的动点P 作椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两条切线PA,PB,则.PA PB ⊥证明:设P 点坐标()00x y由()2222001x y a b y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得()()()222222222000020a k b x ka kx y x a kx y a b +--+--= 由其判别式的值为0, 得()()222222200000200x akx y k y b x a --+-=-≠因为,PA PB k k 是这个关于k 的一元二次方程的两个根,所以220220PA PBy b k k x a-⋅=- 22222200220,1,PA PBy b x y a b k k PA PB x a -+=+⋅==-⊥- 定理4设P 为蒙日圆2222:O x y a b +=+上任一点,过点P 作椭圆22221x y a b+=的两条切线,交椭圆于点A,B,O 为原点,则OP,AB 的斜率乘积为定值22OP AB b k k a⋅=-定理5设P 为蒙日圆2222:O x y a b +=+上任一点,过点P 作椭圆22221x y a b+=的两条切线,切点分别为A,B,O 为原点,则OA,PA 的斜率乘积为定值22OA PA b k k a ⋅=-,且OB,PB 的斜率乘积为定值OB k ⋅22(PB b k a=-垂径定理)定理6过圆2222x y a b +=+上的动点P 作椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两条切线,O 为原点,则PO 平分椭圆的切点弦AB.证明:P 点坐标()00,x y ,直线OP 斜率00OP y k x =由切点弦公式得到AB 方程200022201,AB x x y y b x k a b a y +==-22OP ABb k k a⋅=-,由点差法可知,OP 平分AB,如图M 是中点定理7设P 为蒙日圆2222:O x y a b +=+上任一点,过点P 作椭圆22221x y a b+=的两条切线,切点分别为A,B,延长PA,PB 交伴圆O 于两点C,D,则//CD AB . 证明:由性质2可知,M 为AB 中点.由蒙日圆性质可知,90APB ︒∠=,所以MA MB MP ==. 同理OP OC OD ==.因此有PAM APM CPO PCO ∠=∠=∠=∠, 所以//AB CD .典型例题(例1.)(2020春-安徽月考)已知点P 为直线40ax y +-=上一点,PA,PB 是椭圆222:1(1)x C y a a+=>的两条切线,若恰好存在一点P 使得PA PB ⊥,则椭圆C 的离心率为 解方法1:设(,)P m n ,过点P 的切线方程为()y n k x m -=-,联立222()1y n k x m x y a-=-⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()22222212()()10k a x ka n km x a n km ⎡⎤++-+--=⎣⎦, 直线与椭圆相切,()24222224()41()10k a n km a k a n km ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦,整理得()2222210am k mnk n -++-=,若切线PA,PB 的斜率均存在,分别设为12,k k ,212221,1n PA PB k k a m-⊥∴⋅==--,即2221m n a +=+, ∴点P 在以(0,0)为圆心,即(0,0)到直线40ax y +-=d ∴==,解得a =1,a a >∴=若切线PA,PB 分别与两坐标轴垂直,则(,1)P a 或(,1)a -或(,1)a -或(,1)a --, 存在点(,1)P a ,将其代入直线40ax y +-=中,解得a =综上所述,a =又1,b c =∴==∴离心率3c e a ===. 故答案为. 方法2:在方法1中,实际上证明了一遍蒙日圆,如果知道结论,可得P 的轨迹2221x y a +=+,且此圆与40ax y +-=相忉.其中(0,0)到直线40ax y +-=的距离d =d ∴==,解得a =1,a a >∴=又1,b c =∴==∴离心率3c e a ===.故答案为. (例2.)(2020春-安徽月考)已知两动点A,B 在椭圆222:1(1)x C y a a+=>上,动点P 在直线3410x y +-0=上,若APB ∠恒为锐角,则椭圆C 的离心率的取值范围为解由结论可知:椭圆2221x y a+=的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是冡日圆2221x y a +=+,若APB ∠恒为锐角,则直线34100x y +-=与圆2221x y a +=+相离,>,又1,1a a >∴<<,.c e a ⎛∴=== ⎝⎭故答案为:⎛ ⎝⎭.例3.已知22:1O x y +=.若直线2y kx =+上总存在点P ,使得过点P 的O 的两条切线互相垂直,则实数k 的取值范围是解(,1][1,-∞-⋃+∞).在下图中,若小圆(其圆心为点O ,半径为r )的过点A 的两条切线AB,AD 互相垂直（切点分别为E,F ）,得正方形AEOF,所以|||OA OE ==,即点A 的轨迹是以点O 为圆心为半径的圆.由此结论可得:在本题中,点P 在圆222x y +=上.所认本题的题意即直线2y kx =+与圆222x y +=有公共点,进而可得答案.例4.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为0),（1）求椭圆C 的标准方程;（2）若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.解（1）依题意有3,2c a b ===故所求椭圆C 的标准方程为22194x y +=. （2）当两条切线的斜率存在时,设过()00,P x y 点的切线为()00y y k x x -=-. 联立()0022194y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()()222004918360k xk y kx ++--=判别式()()()222222000018364940x k y kx k y kx ⎡⎤∆=+--+--=⎣⎦,化简得()2200940y kx k ---=,即()2220000924x k x y k y --+-.依题意得201220419y k k x -⋅==--,即220013x y +=(可由222200x y a b +=+直接可得答案) (例5.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为0),点P 为圆22:13M x y +=上任意一点,O 为坐标原点. （I ）求椭圆C 的标准方程;（II ）记线段OP 与椭圆交点为Q ,求|PQ|的取值范围;（III ）设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切,l 与圆M 相交于另一点A ,点A 关于原点O 的对称点为B ,试判断直线PB 与椭圆C 的位置关系,并证明你的结论.解（I）由题意可知:c c e a ===,则2223,4a b a c ==-=,∴椭圆的标准方程:22194x y +=; （III ）由题意可知:||||||||PQ OP OQ OQ =-=,设()221111,,194x y Q x y +=, ||OQ ∴===由1[3,3]x ∈-,当10x =时,min ||2OQ =,当13x =±时,max ||3OQ =,||PQ ∴的取值范围2]; （III ）证明:由题意,点B 在圆M 上,且线段AB 为圆M 的直径,所以PA PB ⊥.分3种情况讨论,（1）当直线PA x ⊥轴时,易得直线PA 的方程为3x =±,由题意,得直线PB 的方程为2y =±, 显然直线PB 与椭圆C 相切.（2）同理当直线//PA x 轴时,直线PB 也与椭圆C 相切. （3）当直线PA 与x 轴既不平行也不垂直时,设点()00,P x y ,直线PA 的斜率为k ,则0k ≠,直线PB 的斜率1k-, 所以直线()00:PA y y k x x -=-,直线()001:PB y y x x k-=--, 由()0022194y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,得()()()220000941892360.k x y kx kx y kx ++-+--=因为直线PA 与椭圆C 相切,所以()()()22210000184949360y kx k k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--+--=⎣⎦⎣⎦, 整理,得()222100001449240x k x y k y ⎡⎤∆=---+-=⎣⎦ 同理,由直线PB 与椭圆C 的方程联立,得()2220000211144924x x y y k k ⎡⎤∆=--++-⎢⎥⎣⎦.（2）因为点P 为圆22:13M x y +=上任意一点,所以220013x y +=,即220013y x =-.代入（1）式,得()()22200009290x k x y k x --+-=, 代入（2）式,得()()()2222200000002214414492492(9x x y k y k x x y k k k⎡⎤⎡∆=--++-=--++-⎣⎦⎣)220x k ⎤⎦, ()()222000021449290x k x y k x k⎡⎤=--+-=⎣⎦. 所以此时直线PB 与椭圆C 相切. 综上,直线PB 与椭圆C 相切. 例6.(2021-安徽模拟)已知圆22:5O x y +=,椭圆2222:1(0)x y a b aΓ+=>>的左,右焦点为12,F F ,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和.（I ）求椭圆的标准方程;（II ）如图P 为圆上任意一点,过P 分别作椭圆两条切线切椭圆于A,B 两点. （i ）若直线PA 的斜率为2,求直线PB 的斜率；（ii ）作PQ AB ⊥于点Q ,求证:12QF QF +是定值.解（I）由题意可得2,21b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得2,1,a b c ===所以椭圆的方程为2214x y +=.（II ）（I ）设()00,P x y ,切线()00y y k x x -=-,则22005x y +=, 由()220014x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩,化简得()()()2220000148440,k x k y kx x y kx ++-+--=,由0∆=得()2220004210x kx y k y -++-=,设切线PA,PB 的斜率分别为12,k k ,则()2200122200111445y y k k x y --===----, 又直线PA 的斜率为2,则直线PB 的斜率为12-. （II ）当切线PA,PB 的斜率都存在时,设()()1122,,,A x y B x y ,切线PA,PB 的方程为(),1,2i i i y y k x x i -=-=, 由（1）得()2224210,1,2,(*)i i i i i x k x y k y i -++-==又A,B 点在椭圆上得,221,1,2,(*)4i i x y i +== 得2202i i i x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即,1,24i i i x k i y =-=,氻线PA,PB 的方程为1,1,24i i x xy y i +==,又过,点P ,则001,1,24i i x xy y i +==,所直线AB 的方程为0014x xy y +=,(可直接代㔹点弦方程)由PQ AB ⊥的直线PQ 的方程为()00004y y y x x x -=-,联立直线AB 方程为0014x xy y +=,解得()()22000000222200004131341,165165Q Q x y y y x x y y x y x y ++====++, 由22005x y +=得,点Q 轨迹方程为2255116x y +=,且焦,点恰为12,F F ,故122QF QF +==,当切线PA,PB 的斜率有一个不存在时,易得12QF QF +=.综上,125QF QF +=. 自我检测1.(2021-全国二模)已知双曲线2221(1)4x y a a -=>上存在一点M ,过点M 向圆221x y +=做两条切线MA,MB,若0MA MB ⋅=,则实数a 的取值范围是(）A.B.C.)+∞D.)+∞ 答案：方法1:双曲线2221(1)4x y a a -=>上存在一点M ,过点M 向圆221x y +=做两条切线MA 、MB,若MA0MB =,可知MAOB 是正方形,MO =,所以a ∈.故选B.方法2:过点M 向圆221x y +=做两条切线MA 、MB,若0,MA MB M ⋅=点轨迹即为蒙日圆222x y +=,且此圆与双曲线2221(1)4x y a a -=>有公共点M ,所以a ∈.故选B2.给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,称圆心在原点O ,C 的“准圆”.已知椭圆C 的一个焦点为F ,其短轴的一个端点到点F （I ）求椭圆C 及其“准圆”的方程（II ）若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点,B,D 是椭圆C 上的相异两点,且BD x ⊥轴,求AB AD ⋅的取值范围;（III)在椭圆C 的“准圆”上任取一点(,)P s t ,过点P 作两条直线12,l l ,使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点,且12,l l 分别与椭圆的“准圆”交于M,N 两点.证明:直线MN 过原点O .答案：（I ）解:由题意知c a ==,解得1b =,∴椭圆C 的方程为2213x y +=,其“准圆”为224x y +=.（II ）解:由题意,设((,),(,),B m n D m n m -<<则有2213m n +=, 又A 点坐标为(2,0),故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--,2222(2)4413m AB AD m n m m ⎛⎫∴⋅=--=-+-- ⎪⎝⎭2244343332m m m ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭,又243[0,732m m ⎛⎫<<∴-∈+ ⎪⎝⎭.AB AD ∴⋅的取值范围是[0,7+. （III ）设(,)P s t ,则224s t +=,当s =,1t =±,则12,l l 其中之一斜率不存在,另一条斜率为0,12l l ∴⊥.当t ≠,设过(,)P s t 且与有一个公共点的直线l 的斜率为k , 则l 的方程为()y t k x s -=-,代人椭圆C 的方程,得:223[()]3x k x s t +-+=,即()222316()3()30k x k t ks x t kt +--+--=,由()222236()4313()30k t ks k t kt ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦,得()2223230tkstk t -++-=,其中230t -≠,设12,l l 的斜率分别为12,k k ,则12,k k 分别是上述方程的两个根,12121,k k l l ∴=-∴⊥.综上所述,12l l ⊥,MN ∴是准圆的直径,∴直线MN 过原点O .3.已知A 是圆224x y +=上的一个动点,过点A 作两条直线12,l l ,它们与椭圆2213x y +=都只有一个公共点,且分别交圆于点M,N（1）若(2,0)A -,求直线12,l l 的方程;（2）（1）求证:对于圆上的任意点A ,都有12l l ⊥成立; （2）求AMN 面积的取值范围.答案：(1)解:设直线的方程为(2)y k x =+,代人椭圆2213x y +=,消去y ,可得()222213121230k x k x k +++-=由0∆=,可得210k -=设12,l l 的斜率分别为1212,,1,1k k k k ∴=-= ∴直线12,l l 的方程分别为2,2y x y x =--=+;(2)(1)证明:当直线12,l l 的斜率有一条不存在时,不妨设1l 无斜率1l 与椭圆只有一个公共点,所以其方程为x =当1l的方程为x =,此时1l与圆的交点坐标为1±),所以2l 的方程为1y =(或)121,y l l =-⊥成立,同理可证,当1l的方程为x =,结论成立;当直线12,l l 的斜率都存在时,设点(,)A m n ,且224m n += 设方程为()y k x m n =-+,代人椭圆方程,可得()22136()3()230k xk n km x n km ++-+--=由0∆=化简整理得()2223210mkmnk n -++-=224m n +=()2223230m k mnk m ∴-++-=设12,l l 的斜率分别为121212,,1,k k k k l l ∴=-∴⊥成立 综上,对于圆上的任意点A ,都有12l l ⊥成立; (2)记原点到直线12,l l 的距离分别为12,d d ,22124,d d AMN +=∴面积()()2222222121114444216S d d d d d ==-=--+221[1,3],[12,16]d S ∈∴∈4]S ∴∈.4.过P 点作椭圆两条切线,若椭圆的两条切线互相垂直,设圆心到切点弦的距离为1,d P 到切点弦的距离为2d 证明12d d 之积为常数.答案：证明:如图所示,设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>,那么在椭圆上A,B 两处切线的交点P 在圆2222(\neq )a x y a b x +=+,现设)Pθθ,那么AB 的直线方程为220xb ya a b θθ+-=.原点到切点弦AB 的距离221d =切线交点P 到切点弦AB 的距离是42422d==所以221222a b d d a b=+(常数).5.(2021贵州模拟)已知椭圆22:1,2x C y M +=是圆223x y +=上的任意一点,MA,MB 分别与椭圆切于A,B.求AOB 面积的取值范围.答案：设()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ,得1212:1,:122x x x x MA y y MB y y +=+=,且2203x y += 由()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ,得010201021,122x x x x y y y y +=+=,从而00:12x xAB y y +=将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立,得 ()22200034440y x x x y +--+=. 所以,20012122200444,33x y x x x x y y -+==++, 因此,)202013y AB y +=+.又原点O 到直线AB的距离d ==所以01||22OABS AB d =⋅=令[1,2]t =,得到21222,2332OABt St t t⎡==⋅∈⎢+⎣⎦+6.(2021河北模拟)设椭圆22154x y +=的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C ,曲线C 的两条切线PA,PB 交于点P ,且与C 分别切于A,B 两点,求PA PB ⋅的最小值.答案：设两切线为12,l l(1)当1l x ⊥轴或1//l x 轴时,对应2//l x 轴或2l x ⊥轴,可知(2)P ±; (2)当1l 与x 轴不垂直且不平行时,x ≠设1l 的斜率为k ,则20,k l ≠的斜率为11,l k-的方程为y -()00y k x x =-,联立22154x y +=, 得()()()222000054105200k x y kx kx y k ++-+--=,因为直线与椭圆相切,所以0∆=,得()()()2222000055440y kx k k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦,()220020440k y kx ⎡⎤∴-+--=⎣⎦,()22200005240x k x y k y ∴--+-=,所以k 是方程()22200005240x k x y k y --+-=的一个根, 同理1k-是方程()22200005240x k x y k y --+-=的另一个根, 2020415y k k x -⎛⎫∴⋅-= ⎪-⎝⎭得22009x y +=,其中x ≠所以点P的轨迹方程为229(x y x +=≠, 因为(3,2)P ±±满足上式,综上知:点P 的轨迹方程为229x y +=.设,PM PB x APB θ==∠=,则在AOB 与APB 中应用余弦定理知,2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅⋅∠ 222cos PA PB PA PB APB =+-⋅⋅∠,即()3322\38cdo 3233cos 102c s t o x x x x θθ︒+-⋅⋅-=+-⋅,即 29(1cos )1cos x θθ+=-||||cos cos PA PB PA PB APB x x θ⋅=⋅∠=⋅9(1cos )cos 1cos θθθ+=-令1cos (0,2]t θ=-∈,则cos 1t θ=-. ()29329(2)(1)293t t t t PA PB t t t t -+--⎛⎫⋅===⋅+ ⎪-⎝⎭9233)t ⎛⎫⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭且仅当2t t=,即t =时,PA PB ⋅取得最小3).7.(衡水中学模拟)如图,在平面直角坐标系xOy,设点()00,M x y 是椭圆22:12412x y C +=上一点,从原点O 向圆()()22008M x x y y -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点P,Q .（1）若M 点在第一象限,且直线OP,OQ 互相垂直,求圆M 的方程; （2）若直线OP,OQ 的斜率存在,分别记为12,k k .求12k k ⋅的值;（3）试问22||||OP OQ +是否为定值?若是求出该定值;若不是,说明理由.答案：(1)由圆M的方程知圆M的半径r=因为直线OP,OQ互相垂直,且和圆M相切,所以||4OM==,即220016x y+=又点R在椭圆C上,所以2212412x y+=联立(1)(2),解得0xy⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以,所求圆M的方程为22((8x y-+-=.(2)因为直线1:OP y k x=和2:OQ y k x=都与圆R相切,(3)==化简得212288yk kx-⋅=-,因为点()00,R x y在椭圆C上,所以2212412x y+=,即22001122y x=-,所以2122141282xk kx-⋅==--(3)(1)当直线OP,OQ不落在坐标轴上时,设()()1122,,,P x y Q x y,由(2)知12210k k+=,所以121221y yx x=,故2222121214y y x x=,因为()()1122,,,P x y Q x y,在椭圆C上,所以222211221,124122412x y x y+=+=即222211221112,1222y x y x=-=-,所以222212121111212224x x x x⎛⎫⎛⎫--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭;整理得221224x x+=,所以222212121112121222y y x x⎛⎫⎛⎫+=-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以2222221122241236OP OQ x y x y+=+++=+=.(2)当直线OP,OQ 落在坐标轴上时,显然有2236OP OQ +=.综上:2236OP OQ +=结论：设点()00,M x y 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上任意一点,从原点O 向圆()20:(M x x y -+-)222022a b y a b=+作两条切线分别与椭圆C 交于点P 、Q,直线OP,OQ 的斜率分别记为12,k k .8.(2021年甘肃省张掖市肃南一中高考数学模拟)已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>的离心率e =且经过点⎛ ⎝⎭,抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点F 与椭圆1C 的一个焦点重合. （I ）过F 的直线与抛物线2C 交于M,N 两点,过M,N 分别作抛物线2C 的切线12,l l ,求直线12,l l 的交点Q 的轨迹方程;（II)从圆22:5O x y +=上任意一点P 作椭圆1C 的两条切线,切点为A,B,证明:AOB ∠为定值,并求出这个定值.答案：（I ）设椭圆的半焦距为c ,则c a =,即a =,则b =,椭圆方程为2222132y x c c +=,将点⎛ ⎝⎭的坐标代人得21c =,故所求的椭圆方程为22132y x +=焦点坐标(0,1)± 故抛物线方程为24x y =.设直线()()1122:1,,,MN y kx M x y N x y =+, 代人抛物线方程得2440x kx --=, 则12124,4x x k x x +==-,由于214y x =,所以12y x '=, 故直线1l 的斜率为111,2x l 的方程为 ()22111111111, ?´ 2224y x x x x y x x x -=-=-同理2l 的方程为2221124y x x x =-,令22112211112424x x x x x x -=-,即 ()()()12121212x x x x x x x -=-+,显然12x x ≠,()1212x x x =+,即点Q 的横坐标是()1212x x +,点Q 的纵坐标是()221111*********124244y x x x x x x x x x =-=+-==-即点(2,1)Q k -,故点Q 的轨迹方程是1y =-.(阿基米德三角形)（II ）证明：(1)当两切线的之一的斜率不存在时,根据对称性,设点P 在第一象限,则此时P ,代人圆的方程得P此时两条切线方程分别为x y ==此时2APB π∠=若APB ∠的大小为定值,则这个定值只能是2π. (2)当两条切线的斜率都存在时,即x ≠, 设()00,P x y ,切线的斜率为k , 则切线方程为()00y y k x x -=-, 与椭圆方程联立消元得()()()2220000324260k xk y kx kx y ++-+--=.由于直线()00y y k x x -=-是椭圆的切线,故()()()222200016432260ky kx k kx y ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦,整理得()22200002230x k x y k y -++-=.切线PA,PB 的斜率12,k k 是上述方程的两个实根,故2012232y k k x -=--, 点P 在圆225x y +=上,故220032y x -=-,所以121k k =-,所以2APB π∠=综上可知:APB ∠的大小为定值2π,得证.。
蒙日圆及其证明
蒙日圆及其证明高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．答案：(1)22194x y +=；(2)2213x y +=．这道高考题的背景就是蒙日圆.普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G.Monge ，1745-1818)作了介绍.以上高考题第(2)问的一般情形是定理 1 曲线1:2222=+Γb y a x 的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆2222b a y x +=+.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是)0)((00≠-=-k x x k y y .由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)(1002222x x k y y b y a x ，得 0)()(2)(2220020022222=--+--+b a y kx a x y kx ka x b k a由其判别式的值为0，得)0(02)(22022*******≠-=++--a x b y k y x k a x因为PB PA k k ,是这个关于k 的一元二次方程的两个根，所以220220ax b y k k PBPA -+=⋅由此，得2220201b a y x k k PB PA +=+⇔-=⋅进而可得欲证成立.定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设两个切点分别是)0)(,(),,(21212211≠y y x x y x B y x A .得直线1:2020=+b y y a x x AB ，切线1:,1:22222121=+=+byy a x x PB b y y a x x PA .所以：2121221121421422221212,x x y y x y x y k k y y a x x b y a x b y a x b k k OB OA PBPA =⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= PBPA OBOA k k a b k k 44= 因为点)2,1)(,(=i y x i i 既在曲线1:2222=+Γb y a x 上又在直线1:2020=+by y a x x AB 上，所以220202222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b y y a x x b y a x i i 0)(2)(2204002222204=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x b x y y x b a xy b y a iiii所以 PBPA OBOA k k a b b y a a x b x x y y k k 44220422042121)()(=--==220220ax b y k k PBPA --= 由此，可得222020b a y x PB PA +=+⇔⊥进而可得欲证成立.再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理.引理1 (椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).图1证明 如图2所示，设P 为椭圆Γ(其左、右焦点分别是21,F F )上任意给定的点，过点P 作21PF F ∠的外角平分线所在的直线)43(∠=∠l .先证明l 和Γ相切于点P ，只要证明l上异于P 的点P '都在椭圆Γ的外部，即证2121PF PF F P F P +>'+'：图2在直线1PF 上选取点F '，使2PF F P ='，得F P P ''∆≌2PF P '∆，所以2F P F P '=''，还得2111121PF PF F P P F F F F P F P F P F P +='+='>''+'='+'再过点P 作21PF F ∠的平分线(12)PA ∠=∠，易得l PA ⊥，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.引理2 过椭圆Γ(其中心是点O ，长半轴长是a )的任一焦点F 作椭圆Γ的任意切线l 的垂线，设垂足是H ，则a OH =.证明 如图3所示，设点F F ,'分别是椭圆Γ的左、右焦点，A 是椭圆Γ的切线l 上的切点，又设直线A F FH ',交于点B .图3由引理1，得B A H F lA FAH ∠='∠=∠(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得FAH ∆≌BAH ∆，所以点H 是FB 的中点，得OH 是F BF '∆的中位线.又AB AF =，所以a AF A F AB A F OH =+'=+'=)(21)(21.引理3 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和. 证明 由余弦定理可证(这里略去过程).引理4 设点P 是矩形ABCD 所在平面上一点，则2222PD PB PC PA +=+.证明 如图4所示，设矩形ABCD 的中心是点O ．图4由引理3，可得22222222)(2)(2PD PB OP OB OP OA PC PA +=+=+=+即欲证成立．注 把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等．定理1的证法3 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图5所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PN PM ,.图5连结OP ，作PN OH PM OG ⊥⊥,，垂足分别是H G ,.过点1F 作PM D F ⊥1，垂足为D ，由引理2得a OD =.再作OG K F ⊥1于K .记θ=∠K OF 1，得θcos 1c K F DG ==. 由Rt ODG ∆，得θ222222cos c a DG OD OG -=-=.又作OH L F PN E F ⊥⊥22,，垂足分别为L E ,.在Rt OEH ∆中，同理可得θ222222sin c a HE OE OH -=-=.(1)若PN PM ⊥，得矩形OGPH ，所以22222222222)sin ()cos (b a c a c a OH OG OP +=-+-=+=θθ(2)若222b a OP +=，得222222222)sin ()cos (OH OG c a c a OP +=-+-=θθ由PM OG ⊥，得222GP OG OP +=，所以OH GP =.同理，有HP OG =，所以四边形OGPH 是平行四边形，进而得四边形OGPH 是矩形，所以PN PM ⊥.由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法4 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形. 如图6所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，两切点分别为B A ,.分别作右焦点2F 关于切线PB PA ,的对称点N M ,，由椭圆的光学性质可得三点M A F ,,1共线(用反射角与入射角的余角相等).同理，可得三点N B F ,,1共线.图6由椭圆的定义，得a BF BF NF a AF AF MF 2,2211211=+==+=，所以11NF MF =.由O 是21F F 的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得)(2)(2222222221221OP c OP OF PF PF PM PF +=+=+=+ (1)若PB PA ⊥，得︒=∠+∠=∠+∠180)(22211BPF APF NPF MPF ，即三点N P M ,,共线.又PN PF PM ==2，所以MN PF ⊥1，进而得)(2422221212OP c PM PF MF a +=+==222b a OP +=(2)若222b a OP +=，得212222222214)(2)(2MF a b a c OP c PM PF ==++=+=+所以PM PF ⊥1.同理，可得PN PF ⊥1.所以三点N P M ,,共线. 得︒=∠+∠=∠+∠=∠90)(212222NPF MPF BPF APF APB ，即PB PA ⊥. 由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法5 (该证法只能证得纯粹性)可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，切点分别是B A ,.设点1F 关于直线PB PA ,的对称点分别为''21,F F ，直线'11F F 与切线PA 交于点G ，直线'21F F 与切线PB 交于点H .图7得1211,BF BF AF AF ='='，再由椭圆的定义，得a F F F F 22221='='，所以a OH OG ==. 因为四边形H PGF 1为矩形，所以由引理4得2222212a OH OG OP OF =+=+，所以222b a OP +=，得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.读者还可用解析几何的方法证得以下结论：定理 2 (1)双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222b a y x -=+；(2)抛物线px y 22=的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.定理 3 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是22a b -的切线交点的轨迹方程是22222=+by a x ；(2)双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是22a b 的切线交点的轨迹方程是22222=-b y a x . 定理4 过椭圆)0(22222>>=+b a b y a x 上任一点),(00y x P 作椭圆12222=+by a x 的两条切线，则(1)当a x ±=0时，所作的两条切线互相垂直；(2)当a x ±≠0时，所作的两条切线斜率之积是22ab -.定理5 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x +=+(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；②当0<λ且1-≠λ时，Γ即椭圆1222222=-+-ab y b a x λλ(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；③当22a b -=λ时，Γ即两条直线x aby ±=在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；④当220a b <<λ时，Γ即双曲线1222222=---a b x a b y λλ在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；⑤当22ab >λ时，Γ即双曲线1222222=---b a y b a x λλ在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±).(2)双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x -=+； ②当0>λ时，Γ即双曲线1222222=+-+b a y b a x λλ； ③当1-<λ或221ab -<<-λ时，Γ即椭圆1222222=--++ba yb a x λλ； ④当022<<-λab 时，Γ不存在.(3)抛物线px y 22=的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当0<λ时，Γ即直线λ2p x =； ②当0>λ时，Γ的方程为⎪⎭⎫⎝⎛>=λλp y p x 2. 例 (北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题)已知22:1O x y +=. 若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是_________. 解 (,1][1,)-∞-+∞.在图8中，若小圆(其圆心为点O ，半径为r )的过点A 的两条切线AD AB ,互相垂直(切点分别为F E ,)，得正方形AEOF ，所以r OE OA 22==，即点A 的轨迹是以点O 为圆心，r 2为半径的圆.图8由此结论可得：在本题中，点P 在圆222x y +=上.所以本题的题意即直线2y kx =+与圆222x y +=有公共点，进而可得答案.注 本题的一般情形就是蒙日圆.。
高中数学蒙日圆及其证明
蒙日圆及其证明高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．答案：(1)22194x y +=；(2)2213x y +=．定理 1 曲线1:2222=+Γb y a x 的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆2222b a y x +=+.定理1的结论中的圆就是蒙日圆. 先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是)0)((00≠-=-k x x k y y .由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)(1002222x x k y y b y a x ，得 0)()(2)(2220020022222=--+--+b a y kx a x y kx ka x b k a由其判别式的值为0，得)0(02)(22022*******≠-=++--a x b y k y x k a x因为PB PA k k ,是这个关于k 的一元二次方程的两个根，所以220220a x b y k k PBPA -+=⋅ 由此，得2220201b a y x k k PB PA +=+⇔-=⋅进而可得欲证成立.定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设两个切点分别是)0)(,(),,(21212211≠y y x x y x B y x A .得直线1:2020=+b y y a x x AB ，切线1:,1:22222121=+=+byy a x x PB b y y a x x PA .所以： 2121221121421422221212,x x y y x y x y k k y y a x x b y a x b y a x b k k OB OA PBPA =⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= PBPA OBOA k k a b k k 44= 因为点)2,1)(,(=i y x i i 既在曲线1:2222=+Γb y a x 上又在直线1:2020=+by y a x x AB 上，所以220202222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b y y a x x b y a x i i 0)(2)(2204002222204=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x b x y y x b a xy b y a iiii 所以 PBPA OBOA k k a b b y a a x b x x y y k k 44220422042121)()(=--==220220ax b y k k PBPA --= 由此，可得222020b a y x PB PA +=+⇔⊥进而可得欲证成立.再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理.引理1 (椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).图1证明 如图2所示，设P 为椭圆Γ(其左、右焦点分别是21,F F )上任意给定的点，过点P 作21PF F ∠的外角平分线所在的直线)43(∠=∠l .先证明l 和Γ相切于点P ，只要证明l上异于P 的点P '都在椭圆Γ的外部，即证2121PF PF F P F P +>'+'：图2在直线1PF 上选取点F '，使2PF F P ='，得F P P ''∆≌2PF P '∆，所以2F P F P '=''，还得2111121PF PF F P P F F F F P F P F P F P +='+='>''+'='+'再过点P 作21PF F ∠的平分线(12)PA ∠=∠，易得l PA ⊥，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.引理2 过椭圆Γ(其中心是点O ，长半轴长是a )的任一焦点F 作椭圆Γ的任意切线l 的垂线，设垂足是H ，则a OH =.证明 如图3所示，设点F F ,'分别是椭圆Γ的左、右焦点，A 是椭圆Γ的切线l 上的切点，又设直线A F FH ',交于点B .图3由引理1，得BAH F lA FAH ∠='∠=∠(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得FAH ∆≌BAH ∆，所以点H 是FB 的中点，得OH 是F BF '∆的中位线.又AB AF =，所以a AF A F AB A F OH =+'=+'=)(21)(21.引理3 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和. 证明 由余弦定理可证(这里略去过程).引理4 设点P 是矩形ABCD 所在平面上一点，则2222PD PB PC PA +=+. 证明 如图4所示，设矩形ABCD 的中心是点O ．图4由引理3，可得22222222)(2)(2PD PB OP OB OP OA PC PA +=+=+=+即欲证成立．注 把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等．定理1的证法3 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形. 如图5所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PN PM ,.图5连结OP ，作PN OH PM OG ⊥⊥,，垂足分别是H G ,.过点1F 作PM D F ⊥1，垂足为D ，由引理2得a OD =.再作OG K F ⊥1于K .记θ=∠K OF 1，得θcos 1c K F DG ==. 由Rt ODG ∆，得θ222222cos c a DG OD OG -=-=.又作OH L F PN E F ⊥⊥22,，垂足分别为L E ,.在Rt OEH ∆中，同理可得θ222222sin c a HE OE OH -=-=.(1)若PN PM ⊥，得矩形OGPH ，所以22222222222)sin ()cos (b a c a c a OH OG OP +=-+-=+=θθ(2)若222b a OP +=，得222222222)sin ()cos (OH OG c a c a OP +=-+-=θθ由PM OG ⊥，得222GP OG OP +=，所以OH GP =.同理，有HP OG =，所以四边形OGPH 是平行四边形，进而得四边形OGPH 是矩形，所以PN PM ⊥.由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法4 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形. 如图6所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，两切点分别为B A ,.分别作右焦点2F 关于切线PB PA ,的对称点N M ,，由椭圆的光学性质可得三点M A F ,,1共线(用反射角与入射角的余角相等).同理，可得三点N B F ,,1共线.图6由椭圆的定义，得a BF BF NF a AF AF MF 2,2211211=+==+=，所以11NF MF =.由O 是21F F 的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得)(2)(2222222221221OP c OP OF PF PF PM PF +=+=+=+ (1)若PB PA ⊥，得︒=∠+∠=∠+∠180)(22211BPF APF NPF MPF ，即三点N P M ,,共线.又PN PF PM ==2，所以MN PF ⊥1，进而得)(2422221212OP c PM PF MF a +=+==222b a OP +=(2)若222b a OP +=，得212222222214)(2)(2MF a b a c OP c PM PF ==++=+=+所以PM PF ⊥1.同理，可得PN PF ⊥1.所以三点N P M ,,共线.得︒=∠+∠=∠+∠=∠90)(212222NPF MPF BPF APF APB ，即PB PA ⊥. 由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法5 (该证法只能证得纯粹性)可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，切点分别是B A ,.设点1F 关于直线PB PA ,的对称点分别为''21,F F ，直线'11F F 与切线PA 交于点G ，直线'21F F 与切线PB 交于点H .图7得1211,BF BF AF AF ='='，再由椭圆的定义，得a F F F F 22221='='，所以a OH OG ==. 因为四边形H PGF 1为矩形，所以由引理4得2222212a OH OG OP OF =+=+，所以222b a OP +=，得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.读者还可用解析几何的方法证得以下结论：定理 2 (1)双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222b a y x -=+；(2)抛物线px y 22=的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.定理 3 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是22a b -的切线交点的轨迹方程是22222=+by a x ；(2)双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是22a b 的切线交点的轨迹方程是22222=-b y a x . 定理4 过椭圆)0(22222>>=+b a b y a x 上任一点),(00y x P 作椭圆12222=+by a x 的两条切线，则(1)当a x ±=0时，所作的两条切线互相垂直；(2)当a x ±≠0时，所作的两条切线斜率之积是22ab -.定理5 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x +=+(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；②当0<λ且1-≠λ时，Γ即椭圆1222222=-+-a b y b a x λλ(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；③当22a b -=λ时，Γ即两条直线x aby ±=在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；④当220a b <<λ时，Γ即双曲线1222222=---a b x a b y λλ在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；⑤当22ab >λ时，Γ即双曲线1222222=---b a y b a x λλ在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±).(2)双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x -=+； ②当0>λ时，Γ即双曲线1222222=+-+b a y b a x λλ； ③当1-<λ或221ab -<<-λ时，Γ即椭圆1222222=--++ba yb a x λλ； ④当022<<-λab 时，Γ不存在.(3)抛物线px y 22=的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当0<λ时，Γ即直线λ2p x =； ②当0>λ时，Γ的方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛>=λλp y p x 2. 例 (北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题)已知22:1O x y +=. 若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是_________.解 (,1][1,)-∞-+∞.在图8中，若小圆(其圆心为点O ，半径为r )的过点A 的两条切线AD AB ,互相垂直(切点分别为F E ,)，得正方形AEOF ，所以r OE OA 22==，即点A 的轨迹是以点O 为圆心，r 2为半径的圆.图8由此结论可得：在本题中，点P 在圆222x y +=上.所以本题的题意即直线2y kx =+与圆222x y +=有公共点，进而可得答案.注 本题的一般情形就是蒙日圆.。
蒙日圆的九个性质
蒙日圆的九个性质定义蒙日圆是指通过五个点中不在一条直线上的三个点所确定的唯一圆。
性质1. 任意三点共线对于任意三个点A、B、C，如果它们共线，那么蒙日圆的半径R为无穷大，也就是说，三点无法确定一个圆。
2. 笛卡尔定理对于一个蒙日圆，可以通过三点坐标(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)的关系式求出圆心的坐标(a,b)和半径r：$$ \\begin{aligned} a &= \\frac{\\begin{vmatrix} x_1^2+y_1^2 & y_1 & 1 \\\\ x_2^2+y_2^2 & y_2 & 1 \\\\ x_3^2+y_3^2 & y_3 & 1\\end{vmatrix}}{2\\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\\\ x_2 & y_2 & 1 \\\\ x_3 & y_3 & 1 \\end{vmatrix}} \\\\ b &= \\frac{\\begin{vmatrix} x_1 & x_1^2+y_1^2 & 1\\\\ x_2 & x_2^2+y_2^2 & 1 \\\\ x_3 & x_3^2+y_3^2 & 1\\end{vmatrix}}{2\\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\\\ x_2 & y_2 & 1 \\\\ x_3 & y_3 & 1 \\end{vmatrix}} \\\\ r &= \\sqrt{(x_1-a)^2+(y_1-b)^2} \\end{aligned} $$3. 圆心-中心线垂直蒙日圆的圆心与其外接三角形的三个中心形成一个垂直三角形。
因此，圆心-中心线垂直。
高考数学圆锥曲线深度拓展 蒙日圆及其证明
高考数学圆锥曲线深度拓展：蒙日圆及其证明一、引言在高考数学中，圆锥曲线是一个重要的知识点，它不仅在解析几何中有广泛应用，还在物理、天文等领域有所涉及。
蒙日圆，作为圆锥曲线的一种特殊形态，具有独特的性质和证明方法。
本文旨在探讨蒙日圆及其证明的深度拓展。
二、蒙日圆的基本性质蒙日圆，也被称为极坐标圆或椭圆的垂直平分线投影圆，其独特性质在于它与原始椭圆的关系。
在椭圆上任取一点P，作PP1垂直于长轴，作PP2垂直于短轴，则P1P2的垂直平分线与原始椭圆相切于点P。
这个性质表明，对于椭圆上的任意一点，其关于长轴和短轴的垂足与原点的连线段的垂直平分线，都与椭圆相切于该点。
三、蒙日圆的证明对于蒙日圆的证明，我们可以采用以下步骤：1、在椭圆上任取一点P，以点P为圆心，作一圆与椭圆相切。
这个圆的半径可以由点P到椭圆中心的距离决定。
2、根据几何性质，我们可以知道这个圆与椭圆的切点在椭圆的长轴和短轴的垂直平分线上。
3、由于这个圆是以点P为圆心，因此点P关于长轴和短轴的垂足与原点的连线段的垂直平分线必然经过这个圆心。
这就意味着这个垂直平分线与椭圆相切于点P。
4、因此，我们证明了在椭圆上任意一点都有一条过该点的直线与椭圆相切。
也就是说，我们找到了一个与椭圆相切的圆，即蒙日圆。
四、结论通过以上分析，我们证明了蒙日圆的存在及其性质。
这个知识点不仅在高考数学中具有重要作用，也是解析几何中的一个重要知识点。
希望通过本文的探讨，能够帮助同学们更深入地理解和掌握这一部分的知识。
蒙日圆以及应用蒙日圆是一种特殊的几何图形，它由法国数学家加斯帕德·蒙日（Gaspard Monge）发现并以其名字命名。
蒙日圆在几何、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍蒙日圆的定义、性质以及应用。
一、蒙日圆的定义蒙日圆也被称为“最小圆”或“极圆”，它是指在平面上，一个集合内所有点均在该集合的凸包内的最小圆。
也就是说，蒙日圆内包含着集合内的所有点，且其半径最小。
(甘志国)蒙日圆及其证明
蒙日圆及其证明甘志国（已发表于河北理科教学研究，2015（5） : 11-13）2 2高考题（2014年高考广东卷文科、理科第20题）已知椭圆C :笃•打=1（a ■ b ■ 0）的a b一个焦点为（-5,0），离心率为〈.3（1）求椭圆C的标准方程；⑵若动点P（x0,y°）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2 2答案：⑴、.丄1 ；⑵x2 y2=13 •9 4这道高考题的背景就是蒙日圆•普通高中课程标准实验教科书《数学 2 •必修• A版》（人民教育出版社，2007年第3 版，2014年第8次印刷）第22页对画法几何的创始人蒙日（G.Monge, 1745-1818）作了介绍• 以上高考题第（2）问的一般情形是2 2定理1 曲线］:电•电=1的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆 a bx2 y2 =a2 b2.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是（_a, b），或（_a,-b）.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点 P的坐标是（人，齐）（召址二a,且y。
= _b）,所以可设曲线】的过点 P的切线方程是y -y° =k(x -x°)(k =0).“ 2 2由＜a2 b2，得y —y。
=k(x —x。
)(a2k2 b2)x2—2ka2(kx0—y0)x a2(k\ —y0)2-a2b2 = 0由其判别式的值为0，得%2-a2)k2 -2x0y°k y^ b2 = 0(x°2 - = 0)因为k PA,k PB是这个关于k的一元二次方程的两个根，所以k PA k PBy °2b 2~2 2x 0 —a由此，得k PA k PB = -1x 02 y 02二 a 2 b 2进而可得欲证成立•定理1的证法2点P 的坐标是（_a, b ）,当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为或（二a,_b ）. 0时，可得当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为 0时，可设点 P 的坐标是（X o ,y °）（x 。
例谈“蒙日圆”考查的三个角度
例谈 蒙日圆 考查的三个角度金㊀毅(呼和浩特市第二中学ꎬ内蒙古呼和浩特０１００００)摘㊀要:文章从轨迹㊁斜率和面积三个角度来探究 蒙日圆 ꎬ提出若干结论并给出证明以及分析思路.关键词:蒙日圆ꎻ轨迹ꎻ斜率ꎻ面积ꎻ证明中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３４－００７６－０４收稿日期:２０２３－０９－０５作者简介:金毅(１９９２－)ꎬ男ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教育教学研究.㊀㊀ 蒙日圆 是一种非常重要的几何模型ꎬ在高考和数学竞赛中均有考查.本文从蒙日圆的轨迹方程出发ꎬ给出与蒙日圆有关的数学问题ꎬ以求多方面展示 蒙日圆 的考查特点ꎬ以便我们从不同的角度了解这种轨迹.１ 蒙日圆 与轨迹例１㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的右焦点为５ꎬ０()ꎬ离心率为５３.(１)求椭圆的标准方程ꎻ(２)若动点Ｐｘ０ꎬｙ０()为椭圆Ｃ外一点ꎬ且点Ｐ到椭圆Ｃ的两条切线互相垂直ꎬ求点Ｐ的轨迹方程.思考１㊀对例１一般化结论的探讨.结论１㊀椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的两条互相垂直的切线的交点Ｐ的轨迹是圆ｘ２＋ｙ２＝ａ２＋ｂ２.证明㊀当两条切线斜率中有一条不存在时ꎬ可得点Ｐ的坐标分别为ａꎬｂ()ꎬａꎬ－ｂ()ꎬ－ａꎬｂ()ꎬ－ａꎬ－ｂ().设Ｐｓꎬｔ()ꎬ其中ｓʂʃａꎬｔʂʃｂꎬ切点Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬ可得椭圆的两条切线方程为ＡＰ:ｘ１ｘａ２＋ｙ１ｙｂ２＝１ꎬＢＰ:ｘ２ｘａ２＋ｙ２ｙｂ２＝１.根据两条切线垂直ꎬｋＡＰ＝－ｂ２ｘ１ａ２ｙ１ꎬｋＢＰ＝－ｂ２ｘ２ａ２ｙ２ꎬｋＡＰｋＢＰ＝－１ꎬｙ１ｙ２ｘ１ｘ２＝－ｂ４ａ４.同时ꎬ可以得到直线ＡＢ的方程为ｓｘａ２＋ｔｙｂ２＝１.与椭圆方程联立ꎬ得ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝ｓｘａ２＋ｔｙｂ２æèçöø÷２.也即ｂ２－ｔ２ｂ４ｙｘæèçöø÷２－２ｓｔａ２＋ｂ２ ｙｘ＋ａ２－ｓ２ａ４＝０.将ｙｘ整体作为未知数ꎬ可得ｙ１ｙ２ｘ１ｘ２＝(ａ２－ｓ２)/ａ４(ｂ２－ｔ２)/ｂ４＝－ｂ４ａ４.化简ꎬ可得ｓ２＋ｔ２＝ａ２＋ｂ２.结论２㊀双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的两条互相垂直的切线的交点Ｐ的轨迹是圆ｘ２＋ｙ２＝ａ２－ｂ２[１].证明㊀设Ｐｓꎬｔ()ꎬ切点Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬ可得双曲线的两条切线方程为ＡＰ:ｘ１ｘａ２－ｙ１ｙｂ２＝１ꎬＢＰ:ｘ２ｘａ２－ｙ２ｙｂ２＝１.根据结论１的证明ꎬ两条切线垂直可得ｙ１ｙ２ｘ１ｘ２＝－ｂ４ａ４.同时ꎬ可以得到直线ＡＢ的方程为ｓｘａ２－ｔｙｂ２＝１.与双曲线联立ꎬ得ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝ｓｘａ２－ｔｙｂ２æèçöø÷２.也即ｂ２＋ｔ２ｂ４ｙｘæèçöø÷２－２ｓｔａ２＋ｂ２ ｙｘ＋ｓ２－ａ２ａ４＝０.将ｙｘ整体作为未知数ꎬ可得ｙ１ｙ２ｘ１ｘ２＝(ｓ２－ａ２)/ａ４(ｂ２＋ｔ２)/ｂ４＝－ｂ４ａ４.回到例１ꎬ易得椭圆方程为ｘ２９＋ｙ２４＝１ꎬ此时点Ｐ的轨迹方程为ｘ２＋ｙ２＝１３.点评㊀求 蒙日圆 的方程本质上属于解析几何中的轨迹方程问题.从结论１与结论２可以看出ꎬ椭圆与双曲线都存在对应的一个蒙日圆.从方程的形式上看ꎬ两种曲线的蒙日圆方程有较强的相似性.本文的证明方法是基于对斜率的构造ꎬ所以追求方程在未知数上的次数相等ꎬ便于构造斜率.值得一提的是ꎬ在证明结论２的过程中ꎬ两条切线ＡＰꎬＢＰ斜率一直存在ꎬ故不必讨论斜率不存在的情形.２ 蒙日圆 与斜率例２㊀定义椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的 蒙日圆 的方程为ｘ２＋ｙ２＝ａ２＋ｂ２ꎬ已知椭圆的长轴长为４ꎬ离心率为ｅ＝１２.(１)求椭圆Ｃ的标准方程和它的 蒙日圆 Ｅ的方程ꎻ(２)过 蒙日圆 Ｅ上的任意一点Ｍ作椭圆Ｃ的一条切线ＭＡꎬＡ为切点ꎬ延长ＭＡ与 蒙日圆 Ｅ交于点ＤꎬＯ为坐标原点ꎬ若直线ＯＭꎬＯＤ的斜率存在ꎬ且分别设为ｋ１ꎬｋ２ꎬ证明:ｋ１ｋ２为定值.思考２㊀对例２一般化结论的探讨.结论３㊀过蒙日圆Ｅ:ｘ２＋ｙ２＝ａ２＋ｂ２上任意一点Ｍ作椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的一条切线ＭＡꎬＡ为切点ꎬ延长ＭＡ与 蒙日圆 Ｅ交于点ＤꎬＯ为坐标原点ꎬ若直线ＯＭꎬＯＤ的斜率存在ꎬ且分别设为ｋ１ꎬｋ２ꎬ则ｋ１ｋ２为定值－ｂ２ａ２.证明㊀设切点坐标为Ａｓꎬｔ()ꎬ知其满足椭圆方程ꎬ也即ｓ２ａ２＋ｔ２ｂ２＝１.过点Ａ的切线方程为ｓｘａ２＋ｔｙｂ２＝１ꎬ设切线与蒙日圆的两个交点坐标分别为Ｍｘ１ꎬｙ１()ꎬＤｘ２ꎬｙ２().联立蒙日圆方程与切线方程可得ｘ２ａ２＋ｂ２＋ｙ２ａ２＋ｂ２＝ｓｘａ２＋ｔｙｂ２æèçöø÷２.整理可得ｔ２ａ２＋ｂ２()－ｂ４ｂ４ａ２＋ｂ２() ｙｘæèçöø÷２＋２ｓｔａ２ｂ２ ｙｘ＋ｓ２ａ２＋ｂ２()－ａ４ａ４ａ２＋ｂ２()＝０.将ｙｘ整体作为未知数ꎬ可知ꎬｋ１＝ｙ１ｘ１ꎬｋ２＝ｙ２ｘ２分别为该方程的两个根.故有ｋ１ｋ２＝ｙ１ｘ１ ｙ２ｘ２＝[ｓ２(ａ２＋ｂ２)－ａ４]/ａ４(ａ２＋ｂ２)[ｔ２(ａ２＋ｂ２)－ｂ４]/ｂ４(ａ２＋ｂ２)＝ｓ２/ａ２＋ｂ２ｓ２/ａ４－１ｔ２/ｂ２＋ａ２ｔ２/ｂ４－１＝ｂ２ｓ２/ａ４－ｔ２/ｂ２ａ２ｔ２/ｂ４－ｓ２/ａ２＝ｂ２ａ２ｂ２ｓ２－ａ２ｔ２()ｂ２ｓ２＋ａ２ｔ２()ａ２ｔ２－ｂ２ｓ２()ａ２ｔ２＋ｂ２ｓ２()＝－ｂ２ａ２.回到例２ꎬ易得椭圆方程为ｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬ根据结论３ꎬ可得ｋ１ｋ２＝－３４.事实上ꎬ根据椭圆本身的特点ꎬ我们可以得到基于结论３的一个推广.结论４㊀在结论３基础上ꎬ当ＯＡꎬＭＡ斜率均存在时ꎬｋ１ｋ２＝ｋＯＡｋＭＡ.证明㊀根据结论３ꎬ只需证明ｋＯＡｋＭＡ＝－ｂ２ａ２.由Ａｓꎬｔ()可知ｋＯＡ＝ｔｓꎬ直线ＭＡ的方程为ｓｘａ２＋ｔｙｂ２＝１ꎬ知ｋＭＡ＝－ｓｂ２ｔａ２ꎬ所以ｋＯＡｋＭＡ＝－ｂ２ａ２成立.类似结论３ꎬ４的情况也在双曲线中成立.结论５㊀过蒙日圆Ｅ:ｘ２＋ｙ２＝ａ２－ｂ２ａ>ｂ>０()上任意一点Ｍ作双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的一条切线ＭＡꎬＡ为切点ꎬ连接直线ＭＡ与 蒙日圆 Ｅ交于点ＤꎬＯ为坐标原点ꎬ若直线ＯＭꎬＯＤ的斜率存在ꎬ且分别设为ｋ１ꎬｋ２ꎬ则ｋ１ｋ２＝ｋＯＡｋＭＡ＝ｂ２ａ２.证明㊀设切点坐标为Ａｓꎬｔ()ꎬ知其满足双曲线方程ꎬ也即ｓ２ａ２－ｔ２ｂ２＝１ꎬ过点Ａ的切线ＭＡ方程为ｓｘａ２－ｔｙｂ２＝１ꎬ设切线与蒙日圆的两个交点坐标分别为Ｍｘ１ꎬｙ１()ꎬＤｘ２ꎬｙ２().联立蒙日圆方程与切线方程可得ｘ２ａ２－ｂ２＋ｙ２ａ２－ｂ２＝ｓｘａ２－ｔｙｂ２æèçöø÷２.整理可得ｔ２ａ２－ｂ２()－ｂ４ｂ４ａ２－ｂ２() ｙｘæèçöø÷２－２ｓｔａ２ｂ２ ｙｘ＋ｓ２ａ２－ｂ２()－ａ４ａ４ａ２－ｂ２()＝０.将ｙｘ整体作为未知数ꎬ可知ꎬｋ１＝ｙ１ｘ１ꎬｋ２＝ｙ２ｘ２分别为该方程的两个根.故有ｋ１ｋ２＝ｙ１ｘ１ ｙ２ｘ２＝[ｓ２(ａ２－ｂ２)－ａ４]/ａ４(ａ２－ｂ２)[ｔ２(ａ２－ｂ２)－ｂ４]/ｂ４(ａ２＋ｂ２)＝ｓ２/ａ２＋ｂ２ｓ２/ａ４－１－ｔ２/ｂ２＋ａ２ｔ２/ｂ４－１＝－ｂ２ｓ２/ａ４＋ｔ２/ｂ２ａ２ｔ２/ｂ４－ｓ２/ａ２＝ｂ２ａ２ａ２ｔ２－ｂ２ｓ２()ａ２ｔ２＋ｂ２ｓ２()ａ２ｔ２－ｂ２ｓ２()ａ２ｔ２＋ｂ２ｓ２()＝ｂ２ａ２.又因为ｋＯＡ＝ｔｓꎬｋＭＡ＝ｓｂ２ｔａ２ꎬ所以ｋＯＡｋＭＡ＝ｂ２ａ２.点评㊀结论３到结论５是与 蒙日圆 有关的斜率定值问题.本文的证明策略仍然是基于在方程联立时齐次化ꎬ构造斜率表达式ꎬ整体处理.从结果来看ꎬ椭圆ｘ２ａ２１＋ｙ２ｂ２１＝１ａ１>ｂ１>０()对应的定值为－ｂ２１ａ２１＝－ａ２１－ｃ２１ａ２１＝ｅ２１－１ꎬ其中ｅ１＝ｃ１ａ１为椭圆的离心率ꎻ双曲线对应的定值为ｂ２２ａ２２＝ｃ２２－ａ２２ａ２２＝ｅ２２－１ꎬ其中ｅ２＝ｃ２ａ２为双曲线的离心率.由此ꎬ我们可以看出这两个结果本质上具备高度的一致性ꎬ均为 对应曲线离心率的平方减去１ .我们知道ꎬ离心率可以反映圆锥曲线的类型和形状.这说明ꎬ蒙日圆的此类几何关系可以从本质上反映曲线的形状特征.３ 蒙日圆 与面积例３㊀定义椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的 蒙日圆 的方程为ｘ２＋ｙ２＝ａ２＋ｂ２ꎬ已知抛物线ｘ２＝４ｙ的焦点是椭圆Ｃ的一个短轴端点ꎬ且椭圆Ｃ的离心率为６３.(１)求椭圆Ｃ的标准方程和它的 蒙日圆 Ｅ的方程ꎻ(２)若斜率为１的直线ｌ与 蒙日圆 Ｅ相交于ＡꎬＢ两点ꎬ且与椭圆Ｃ相切ꎬＯ为坐标原点ꎬ求әＯＡＢ的面积.思考３㊀对例３一般化结论的探讨.结论６㊀椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的蒙日圆 的方程为ｘ２＋ｙ２＝ａ２＋ｂ２ꎬ斜率为ｋ的直线与椭圆相切ꎬ与蒙日圆交于ＡꎬＢ两点ꎬＯ为坐标原点ꎬ则әＡＯＢ的面积为Ｓ＝ａ２＋ｂ２ｋ２()ｂ２＋ａ２ｋ２()ｋ２＋１.证明㊀设直线ＡＢ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍꎬ与椭圆方程联立ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ꎬｙ＝ｋｘ＋ｍꎬìîíïïï得ｂ２＋ａ２ｋ２()ｘ２＋２ａ２ｋｍｘ＋ａ２ｍ２－ａ２ｂ２＝０ꎬΔ＝４ａ４ｋ２ｍ２－４(ｂ２＋ａ２ｋ２)(ａ２ｍ２－ａ２ｂ２)＝０ꎬ可得ｍ２＝ｂ２＋ａ２ｋ２.点Ｏ到ＡＢ的距离为ｄ＝｜ｍ｜ｋ２＋１ꎬ根据垂径定理ꎬ我们可计算ＡＢ２＝ａ２＋ｂ２－ｄ２ꎬ所以ＳәＡＯＢ＝１２ＡＢ ｄ＝ｄａ２＋ｂ２－ｄ２＝ｄ２ａ２＋ｂ２－ｄ２()＝ｍ２ｋ２＋１ａ２＋ｂ２－ｍ２ｋ２＋１æèçöø÷＝ａ２＋ｂ２ｋ２()ｂ２＋ａ２ｋ２()ｋ２＋１.回到例３ꎬ易得ａ２＝３ꎬｂ２＝１ꎬ代入结论６ꎬ可得面积为２.类似结论在双曲线中也成立.结论７㊀双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的 蒙日圆 方程为ｘ２＋ｙ２＝ａ２－ｂ２ꎬ斜率为ｋ的直线与双曲线相切ꎬ且满足｜ｋ｜>ｂａꎬ与蒙日圆交于ＡꎬＢ两点ꎬＯ为坐标原点ꎬ则әＡＯＢ的面积为Ｓ＝ａ２ｋ２－ｂ２()ａ２－ｂ２ｋ２()ｋ２＋１.证明㊀设直线方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍꎬ与双曲线联立ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ｙ＝ｋｘ＋ｍìîíïïïꎬ得ａ２ｋ２－ｂ２()ｘ２＋２ａ２ｋｍｘ＋ａ２ｍ２＋ａ２ｂ２＝０.根据｜ｋ｜>ｂａꎬ可知ａ２ｋ２－ｂ２>０ꎬΔ＝４ａ４ｋ２ｍ２＋４ｂ２－ａ２ｋ２()ａ２ｍ２＋ａ２ｂ２()＝０ꎬ可知ｍ２＝ａ２ｋ２－ｂ２.㊀点Ｏ到ＡＢ的距离为ｄ＝｜ｍ｜ｋ２＋１ꎬ根据垂径定理ꎬ我们可计算ＡＢ２＝ａ２－ｂ２－ｄ２ꎬ所以ＳәＡＯＢ＝１２ＡＢ ｄ＝ｄａ２－ｂ２－ｄ２＝ｄ２ａ２－ｂ２－ｄ２()＝ｍ２ｋ２＋１ａ２－ｂ２－ｍ２ｋ２＋１æèçöø÷＝ａ２ｋ２－ｂ２()ａ２－ｂ２ｋ２()ｋ２＋１.点评㊀与蒙日圆有关的面积问题的处理可以与垂径定理㊁勾股定理相结合ꎬ充分利用圆本身的特征解决面积问题ꎬ这样的计算方式会极大减少运算量ꎬ在较短时间内得到准确的结果.从结果中可以看出这类三角形的面积由椭圆和双曲线的参数以及ＡＢ的斜率决定.蒙日圆 是一种重要的几何模型ꎬ我们通过对轨迹㊁斜率㊁面积三个方面的分析ꎬ从不同的角度了解了这种曲线ꎬ增加了对模型的认识.同样的模型ꎬ不同的角度ꎬ可以提出不同的数学问题.不同角度的数学问题可以使几何模型的学习变得更丰富㊁更形象㊁更生动.在不同的数学问题中ꎬ蕴含着不同的处理策略与计算方法ꎬ经过一番学习与讨论ꎬ可以在方法的选择上增加经验ꎬ深刻体会模型本身所体现的数学本质.参考文献:[１]甘志国.蒙日圆及其证明[Ｊ].河北理科教学研究ꎬ２０１５(０５):１１－１３.[责任编辑:李㊀璟]。
(甘志国)二次曲线上的四点共圆问题的完整结论PDF.pdf
二次曲线上的四点共圆问题的完整结论甘志国(该文已发表 数学通讯，2013(7下)：40-41)百年前，著名教材《坐标几何》(Loney 著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 上任一点A 的坐标可以表示为∈θθ)(sin cos,(b a R )，角θ就叫做点A 的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理.这一条件是否充分，一直是悬案.在20世纪80年代编写《数学题解辞典(平面解析几何)》时，仍未解决.到20世纪年代初编写《中学数学范例点评》时，才证明了此条件的充分性.[1,2]2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考湖北卷理科第21题(也即文科第22题)及2002年高考江苏、广东卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题(见文献[3,4]).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)：若两条直线)2,1)((:00=−=−i x x k y y l i i 与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是021=+k k .文献[2]还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍”.文献[5]用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题7、8)：结论1 抛物线22y px =的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.结论 2 圆锥曲线221(0,)mx ny mn m n +=≠≠的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.请注意，文献[5]中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确.但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4.定理1 若两条二次曲线22220()0ax by cx dy e a b a x b y c x d y e '''''++++=≠++++=，有四个交点，则这四个交点共圆.证明 过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)： 2222()()0ax by cx dy e a x b y c x d y e λμ'''''+++++++++= ①式①左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式①左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，得a b b aλ''−=−,此时曲线①即 220x y c x d y e '''++++= ②的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆.这就证得了四个交点共圆.定理 2 若两条直线:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.证明 由21,l l 组成的曲线即111222()()0a x b y c a x b y c ++++=所以经过它与Γ的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)：22111222()()()0ax by cx dy e a x b y c a x b y c λμ+++++++++= ③必要性.若四个交点共圆，则存在μλ,使方程③表示圆，所以式③左边的展开式中含xy 项的系数1221()0a b a b μ+=.而0≠μ(否则③表示曲线Γ，不表示圆)，所以12210a b a b +=.充分性.当12210a b a b +=时，式③左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式③左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，即1212a a a b b b λλ+=+，得1212a a b b b aλ−=−. 此时曲线③即 220x y c x d y e '''++++= ④的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆.这就证得了四个交点共圆.推论 1 若两条直线与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数.证明 设两条直线为:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==，由定理2得，四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.(1)当12//l l 即1221a b a b =时，得四个交点共圆的充要条件即12210a b a b ==也即120a a ==或120b b ==.(2)当1l 与2l 不平行即1221a b a b ≠时，由12210a b a b +=得12210,0a b a b ≠≠，所以四个交点共圆的充要条件即12120a a b b ⎛⎫⎛⎫−+−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭也即直线12,l l 的斜率均存在且均不为0且互为相反数.由此可得欲证成立.推论 2 设二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，在该四边形的的两组对边、两条对角线所在的三对直线中：若有一对直线的斜率均不存在，则另两对直线的斜率均存在且均互为相反数；若有一对直线的斜率均存在且均互为相反数，则另两对直线的斜率也均存在且均互为相反数，或另两对直线的斜率中有一对均不存在另一对均存在且互为相反数.证明 设圆内接四边形是四边形ABCD ，其两组对边AB 与CD 、AD 与BC 及对角线AC 与BD 所中的直线分别是 1111:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==2222:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==3333:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==由定理中的充分性知，若四个交点共圆，则以下等式之一成立：1112121121222221313232310,0,0a b a b a b a b a b a b +=+=+=再运用定理2中的必要性知，若四个交点共圆，则以上等式均成立.再由推论1的证明，可得欲证成立.推论2的极限情形是推论3 设点A 是定圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线和抛物线)C 上的定点但不是顶点，F E 、是C 上的两个动点，直线AF AE 、的斜率互为相反数，则直线EF 的斜率为曲线C 过点A 的切线斜率的相反数(定值).由推论3可立得以下三道高考题中关于定值的答案：高考题1 (2009·辽宁·理·20(2)) 已知⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1A 是椭圆134:22=+y x C 上的定点，F E 、是C 上的两个动点，直线AF AE 、的斜率互为相反数，证明EF 直线的斜率为定值，并求出这个定值.(答案：21.) 高考题 2 (2004·北京·理·17(2))如图1，过抛物线)0(22>=p px y 上一定点)0)(,(000>y y x P 作两条直线分别交抛物线于),(),,(2211y x B y x A .当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求021y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.(答案：0212y p k y y y AB −=−=+；.)图1高考题3 (2004·北京·文·17(2))如图1，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点),(),,(),2,1(2211y x B y x A P 均在抛物线上.当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求21y y +的值及直线AB 的斜率.(答案：1421−=−=+AB k y y ；.)推论 4 设二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，则该四边形只能是以下三种情形之一：(1)两组对边分别与坐标轴平行的矩形；(2)底边与坐标轴平行的等腰梯形；(3)两组对边均不平行的四边形，但在其两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.证明 推论2中的圆内接四边形，只能是以下三种情形之一：(1)是平行四边形.由推论2知，该平行四边形只能是两组对边分别与坐标轴平行的矩形.(2)是梯形.由推论2知，该梯形的底边与坐标轴平行，两腰所在直线的斜率及两条对角线所在直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数，可得该梯形是底边与坐标轴平行的等腰梯形.(3)两组对边均不平行的四边形.由推论2知，该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.参考文献1 陈振宣.圆锥曲线上四点共圆的充要条件[J].数学教学，2007(2)：332 甘志国著.初等数学研究(II)下[M ] .哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.62-63 3 甘志国.对一道高考题的研究[J].数学通讯，2005(22):214 甘志国.2011年数学大纲全国卷压轴题研究[J].考试(高考·理科)，2011(8)：36-385 张乃贵.圆锥曲线上四点共圆充要条件的探究[J].数学教学，2012(7)：8-10。
蒙日圆以及应用
y PH
N
MA
G
B
F1 O F2
x
据椭圆定义可得
|OG|= |MF2| = |MA|+|AF2|
图1
2
2
= |AF1|+|AF2| = 2a =a．
2
2
过 F1作 关 于 PB 的 对 称 点 N， 且 与 PB 相 交 于 H. 同 理 可 得|OH|=a．由 图1及 题 意 可 知 四 边 形F1GPH为 矩 形 ，依 据
yN H
P
交于G， 由双曲线光学性质可
得 三 点 M、A、F2共 线 ， 依 据 双 曲
线定义可得
|OG |= |MF2| = ||MA|－|AF2||
2
2
F1 G O AM
F2 x
B 图2
= ||AF1|－|AF2|| = 2a =a．
2
2
过 F1作 关 于 PB 的 对 称 点 N， 且 与 PB 相 交 于 H. 同 理 可 得|OH|=a．由图2及题意可知 四 边 形F1GPH为 矩 形 ，依 据
一、蒙日圆概念
. All 在R椭ig圆h中ts，任R意e两se条r互ve相d垂.直的切线的交点都在同
一个圆上，它的圆心是椭圆中心，半径等于长、短半轴平 方和的算数平方根，这个圆就是蒙日圆.用符号语言表 示为：
定理1 过椭 圆 x2 + y2 =1（a>b>0）上 任 意 不 同 两 点 a2 b2
. A上ll述引R理ig可h得tsOGR2+eOsHe2=rOvFe12+dO.P2圯a2+a2=c2+OP2圯OP2=
a2+b2．
故动点P轨迹方程为x2+y2=a2+b2．
蒙日圆专题课件-2024届高三数学二轮复习
2 r2
易得直线 AB 的方程为 x y1 y2 y y1 y2 0 ，
由点 C2 (1, 0) 到直线 AB 的距离为 r，得
1 y1 y2
1 y1 y2
2
2 2 1 r2
1 3r 2
2
2
1
r
r
所以
2 r2
2
从而可得标准方程;
(2)①利用△=0 以及韦达定理可得结论;
②先求出直线过定点 (1,0) ,将问题转化为
S
S
PAB
PCD
1
d | AB |
| AB |
| AB |
2
,即求
得最小值,
1
| CD |
|
CD
|
d | CD |
2
当直线 AB 的斜率存在时,联立直线与抛物线,利用弦长公式求出 | AB | 和 | CD | ,然后求比值,
2
a x0
b 2 y02
2
2
2
2
所以 2
1
,
即有
x
y
a
b
.
0
0
2
a x
斜率不存在情形显然成立
2014年高考广东卷文科、理科第20题
•
2
已知椭圆C： 2
2
+ 2
= 1( > > 0)的一个焦点为( 5，0)，离心率为
5
．
3
➢(1)求椭圆C的标准方程；
➢(2)若动点P (0 , 0 )为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨
蒙日圆的应用课件-2025届高三数学一轮复习
= 1的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分
别交于，两点，若△ 面积的最大值为28，则椭圆的长轴长为(
A.5
B.8
C.4
D.10
B ) .
09 蒙日圆的应用
12
解析 由题意可知，椭圆的蒙日圆的半径为 2 + 2 = 2 + 12，因为 ⊥ ，
所以为蒙日圆的直径，所以 = 2 2 + 12，
为圆 + = + ，这个圆称为椭圆的蒙日圆.在圆 − 4
>
0ሻ上总存在点，使得过点能作椭圆 2
取值范围是(
+ −3
2
= 2 ሺ
= 1的两条相互垂直的切线，则的
D ) .
A. 1,9
解析
2
+
3
2
C. 3,7
B.[1,9ሻ
由题意可知，与椭圆 2
+
2
3
D.[3,7]
交于点，则动点的轨迹为圆 2 + 2 = 22 .
2
【结论5】过椭圆 2
2
+ 2
= 1 > > 0 上任意不同两点,作椭圆的切线，若
切线垂直且相交于点，则动点的轨迹为圆 2 + 2 = 2 + 2 .
2
【结论6】过双曲线 2
2
− 2
= 1 > > 0 上任意不同两点,作双曲线的切线，
2
联立ቐ 4
+ 2 = 1,
− 0 = − 0 ,
消去得
4 2 + 1 2 + 8 0 − 0 + 4 0 − 0 2 − 4 = 0，则
圆幂定理及其应用
点A、B、C,且△ ABC的外心在直线/=o上,求i+b的值. 解法！：可设点A（01,0）、B（02,O）、C（0,b）（b&0）. 因为点A、B均在抛物线y=02+ao+b上,所以0#、02是关
于0的一元二次方程02+a«+b=O的两个根. 由于％ ABC的外心在直线/=0上,可设％ABC的外接
*本文系北京市教育学会“十三五”教育科研滚动立项课题“数学文化与高考研究”（课题编号FT2017GD003,课题 负责人:甘志国）的阶段性研究成果.
40 中•了京市丰台二中甘志国
2019年7月
圆&定理在平面几何中有重要应用，相交弦定理与 切割线定理都是其重要推论，反过来，用它们也可给出 圆幕定理的证明.文章还给出了圆幕定理在解答自主招 生试题中的应用.
圆"定理:若过定点"作一动直线与定圆！0（其半 径是$）交于％两点，则"％ •"& = （0"2-$21（把常数 \OP2-R2\叫作定点"对于定圆。的J）.
证明：当点"）00外时，如图1所示，作PT9QO于 点,，连接 0T、0P,可得"OTP=90°.
由切割线定理及勾股定理，可得"％ •P&=PT2=OP2R2=\OP2-R2\.
当点"在OO上时,不妨设点％与点"重合，可得"％ PB=O=\OP2-R2\.
当点"在O O内，即点"在线段％&上且不是端点时， 如图2所示，作O O过点"的直径ST.
' ） 圆圆心为6 ,-£ .再由圆幕定理的注“0$间= * 6O2 -6C2”， 可 得 0(02 =b = -~2 ） ,-b 丨；-_2） + - ） ）&0），则i+b=-1.
蒙日圆定理
蒙日圆定理（纯解析几何证法）蒙日圆定理的内容：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。
如图，设椭圆的方程是22221x y a b+=。
两切线PM 和PN 互相垂直，交于点P 。
求证：点P 在圆2222x y a b +=+上。
证明：若两条切线中有一条平行于x 轴时，则另一条必定平行于y 轴，显然前者通过短轴端点，而后者通过长轴端点，其交点P 的坐标只能是：(),special P a b ±±它必定在圆2222x y a b +=+上。
现考察一般情况，两条切线均不和坐标轴平行。
可设两条切线方程如下： :PM y kx m =+1:PN y x n k=-+ 联立两切线方程(2)和(3)可求出交点P 的坐标为：()222,11n m k nk m P k k -⎛⎫+ ⎪++⎝⎭ 从而P 点距离椭圆中心O 的距离的平方为：()2222222222111n m k nk m OP k k n k m k -⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦+=+现将PM 的方程代入椭圆方程，消去y ，化简整理得： 22222221210k km m x x a b b b ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于PM 是椭圆的切线，故以上关于x 的一元二次方程，其判别式应等于0，化简后可得：()22222211b m m b a k ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 对于切线PN ，代入椭圆方程后，消去y ，令判别式等于0，同理可得：()2222221b n k n b a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 为方便起见，令：22222,,,,a A b B m M n N k K =====这样(7)和(8)就分别化为了关于M 和N 的一元一次方程，不难解出：M B AK =+ A N B K=+ 将(10)和(11)代入(5)，就得到：2221NK M OG A B a b K +==+=++证毕。
甘志国蒙日圆及其证明
(甘志国)蒙日圆及其证明————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：蒙日圆及其证明甘志国(已发表于 河北理科教学研究，2015(5)：11-13)高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为(5,0)，离心率为53．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．答案：(1)22194x y +=；(2)2213x y +=．这道高考题的背景就是蒙日圆.普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G.Monge ，1745-1818)作了介绍.以上高考题第(2)问的一般情形是定理 1 曲线1:2222=+Γb y a x 的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆2222b a y x +=+.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是)0)((00≠-=-k x x k y y .由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)(1002222x x k y y b y a x ，得 0)()(2)(2220020022222=--+--+b a y kx a x y kx ka x b k a由其判别式的值为0，得)0(02)(22022*******≠-=++--a x b y k y x k a x因为PB PA k k ,是这个关于k 的一元二次方程的两个根，所以220220ax b y k k PBPA -+=⋅ 由此，得2220201b a y x k k PB PA +=+⇔-=⋅进而可得欲证成立.定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设两个切点分别是)0)(,(),,(21212211≠y y x x y x B y x A .得直线1:2020=+b y y a x x AB ，切线1:,1:22222121=+=+byy a x x PB b y y a x x PA .所以：2121221121421422221212,x x y y x y x y k k y y a x x b y a x b y a x b k k OB OA PBPA =⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= PBPA OBOA k k a b k k 44= 因为点)2,1)(,(=i y x i i 既在曲线1:2222=+Γb y a x 上又在直线1:2020=+byy a x x AB 上，所以220202222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b y y ax x b y a x i i 0)(2)(2204002222204=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x b x y y x b a xy b y a iiii所以 PBPA OBOA k k a b b y a a x b x x y y k k 44220422042121)()(=--== 220220ax b y k k PBPA --= 由此，可得222020b a y x PB PA +=+⇔⊥进而可得欲证成立.再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理.引理1 (椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).图1证明 如图2所示，设P 为椭圆Γ(其左、右焦点分别是21,F F )上任意给定的点，过点P 作21PF F ∠的外角平分线所在的直线)43(∠=∠l .先证明l 和Γ相切于点P ，只要证明l上异于P 的点P '都在椭圆Γ的外部，即证2121PF PF F P F P +>'+'：图2在直线1PF 上选取点F '，使2PF F P ='，得F P P ''∆≌2PF P '∆，所以2F P F P '=''，还得2111121PF PF F P P F F F F P F P F P F P +='+='>''+'='+'再过点P 作21PF F ∠的平分线(12)PA ∠=∠，易得l PA ⊥，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.引理2 过椭圆Γ(其中心是点O ，长半轴长是a )的任一焦点F 作椭圆Γ的任意切线l 的垂线，设垂足是H ，则a OH =.证明 如图3所示，设点F F ,'分别是椭圆Γ的左、右焦点，A 是椭圆Γ的切线l 上的切点，又设直线A F FH ',交于点B .图3由引理1，得BAH F lA FAH ∠='∠=∠(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得FAH ∆≌BAH ∆，所以点H 是FB 的中点，得OH 是F BF '∆的中位线.又AB AF =，所以a AF A F AB A F OH =+'=+'=)(21)(21.引理3 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和. 证明 由余弦定理可证(这里略去过程).引理4 设点P 是矩形ABCD 所在平面上一点，则2222PD PB PC PA +=+.证明 如图4所示，设矩形ABCD 的中心是点O ．图4由引理3，可得22222222)(2)(2PD PB OP OB OP OA PC PA +=+=+=+即欲证成立．注 把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等．定理1的证法3 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图5所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PN PM ,.图5连结OP ，作PN OH PM OG ⊥⊥,，垂足分别是H G ,.过点1F 作PM D F ⊥1，垂足为D ，由引理2得a OD =.再作OG K F ⊥1于K .记θ=∠K OF 1，得θcos 1c K F DG ==. 由Rt ODG ∆，得θ222222cos c a DG OD OG -=-=.又作OH L F PN E F ⊥⊥22,，垂足分别为L E ,.在Rt OEH ∆中，同理可得θ222222sin c a HE OE OH -=-=.(1)若PN PM ⊥，得矩形OGPH ，所以22222222222)sin ()cos (b a c a c a OH OG OP +=-+-=+=θθ(2)若222b a OP +=，得222222222)sin ()cos (OH OG c a c a OP +=-+-=θθ由PM OG ⊥，得222GP OG OP +=，所以OH GP =.同理，有HP OG =，所以四边形OGPH 是平行四边形，进而得四边形OGPH 是矩形，所以PN PM ⊥.由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法4 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形. 如图6所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，两切点分别为B A ,.分别作右焦点2F 关于切线PB PA ,的对称点N M ,，由椭圆的光学性质可得三点M A F ,,1共线(用反射角与入射角的余角相等).同理，可得三点N B F ,,1共线.图6由椭圆的定义，得a BF BF NF a AF AF MF 2,2211211=+==+=，所以11NF MF =.由O 是21F F 的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得)(2)(2222222221221OP c OP OF PF PF PM PF +=+=+=+ (1)若PB PA ⊥，得︒=∠+∠=∠+∠180)(22211BPF APF NPF MPF ，即三点N P M ,,共线.又PN PF PM ==2，所以MN PF ⊥1，进而得)(2422221212OP c PM PF MF a +=+==222b a OP +=(2)若222b a OP +=，得212222222214)(2)(2MF a b a c OP c PM PF ==++=+=+所以PM PF ⊥1.同理，可得PN PF ⊥1.所以三点N P M ,,共线. 得︒=∠+∠=∠+∠=∠90)(212222NPF MPF BPF APF APB ，即PB PA ⊥. 由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法5 (该证法只能证得纯粹性)可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，切点分别是B A ,.设点1F 关于直线PB PA ,的对称点分别为''21,F F ，直线'11F F 与切线PA 交于点G ，直线'21F F 与切线PB 交于点H .图7得1211,BF BF AF AF ='='，再由椭圆的定义，得a F F F F 22221='='，所以a OH OG ==. 因为四边形H PGF 1为矩形，所以由引理4得2222212a OH OG OP OF =+=+，所以222b a OP +=，得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.读者还可用解析几何的方法证得以下结论：定理 2 (1)双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222b a y x -=+；(2)抛物线px y 22=的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.定理 3 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是22a b -的切线交点的轨迹方程是22222=+by a x ；(2)双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是22a b 的切线交点的轨迹方程是22222=-by a x . 定理4 过椭圆)0(22222>>=+b a b y a x 上任一点),(00y x P 作椭圆12222=+by a x 的两条切线，则(1)当a x ±=0时，所作的两条切线互相垂直；(2)当a x ±≠0时，所作的两条切线斜率之积是22ab -.定理5 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x +=+(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；②当0<λ且1-≠λ时，Γ即椭圆1222222=-+-a b y b a x λλ(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；③当22a b -=λ时，Γ即两条直线x aby ±=在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；④当220a b <<λ时，Γ即双曲线1222222=---a b x a b y λλ在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；⑤当22ab >λ时，Γ即双曲线1222222=---b a y b a x λλ在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±).(2)双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x -=+； ②当0>λ时，Γ即双曲线1222222=+-+b a y b a x λλ； ③当1-<λ或221ab -<<-λ时，Γ即椭圆1222222=--++ba yb a x λλ； ④当022<<-λab 时，Γ不存在.(3)抛物线px y 22=的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当0<λ时，Γ即直线λ2p x =； ②当0>λ时，Γ的方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛>=λλp y p x 2. 例 (北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题)已知22:1O x y +=. 若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是_________.解 (,1][1,)-∞-+∞.在图8中，若小圆(其圆心为点O ，半径为r )的过点A 的两条切线AD AB ,互相垂直(切点分别为F E ,)，得正方形AEOF ，所以r OE OA 22==，即点A 的轨迹是以点O 为圆心，r 2为半径的圆.图8由此结论可得：在本题中，点P 在圆222x y +=上.所以本题的题意即直线2y kx =+与圆222x y +=有公共点，进而可得答案.注 本题的一般情形就是蒙日圆.。
双曲线蒙日圆定理证明
双曲线蒙日圆定理是一个几何定理，它表明对于一个给定的双曲线和一个给定的点，在该双曲线的每一点上都可以找到一个切线，使得该切线与给定点的距离等于给定的半径。
下面是双曲线蒙日圆定理的一个简单证明：设给定的双曲线为C，焦点为F，离心率为e，给定的点为P，给定的半径为r。
证明思路如下：1. 在双曲线上取一点Q，并连接FQ。
2. 由于双曲线的几何性质，对于任意点Q，有FQ的距离等于Q到直线CD的距离（即FQ = QD），其中C和D是焦点F的两个对称点。
3. 因此，在双曲线上取一点Q，使得FQ = r，其中r为给定的半径。
连接PQ。
4. 则根据直角三角形的性质，有FP²= FQ²+ PQ²。
5. 由于FQ = r，代入上式得到FP² = r² + PQ²。
6. 注意到双曲线的定义是焦点到双曲线上每一点的距离的平方减去离心率与焦点到直线的距离的平方，即FP²- FQ²= e²- DQ²。
7. 代入FQ² = r² + PQ²，可以得到FP² = e² - DQ² + r² +PQ²。
8. 观察右边的等式，可以发现右边的第三项和第四项相加正好是(r²+ PQ²) = FP²。
9. 因此，右边的等式可以简化为FP²= e²- DQ²+ FP²。
10. 化简后可以得到DQ²= e²。
11. 由于双曲线的离心率是一个常数，所以DQ²= e²是一个恒等式。
12. 因此，对于任意双曲线上的点Q，有DQ²= e²成立，即点Q到直线CD的距离等于双曲线的离心率的平方。
13. 所以，通过连接FP和延长线PQ可以得到一条切线，且该切线与点P的距离等于给定的半径r。
蒙日圆几何证明
蒙日圆几何证明蒙日圆几何证明引言蒙日圆，又称“内切圆”，是指一个圆与三角形的三边都相切。
它在数学中有着广泛的应用，特别是在计算机图形学和三角测量中。
本文将介绍蒙日圆的定义、性质以及证明。
定义蒙日圆是指一个圆与三角形的三边都相切。
它可以通过以下步骤构造：1. 连接三角形的任意两个顶点，得到一条边；2. 以这条边为直径，画一个圆；3. 分别作出从另外两个顶点到这个圆的切线；4. 这两条切线所交于的点就是蒙日圆的圆心。
性质1. 蒙日圆与三角形外接圆、内心、垂心共线。
2. 蒙日圆半径等于周长除以2减去半周长。
3. 蒙日圆是唯一一个同时与三角形三边相切的圆。
4. 任意一条直线与其相交于A、B两点的两个不同射线AB和AC所成夹角等于该直线上以A为端点且在同侧于BC的射线所成夹角的充要条件是AC是蒙日圆的切线。
证明下面将分别对蒙日圆的四个性质进行证明。
1. 蒙日圆与三角形外接圆、内心、垂心共线。
证明过程如下：（1）连接三角形垂心H和内心I，并连接AH、BH、CH。
（2）根据垂心定理可知，AH=2RcosA，BH=2RcosB，CH=2RcosC。
（3）根据内心定理可知，AI=r/tan(A/2)，BI=r/tan(B/2)，CI=r/tan(C/2)。
（4）设蒙日圆的圆心为O，半径为r'。
则根据相似三角形可得：AH/OH = BH/OH = CH/OH = r'/rAI/OI = BI/OI = CI/OI = r/r'（5）由于AH+BH+CH=2s，其中s为三角形半周长，则有：2R(cosA+cosB+cosC)=AH+BH+CH=2sR=(a+b+c)/4sinA=(a+b+c)/4sinB=(a+b+c)/4sinCr=s/a=s/b=s/c=tan(A/2)/a=tan(B/2)/b=tan(C/2)/c（6）代入上式中可得：OH=R-2rOI=R+2rcosA=AH/cosA=2RcosB=2RcosCOH+OI=2R因此，蒙日圆与三角形外接圆、内心、垂心共线。
2024年高考数学 二轮复习第24讲 蒙日圆结论
第24讲 蒙日圆结论蒙日圆定理的内容：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，该圆称为蒙日圆，其半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根，具体结论及证明如下：结论一：曲线2222:1x y a bΓ+=的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆：2222x y a b +=+．证明：当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或㪷率为0时，可得点P 的坐标是( )a b ±，或( )a b ±−，． 当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是()(000 , x y x a ≠±，且)0y b ≠±，∴可设由线Γ的过点P 的切线方程是()00(0)y y k x x k −=−≠．联立()2222001x y a b y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪−=−⎩得()()()222222222000020a k b x ka kx y x a kx y a b +−−+−−=．由判别式0∆=得()(2222220000020xa k x y k yb x −−+−=−)20a ≠．∵ PA PB k k ，是这个关于k 的一元二线方程的两个根，220221. PA PB y b k k x a−∴==−−∴222200x y a b +=−，进而可得证明成立．结论二：双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2x +222y a b =−．结论三：抛物线22y px =的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上．【例1】若动点()00 P x y ，为椭圆32:94x y C +=1外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【解析】(1)当切线斜率存在时，设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x −=−，即()00y kx y kx =+−．设从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率分别为12 k k ，，则121k k =−． 将直线()00y kx y kx =+−的方程代入椭圆C 的方程并化简得()(2209418kx k y ++−)()20009360kx x y kx +−−=，()()()222000018494[9360k y kx k y kx ⎤⎡⎤∆=−−⨯+⋅−−=⎣⎦⎦，化简得()2200940y kx k −−−=，即()()22200009240x k x y k y −−+−=，则12 k k ，是关于k 的一元二次方程(20x −9)()22000240k x y k y −+−=的两根，则12k k =2020419y x −=−−，化简得220013x y +=． (2)当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为( 3 2)±±，，此时，点P 也在圆2213x y +=上．综上所述，点P 的轨的方程为2x +213y =．【例】过圆22:4O x y +=上任意一点P 作椭圆22:13x C y +=的两条切线 m n ，，求证：m n ⊥．【解析】证明：设()00 P x y ，．(1)当0x =时，01y =±，其中一条切线斜率不存在，另一条切线平行于x 轴，∴m n ⊥．(2)设0x ≠，则两条切线斜率都存在．设直线m 的斜率为k ，则其方程为()00y y k x x −=−．把00y kx y kx =+−代入2213x y +=并整理得()()2200136k x k y kx x ++−+()200330y kx −−=，由0∆=可得，()22200003210x k x y k y −++−=．注意到直线n 的斜率也适合这个关系，∴ m n ，的㸯率12 k k ，就是上述方程的两根，由韦达定理，2122013y k k x −=−．由于点P 在圆22:4O x y +=上，()220031x y −=−−，∴121k k =−．这就证明m n ⊥． 综上所述，在圆O 上任意一点P 作椭圆C 的两条切线 m n ，，总有m n ⊥．【例3】已知椭圆2222:1(x y C a b a b+=>>0)圆C 的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为F 0)，，其短轴上的一个端点到F的距离为(1)求椭圆C 的方程及其“准圆”方程．(2)点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12 l l ，交“准圆”于点 M N ，．①当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12 l l ，的方程并证明12l l ⊥． ②求证：线段MN 的长为定值．【解析】(1)依题意可得c a =，2221b a c =−=，∴22 1 23x y r +===，．22:4O x y +=． (2)证明：①由(1)题可得(0 2)P ，，设切线方程为：2y kx =+．联立22132x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得223(2)3x kx ++=，整理可得()22311290k x kx +++=． ∴()2221443631036k k k ∆=−+=⇒−360=，解得1k =±．∴设直线PM ：2y x =+，直线:PN y =2x −+．∴PM PN ⊥，即12l l ⊥． ②设()00 P x y ，，直线0:PM y y −=()10k x x −．则()0102233y y k x x x y ⎧−=−⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得()2210033x k x x y ⎡⎤+−+=⎣⎦． 即()()222110103166k x k x k y x +−−+22210100036330k x k y x y −+−=． ∴()()()222222101011010003643136330k x k y k k x k y x y ∆=−−+⋅−+−=．整理得()222100103210x kx y k y −++−=．同理，设切线PN 的斜率为2k ，则有()2220200203210x k x y k y −++−=．∴20122013y k k x −=−．∴||MN 在“准圆”上．∴22220000413x y y x +=⇒−=−，∴121k k =−．∴ PM PN MN ⊥∴，为“准圆”的直径．∴||MN 为定值，||4MN =．评注：此题的准圆方程其实就是蒙旦圆方程，那看到蒙日圆方程，我们自然就知道PM PN MN ⊥，为“蒙日圆”的直径这个题其本就解出夹了．双切线模型的解题方法所谓双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用同构式，同构式的含义是结构相同变量不同的式子，比如()11A x y ，满足110Ax By C ++=，()22B x y ，满足220Ax By C ++=，这两个式子就是同构式，则可知点A B 、在直线0Ax By C ++=上，这个同构式其实就是整体代换的思想，也是我们解决双切线问题的核心和关键． 双切线问题的解题步骤：①根据曲线外一点()00P x y ，设出切线方程()00y y k x x −=−． ②和曲线方程联立，求出判别式0∆=． ③整理出关于双切线斜率12k k 、的同构方程． ④写出关于12k k 、的韦达定理，并解题．双切线定值问题【例1】如下图所示，已知拋物线2:C y =4x ，点M 是抛物线C 的准线上任意一点，直线MA MB 、分别与拋物线C 相切于点A B 、，设直线MA MB 、的斜率分别为12k k 、．证明：12k k ⋅为定值．【解析】证明：抛物线C 的准线方程为1x =−．设点()1M t −，， 设过点()1M t −，的直线方程为()1y k x t =++． 联立()214y k x t y x ⎧=++⎨=⎩，消去x 得24440ky y k t −++=． 其判别式()1616k k t ∆=−+，令0∆=， 得210k tk +−=．由韦达定理知121k k =−， 故121k k =−(定值)．【例2】为抛物线2:4C y x =的准线上任一点，过点P 作抛物线C 在其上点处的切线PA PB 、，切点分别为A B 、，直线0x =与直线PA PB 、分别交于M N 、两点，点M N、的纵坐标分别为m n 、，求mn 的值．【解析】设点P 的坐标为()01y −，，直线AP 的方程为()101y k x y =++，直线BP 的方程为()201y k x y =++．联立()21041y x y k x y ⎧=⎪⎨=++⎪⎩，得21104440k y y k y −++=．∴()110164440k k y ∆=−+=，得21k +0110y k −=．同理可得220210k y k +−=，∴120121k k y k k +=−⎧⎨=−⎩．分别令0x =，得10m k y =+，20n k y =+， ∴()()1020mn k y k y =++()2012012y k k y k k =+++22001y y =−−1=−∴mn 为定值1−．【例3】设M 是圆2212x y +=上任意一点，由M 引椭圆22:184x y C +=的两条切线MA MB 、．当两条切线的斜率都存在时，证明：两条切线斜率的积为定值．【解析】证明:设点()00M x y ，，且220012x y +=．由题意知，过点M 引椭圆C 的切线方程可设为()00y y k x x −=−，联立()0022184y y k x x x y ⎧⎪⎨⎪=−+=⎩−化简得：()()()2220000124280k x k y kx x y kx ++−+−−=∵直线与椭圆相切，∴()()()22200004412280k y kx ky kx ⎡⎤∆=⎡−⎤−+⋅−−=⎣⎦⎣⎦，化简得()22200008240x k x y k y −−+−=．∴22200012222000444181284y y y k k x y y −−−====−−−−−． ∴两条切线斜率的积为定值1−．双切线斜率引申问题【例1】过椭圆223:144x y C +=上的任意一点P ，向圆()222:0O x y r r b +=<<引两条切线12l l 、．若12l l 、的斜率乘积恒为定值，求圆O 的面积．【解析】设点()00P x y ，，则22003144x y +=，2200433x y =−设切线方程为()00y y k x x −=−，000kx y y kx −+−=，∴r =．两边平方得()22222000020x r k x y k y r −−+−=，则2202212222200433x r y r k k x r x r−+−−==−−， ∴22433r r −=，解得21r =． ∴圆O 的面积为π．【例2】P 是22:12x C y +=外的一点，过P 的直线12l l 、均与C 相切，且12l l 、的斜率之积为112m m ⎛⎫−≤≤− ⎪⎝⎭，记u 为PO 的最小值，求u 的取值范围．【解析】由题意可知，直线12l l 、的斜率存在且不为零． 设过点()00P x y ，的切线()00:l y y k x x −=−，联立()002212y y k x x x y ⎧−=−⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 可得()()()2220000214220k x k y kx x y kx ++−+−−=，由于直线l 与椭圆C 相切， 则()()()2222000016421220ky kx k y kx ⎡⎤∆=−−+⋅−−=⎣⎦，化简并整理得()220021y kx k −=+，整理成关于k 的二次方程得()22200002210x k x y k y −−+−=(易知0x ≠)，设直线12l l 、的斜率分别为12k k 、，∴20122012y k k m x −==−．∴220012y mx m =+−．∴()22200112x y m x m +=++−．∴PO ==．易知当00x =时，有min u PO == ∵112m −≤≤−，∴u ≤即u的取值范围是．【例3】如下图所示，设点P 为抛物线2:y x Γ=外一点，过点P 作抛物线Γ的两条切线PA PB 、，切点分别为A B 、，若点P 为圆()2221x y ++=上的点，记两切线PA PB 、的斜率分别为12k k 、，求1211k k −的取值范围．【解析】设点()00P x y ，，则直线PA 的方程为1100y k x k x y =−+，直线PB 的方程为2200y k x k x y =−+．由11002y k x k x y y x=−+⎧⎨=⎩，可得211000k y y k x y −−+=． ∵直线PA 与拋物线Γ相切，∴()211000101144410k k x y x k y k ∆=−−+=−+=．同理可得202024410x k y k −+=．∴12k k 、是方程2004410x k y k −+=的两根． ∴0120y k k x +=，12014k k x =，则12k k −=．又∵()220021x y ++=，则031x −≤≤−，∴121212114k k k k k k −⎡−====⎣，．双切线交点弦问题所谓双切线交点弦问题指的是由一点引出一个曲线的两条切线和另外的曲线有交点时引申出来的问题，解题时通常需要用12k k 、来凑韦达定理． 题型一：双切线交点弦过定点问题【例1】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上的一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为2，点A 为椭圆C 的左顶点． (1)求椭圆C 的标准方程．(2)设圆()()222:202M x y rr +−=<<，过点A 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于点B 和D ，求证：直线BD 过定点．(1)【解析】由题意得24a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2c a ⎧=⎪⎨=⎪⎩2221b a c =−=． ∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=．(2)证明)设切线AB AD 、的方程为()2y k x =+，则r =，即()2224840r k k r −−+−=．设两切线AB AD 、的斜率为12k k 、，则121k k =．联立()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()222214161640k x k x k +++−=，设点()11B x y ，，点()22D x y ，，则211212814k x k −=+，1121414k y k =+， 同理2221222212828144k k x k k −−==++，212222144144k k y k k ==++， 则()11221112221112211444143282841414BDk k k k k k k k k k k −++==−−+−++．∴直线BD 的方程为()21112221114328141441k k k y x k k k ⎛⎫−−=− ⎪+++⎝⎭，整理得()121310341k y x k ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，故直线BD 过定点1003⎛⎫− ⎪⎝⎭，． 题型二：双切线交点弦定值问题【例1】若直线l 过拋物线2:2C x y =的焦点F 且与拋物线C 相交于M N 、两点，过点M N 、分别作抛物线C 的切线12l l 、，切线1l 与2l 相交于点P ，求2PF MF NF −⋅的值．【解析】抛物线C 的方程可化为212y x =，求导可得y x '=． 设点M N 、的坐标分别为()11x y ，，()22x y ，．设直线l 的方程为12y kx =+(直线l 的斜率显然存在)．联立21212y kx y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去y 整理得2210x kx −−=，可得121221x x k x x +=⎧⎨=−⎩．有()21212121y y k x x k +=++=+，2212121144y y x x == 可得直线1l 的方程为2111(2y x x x −=−)1x ，整理为21112y x x x =−． 同理直线2l 的方程为22212y x x x =−．联立方程2112221212y x x x y x x x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩，解得121222x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点P 的坐标为12k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，． 由拋物线的几何性质知112MF y =+，212NF y =+，PF ==()()221212********* 2112224424MF NF y y y y y y k k ⎛⎫⎛⎫⋅=++=+++=+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴20PF MF NF −⋅=．【例2】在平面直角坐标系中，已知椭圆22:12412x y C +=，设点()00R x y ，为椭圆上任意一点．过原点作圆()()2200:8R x x y y −+−=的两条切线，分别交椭圆于P Q 、两点． (1)若直线OP OQ 、相互垂直，求R 的方程．(2)若直线OP OQ 、斜率存在，并记为12k k 、，求证：12k k ⋅是一个定值． (3)22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值．若不是，请说明理由． 【解析】(1)由()()2200:8R x x y y −+−=，可得r =∵OP OQ ⊥，∴4OR ==，即220016x y +=，联立22000220001241216x y x y x y ⎧⎧=+=⎪⎪⇒⎨⎨=−⎪⎪⎩+=⎩或00x y ⎧=−⎪⎨=−⎪⎩或00x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩00x y ⎧=−⎪⎨=⎪⎩． ∴R的方程为：((228x y +++=或((228x y ++−=或((228x y −++=或((228x y −+−=．(2)证明；设12:,:OP y k x OQ y k x ==． ∵OP 与R 相切，∴R OP d r −===．()()22100181k x y k ⇒−=+．化简可得()222010*******x k x y k y −−+−=．对于直线2:OQ y k x =，同理可得()2220200208280x k x y k y −−+−=． ∴12k k 、为()22200008280x k x y k y −−+−=的两根．∴20122088y k k x −=−∵220012412x y += ∴2200242x y =− ∴2012208124282y k k y −==−−−． (3)当P Q 、不在坐标轴上时，设点()11P x y ，，点()22Q x y ，．∴联立122222122412412y k x x k x x y =⎧⎪⇒+=⎨+=⎪⎩．∴21212421x k =+，2211212421k y k =+． 同理可得22222421x k =+，2222222421k y k =+． ∴()()222212222212112222222211221224124124242424212121212121k k k k x y x y k k k k k k +++++=+++=+++++++ ()22211122211111362121243621211212k k k k k k ⎡⎤⎛⎫⎢⎥+− ⎪++⎢⎥⎝⎭=+==⎢⎥++⎛⎫⎢⎥−+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 若P Q 、在坐标轴上(不妨设P 在x 轴)上，则点()0P，点(0Q ，． ∴2236OP OQ +=．综上所述，22OP OQ +为定值36．【例3】如下图所示，过椭圆22:12x C y +=上且位于y 轴左侧的一点P ，作圆()22:11E x y −+=的两条切线，分别交y 轴于点M N 、．是否存在点P，使3MN =？若存在，求出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．【解析】设点()()0000P x y x <，，()0M m ，，()0N n ，． 直线PM 的方程为00y my x m x −=+，即()0000y m x x y mx −−+=．∵圆心()10E ，到直线PM 的距离为11=，()()()222220000002y m x y m x m y m x m −+=−+−+，()2000220x m y m x −+−=．同理()2000220x n y n x −+−=．由此可知，m n 、为方程()202x x −+0020y x x −=的两个实根， ∴0022y m n x +=−−，002x mn x =−−．MN m n =−===． ∵点()00P x y ，在椭圆C 上，则220012x y +=即220012x y =−，则MN ==令3=，则()2029x −=． ∵00x <，则01x =−，22001122x y=−=，即02y=±， ∴存在点12P ⎛−± ⎝⎭，满足题设条件． 题型三：双切线交点弦最值问题【例1】如下图所示，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点12F F 、点,A B 在椭圆上，且1F 在AB 边上，2ABF ∆的周长等于．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)过圆22:4O x y +=上任意一点P 作椭圆的两条切线PM 和PN 与圆O 交于点M N 、，求PMN ∆面积的最大值．【解析】(1)∵2ABF ∆的周长等于，点A B 、在椭圆上，且1F 在AB边上．∴4a =即a ．又∵离心率3c e a ==，∴c 222321b a c =−=−=． ∴椭圆C 的标准方程为2213x y +=．(2)设点()P P P x y ，，则224P P x y +=．①当两条切线中有一条切线的斜率不存在时，即P x =1P y =±， 则另一条切线的斜率为0，从而PM PN ⊥．11222PMN S PM PN ∆=⋅=⨯⨯= (2)当切线斜率都存在，即P x ≠P 的椭圆的切线方程为()P P y y k x x −=−，联立()2213P P y y k x x x y ⎧−=−⎪⎨+=⎪⎩，得()()()222316330P P P P k x k y kx x y kx ++−+−−=，则()()()2226431330P P P P k y kx k y kx ⎡⎤∆=⎡−⎤−+⋅−−=⎣⎦⎣⎦， 即()2223210P P P P x k x y k y −++−=．设切线PM 和PN 的斜率分别是12k k 、．∴()2221222214131333P PP P P Px y x k k x x x −−−−+====−−−−． 从而PM PN ⊥，则线段MN 为圆O 直径，4MN =．()2222111114422244PMN S PM PN PM PN MN ∆⎡⎤=⋅≤+==⨯=⎢⎦⎣．当且仅当PM PN =时，等号成立，PMN S ∆取得最大值为4．综上所述，PMN S ∆的最大值为4．【例2】设()G m n ，是椭圆22:14x E y +=上的动点，过原点O 作圆()()224:5G x m y n −+−=的两条斜率存在的切线分别与椭圆E 交于点A B 、，求OA OB +的最大值．【解析】设圆()()2245x m y n −+−=的切线()OA OB 的方程为y kx ==整理得()222541054m k mnk n −−+−=0，其两根12k k 、满足21225454n k k m −=−①，这里1OA k k =，2OB k k =，且2214m n +=②，由①②得1214k k =−． 设点()11A x kx ，，点()22B x kx ，，则1OA =，2OB =，又∵22211114x k x +=，22222214x k x +=，∴()()22122112141114k OA kxk +=+=+，()()22222222241114k OB kxk +=+=+，则()222212222222121212324433225141414416k k OA OB k k k k k k +++=++=+=+++++． ∵()()222002a b a b a b +≤+>>，，当且仅当a b =时，取等号，∴OA OB +≤=OA OB =时，取等号，即()maxOA OB+=题型四：双切线交点弦范围问题 【例1】如下图所示，已知圆()224:9T x t y −+=，过椭圆22:143x y C +=的上顶点作圆T 的两条切线交椭圆于E F 、两点，当圆T 的圆心在x 轴上移动且()01t ∈，时，求EF 的斜率的取值范围．【解析】椭圆的上顶点为(0M ，设过点M 与圆T相切的直线方程为y kx =．由直线y kx =+T23=，()2294230t k −++=，∴12k k +=1222394k k t =−联立122143y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2211340k x x ++=，∴1E x =2F x =，((()12121212334E F E F E F EFE F E F E F k x k x k k y y k x k x k x x x x x x k k +−+−−=====−−−−，当01t <<时，()210427f t t =−为增函数，故EF的斜率的范围为0⎛ ⎝⎭． 【例2】经过圆22:5O x y +=上一动点P 作椭圆22:14x C y +=的两条切线，切点分别记为A B 、，直线PA PB 、分别与圆O 相交于异于点P 的M N 、两点．(1)求证：0OM ON +=．(2)求OAB ∆的面积的取值范围．【解析】(1)证明：设点()00P x y ，．(1)当直线PA PB 、的斜率都存在时，设过点P 与椭圆C 相切的直线方程为(y k x =−)00x y +．联立()0022440y k x x y x y ⎧=−+⎨+−=⎩，消去y 得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++−+⋅−−=． ()())(222200006441444k y kx k y kx ⎡⎤∆=−−+−−⎣⎦．令0∆=，整理得：()22200004210x k x y k y −++−=．设直线PA PB 、的斜率分别为12k k 、．∴212214y k k x −=−． 又22005x y +=．∴()220012220154144x x k k x x −−−===−−−． ∴PM PN ⊥，即MN 为圆O 的直径， ∴0OM ON +=．②当直线PA 或PB 的斜率不存在时，不妨设()21P ，， 则直线PA 的方程为2x =．∴点()21M −，，点()21N −，，也满足0OM ON +=． 综上，有0OM ON +=． (2)设点()11A x y ，，点()22B x y ，．当直线PA 的斜率存在时，设直线PA 的方程为()111y k x x y =−+． 联立()11122440y k x x y x y ⎧=−+⎨+−=⎩，消去y 得()()()22211111111148440k x k y k x x y k x ++−+−−= ()()()2222111111116441444k y k x k y k x ⎡⎤∆=−−+⋅−−⎣⎦．令0∆=，整理得()221111142x k x y k −++2110y −=．则11111122111444x y x y x k x y y −−=−==−． ∴直线PA 的方程为()11114x y x x y y −=−+． 化简可得22111144x x y y y x +=+，即14x x+11y y =． 经验证，当直线PA 的斜率不存在时， 直线PA 的方程为2x =或2x =−，也满足1114x xy y +=． 同理，可得直线PB 的方程为2214x xy y +=． ∵()00P x y ，在直线PA PB 、上， ∴101014x x y y +=，202014x xy y +=．。
蒙日圆定理证明圆幂定理
蒙日圆定理证明圆幂定理
蒙日圆定理是几何学中的一个重要定理，它证明了给定椭圆或双曲线的两条正交切线，它们的交点轨迹是一个圆。
而圆幂定理则表述了关于圆上一点与圆外一点的连线的幂的性质。
虽然这两个定理在几何学中都有其独特的地位和应用，但它们之间并没有直接的联系。
因此，不能通过蒙日圆定理来证明圆幂定理。
蒙日圆定理的证明一般采用解析几何的方法，通过引入坐标系，利用切线的方程和椭圆的方程联立解得交点轨迹的方程，最后得出该方程表示一个圆，从而证明了蒙日圆定理。
而圆幂定理的证明则一般利用相似三角形的性质，通过推导得出圆上一点与圆外一点的连线的幂的性质，进而证明圆幂定理。
总的来说，蒙日圆定理和圆幂定理虽然都与圆有关，但它们的证明方法和应用范围不同。
蒙日圆的一种几何证法
蒙日圆的一种几何证法
梅蒙日圆的一种几何证明方法是“梅蒙定理”。
梅蒙定理说明，每一
个通过一定条件的四边形，总能画出一个梅蒙日圆。
梅蒙定理的证明过程
包括几个步骤：
1.证明任意一点都垂直且共线：证明任意两个角都是90°，任意两
条边都垂直且共线。
2.证明四边形的距离及边长相等：证明两个角的夹角相等，四边形的
距离及边长相等。
3.利用Pythagoras定理绘制圆：利用Pythagoras定理，在给定四
边形的边长及角度，可以计算出四边形内角边的长度，从而得到相应的圆。
4.最后可以证明梅蒙日圆：最后将梅蒙日圆画出来，可以证明四边形
与梅蒙日圆间的相关关系。
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蒙日圆及其证明甘志国(已发表于 河北理科教学研究，2015(5)：11-13)高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．答案：(1)22194x y +=；(2)2213x y +=．这道高考题的背景就是蒙日圆.普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G.Monge ，1745-1818)作了介绍.以上高考题第(2)问的一般情形是定理 1 曲线1:2222=+Γb y a x 的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆2222b a y x +=+.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是)0)((00≠-=-k x x k y y .由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)(1002222x x k y y b y a x ，得 0)()(2)(2220020022222=--+--+b a y kx a x y kx ka x b k a由其判别式的值为0，得)0(02)(22022*******≠-=++--a x b y k y x k a x因为PB PA k k ,是这个关于k 的一元二次方程的两个根，所以220220ax b y k k PBPA -+=⋅ 由此，得2220201b a y x k k PB PA +=+⇔-=⋅进而可得欲证成立.定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设两个切点分别是)0)(,(),,(21212211≠y y x x y x B y x A .得直线1:2020=+b y y a x x AB ，切线1:,1:22222121=+=+byy a x x PB b y y a x x PA .所以：2121221121421422221212,x x y y x y x y k k y y a x x b y a x b y a x b k k OB OA PBPA =⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= PBPA OBOA k k a b k k 44= 因为点)2,1)(,(=i y x i i 既在曲线1:2222=+Γb y a x 上又在直线1:2020=+byy a x x AB 上，所以220202222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b y y ax x b y a x i i 0)(2)(2204002222204=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x b x y y x b a xy b y a iiii所以 PBPA OBOA k k a b b y a a x b x x y y k k 44220422042121)()(=--== 220220ax b y k k PBPA --= 由此，可得222020b a y x PB PA +=+⇔⊥进而可得欲证成立.再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理.引理1 (椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).图1证明 如图2所示，设P 为椭圆Γ(其左、右焦点分别是21,F F )上任意给定的点，过点P 作21PF F ∠的外角平分线所在的直线)43(∠=∠l .先证明l 和Γ相切于点P ，只要证明l上异于P 的点P '都在椭圆Γ的外部，即证2121PF PF F P F P +>'+'：图2在直线1PF 上选取点F '，使2PF F P ='，得F P P ''∆≌2PF P '∆，所以2F P F P '=''，还得2111121PF PF F P P F F F F P F P F P F P +='+='>''+'='+'再过点P 作21PF F ∠的平分线(12)PA ∠=∠，易得l PA ⊥，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.引理2 过椭圆Γ(其中心是点O ，长半轴长是a )的任一焦点F 作椭圆Γ的任意切线l 的垂线，设垂足是H ，则a OH =.证明 如图3所示，设点F F ,'分别是椭圆Γ的左、右焦点，A 是椭圆Γ的切线l 上的切点，又设直线A F FH ',交于点B .图3由引理1，得BAH F lA FAH ∠='∠=∠(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得FAH ∆≌BAH ∆，所以点H 是FB 的中点，得OH 是F BF '∆的中位线.又AB AF =，所以a AF A F AB A F OH =+'=+'=)(21)(21.引理3 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和. 证明 由余弦定理可证(这里略去过程).引理4 设点P 是矩形ABCD 所在平面上一点，则2222PD PB PC PA +=+.证明 如图4所示，设矩形ABCD 的中心是点O ．图4由引理3，可得22222222)(2)(2PD PB OP OB OP OA PC PA +=+=+=+即欲证成立．注 把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等．定理1的证法3 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图5所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PN PM ,.图5连结OP ，作PN OH PM OG ⊥⊥,，垂足分别是H G ,.过点1F 作PM D F ⊥1，垂足为D ，由引理2得a OD =.再作OG K F ⊥1于K .记θ=∠K OF 1，得θcos 1c K F DG ==. 由Rt ODG ∆，得θ222222cos c a DG OD OG -=-=.又作OH L F PN E F ⊥⊥22,，垂足分别为L E ,.在Rt OEH ∆中，同理可得θ222222sin c a HE OE OH -=-=.(1)若PN PM ⊥，得矩形OGPH ，所以22222222222)sin ()cos (b a c a c a OH OG OP +=-+-=+=θθ(2)若222b a OP +=，得222222222)sin ()cos (OH OG c a c a OP +=-+-=θθ由PM OG ⊥，得222GP OG OP +=，所以OH GP =.同理，有HP OG =，所以四边形OGPH 是平行四边形，进而得四边形OGPH 是矩形，所以PN PM ⊥.由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法4 可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形. 如图6所示.设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，两切点分别为B A ,.分别作右焦点2F 关于切线PB PA ,的对称点N M ,，由椭圆的光学性质可得三点M A F ,,1共线(用反射角与入射角的余角相等).同理，可得三点N B F ,,1共线.图6由椭圆的定义，得a BF BF NF a AF AF MF 2,2211211=+==+=，所以11NF MF =.由O 是21F F 的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得)(2)(2222222221221OP c OP OF PF PF PM PF +=+=+=+ (1)若PB PA ⊥，得︒=∠+∠=∠+∠180)(22211BPF APF NPF MPF ，即三点N P M ,,共线.又PN PF PM ==2，所以MN PF ⊥1，进而得)(2422221212OP c PM PF MF a +=+==222b a OP +=(2)若222b a OP +=，得212222222214)(2)(2MF a b a c OP c PM PF ==++=+=+所以PM PF ⊥1.同理，可得PN PF ⊥1.所以三点N P M ,,共线. 得︒=∠+∠=∠+∠=∠90)(212222NPF MPF BPF APF APB ，即PB PA ⊥. 由(1),(2)得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.定理1的证法5 (该证法只能证得纯粹性)可不妨设0,0>>b a .当b a =时，易证成立.下面只证明b a >的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点O ，左、右焦点分别是21,F F ，焦距是c 2，过动点P 的两条切线分别是PB PA ,，切点分别是B A ,.设点1F 关于直线PB PA ,的对称点分别为''21,F F ，直线'11F F 与切线PA 交于点G ，直线'21F F 与切线PB 交于点H .图7得1211,BF BF AF AF ='='，再由椭圆的定义，得a F F F F 22221='='，所以a OH OG ==. 因为四边形H PGF 1为矩形，所以由引理4得2222212a OH OG OP OF =+=+，所以222b a OP +=，得点P 的轨迹方程是2222b a y x +=+.读者还可用解析几何的方法证得以下结论：定理 2 (1)双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆2222b a y x -=+；(2)抛物线px y 22=的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.定理 3 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是22a b -的切线交点的轨迹方程是22222=+by a x ；(2)双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是22a b 的切线交点的轨迹方程是22222=-by a x . 定理4 过椭圆)0(22222>>=+b a b y a x 上任一点),(00y x P 作椭圆12222=+by a x 的两条切线，则(1)当a x ±=0时，所作的两条切线互相垂直；(2)当a x ±≠0时，所作的两条切线斜率之积是22ab -.定理5 (1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x +=+(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；②当0<λ且1-≠λ时，Γ即椭圆1222222=-+-ab y b a x λλ(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；③当22a b -=λ时，Γ即两条直线x aby ±=在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；④当220a b <<λ时，Γ即双曲线1222222=---a b x a b y λλ在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±)；⑤当22ab >λ时，Γ即双曲线1222222=---b a y b a x λλ在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 外的部分(但要去掉四个点),(),,(b a b a -±±).(2)双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当1-=λ时，Γ即圆2222b a y x -=+； ②当0>λ时，Γ即双曲线1222222=+-+b a y b a x λλ； ③当1-<λ或221ab -<<-λ时，Γ即椭圆1222222=--++ba yb a x λλ； ④当022<<-λab 时，Γ不存在.(3)抛物线px y 22=的两条斜率之积是)0(≠λλ的切线交点的轨迹Γ是：①当0<λ时，Γ即直线λ2p x =； ②当0>λ时，Γ的方程为⎪⎭⎫⎝⎛>=λλp y p x 2. 例 (北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题)已知22:1O x y +=. 若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是_________.解 (,1][1,)-∞-+∞.在图8中，若小圆(其圆心为点O ，半径为r )的过点A 的两条切线AD AB ,互相垂直(切点分别为F E ,)，得正方形AEOF ，所以r OE OA 22==，即点A 的轨迹是以点O 为圆心，r 2为半径的圆.图8由此结论可得：在本题中，点P 在圆222x y +=上.所以本题的题意即直线2y kx =+与圆222x y +=有公共点，进而可得答案.。