双曲线方程知识点及讲义

双曲线

一、知识点讲解

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：a PF PF 2||||

21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。

||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹；

（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

中心在原点，焦点在x 轴上

中心在原点，焦点在

y 轴上

标准方程

)0,0(122

22>>=-b a b

y a x )0,0(12

2

22>>=-b a b x a y 图 形

顶 点 )0,(),0,(21a A a A - ),0(),,0(21a B a B -

对称轴 x 轴，y 轴；虚轴为b 2，实轴为a 2

焦 点 )0,(),0,(21c F c F -

),0(),,0(21c F c F -

焦 距 )0(2||21>=c c F F 222

b a c

+=

离心率 )1(>=

e a

c

e （离心率越大，开口越大） 渐近线 x a

b y ±

= x b

a y ±

= 通 径

22b a

（3）双曲线的渐近线：

①求双曲线12

2

22=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-b y a x ，因式分解得到0x y a b ±=。

②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22

2

2b

y a x ； （4）等轴双曲线为222

t y x

=-，其离心率为2

（4）常用结论：（1）双曲线)0,0(1222

2

>>=-b a b

y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=

x

O F 1

P B 2 B 1 F 2

x

O F 1 F 2

P

y

A 2 A 1

y

（2）设双曲线

)0,0(122

2

2>>=-b a b

y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ

二、例题讲解。

例1、如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的两个焦

点，

A 和

B 是以O 为圆心，以1

F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB

F 2是等边三

角形，则双

曲线的离心率为（ ）

（A ）

3 （B ）5 （C ）

2

5 （D ）31+

【解析1】设AB 交x 轴于M ，并设双曲线半焦距为c ，∵△AB F 2是等边三角形，∴

3,.22

c OM MA c ==点

3,22c A c ⎛⎫

- ⎪ ⎪⎝⎭

代入双曲线方程： ()()22

2222222222223

3444

c b a c a b c c a a c a c a ⋅-⋅=⇒--=-.化简得：

422442284084042331c a c a e e e e -+=⇒-+=⇒=+⇒=+.

（∵e ＞1，∴2

423e

=-及31e =-舍去）故选D.

【解析2】连AF 1，则△AF 1F 2为直角三角形，且斜边F 1F 2之长为2c.令

1122,.AF r AF r ==由直角三角形性质知：

211221221222

r r a

r c r a c r c r r -=⎧=⎧⎪

⇒⎨⎨

=+⋅=⎩⎪⎩. ∵()2

2

22222221

24,24220220r r c a c c c a ac c e e +=∴++=⇒+-=⇒--=.

∵e ﹥1，∴取31e =

+.选D.

例2、设P 为双曲线2

2

112

y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）

A ．6

3

B ．12 C.123 D ．24

【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：1,23,13a

b c ===.设；

12123,2.

22, 2.PF r PF r PF PF a r ==-==∴= 于是

2

2

2

121212

6, 4.

52PF PF PF PF F F ==+==，

故知△PF 1F 2是直角三角形，∠F 1P F 2=90°.

∴12

1211

641222

PF F

S PF PF ∆=⋅=⨯⨯=.选B. 例3、已知中心在原点，顶点A 1、A 2在x 轴上，离心率e =3

21

的双曲线过点P (6，6) (1)求双曲线方程

(2)动直线l 经过△A 1PA 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点M 、N ，问 是否存在

直线l ,使G 平分线段MN ，证明你的结论

解 (1)如图，设双曲线方程为2222b y a x -=1 由已知得321,1662

2222222=+==-a b a e b a ,解得a 2=9,b 2

=12 所以所求双曲线方程为12

92

2y x -

=1 (2)P 、A 1、A 2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G 的坐标为(2，2） 假设存在直线l ，使G (2，2)平分线段MN ，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2) 则有

221211

1222

1212224129108124,493129108

x x x y y y y y x x x y ⎧+=-=⎧-⎪⇒==⎨⎨+=--=⎪⎩⎩，∴k l =34

∴l 的方程为 y =34 (x －2)+2,由⎪⎩

⎪⎨⎧-==-)

2(34108

91222x y y x ,消去y ,整理得x 2－4x +28=0 ∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l 不存在

一、 同步练习。

1. 如果双曲线2

42

2y x -

＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是（ ） (A)

3

64 (B)

3

6

2 (C)62 (D)32

2. 已知双曲线C ∶22

221(x y a a b

-=＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是

（A ）a

(B)b

(C)ab

(D)22b a +

3. 以双曲线

221916

x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A 2

2

1090x y x +-+= B ．2

2

10160x y x +-+= C ．2

2

10160x y x +++= D ．2

2

1090x y x +++=

X

Y

O

F 1

F 2

P 2r

A 1A 2

M

N

G

P

o

y

x