几何体外接球内切球专题

A．36π
B.64π
C.144π
D.256π
【变式训练】
1.【2014 湖南高考理 7】一块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示，将该石材切削、打磨、
加工成球，则能得到 的最大球的半径等于（ ） 资 *源%库 ziyuank u.com
A.1
B.2
C.3
D.4
2.【2016 重庆巴蜀中学高三】已知四棱锥 S ABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面
）
（A）4π （D） 32
3
（B） 9 2
（C）6π
4.2【典型考题变式】
【变式 1：改编条件】在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称
之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑
th 中， 平面 th，
h t h th h ，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为_______．
【变式 2：改编结论】在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，若 D1AC 内切圆的半径为
7.【2017 年福建省总复习立体几何形成性】若一个正四面体的表面积为 S1 ，其内
切球的表面积为
S2
，则
S1 S2
＝（
）
A.
6
B.
2
C.
1 6
D.
63
8.【2018 届河南省洛阳市上学期尖子生第一次联考】已知球 O 与棱长为 4 的正四
面体的各棱相切，则球 O 的体积为（ ）
A. 8 2 3
ABCD 是正方形且和球心 O 在同一平面内，若此四棱锥的最大体积为18 ，则球 O 的表面
积等于（ ）
A．18
B． 36
C． 54
D． 72
3.【2 016 银川一中高三】某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边 资 *源%库 ziyuank u.com
长为 1 的正方形，则此四面体的外接球的体积为（ ）
2 6 ，则该正方体内切球的表面积为 (
)[KS5UKS5U]
3
A. 2 B. 8 C. 12 D. 16 【变式 3：改编问法】已知一个直三棱柱，其底面是正三角形，一个体积为 4 的
3 球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是
A. 24 3 B. 18 3 C. 12 3 D. 6 3
图中均为正方形，则该几何体的体积为（ ）
A. 16 B. R C.
D. 8
2.球与圆柱或圆锥的切接问题
2.1 考题展示与解读
例 2【2017 课标 3，理 8】已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2
的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．
A． π
B． 3π 4
2.2【典型考题变式】
4.【2017 届湖南湘潭二模】半径为 2 的球 O 中有一内接正四棱柱（底面是正方
形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱
的侧面积之差是（ ）
A．16（
） B．16（
） C．8（2
） D．8（2
）
5.【2018 届湖北省襄阳四中 8 月考】已知一个四棱锥三视图如图所示，若此四棱
的表面上，则球 的表面积为__________. 14【. 2018 届河南省周口市中英文学校上学期开学摸底考】已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是正方形，侧棱 PA 与底面垂直，且 PA=AB，若该四棱锥的侧面 积为16 16 2 ，则该四棱锥外接球的表面积为__． 15.【2018 届江西省红色七校第一次联考】已知正六棱柱的顶点都在同一个球面 上，且该六棱柱的体积为 2 ，当球的体积最小时，正六棱柱底面边长为_________．
A. 27π B. 쳌π
C. 9π D. 쳌π
【变式 2：改编结论】在正三棱锥 锥外接球的直径为( )
th 中， h 쳌， t h R，则该三棱
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【变式 3：改编问法】已知四棱锥 E-ABCD 的都在球心为 ，半径为 的球面上，
四边形 ABCD 为矩形， t h R th h 大值为（ ）
，且，则四棱锥 E-ABCD 的体积的最
A. 24 3
B. 72 3 ， C. 8 3 D. 48 3
4.多面体内切球问题
4.1 考题展示与解读
例 4【2016 高考新课标 3 理数】在封闭的直三棱柱 ABC A1B1C1 内有一个体积为
V 的球，若 AB BC ，
AB 6 ， BC 8 ， AA1 3 ，则V 的最大值是（
在同一个球面上，底面 th 满足 t h th h R t h h ，若该三棱锥体积最
大值为 3，则其外接球的表面积为（ ）
A.
B.
C来自百度文库 R
D. R
11.【2018 届河南省八市重点高中高三第一次测评】三棱锥 A BCD 的一条长为
a ，其余棱长均为1，当三棱锥 A BCD 的体积最大时，它的外接球的表面积为
A. 4 3
B. 2 3
C. 4
D. 2 2
2.【2017 届新疆二模】如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积
为（ ）
A．
B．27π C．27 π D．
3.【2017 届玉林一模】网络用语“车珠子”，通常是指将一块原料木头通过加工打 磨，变成球状珠子的过程，某同学有一圆锥状的木块，想把它“车成珠子”，经测 量，该圆锥状木块的底面直径为 12cm，体积为 96πcm3，假设条件理想，他能成 功，则该珠子的体积最大值是（ ） A．36πcm3 B．12πcm3 C．9πcm3 D．72πcm3
果正四棱柱的底面边长为 1 cm，那么该棱柱的表面积为________cm2.
类型二 多面体的内切球或外接球的最值问题
【典例 1】【2015 高考新课标 2 理 9】已知 A,B 是球 O 的球面上两点，∠AOB=90°,C 为该球面
上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( )
几何体外接球内切球专题
类型一 求多面体与内切球或外接球的表面积和体积
【典例 1】【2014 大纲全国卷理 6】正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥 的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为( )
81π A.
4
B．16π
C．9π
27π D.
4
【典例 2】【2014 高考陕西理 5】已知底面边长为 1，侧棱长为 2 的正四棱柱 的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
C. 100
D. 500 3
【变式 3：改编问法】某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是边长
为 2 3 的正三角形，该几何体的外接球的表面积为（ ）
A. 9 B. 16 C. 24
3.棱锥的外接球问题
3.1 考题展示与解读
D. 36
例 3【2017 课标 1，文 16】已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SC 是球 O 的直径．若平面 SCA⊥平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 S-ABC 的 体积为 9，则球 O 的表面积为________． 【变式 1：改编条件】某多面体的三视图如图所示，每一小格单位长度为 l，则 该多面体的外接球的表面积是
三、课本试题探源
必修 2 P28 页练习 第 2 题：一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是 a cm ， 求球的体积.
四．典例高考试题演练
1.【2018 届”超级全能生”高考全国卷 26 省 9 月联考】若正四棱锥 P ABCD 内接 于球 O ，且底面 ABCD 过球心 O ，设正四棱锥 P ABCD 的高为1，则球 O 的体 积为（ ）
A. 32
B.4
3
C.2
D. 4
3
【变式训练】
1.【2012 高考课标理数 11】已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是 边长为1的正三角形， SC 为球 O 的直径，且 SC 2 ；则此棱锥的体积为（ ）
( A) 2 6
(B) 3 6
(C) 2 3
(D) 2 2
A．
B．3π
C．
D．π
【解题技巧与方法总结】
多面体与球接、切问题的求解策略 (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般 为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻 找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位 置，理清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． (2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA ＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则 4R2 ＝a2＋b2＋c2 求解，实现问题的转化。
C． π 2
D． π 4
【变式 1：改编条件】已知圆柱的高为 2，它的两个底面的圆周在直径为 4 的同
一个球的球面上，则该圆柱的体积是( )
A.
B. 3 4
C.
2
D. 6
【变式 2：改编结论】已知圆锥的底面半径为 4 ，高为 8 ，则该圆锥的外接球的
表面积为（ ）
A. 10
B. 64
锥的五个顶点在某个球面上，则该球的表面积为( )
A. 48
B. 52
C. 172 3
D. 196 3
6.【2018 届河北省邢台市第一次月考】将半径为 4 的半圆围成一个圆锥，则该圆
锥的内切球的表面积为（ ）
A. 8 3
B. 16 3
C. 4 3
D.
4 3
3
[KS5UKS5U]
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1.棱柱的外接球问题
1.1 考题展示与解读 例 1 【2017 课标 II，文 15】长方体的长、宽、高分别为 3, 2,1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 ________． 1.2【典型考题变式】 【变式 1：改编条件】若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面 上，则该球的表面积为( )
B. 8 3 3
C. 8 6 3
D. 16 2 3
9.【2018 届湖南郴州市一高 9 月考】某三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是
一个等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A.
B.
C.
D. 5 5
6
10.【2018 届辽宁省庄河市高中上学期开学】已知三棱锥
th 的四个顶点都
2．【2016 长春模拟】在正三棱锥 S­ABC 中，M，N 分别是 SC，BC 的中点，且 MN⊥AM，
若侧棱 SA＝2 3，则正三棱锥 S­ABC 外接球的表面积是( )
A．12π
B．32π
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C．36π
D．48π
3．【2016 兰州模拟】一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上．如
A. 16 3
B. 19 3
C. 19 12
D. 4 3
【变式 2：改编结论】底面边长为1，侧棱长为 2 6 的正三棱柱的各顶点均在同 3
一个球面上，则该球的体积为（ )
A. 32π 3
B. 4π
C. 2π
D. 4π 3
【变式 3：改编问法】已知某几何体的外接球的半径为 ，其三视图如图所示，
() A. 5
3
B. 5 4
C. 5 6
D. 5 8
12.【2017 届江苏】如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面 及母线均相切，记圆柱 O1O2 的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 的值是 ．
13.【2018 届湖北省武汉市新高三起点调研考】已知三棱锥 thh 的三条棱 t th hh 所在的直线两两垂直且长度分别为 3，2，1，顶点 t h h 都在球