高中概率高考真题总结
【高考数学】概率典型例题整合
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结十一、概率１．随机事件A 的概率0()1P A ≤≤，其中当()1P A =时称为必然事件；当()0P A =时称为不可能事件P(A)=0；2.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=nm 。
理解这里m 、ｎ的意义。
如（1）将数字1、2、3、4填入编号为1、2、3、4的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是______（答：38）；（2）设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①从中任取2件都是次品；②从中任取5件恰有2件次品；③从中有放回地任取3件至少有2件次品；④从中依次取5件恰有2件次品。
（答：①215；②1021；③44125；④1021） 3、互斥事件：（A 、B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生）。
计算公式：P (A +B )＝P (A )+P (B )。
如（1）有A 、B 两个口袋，A 袋中有4个白球和2个黑球，B 袋中有3个白球和4个黑球，从A 、B 袋中各取两个球交换后，求A 袋中仍装有4个白球的概率。
（答：821）；（2）甲、乙两个人轮流射击，先命中者为胜，最多各打5发，已知他们的命中率分别为0.3和0.4，甲先射，则甲获胜的概率是（0.425=0.013，结果保留两位小数）______（答：0.51）；（3）有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为P （n ），且P （n ）与时刻t 无关，统计得到 ()()10,1520,6nP n P n n ⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≥⎩，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率P （0）的值是 （答：3263） 4、对立事件：（A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生）。
计算公式是：P （A ）+ P(B)＝１；P (A )=1－P (A )；5、独立事件：（事件A 、B 的发生相互独立，互不影响）P(A •B)＝P(A) • P(B) 。
高考概率大题及答案
高考概率大题及答案1.某市高中毕业生中有80%选择进入大学，20%选择就业。
已知选择就业的学生中，70%在第一年获得满意的工作，而选择进入大学的学生中，80%在第一年获得满意的工作。
现从该市高中毕业生中任选一人，问他第一年获得满意工作的概率是多少？解答：由全概率公式可知，某毕业生获得满意工作的概率可以分为两种情况：1）选择就业的情况下获得满意工作的概率：0.2 × 0.7 = 0.14 2）选择进入大学的情况下获得满意工作的概率：0.8 × 0.8 = 0.64因此，获得满意工作的总概率为：0.14 + 0.64 = 0.78所以，任选一人的第一年获得满意工作的概率为0.78。
2.一批产品某种型号有20%的不合格品。
现从中任意抽取2个进行检查，问两个都是合格品的概率是多少？解答：抽取两个产品都是合格品的概率可以通过计算来得到。
首先，第一次抽取的产品是合格品的概率为80%（不合格品的概率为20%）。
而第二次抽取的产品也是合格品的概率会受到第一次抽取的影响。
因为第一次抽取合格品后，剩下的产品中合格品的比例会减少。
假设第一次抽取合格品后，剩下的产品中有a个合格品和b个不合格品，则第二次抽取的产品也是合格品的概率为a/(a+b)。
因此，两个都是合格品的概率为：0.8 × (a/(a+b))具体数值需要根据实际情况来计算。
3.某门考试的通过率为60%，现已知通过考试的学生中，有70%是靠自己的努力而没有借助辅导班；而未通过考试的学生中，有30%是通过辅导班的帮助提高的。
现从所有参加考试的学生中任意选取一人，问他通过考试并没有借助辅导班的概率是多少？解答：通过考试并没有借助辅导班的概率可以分为两种情况：1）通过考试的学生中靠自己的努力的概率：0.6 × 0.7 = 0.42 2）通过辅导班帮助提高通过考试的概率：0.4 × 0.3 = 0.12因此，通过考试并没有借助辅导班的总概率为：0.42 + 0.12 = 0.54所以，任选一人通过考试并没有借助辅导班的概率为0.54。
高考真题数学概率题及答案
高考真题数学概率题及答案高考真题中的数学概率题常常是考生们的心头之患，因为涉及到概率的计算和推断，考生们往往感到头疼。
在这里，我为大家整理了一些高考真题中常见的数学概率题及答案，希望能帮助大家更好地应对考试。
题目一：某班有30名学生，其中10名喜欢篮球，8名喜欢足球，6名喜欢羽毛球，3名以上三项兼喜的学生只有两名，问至少有多少名学生喜欢至少一项球类运动？
解答：设喜欢至少一项球类运动的学生有x名，根据题意可列出方程：10+8+6-x=30-2，解得x=22，因此至少有22名学生喜欢至少一项球类运动。
题目二：甲、乙、丙三人开车到达目的地的概率分别是0.6、0.7和0.8，求至少有一个人到达目的地的概率。
解答：根据概率的互补性，至少有一个人到达目的地的概率为1-三人都没有到达的概率，即1-(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)=1-0.4*0.3*0.2=0.976，所以至少有一个人到达目的地的概率是0.976。
题目三：已知随机事件A的概率为0.4，事件B的概率为0.3，且事件A与事件B相互独立，求事件A与事件B至少有一个发生的概率。
解答：由事件A与事件B相互独立可知，事件A与事件B至少有一个发生的概率为1-(1-0.4)(1-0.3)=1-0.6*0.7=0.58，所以事件A与事件B至少有一个发生的概率为0.58。
通过以上题目的解答，我们可以看到，数学概率题并不是难到无法解决的问题，只要掌握了基本的概率知识和解题技巧，就能在考试中得心应手。
希望以上内容能对大家有所帮助，祝愿大家在高考中取得优异的成绩。
高考概率论真题及答案解析
高考概率论真题及答案解析概率论作为数学中的一个分支，是高考数学中的一个重要考点。
在高考中，概率论题目常常给考生带来困扰。
本文将选取几道高考概率论真题，以及对应的解析方法，帮助考生更好地掌握解题技巧。
一、某高中有400名学生，其中300名喜欢足球，200名喜欢篮球。
求既不喜欢足球也不喜欢篮球的学生人数。
解析：首先，该高中学生总人数为400人。
喜欢足球的人数为300人，喜欢篮球的人数为200人。
根据概率论中的容斥原理，我们可以得到既不喜欢足球也不喜欢篮球的学生人数为400-300-200=100人。
二、在一个班级中，60%的学生喜欢音乐，40%的学生喜欢运动，且有70%的学生至少喜欢一种。
求这个班级中既不喜欢音乐也不喜欢运动的学生人数。
解析：根据题意，喜欢音乐的学生占60%，喜欢运动的学生占40%，至少喜欢一种的学生占70%。
根据概率论中的加法原理，我们可以得到既不喜欢音乐也不喜欢运动的学生人数为100% - 70% = 30%。
假设班级中共有100名学生，那么既不喜欢音乐也不喜欢运动的学生人数为30% * 100 = 30人。
三、有两个盒子，盒子A中有3个白球，2个黑球，盒子B中有4个白球，1个黑球。
先从一个盒子中任取一球放入另一个盒子，然后从新的盒子中随机取一球。
已知最后随机取到的球是白色，求原盒子中的球的颜色。
解析：根据题意，我们可以列出两个条件：1. 最后取到的球是白色；2. 先取球的盒子中的球的颜色。
设事件A表示最后取到的球是白色，设事件B表示先取球的盒子中的球的颜色。
我们要求的是事件B在已知事件A发生的条件下的概率P(B|A)。
根据概率论中的条件概率公式，我们有：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。
根据题意，我们可以知道：P(A∩B) = P(从盒子A中取出球放入盒子B，然后从盒子B中取出白球) = (3/5) * (5/6) = 1/2。
因为最后取到的球是白色，所以P(A) = 1。
高考数学2024概率与统计历年题目全集
高考数学2024概率与统计历年题目全集概率与统计是高中数学中一门重要的学科，也是高考数学考试的一部分。
在概率与统计中，我们需要通过概率的计算和统计的方法来分析和解决实际问题。
为了帮助同学们复习和准备高考数学考试，本文整理了高考数学2024概率与统计历年题目全集，希望能对同学们有所帮助。
1. 单项选择题1) 已知概率为P(A) = 0.2，P(B) = 0.4，事件A、B相互独立，求P(A并B)的值。
2) 一次抛掷一硬币，设正面向上的概率为p，反面向上的概率为q。
连续抛掷3次硬币，求正面朝上的次数不超过2次的概率。
3) 某音乐社有男生40人，女生60人。
从中随机抽取一人，求抽到女生的概率。
2. 典型案例题1) 某超市中购买了100个某品牌产品，其中有5个是次品。
现从中不放回地连续抽取3个产品，求至少有一个次品的概率。
2) 某餐厅的饭菜有4个主食和6个副食。
现从中选择2个饭菜，求至少有一个主食的概率。
3. 解答题1) 设事件A与事件B相互独立，且P(A) = 0.3，P(B) = 0.5。
求下列事件的概率：a) P(A并B)b) P(A或B)c) P(A的对立事件)2) 设P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，P(A并B) = 0.1，求下列事件的概率：a) P(A的对立事件)b) P(B的对立事件)c) P(A或B)3) 有一批产品，其中20%是次品。
现从中不放回地连续抽取3个产品，求以下事件的概率：a) 已抽出的3个产品都是次品；b) 至少有一个次品。
（提示：利用组合数学中的排列、组合知识进行计算）本文仅列举了一部分高考数学2024概率与统计历年题目，希望能给同学们提供一些复习和备考的参考。
在备考过程中，同学们还需结合教材和课堂上的知识，多进行习题训练和模拟考试，提高解题能力和应试技巧。
祝同学们取得优异的高考成绩！。
2023年概率专题历年高考真题汇总小题解析版
概率专题历年高考真题汇总（小题）1.（·新课标Ⅰ, 3）为理解某地区旳中小学生旳视力状况, 拟从该地区旳中小学生中抽取部分学生进行调查, 事先已理解到该地区小学、初中、高中三个学段学生旳视力状况有较大差异, 而男女生视力状况差异不大. 在下面旳抽样措施中, 最合理旳抽样措施是().A. 简朴随机抽样B. 按性别分层抽样C. 按学段分层抽样D. 系统抽样解析：由于学段层次差异较大, 因此在不一样学段中抽取宜用分层抽样．故选C.2.（·新课标Ⅱ, 6）安排3名志愿者完毕4项工作, 每人至少完毕1项, 每项工作由1人完毕, 则不一样旳安排方式共有..）A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种【答案】D 解析: 解法一: 将三人提成两组, 一组为三个人, 有种也许, 此外一组从三人在选调一人, 有种也许；两组前后在排序, 在对位找工作即可, 有种也许；合计有36种也许.解法二：工作提成三份有种也许, 在把三组工作分给3个人有也许, 合计有36种也许.3.（·新课标Ⅱ, 理8）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜测旳研究中获得了世界领先旳成果. 哥德巴赫猜测是“每个不小于2旳偶数可以表达为两个素数旳和”, 如. 在不超过30旳素数中, 随机选用两个不一样旳数, 其和等于30旳概率是..）A. B. C. D.【答案】C 解析：30以内旳素数有10个, 满足和为30旳素数对有3对, 概率为, 选C.4.（·新课标Ⅰ, 2）如图, 正方形ABCD内旳图形来自中国古代旳太极图, 正方形内切圆中旳黑色部分和白色部分有关正方形旳中心成中心对称. 在正方形内随机取一点, 则此点取自黑色部分旳概率是（）A. B. C. D.【答案】B 解析: 设正方形边长为, 则圆半径为, 则正方形旳面积为, 圆旳面积为, 图中黑色部分旳概率为, 则此点取自黑色部分旳概率为, 故选B；【解题技巧】解几何概型旳试题, 一般先求出试验旳基本领件构成旳区域长度（面积或体积）, 再求出事件构成旳区域长度（面积或体积）, 最终裔入几何概型旳概率公式即可．几何概型计算公式：P(A)＝。
数学高考概率与统计历年真题精选2024
数学高考概率与统计历年真题精选2024概率与统计是高中数学的重要内容之一，在高考中占有相当的比重。
为了帮助广大考生更好地备考概率与统计，本文整理了数学高考概率与统计的历年真题，并进行了精选，希望对考生的备考有所帮助。
1. 选择题精选1）（2015年广东高考）设事件A、B独立，P(A)=0.3，P(A∪B)=0.7，则P(B)为（）A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5解析：由独立事件的性质可得，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A)·P(B)，代入已知条件可得，0.7 = 0.3 + P(B) - 0.3·P(B)，整理得P(B) = 0.4，故选C。
2）（2016年江苏高考）某人参加驾驶证考试，第一道选择题有5个选项，有且只有1个正确选项，则某人随机选择答案的通过率为（）。
A. 5%B. 20%C. 25%D. 80%解析：某人随机选择答案的通过率为正确答案的比例，即为1/5，转换成百分数为20%，故选B。
2. 解答题精选1）（2017年北京高考）某地下车库共有4层，每层有16个停车位，小明停车习惯于停在第1层，而小红停车习惯于停在第2层，他们同时来到车库停车，请问小明和小红停在同一层的概率是多少？解析：小明停在第1层的概率为1/4，小红停在第2层的概率为1/4，由于小明和小红是同时来到车库停车的，因此小明和小红停在同一层的概率为(1/4)·(1/4) = 1/16。
2）（2018年福建高考）某地区的夏季天气，可以分为晴天、多云、阴天三种情况，以往观测数据表明：晴天、多云、阴天的概率分别为0.4、0.3、0.3。
今有一天这个地区天气为晴天，已知当天多云、阴天的概率为x和y，求概率x与y之和的最大值。
解析：根据题意，晴天的概率为0.4，多云和阴天的概率之和为0.6，因此x+y=0.6。
根据概率的性质，x和y的取值范围为[0, 0.3]，且x+y的最大值为0.6。
概率高考题及答案详解
概率高考题及答案详解14．（本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则能够获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为41010.999-．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；投保人应交纳的最低保费（单位：元）．15．（本小题满分12分）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为221332，，，且各人回答准确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这个事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这个事件，求()P AB ．16．（本小题满分12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数很多于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 17（本小题满分12分）如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求p ；（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；（Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．(18)(本小题满分12分)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家实行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家实行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．19某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有ABCD 四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题ABCD 分别加1分2分3分6分，打错任一题减2分; ②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数不足14分时，答题结束，淘汰出局。
概率学高考试题及答案
概率学高考试题及答案概率学是高中数学课程中的一个重要分支，它研究随机事件的规律性。
以下是一套概率学高考试题及答案，供考生练习。
一、选择题（每题3分，共15分）1. 某班有30名学生，其中男生20人，女生10人。
从这30名学生中随机抽取一人，抽到男生的概率是多少？A. 1/3B. 2/3C. 1/2D. 3/5答案：B2. 一个袋子里装有3个红球和2个蓝球，随机取出2个球，至少有一个红球的概率是多少？A. 1/3B. 3/5C. 2/3D. 4/5答案：C3. 如果事件A和事件B是互斥的，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，那么P(A∪B)等于多少？A. 0.7B. 0.6C. 0.5D. 0.4答案：B4. 抛一枚硬币两次，出现正面朝上的次数X服从什么分布？A. 正态分布B. 二项分布C. 泊松分布D. 几何分布答案：B5. 一个随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=k)等于多少？A. λ^k * e^(-λ) / k!B. k * λ^(k-1) * e^(-λ)C. λ * e^(-λ) / kD. e^(-λ) * (λ/k)答案：A二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个盒子里有5个白球和3个黑球，随机取出2个球，两个都是白球的概率是______。
答案：5/147. 某次考试的及格率为70%，如果随机抽取10名学生，至少有7名学生及格的概率是______。
答案：[计算略]8. 一个骰子连续掷两次，点数之和为7的概率是______。
答案：5/369. 某工厂生产的产品中有2%是次品，如果随机抽取100件产品，期望的次品数是______。
答案：210. 一个随机变量X服从标准正态分布，那么P(-1 < X < 1) ≈______。
答案：0.6827三、解答题（共25分）11. 一个袋子里有5个红球和5个蓝球，随机取出3个球，求以下事件的概率：- 事件A：取出的3个球都是红球。
高考概率题总结
高考概率题总结高考概率题是高考数学中的一个重要考点。
在高考中，概率题通常涉及到事件的发生概率、排列组合、条件概率、独立性等概念和方法。
掌握了这些知识，就能够解答概率题，提高数学成绩。
本文将对高考概率题进行总结，帮助考生深入理解概率题。
首先，我们来看一下概率的基本概念。
概率是指某一事件发生的可能性大小。
在概率题中，通常会给出一个样本空间Ω，表示所有可能的结果的集合，以及一个事件A，表示我们关注的一个特定结果。
概率P(A)就是事件A发生的可能性大小，通常用一个小于等于1的数来表示。
在计算概率的过程中，我们需要使用概率的性质和计算方法。
首先是概率的性质：概率一定是大于等于0的数，且小于等于1；当事件A不可能发生时，概率P(A)等于0；当事件A一定会发生时，概率P(A)等于1；对于任意事件A和B，有P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)；当事件A和B相互独立时，有P(A∩B) = P(A) × P(B)。
其次是计算概率的方法。
在概率题中，常用的计算方法有：几何概型法、频率法、等可能概型法等。
几何概型法主要用于计算几何概率，即通过统计面积、长度或体积来计算概率。
频率法主要用于大量实验和观察的情况下，通过实验结果的频率来估算概率。
等可能概型法主要用于处理每个事件发生的可能性相等的情况下的概率计算，常用的方法有排列组合。
接下来，我们来看一下高考概率题常见的题型及解题思路。
首先是事件的发生概率题。
在这类题型中，通常会给出样本空间Ω和一组事件，要求计算事件的概率或比较两个事件的概率大小。
解题时，首先要明确事件和样本空间，然后利用概率的性质和计算方法计算事件的概率，并进行比较或推导。
其次是排列组合题。
在这类题型中，通常会给出一组元素和一些条件，要求计算满足条件的排列或组合的总数。
解题时，首先要确定条件中的元素个数和影响条件的因素，然后利用排列组合的知识计算出满足条件的排列或组合的总数。
高考概率题总结全国卷
高考概率题总结全国卷引言在高考数学题中，概率题一直是考生们比较头疼的一部分。
概率题的解题思路需要考生熟练掌握概率的基本概念和计算方法，并能够灵活运用。
本文将总结全国卷中的高考概率题，从中提取出一些典型的题型和解题思路，帮助考生更好地应对概率题。
典型题型1. 互不相容事件的概率计算在概率题中，有些题目会给出一些互不相容事件的概率，要求计算它们的和或差的概率。
解题思路：首先，根据题意找出互不相容事件，并求出各个事件的概率。
然后，根据题目要求计算出所需的概率。
例如：题目：某班有60名学生，其中35名喜欢篮球，30名喜欢足球，15名既喜欢篮球又喜欢足球。
从该班中随机抽取一名学生，问该学生喜欢篮球或足球的概率是多少？解题思路：首先，喜欢篮球和足球的学生是互不相容的事件，所以我们只需计算出喜欢篮球和喜欢足球的概率，然后求和即可。
喜欢篮球的学生概率为35/60，喜欢足球的学生概率为30/60，喜欢篮球和足球的学生概率为15/60。
所以，喜欢篮球或足球的概率为(35/60) + (30/60) -(15/60) = 50/60 = 5/6。
2. 条件概率的计算在概率题中，有些题目会给出一些已知条件，并要求计算在这些条件下发生某事件的概率。
解题思路：首先，根据已知条件确定相关的事件和概率。
然后，根据概率的定义计算所需的概率。
例如：题目：某班有60名学生，其中35名喜欢篮球，30名喜欢足球。
从该班中随机抽取一名学生，已知该学生喜欢篮球，问该学生也喜欢足球的概率是多少？解题思路：首先，已知条件是该学生喜欢篮球，所以我们只需计算出喜欢篮球且喜欢足球的学生的概率，然后计算在喜欢篮球的条件下喜欢足球的概率。
喜欢篮球的学生概率为35/60，喜欢篮球且喜欢足球的学生概率为15/60。
所以，在已知该学生喜欢篮球的条件下，该学生也喜欢足球的概率为(15/60) /(35/60) = 3/7。
3. 独立事件的概率计算在概率题中，有些题目会给出一些独立事件的概率，并要求计算它们同时发生的概率。
高考概率经典解答题及答案
高考概率经典解答题及答案下面是一些经典的高考概率题目及其答案：1. 问题：在一副扑克牌中，从中任意抽取一张牌，求抽到红桃的概率是多少？问题：在一副扑克牌中，从中任意抽取一张牌，求抽到红桃的概率是多少？答案：扑克牌中一共有52张牌，其中红桃有13张。
因此抽到红桃的概率为13/52，即1/4。
：扑克牌中一共有52张牌，其中红桃有13张。
因此抽到红桃的概率为13/52，即1/4。
2. 问题：有一个包含5只黑球和7只白球的箱子，从中不放回地随机抽取两个球，求抽到一黑一白的概率是多少？问题：有一个包含5只黑球和7只白球的箱子，从中不放回地随机抽取两个球，求抽到一黑一白的概率是多少？答案：抽取第一个球时，有5/12的概率抽到黑球，7/12的概率抽到白球。
抽取第二个球时，则有4/11的概率抽到与第一个球不同颜色的球。
：抽取第一个球时，有5/12的概率抽到黑球，7/12的概率抽到白球。
抽取第二个球时，则有4/11的概率抽到与第一个球不同颜色的球。
因此，抽到一黑一白的概率为(5/12) * (7/11) + (7/12) * (5/11) = 35/66。
3. 问题：有标准的六面骰子，投掷两次，求两次投掷的点数之和为7的概率是多少？问题：有标准的六面骰子，投掷两次，求两次投掷的点数之和为7的概率是多少？答案：投掷两次骰子，每次投掷的点数都有6种可能结果。
共有36种不同的点数组合。
：投掷两次骰子，每次投掷的点数都有6种可能结果。
共有36种不同的点数组合。
其中，和为7的组合有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)和(6,1)这6种组合。
因此，两次投掷的点数之和为7的概率为6/36，即1/6。
以上是一些经典的高考概率题目及其答案，希望对您有帮助。
高中概率高考真题总结
全国各地高考及模拟试卷试题分类----------概率选择题1．6名同学排成两排，每排3人，其中甲排在前排的概率是 （ B ）A ．121 B ．21 C ．61 D ．31 2．有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名，恰好2名男生或2名女生的概率是 （ D ）A ．452B.152 C.31 D.157 3．甲乙两人独立的解同一道题,甲乙解对的概率分别是21,p p ,那么至少有1人解对的概率是 （ D ）A.21p p +B.21p p ⋅C. 211p p ⋅-D.)1()1(121p p -⋅--4．从数字1, 2, 3, 4, 5这五个数中, 随机抽取2个不同的数, 则这2个数的和为偶数的概率是 ( B )A.51 B. 52 C. 53 D. 54 5．有2n 个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数，则所取的两数之和为偶数的概率是 （ C ） A 、12 B 、12n C 、121n n -- D 、121n n ++ 6．有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，恰好是2名男生或2名女生的概率是 （ C ） A ．452 B ．152 C ．157 D ．31 7．已知P 箱中有红球1个，白球9个，Q 箱中有白球7个，（P 、Q 箱中所有的球除颜色外完全相同）．现随意从P 箱中取出3个球放入Q 箱，将Q 箱中的球充分搅匀后，再 从Q 箱中随意取出3个球放入P 箱，则红球从P 箱移到Q 箱，再从Q 箱返回P 箱中的 概率等于 （ B ） A ．51B ．1009 C ．1001 D ．538．已知集合A={12，14，16，18，20}，B={11，13，15，17，19}，在A 中任取一个元素用a i (i=1，2，3，4，5)表示，在B 中任取一个元素用b j (j=1，2，3，4，5)表示，则 所取两数满足a i >b I 的概率为（ B ）A 、43 B 、53 C 、21 D 、51 9．在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择3个点，刚好构成直角三角形的概率是（ B ） A.14B.13C.12D.1510．已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品 ( C ) A.7个 B.8个 C.9个 D.10个11．甲、乙独立地解决 同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是（ D ） A 、0.48 B 、0.52 C 、0.8 D 、0.92填空题1．纺织厂的一个车间有n （n>7，n ∈N ）台织布机，编号分别为1，2，3，……，n ，该车 间有技术工人n 名，编号分别为1，2，3，……，n ．现定义记号ij a 如下：如果第i 名 工人操作了第j 号织布机，此时规定ij a =1，否则ij a =0．若第7号织布机有且仅有一人 操作，则=+++++747372717n a a a a a 1 ；若3132333432n a a a a a +++++= ，说明了什么： 第三名工人操作了2台织布机 ；2．从6人中选4人分别到巴黎，伦敦，悉尼，莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲，乙两人不去巴黎游览的概率为23.(用分数表示) 3．某商场开展促销抽奖活动，摇出的中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的每位顾客从0～9这10个号码中任意抽出六个组成一组，若顾客抽出的六个号码中至少有5 个与摇出的号码相同（不计顺序）即可得奖，则中奖的概率是___542____． 4．某中学的一个研究性学习小组共有10名同学，其中男生x 名（3≤x ≤9），现从中选出 3人参加一项调查活动，若至少有一名女生去参加的概率为f(x),则f(x)max = _ 119120_解答题1．甲、乙两名篮球运动员，甲投篮的命中率为0.6，乙投篮的命中率为0.7，两人是否投 中相互之间没有影响，求：（1）两人各投一次，只有一人命中的概率；（2）每人投篮两次，甲投中1球且乙投中2球的概率． 解：（1）P 1=0.6（1－0.7）+（1－0.6）0.7=0.46． 6分（2）P 2=［12C 0.6（1－0.6）］·［22C （0.7）2（1－0.7）0］=0.2352． 12分2．工人看管三台机床，在某一小时内，三台机床正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.85， 且各台机床是否正常工作相互之间没有影响，求这个小时内： （1）三台机床都能正常工作的概率；（2）三台机床中至少有一台能正常工作的概率．解：（1）三台机床都能正常工作的概率为P 1=0.9×0.8×0.85=0.612． 6分 （2）三台机床至少有一台能正常工作的概率是P 2=1－（1－0.9）（1－0.8）（1－0.85）=0.997． 12分 3．甲、乙两名篮球运动员，投篮的命中率分别为0.7与0.8． （1）如果每人投篮一次，求甲、乙两人至少有一人进球的概率； （2）如果每人投篮三次，求甲投进2球且乙投进1球的概率． 解：设甲投中的事件记为A ，乙投中的事件记为B ，（1）所求事件的概率为：P=P （A ·B ）+P （A ·B ）+P （A ·B ）=0.7×0.2+0.3×0.8+0.7×0.8 =0.94．6分（2）所求事件的概率为：P=C 230.72×0.3×C 130.8×0.22=0．042336．12分4．沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿交通信号灯，汽车在甲、乙、丙三个地方 通过（绿灯亮通过）的概率分别为31，21，32，对于在该大街上行驶的汽车， 求：（1）在三个地方都不停车的概率； （2）在三个地方都停车的概率； （3）只在一个地方停车的概率．1．甲、乙两名篮球运动员，甲投篮的命中率为0.6，乙投篮的命中率为0.7，两人是否投 中相互之间没有影响，求：（1）两人各投一次，只有一人命中的概率；（2）每人投篮两次，甲投中1球且乙投中2球的概率．解：（1）P 1=0.6（1－0.7）+（1－0.6）0.7=0.46． 6分（2）P 2=［12C 0.6（1－0.6）］·［22C （0.7）2（1－0.7）0］=0.2352． 12分2．工人看管三台机床，在某一小时内，三台机床正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.85， 且各台机床是否正常工作相互之间没有影响，求这个小时内： （1）三台机床都能正常工作的概率；（2）三台机床中至少有一台能正常工作的概率．解：（1）三台机床都能正常工作的概率为P 1=0.9×0.8×0.85=0.612． 6分 （2）三台机床至少有一台能正常工作的概率是P 2=1－（1－0.9）（1－0.8）（1－0.85）=0.997． 12分 3．甲、乙两名篮球运动员，投篮的命中率分别为0.7与0.8． （1）如果每人投篮一次，求甲、乙两人至少有一人进球的概率； （2）如果每人投篮三次，求甲投进2球且乙投进1球的概率． 解：设甲投中的事件记为A ，乙投中的事件记为B ，（1）所求事件的概率为：P=P （A ·B ）+P （A ·B ）+P （A ·B ）=0.7×0.2+0.3×0.8+0.7×0.8 =0.94．6分（2）所求事件的概率为：P=C 230.72×0.3×C 130.8×0.22=0．042336．12分4．沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿交通信号灯，汽车在甲、乙、丙三个地方 通过（绿灯亮通过）的概率分别为31，21，32，对于在该大街上行驶的汽车， 求：（1）在三个地方都不停车的概率； （2）在三个地方都停车的概率； （3）只在一个地方停车的概率． 解：（1）P=31×21×32=91． 4分 （2）P=32×21×31=918分 （3）P=32×21×32+31×21×32+31×21×31=187．12分5．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动．已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯的概率都是21，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯 的概率是31，出现绿灯的概率是32，若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是53，出现绿灯的概率是52．问：（1）第二次闭合后，出现红灯的概率是多少？（2）三次发光中，出现一次红灯，两次绿灯的概率是多少？ 解：（1）如果第一次出现红灯，则接着又出现红灯的概率是21×31， 如果第一次出现绿灯，则接着出现红灯的概率为21×53．∴第二次出现红灯的概率为21×31+21×53=157． 6分（2）由题意，三次发光中，出现一次红灯，两次绿灯的情况共有如下三种方式： ①出现绿、绿、红的概率为21×52×53； ②出现绿、红、绿的概率为21×53×32；③出现红、绿、绿的概率为21×32×52； 10分所求概率为21×52×53+21×53×32+21×32×52=7534． 12分6．袋内装有35个球，每个球上都记有从1到35的一个号码，设号码n 的球重32n －5n+15克，这些球以等可能性从袋里取出（不受重量、号码的影响）． （1）如果任意取出1球，试求其重量大于号码数的概率； （2）如果任意取出2球，试求它们重量相等的概率解：（1）由不等式32n －5n+15>n ，得n>15，或n<3．由题意，知n=1，2或n=16，17，…，35．于是所求概率为3522． 6分 （2）设第n 号与第m 号的两个球的重量相等，其中n<m ，则有32n －5n+15=32m －5m+15，∴（n －m ）（n+m －15）=0， ∵n ≠m ，∴n+m=15，10分∴（n ，m ）=（1，14），（2，13），…，（7，8）．故所求概率为8515957C 7235==． 12分7．口袋里装有红色和白色共36个不同的球，且红色球多于白色球．从袋子中取出２个球， 若是同色的概率为12，求： (1) 袋中红色、白色球各是多少？(2) 从袋中任取３个小球，至少有一个红色球的概率为多少？解：（1）令红色球为x 个，则依题意得223622363612x xC C C C -+=, （3分） 所以227218350x x -+⨯=得x=15或x=21，又红色球多于白色球，所以x=21．所以红色球为２１个，白色球为１５个． （ 6分） （2）设从袋中任取３个小球，至少有一个红色球的事件为A ，均为白色球的事件为B ，则P （B ）=1－－P （A ）＝3153361C C - ＝191204（12分）8．加工某种零件需要经过四道工序，已知死一、二、三、四道工序的合格率分别为910876、、、987，且各道工序互不影响 （1）求该种零件的合格率（2）从加工好的零件中任取3件，求至少取到2件合格品的概率（3）假设某人依次抽取4件加工好的零件检查，求恰好连续2次抽到合格品的概率（用最简分数表示结果） 解：（1）该种零件合格率为198763109875P =⨯⨯⨯= （2）该种零件的合格率为35，则不合格率为25，从加工好的零件中任意取3个，至少取到2件合格品的概率223323332381()()()555125P C C =+=（3）恰好连续2次抽到合格品的概率22233223223216()1()()1()5555555625P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=9．同时抛掷15枚均匀的硬币一次 (1)试求至多有1枚正面向上的概率；(2)试问出现正面向上为奇数枚的概率与出现正面向上为偶数枚的概率是否相等? 请说明理由.解: （1）记“抛掷1枚硬币1次出现正面向上”为事件A ，P （A ）=21， 抛掷15枚硬币1次相当于作15次独立重复试验， 根据几次独立重复试验中事件A 发生K 次的概率公式， 记至多有一枚正面向上的概率为P 1 则P 1= P 15（0）+ P 15（1）=15015)21(C +15115)21(C =20481（2）记正面向上为奇数枚的概率为P 2，则有P 2= P 15（1）+ P 15（3）+…+ P 15（15）=15115)21(C +15315)21(C +…+151515)21(C=C C 31511515()21(++…+C 1515)–212)21(1415=⋅又“出现正面向上为奇数枚”的事件与“出现正面向上为偶数枚” 的事件是对立事件，记“出现正面向上为偶数枚” 的事件的概率为P 3∴ P 3=1–21=21∴相等10．如图，用D C B A ,,,工作且元件D C ,至少有一个正常工作时，系统M 正常工作.已知元件D C B A ,,,正常工作的概率依次为0.5，0.6，0.7，0.8，求元件连接成的系统M 正常工作的概率)(M P .解：由A ，B 构成系统F ，由C ，D 构成系统那么系统F 正常工作的概率)](1[)(B A P F P ⋅-=，系统G 正常工作的概率为)](1[)(D C P G P ⋅-=，由已知，得752.0)()()(=⋅=G P F P M P ，故系统M 正常工作的概率为0.752.11．有一批种子，每粒发芽的概率为32，播下5粒种子，计算： （Ⅰ）其中恰好有4粒发芽的概率； （Ⅱ）其中至少有4粒发芽的概率；（Ⅲ）其中恰好有3粒没发芽的概率. （以上各问结果均用最简分数作答）解：（Ⅰ）24380)31()32(445=⋅⋅C（Ⅱ）2431122433224380)32()31()32(5445=+=+C （Ⅲ）24340243410)32()31(2335=⨯=C 12．袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率.（1）摸出2个或3个白球； （2）至少摸出一个黑球.解： （Ⅰ）设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A 、B ，则 73)(,73)(481325482325=⋅==⋅=C C C B P C C C A P ∵A 、B 为两个互斥事件 ∴P （A+B ）=P （A ）+P （B ）=76即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为76…………6分 （Ⅱ）设摸出的4个球中全是白球为事件C ，则P （C ）=1414845=C C 至少摸出一个黑球为事件C 的对立事件其概率为14131411=-………………12分 13．2005年江苏省普通类高校招生进行了改革，在各个批次的志愿填报中实行平行志愿， 按照“分数优先，遵循志愿”的原则进行投档录取．例如：在对第一批本科投档时， 计算机投档系统按照考生的5门高考总分从高到低逐个检索、投档．当检索到某个考 生时，再依次．．按考生填报的A 、B 、C 三个院校志愿进行检索，只要被检索到3所院校 中一经出现．．．．符合投档条件的院校，即向该院校投档，假设一进档即被该院校录取．张 林今年的高考成绩为600分（超过本一线40分），他希望能上甲、乙、丙三所院校中 的一所．经咨询知道，张林被甲校录取的概率为0.4，被乙校录取的概率为0.7，被丙 校录取的概率为0.9．如果张林把甲、乙、丙三所院校依次填入A 、B 、C 三个志愿，求： (Ⅰ) 张林被B 志愿录取的概率；(Ⅱ) 张林被A 、B 、C 三个志愿中的一个录取的概率．解：记“张林被A 志愿录取”为事件1A ，“张林被B 志愿录取”为事件2A ，“张林被C 志愿录取”为事件3A ．……………………………………………………1分 (Ⅰ) 由题意可知，事件2A 发生即甲校不录取张林而乙校录取张林．∴2()(10.4)0.70.42P A =-⨯=．………… ………………………6分 (Ⅱ) 记“张林被A 、B 、C 三个志愿中的一个录取”为事件A ．由于事件1A 、2A 、3A 中任何两个事件是互斥事件，…… …………………………7分且3()(10.4)(10.7)0.90.60.30.90.162P A =-⨯-⨯=⨯⨯=… ……9分∴123123()()()()()0.40.420.1620.982P A P A A A P A P A P A =++=++=++=． 方法2：(Ⅱ) 记“张林被A 、B 、C 三个志愿中的一个录取”为事件A ．由于事件A 的对立事件是“张林没有被A 、B 、C 三个志愿中的一个录取”． ……7分 ∴()1(10.4)(10.7)(10.9)P A =--⨯-⨯-… ………………10分10.60.30.10.982=-⨯⨯=．… …………………11分答：张林被B 志愿录取的概率为0.42；张林被A 、B 、C 三个志愿中的一个录取的概率为0.982．…… ……………………………………12分14．平面直角坐标系中有两个动点A 、B ，它们的起始坐标分别是(0,0)，(2,2)，动点A 、B 从同一时刻开始每隔1秒钟向上、下、左、右四个方向中的一个方向移动1个单位， 已知动点A 向左、右移动的概率都是41，向上、下移动的概率分别是31和p ，动点B 向上、下、左、右四个方向中的一个方向移动1个单位的概率都是q ． （Ⅰ）求p 和q 的值；（Ⅱ）试判断最少需要几秒钟，动点A 、B 能同时到达点D （1，2），并求在最短时间内同时到达点D 的概率 ．解：（Ⅰ）由于质点A 向四个方向移动是一个必然事件，…………………………2分所以1111443p +++=，所以16p =． ………………………………4分 同理可得14q =． ……………………………………………………6分（Ⅱ）至少需要3秒可以同时到达点D ． ……………………………………8分 经过3秒钟，点A 到达点D 的概率为3p 右p 上p 上=112． ……………………10分 经过3秒钟，点B 到达点D 的概率为3199()464=． ……………………12分 所以，经过3秒钟，动点A 、B 同时到达点D 的概率为1931264256⨯=．…14分 15．某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是12，构造数列{}a n ，使a n n n =-⎧⎨⎩11（当第次出现正面时）（当第次出现反面时），记()S a a a n N n n =+++∈12……*（1）求S 42=时的概率；（2）若前两次均为正面，求S 82=时的概率。
高考数学2024概率与统计历年题目全解
高考数学2024概率与统计历年题目全解概率与统计作为高考数学中的重要部分，一直是考生们难以逾越的“坎”。
为了帮助广大考生更好地应对高考概率与统计部分的考题，本文将对高考数学2024年概率与统计题目进行全面解析，希望能够为考生们提供帮助和指导。
1. 选择题部分选择题是高考中概率与统计部分的常见题型，也是考生们容易出错的地方。
以下是2024年高考概率与统计选择题的解答：题目一：已知事件A发生的概率为P(A)=0.6，事件B发生的概率为P(B)=0.3，且事件A与事件B相互独立。
求事件A发生且事件B不发生的概率。
解答一：事件A发生且事件B不发生，表示为A发生的概率P(A)乘以B不发生的概率P(B')，即P(A且B')=P(A)×P(B')=0.6×(1-0.3)=0.6×0.7=0.42。
因此，事件A发生且事件B不发生的概率为0.42。
题目二：已知事件C发生的概率为P(C)=0.4，事件D发生的概率为P(D)=0.5，且事件C与事件D相互独立。
求事件C或事件D发生的概率。
解答二：事件C或事件D发生，表示为C发生的概率P(C)加上D发生的概率P(D)，即P(C或D)=P(C)+P(D)=0.4+0.5=0.9。
因此，事件C或事件D发生的概率为0.9。
2. 计算题部分计算题是概率与统计部分的重要考察内容，需要考生们掌握一定的计算方法和技巧。
以下是2024年高考概率与统计计算题的解答：题目一：某班有40名学生，其中20名男生、20名女生。
现从该班级随机选取3名学生，求选出的3名学生全为男生的概率。
解答一：选出的3名学生全为男生的概率等于从20名男生中选取3名学生的概率除以从40名学生中选取3名学生的概率。
即P(全为男生)=C(20,3)/C(40,3)=[20×19×18]/[40×39×38]=0.0283。
因此，选出的3名学生全为男生的概率为0.0283。
概率经典例题及解析.近年高考题50道带答案概率高考题
概率经典例题及解析.近年高考题50道带答案概率高考题（经典例题）（例1）（2021湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A ．1-2 1121 B ． - C ． D ．π2πππ（答案）A（解析）令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2=形OAC 面积和2π 1 2 1 1 1 π-2 S 1-××=．在扇形OAD 中为扇形面积减去三角2222282S S 1 1 2 1 S 2 π-2 π-2 π，=π×1--=，S 1+S2=，扇形OAB 面积S=，选A ． 228821644（例2）（2021湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值EX＝A.12661687 B. C. D. 12551255（答案）B275436827（解析）X 的取值为0，1，2，3且PX＝0 ＝，PX＝1 ＝PX＝2 ＝，PX＝3 ＝，故EX[***********]686＋1×，选B.1251251255（例3）（2021四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是1137A. B. C. D. 4248（答案）C0≤x≤4，（解析）设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意?满足条件的关系式?0≤y≤4，?为－2≤x－y≤2.根据几何概型可知，事件全体的测度面积为16平方单位，而满足条件的事件测度阴影部分面积为12平方单位，123故概率为164（例4）（2021江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为. （答案）0.2（解析）从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m 的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2 （例5）（2021江苏）现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，nm≤7，n≤9可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________． 2063（解析）基本事件共有7×9＝63种，m 可以取1，3，5，7，n 可以取1，3，5，7，9. 所以m ，n 都取到奇数共有2021种，故所求概率为63（例6）（2021山东）在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________． 13（解析）当x2时，不等式化为x ＋1－x ＋2≥1，此时恒成立，∴|x＋1|－|x－2|≥1的解集为[1，＋∞ . 在[－3，3]3－11上使不等式有解的区间为[1，3]，由几何概型的概率公式得P ＝.3－（－3）3（例7）（2021北京）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？结论不要求证明 212；3月5日1313（解析）设Ai 表示事件“此人于3月i 日到达该市”i＝1，2，…，13 ．1根据题意，PAi＝，且Ai∩Aj＝i≠j．13（1）设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A5∪A8. 2所以PB＝PA5∪A8＝PA5＋PA813（2）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，且PX＝1 ＝PA3∪A6∪A7∪A11 4＝PA3＋PA6＋PA7＋PA11＝，13PX＝2 ＝PA1∪A2∪A12∪A13 4＝PA1＋PA2＋PA12＋PA13＝，135PX＝0 ＝1－PX＝1 －PX＝2 ＝13所以X 的分布列为54412故X 的期望EX＋2×＝13131313（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．2（例8）（2021福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以32获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中5奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？11（答案）1522（解析）方法一：（1）由已知得，小明中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．记“这235人的累计得分X≤3”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“X＝5”，22411因为PX＝5 ＝×，所以PA＝1－PX＝5 ＝，35151511即这两人的累计得分X≤3的概率为.15（2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E2X1，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E3X2．?2?2?由已知可得，X1～B 2，，X2～B 2，?， ?35?2424所以EX1＝2×＝EX23355812从而E2X1＝2EX1E3X2＝3EX2＝.35因为E2X1>E3X2，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．22方法二：（1）由已知得，小明中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．35记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A ，则事件A 包含有“X＝0”“X＝2”“X＝3”三个两两互斥的事件，2?22?22?1?222因为PX＝0 ＝ 1－?× 1－?，PX＝2 ＝× 1－＝PX＝3 ＝ 1－，5?5335?5?3?51511所以PA＝PX＝0 ＋PX＝2 ＋PX＝3 ＝1511即这两人的累计得分X≤3的概率为.15（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：1448所以EX1＋4×＝，9993912412EX2＝0×＋3×＋6×2525255因为EX1>EX2，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．（例9）（2021浙江）设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．（1）当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取有放回，且每球取到的机会均等2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列； 55（2）从该袋子中任取每球取到的机会均等1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝求a ∶b ∶c.39（答案）3∶2∶1（解析）（1）由题意得，ξ＝2，3，4，5，6.3×31Pξ＝2 ＝，6×642×3×21Pξ＝3 ＝，6×632×3×1＋2×25Pξ＝4 ＝.6×6182×2×11Pξ＝5 ＝，6×691×11Pξ＝6 ＝，6×636所以ξ的分布列为（2）由题意知η的分布列为a 2b 3c 5所以Eη＝＋a ＋b ＋c a ＋b ＋c a ＋b ＋c 35a 5b 5c 5Dη＝1－2·＋2－2·＋3－2·3a ＋b ＋c 3a ＋b ＋c 3a ＋b ＋c 92a －b －4c ＝0，化简得?解得a ＝3c ，b ＝2c ，?a ＋4b －11c ＝0，?故a∶b∶c＝3∶2∶1.（例10）（2021北京理）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1，遇到红灯时停留的时间都是2min. 3（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望. （答案）43； 278（解析）本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二?11?14P A =个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为 1- 1-=.?33?327（2）由题意，可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min ）.事件“ξ=2k ”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”（k =0，1，2，3，4），4?12?∴P ξ=2k =C k? 33?k4-kk =0,1,2,3,4，∴即ξ的分布列是+2?+4?+6?+8?=. ∴ξ的期望是E ξ=0?[1**********]（课堂练习）1. （2021广东）已知离散型随机变量则X 的数学期望EX＝35A. B ．2 C. D ．3 222. （2021陕西）如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是．ππππA ．1－B ．－1 B ．2－ D ．42243．在棱长分别为1，2，3的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离大于3的概率为4323A ． B ． C ． D ．777144．（2021安徽理）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 A ．?F ?E?A5. （2021江西理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（）A ．1234 B ． C ． D ． 75757575?B31334850B ．C ．D ． . 818181816. （2021辽宁文）ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为π817. （2021上海理）若事件E 与F 相互独立，且P E =P F =，则P E I F 的值等于4111A ．0B ．C ．D ．4216A ．B ．1-D ．1-π4ππ C ． 48x 2y 28．（2021广州）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a ，b ＋1表示焦点在x 轴上且离心率小a b3于 21151731A ． B C ． D ．23232329．已知数列{an }满足a n ＝a n －1＋n －1n≥2，n ∈N ，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为a ，b ，c ，则满足集合{a，b ，c}＝{a1，a 2，a 3}1≤ai ≤6，i ＝1，2，3 的概率是1111A ． B ． C ． D ．7236241210. （2021湖北文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是。
高考真题数学概率题解析
高考真题数学概率题解析在高考中，数学概率题是必不可少的一部分，通常会出现在选择题或计算题中。
概率题主要考察考生对概率相关知识的理解和运用能力，解答这类题目需要考生具备严密的逻辑思维和计算能力。
下面将结合几道高考真题，对数学概率题进行解析，帮助考生更好地理解和掌握这一考点。
1. **【高考真题一】**已知事件A的概率为P(A) = 0.6，事件B的概率为P(B) = 0.5，且事件A与事件B相互独立，求事件A与事件B同时发生的概率。
**解析：**由题意可知，事件A与事件B相互独立，即P(A∩B)= P(A) ×P(B)。
所以，P(A∩B) = 0.6 × 0.5 = 0.3。
因此，事件A与事件B同时发生的概率为0.3。
2. **【高考真题二】**某班有60名学生，其中物理成绩在80分及以上的有40人，化学成绩在80分及以上的有30人，已知物理与化学成绩均在80分及以上的有20人，求任选一名学生，其物理或化学成绩在80分及以上的概率。
**解析：**设事件A表示物理成绩在80分及以上，事件B表示化学成绩在80分及以上。
题目要求求任选一名学生，其物理或化学成绩在80分及以上的概率，即P(A∪B)。
由全概率公式可得，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
其中，P(A) = 40/60 = 2/3，P(B) = 30/60 = 1/2，P(A∩B) = 20/60 = 1/3。
代入计算可得，P(A∪B) = 2/3 + 1/2 - 1/3 = 5/6。
因此，任选一名学生，其物理或化学成绩在80分及以上的概率为5/6。
3. **【高考真题三】**设随机变量X的概率密度函数为 f(x) = a(1-x²)，x∈[-1,1]，已知E(X) = 0，求a的值。
**解析：**由概率密度函数的性质可知，积分∫f(x)dx在定义域内等于1。
因此，∫a(1-x²)dx = 1，化简得∫a -a(x²)dx = 1。
高考概率题知识点总结
高考概率题知识点总结高考数学中，概率题是一个常见而且重要的考点。
掌握概率的基本概念和计算方法，对于解题和应对高考数学考试至关重要。
本文将对高考概率题的一些重要知识点进行总结，帮助考生更好地备考。
一、概率的基本概念概率是数学中的一个重要分支，它研究事件发生可能性的大小。
在高考中，我们常见的概率题目多以抛硬币、掷骰子等为基础，通过求解概率来得出某种情况的可能性。
在概率计算中，事件的发生可以用分数形式表示，范围在0到1之间，其中1代表必然事件，0代表不可能事件。
二、概率的计算方法在概率的计算过程中，有两种常见的方法：古典概率和统计概率。
1.古典概率古典概率是指通过计算所有可能结果的大小，来推断某一结果发生的可能性大小。
典型的例子就是抛掷硬币和掷骰子。
例如，掷一枚硬币，正反两面各出现的概率都是1/2。
2.统计概率统计概率是指通过实验和试验数据，来推测某一事件发生的可能性。
这种方法一般需要大量的数据支撑，通过频率来求解概率。
例如，通过大量的实验数据统计，我们可以推测扔一颗骰子出现点数1的概率是1/6。
三、概率的性质概率具有一些重要的性质，掌握这些性质可以帮助我们更好地解题。
1.加法性对于两个互斥事件A和B，它们的概率可以通过求和来计算。
即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
2.减法性对于事件A，我们可以通过事件B的概率计算出A与B同时发生的概率。
即P(A∩B) = P(A) - P(A∪B)。
3.乘法性对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率等于各自的概率的乘积。
即P(A∩B) = P(A) * P(B)。
四、排列组合与概率问题在高考概率题中，经常涉及到排列组合的知识。
1.排列排列是指从一组对象中选取若干个进行排列。
对于n个不相同的对象，从中选取m个进行排列，共有A(n, m) = n!/(n-m)!种排列方式。
2.组合组合是指从一组对象中选取若干个进行组合。
对于n个不相同的对象，从中选取m个进行组合，共有C(n, m) = n!/(m!(n-m)!)种组合方式。
(完整版)经典高考概率分布类型题归纳【精选】
经典高考概率类型题总结一、超几何分布类型二、二项分布类型三、超几何分布与二项分布的对比四、古典概型算法五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类）六、综合算法一、超几何分布1.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个.（1）若甲、乙二人依次各抽一题，计算：①甲抽到判断题，乙抽到选择题的概率是多少？②甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？（2）若甲从中随机抽取5个题目，其中判断题的个数为X，求X的概率分布和数学期望.二、二项分布1.某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在的地区附近有A，B，C三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的.（1）求甲、乙两人都选择A社区医院的概率；（2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（3）设4名参加保险人员中选择A社区医院的人数为X，求X的概率分布和数学期望．2.某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为X ，当这排装饰灯闪烁一次时： (1)求X ＝2时的概率； (2)求X 的数学期望．解 (1)依题意知：X ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是23， 故X ＝2时的概率P ＝C 24⎝⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝827. (2)法一 X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，依题意知 P(X ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫134－k(k ＝0,1,2,3,4)． ∴X 的概率分布列为∴数学期望E(X)＝0×8＋1×81＋2×81＋3×81＋4×81＝3.三、超几何分布与二项分布的对比有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地依 次任取3件，若X 表示取到次品的次数，则P （X ）＝ . 辨析：1.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中不放回地依 次任取3件，若X 表示取到次品的件数，则P （X ）＝2. 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地依 次任取件，第k 次取到次品的概率，则P （X ）＝3.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中不放回地依 次任取件，第k 次取到次品的概率，则P （X ）＝四、古典概型算法1.一个均匀的正四面体的四个面分别涂有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体底面上的数字分别为x 1,x 2，记X=(x 1-2)2+(x 2-2)2. （1）分别求出X 取得最大值和最小值的概率； （2）求X 的概率分布及方差.2.（2012·江苏高考）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时ξ=1． （1）求概率P （ξ=0）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E （ξ）．3.某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： （1）恰有2人申请A 片区房源的概率；（2）申请的房源所在片区的个数X 的概率分布与期望.4.设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S.(1)记“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n)”为事件A ，试列举A 包含的基本事件； (2)设ξ＝m 2，求ξ的概率分布表及其数学期望E(ξ)．解 (1)由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3， 即S ＝{x|－2≤x ≤3}．由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)， (－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P(ξ＝0)＝16，P(ξ＝1)＝26＝13，P(ξ＝4)＝26＝13，P(ξ＝9)＝16.故ξ的概率分布表为所以E(ξ)＝0×16＋1×13＋4×13＋9×16＝196.5.在高中“自选模块”考试中，某考场的每位同学都选了一道数学题，第一小组选《数学史与不等式选讲》的有1人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有5人，第二小组选《数学史与不等式选讲》的有2人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析得分情况 .(1)求选出的4人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率；(2)设X为选出的4个人中选《数学史与不等式选讲》的人数，求X的分布列和数学期望．解(1)设“从第一小组选出的2人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》”为事件A，“从第二小组选出的2人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》”为事件B.由于事件A、B相互独立，所以P(A)＝C25C26＝23，P(B)＝C24C26＝25，所以选出的4人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率为P(A·B)＝P(A)·P(B)＝23×25＝415.(2)X可能的取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝415，P(X＝1)＝C25C26·C12·C14C26＋C15C26·C24C26＝2245，P(X＝3)＝C15C26·1C26＝145.P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝2 9.故X的分布列为所以X的数学期望E(X)＝0×15＋1×45＋2×9＋3×45＝1 (人)．6.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球．（I）求取出的4个球均为黑色球的概率；（II）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（III）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．解：（I）设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B．∵事件A，B相互独立，且．∴取出的4个球均为黑球的概率为P（AB）=P（A）P（B）=．（II）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．∵事件C，D互斥，且．∴取出的4个球中恰有1个红球的概率为P（C+D）=P（C）+P（D）=．（III）解：ξ可能的取值为0，1，2，3．由（I），（II）得，又，从而P （ξ=2）=1﹣P （ξ=0）﹣P （ξ=1）﹣P （ξ=3）=．ξ的分布列为ξ的数学期望．五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类）1.开锁次数的数学期望和方差有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数的数学期望和方差．分析：求时，由题知前次没打开，恰第k 次打开．不过，一般我们应从简单的地方入手，如，发现规律后，推广到一般．解：的可能取值为1，2，3，…，n ．；所以的分布列为：ξ)(k P =ξ1-k 3,2,1=ξξ;12112121)111()11()3(;111111)11()2(,1)1(nn n n n n n n n P n n n n n n P nP =-⋅--⋅-=-⋅--⋅-===-⋅-=-⋅-====ξξξnk n k n k n n n n n n n k n k n n n n k P 111212312111)211()211()111()11()(=+-⋅+-+---⋅--⋅-=+-⋅+----⋅--⋅-== ξξ；2. 射击练习中耗用子弹数的分布列、期望及方差某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数的分布列，并求出的期望与方差（保留两位小数）．分析：根据随机变量不同的取值确定对应的概率，在利用期望和方差的定义求解． 解： 该组练习耗用的子弹数为随机变量，可以取值为1，2，3，4，5．＝1，表示一发即中，故概率为＝2，表示第一发未中，第二发命中，故＝3，表示第一、二发未中，第三发命中，故＝4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故＝5，表示第五发命中，故211131211+=⋅++⋅+⋅+⋅=n n n n n n E ξnn n n n k n n n n n n D 1)21(1)21(1)213(1)212(1)211(22222⋅+-++⋅+-++⋅+-+⋅+-+⋅+-= ξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+++++++-++++=n n n n n n 22222)21()321)(1()321(1 1214)1(2)1()12)(1(611222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-++=n n n n n n n n n ξ ξ ξ E ξ D ξ ξ ξ ;8.0)1(==ξ P ξ ;16.08.02.08.0)8.01()2(=⨯=⨯-==ξ P ξ ;032.08.02.08.0)8.01()3(22=⨯=⨯-==ξ P ξ 0064.08.02.08.0)8.01()4(33=⨯=⨯-==ξ P ξ因此，的分布列为3. 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次.某同学在A 处的命中率q 为0.25，在B 处的命中率为q ，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为（1）求q 的值；（2）求随机变量的数学期望E ；（3）试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．解:（1）设该同学在A 处投中为事件A ，在B 处投中为事件B ，则事件A ，B 相互独立，且P (A )=0.25，，P (B )= q ，．根据分布列知：=0时=0.03，所以，q =0.8．（2）当=2时，P 1==0.75q ()×2=1.5q ()=0.24．当=3时，P 2 ==0.01，.0016.02.01)8.01()5(44==⋅-==ξ P ξ 0016.050064.04032.0316.028.01⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξ E ,25.1008.00256.0096.032.08.0 =++++=0016.0)25.15(0064.0)25.14(032.0)25.13(16.0)25.12(8.0)25.11(22222⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=ξ D .31.00225.00484.0098.009.005.0 =++++=12ξ2ξξ()0.75P A =22()1P B q =-ξ22()()()()0.75(1)P ABB P A P B P B q ==-210.2q -=2ξ)()()(B B A P B B A P B B A B B A P +=+)()()()()()(B P B P A P B P B P A P +=221q -221q -ξ22()()()()0.25(1)P ABB P A P B P B q ==-当=4时，P 3==0.48， 当=5时，P 4==0.24．所以随机变量的分布列为：随机变量的数学期望． （3）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为；该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72． 由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大．4. 某科技公司遇到一个技术难题，紧急成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关， 同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励．已知这 些技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为32被乙小组攻 克的概率为43. （1）设X 为攻关期满时获奖的攻关小组数，求X 的概率分布及 V(X)；（2）设Y 为攻关期满时获奖的攻关小组数的2倍与没有获奖的 攻关小组数之差，求V(Y).5. 某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值． （Ⅰ）求的分布列及数学期望；（Ⅱ）记“函数在区间上单调递增”为事件，求事件ξ22()()()()0.75P ABB P A P B P B q ==ξ()()()P ABB AB P ABB P AB +=+222()()()()()0.25(1)0.25P A P B P B P A P B q q q =+=-+ξξ00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()P BBB BBB BB ++()()()P BBB P BBB P BB =++222222(1)0.896q q q =-+=0.4,0.5,0.6ξξ2()31f x x x ξ=-+[2,)+∞A A的概率. 分析：（2）这是二次函数在闭区间上的单调性问题，需考查对称轴相对闭区间的关系，就本题而言，只需即可．解：（1）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件． 由已知相互独立，.客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应的，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3．所以的分布列为（Ⅱ）解法一：因为所以函数 上单调递增，要使上单调递增，当且仅当从而 解法二：的可能取值为1，3.当时，函数上单调递增，当时，函数上不单调递增.所以6.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.322ξ≤123,,A A A 123,,A A A 123()0.4,()0.5,()0.6P A P A P A ===ξ123123(3)()()P P A A A P A A A ξ==+123123()()()()()()20.40.50.60.24P A P A P A P A P A P A =+=⨯⨯⨯=(1)10.240.76P ξ==-=ξ()10.7630.24 1.48E ξ=⨯+⨯=2239()()1,24f x x ξξ=-+-23()31[,)2f x x x ξξ=-++∞在区间()[2,)f x +∞在342,.23ξξ≤≤即4()()(1)0.76.3P A P P ξξ=≤===ξ1ξ=2()31[2,)f x x x =-++∞在区间3ξ=2()91[2,)f x x x =-++∞在区间()(1)0.76.P A P ξ===0.76(1)求乙至多击中目标2次的概率；(2)记甲击中目标的次数为Z ，求Z 的分布列、数学期望和标准差． 解 (1)甲、乙两人射击命中的次数服从二项分布，故乙至多击中目标2次的概率为1－C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1927. (2)P(Z ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18； P(Z ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38； P(Z ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎪⎫123＝38； P(Z ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18. Z 的分布列如下表：E(Z)＝0×18＋1×8＋2×8＋3×8＝2，D(Z)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－322×18＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－322×38＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－322×38＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322×18＝34，∴D (Z )＝32.7.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4.经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75. (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；(2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望与方差． 解 分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A 1、A 2、A 3.(1)设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 P(E)＝P(A 1A2A 3)＋P(A 1A 2A 3)＋P(A1A 2A 3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38.(2)因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p ＝0.3，所以ξ～B(3,0.3)． 故E(ξ)＝np ＝3×0.3＝0.9， V(ξ)＝np(1－p)＝3×0.3×0.7＝0.63.8.某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。
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全国各地高考及模拟试卷试题分类----------概率选择题1．6名同学排成两排，每排3人，其中甲排在前排的概率是 （ ）A ．121B ．21C ．61D ．31 2．有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名，恰好2名男生或2名女生的概率是 （ ）A ．452 B. 152 C. 31 D. 157 3．甲乙两人独立的解同一道题,甲乙解对的概率分别是21,p p ,那么至少有1人解对的概率是 （ ）A. 21p p +B. 21p p ⋅C. 211p p ⋅-D.)1()1(121p p -⋅--4．从数字1, 2, 3, 4, 5这五个数中, 随机抽取2个不同的数, 则这2个数的和为偶数的概率是 ( ) A. 51 B. 52 C. 53 D. 545．有2n 个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数，则所取的两数之和为偶数的概率是 （ ）A 、12B 、12nC 、121n n --D 、121n n ++ 6．有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，恰好是2名男生或2名女生的概率是 （）A ．452B ．152C ．157D ．31 7．已知P 箱中有红球1个，白球9个，Q 箱中有白球7个，（P 、Q 箱中所有的球除颜色外完全相同）．现随意从P 箱中取出3个球放入Q 箱，将Q 箱中的球充分搅匀后，再从Q 箱中随意取出3个球放入P 箱，则红球从P 箱移到Q 箱，再从Q 箱返回P 箱中的概率等于 （）A ．51B ．1009C ．1001D ．538．已知集合A={12，14，16，18，20}，B={11，13，15，17，19}，在A 中任取一个元素用a i (i=1，2，3，4，5)表示，在B 中任取一个元素用b j (j=1，2，3，4，5)表示，则所取两数满足a i >b I 的概率为（ ）A 、43B 、53C 、21D 、51 9．在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择3个点，刚好构成直角三角形的概率是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 1510．已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品 ( )A.7个B.8个C.9个D.10个11．甲、乙独立地解决 同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是（ ）A 、0.48B 、0.52C 、0.8D 、0.92填空题1．纺织厂的一个车间有n （n>7，n ∈N ）台织布机，编号分别为1，2，3，……，n ，该车间有技术工人n 名，编号分别为1，2，3，……，n ．现定义记号ij a 如下：如果第i 名工人操作了第j 号织布机，此时规定ij a =1，否则ij a =0．若第7号织布机有且仅有一人操作，则=+++++747372717n a a a a a ；若3132333432n a a a a a +++++= ， 说明了什么：2．从6人中选4人分别到巴黎，伦敦，悉尼，莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲，乙两人不去巴黎游览的概率为.(用分数表示)3．某商场开展促销抽奖活动，摇出的中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的每位顾客从0～9这10个号码中任意抽出六个组成一组，若顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇出的号码相同（不计顺序）即可得奖，则中奖的概率是______．4．某中学的一个研究性学习小组共有10名同学，其中男生x 名（3≤x ≤9），现从中选出3人参加一项调查活动，若至少有一名女生去参加的概率为f(x),则f(x)max = _ _解答题1．甲、乙两名篮球运动员，甲投篮的命中率为0.6，乙投篮的命中率为0.7，两人是否投中相互之间没有影响，求：（1）两人各投一次，只有一人命中的概率；（2）每人投篮两次，甲投中1球且乙投中2球的概率．解：（1）P 1=0.6（1－0.7）+（1－0.6）0.7=0.46． 6分（2）P 2=［12C 0.6（1－0.6）］·［22C （0.7）2（1－0.7）0］=0.2352． 12分 2．工人看管三台机床，在某一小时内，三台机床正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.85，且各台机床是否正常工作相互之间没有影响，求这个小时内：（1）三台机床都能正常工作的概率；（2）三台机床中至少有一台能正常工作的概率．解：（1）三台机床都能正常工作的概率为P 1=0.9×0.8×0.85=0.612． 6分（2）三台机床至少有一台能正常工作的概率是P 2=1－（1－0.9）（1－0.8）（1－0.85）=0.997． 12分3．甲、乙两名篮球运动员，投篮的命中率分别为0.7与0.8．（1）如果每人投篮一次，求甲、乙两人至少有一人进球的概率；（2）如果每人投篮三次，求甲投进2球且乙投进1球的概率．解：设甲投中的事件记为A ，乙投中的事件记为B ，（1）所求事件的概率为：P=P （A ·B ）+P （A ·B ）+P （A ·B ）=0.7×0.2+0.3×0.8+0.7×0.8=0.94． 6分（2）所求事件的概率为：P=C 230.72×0.3×C 130.8×0.22=0．042336． 12分4．沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿交通信号灯，汽车在甲、乙、丙三个地方 通过（绿灯亮通过）的概率分别为31，21，32，对于在该大街上行驶的汽车， 求：（1）在三个地方都不停车的概率；（2）在三个地方都停车的概率；（3）只在一个地方停车的概率．1．甲、乙两名篮球运动员，甲投篮的命中率为0.6，乙投篮的命中率为0.7，两人是否投中相互之间没有影响，求：（1）两人各投一次，只有一人命中的概率；（2）每人投篮两次，甲投中1球且乙投中2球的概率．解：（1）P 1=0.6（1－0.7）+（1－0.6）0.7=0.46． 6分（2）P 2=［12C 0.6（1－0.6）］·［22C （0.7）2（1－0.7）0］=0.2352． 12分2．工人看管三台机床，在某一小时内，三台机床正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.85，且各台机床是否正常工作相互之间没有影响，求这个小时内：（1）三台机床都能正常工作的概率；（2）三台机床中至少有一台能正常工作的概率．解：（1）三台机床都能正常工作的概率为P 1=0.9×0.8×0.85=0.612． 6分（2）三台机床至少有一台能正常工作的概率是P 2=1－（1－0.9）（1－0.8）（1－0.85）=0.997． 12分3．甲、乙两名篮球运动员，投篮的命中率分别为0.7与0.8．（1）如果每人投篮一次，求甲、乙两人至少有一人进球的概率；（2）如果每人投篮三次，求甲投进2球且乙投进1球的概率．解：设甲投中的事件记为A ，乙投中的事件记为B ，（1）所求事件的概率为：P=P （A ·B ）+P （A ·B ）+P （A ·B ）=0.7×0.2+0.3×0.8+0.7×0.8=0.94． 6分（2）所求事件的概率为：P=C 230.72×0.3×C 130.8×0.22=0．042336． 12分4．沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿交通信号灯，汽车在甲、乙、丙三个地方 通过（绿灯亮通过）的概率分别为31，21，32，对于在该大街上行驶的汽车， 求：（1）在三个地方都不停车的概率；（2）在三个地方都停车的概率；（3）只在一个地方停车的概率．解：（1）P=31×21×32=91． 4分 （2）P=32×21×31=91 8分 （3）P=32×21×32+31×21×32+31×21×31=187． 12分 5．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动．已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯的概率都是21，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯 的概率是31，出现绿灯的概率是32，若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是53， 出现绿灯的概率是52．问： （1）第二次闭合后，出现红灯的概率是多少？（2）三次发光中，出现一次红灯，两次绿灯的概率是多少？解：（1）如果第一次出现红灯，则接着又出现红灯的概率是21×31， 如果第一次出现绿灯，则接着出现红灯的概率为21×53． ∴第二次出现红灯的概率为21×31+21×53=157． 6分 （2）由题意，三次发光中，出现一次红灯，两次绿灯的情况共有如下三种方式： ①出现绿、绿、红的概率为21×52×53； ②出现绿、红、绿的概率为21×53×32； ③出现红、绿、绿的概率为21×32×52； 10分 所求概率为21×52×53+21×53×32+21×32×52=7534． 12分 6．袋内装有35个球，每个球上都记有从1到35的一个号码，设号码n 的球重32n －5n+15 克，这些球以等可能性从袋里取出（不受重量、号码的影响）．（1）如果任意取出1球，试求其重量大于号码数的概率；（2）如果任意取出2球，试求它们重量相等的概率解：（1）由不等式32n －5n+15>n ，得n>15，或n<3． 由题意，知n=1，2或n=16，17，…，35．于是所求概率为3522． 6分（2）设第n 号与第m 号的两个球的重量相等，其中n<m ，则有32n －5n+15=32m －5m+15， ∴（n －m ）（n+m －15）=0，∵n ≠m ，∴n+m=15， 10分∴（n ，m ）=（1，14），（2，13），…，（7，8）．故所求概率为8515957C 7235==． 12分7．口袋里装有红色和白色共36个不同的球，且红色球多于白色球．从袋子中取出２个球， 若是同色的概率为12 ，求： (1) 袋中红色、白色球各是多少？(2) 从袋中任取３个小球，至少有一个红色球的概率为多少？解：（1）令红色球为x 个，则依题意得223622363612x x C C C C -+=, （3分） 所以227218350x x -+⨯=得x=15或x=21，又红色球多于白色球，所以x=21．所以红色球为２１个，白色球为１５个． （ 6分）（2）设从袋中任取３个小球，至少有一个红色球的事件为A ，均为白色球的事件为B ，则P （B ）=1－－P （A ）＝3153361C C - ＝191204 （12分） 8．加工某种零件需要经过四道工序，已知死一、二、三、四道工序的合格率分别为 910876、、、987，且各道工序互不影响 （1）求该种零件的合格率（2）从加工好的零件中任取3件，求至少取到2件合格品的概率（3）假设某人依次抽取4件加工好的零件检查，求恰好连续2次抽到合格品的概率（用最简分数表示结果）解：（1）该种零件合格率为198763109875P =⨯⨯⨯= （2）该种零件的合格率为35，则不合格率为25，从加工好的零件中任意取3个， 至少取到2件合格品的概率223323332381()()()555125P C C =+= （3）恰好连续2次抽到合格品的概率22233223223216()1()()1()5555555625P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 9．同时抛掷15枚均匀的硬币一次(1)试求至多有1枚正面向上的概率；(2)试问出现正面向上为奇数枚的概率与出现正面向上为偶数枚的概率是否相等? 请说明理由.解: （1）记“抛掷1枚硬币1次出现正面向上”为事件A ，P （A ）=21， 抛掷15枚硬币1次相当于作15次独立重复试验，根据几次独立重复试验中事件A 发生K 次的概率公式，记至多有一枚正面向上的概率为P 1则P 1= P 15（0）+ P 15（1）=15015)21(C +15115)21(C =20481 （2）记正面向上为奇数枚的概率为P 2，则有 P 2= P 15（1）+ P 15（3）+…+ P 15（15）=15115)21(C +15315)21(C +…+151515)21(C=C C 31511515()21(++…+C 1515)–212)21(1415=⋅ 又“出现正面向上为奇数枚”的事件与“出现正面向上为偶数枚” 的事件是对立事件，记“出现正面向上为偶数枚” 的事件的概率为P 3∴ P 3=1–21=21 ∴相等10．如图，用D C B A ,,,工作且元件D C ,至少有一个正常工作时，系统M 正常工作.已知元件D C B A ,,,正常工作的概率依次为0.5，0.6，0.7，0.8，求元件连接成的系统M 正常工作的概率)(M P .解：由A ，B 构成系统F ，由C ，D 构成系统那么系统F 正常工作的概率 )](1[)(B A P F P ⋅-=，系统G 正常工作的概率为)](1[)(D C P G P ⋅-=，由已知，得752.0)()()(=⋅=G P F P M P ，故系统M 正常工作的概率为0.752.11．有一批种子，每粒发芽的概率为32，播下5粒种子，计算：（Ⅰ）其中恰好有4粒发芽的概率； （Ⅱ）其中至少有4粒发芽的概率； （Ⅲ）其中恰好有3粒没发芽的概率. （以上各问结果均用最简分数作答）解：（Ⅰ）24380)31()32(445=⋅⋅C（Ⅱ）2431122433224380)32()31()32(5445=+=+C （Ⅲ）24340243410)32()31(2335=⨯=C 12．袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率.（1）摸出2个或3个白球； （2）至少摸出一个黑球.解： （Ⅰ）设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A 、B ，则 73)(,73)(481325482325=⋅==⋅=C C C B P C C C A P ∵A 、B 为两个互斥事件 ∴P （A+B ）=P （A ）+P （B ）=76 即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为76…………6分 （Ⅱ）设摸出的4个球中全是白球为事件C ，则 P （C ）=1414845=C C 至少摸出一个黑球为事件C 的对立事件 其概率为14131411=-………………12分 13．2005年江苏省普通类高校招生进行了改革，在各个批次的志愿填报中实行平行志愿， 按照“分数优先，遵循志愿”的原则进行投档录取．例如：在对第一批本科投档时， 计算机投档系统按照考生的5门高考总分从高到低逐个检索、投档．当检索到某个考 生时，再依次．．按考生填报的A 、B 、C 三个院校志愿进行检索，只要被检索到3所院校 中一经出现．．．．符合投档条件的院校，即向该院校投档，假设一进档即被该院校录取．张 林今年的高考成绩为600分（超过本一线40分），他希望能上甲、乙、丙三所院校中 的一所．经咨询知道，张林被甲校录取的概率为0.4，被乙校录取的概率为0.7，被丙 校录取的概率为0.9．如果张林把甲、乙、丙三所院校依次填入A 、B 、C 三个志愿，求： (Ⅰ) 张林被B 志愿录取的概率；(Ⅱ) 张林被A 、B 、C 三个志愿中的一个录取的概率．解：记“张林被A 志愿录取”为事件1A ，“张林被B 志愿录取”为事件2A ，“张林被C 志愿录取”为事件3A ．……………………………………………………1分(Ⅰ) 由题意可知，事件2A 发生即甲校不录取张林而乙校录取张林．∴2()(10.4)0.70.42P A =-⨯=．………… ………………………6分(Ⅱ) 记“张林被A 、B 、C 三个志愿中的一个录取”为事件A ．由于事件1A 、2A 、3A 中任何两个事件是互斥事件，…… …………………………7分且3()(10.4)(10.7)0.90.60.30.90.162P A =-⨯-⨯=⨯⨯=… ……9分∴123123()()()()()0.40.420.1620.982P A P A A A P A P A P A =++=++=++=．方法2：(Ⅱ) 记“张林被A 、B 、C 三个志愿中的一个录取”为事件A ．由于事件A 的对立事件是“张林没有被A 、B 、C 三个志愿中的一个录取”． ……7分∴()1(10.4)(10.7)(10.9)P A =--⨯-⨯-… ………………10分10.60.30.10.982=-⨯⨯=．… …………………11分答：张林被B 志愿录取的概率为0.42；张林被A 、B 、C 三个志愿中的一个录取的概率为0.982．…… ……………………………………12分14．平面直角坐标系中有两个动点A 、B ，它们的起始坐标分别是(0,0)，(2,2)，动点A 、B 从同一时刻开始每隔1秒钟向上、下、左、右四个方向中的一个方向移动1个单位， 已知动点A 向左、右移动的概率都是41，向上、下移动的概率分别是31和p ，动点B 向上、下、左、右四个方向中的一个方向移动1个单位的概率都是q ．（Ⅰ）求p 和q 的值；（Ⅱ）试判断最少需要几秒钟，动点A 、B 能同时到达点D （1，2），并求在最短时间内同时到达点D 的概率 ．解：（Ⅰ）由于质点A 向四个方向移动是一个必然事件，…………………………2分 所以1111443p +++=，所以16p =． ………………………………4分 同理可得14q =． ……………………………………………………6分 （Ⅱ）至少需要3秒可以同时到达点D ． ……………………………………8分 经过3秒钟，点A 到达点D 的概率为3p 右p 上p 上=112． ……………………10分 经过3秒钟，点B 到达点D 的概率为3199()464=． ……………………12分 所以，经过3秒钟，动点A 、B 同时到达点D 的概率为1931264256⨯=．…14分 15．某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是12，构造数列{}a n ，使a n n n =-⎧⎨⎩11（当第次出现正面时）（当第次出现反面时），记()S a a a n N n n =+++∈12……* （1）求S 42=时的概率；（2）若前两次均为正面，求S 82=时的概率。