6.3.1 平面向量基本定理(课件)高一数学同步精品课堂(新教材人教版必修第二册)

学科素养
1．数学运算； 2．直观想象
探究归纳 1 对基底概念的理解
【例】设 e1，e2 是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量 中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2 和 e1－e2 B．3e1－4e2 和 6e1－8e2 C．e1＋2e2 和 2e1＋e2 D．e1 和 e1＋e2
B 解析：选项 B 中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2 与 3e1 －4e2 共线，∴不能作为基底；选项 A，C，D 中两向量均不共线，可 以作为基底．故选 B.
解： A→B＝C→B－C→A＝e1－e2，因为 D，E，F 依次是边 AB 的四等 分点，
所以A→F＝34A→B＝43(e1－e2)，所以C→F＝C→A＋A→F＝e2＋43(e1－e2)＝43 e1＋14e2.
将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是运 用向量的线性运算法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为 止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的 唯一性求解．
两个向量能否构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外， 一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基 底唯一线性表示出来．
给出下列三种说法：
①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有
向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内
所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．
2．已知 e1，e2 是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为基 底的是(C )
A．a＝e2，b＝e1＋2e2 B．a＝e1－2e2，b＝－e1－2e2 C．a＝3e1＋3e2，b＝e1＋e2 D．a＝e1－3e2，b＝6e1＋2e2
第二阶段 课堂探究评价
素养目标
1．理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义． 2．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.
数学（人教版） 必修第二册 第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理
第一阶段 课前自学质疑
感知新课 确定重点
素养导学 我们在物理中学过力的分解，已知两个分力 F1 和 F2 的大小和方 向，则任一力 F 在两个分力方向上的分解是唯一的，即存在唯一的 一对实数 λ1，λ2 使 F＝λ1F1＋λ2F2(F1 与 F2 不共线)．在数学中，是否 也存在两个不共线的向量 a，b，使平面内任一向量都可用 a，b 来表 示？答案是肯定的．这就是我们这一节要学习的平面向量基本定理.
预习关键词
基底、平面向量基本定理、夹角、垂直
深度预习 分步思考 平面向量基本定理 (1)定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线v 向量，那么对
于这一平面内的任一 向量 a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋ λ2e2.
(2)基底：若 e1，e2 不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 所有 向量的一个基底．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基
底．
( ×)
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(2)零向量可以作为基向量．
( ×)
(3)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．
(× )
预习验收 衔接课堂 1．如果 e1，e2 是平面内所有向量的一组基底，那么(A )
A．若实数 m，n 使得 me1＋ne2＝0，则 m＝n＝0 B．空间任一向量 a 可以表示为 a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2 为实数 C．对于实数 m，n，me1＋ne2 不一定在此平面上 D．对于平面内的某一向量 a，存在两对以上的实数 m，n，使 a＝me1 ＋ne2
其中，说法正确的有( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
B 解析：只要两个平面向量不共线都可以作为基底，所以①错 误，②③正确.
探究归纳 2 用基底表示向量
探究题 1 已知▱ABCD 中，B→P＝32B→C，若A→B＝a，B→C＝b，则P→D
等于
(用 a，b 表示)．
31b－a 解析：P→D＝P→C＋C→D＝31B→C＋C→D＝13b＋(－A→B)＝13b－a. 探究题 2 在△ABC 中，点 D，E，F 依次是边 AB 的四等分点，设C→B＝e1，C→A＝e2，试以{e1，e2} 为基底表示C→F.
在▱ABCD 中，A→B＝a，A→D＝b，A→N＝3N→C，M 为 BC 的中点，则
M→N＝
(用 a，b 表示)．
41(b－a) 解析：∵A→C＝A→B＋B→C＝a＋b， 又A→N＝34A→C＝34a＋34b, A→M＝A→B＋B→M＝a＋12b， ∴M→N＝A→N－A→M＝－41a＋14b＝14(b－a)．