系统校正设计：根轨迹法超前校正

系统校正设计：根轨迹法超前校正 一．校正原理
如果原系统的动态性能不好，可以采用微分校正，来改善系统的超调量p M 和调节时间s t ，满足系统动态响应的快速性与平稳性的定量值。

微分校正的计算步骤如下。

(1)作原系统根轨迹图；
(2)根据动态性能指标，确定主导极点i s 在S 平面上的正确位置； 如果主导极点位于原系统根轨迹的左边，可确定采用微分校正，使原系统根轨迹左移，过主导极点。

(3)在新的主导极点上，由幅角条件计算所需补偿的相角差φ； 计算公式为：
i
s s
=︒±=(s)][G arg -180o ϕ (1-1)
此相角差φ表明原根轨迹不过主导极点。

为了使得根轨迹能够通过该点，必须校正装置，使补偿后的系统满足幅角条件
(4)根据相角差φ，确定微分校正装置的零极点位置；
注意满足相角差φ的零极点位置的解有许多组，可任意选定。

在这里给出一种用几何作图法来确定零极点位置的方法如下 ○1过主导极点i s 与原点作直线OA ， ○2过主导极点i s 作水平线，
○3平分两线夹角作直线AB 交负实轴于B 点， ○4由直线AB 两边各分
ϕ2
1
识作射线交负实轴，左边交点为D P -，右边交点为
为D Z -，如图1-1所示。

微分校正装置的传递函数为
D D c P s Z s (s)++=
G
(1-2)
图1-1 零极点位置的确定
(5)由幅值条件计算根轨迹过主导极点时相应的根轨迹增益gc K 的值，计算公式为
1(s)(s)G G o c ==i s s
(1-3)
(6)确定网络参数。

（有源网络或者无源网络）；
(7)校核幅值条件(s)(s)o c G G 、幅角条件(s)](s)G [G arg o c 、动态性能指标
p M 和s t 等。

二．校正实例
已知系统的开环传递函数为)2s(s 4
(s)o +=
G ,要求s t s 2%,20M p <<，试用
根轨迹法作微分校正。

解：（1）作原系统的根轨迹图如图1-3所示 ○1 原系统的结构图如图1-2所示
图1-2 原系统的结构图○2仿真原系统的根轨迹
程序如下：
k=4; %零极点模型的增益值
z=[]; %零点
p=[0,-2]; %极点
sys=zpk(z,p,k);
rlocus(sys);
图1-3 原系统的根轨迹图
(2)计算原系统性能指标
042s 2=++s
(1-4)
闭环极点为 31-s j ±=
核算系统的动态性能
o 60=β，5.0=ζ，2n =ω
%20%3.16%1002
-1_
p <=⨯=π
ζζ
e M (1-5)
原系统的超调量满足要求。

s s s 244
t n
>==
ζω
(1-6)
调节时间不满足要求,所以在原系统根轨迹上找不到满足性能指标的主导极点，需作校正。

(3) 计算新的主导极点
因为原系统的超调量p M 满足给定要求，所以设原系统的阻尼角o 60=β不变，则阻尼比为 5.0=ζ
令调节时间为给定值 n
4
t ζω=s =2 (1-7)
解出
4n =ω
得新的主导极点为
322--s 2
-1n
n j j ±=±=ζωζω
计算所得希望的主导极点，因为位于原系统根轨迹的左边，确定采用微分校正。

(4)计算微分校正补偿角φ
将新的主导极点值322-s j +=代入开环传递函数求得幅角值为 ︒=︒︒=+=+=+=210-90-120-2]arg[s --arg[s]]2)
s(s 4
arg[
(s)]arg[G 322-s o j (1-8)
不满足幅角条件。

应该增加微分校正装置，使得幅角条件为
︒±=+180(s)][G arg (s)][G arg o c (1-9)
所以，微分校正装置的补偿角为
︒=︒±==30(s)][G arg -180(s)][G arg o c ϕ (1-10)
(5)由作图法确定校正装置的零、极点位置为 4.5-,-9.2--==D D P Z 所以，校正装置的传递函数为
5.4
s 2.9s K (s)G gc c ++= (1-11)
其中，gc K 为待定补偿增益值，用于补偿新的根轨迹过主导极点时的幅值条件。

这样，带有串联微分校正装置的新的开环传递函数成为 5.4)
2)(s s(s 2.9)
(s 4(s)(s)gc o c +++=
K G G
(1-12)
(6)由幅值条件计算增益补偿值gc K
将主导极点值代入幅值条件
15.4)
2)(s s(s 2.9)
(s 4K 322-gc =++++=j s
(1-13)
求得增益补偿值gc K 为
7.184K gc =
.684K gc =
（7）设计网络参数。

加有串联微分校正装置的系统如图1-4所示
图1-4 微分校正系统的结构
三．仿真验证
校正后根轨迹如图1-5所示。

作为比较，以利于对根轨迹法微分校正作用的理解，将校正前后系统仿真曲线作出如图1-6所示。

1.校正后的系统根轨迹如图1-5所示 程序如下：
k=4; %零极点模型的增益值 z=[]; %零点
p=[0,-2]; %极点
sys=zpk(z,p,k);
rlocus(sys);
图1-5 校正后的根轨迹图
2.作原系统和校正后的系统阶跃相应仿真图如图1-6所示程序如下：
num1=[4];
den1=[1 2 4];
sys1=tf(num1,den1);
num2=[18.72 54.288];
den2=[1 7.4 29.52 54.288];
sys2=tf(num2,den2);
step(sys1,sys2);
图1-6 系统校正前后单位阶跃响应曲线比较
由校正前后的系统根轨迹及原系统和校正后的系统阶跃相应仿真图易知,在超调量不变条件下，系统的快速性得到了较大的改善
四．校正感悟
通过本次校正的设计，我在实践中加深了对系统性能指标，根轨迹法及根轨迹法校正等理论知识的理解，同时在校正过程中锻炼了自己的动手能力，收获颇多。