2019 年“中南传媒湖南新教材杯”重庆市高中数学竞赛暨全国高中数学联赛(重庆赛区)预赛试题

是唯一的，再由
f ( f (x0 )
4 x0
)

3
得
x0

f (x0 )
4 x0
3
4 x0
解得
x0

4或
x0

1 （舍）。所以
f
(x)

4

4 x
，
f
(8)

4
4 8

7 2
。
8.已知△ th 为椭圆 쒘 4
最大值为________.
的内接三角形，且 t 过点
〳，则△ th 的面积的
所以不存在
쒘，使得
，得证. ......20 分
。..... 15 分
11.已知
，쒘
，求证 쒘
注：可直接应用以下结论
（1）ln
쒘
〳；（2）ln
7Ǥǡ 。
쒘⸵ .
证明：设
只要证
min
的 ，有
令
−
，
쒘
，则
쒘 쒘 〳，
.
쒘 ⸵ ，因为
쒘 ⸵ , 所以只要证明：对满足
쒘 ⸵ 。..... 5 分
−쒘
−
得
− 쒘，
⸵
⸵쒘
·
⸵
쒘
·
⸵
쒘
,得
4쒘 ǡ
7. 设 f (x) 是定义在 (0, ) 上的单调函数，对任意 x 0 有 f (x) 4 ，f ( f (x) 4) 3 ，
x
x
则 f (8)
.
答案： 7 2
提示：由题意存在 x0 0 使 f (x0 ) 3 。又因 f (x) 是 (0, ) 上的单调函数，这样的 x0 0
提示：tan 5o 쒘
sin 5o
sin cos
5o 5o
쒘
sin 5o쒘
sin 45o cos 5o쒘cos 45o sin 5o 〳 cos 5o
.
sin 5o
sin 5o쒘 sin ⸵ o cos 5o
sin 5o쒘 sin 45o쒘 5o cos 5o
4.已知向量 ， ， 满足
⸵
的夹角，则cos ________.
答案： 쒘
提示：∵ − ∵
− 〳∴ ⸵∴
⸵ 쒘⸵ ∴
쒘
4
쒘
4 ⸵
cos
쒘〳，且 쒘
쒘4 쒘4 · ǡ〳
쒘 〳，若 为 ，
又∵
쒘∴
∴cos 쒘 .
5.已知复数 ， ， ⸵使得 为纯虚数， 值是________.
， 쒘 쒘 ⸵ ，则 ⸵ 的最小
答案： 2 1
提示：设 ∴쒘
쒘 쒘 ⸵，则| |
쒘
쒘
，由已知
2. 函 数 ________.
쒘 쒘 쒘 쒘 ⸵〳 쒘 쒘 〳 的 最 小 值 为 ， 最 大 值 为 ， 则
⸵쒘 答案：
提示：设
쒘 쒘 쒘 ,则
且
쒘 쒘 ，∴
.
쒘 ⸵ · ，令
쒘⸵ ，
㜱.
令
得，
쒘 ⸵，
−，
∴
max
쒘 ⸵，
min − ，∴
⸵쒘
.
3.tan 5o 쒘 答案：
sin 5o ________.
쒘
∴ 쒘쒘
쒘
⸵쒘
⸵
∴ 쒘 ⸵ 쒘 − ，又∵
∈∴
쒘〳
又∵
，∴
쒘
쒘〳 ....... 10 分
쒘쒘
（2）∵
⸵ × × ⸵7，假设有
，则
法一：由
⸵，
ǡ， 쒘 ⸵ 쒘 −
得
⸵ ǡ 5 7 5 ǡ ⸵ ⸵ ǡ … mod 〳
∴∤
쒘〳 ∴ ∤
法二：∵
쒘
由费马小定理得
쒘 쒘 ∴ 쒘 − mod 〳 쒘 mod 〳，矛盾.
。......4 分
× ǡ − .......12 分
쒘⸵
10.数列{ 满足 ⸵， ǡ， 쒘
쒘쒘
쒘〳.
（1）证明：数列{ 是正整数数列；
（2）是否存在
쒘，使得
，并说明理由.
证明：（1）已知 ⸵
相减得 쒘⸵쒘 쒘
쒘
5， 쒘 쒘쒘
쒘
쒘ຫໍສະໝຸດ Baidu쒘 ∴ 쒘 쒘⸵
∴{ 쒘 쒘 为常数数列。.......... 5 分
9.已知过点 ⸵ 〳斜率为 的直线 交双曲线 h： 쒘 ⸵
线 h 的右焦点，且 쒘 t
ǡ，求 的值.
右支于 、t 两点， 为双曲
解：设
〳，t
〳，则直线 l：
联立
쒘⸵ 得 쒘⸵ −ǡ 쒘
쒘⸵
∴쒘
ǡ ...........8 分
쒘⸵
∴ǡ
쒘t
쒘쒘 쒘
∴
⸵.
........ 16 分。
쒘 ⸵ .离心率 쒘⸵
此时
쒘
×쒘
쒘 · − 쒘 ，......... 10 分
쒘
쒘·
쒘·
−쒘 쒘
∴
쒘⸵
쒘·−쒘
쒘⸵
−
쒘
쒘⸵
·
쒘
− ln
ln 쒘 ⸵ 쒘 ln 쒘
㜱 . ........ 15 分
∵ ln ln
쒘∴
ln 쒘 ⸵ 쒘 ln 쒘
쒘 7Ǥǡ ，不等式成立，得证. ........ 20 分
쒘⸵ 쒘
<쒘 7Ǥ7 <쒘
ǡ 答案：
⸵ 提示：经伸缩变换
⸵⺁๼得△ t h 内接于圆⺁ 쒘 ๼
， t 过点 ⸵ 〳，
△ th
ǡ △ t h ，设 距 t 的距离为 ，则
≤ ≤，
⸵
t
쒘 ， △ th
쒘 · 쒘 〳，易知当
⸵ 时， △ t h 有最大值为
ǡ
，∴ △ th的最大值为
. ⸵
二、解答题(第 9 题 16 分，第 10、11 题各 20 分)
쒘
z z
〳
쒘쒘쒘
∴쒘 ∴쒘
∴⸵
쒘−≥ 쒘 −
쒘 。 当 z1 1, z2 i, z3
2 2 (1 i) 时， 2
最小值能取到。 6.已知正四面体可容纳 10 个半径为 1 的小球，则正四面体棱长的最小值为________.
答案： 4 쒘 ǡ 提示：当正四面体棱长最小时，设棱长为 ，此时，一、二、三层分别有 1、3、6 个小球， 且相邻小球两两相切，注意到重心分四面体的高为 ⸵，所以正四面体的高
2019 年“中南传媒湖南新教材杯”重庆市高中数学竞赛 暨全国高中数学联赛（重庆赛区）预赛试题参考答案
一、填空题(每小题 8 分，共 64 分)
1.设 A 为三元集合（三个不同实数组成的集合），集合 B {x y | x, y A, x y} ，若 B {log2 6, log2 10, log2 15} ，则集合 A ________. 答案：{1, log2 3, log2 5} 提示：设 A {log2 a, log2 b, log2 c} ，其中 0 a b c. 则 ab 6, bc 10, ad 15. 解得 a 2, b 3, c 5 ，从而 A {1, log2 3, log2 5} 。