2010-2011-2线性代数试卷及答案

东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 2010 — 2011学年 第二学期

课程名称：线性代数

（共2页）

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A ， ()3323214,3,32αααααα+-+=B ， 且A 的行列式1||=A ，求矩阵B 的行列式||B . 解 因为()3323214,3,32αααααα+-+=B ＝⎪

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-413031002),,(321ααα， 所以，24413031002||||=-=A B

分) 设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1122α，⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=a 213α线性相关，向量 ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示，求b a ,的值。

解 由于

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a 1212113121),,,(321βααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→62304330312

1b a ⎪

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→210043303121b a

所以，.2,1=-=b a 三分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 2⨯

2

的子空间，试在

V 上定义内积运算，使V 成为欧几里得空间，并给出V 的一组正交基.

解 由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵，数乘二阶实对称矩阵还是 二阶实对称矩阵，即V 对线性运算封闭，所以V 是R 2⨯

2

的子空间。 对任意V b b b b B a a a a A ∈⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2212121122121211,,定义内积：[A,B]=222212121111b a b a b a ++， 显然满足：[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10003A 就是V 的一组正交基.

注：内积和正交基都是不唯一的.

2－1

四

分) 已知三阶矩阵A 的伴随矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=333222111*A ,求齐次线性方程

组0=Ax 的通解.

解 由于0*≠A ,且1)(*=A R 得R(A)=2,所以，0=Ax 的解空间是1维的。 又由于0||*==E A AA ,所以，*A 的列向量是0=Ax 的解。 于是，（1,2,3）T 是0=Ax 的基础解系，所以，通解为：

R k k x ∈⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=,321

分) 设三阶实对称矩阵A 满足A A 22=，且向量T )0,1,1(-=α是齐次方程0=Ax 的一个基础解系，求矩阵A 。

解 由0=Ax 的基础解系含一个解知A 的秩为2。

由A A 22

=知A 的特征值只能为2或0，所以，A 的三个特征值为：2，2，0。 由0=αA 知α是属于特征值0的特征向量。 所以，A 的属于特征值2的特征向量必与α正交，所以，特征值2的特征向量可取为：

T )0,1,1(1=β和T )1,0,0(2=β,

于是，可构造正交矩阵：⎪⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=010

2

1021210

21Q 满足：Λ=AQ Q T 所以，

=Λ=T Q Q A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝

⎛-010

21021210

21⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛022⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-

02

121100

0212

1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200011011

15分） 某仓库有A,B,C 三种物品若干件，现按下述方案进行采购：购进原B 物品件数30%和原C 物品件数50%的A 物品；购进原A 物品件数30%的B 物品；购进原B 物品件数60%的C 物品。试建立采购前后仓库A,B,C 三种物品件数间的关系式。若采购后仓库A,B,C 三种物品件数分别为290，330，380，求采购前仓库A,B,C 三种物品的件数。

解 记采购前仓库A,B,C 三种物品件数分别为：000,,z y x ，采购后仓库A,B,C 三种物品件数分别为：111,,z y x ，则由已知有：

⎪⎩⎪

⎨⎧+=+=++=00100100016.03.05.03.0z y z y x y z y x x 即：⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00011116.00013.05.03.01z y x z y x 所以，若380,330,290111===z y x 时，有

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-38033029016.0001

3.05.03.011

000z y x ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=20030010038033029091.06.018.015.013.05.001

即采购前仓库A,B,C 三种物品的件数分别为100，300, 200.

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