2010-2011-2线性代数试卷及答案
2010~2011线性代数试题0002答案
一、[教师答题时间： 5 分钟] 选择题（每小题 3 分，共 15 分。
请将答案填在下面的表格内）1、 C2、 D3、C4、B5、 A二、填空题（每题 3 分，共 15 分）[教师答题时间： 4 分钟]1、1423314214223143,a a a a a a a a -2、1300110230⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ 3、1- 4、12121110(,)01c c c c R --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5、110112022⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭三、计算行列式或矩阵（第1,2题 8 分，第3题10分，共 26分）1、[三基类][教师答题时间：4 分钟]答：1331113111130003001030103010031003-=………………（2分）1113333111030000300003---=………………（4分）32354=⨯=………………………………（2分）2、[三基类][教师答题时间： 3 分钟]答：[]1122352257222111001001,13201001033100010014A E ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦…………（6分）11221352257134A --⎡⎤⎢⎥∴=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦………………………………（2分）3、 [一般综合类][教师答题时间： 5 分钟2100100100110110210011011121A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦…………………………（2分）3100100100210110310121011231A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦…………………………（2分）1010010109101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………………………（6分）四.证明题（8分）[三基类][教师答题时间： 4 分钟]已知方阵A 满足220A A E --=,证明2A E +可逆，并求出1(2)A E -+证明：220A A E --=得 3(2)()4A EA E E -+-= （6分）1(2)A E -+=34A E--（2分）五、求解下列线性方程组（每题 10 分，共 30 分）2、[一般综合类][教师答题时间： 3 分钟]答：令12421111A k -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，当()3R A <时有非零解， 即12421111A k -=--=0 …………………………………………………..（2分）3k ∴= ……………………………………………………（1分）当3k =时⎡⎤-⎢⎥--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦21031241247A 211037013113000000……….………（4分） 13232373x x x x ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩令31x =，则123731ξ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭……………………………………………………（2分） ∴通解 11k ξξ= （10k ≠）………………………………………………（1分） 3、[一般综合类][教师答题时间： 4分钟]答： 系数矩阵的秩为3，∴导出组中基础解系的解向量个数为1………（2分）121013ηη⎛⎫⎪ ⎪∴-= ⎪ ⎪-⎝⎭为导出组的基础解系…………………………….……（2分）∴该方程组的通解111210110()4123k k ξηηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（1k R ∈）………（6分）六、综合计算题（每题 8 分，共 16 分）1、[综合类][教师答题时间： 5 分钟]答：()1234121112117,,,033701131135110015αααα⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦221001520101511015⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦………………………………………….……（4分） ∴向量组的秩为3，其中一个最大无关组为123,,ααα………….…..…（2分）41232221115155αααα=-++……………..………………………………...……（2分）2、[综合类][教师答题时间： 8 分钟]答：1）12313a λλλ++=++ ∴2a =………………………………...……（1分）330A =⨯⨯ 即 102203(22)003b b -=⨯+= ∴1b =-……...……（1分） 2）当123λλ==时210321000A E --⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3)1R A E ∴-=………………………...……（2分） ∴A 可对角化当123λλ==时11022103210000000000A E ⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 11210ξ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2001ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭..…（1分） 当30λ=时1101100220001003000A E --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 3110ξ⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭…………………..…（1分）1231012(,,)101010P ξξξ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1330P A P -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦………..…（2分）注：考核类型是指：三基类、一般综合型和综合型。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
(完整版)线性代数试题及答案
线性代数习题和答案第一部分 选择题 （共 28 分）、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
C. 3D. 46.设两个向量组 α1，α2，⋯， αs 和β 1，β2，⋯， βs 均线性相关，则（）A. 有不全为 0 的数λ 1，λ2，⋯，λs 使λ1α1+λ2α2+⋯+λs αs =0 和λ 1β 1+λ 2β 2+⋯λ s βs =0B. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ 1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+⋯+λs （ α s + β s ）=0C. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ1（α 1- β1）+λ2（α2- β2）+⋯+λs （αs - βs ）=0D.有不全为 0的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 和不全为 0的数μ 1，μ 2，⋯，μ s 使λ1α1+λ2α2+⋯+ λ s α s =0 和μ 1β1+μ2β2+⋯+μ s βs =07.设矩阵 A 的秩为 r ，则 A 中（ ）A. 所有 r- 1阶子式都不为 0B.所有 r- 1阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0D.所有 r 阶子式都不为 08. 设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， η1，η2是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（ ）A. m+n C. n- m a 11a 12a 13 a 11=m ，a 21a 22a 23 a 21a 11 a 12 a 13等于（2.设矩阵 A=0 ，则 A - 1 等于（ 3A. 0 1 3C. 03.设矩阵 A=a 21 a 22 a 23B. - (m+n) D. m- nB.D.21 ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A *中位于 41，2）的元素是（A. –6 C. 2 4.设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC ，则必有（ A. A =0 C. A 0 时 B=C 5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（ A. 1B. 6 D. –2 ) B. B D. |A| 0 时 B=C C 时 A=0 A T )等于( )B. 21.设行列式 =n ，则行列式10.设 A 是一个 n （≥3）阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A. 如存在数λ和向量 α使 A α=λα，则α是 A 的属于特征值λ的特征向量B. 如存在数λ和非零向量 α，使（λE- A ）α=0，则λ是 A 的特征值C. A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如λ 1，λ 2，λ 3是A 的 3个互不相同的特征值， α1，α2，α3依次是 A 的属于λ 1，λ2， λ3的特征向量，则 α 1，α 2， α 3有可能线性相关 11. 设λ 0是矩阵 A 的特征方程的 3重根， A 的属于λ 0的线性无关的特征向量的个数为 k ，则必有（ ）222（a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23） +（a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23） +（a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23） =.18. 设向量（ 2， -3， 5）与向量（ -4， 6， a ）线性相关，则 a= .19. 设A 是 3×4矩阵，其秩为 3，若η1，η2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2个不同的解，则它 的通解为 .20. 设 A 是 m ×n 矩阵， A 的秩为 r （<n ） ，则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个A. η1+η2 是 Ax=0 的一个解 C. η 1-η 2是 Ax=0 的一个解 9. 设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（A. 秩 （A ）<n C.A=0 11B.η1+ η2是 Ax=b 的一个解22D. 2 η 1-η 2 是 Ax=b 的一个解 ) B. 秩 (A)=n- 1D. 方程组 Ax=0 只有零解A. k ≤ 3C. k=312. 设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（A.| A| 2必为 1 C. A - 1=A T 13. 设 A 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵，A.A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）23 A.34 1 0 0C. 0 2 30 3 5第二部分B. k<3 D. k>3 ）B.|A|必为 1D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 B=C T AC .则（ ） 34 B. 26 1 1 1 D. 1 2 0102 非选择题（共 72 分）2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每1 1 115. 3 569 25 361 111 2 316.设 A=B=.则 A+2B=1 111 2 417. 设 A =(a ij )3 × 3 ， |A|=2 ， A ij 表示 |A|中 元 素a ij 的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 则数为.21. 设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α- β）=22.设 3阶矩阵 A 的行列式 |A |=8，已知 A 有 2个特征值 -1和 4，则另一特征值为 .0 10 6223.设矩阵 A=1 3 3 ，已知 α = 1 是它的一个特征向量，则α 所对应的特征值2 10 82为24.设实二次型 f （x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形为 三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6分，共 42分）26.试计算行列式4 2 327.设矩阵 A= 110， 求矩阵 B 使其满足矩阵方程AB=A+2B.12321 3 028.给定向量组α 1=1，3 α2=， α=， α10 2 2 =4.3419试判断 α 4 是否为 α 1， α2，α3 的线性组合；若是， 则求出组合系数。
完整版)线性代数试卷及答案
完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。
(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。
A) r(A)。
r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。
A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。
3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。
(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。
(C) BA=O。
(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。
11；(C) -1；(D)。
(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。
A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。
1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。
(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A是：A. 可逆的B. 不可逆的C. 正定的D. 负定的答案：B2. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性相关，则：A. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n = 0 \)B. 所有向量都为零向量C. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n \)是零向量D. 所有向量都为非零向量答案：A3. 矩阵A和B的乘积AB等于零矩阵，则：A. A和B都是零矩阵B. A和B中至少有一个是零矩阵C. A和B的秩之和小于A的列数D. A和B的秩之和小于B的行数答案：C4. 向量组\( \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m \)可以由向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性表示，则：A. m > nB. m ≤ nC. m ≥ nD. m < n答案：B5. 若矩阵A和B合同，则：A. A和B具有相同的行列式B. A和B具有相同的秩C. A和B具有相同的特征值D. A和B具有相同的迹答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 若矩阵A的特征值为λ，则矩阵A^T的特征值为______。
答案：λ2. 若矩阵A可逆，则矩阵A的行列式|A|与矩阵A^-1的行列式|A^-1|满足关系|A^-1|=______。
答案：1/|A|3. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2 \)线性无关，则由这两个向量构成的矩阵的秩为______。
答案：24. 矩阵A的秩为r，则矩阵A的零空间的维数为______。
线性代数考试试卷及答案
线性代数试卷一、 填空题（每题3分，共30分）1.5阶行列式中的1423354251a a a a a 的符号是 .2.设0abc ≠；000000a A b c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= . 3.若13150122x -=--，则x = . 4. 若n 阶矩阵A 满足224A A I --=O ，则1()A I -+= ．5.设C 是m n ⨯矩阵，若有矩阵A,B ，使TAC C B =,则A 的行数⨯列数为 . 6.设有向量组12:,,s A ααα线性无关，向量组12:,,t B βββ线性无关，若向量组A 与向量B 等价，则s 与t 的关系为： .7.设A 为m n ⨯矩阵，若齐次线性方程组0Ax =仅有唯一零解，则()r A = .8.已知向量(1,3,2,4),(,1,3,2)T T k k αβ==-正交，则k = .9.已知1(6,1,3)a α=+，2(,2,2)a α=-，若12,αα线性相关，则a = . 10. 已知三阶矩阵A 的特征值为1，-1，2，则223A A I -+= .二、 单选题（每题3分，共15分）1. 若行列式1112132122233132331a a a D a a a a a a ==，则行列式1111121312121222331313233423423423a a a a D a a a a a a a a -=-=- ( )． A .-12． B.12． C .-24． D.24．2. 设A ，B 均为n 阶矩阵，满足AB =O ,则必有( ) 。
A. 0A B +=B. ()()r A r B =C. A B =O =O 或D. 00A B ==或3. 设A 为n 阶矩阵，且2A =，则TA A ⋅=（ ）． A ．2n． B ．12n -． C ．12n +. D ．4．4. 向量组12,,s ααα线性无关的充分条件是( ) .A. 12,,s ααα均不是零向量B. 12,,s ααα中任意两个向量都不成比例C. 12,,s ααα中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线性表示D. 12,,s ααα中有一个部分组线性无关5. 设A,B,C 为n 阶方阵，若ABC I =,则1B -=（ ）. A. 11A C -- B. CA C. 11C A -- D. AC三、 计算题（每题10分，共40分）1 . 计算行列式121014512313312D ---=-2. 求线性方程组1234123412345231153612426x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪++-=-⎨⎪+++=-⎩的全部解，并用对应导出组的基础解系表示。
2010—2011学年第二学期《线性代数B1》期末考试试卷及答案
五、（本题8分）
(1) 因为b1, b2, · · · , bn两两正交, 所以 bi, bj = δij · |bi|2 =
|bi|2 = 0, i = j,
0,
i = j.
设λ1b1 + λ2b2 + · · · + λnbn = 0, 用bi作内积得：λi bi, bi = 0 ⇒ λi = 0, i = 1, 2, · · · , n.
因为βj = n akjbk ⇒ βj = (b1, b2, · · · , bn) a1... j (j > r).
k=1
anj
所以βj (j > r)是β1, β2, · · · , βr的线性组合. 下面只要说明β1, β2, · · · , βr线性无关即可.
设λ1β1 + λ2β2 + · · · + λrβr = (β1, β2, · · · , βr) λ...1 = 0,
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得分 评卷人
五、（本题15分）
已知二次型Q(x1, x2, x3) = 3x21 + 2x22 + 3x23 − 2x1x3。 (1) 写出二次型Q(x1, x2, x3)对应的矩阵A，和Q(x1, x2, x3)的矩阵式。 (2) 求正交变换P ，使x = P y把Q(x1, x2, x3)化为标准形。 (3) 二次型是正定的、负定的还是不定的，为什么？ (4) 指出Q(x1, x2, x3) = 1的几何意义。
=
。
(8) 设P3[x]为 次 数 小 于 等 于3的 实 系 数 多 项 式 全 体 构 成 的 线 性 空 间 。 定
2010-2011第一学期线性代数期末试卷A(1)及答案
西南财经大学200 － 200 学年第 学期专业 科 级（ 年级 学期）学 号 评定成绩 （分） 学生姓名 担任教师《线性代数》期末闭卷考试题（下述 一 — 四 题全作计100分， 两小时完卷）考试日期：试 题 全 文：一、 填空题（共5小题，每题2分）1、211121112---= 2、设A 是m n ⨯矩阵，B 是p m ⨯矩阵，则T T A B 是______矩阵。
3、设αβ、线性无关，则k αββ+、线性无关的充要条件是_______。
4、设αβ、为n 维非零列向量，则T R ()αβ=_________。
5、设3阶矩阵-1A 的特征值为-1、2、1，则A =_____。
二、选择题（共10小题，每题2分）1、设A 、B 为n 阶矩阵，则下列说法正确的是（ ）（A ）、=B+AA B + （B ）AB =BA（C ）、T(AB )=TTA B （D ）若AB A =，则B E =2、若某个线性方程组相应的齐次线性方程组仅有零解，则该线性方程组（ ） （A)、有无穷解 （B)、有唯一解 （C)、无解 （D ）、以上都不对3、一个向量组的极大线性无关组（ ）（A)、个数唯一 （B)、个数不唯一（C)、所含向量个数唯一 (D)、所含向量个数不唯一 4、若3阶方阵A 与B 相似，且A 的特征值为2、3、5，则B-E =（ ）。
(A)、 30 （B)、 8 （C)、11 (D)、75、若m n ⨯矩阵A 的秩为m,则方程组A X B =（ ）。
（A)、有唯一解 （B ）、有无穷解 (C)、有解 （D)、 可能无解6、设A 为3阶方阵，且1A 2=，则1*2A A -+=( )。
（A)、 8 （B)、16 （C)、10 (D)、127、已知行列式D 的第一行元素都是4，且D=-12，则D 中第一行元素代数余子式之和为（ ）。
（A)、0 （B)、-3 （C)、-12 （D)、4 8、设A 、B 都是正定矩阵，则（ ） （A)、AB,A+B 一定都是正定矩阵（B)、AB 是正定矩阵，A+B 不是正定矩阵（C)、AB 不一定是正定矩阵，A+B 是正定矩阵 （D)、AB 、A+B 都不是正定矩阵9、设A 是n 阶方阵，且k A O =(k 是正整数)，则（ ）（A ）、A O = （B ）、A 有一个不为零的特征值 (C)、 A 的特征值全为零 （D ）、A 有n 个线性无关的特征向量 10、已知2阶实对称矩阵A 满足232A A E O -+=，则A （ ） （A)、正定 （B)、半正定 （C ）、负定 （D)、不定三、计算题（共8小题，每题8分）1、计算四阶行列式01001100100k k k k2、设100110111A⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，且*22A BA BA E=-，求B3、设111111kA kk⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，求R(A)4、考虑向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1412,2615,1012,31407,023154321ααααα (1) 求向量组的秩;(2) 求此向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量分别用该极大线性无关组表示.5、设T α)0,2,1(1=, Tααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, Tβ)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.6、设12314315A a-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭有一个2重特征值，求a 的值并讨论A 是否可对角化。
线性代数试题(完整试题与详细答案)
线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数自考试题及答案
线性代数自考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个不是方阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [1, 2]C. [1, 2; 3, 4; 5, 6]D. [1, 2; 3, 4; 5, 6; 7, 8]答案：B2. 对于向量空间中的向量组，线性相关的定义是什么？A. 向量组中的任意向量都可以用其他向量表示B. 向量组中存在非零向量可以表示为零向量C. 向量组中的向量线性组合为零向量D. 向量组中所有向量都是零向量答案：A3. 矩阵的特征值是什么？A. 矩阵对角线上的元素B. 使得方程Ax = λx 成立的标量λC. 矩阵的行数D. 矩阵的列数答案：B4. 对于矩阵 A，下列哪个矩阵是 A 的伴随矩阵？A. A^TB. A^(-1)C. adj(A)D. det(A)答案：C5. 如果一个向量是另一个向量的标量倍，这两个向量是什么关系？A. 线性无关B. 线性相关C. 正交D. 单位向量答案：B二、填空题（每题3分，共15分）6. 矩阵的秩是指_________。
答案：矩阵中线性无关的行（或列）的最大数目7. 向量空间的基是指一组_________的向量，它们能生成整个向量空间。
答案：线性无关8. 对于任意矩阵 A，|A| 表示_________。
答案：矩阵 A 的行列式9. 如果矩阵 A 可逆，那么 A 的逆矩阵记作_________。
答案：A^(-1)10. 线性变换 T: R^n → R^m 的标准矩阵是指_________。
答案：线性变换 T 对标准基的坐标表示矩阵三、解答题（共75分）11. （15分）设 A 是一个3×3 的实对称矩阵，证明其特征值都是实数。
答案：略12. （20分）给定两个向量 v1 = [1, 2, 3]^T 和 v2 = [4, 5, 6]^T，求它们的叉积v3 = v1 × v2，并证明 v3 与 v1, v2 都正交。
线性代数自考试题及答案
线性代数自考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）A. 可逆B. 不可逆C. 行等价于零矩阵D. 列等价于零矩阵答案：B2. 若矩阵A的秩为r，则矩阵A的齐次线性方程组的解空间的维数为（）A. rB. r-1C. n-rD. n+r答案：C3. 向量组α1，α2，…，αs线性无关，则（）A. 向量组α1+α2，α2+α3，…，αs-1+αs线性无关B. 向量组kα1，kα2，…，kαs线性无关，其中k为非零常数C. 向量组α1+α2，α2+α3，…，αs-1+αs，αs线性无关D. 向量组kα1，kα2，…，kαs线性相关，其中k为非零常数答案：B4. 设A为n阶方阵，且|A|≠0，则下列命题中正确的是（）A. A与A*的秩相等B. A*与A^(-1)的秩相等C. A与A^(-1)的秩相等D. A与A*的秩不相等答案：C5. 矩阵A=（）A. 行最简形矩阵B. 行阶梯形矩阵C. 行等价于单位矩阵的矩阵D. 行等价于零矩阵的矩阵答案：C6. 设A为3×3矩阵，且|A|=2，则|2A|=（）A. 4B. 8C. 16D. 32答案：C7. 设A为n阶方阵，且A^2=0，则（）A. A=0B. |A|=0C. A可逆D. A不可逆答案：D8. 设A为n阶方阵，且A^2=E，则（）A. A=0B. |A|=0C. A可逆D. A不可逆答案：C9. 设A为n阶方阵，且A^T=A，则（）A. A为对称矩阵B. A为反对称矩阵C. A为正交矩阵D. A为斜对称矩阵答案：A10. 设A为n阶方阵，且|A|=1，则|A^(-1)|=（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 若A为n阶方阵，且|A|=-3，则|-2A|=______。
答案：1212. 设A为n阶方阵，且A^2=0，则矩阵A的秩r(A)满足______。
2010-2011-2线性代数试卷及答案
试卷（A卷）(共2页）┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(15分)设三阶矩阵，,.解因为＝,所以,分）设向量组，，线性相关，向量.解由于所以，分）证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V是R2⨯2的子空间，试在,使V成为欧几里得空间,并给出V的一组正交基.V对线性运算封闭，所以V是R2⨯2的子空间。
［A,B］=，］=［B,A］，［kA，B]=k［A,B］, [A,A］≥0且[A,A］=0当且仅当A=0..四分）已知三阶矩阵的伴随矩阵，求齐次线性方程组的通解。
解R（A)=2，所以，的解空间是1维的。
又由于，所以，的列向量是的解.，3)T是的基础解系，所以，通解为：15分）设三阶实对称矩阵满足,且向量是齐次方程的一个基础解系，解由的基础解系含一个解知A的秩为2.由知A的特征值只能为2或0，所以，A的三个特征值为：2，2，0。
由知是属于特征值0的特征向量.所以，A的属于特征值2的特征向量必与正交，所以，特征值2的特征向量可取为:和，于是，可构造正交矩阵：满足：所以，分) 某仓库有A,B,C三种物品若干件，现按下述方案进行采购:购进原B物品件数30%和原C物品件数50％的A物品;购进原A物品件数30％的B物品;购进原B物品件数60％的C物品。
试建立采购前后仓库A,B,C三种物品件数间的关系式。
若采购后仓库A，B，C三种物品件数分别为290，330,380，求采购前仓库A,B，C三种物品的件数。
解记采购前仓库A，B,C三种物品件数分别为：，采购后仓库A，B，C三种物品件数分别为：，则由已知有：即：所以，若时,有即采购前仓库A，B，C三种物品的件数分别为100，300, 200。
2-2。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，向量组的线性相关性指的是：A. 向量组中的向量可以相互表示B. 向量组中存在非零向量可以表示为其他向量的线性组合C. 向量组中的向量线性无关D. 向量组中的向量可以线性独立答案：B2. 矩阵A的秩是指：A. A的行向量组的极大线性无关组所含向量个数B. A的列向量组的极大线性无关组所含向量个数C. A的行数D. A的列数答案：B3. 对于矩阵A，若存在矩阵B，使得AB=BA=I，则B是A的：A. 逆矩阵B. 伴随矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：A4. 线性变换的特征值是指：A. 变换后向量的长度B. 变换后向量的方向C. 变换后向量与原向量的比值D. 变换后向量与原向量的夹角答案：C5. 一个矩阵的特征多项式是：A. 矩阵的行列式B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的伴随矩阵D. 矩阵的迹答案：A6. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩B. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的行列式不为零答案：D7. 矩阵的迹是：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的逆矩阵D. 矩阵的伴随矩阵答案：A8. 矩阵的伴随矩阵是：A. 矩阵的转置矩阵B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的对角线元素的乘积D. 矩阵的行列式答案：B9. 向量空间的基是指：A. 向量空间中的一组向量B. 向量空间中线性无关的一组向量C. 向量空间中线性相关的一组向量D. 向量空间中任意一组向量答案：B10. 矩阵的转置是：A. 矩阵的行列互换B. 矩阵的行列互换C. 矩阵的行向量变成列向量D. 矩阵的列向量变成行向量答案：A二、填空题（每空2分，共20分）1. 一个向量空间的维数是指该空间的_________。
答案：基的向量个数2. 矩阵A的行列式表示为_________。
答案：det(A)3. 线性变换的矩阵表示是_________。
线性代数(2010-2011年度所有线性代数试题及部分答案)
全国2011年1月自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：本卷中，A T 表示矩阵A 转置，det(A )表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，(α，β)表示向量α，β的内积，E 表示单位矩阵．一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A 是4阶方阵，且det(A )=4，则det(4A )=( )A ．44B ．45C ．46D ．472．已知A 2+A +E =0，则矩阵A -1=( )A ．A +EB ．A -EC ．-A -ED ．-A +E 3．设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =( )A ．A -1CB -1B ．CA -1B -1C ．B -1A -1CD ．CB -1A -14．设A 是s×n 矩阵(s≠n)，则以下关于矩阵A 的叙述正确的是( )A ．A T A 是s×s 对称矩阵B ．A T A =AA TC ．(A T A )T =AA TD ．AA T 是s×s 对称矩阵5．设α1，α2，α3，α4，α5是四维向量，则( )A ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性无关B ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性相关C ．α5一定可以由α1，α2，α3，α4线性表出D ．α1一定可以由α2，α3，α4，α5线性表出6．设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量X 均满足AX =0，则( )A ．A =0B ．A =EC ．秩(A )=nD ．0<秩(A )<n7．设矩阵A 与B 相似，则以下结论不正确．．．的是( ) A ．秩(A )=秩(B )B ．A 与B 等价C ．A 与B 有相同的特征值D ．A 与B 的特征向量一定相同8．设1λ，2λ，3λ为矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200540093的三个特征值，则1λ2λ3λ=( )A ．10B ．20C ．24D ．309．二次型f (x 1，x 2，x 3)=323121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 10．设A ，B 是正定矩阵，则( )A ．AB 一定是正定矩阵B ．A +B 一定是正定矩阵C ．(AB )T 一定是正定矩阵D ．A -B 一定是负定矩阵二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
（完整版）全国自考历年线性代数试题及答案
（完整版）全国⾃考历年线性代数试题及答案浙02198# 线性代数试卷第1页（共54页）全国2010年1⽉⾼等教育⾃学考试《线性代数（经管类）》试题及答案课程代码：04184试题部分说明：本卷中，A T 表⽰矩阵A 的转置，αT 表⽰向量α的转置，E 表⽰单位矩阵，|A |表⽰⽅阵A 的⾏列式，A -1表⽰⽅阵A 的逆矩阵，r （A ）表⽰矩阵A 的秩.⼀、单项选择题（本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共30分）在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均⽆分。
1.设⾏列式==1111034222,1111304z y x zy x则⾏列式（）A.32B.1C.2D.38 2.设A ，B ，C 为同阶可逆⽅阵，则（ABC ）-1=（） A. A -1B -1C -1 B. C -1B -1A -1 C. C -1A -1B -1D. A -1C -1B -13.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）.如果|A |=2，则|-2A |=（） A.-32 B.-4 C.4D.324.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（） A. α1，α2，α3，α4⼀定线性⽆关 B. α1⼀定可由α2，α3，α4线性表出 C.α1，α2，α3，α4⼀定线性相关D. α1，α2，α3⼀定线性⽆关5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（） A.1 B.2 C.3D.46.设A 是4×6矩阵，r （A ）=2，则齐次线性⽅程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（）A.1B.2C.3D.47.设A 是m ×n 矩阵，已知Ax =0只有零解，则以下结论正确的是（） A.m ≥nB.Ax =b （其中b 是m 维实向量）必有唯⼀解浙02198# 线性代数试卷第2页（共54页）C.r （A ）=mD.Ax =0存在基础解系8.设矩阵A =??---496375254，则以下向量中是A 的特征向量的是（） A.（1，1，1）T B.（1，1，3）T C.（1，1，0）TD.（1，0，-3）T9.设矩阵A =--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ3 = （）A.4B.5C.6D.710.三元⼆次型f （x 1，x 2，x 3）=233222312121912464x x x x x x x x x +++++的矩阵为（）A.??963642321 B.??963640341 C.??960642621 D.??9123042321⼆、填空题（本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共20分）请在每⼩题的空格中填上正确答案。
经济数学《线性代数》期末试卷二(含答案解析)
《线性代数》试卷二一．选择题（每题3分，共30分）1.若行列式1023145xx 中，代数余子式121A =-，则21A =（ ） A.2 B.2- C.3 D.3- 【解答】由于31211(1)4545x A x =-=-=-，可解得1x =，进而有32102(1)215A =-=，故选A.2.已知A ，B 均为n 阶方阵，则必有（ ）A.222()2A B A AB B +=++ B.TTT()AB A B = C.n n AB O ⨯=时，A ，B 中至少有一个为零矩阵 D.以上都不对 【解答】本题考察矩阵的乘法运算的性质.在A ，B 相乘可换时，选项A 才成立；()T T T AB B A =，故选项B 是错误的；n n AB O ⨯=说明B 的列向量组均为齐次方程组0Ax =的解向量，故选项C 亦不成立.故选D.3.设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，且AB E =，其中E 为m 阶单位矩阵，则（ ）. A. ()()r A r B m == B.()()，r A m r B n == C. ()()，r A n r B m == D. ()()r A r B n ==【解答】显然有()min{(),()}max{(),()}r AB r A r B r A r B m ≤≤≤，于是由AB E =可知()()r A r B m ==.故选A.4.向量组12,,,m ααα（3≥m ）线性无关的充要条件是（ ）A. 存在不全为零的数12,,,s k k k ，使11220s s k k k ααα+++=；B. 所给向量组中任意两个向量都线性无关；C. 所给向量组中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示；D. 所给向量组中任意一个向量都不能用其余向量线性表示.【解答】本题考察线性无关的定义.选项A 为线性相关的定义；选项B.选项C 为必要条件；故选D.5.设向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100β，下列选项中（ ）为βα,的线性组合.A.1B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=403ηC.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=022ηD.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=010η【解答】由βα,的第二个分量均为零易知其线性组合亦必满足第二个分量为零，因此选B.6.当λ取（ ）时,方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x +-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩λλλλλλ有无穷多解.A.1B.2C.3D.4【解答】思路同上题，欲使该方程组有无穷多解，系数行列式12131301λλ--=--必为零.故选C.7.设A 为n 阶实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组（Ⅰ）0Ax =和（Ⅱ）T 0A Ax =必有（ ）.A.（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解 B ．（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解 C ．（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解 D ．（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解【解答】事实上，齐次方程组（Ⅰ）0Ax =和（Ⅱ）T 0A Ax =为同解方程组.证明如下：一方面，显然（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解；另一方面，设β是（Ⅱ）的解，则T0A A β=，进而()()TT T 0A A A A ββββ==，由此可知0A β=，即β亦是（Ⅰ）的解.命题得证. 由此可知选A.8.设1λ与2λ是A 的两个互异特征值，ξ与η分别为其特征向量，则下列说法正确的是（ ） A ．对任意非零常数12,k k ，12k k ξη+均为A 的特征向量 B ．存在非零常数12,k k ，使得12k k ξη+均为A 的特征向量C ．对任意非零常数12,k k ，12k k ξη+均不是A 的特征向量D ．存在唯一的一组非零常数12,k k ，使得12k k ξη+均为A 的特征向量【解答】首先易知，ξ与η线性无关.又知对于任意非零常数12,k k ，若12k k ξη+为属于特征值3λ的特征向量，则有()123132A k k k k ξηλξλη+=+，()12121122A k k k A k A k k ξηξηλξλη+=+=+同时成立，于是()()1132230k k λλξλλη-+-=进而可知123λλλ==，与题设矛盾.故12k k ξη+不是A 的特征向量.选C.9.设矩阵1111400011110000,1111000011110000A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭,则A 与B （ ）.A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似【解答】易知A 为对称矩阵且其特征值为4,0,0,0，故A 必可正交对角化为矩阵B .进而A 与B 合同且相似.故选A.10.二次型()2221231231223,,244f x x x x x ax x x x x =++--经正交变换化为标准形22212325f y y by =++，则（ ）A.3,1a b ==B.3,1a b ==-C.3,1a b =-= Ｄ.3,1a b =-=-【解答】由题意知，矩阵12022202A a -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值为2,5,b ，直接计算可知3,1a b ==-，故选B.二．填空题（每题3分，共18分）1．设A 为4阶方阵，且A 的行列式13A =，则12A -= . 【解答】易知13A -=，故1412216348A A --==⨯=.2.已知1231100011000100000101n n na a a D a a ---=-,若12--=+n n n n D a D kD ,则k = .【解答】按最后一行展开，得()()121312100011000100110000011n n n n n n a a a D a D a +-----=+---()()1121211n n n n n n n n a D D a D D +-----=+--=+,所以1k =.3.若非齐次方程组123412341234 242 217411x x x x x x x x x x x x λ+-+=⎧⎪-++=⎨⎪+-+=⎩ 有解，则λ=【解答】非齐次方程组有解当且仅当增广矩阵化为行阶梯阵时，最后一个非零行不具有“有且只有最后一个元素非零”的形式，于是直接计算可知5λ=。
线性代数考试题库及答案(一)
线性代数考试题库及答案(一)1.下面是线性代数考试题库及答案的第一部分专项同步练第一章行列式的格式正确版本：一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。
3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有(D) (n-1)。
项。
4.1/1 = (D) 2.5.1/(-1) = (B) -1.6.在函数f(x) = (2x-1)/(2-x^3)中x^3项的系数是(A) 0.7.若D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |1 a32 a33|，则D1 =2a11a33 - 4a13a31 - 2a12a32.8.若 |a11 a12| |a21 a22| = a，则 |a12 a11| |ka22 ka21| = (-k^2)a。
9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3，第3行元的余子式依次为-2.5.1.x，则x = 3.10.若D = |4 3 1 5| |-1 3 4 1| |2 -1 6 3| |-2 1 3 4|，则D中第一行元的代数余子式的和为(B) -2.11.若D = |-1 5| |3 -2|，则D = (A) -1.12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 + kx2 + x3 = 0，kx1 + x2 + x3 = 0，x2 + x3 = 0有非零解。
(B) -2.二、填空题1.2n阶排列24…(2n)13…(2n-1)的逆序数是n(2n-1)。
2.在六阶行列式中项a32a41a25a13a56a64的符号为-。
改写后的文章：线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（共10小题，每题2分，共20分）1. 在线性空间R^3中，向量的维数是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 无穷大2. 已知向量组{v1, v2, v3}线性无关，向量v4可以由向量组{v1, v2,v3}线性表示，那么向量组{v1, v2, v3, v4}（）。
A. 线性无关B. 线性相关C. 只存在部分线性相关D. 无法确定3. 若A是一个n×n矩阵，且满足A^2 = -I，其中I为n阶单位矩阵，则矩阵A的特征值为（）。
A. -1B. 1C. iD. -i4. 设A为n×n矩阵，若A^2=0，则（）。
A. A非奇异B. A是零矩阵C. A的特征值全为0D. A的特征向量全为05. 设A为3×3矩阵，若A的秩为2且|A|=0，则（）。
A. A的特征值必为0B. A的特征值至少有2个为0C. A的特征值可能全为非零数D. A的特征值全为非零数6. 设A为m×n矩阵，若齐次线性方程组Ax = 0有非零解，则（）。
A. A的列向量组线性无关B. A的行向量组线性无关C. A的列向量组线性相关D. A的行向量组线性相关7. 设A、B为m×n矩阵，若AB=0，则（）。
A. A=0或B=0B. A和B至少有一方为0C. AB为零矩阵D. AB不一定为零矩阵8. 若二次型f(x) = x^T Ax恒大于等于零，其中x为非零向量且A为n×n对称矩阵，则A（）。
A. 不一定是正定矩阵B. 一定是正定矩阵C. 一定是半正定矩阵D. 不一定是半正定矩阵9. 若矩阵A=（a1，a2，a3，...，an）为方阵，并且满足AtA=In，其中In为n阶单位矩阵，则（）。
A. A非奇异B. A为对角阵C. A为正交阵D. A为对称阵10. 对于线性方程组Ax = b，若方程组有解，则（）。
A. A的行向量数等于b的个数B. A的列向量数等于b的个数C. A的秩等于b的个数D. A的秩小于等于b的个数二、简答题（共4题，每题15分，共60分）1. 请证明：若n×n矩阵A与B的秩相等，即rank(A)=rank(B)，则AB与BA的秩也相等。
全国自学考试线性代数历年考试真题及答案
全国自学考试线性代数历年考试真题及答案2003年4月全国自学考试线性代数答案第一部分选择题(共20分)一、单项选择题(本大题共10小题。
每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．对任意n阶方阵A、B总有( )A．AB=BA B．|AB|=|BA|2．在下列矩阵中，可逆的是 ( )3．设A是3阶方阵( )A．-2D．24．设A是m×n矩阵，则齐次线方程线Ax=0仅有零解的充分必要条件是 ( ) A．A的行向量组线性无关 B．A的行向量组线性相关C．A的列向量组线性无关 D．A的列向量组线性相关5．设有m维向量组，则 ( )A．当m<n时，(I)一定线性相关 B．当m>n时，(I)一定线性相关C．当m<n时，(I)一定线性无关 D．当m>n时，(I)一定线性无关6．已知是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，是其导出组Ax=0的一个基础解系，为任意常数，则方程组Ax=b的通解可表成 ( )7．设n阶可逆矩阵A有一个特征值为2，对应的特征向量为x，则下列等式中不正确的是( )A．Ax=2x8．设矩阵的秩为2，则λ= ( )A．2 8．1C．0 D．-l9．二次型的矩阵是( )10．二次型是 ( )A．正定的 B．半正定的C．负定的 D．不定的第二部分非选择题(共80分)二、填空题(本大题共10小题。
每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错选、不填均无分。
1 1．行列式的值为___．12．设向量a=(2，1，2),则与它同方向的单位向量为__．13．设α=(2，1，-2)，β=(1，2，3)，则2α=3β=____．14．向量组a=(1，2，3，4，5)的秩为____．15．设m×n矩阵A的，m个行向量线性无关，则矩阵的秩为____．16．若线性方程组无解，则=______．17．设2阶方阵均为2维列向量，且|A|=|B|=1，则|A+B|=_______．18．设矩阵，则A的全部特征值为___．19．设P为n阶正交矩阵，α、β为n维列向量，已知内知(α，β)=-l，则(Pa，Pβ)________20．设二次型的正惯性指数为P，负惯性指数为q，则p-q=______.三、计算题(本大题共8小题，每小题6分，共48分)21．设向量22．设，矩阵X满足方程求矩阵X．23．当t取何值时，向量组线性相关?24．求下列矩阵的秩：25．设矩阵矩阵A由矩阵方程确定，试求的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)．27．设3阶方阵A的三个特征值为的特征向量依次为求方阵A．28．设为正定二次型，试确定实数a的最大取值范围．四、证明题(本大题共2小题，每小题6分，共12分)30．设向量β可由向量组线性表示．试证明：线性表示法唯一的充分必要条件是线性无关．参考答案一、单项选择题二、填空题11．O13．(1,-4,-l3)14．115．ml6．017．418．1，1，-l19．-l20．O三、计算题知当且仅当t=3时该向量组线性相关．所求通解x=都是非零列向量，故题设条件说明A有特征值对应的特征向量分别为因为A为3阶方阵．故1，0．-l就是A的全部特征值，因A的特征值互不相同，于是由推论4．1知A可对角化，令矩阵由上式得28．解，的矩阵为，A的顺序主子式为四、证明题所以30．证由条件，存在常数若表示法唯一，设有一组数2005年10月自考线性代数试题答案全国2004年10月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A|表示方阵A 的行列式。
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东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 2010 — 2011学年 第二学期
课程名称：线性代数
（共2页）
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A ， ()3323214,3,32αααααα+-+=B ， 且A 的行列式1||=A ，求矩阵B 的行列式||B . 解 因为()3323214,3,32αααααα+-+=B ＝⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-413031002),,(321ααα， 所以，24413031002||||=-=A B
分) 设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1122α，⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=a 213α线性相关，向量 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示，求b a ,的值。
解 由于
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a 1212113121),,,(321βααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→62304330312
1b a ⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→210043303121b a
所以，.2,1=-=b a 三分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 2⨯
2
的子空间，试在
V 上定义内积运算，使V 成为欧几里得空间，并给出V 的一组正交基.
解 由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵，数乘二阶实对称矩阵还是 二阶实对称矩阵，即V 对线性运算封闭，所以V 是R 2⨯
2
的子空间。
对任意V b b b b B a a a a A ∈⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2212121122121211,,定义内积：[A,B]=222212121111b a b a b a ++， 显然满足：[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10003A 就是V 的一组正交基.
注：内积和正交基都是不唯一的.
2－1
四
分) 已知三阶矩阵A 的伴随矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=333222111*A ,求齐次线性方程
组0=Ax 的通解.
解 由于0*≠A ,且1)(*=A R 得R(A)=2,所以，0=Ax 的解空间是1维的。
又由于0||*==E A AA ,所以，*A 的列向量是0=Ax 的解。
于是，（1,2,3）T 是0=Ax 的基础解系，所以，通解为：
R k k x ∈⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=,321
分) 设三阶实对称矩阵A 满足A A 22=，且向量T )0,1,1(-=α是齐次方程0=Ax 的一个基础解系，求矩阵A 。
解 由0=Ax 的基础解系含一个解知A 的秩为2。
由A A 22
=知A 的特征值只能为2或0，所以，A 的三个特征值为：2，2，0。
由0=αA 知α是属于特征值0的特征向量。
所以，A 的属于特征值2的特征向量必与α正交，所以，特征值2的特征向量可取为：
T )0,1,1(1=β和T )1,0,0(2=β,
于是，可构造正交矩阵：⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=010
2
1021210
21Q 满足：Λ=AQ Q T 所以，
=Λ=T Q Q A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛-010
21021210
21⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛022⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-
02
121100
0212
1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200011011
15分） 某仓库有A,B,C 三种物品若干件，现按下述方案进行采购：购进原B 物品件数30%和原C 物品件数50%的A 物品；购进原A 物品件数30%的B 物品；购进原B 物品件数60%的C 物品。
试建立采购前后仓库A,B,C 三种物品件数间的关系式。
若采购后仓库A,B,C 三种物品件数分别为290，330，380，求采购前仓库A,B,C 三种物品的件数。
解 记采购前仓库A,B,C 三种物品件数分别为：000,,z y x ，采购后仓库A,B,C 三种物品件数分别为：111,,z y x ，则由已知有：
⎪⎩⎪
⎨⎧+=+=++=00100100016.03.05.03.0z y z y x y z y x x 即：⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00011116.00013.05.03.01z y x z y x 所以，若380,330,290111===z y x 时，有
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-38033029016.0001
3.05.03.011
000z y x ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=20030010038033029091.06.018.015.013.05.001
即采购前仓库A,B,C 三种物品的件数分别为100，300, 200.
2-2。