【百强名校】江苏省苏州中学2021届第一学期高三数学
2020-2021学年江苏省苏州中学高三(上)调研数学试卷(10月份)
2020-2021学年江苏省苏州中学高三（上）调研数学试卷（10月份）试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）已知集合A={x|x2-x-2≤0}.B={x|y= √x} .则A∪B=（）A.{x|-1≤x≤2}B.{x|0≤x≤2}C.{x|x≥-1}D.{x|x≥0}2.（单选题.5分）已知sin(α−π4)=35. α∈(0，π2) .则cosα=（）A. √210B. 3√210C. √22D. 7√2103.（单选题.5分）若b＜a＜0.则下列不等式：① |a|＞|b|；② a+b＜ab；③ a2b＜2a−b中.正确的不等式的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个4.（单选题.5分）函数f（x）=ax2+bx（a＞0.b＞0）在点（1.f（1））处的切线斜率为2.则8a+bab的最小值是（）A.10B.9C.8D. 3√25.（单选题.5分）Logistic模型是常用数学模型之一.可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）= K1+e−0.23(t−53).其中K为最大确诊病例数．当I（t*）=0.95K时.标志着已初步遏制疫情.则t*约为（）（ln19≈3）A.60B.63C.66D.696.（单选题.5分）已知函数f(x)={xlnx，x＞0xe x，x≤0则函数y=f（1-x）的图象大致是（）A.B.C.D.7.（单选题.5分）若定义在R上的奇函数f（x）满足对任意的x∈R.都有f（x+2）=-f（x）成立.且f（1）=8.则f（2019）.f（2020）.f（2021）的大小关系是（）A.f（2019）＜f（2020）＜f（2021）B.f（2019）＞f（2020）＞f（2021）C.f（2020）＞f（2019）＞f（2021）D.f（2020）＜f（2021）＜f（2019）8.（单选题.5分）地面上有两座相距120m的塔.在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α.在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为α2.且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角.则两塔的高度分别为（）A.50m.100mB.40m.90mC.40m.50mD.30m.40m9.（多选题.5分）等腰直角三角形直角边长为1.现将该三角形绕其某一边旋转一周.则所形成的几何体的表面积可以为（ ） A. √2π B. (1+√2)π C. 2√2π D. (2+√2π)10.（多选题.5分）关于x 的不等式（ax-1）（x+2a-1）＞0的解集中恰有3个整数.则a 的值可以为（ ） A.2 B.1 C.-1 D. −1211.（多选题.5分）声音是由物体振动产生的声波.其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y=Asinωt .我们听到的声音是由纯音合成的.称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数 f (x )=sinx +12sin2x .则下列结论正确的是（ ） A.2π是f （x ）的一个周期 B.f （x ）在[0.2π]上有3个零点 C.f （x ）的最大值为3√34D.f （x ）在 [0，π2] 上是增函数12.（多选题.5分）对于具有相同定义域D 的函数f （x ）和g （x ）.若存在函数h （x ）=kx+b （k.b 为常数）对任给的正数m.存在相应的x 0∈D 使得当x∈D 且x ＞x 0时.总有 {0＜f (x )−ℎ(x )＜m 0＜ℎ(x )−g (x )＜m.则称直线l ：y=kx+b 为曲线y=f （x ）和y=g （x ）的“分渐近线”．下列定义域均为D={x|x ＞1}的四组函数中.曲线y=f （x ）和y=g （x ）存在“分渐近线”的是（ ） A.f （x ）=x 2.g （x ）= √x B.f （x ）=10-x +2.g （x ）= 2x−3xC.f （x ）=x 2+1x .g （x ）= xlnx+1lnxD.f（x）= 2x2x+1.g（x）=2（x-1-e-x）13.（填空题.5分）若二次函数f（x）=-x2+2ax+4a+1有一个零点小于-1.一个零点大于3.则实数a的取值范围是___ ．14.（填空题.5分）在整数集Z中.被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”.记为[k].即[k]={5n+k|n∈Z}.k=0.1.2.3.4．给出如下四个结论：① 2014∈[4]；② -3∈[3]；③ Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④ 整数a.b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”．其中.正确的结论是___ ．15.（填空题.5分）已知sinθ+cosθ= 713.θ∈（0.π）.则tanθ=___ ．16.（填空题.5分）已知A、B、C是平面上任意三点.BC=a.CA=b.AB=c.则y=ca+b +bc的最小值是___ ．17.（问答题.10分）已知集合A={x|y=log2（-4x2+15x-9）.x∈R}.B={x||x-m|≥1.x∈R}．（1）求集合A；（2）若p：x∈A.q：x∈B.且p是q的充分不必要条件.求实数m的取值范围．18.（问答题.12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π2）的部分图象如图所示.其中点P（1.2）为函数图象的一个最高点.Q（4.0）为函数图象与x轴的一个交点.O为坐标原点．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位得到y=g（x）的图象.求函数h（x）=f（x）•g（x）图象的对称中心．19.（问答题.12分）如图.在三棱柱ABC-A1B1C1中.△ABC和△AA1C均是边长为2的等边三角形.点O为AC中点.平面AA1C1C⊥平面ABC．（1）证明：A1O⊥平面ABC；（2）求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值．20.（问答题.12分）已知函数f（x）=x2+（x-1）|x-a|．（1）若a=-1.解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增.求实数a的取值范围；（3）若a＜1且不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立.求a的取值范围．21.（问答题.12分）在平面直角坐标系xOy中.已知椭圆x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B.焦距为2.直线l与椭圆交于C.D两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l过椭圆的右焦点F且垂直于x轴时.四边形ACBD的面积为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线AC.BD的斜率分别为k1.k2．① k2=3k1.求证：直线l过定点；② 若直线l过椭圆的右焦点F.试判断k1k2是否为定值.并说明理由．22.（问答题.12分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x）.其中a∈R. （Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数.并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0.f（x）≥0成立.求a的取值范围．2020-2021学年江苏省苏州中学高三（上）调研数学试卷（10月份）参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）已知集合A={x|x2-x-2≤0}.B={x|y= √x} .则A∪B=（）A.{x|-1≤x≤2}B.{x|0≤x≤2}C.{x|x≥-1}D.{x|x≥0}【正确答案】：C【解析】：推导出集合A.B.由此能求出A∪B．【解答】：解：∵集合A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}.B={x|y= √x}={x|x≥0}.∴A∪B={x|x≥-1}．故选：C．【点评】：本题考查并集的求法.考查并集定义等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．2.（单选题.5分）已知sin(α−π4)=35. α∈(0，π2) .则cosα=（）A. √210B. 3√210C. √22D. 7√210【正确答案】：A【解析】：由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos（α- π4）的值.进而根据α=（α- π4）+π4.利用两角和的余弦函数公式即可计算得解．【解答】：解：因为sin(α−π4)=35. α∈(0，π2) .所以α- π4∈（- π4.- π4）.可得cos（α- π4）= √1−sin2(α−π4) = 45.则cosα=cos[（α- π4）+ π4]=cos（α- π4）cos π4-sin（α- π4）sin π4= 45× √22- 35×√22= √210．故选：A．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式.两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用.考查了计算能力和转化思想.属于基础题．3.（单选题.5分）若b＜a＜0.则下列不等式：① |a|＞|b|；② a+b＜ab；③ a2b＜2a−b中.正确的不等式的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【正确答案】：C【解析】：利用不等式的性质逐一判断.即可得结论．【解答】：解：若b＜a＜0.则|b|＞|a|.故① 错误；若b＜a＜0.则a+b＜0.ab＞0.∴a+b＜ab.故② 正确；a2 b -（2a-b）= a2−2ab+b2b= (a−b)2b.由（a-b）2＞0.b＜0.∴ (a−b)2b ＜0.即a2b＜2a−b .故③ 正确．故正确的不等式有2个．故选：C．【点评】：本题主要考查不等式的基本性质.及作差法比较大小的应用.属于基础题．4.（单选题.5分）函数f（x）=ax2+bx（a＞0.b＞0）在点（1.f（1））处的切线斜率为2.则8a+bab的最小值是（）A.10B.9C.8D. 3√2【正确答案】：B【解析】：求出原函数的导函数.由f′（1）=2a+b=2.得a+b2=1 .把8a+bab变形为8b+1a后整体乘以1.展开后利用基本不等式求最小值．【解答】：解：由f（x）=ax2+bx.得f′（x）=2ax+b.又f（x）=ax2+bx（a＞0.b＞0）在点（1.f（1））处的切线斜率为2. 所以f′（1）=2a+b=2.即a+b2=1．则8a+bab = 8b+1a=(a+b2)(8b+1a)=8ab+b2a+5≥2√8ab•b2a+5=9．当且仅当{2a+b=28ab=b2a.即{a=13b=43时“=”成立．所以8a+bab的最小值是9．故选：B．【点评】：本题考查了导数的运算.考查了利用基本不等式求最值.考查了学生灵活变换和处理问题的能力.是中档题．5.（单选题.5分）Logistic模型是常用数学模型之一.可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）= K1+e−0.23(t−53).其中K为最大确诊病例数．当I（t*）=0.95K时.标志着已初步遏制疫情.则t*约为（）（ln19≈3）A.60B.63C.66D.69【正确答案】：C【解析】：根据所给材料的公式列出方程K1+e−0.23(t∗−53)=0.95K.解出t即可．【解答】：解：由已知可得K1+e−0.23(t∗−53) =0.95K.解得e-0.23（t*-53）= 119.两边取对数有-0.23（t*-53）=-ln19.解得t*≈66.故选：C．【点评】：本题考查函数模型的实际应用.考查学生计算能力.属于中档题6.（单选题.5分）已知函数f(x)={xlnx，x＞0xe x，x≤0则函数y=f（1-x）的图象大致是（）A.B.C.D.【正确答案】：B【解析】：利用导数分析出f（x）的单调性.进而得到f（x）图象示意图.再根据f（1-x）图象与f（x）图象的关系即可进行判断【解答】：解：当x＞0时.f（x）=xlnx.则令f′（x）=lnx+1=0.解得x= 1e.所以当0＜x＜1e 时.f（x）单调递减.x＞1e时.f（x）单调递增.当x≤0时.f（x）= xe x .则令f′（x）= 1−xe x≥0.所以当x≤0时.f（x）单调递增.作出函数f（x）的图象如图：又因为f（1-x）的图象时将f（x）图象先关于y轴对称.再向右移动一个单位得到的.故根据f（x）图象可值f（1-x）图象为故选：B．【点评】：本题考查函数图象的变换.涉及导数判断函数单调性.数形结合思想.属于中档题．7.（单选题.5分）若定义在R上的奇函数f（x）满足对任意的x∈R.都有f（x+2）=-f（x）成立.且f（1）=8.则f（2019）.f（2020）.f（2021）的大小关系是（）A.f（2019）＜f（2020）＜f（2021）B.f（2019）＞f（2020）＞f（2021）C.f（2020）＞f（2019）＞f（2021）D.f（2020）＜f（2021）＜f（2019）【正确答案】：A【解析】：根据题意.分析可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x）.即函数f（x）是周期为4的周期函数.由此结合函数的奇偶性可得f（2019）、f（2020）和f（2021）的值.即可得答案．【解答】：解：根据题意.函数f（x）满足对任意的x∈R.都有f（x+2）=-f（x）成立.则有f（x+4）=-f（x+2）=f（x）.即函数f（x）是周期为4的周期函数.f（2020）=f（0+4×505）=f（0）=0.f（2021）=f（1+4×505）=f（1）=8.f（2019）=f（-1+4×505）=f（-1）=-f（1）=-8.故有f（2019）＜f（2020）＜f（2021）.故选：A．【点评】：本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用.注意分析函数的周期.属于基础题． 8.（单选题.5分）地面上有两座相距120m 的塔.在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α.在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为 α2.且在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角.则两塔的高度分别为（ ） A.50m.100m B.40m.90m C.40m.50m D.30m.40m 【正确答案】：B【解析】：由题意如图所示.分别在两个三角形中求出AB.CD 用α的表示的代数式.再由在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角.可得OA⊥OC .可得tan∠AOB•tan∠COD=1.进而可得AB.CD 的关系.求出AB.CD 的值【解答】：解：设AB.CD 分别为两个塔.BD=120m.O 为BD 的中点. 由题意如图所示：可得AB=BD•tan α2 =120•tan α2 . CD=BD•tanα=120•tanα=120 •2tanα21−tan 2α2.因为在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角.可得OA⊥OC . tan∠AOB•tan∠COD=1. 即 AB 12BD•CD 12BD=1.所以 AB•CD12×120×12×120=1.即AB•CD=602. 而AB•CD=120•tan α2 •120 •2tan α21−tan 2α2. 所以1=8tan 2α21−tan 2α2.tan α2 ＞0.解得tan α2 = 13 .所以AB=120×tan α2 =40. CD=120×2tanα21−tan 2α2=90.故选：B ．【点评】：本题考查正切的二倍角公式的应用及互相垂直的直线的应用.属于中档题．9.（多选题.5分）等腰直角三角形直角边长为1.现将该三角形绕其某一边旋转一周.则所形成的几何体的表面积可以为（）A. √2πB. (1+√2)πC. 2√2πD. (2+√2π)【正确答案】：AB【解析】：分两个情况绕的边为直角边和斜边讨论.当绕的边是直角边是.所形成的几何体的表面积为底面面积加侧面面积.当绕斜边时扇形面积既是所形成的几何体的表面积.而扇形面积等于12×c底面周长×l母线长.进而求出所形成的几何体的表面积．【解答】：解：若绕一条直角边旋转一周时.则圆锥的底面半径为1.高为1.所以母线长l= √2 .这时表面积为12•2π•1•l+π•12=（1+ √2）π；若绕斜边一周时旋转体为两个底对底的圆锥组合在一起.且由题意底面半径为√22.一个圆锥的母线长为1.所以表面积S=2 •12 2 π•√22•1= √2π .综上所述该几何体的表面积为√2π .（1+ √2）π.故选：AB．【点评】：考查旋转体的表面积.属于中档题．10.（多选题.5分）关于x的不等式（ax-1）（x+2a-1）＞0的解集中恰有3个整数.则a的值可以为（）A.2B.1C.-1D. −12【正确答案】：CD【解析】：利用已知条件判断a的符号.求出不等式对应方程的根.然后列出不等式求解即可．【解答】：解：关于x的不等式（ax-1）（x+2a-1）＞0的解集中恰有3个整数.所以a＜0.因为a≥0时.不等式的解集中的整数有无数多个．不等式（ax-1）（x+2a-1）＞0.对应的方程为：（ax-1）（x+2a-1）=0.方程的根为：1a和1-2a；由题意知. 1a＜0.则1-2a≤3.解得a≥-1；当a=-1时.不等式的解集是（-1.3）.解集中含有3个整数：0.1.2；满足题意．当a=- 12时.不等式的解集是（-2.2）.解集中含有3个整数：-1.0.1；满足题意．当a∈（-1.- 12）时.不等式的解集是（1a.1-2a）.解集中含有4个整数：-1.0.1.2；不满足题意．当a∈（- 12 .0）时.不等式的解集是（1a.1-2a）.解集中含有整数个数多于4个.不满足题意．综上知.a的值可以是-1和12．故选：CD．【点评】：本题主要考查了一元二次不等式的解法与应用问题.也考查了分类讨论思想.是中档题．11.（多选题.5分）声音是由物体振动产生的声波.其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y=Asinωt.我们听到的声音是由纯音合成的.称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx+12sin2x .则下列结论正确的是（）A.2π是f（x）的一个周期B.f（x）在[0.2π]上有3个零点C.f（x）的最大值为3√34D.f（x）在[0，π2]上是增函数【正确答案】：ABC【解析】：求出函数y=sinx与y= 12sin2x的周期.取最小公倍数求原函数的周期判断A；求出函数的零点个数判断B；利用导数求最值判断C；举例说明D错误．【解答】：解：∵y=sinx的周期为2π.y= 12sin2x的周期为π.∴ f(x)=sinx+12sin2x的周期为2π.故A正确；由 f (x )=sinx +12sin2x =0.得sinx+sinxcosx=0.得sinx=0或cosx=-1. ∵x∈[0.2π].∴x=0.x=π.x=2π.则f （x ）在[0.2π]上有3个零点.故B 正确； 函数 f (x )=sinx +12sin2x 的最大值在[0. π2 ]上取得.由f′（x ）=cosx+cos2x=2cos 2x+cosx-1=0.可得cosx= 12.当x∈（0. π3）时.cosx 单调递减.原函数单调递增.当x∈（ π3 . π2 ）时.cosx 单调递减.原函数单调递减.则当x= π3 时.原函数求得最大值为sin π3 +12sin 2π3 = 3√34.故C 正确；∵f （ π4 ）=sin π4 + 12sin π2 = √2+12 ＞1.f （ π2 ）=sin π2+ 12sinπ =1.∴f （x ）在 [0，π2] 上不是增函数.故D 错误． 故选：ABC ．【点评】：本题考查命题的真假判断与应用.考查三角函数的图象与性质.训练了利用导数求最值.属难题．12.（多选题.5分）对于具有相同定义域D 的函数f （x ）和g （x ）.若存在函数h （x ）=kx+b （k.b 为常数）对任给的正数m.存在相应的x 0∈D 使得当x∈D 且x ＞x 0时.总有 {0＜f (x )−ℎ(x )＜m 0＜ℎ(x )−g (x )＜m.则称直线l ：y=kx+b 为曲线y=f （x ）和y=g （x ）的“分渐近线”．下列定义域均为D={x|x ＞1}的四组函数中.曲线y=f （x ）和y=g （x ）存在“分渐近线”的是（ ） A.f （x ）=x 2.g （x ）= √x B.f （x ）=10-x +2.g （x ）= 2x−3xC.f （x ）=x 2+1x .g （x ）= xlnx+1lnxD.f （x ）= 2x 2x+1.g （x ）=2（x-1-e -x ）【正确答案】：BD【解析】：本题从大学数列极限定义的角度出发.仿造构造了分渐近线函数.目的是考查学生分析问题、解决问题的能力.考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是x→∞时.f （x ）-g （x ）→0进行作答.是一道好题.思维灵活.要透过现象看本质．【解答】：解：f （x ）和g （x ）存在分渐近线的充要条件是x→∞时.f （x ）-g （x ）→0． f （x ）=x 2.g （x ）= √x .当x ＞1时便不符合.所以A 不存在；对于B.f （x ）=10-x +2.g （x ）= 2x−3x肯定存在分渐近线.因为当时.f （x ）-g （x ）→0； 对于C.f （x ）= x 2+1x .g （x ）= xlnx+1lnx . f (x )−g (x )=1x −1lnx .设λ（x ）=x-lnx. λn (x )=1x 2 ＞0.且lnx ＜x.所以当x→∞时x-lnx 越来愈大.从而f （x ）-g （x ）会越来越小.不会趋近于0. 所以不存在分渐近线； 对于D.f （x ）= 2x 2x+1 .g （x ）=2（x-1-e -x ）.当x→+∞时. f (x )−g (x )=−21+1x+2+2e x →0 .故选：BD ．【点评】：本题较难.涉及到部分大学内容.属于拓展类题目13.（填空题.5分）若二次函数f （x ）=-x 2+2ax+4a+1有一个零点小于-1.一个零点大于3.则实数a 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1] (45，+∞)【解析】：利用二次函数根的分布问题即可求解．【解答】：解：根据二次函数根的分布思想.要满足题意只需： {f (−1)＞0f (3)＞0 .即 {−1−2a +4a +1＞0−9+6a +4a +1＞0 .解得 {a ＞0a ＞45 .即a ＞45 .故答案为：（ 45，+∞ ）．【点评】：本题考查了二次函数根的分布问题.考查了学生对二次函数图象的掌握熟练度.属于基础题．14.（填空题.5分）在整数集Z 中.被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”.记为[k].即[k]={5n+k|n∈Z}.k=0.1.2.3.4．给出如下四个结论：① 2014∈[4]； ② -3∈[3]； ③ Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]； ④ 整数a.b 属于同一“类”的充要条件是“a -b∈[0]”． 其中.正确的结论是___ ． 【正确答案】：[1] ① ③ ④【解析】：根据“类”的定义.逐一进行判断即可；对于 ① .看2014除以5的余数即可；对于 ② .将-3表示成5×（-1）+2即可判断；对于 ③ .被5除所得余数有且只有五类；对于 ④ .根据定义分析即可．【解答】：解： ① ∵2014÷5=402…4.∴2014∈[4].故 ① 正确； ② ∵-3=5×（-1）+2.∴-3∉[3].故 ② 错误；③ 因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类.故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4].故 ③ 正确；④ ∵整数a.b 属于同一“类”.∴整数a.b 被5除的余数相同.从而a-b 被5除的余数为0. 反之也成立.故“整数a.b 属于同一“类”的充要条件是“a -b∈[0]”．故 ④ 正确． 故答案为： ① ③ ④【点评】：本题考查命题的真假性判断.读懂题目中的新定义是关键.属于中档题． 15.（填空题.5分）已知sinθ+cosθ= 713 .θ∈（0.π）.则tanθ=___ ． 【正确答案】：[1]- 125【解析】：利用同角三角函数的基本关系求得2sinθcosθ=- 120169 .可得θ为钝角.tanθ＜0；再根据2sinθcosθ= 2tanθtan 2θ+1 =- 120169 .求得tanθ的值．【解答】：解：∵sinθ+cosθ= 713 .∴1+2sinθcosθ= 49169 .∴2sinθcosθ=- 120169 ＜0. 结合θ∈（0.π）.可得θ为钝角.∴tanθ＜0． 再根据2sinθcosθ= 2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ = 2tanθtan 2θ+1 =- 120169 .∴tanθ=- 125.故答案为：- 125．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用.属于基础题． 16.（填空题.5分）已知A 、B 、C 是平面上任意三点.BC=a.CA=b.AB=c.则 y =ca+b +bc 的最小值是___ ．【正确答案】：[1] √2−12【解析】：先将函数变形.并化简.再利用基本不等式.即可求得结论．【解答】：解：依题意.得b+c≥a .于是 y =ca+b +bc = ca+b +b+c c−1= ca+b +b+c+b+c2c −1≥ ca+b +a+b+c2c−1 = ca+b+a+b2c−12≥ √2−12其中.等号当且仅当b+c=a且ca+b =a+b2c.即a= 1+√22c .b= −1+√22c时成立．所以.所求最小值为√2−12故答案为：√2−12【点评】：本题考查基本不等式的运用.解题的关键是化简函数.并利用基本不等式求最值.属于中档题．17.（问答题.10分）已知集合A={x|y=log2（-4x2+15x-9）.x∈R}.B={x||x-m|≥1.x∈R}．（1）求集合A；（2）若p：x∈A.q：x∈B.且p是q的充分不必要条件.求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据条件可知集合A即求y=log2(−4x2+15x−9) .故可表示出A=(34，3) .（2）由题得B=[m+1.+∞）∪（-∞.m-1].根据p是q的充分不必要条件可知A是B的真子集.根据集合包含关系即可求出m取值范围．【解答】：解：（1）集合A即为函数y=log2(−4x2+15x−9)定义域.即需-4x2+15x-9＞0.即（x-3）（4x-3）＜0.解得A=(34，3)；（2）由|x-m|≥1⇔x-m≥1或x-m≤-1.即x≥m+1或x≤m-1.则B=[m+1.+∞）∪（-∞.m-1].因为p是q的充分不必要条件.所以A是B的真子集.则m+1≤34或3≤m−1 .解得m≤−14或m≥4 .所以实数m的取值范围是(−∞，−14]∪[4，+∞)．【点评】：本题考查命题及其关系.涉及函数求定义域.集合的包含关系等知识点.属于中档题．18.（问答题.12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π2）的部分图象如图所示.其中点P（1.2）为函数图象的一个最高点.Q（4.0）为函数图象与x轴的一个交点.O为坐标原点．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位得到y=g（x）的图象.求函数h（x）=f（x）•g（x）图象的对称中心．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意得振幅A.周期T.利用周期公式可求ω.将点P（1.2）代入解析式.结合范围0＜φ＜π2.可求φ.即可得解函数解析式．（Ⅱ）利用三角函数的图象变换可得g（x）=2sin π6x.利用三角函数恒等变换可求h（x）=1+2sin（π3 x- π6）.由π3x−π6=kπ .即可得解对称中心．【解答】：（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由题意得振幅A=2.周期T=4×（4-1）=12.又2πω =12.则ω= π6…（2分）将点P（1.2）代入f（x）=2sin（π6x+φ）.得sin（π6x+φ）=1.∵0＜φ＜π2.∴φ= π3.…（4分）故f（x）=2sin（π6 x+ π3）…（5分）（Ⅱ）由题意可得g（x）=2sin[ π6（x-2）+ π3]=2sin π6x…（7分）∴h（x）=f（x）•g（x）=4sin（π6 x+ π3）•sin π6x=2sin2π6x+2 √3 sin π6x•cos π6x=1-cos π3x+√3 sin π3x=1+2sin（π3 x- π6）…（10分）由π3x−π6=kπ .得：x=3k+12(k∈Z)．∴y=h（x）图象的对称中心为：(3k+1，1)(k∈Z)…（12分）2【点评】：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式.函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换.三角函数恒等变换的应用.正弦函数的图象和性质的应用.考查了转化思想.属于中档题．19.（问答题.12分）如图.在三棱柱ABC-A1B1C1中.△ABC和△AA1C均是边长为2的等边三角形.点O为AC中点.平面AA1C1C⊥平面ABC．（1）证明：A1O⊥平面ABC；（2）求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（1）证明A1O⊥AC.通过平面AA1C1C⊥平面ABC.推出A1O⊥平面ABC．（2）如图.以O为原点.OB.OC.OA1为x.y.z轴.建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标.求出平面A1BC1的法向量为n⃗=(x，y，z) .设直线AB与平面A1BC1所成角为α.利用空间向量的数量积求解即可．【解答】：（1）证明：∵AA1=A1C.且O为AC的中点.∴A1O⊥AC.又∵平面AA1C1C⊥平面ABC.且交线为AC.又A1O⊂平面AA1C1C.∴A1O⊥平面ABC；（2）解：如图.以O为原点.OB.OC.OA1为x.y.z轴.建立空间直角坐标系．由已知可得O （0.0.0）A （0.-1.0） ，B(√3，0，0) ，A 1(0，0，√3) C 1(0，2，√3) . A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，0，−√3) . AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，1，0) ，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2，0) 平面A 1BC 1的法向量为 n ⃗ =(x ，y ，z) . 则有 {2y =0√3x −√3z =0.所以 n ⃗ 的一组解为 n ⃗ =(1，0，1) . 设直线AB 与平面A 1BC 1所成角为α. 则sinα= |cos ＜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞|又∵ cos ＜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •n⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |= √32√2 = √64 . 所以直线AB 与平面A 1BC 1所成角的正弦值： √64 ．【点评】：本题考查直线与平面所成角的求法.平面与平面垂直的判断定理的应用.考查空间想象能力以及计算能力．20.（问答题.12分）已知函数f （x ）=x 2+（x-1）|x-a|． （1）若a=-1.解方程f （x ）=1；（2）若函数f （x ）在R 上单调递增.求实数a 的取值范围；（3）若a ＜1且不等式f （x ）≥2x -3对一切实数x∈R 恒成立.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）取a=-1把函数分段.然后分段求解方程f （x ）=1； （2）分x≥a 和x ＜a 对函数分段.然后由f （x ）在R 上单调递增得到不等式组 {a+14≤aa +1＞0.求解不等式组得到实数a 的取值范围；（3）写出分段函数g （x ）.不等式f （x ）≥2x -3对一切实数x∈R 恒成立.等价于不等式g （x ）≥0对一切实数x∈R 恒成立.然后求出函数在不同区间段内的最小值.求解不等式得答案．【解答】：解：（1）当a=-1时.f （x ）=x 2+（x-1）|x+1|. 故有 f (x )={2x 2−1， x ≥−11， x ＜−1.当x≥-1时.由f （x ）=1.有2x 2-1=1.解得x=1或x=-1． 当x ＜-1时.f （x ）=1恒成立． ∴方程的解集为{x|x≤-1或x=1}； （2） f (x )={2x 2−(a +1)x +a ， x ≥a (a +1)x −a ，x ＜a.若f （x ）在R上单调递增.则有 {a+14≤aa +1＞0.解得 a ≥13 ．∴当 a ≥13时.f （x ）在R 上单调递增； （3）设g （x ）=f （x ）-（2x-3）.则 g (x )={2x 2−(a +3)x +a +3，x ≥a(a −1)x −a +3， x ＜a.不等式f （x ）≥2x -3对一切实数x∈R 恒成立.等价于不等式g （x ）≥0对一切实数x∈R 恒成立． ∵a ＜1.∴当x∈（-∞.a ）时.g （x ）单调递减.其值域为（a 2-2a+3.+∞）. 由于a 2-2a+3=（a-1）2+2≥2. ∴g （x ）≥0成立．当x∈[a .+∞）时.由a ＜1.知 a ＜a+34.g （x ）在x=a+34处取得最小值. 令 g (a+34)=a +3−(a+3)28≥0 .解得-3≤a≤5.又a ＜1. ∴-3≤a ＜1． 综上.a∈[-3.1）．【点评】：不同考查了函数恒成立问题.考查了二次函数的性质.体现了数学转化思想方法.考查了不等式的解法.是压轴题．21.（问答题.12分）在平面直角坐标系xOy 中.已知椭圆 x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 、B.焦距为2.直线l 与椭圆交于C.D 两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l 过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴时.四边形ACBD 的面积为6． （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线AC.BD 的斜率分别为k 1.k 2． ① k 2=3k 1.求证：直线l 过定点；② 若直线l 过椭圆的右焦点F.试判断 k1k 2是否为定值.并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由题意焦距为2.设点C （1.y 0）.代入椭圆 x 2a2 + y 2b2 =1（a ＞b ＞0）.解得 y 0=±b 2a .从而四边形ACBD 的面积6=2 S △ABC =2a •b 2a=2b 2.由此能求出椭圆的标准方程． （2） ① 由题意AC ：y=k 1（x+2）.联立直线与椭圆的方程 x 24+y 23=1 .得（3+4k 12）x 2+16k 12-12=0.推导出C （- 8k 12−63+4k 12 . 12k 13+4k 12 ）.D （ 8k 22−63+4k 22 .- 12k 23+4k 22）.由此猜想：直线l 过定点P（1.0）.从而能证明P.C.D 三点共线.直线l 过定点P （1.0）． ② 由题意设C （x 1.y 1）.D （x 2.y 2）.直线l ：x=my+1.代入椭圆标准方程： x 24+y 23=1.得（3m 2+4）y 2+6my-9=0.推导出y 1+y 2=- 6m 3m 2+4 .y 1y 2=- 93m 2+4 .由此推导出 k 1k 2= y 1x 1+2y 2x 2−2= y 1(x 2−2)y 2(x 1+2) = y 1(my 2−1)y 2(my 1+3) = my 1y 2−y 1my 1y 2+3y 2 = 13（定值）．【解答】：解：（1）由题意焦距为2.可设点C （1.y 0）.代入椭圆 x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）.得 1a 2+y 02b 2=1.解得 y 0=±b 2a .∴四边形ACBD 的面积6=2 S △ABC =2a •b 2a=2b 2. ∴b 2=3.a 2=4.∴椭圆的标准方程为 x 24+y 23=1．证明：（2） ① 由题意AC ：y=k 1（x+2）. 联立直线与椭圆的方程 x 24+y 23=1 .得（3+4 k 12 ）x 2+16k 12-12=0.∴-2x 1= 16k 12−123+4k 12 .解得x 1= 6−8k 123+4k 12 .从而y 1=k 1（x 1+1）= 12k13+4k 12 .∴C （- 8k 12−63+4k 12 . 12k 13+4k 12 ）.同理可得D （ 8k 22−63+4k 22 .- 12k23+4k 22 ）.猜想：直线l 过定点P （1.0）.下证之： ∵k 2=3k 1.∴k PC -k PD =12k 13+4k 12−8k 12−63+4k 12−1 -−12k 23+4k 228k 22−63+4k 22−1= 4k11−4k 12+12k 24k22−9= 4k 11−4k 12 + 36k 136k 12−9 = 4k 11−4k 12 - 4k 11−4k 12 =0. ∴P .C.D 三点共线.∴直线l 过定点P （1.0）． 解： ② k1k 2为定值.理由如下：由题意设C （x 1.y 1）.D （x 2.y 2）.直线l ：x=my+1. 代入椭圆标准方程： x 24+y 23=1.得（3m 2+4）y 2+6my-9=0. ∴y 1.2=−6m±√36m 2+36(3m 2+4)2(3m 2+4). ∴y 1+y 2=- 6m3m 2+4 .y 1y 2=- 93m 2+4 .∴ k 1k 2= y 1x 1+2y 2x 2−2 = y 1(x 2−2)y 2(x 1+2) = y 1(my 2−1)y 2(my 1+3) = my 1y 2−y 1my 1y 2+3y 2 = −9m 3m 2+4−(−6m3m 2+4−y 2)−9m3m 2+4+3y 2 =−3m3m 2+4+y 2−9m3m 2+4+3y 2= −3m3m 2+4+y 2−9m3m 2+4+3y 2 = 13 （定值）．【点评】：本题考查椭圆标准方程的求法.考查直线过定点的证明.考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法.考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识.考查运算求解能力.考查化归与转化思想.是中档题．22.（问答题.12分）设函数f （x ）=ln （x+1）+a （x 2-x ）.其中a∈R . （Ⅰ）讨论函数f （x ）极值点的个数.并说明理由； （Ⅱ）若∀x ＞0.f （x ）≥0成立.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x）.其中a∈R.x∈（-1.+∞）．f′(x)=1x+1+2ax−a = 2ax2+ax−a+1x+1．令g（x）=2ax2+ax-a+1．对a与△分类讨论可得：（1）当a=0时.此时f′（x）＞0.即可得出函数的单调性与极值的情况．（2）当a＞0时.△=a（9a-8）．① 当0＜a≤89时.△≤0. ② 当a ＞89时.△＞0.即可得出函数的单调性与极值的情况．（3）当a＜0时.△＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况．（II）由（I）可知：（1）当0≤a ≤89时.可得函数f（x）在（0.+∞）上单调性.即可判断出．（2）当89＜a≤1时.由g（0）≥0.可得x2≤0.函数f（x）在（0.+∞）上单调性.即可判断出．（3）当1＜a时.由g（0）＜0.可得x2＞0.利用x∈（0.x2）时函数f（x）单调性.即可判断出；（4）当a＜0时.设h（x）=x-ln（x+1）.x∈（0.+∞）.研究其单调性.即可判断出【解答】：解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x）.其中a∈R.x∈（-1.+∞）．f′(x)=1x+1+2ax−a = 2ax2+ax−a+1x+1．令g（x）=2ax2+ax-a+1．（1）当a=0时.g（x）=1.此时f′（x）＞0.函数f（x）在（-1.+∞）上单调递增.无极值点．（2）当a＞0时.△=a2-8a（1-a）=a（9a-8）．① 当0＜a≤89时.△≤0.g（x）≥0.f′（x）≥0.函数f（x）在（-1.+∞）上单调递增.无极值点．② 当a ＞89时.△＞0.设方程2ax2+ax-a+1=0的两个实数根分别为x1.x2.x1＜x2．∵x1+x2= −12.∴ x1＜−14 . x2＞−14．由g（-1）＞0.可得-1＜x1＜−14．∴当x∈（-1.x1）时.g（x）＞0.f′（x）＞0.函数f（x）单调递增；当x∈（x1.x2）时.g（x）＜0.f′（x）＜0.函数f（x）单调递减；当x∈（x2.+∞）时.g（x）＞0.f′（x）＞0.函数f（x）单调递增．因此函数f（x）有两个极值点．（3）当a＜0时.△＞0．由g（-1）=1＞0.可得x1＜-1＜x2．∴当x∈（-1.x2）时.g（x）＞0.f′（x）＞0.函数f（x）单调递增；当x∈（x2.+∞）时.g（x）＜0.f′（x）＜0.函数f（x）单调递减．因此函数f（x）有一个极值点．综上所述：当a＜0时.函数f（x）有一个极值点；时.函数f（x）无极值点；当0≤a ≤89时.函数f（x）有两个极值点．当a ＞89（II）由（I）可知：时.函数f（x）在（0.+∞）上单调递增．（1）当0≤a ≤89∵f（0）=0.∴x∈（0.+∞）时.f（x）＞0.符合题意．＜a≤1时.由g（0）≥0.可得x2≤0.函数f（x）在（0.+∞）上单调递增．（2）当89又f（0）=0.∴x∈（0.+∞）时.f（x）＞0.符合题意．（3）当1＜a时.由g（0）＜0.可得x2＞0.∴x∈（0.x2）时.函数f（x）单调递减．又f（0）=0.∴x∈（0.x2）时.f（x）＜0.不符合题意.舍去；＞0．（4）当a＜0时.设h（x）=x-ln（x+1）.x∈（0.+∞）.h′（x）= xx+1∴h（x）在（0.+∞）上单调递增．因此x∈（0.+∞）时.h（x）＞h（0）=0.即ln（x+1）＜x.可得：f（x）＜x+a（x2-x）=ax2+（1-a）x.时.当x＞1−1aax2+（1-a）x＜0.此时f（x）＜0.不合题意.舍去．综上所述.a的取值范围为[0.1]．【点评】：本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值.考查了分析问题与解决问题的能力.考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力.属于难题．。
2021年高三上学期初考试数学试题含答案
苏省苏州中学xx 学年度第一学期期初考试2021年高三上学期初考试数学试题含答案一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 若a ＋i 1－i (i 是虚数单位)是实数，则实数a 的值是____________．2. 已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x 2－2x ＜0}，则A ∪B ＝____________.3. 命题“若实数a 满足a ≤2，则a 2＜4”的否命题是______ (填“真”或“假”)命题．4.在如图所示的算法流程图中，若输入m ＝4，n ＝3，则输出的a ＝__________.(第4题)5.把一个体积为27 cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为 1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为____________．6. 在约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1下，则x －12＋y 2的最小值为__________．7.设α、β是空间两个不同的平面，m 、n 是平面α及β外的两条不同直线．从“① m ⊥n ；② α⊥β；③ n ⊥β；④ m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________.(填序号)．8.在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin A －sin Bsin C的值是____________．9. 已知点A (0,2)，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝__________.10. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜0，－2－x，x ＞0，则函数y ＝f (f (x ))的值域是____________．11. 如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝4，BC ＝CC 1＝2.若用平行于三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为________．(第11题)12. 已知椭圆x 24＋y 22＝1，A 、B 是其左、右顶点，动点M 满足MB ⊥AB ，连结AM 交椭圆于点P ，在x 轴上有异于点A 、B 的定点Q ，以MP 为直径的圆经过直线BP 、MQ 的交点，则点Q 的坐标为____________．13. 在△ABC 中，过中线AD 中点E 任作一直线分别交边AB 、AC 于M 、N 两点，设AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(x 、y ≠0)，则4x ＋y 的最小值是______________．14.设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为______________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO 的中点，AB ＝BC ＝AC ＝4，PA ＝PC ＝2 2.求证：(1) PA ⊥平面EBO ； (2) FG ∥平面EBO .16. (本小题满分14分)已知函数f (x )＝2cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x 2－sin x2.(1) 设θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且f (θ)＝3＋1，求θ的值； (2) 在△ABC 中，AB ＝1，f (C )＝3＋1，且△ABC 的面积为32，求sin A ＋sin B 的值．17. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，上、下顶点分别为B 1、B 2.设直线A 1B 1的倾斜角的正弦值为13，圆C 与以线段OA 2为直径的圆关于直线A 1B 1对称．(1) 求椭圆E 的离心率；(2) 判断直线A 1B 1与圆C 的位置关系，并说明理由； (3) 若圆C 的面积为π，求圆C 的方程．18. (本小题满分16分)心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量记为1，则x天后的存留量y1＝4x＋4；若在t(t＞4)天时进行第一次复习，则此时知识存留量比未复习情况下增加一倍(复习时间忽略不计)，其后存留量y2随时间变化的曲线恰为直线的一部分，其斜率为at＋42(a＜0)，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”．(1) 若a＝－1，t＝5求“二次复习最佳时机点”；(2) 若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．19. (本小题满分16分)已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差d不等于0，设a1、a3、a k是公比为q的等比数列{b n}的前三项．(1) 若k＝7，a1＝2.①求数列{a n b n}的前n项和T n；②将数列{a n}与{b n}中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n}，设其前n项和为S n，求S－22n－1＋3·2n－1的值；(2) 若存在m＞k，m∈N*使得a1、a3、a k、a m成等比数列，求证：k为奇数．20. (本小题满分16分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x ＜0，ln x ，x ＞0，其中a 是实数．设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函数图象上的两点，且x 1＜x 2.(1)指出函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2＜0，证明：x 2－x 1≥1； (3)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．江苏省苏州中学xx 学年度第一学期期初考试数学II(理科附加)本试卷满分40分,考试时间30分钟,将正确的答案写在答题卡的相应位置上。
2021-2022学年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年江苏省苏州市高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合M ={x|−2≤x ≤3}，N ={x|log 2x ≤1}，则M ∩N =( )A. [−2,3]B. [−2,2]C. (0,2]D. (0,3]2. 若a >0，b >0，则“ab <1”是“a +b <1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若tanα=34，则1+sin2α1−2sin 2α=( )A. −17B. −7C. 17D. 74. 函数f(x)=(3x −x 3)sinx 的部分图象大致为( )A.B.C.D.5. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. −58B. 14C. 18D. 1186. 定义方程f(x)=f′(x)的实数根x.叫做函数f(x)的“躺平点”.若函数g(x)=lnx ，ℎ(x)=x 3−1的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为( )A. α≥βB. a >βC. α≤βD. α<β7. 已知函数f(x)=Asin(ωx −π6)(A >0,ω>0)，直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a 1，a 2，…，a k ，a k+1，…，(其中k ∈N ∗)，若a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2，则A =( )B. 2C. √2D. 2√3A. 2√338.设数列{a m}(m∈N∗)，若存在公比为q的等比数列{b m+1}(m∈N∗)，使得b k<a k<b k+1，其中k=1，2，…，m，则称数列{b m+1}为数列{a m}的“等比分割数列”，则下列说法错误的是()A. 数列{b5}：2，4，8，16，32是数列{a4}：3，7，12，24的一个“等比分割数列”B. 若数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，则有a1<⋯<a k−1<a k<⋯<a n和b1<⋯<b k−1<b k<⋯<b n<b n+1成立，其中2≤k≤n，k∈N∗C. 数列{a3}：−3，−1，2存在“等比分割数列”{b4}D. 数列{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,…,10)，若数列{a10}的“等比分割数列”{b11}的首项为1，则公比q∈(2,2109)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）=2−i(i为虚数单位)，设复数z=(a+1)+(a−1)i，则下列9.已知实数a满足3−ai1+i结论正确的是()A. z为纯虚数B. z2为虚数C. z+z−=0D. z⋅z−=410.已知不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，则b的值可能是()A. −1B. 3C. 2D. 011.关于函数f(x)=sin|x|+|cosx|有下述四个结论，则()A. f(x)是偶函数B. f(x)的最小值为−1,π)单调递增C. f(x)在[−2π,2π]上有4个零点D. f(x)在区间(π212.如图，正方形ABCD与正方形DEFC边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则()A. CP的最小值为√32B. 当P在直线AE上运动时，三棱锥D−BPF的体积不变C. PD+PF的最小值为√2−√2D. 三棱锥A−DCE的外接球表面积为3π三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知曲线y =me x +xlnx 在x =1处的切线方程为y =3x +n ，则n =______． 14. 已知数列{a n }是等差数列，a 1>0，a 3+3a 7=0，则使S n >0的最大整数n 的值为______．15. 某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道．要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元(不考虑宽度厚度等因素)，则水池面积最大值为______平方米．16. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(1−x)=f(x)，则f(x)的最小正周期为______；若对任意的x 1，x 2∈[0,12]，当x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π，则关于x 的不等式f(x)≤sinπx 在区间[−32,32]上的解集为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ =(2sinx,2sin(x +π4))，向量b ⃗ =(cosx,√62(cosx −sinx))，记f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ (x ∈R)． (1)求f(x)表达式；(2)解关于x 的不等式f(x)≥1．18. 在下列条件：①数列{a n }的任意相邻两项均不相等，且数列{a n 2−a n }为常数列，②S n =12(a n +n +1)(n ∈N ∗)，③a 3=2，S n+1=S n−1+1(n ≥2,n ∈N ∗)中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，______． (1)求数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n ； (2)设b k =1S 2k ⋅S 2k+1(k ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n <34(n ∈N ∗)．19.在等腰直角三角形ABC中，已知∠ACB=90°，点D，E分别在边AB，BC上，CD=4．(1)若D为AB的中点，三角形CDE的面积为4，求证：E为CB的中点；(2)若BD=2AD，求△ABC的面积．20.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC=2，BC=CD=1，∠CAD=30°，∠ACB=60°，M是PB上一点，且PB=3MB，N是PC中点．(1)求证：PC⊥BD；(2)若二面角P−BC−A大小为45°，求棱锥C−AMN的体积．−alnx(a>0)．21.已知函数f(x)=ax−1x(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，且不等式f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)+mx1x2恒成立，求实数m的取值范围．22.已知函数f(x)=lnx−x+2sinx，f′(x)为f(x)的导函数，求证：(1)f′(x)在(0,π)上存在唯一零点；(2)f(x)有且仅有两个不同的零点．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合M={x|−2≤x≤3}=[−2,3]，N={x|log2x≤1}=(0,2]，则M∩N= (0,2]．故选：C．先化简集合N，再根据交集的运算即可求出．本题考查描述法、区间的定义，以及对数不等式的解法和交集的运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵a>0，b>0，⇒∵ab<1，令a=4，b=18，则a+b>1，∴充分性不满足．⇐当a+b<1时，0<a<1且0<b<1，所以ab<1，∴a>0，b>0，ab<1a+b<1的必要不充分条件，故选：B．判断充分条件、必要条件时均可以列举出满足条件的数，或使之不成立的数．本题考查了充分、必要条件的判断，可以列举出满足条件的具体数进行判断，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为tanα=34，所以1+sin2α1−2sin2α=sin2α+cos2α+2sinαcosαsin2α+cos2α−2sin2α=tan 2α+1+2tanα1−tan 2α=(34)2+1+2×341−(34)2=7． 故选：D ．由已知利用二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式将1+sin2α1−2sin 2α用tanα表示，再求值即可．本题主要考查了二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵f(−x)=(−3x +x 3)sin(−x)=(3x −x 3)sinx =f(x)， ∴f(x)为偶函数，排除选项C ；当0<x <√3时，3x −x 3>0，sinx >0，∴f(x)>0， 当√3<x <π时，3x −x 3<0，sinx >0，∴f(x)<0， 故选：A ．根据函数奇偶性的概念可判断f(x)为偶函数，排除选项B ，再对比剩下选项，需考虑0<x <√3和√3<x <π时，f(x)与0的大小关系即可作出选择．本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】 【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题． 由题意画出图形，把AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都用BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，然后代入数量积公式得答案． 【解答】解：如图，∵D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，且DE =2EF ，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +32DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−54|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°+34×12 =−54×1×1×12+34=18． 故选：C ．6.【答案】D【解析】解：g(x)=lnx 定义域为(0,+∞)，g′(x)=1x ， 由题意得：lnα=1α，令t(x)=lnx −1x ，x ∈(0,+∞)， 则α为函数t(x)=lnx −1x 的零点，t′(x)=1x +1x 2>0， 所以t(x)=lnx −1x 在x ∈(0,+∞)上单调递增，又t(1)=−1<0，t(e)=1−1e >0，由零点存在性定理，α∈(1,e)． 另外ℎ(x)=x 3−1，ℎ′(x)=3x 2，由题意得：β3−1=3β2，令s(x)=x 3−1−3x 2，则β为函数s(x)=x 3−1−3x 2的零点，s′(x)=3x 2−6x ， 令s′(x)>0得：x >2或x <0，令s′(x)<0得：0<x <2，所以s(x)=x 3−1−3x 2单调递增区间为(−∞,0)，(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)， s(x)在x =0处取得极大值，s(0)=−1<0，在x =2处取得极小值， 故s(x)在(−∞,2)上无零点，因为函数在(2,+∞)上单调递增，且s(3)=27−1−27<0，s(4)=64−1−48>0，由零点存在性定理：β∈(3,4) 所以α<β． 故选：D ．对g(x)=lnx 求导，构造函数t(x)=lnx −1x ，研究其单调性和零点，利用零点存在性定理求出α∈(1,e)；同样的方法求出β∈(3,4)，得到答案．本题主要考查新定义的应用，利用导数研究函数的单调性的方法，函数零点存在定理及其应用等知识，属于中等题．7.【答案】B【解析】解：设函数周期为T ，由直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a 1，a 2，…，a k ，a k+1，…，(其中k ∈N ∗)，易知a 2k+1−a 2k−1=T ，因为a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2，所以a 2k −a 2k−1=13T ， 令顶点为(m,A)，所以m −a 2k−1=T6， 所以a 2k−1到左边零点的距离为T12，将y =sinx 与y =Asin(ωx −π6)相对比，确定1与A 两个最大值的比例， 当x ∈[0,π2]时，π2×T 12T 6+T 12=π6，所以1A =sinπ6sin π2=12，所以A =2，故选：B ．由正弦型函数的图象易知a 2k+1−a 2k−1=T ，结合条件可得a 2k −a 2k−1=13T ，设出顶点坐标，结合图象找到对应比例可求得A ．本题考查了y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：对于A ，数列{b 5}：2，4，8，16，32，数列{a 4}：3，7，12，24， 因为2<3<4<7<8<12<16<24<32，所以{b5}是{A4}的一个“等比分割数列”，故A正确；对于B，因为数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，所以b k<a k<b k+1，k=1，2，…，n，则b k+1<a k+1<b k+2，所以b k<a k<b k+1<a k+1，故b k<b k+1，a k<a k+1，所以数列{a n}和数列{b n}均为单调递增数列，故B正确；对于C，假设存在{b4}是{a3}：−3，−1，2的“等比分割数列”，所以b1<−3<b2<−1<b3<2<b4，因为−3<b2<−1，b1<−3，故q=b2b1∈(0,1)，q=b3b2∈(0,1)，因为−3<b2<−1，所以−1<b3<0，因为b4<2，则q=b4b3<0，产生矛盾，故假设不成立，故C错误；对于D，{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,...,10)，{b11}的首项为1，公比为q(q>1)，所以b n=q n−1，n=1，2， (11)因为b n<a n<b n+1，n=1，2， (10)则q n−1<2n<q n，n=1，2， (10)故2<q<2n n−1，n=2， (10)因为2n n−1=21+1n−1关于n单调递减，所以2<q<2109，即q∈(2,2109)，故D正确．故选：C．利用“等比分割数列”的定义，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了数列的综合应用，考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于难题．9.【答案】ACD【解析】解：∵3−ai1+i=2−i，∴3−ai=(2−i)(1+i)=3+i，∴a=−1，∴z=−2i，∴z为纯虚数，故选项A正确，∴z2=(−2i)2=−4，为实数，故选项B错误，∴z+z−=−2i+2i=0，故选项C正确，∴z⋅z−=(−2i)×2i=4，故选项D正确，故选：ACD．利用复数的四则运算求解．本题主要考查了复数的四则运算，是基础题．10.【答案】AD【解析】解：∵不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，∴△=4a2+4(b−1)=0，即a2=1−b≥0，∴b≤1，故选：AD．由不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，得到△=0，求出b的取值范围即可．本题主要考查了一元二次不等式的应用，属于基础题．11.【答案】ABC【解析】解：对于A，函数定义域为R，f(−x)=sin|−x|+|cos(−x)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；对于B，f(x+2π)=sin|x+2π|+|cos(x+2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，所以2π是函数f(x)=sin|x|+|cosx|的一个周期，当x∈[0,π2]时，f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，此时f(x)的最小值为1，当x∈(π2,32π]时，f(x)=sinx−cosx=√2sin(x−π4)，此时f(x)的最小值为−1，当x ∈(3π2,2π]时，f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)， 此时f(x)的最小值为−1，所以f(x)的最小值为−1，故B 正确；对于C ，当x ∈[0,π2]时，f(x)={sinx +cosx,0≤x ≤π2sinx −cosx,π2<x ≤3π2sinx +cosx,3π2<x ≤2π， 令f(x)=0，可得x =5π4，7π4， 又f(x)为偶函数，所以f(x)[−2π,2π]上有4个零点，故C 正确；对于D ，当x ∈(π2,π)时，sin|x|=sinx ，|cosx|=−cosx|， 则f(x)=sinx −cosx =√2sin(x −π4)， 当x ∈(π2,π),x −π4∈(π4,3π4)，所以函数f(x)在(π2,π)上不具备单调性，故D 错误； 故选：ABC ．利用奇偶性定义可判断A ；由f(x +2π)=sin|x +2π|+|cos(x +2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，确定2π为函数f(x)的一个周期，求出一个周期内函数的最小值，可判断B ；由于函数为偶函数，故研究x ∈[0,2π]时函数的零点情况，从而可得[−2π,2π]函数零点情况，可判断C ；确定(π2,π)上函数的解析式，可判断D ．本题考查了分段函数的奇偶性，单调性，周期性，最值等相关知识，属于中档题．12.【答案】BD【解析】解：对于A ，连接DP ，CP ，易得CP =√DP 2+CD 2=√DP 2+1≥√12+1=√62，故A 错误；对于B ，P 在直线AE 上运动时，△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，故三棱锥D −BPF 的体积不变，故B 正确；对于C ，如图，将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，则当D 、P 、F 三点共线时，PD +PF 取得最小值√(√22)2+(√22+1)2=√2+√2，故C 错误；对于D ，将该几何体补成正方体，则外接球半径为√32，外接球表面积为3π，故D 正确．故选：BD ．由题可知CP =√DP 2+CD 2，可判断A ；根据条件可知△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，可判断B ；将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，即可判断C ；由正方体的性质可判断D ．本题主要考查立体几何中的最值问题，锥体体积的计算，锥体的外接球问题等知识，属于中等题．13.【答案】−1【解析】解：由y =me x +xlnx ，得y′=me x +lnx +1， 则y′|x=1=me +1=3，即me =2， 又me =3+n ，∴3+n =2，即n =−1．故答案为：−1．求出原函数的导函数，再由函数在x=1处的导数值为3求得m值，然后利用函数在x=1时的函数值相等列式求解n．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．14.【答案】10【解析】解：数列{a n}是等差数列，a1>0，a3+3a7=0，∴a1+2d+3(a1+6d)=0，解得a1=−5d，d<0，∴S n=na1=n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n)，∵d<0，n>0，∴S n>0时，n<11，∴使S n>0的最大整数n的值为10．故答案为：10．由等差数列通项公式求出a1=−5d，d<0，从而S n=na1=n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n)，由此能求出使S n>0的最大整数n的值．本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】400【解析】解：由题意，扇形的弧长AB为l=θr，扇形的面积为S=12θr²，由题意400×12θr²+1000(2r+θr)≤24×104；化简得θr2+5(2r+θr)≤1200(∗)；又θr+2r≥2√2θr2，所以θr2+10√2θr2≤1200；设t=√2θr2，t>0，则t 22+10t ≤1200，解得−60≤t ≤40，所以当θr =2r =40时，面积S =12θr²的最大值为400． 故答案为：400．求出扇形的面积，得到关于θ，r 的不等式，利用基本不等式求出面积的最大值． 本题考查了利用数学知识解决实际问题，考查了扇形的面积，考查了基本不等式运用以及最值的计算问题，是中档题．16.【答案】2 [−1,0]∪[1,32]【解析】解：因为f(1−x)=f(x)，且f(x)是定义在R 上的奇函数， 所以f(−x)=−f(x)， 则f(1−x)=−f(−x)，则f(2−x)=−f(1−x)=f(−x)， 所以f(x)的最小正周期为2；因为对任意的x 1，x 2∈[0,12]，当x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π，不妨设x 1>x 2，则f(x 1)−f(x 2)>πx 1−πx 2， 故f(x 1)−πx 1>f(x 2)−πx 2，故函数y =f(x)−πx 在[0,12]上为增函数，所以当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥f(0)−π×0=0， 令g(x)=sinπx ， 则y =sinπx −πx ， 因为y′=πcosπx −π≤0，所以y =sinπx −πx 是单调递减函数，当x ∈[0,12]时，g(x)−πx =sinπx −πx ≤g(0)−0=0， 即当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥g(x)−πx ， 故f(x)≥g(x)，由对称性以及周期性作出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示，所以f(x)≤sinπx在区间[−32,32]上的解集为[−1,0]∪[1,32]．利用奇函数的定义结合已知的恒等式，可得f(2−x)=f(−x)，利用周期的定义即可得到答案；将已知的不等式变形，利用函数单调性的定义得到函数y=f(x)−πx在[0,12]上为增函数，从而f(x)−πx≥0，令g(x)=sinπx，由y=sinπx−πx是单调递减函数，得到g(x)−πx≤0，从而f(x)≥g(x)，作出f(x)与g(x)的图像，即可得到答案．本题考查了函数性质的综合应用，函数的周期性以及奇偶性定义的理解与应用，函数单调性定义的应用，利用导数研究函数单调性的运用，考查了逻辑推理能力与数形结合法的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为a⃗=(2sinx,2sin(x+π4))，b⃗ =(cosx,√62(cosx−sinx))，f(x)=a⃗⋅b⃗ =(2sinx,2sin(x+π4))⋅(cosx,√62(cosx−sinx))=2sinxcosx+2×√6 2sin(x+π4)(cosx−sinx)=2sinxcosx+√3(cos2x−sin2x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，所以f(x)=2sin(2x+π3)；(2)由(1)得2sin(2x+π3)≥1，所以sin(2x+π3)≥12，即π6+2kπ≤2x+π3≤5π6+2kπ,(k∈Z)，解得−π12+kπ≤x≤π4+kπ,(k∈Z)，所以不等式解集为[−π12+kπ,π4+kπ],(k∈Z)．【解析】(1)由向量的数量积运算以及三角恒等变换化简，得函数f(x)的表达式； (2)由正弦函数的性质，整体代换可得不等式的解集．本题考查了三角函数的恒等变换，解三角不等式，属于基础题．18.【答案】解：(1)选条件①时，数列{a n }的任意相邻两项均不相等，且数列{a n2−a n }为常数列，所以a n 2−a n =a 12−a 1=2，解得a n =2或a n =−1；所以数列{a n }为2，−1，2，−1，2，−1，.......， 所以a n +a n−1=1(n ≥2)， 即a n =−a n−1+1(n ≥2)，整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)， 所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列； 所以a n −12=32×(−1)n−1， 整理得a n =12+32⋅(−1)n−1； 故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．选条件②时，S n =12(a n +n +1)， 所以S n−1=12(a n−1+n −1+1)， 上面两式相减得：a n =12a n −12a n−1+12， 整理得a n =−a n−1+1(n ≥2)， 整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)， 所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列； 所以a n −12=32×(−1)n−1， 整理得a n =12+32⋅(−1)n−1； 故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．选条件③时，a 3=2，S n+1=S n−1+1(n ≥2,n ∈N ∗)中，转换为S n+1−S n−1=1(常数)，即a n+1+a n =1， 所以所以a n +a n−1=1(n ≥2)， 即a n =−a n−1+1(n ≥2)，整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)， 所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列； 所以a n −12=32×(−1)n−1， 整理得a n =12+32⋅(−1)n−1； 故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．(2)由(1)得：S 2k =3+2×2k4+34⋅(−1)2k−1=k ，S 2k+1=3+2×(2k+1)4+34⋅(−1)2k+1−1=k +2， 所以：b k =1S2k ⋅S 2k+1=1k(k+2)=12(1k −1k+2)，所以T n =12(1−13+12−14+13−15+...+1k −1k+2)=12(1+12−1k+1−1k+2)=34−12(1k+1+1k+2)<34．【解析】(1)选条件①时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；选条件②时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；选条件③时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；(2)利用(1)的结论，进一步利用数列的求和及裂项相消法和放缩法的应用求出结果． 本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法的求和，裂项相消法和放缩法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.【答案】证明：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，D是AB的中点，∴CD是△ABC的中线，角平分线，高线，∴CD⊥AB，CD=AD，∴S△BCD=12×4×4=8，又S△CDE=4=12S△BCD，∴E为CB中点．解：(2)作CF⊥AB于F，∴∠AFC=∠BCF=90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴CF=BF=AF=12AB，在直角三角形CFD中，CD2=CF2+DF2=CF2+(AF−AD)2，设AD=x，∴BD=2AD=2x．∴AB=AD+BD=3x，∴CF=AF=BF=12AB=32x，∴CD2=CF2+(AF−AD)2，∴42=(32x)2+(32x−x)2，解得x=4√105，则AB=12√105，CF=6√105，∴S△ABC=12AB⋅CF=12×12√105×6√105=725．【解析】(1)由等腰三角形的性质证明即可，(2)设出AD的长，再在三角形CFD中应用勾股定理求解出AD，再求AB及面积即可．本题考察等腰三角形的性质的应用，及勾股定理，属于中档题．20.【答案】(1)证明：因为AC=2，BC=1，∠ACB=60°，AC=2，所以AB2=BC2+AC2−2⋅BC⋅AC⋅cos60°，整理得AC2=AB2+BC2，所以AB⊥BC，因为CD=1，∠CAD=30°，AC=2，所以CDsin30∘=ACsin∠ADC，所以sin∠ADC=1，所以∠ADC=90°，所以AD⊥CD，所以∠ACD=∠ACB=60°，所以BD⊥AC，因为PA⊥底面ABCD，所以PC在平面ABCD内投影是AC，所以PC⊥BD．(2)解：由(1)知BD⊥平面PAC，设点M到平面PAC距离为ℎ，因为BO=BC⋅sin60°=√32，又因为PB=3MB，所以ℎ=BO⋅23=√33，因为PB在平面ABCD内的投影是AB，BC⊥AB，所以BC⊥PB，所以∠PBA是二面角P−BC−A的平面角，所以∠PBA=45°，所以PA=AB=AC⋅sin60°=√3，V C−AMN=V M−ANC=13⋅S ANC⋅ℎ=13⋅12⋅S PAC⋅ℎ=13⋅12⋅12⋅AC⋅AP⋅ℎ=16．【解析】(1)只要证明BD垂直于PC在平面ABCD内的投影AC即可；(2)用等体积法求解．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了四面体体积问题，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=a+1x2−ax=ax2−ax+1x2，令f′(x)=0，则ax2−ax+1=0，①当△=a2−4a≤0，即0<a≤4时，f′(x)≥0恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，无递减区间；②当△=a2−4a>0，即a>4时，方程ax2−ax+1=0的解为x=a±√a2−4a2a，且当0<x<a−√a2−4a2a 和x>a+√a2−4a2a时，f′(x)>0，f(x)递增，当a−√a2−4a2a<x<a+√a2−4a2a时，f′(x)<0，f(x)递减，综上，当0<a≤4时，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；当a>4时，f(x)的单调递增区间为(0,a−√a2−4a2a ),(a+√a2−4a2a)，单调递减区间为(a−√a2−4a2a ,a+√a2−4a2a)；(2)若f(x)有两个极值点，由(1)知，a>4，且x1，x2是方程ax2−ax+1=0的两个不等的实数根，∴x1+x2=1,x1x2=1a，∴不等式f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)+mx1x2即为ax1−1x1−alnx1+ax2−1x2−alnx22>12a−2−aln12+am，∴a(x1+x2)−x1+x2x1x2−aln(x1x2)>a−4+2aln2+2am，∴a−a−aln1a >a−4+2aln2+2am，即2m<lna+4a−2ln2−1，令ℎ(a)=lna+4a −2ln2−1，则ℎ′(a)=1a−4a2=a−4a2>0，∴ℎ(a)在(4,+∞)上单调递增，则ℎ(a)>ℎ(4)=0，∴m≤0，即实数m的取值范围为(−∞,0]．【解析】(1)对函数f(x)求导，令f′(x)=0，然后分0<a≤4及a>4讨论导函数与零的关系，进而得到单调性情况；(2)依题意，x1+x2=1,x1x2=1a ，则原不等式可转化为2m<lna+4a−2ln2−1，令ℎ(a)=lna+4a−2ln2−1，求出ℎ(a)的最小值即可得到实数m的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分离参数思想及分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】证明：(1)设g(x)=f′(x)=1x−1+2cosx，当x∈(0,π)时，g′(x)=−2sinx−1x2<0，所以g(x)在(0,π)上单调递减，又因为g(π3)=3π−1+1>0，g(π2)=2π−1<0，所以g(x)在(π3,π2)上有唯一的零点α，即f′(x)在(0,π)上存在唯一的零点α；(2)①由(1)可知，当x∈(0,α)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，当x∈(α,π)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，所以f(x)在x∈(0,π)上存在唯一的极大值点α，且α∈(π3,π2 )，所以f(α)>f(π2)=lnπ2−π2+2>2−π2>0，又因为f(1e2)=−2−1e2+2sin1e2<−2−1e2+2<0，所以f(x)在(0,α)上恰有一个零点，又因为f(π)=lnπ−π<2−π<0，所以f(x)在(α,π)上也恰有一个零点；②当x∈[π,2π)时，sinx≤0，f(x)≤lnx−x，设ℎ(x)=lnx−x，则ℎ′(x)=1x−1<0，故ℎ(x)在[π,2π)上单调递减，所以ℎ(x)≤ℎ(π)<0，故当x∈[π,2π)时，f(x)≤ℎ(x)≤ℎ(π)<0恒成立，所以ℎ(x)在[π,2π)上没有零点；③当x∈[2π,+∞)时，f(x)≤lnx−x+2，令m(x)=lnx−x+2，则m′(x)=1x−1<0，故m(x)在[2π,+∞)上单调递减，所以m(x)≤m(2π)<0，则当x∈[2π,+∞)时，f(x)≤m(x)≤m(2π)<0恒成立，所以f(x)在[2π,+∞)上没有零点．综上所述，f(x)有且仅有两个零点．【解析】(1)设g(x)=f′(x)，利用导数研究函数g(x)的单调性，然后由零点的存在性定理证明即可；(2)分x∈(0,π)，x∈[π,2π)，x∈[2π,+∞)三种情况，分别利用导数研究函数的单调性以及函数的取值情况，结合零点的存在性定理进行分析证明即可．本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，利用导数研究函数单调的运用，函数零点存在性定理的运用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．。
2021江苏省百校联考高三年级第一次试卷答案
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2021年江苏省高三年级数学百校大联考(含答案解析)
2021年江苏省高三年级百校大联考1.已知集合A={x|x2−x−2<0}，B={−2,−1,0,1,2}，则A⋂B=( )A. {0}B. {0,1}C. {−1,0}D. {−1,0,1,2}2.若复数z=(m+1)−2mi(m∈R)为纯虚数，则z的共轭复数是( )A. −2iB. −iC. iD. 2i3.设函数f(x)={√1−x+1,x≤1,2x−1,x>1,则f(f(−3))=( )A. 14B. 2C. 4D. 84.《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其外形由圆柱和长方体组合而成．已知某组合体由圆柱和长方体组成，如图所示，圆柱的底面直径为1寸，长方体的长、宽、高分别为3.8寸，3寸，1寸，该组合体的体积约为12.6立方寸，若π取3.14，则圆柱的母线长约为( )A. 0.38寸B. 1.15寸C. 1.53寸D. 4.59寸5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)，现有如下四个命题：甲：该函数的最大值为√2；乙：该函数图象可以由y=sin2x+cos2x的图象平移得到；丙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π；丁：该函数图象的一个对称中心为(2π3,0).如果只有一个假命题，那么该命题是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6.“0<xsinx<π2”是“0<x<π2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知双曲线C 的左、右焦点分别是为F 1，F 2，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C. 4D. 58. 已知角α与角β的顶点均与原点O 重合，始边均与x 轴的非负半轴重合，它们的终边关于y 轴对称．若sinα=35，则cos(α+β)cos(a −β)=( )A. 725B. 15C. −15D. −7259. 已知x +y >0，且x <0，则( )A. x 2>−xyB. |x|<|y|C. lgx 2>lgy 2D. yx +xy <−210. 已知两点A(−4,3)，B(2,1)，曲线C 上存在点P 满足|PA|=|PB|，则曲线C 的方程可以是( )A. 3x −y +1=0B. x 2+y 2=4C.x 22−y 2=1 D. y 2=3x11. 设S n 和T n 分别为数列{a n }和{b n }的前n 项和．已知2S n =3−a n ，b n =na n 3，则( )A. {a n }是等比数列B. {b n }是递增数列C. Sn a n=3n −12D. Sn T n>212. 如图，在矩形ABCD 中，AB =2，AD =4，将△ACD 沿直线AC 翻折，形成三棱锥D −ABC.下列说法正确的是( )A. 在翻折过程中，三棱锥D −ABC 外接球的体积为定值B. 在翻折过程中，存在某个位置，使得BC ⊥ADC. 当平面DAC ⊥平面ABC 时，BD =2√855D. 当平面DBC ⊥平面ABC 时，三棱锥D −ABC 的体积为4√3313. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=4，a ⃗ −b ⃗ =(−4,3)，则|a ⃗ +b ⃗ |=__________. 14. 写出一个能说明“若函数f(x)的导函数f′(x)是周期函数，则f(x)也是周期函数”为假命题的函数：f(x)=__________.15. 已知AB 是过抛物线y 2=4x 焦点F 的弦，P 为该抛物线准线上的动点，则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为__________.16. 函数f(x)=2cosx +x 2的最小值为__________；若存在x ≥0，使得f′(x)>2e x +ax −2，则a 的取值范围为__________.17. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n +a n +1=λn ，n ∈N ∗，λ≠0，且a 2是a 1，a 5的等比中项． (1)求λ的值；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .18. 在①sinAsinB +sinBsinA +1=c 2ab ，②(a +2b)cosC +ccosA =0，③√3asinA+B 2=csinA 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且__________. (1)求角C 的大小；(2)若c =√7，sinAsinB =314，求△ABC 的面积．19.一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂，且只受重力的影响，这个链子形成的曲线形状被称为悬链线．选择适当的坐标系后，悬链线对应的函数近似是一个双曲余弦函数，其解析式可以为f(x)=ae x+be−x，其中a，b是常数．(1)当a=b≠0时，判断f(x)的奇偶性；(2)当a，b∈(0,1)时，若f(x)的最小值为√2，求11−a +21−b的最小值．20.如图，三棱柱ABC−A1B1C1的底面ABC为正三角形，D是AB的中点，AB=BB1，∠ABB1=60∘，平面AA1B1B⊥底面ABC.(1)证明：平面B1DC⊥平面AA1B1B；(2)求二面角B−CB1−A1的余弦值．21.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−√6,0)，B(√6,0)，动点E(x,y)满足直线AE与BE的斜率之积为−13，记E的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过点D(2,0)的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线x=3的垂线，垂足为G，过点O作OM⊥QG，垂足为M.证明：存在定点N，使得|MN|为定值．22.已知函数f(x)=alnx−x，a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若关于x的不等式f(x)≤1x −2e在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查交集的求法，一元二次不等式的解法，属于基础题.先求出集合A，再利用交集定义能求出A⋂B.【解答】解：∵集合A={x|(x+1)(x−2)<0}={x|−1<x<2}，B={−2,−1,0,1,2}，∴A⋂B={0,1}.故答案选：B.2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了纯虚数、共轭复数的概念，属于基础题．先利用纯虚数的定义求出m的值，求出复数z，再利用共轭复数概念即可求解．【解答】解：∵复数z=(m+1)−2mi(m∈R)为纯虚数，∴m+1=0且m≠0，∴m=−1，∴z=2i，∴复数z的共轭复数为−2i.故答案选：A.3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了分段函数求值，属于基础题.根据题意可得f(−3)=3，代入即可求得结果.【解答】解：因为f(−3)=√1−(−3)+1=3，所以f(f(−3))=f(3)=23−1=4.故答案选：C.4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查圆柱的体积，考查简单组合体及其结构特征，属于中档题.由题意得求出长方体的体积和圆柱的体积，设圆柱的母线长为l，则由圆柱的底面半径为0.5寸，通过体积公式，即可求出l.【解答】解：由题意得，长方体的体积为3.8×3×1=11.4(立方寸)，故圆柱的体积为12.6−11.4=1.2(立方寸).设圆柱的母线长为l，则由圆柱的底面半径为0.5寸，得0.52πl=1.2，计算得l≈1.53(寸).故答案选：C.5.【答案】B【解析】【分析】)图像与性质以及命题真假本题主要考查的是y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2的判断，属于基础题.分别将甲、乙、丙、丁一一判断即可.【解答】解：由命题甲知A=√2;根据命题乙，由y=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)，可知A=√2，ω=2;由命题丙知T=2π，则ω=1，那么命题乙和命题丙矛盾.若假命题是乙，则f(x)=√2sin(x+φ)，由命题丁知，φ=π3，符合题意;若假命题是丙，则f(x)=√2sin(2x+φ)，由命题丁知，φ=kπ−4π3，k∈Z，不满足条件0<φ<π2.故假命题是乙.故答案选：B.6.【答案】B【解析】【分析】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，涉及三角函数的性质，以及利用导数判断函数的单调性，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.当0<x<π2时，设函数f(x)=xsinx，对函数求导，结合函数的单调性，求出f(x)对应的取值范围，可判断必要性是否成立；举出特例判断充分性是否成立.【解答】解：当0<x<π2时，设函数f(x)=xsinx，x∈(0,π2),f′(x)=sinx+xcosx>0，∴f(x)在(0,π2)上单调递增，所以f(0)<f(x)<f(π2)，又f(0)=0,f(π2)=π2，∴0<xsinx<π2成立，满足必要性；当0<xsinx<π2时，0<x<π2不一定成立，如0<5π6sin56π=5π12<π2，但5π6∉(0,π2)，不满足充分性，故“0<xsinx<π2”是“0<x<π2”的必要不充分条件.故答案选：B.7.【答案】A【解析】 【分析】本题考查双曲线的简单性质，考查余弦定理，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．由题意知过F 2的直线与C 的右支交于A ，B 两点，可设|F 2B|=t ，则|AF 2|=3t ，|AB|=|AF 1|=4t ，由双曲线的定义及余弦定理，求出a 和c ，即可求出双曲线的离心率. 【解答】解：由题意得：过F 2的直线与C 的右支交于A ，B 两点， 可设|F 2B|=t ，则|AF 2|=3t ，|AB|=|AF 1|=4t ， 由双曲线的定义得2a =|AF 1|−|AF 2|=t ， 所以|BF 1|=2a +|BF 2|=2t.在△AF 1B 中，由余弦定理得cos∠F 1AB =16t 2+16t 2−4t 22⋅4t⋅4t=78.在△AF 1F 2中，由余弦定理得16t 2+9t 2−2⋅4t ⋅3t ⋅78=4c 2，解得c =t ，所以2a =t =c.所以C 的离心率为ca =2.故答案选：A.8.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数之间的关系，两角和与差的余弦公式，属于基础题．由题意得cosα与cosβ、sinα与sinβ的关系，利用条件求出cosα的值，再利用两角差的余弦公式，化简所求即可求解． 【解答】解：因为sinα=35，则cosα=±45， 又α与β关于y 轴对称，则sinβ=sinα=35，cosβ=−cosα=45(或cosβ=−cosα=−45)，所以cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=−cos 2α+sin 2α=−1625+925=−725.同理，cos(α+β)=−cos 2α−sin 2α=−1625−925=−1 故cos(α+β)cos(α−β)=725.故答案选：A.9.【答案】BD【解析】 【分析】本题考查不等式的性质以及基本不等式的应用，属于基础题. 利用题目条件，对照选项逐个判断即可. 【解答】对于选项A ，由题意，易知x <0，y >0，取x =−1，y =2，可知x 2>−xy 不成立，故A 错误；对于选项B ，由题意，易知x <0，y >0，从而|x|−|y|=−x −y =−(x +y)<0， 故|x|<|y|，B 正确；对于选项C ，取x =−1,y =2，可知lgx 2>lgy 2不成立，故C 错误； 对于选项D ，由于x ，y 异号，从而y x ,xy 均小于0， 故yx +xy =−[(−yx )+(−xy )]≤−2√(−yx )⋅(−xy )=−2，当且仅当x =−y 时取等号，而由于x +y >0，从而等号取不到，即yx+xy <−2，故D正确.故答案选：BD.10.【答案】BC【解析】 【分析】本题主要考查两条直线的位置关系，考查直线与圆的位置关系，考查直线与双曲线的位置关系，考查直线与抛物线的位置关系，考查中点坐标，考查直线垂直的判定，属于中档题.利用直线与圆锥曲线的位置关系，联立直线与曲线的方程，根据解的情况逐一判断即可. 【解答】解：由|PA|=|PB|，得知点P 在AB 的垂直平分线l 上，因为线段AB 的中点坐标为(−1,2)，k AB =−13，且AB 与直线l 垂直，且过AB 中点，所以l 的方程为y =3x +5，所以3x −y +1=0与l 平行，可知两直线无交点，故A 不正确；联立方程组{x 2+y 2=43x −y +5=0，消y ，可得10x 2+30x +21=0，△=900−4×10×21>0，可知两直线有交点，故B 正确； 将直线l 的方程代入双曲线x 22−y 2=1，得17x 2+60x +52=0，△=3600−4×17×52=3600−3536>0，所以l 与双曲线相交，故C 正确；联立方程组将直线l 的方程代入y 2=3x ，得y 2=y −5，△<0，方程无实数解，故D 不正确. 故答案选：BC.11.【答案】ACD【解析】 【分析】本题主要考查的是等比数列的判定和性质以及错位相减法的应用，属于中档题. 利用为等比数列，判定A 正确；b n+1−b n 与0比较，得出数列单调性判断B 错误.根据，进一步判定D 正确.【解答】解：因为2S n =3−a n ，所以当n =1时，2S 1=3−a 1， 即2a 1=3−a 1，即a 1=1，又2S n+1=3−a n+1，所以2S n+1−2S n =a n −a n+1，即3a n+1=a n ， 所以{a n }是首项为1，公比为13的等比数列，所以a n =(13)n−1，故A 正确； 因为b n =na n 3=n3n ，所以b n+1−b n =n+13n+1−n3n =1−2n 3n+1<0，{b n }是递减数列，故B 错误；因为S n =3−a n 2=32(1−13n )，所以S na n=3n −12，故C 正确；T n =13+232+⋯+n−13n−1+n 3n ①，13Tn =132+233+⋯+n−13n +n 3n+1②，①-②得23T n =13+132+133+⋯+13n −n3n+1=13(1−13n )1−13−n3n+1=12(1−13n )−n3n+1，所以T n =34(1−13n )−n2⋅3n >0， 所以2T n −S n =32(1−13n)−n 3n−32(1−13n)=−n 3n<0，所以S n T n>2，故D 正确.故答案选：ACD.12.【答案】ACD【解析】 【分析】本题主要考查了简单多面体及其结构特征，线面垂直的判定，棱柱，棱锥，棱台的侧面积，表面积和体积，球的表面积和体积的应用，属于较难题.利用三棱锥的侧面的特征和侧棱的长度，可判断外接球球心的位置，可判断出A 选项；利用反证法，假设BC ⊥AD ，通过线面垂直的判定和性质可得到BC ⊥BD ，得到CD >BC ，与条件矛盾，可判断出B 选项；根据条件分别过D 作AC 的垂线DE ，过B 作AC 的垂线BF ，再结合条件分别在几个直角三角形依次求出DE ，AE ，BF ，EF 和BE ，最后在直角三角形BED 中，求出BD 的长度，即可判断C 选项；利用条件结合面面垂直的性质，可得到AB ⊥平面DBC ，即AB 为三棱锥D −ABC 在平面DBC 上的高，在直角三角形ABD 中可求出BD 的长度，结合条件中的AB =DC =2，BC =AD =4，可得到DB ⊥DC ，故可求得三棱锥D −ABC 的体积为4√33，即可判断D 选项.【解答】解：设O 为AC 的中点，则OA =OB =OC =OD =√5，所以三棱锥D −ABC 外接球的半径为√5，所以三棱锥D −ABC 外接球的体积为定值，故A 正确；若在翻折过程中，存在某个位置，使得BC ⊥AD ，又AB ⊥BC ，则BC ⊥平面ABD ， 所以BC ⊥BD ，从而斜边CD 的长大于直角边BC ，这与CD =2，BC =4矛盾，故B 错误；当平面DAC ⊥平面ABC 时，过D 作AC 的垂线DE ，垂足为E ， 则DE ⊥平面ABC ，DE =4√55，AE =8√55， 在平面ABC 上，过B 作AC 的垂线BF ，垂足为F ，则BF ⊥平面DAC ，BF =4√55，EF =6√55， 则BE =√BF 2+EF 2=√525，在直角三角形BED 中，BD =√DE 2+BE 2=2√855，故C 正确；当平面DBC ⊥平面ABC 时，平面DBC ∩平面ABC =BC ， 又AB ⊥BC ，AB ⊂平面ABC ，所以AB ⊥平面DBC ，计算得DB =2√3，因为AB =DC =2，BC =AD =4，所以DB ⊥DC ， 所以S △DBC =12×DB ×DC =2√3， 所以三棱锥D −ABC 的体积为13×2×2√3=4√33，故D 正确.故答案选：ACD.13.【答案】5【解析】 【分析】本题考查向量的模，向量数量积的运算，属于基础题． 根据向量的数量积的性质求解即可. 【解答】解：因为|a →|=3，|b →|=4，a ⃗ −b ⃗ =(−4,3)，|a →−b →|=√a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√(−4)2+32=5，所以a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则|a ⃗ +b ⃗ |=√a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√32+42=5.故答案为：5.14.【答案】f(x)=sinx +x【解析】 【分析】本题考查函数求导以及周期性，属于基础题. 按题目要求举出反例即可. 【解答】解：f(x)=sinx +x ，则f′(x)=cosx +1是周期函数，而f(x)不是周期函数. 符合题意.15.【答案】0【解析】 【分析】本题考查了抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关系和圆锥曲线中的最值问题，属于中档题.根据条件，直线AB 的方程可设为x =ty +1，与抛物线联立，设P(−1,m)，得出PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由韦达定理和向量的数量积可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值. 【解答】解：因为抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0)， 所以直线AB 的方程可设为x =ty +1， 代入抛物线方程得y 2−4ty −4=0. 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则y 1+y 2=4t ，y 1⋅y 2=−4.因为P 为该抛物线准线上的动点，可设P(−1,m)， 则PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1−m)=(ty 1+2,y 1−m)， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2−m)=(ty 2+2,y 2−m)， 所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(ty 1+2)(ty 2+2)+(y 1−m)(y 2−m) =(t 2+1)y 1y 2+(2t −m)(y 1+y 2)+4+m 2 =(t 2+1)⋅(−4)+(2t −m)⋅4t +4+m 2 =(2t −m)2≥0.即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为0.16.【答案】2(−∞,−2)【解析】【分析】本题考查利用导数求函数最值，考查不等式的恒成立问题，关键是利用导数判断函数的单调性，进而将问题转化为求函数的最值问题.因为f(x)为偶函数，所以f(x)的最小值就是f(x)在[0,+∞)上的最小值，由单调性求得最小值即可；由(1)可知f′(x)=−2sinx+2x，代入f′(x)>2e x+ax−2等价于−2sinx+2x>2e x+ ax−2，即2e x+2sinx+(a−2)x−2<0，利用导数判断单调性，再对a的取值进行讨论，得出结论.【解答】解：(1)因为f(x)为偶函数，所以f(x)的最小值就是f(x)在[0,+∞)上的最小值，f′(x)=−2sinx+2x，x≥0，令m(x)=−2sinx+2x，则m′(x)=2−2cosx≥0，所以f′(x)在[0,+∞)上单调递增，所以f′(x)≥f′(0)=0，所以f(x)在[0,+∞)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(0)=2.(2)f′(x)>2e x+ax−2等价于−2sinx+2x>2e x+ax−2，即2e x+2sinx+(a−2)x−2<0.令g(x)=2e x+2sinx+(a−2)x−2，则g′(x)=2e x+2cosx+(a−2)，g(0)=0，g′(0)=a+2.当a≥−2时，g(x)≥2e x+2sinx−4x−2，设ℎ(x)=2e x+2sinx−4x−2，ℎ′(x)=2e x+2cosx−4，令t(x)=2e x+2cosx−4，则t′(x)=2e x−2sinx，注意到x∈(0,+∞)，e x>x>sinx，所以t′(x)>0，所以ℎ′(x)在[0,+∞)上单调递增，所以ℎ′(x)≥ℎ′(0)=0，所以ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增，g(x)≥ℎ(x)≥ℎ(0)=0，不合题意.当a<−2时，设φ(x)=g′(x)，φ′(x)=2e x−2sinx>0，所以g′(x)在[0,+∞)上单调递增，所以g′(0)=a+2<0，所以存在x0>0，使得g′(x)=0，当x∈(0,x0)时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,x0)上单调递减，于是有g(x)<g(0)=0，即存在x∈(0,x0)，使得2e x+2sinx+(a−2)x−2<0，即f′(x)>2e x+ax−2.综上所述，a的取值范围为(−∞,−2).17.【答案】解：(1)由a n+a n+1=λn，可得a1+a2=λ，a2+a3=2λ，a3+a4=3λ，a4+a5=4λ，所以a2=λ−1，a3=λ+1，a4=2λ−1，a5=2λ+1.因为a2是a1，a5的等比中项，所以a22=a1⋅a5，即(λ−1)2=1⋅2λ+1，则λ2=4λ，又λ≠0，所以λ=4.(2)由(1)知a n+a n+1=4n.当n为偶数时，S n=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+⋯+(a n−1+a n)=4+12+20+⋯+4(n−1)=4n×n22=n2;当n为奇数时，S n=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a6+a7)+⋯+(a n−1+a n)=1+8+16+24+⋯+4(n−1)=1+(4n+4)×n−122=n2.综上所述，S n=n2，n∈N∗.【解析】本题考查了等比中项，等差数列的前n项和，以及并项法求数列前n项和，属于中档题.(1)由a1，a2，a5成等比数列，求得λ；(2)由(1)得到a n+a n+1=4n，对n进行奇数，偶数分类讨论，利用并项法即可得到结果.18.【答案】解：(1)选择条件①由sinAsinB +sinBsinA+1=c2ab及正弦定理，可得ab+ba+1=c2ab，则a2+b2−c2=−ab，由余弦定理，得cosC=a 2+b2−c22ab=−ab2ab=−12，因为0<C<π，所以C=2π3；选择条件②由(a+2b)cosC+ccosA=0及正弦定理，可得(sinA+2sinB)cosC+sinCcosA=0，即sinAcosC+cosAsinC=−2sinBcosC，即sin(A+C)=−2sinBcosC，在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+C)=sin(π−B)=sinB，即sinB=−2cosCsinB，因为sinB≠0，所以cosC=−12，因为0<C<π，所以C=2π3；选择条件③由√3asin A+B2=csinA及正弦定理，可得√3sinAsin A+B2=sinCsinA，因为sinA≠0，所以√3sin A+B2=sinC，在△ABC中，A+B+C=π，可得sin A+B2=cos C2，故√3cos C2=2sin C2cos C2，因为0<C<π，所以cos C2≠0，则sin C2=√32，故C=2π3.(2)由正弦定理，得absinAsinB =(csinC)2，所以ab=(csinC )2sinAsinB=(√7sin 2π3)2×314=2，所以△ABC的面积S=12absinC=12×2×sin2π3=√32.【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数公式，三角形面积公式的应用，属于中档题.(1)根据已知及正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数公式的计算，求出角C的大小；(2)根据已知及正弦定理，三角形面积公式的计算，求出△ABC的面积．19.【答案】解：(1)当a=b≠0时，函数f(x)=a(e x+e−x)的定义域为R.因为对任意的x∈R，都有−x∈R，且f(−x)=a(e−x+e x)=f(x)，所以f(x)为偶函数.(2)因为当a，b∈(0,1)时，f(x)的最小值为√2，且ae x>0，be−x>0，所以f(x)=ae x+be−x≥2√ae x⋅be−x=2√ab=√2，(当且仅当ae x=be−x时，即x=12ln ba时，等号成立.)即ab=12，所以b=12a<1，所以12<a<1，所以2−2a>0，2a−1>0.所以11−a +21−b=11−a+21−12a=11−a+4a2a−1=11−a+22a−1+2=22−2a+22a−1+2=(22−2a+22a−1)⋅[(2−2a)+(2a−1)]+2=2(2a−1)2−2a +2(2−2a)2a−1+6≥2√4+6=10，当且仅当2−2a=2a−1，ab=12，即a=34，b=23时，等号成立，所以11−a +21−b的最小值为10.【解析】本题主要考查函数奇偶性和最值的应用，结合指数幂的运算以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．(1)利用函数奇偶性定义求解即可；(2)利用函数的最值，结合基本不等式进行求解即可．20.【答案】(1)证明：因为三棱柱ABC−A1B1C1的底面ABC为正三角形，D是AB的中点，所以CD⊥AB.又在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BB1，∠ABB1=60∘，所以B1D⊥AB.因为CD∩B1D=D，且CD与B1D都属于平面B1DC，所以AB⊥平面B1DC.因为AB⊂平面AA1B1B，所以平面B1DC⊥平面AA1B1B(2)解：因为平面AA1B1B⊥底面ABC，平面AA1B1B∩底面ABC=AB，B1D⊥AB，所以B1D⊥底面ABC.故以D 为坐标原点，DB ，DC ，DB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz.设AB =2，则A(−1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,√3,0)，B 1(0,0,√3)， 则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0)，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,−√3)，B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,0). 设平面BCB 1的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 平面CB 1A 1的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2).由{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{−x 1+√3y 1=0,√3y 1−√3z 1=0,取x 1=√3，得n 1⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,1); 由{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{−2x 2=0,√3y 2−√3z 2=0,取y 2=1，得n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1). 所以cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×√2=√105， 由图知二面角B −CB 1−A 1是钝二面角， 所以二面角B −CB 1−A 1的余弦值为−√105.【解析】本题主要考查的是面面垂直的判定以及二面角的求解，属于中档题. (1)利用线面垂直得到面面垂直；(2)建立空间坐标系，利用法向量，求解二面角即可.21.【答案】(1)解：由题得x+√6⋅x−√6=−13，化简得x 26+y 22=1(|x|≠√6)，所以C 是中心在原点，焦点在x 轴上，不含左、右顶点的椭圆. (2)证明：由(1)知直线l 与x 轴不重合，可设l:x =my +2， 联立{x =my +2,x 26+y 22=1,得(m 2+3)y 2+4my −2=0.设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−4mm 2+3，y 1y 2=−2m 2+3，Δ=24m 2+24>0，所以m =12(1y 1+1y 2).因为G(3,y 1)，Q(my 2+2,y 2)，所以直线QG 的斜率为y 2−y 1my2−1=y 2−y 112(1y 1+1y 2)y 2−1=2y 1，所以直线QG 的方程为y −y 1=2y 1(x −3)，所以直线QG 过定点H(52,0). 因为OM ⊥QG ，所以△OHM 为直角三角形，取OH 的中点N(54,0)，则|MN|=12|OH|=54，即|MN|为定值. 综上，存在定点N(54,0)，使得|MN|为定值.【解析】本题主要考查直线的斜率，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查一元二次方程根与系数的关系，考查圆锥曲线中的轨迹方程，属于中档题. (1)分别求由直线AE 与BE 的的斜率，根据直线AE 与BE 的斜率之积为−13，化简即可求曲曲线C 的方程，注意直线 AE 与BE 斜率的条件;(2)由(1)知直线l 与x 轴不重合，可设l:x =my +2，联立{x =my +2,x 26+y 22=1,得(m 2+3)y 2+4my −2=0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−4mm 2+3，y 1y 2=−2m 2+3，求出m ，由G(3,y 1)，Q(my 2+2,y 2)，求出直线QG 的斜率及直线方程，求出直线QG 过定点H ，由OM ⊥QG ，则△OHM 为直角三角形，取OH 的中点N ，即可求出|MN|为定值.22.【答案】解：(1)f′(x)=ax −1=a−x x(x >0).①若a ≤0，则f′(x)<0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减; ②若a >0，令f′(x)=0，得x =a.当x ∈(0,a)时，f′(x)>0;当x ∈(a,+∞)时，f′(x)<0， 则f(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减.(2)不等式f(x)≤1x −2e 等价于alnx −x −1x +2e ≤0在(0,+∞)上恒成立， 令g(x)=alnx −x −1x +2e ， 则g′(x)=ax −1+1x 2=−x 2−ax−1x 2，对于二次函数y =x 2−ax −1，△=a 2+4>0，所以其必有两个零点，又两零点之积为−1，所以两个零点一正一负，设其中一个零点x0∈(0,+∞)，则x02−ax0−1=0，即a=x0−1x0，则0<x<x0时，g′(x)>0;x>x0时，g′(x)<0，此时g(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0,+∞)上单调递减，故g(x0)≤0，即(x0−1x0)lnx0−x0−1x0+2e≤0，设函数ℎ(x)=(x−1x )lnx−x−1x+2e，则ℎ′(x)=(1+1x2)lnx+1−1x2−1+1x2=(1+1x2)lnx.当x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0;当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增.又ℎ(1e)=ℎ(e)=0，所以x0∈[1e,e]，由a=x0−1x0在[1e,e]上单调递增，得a∈[1e−e,e−1e].故a的取值范围为[1e −e,e−1e].【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，二次函数的零点与一元二次方程的关系，不等式的恒成立问题的应用.(1)根据已知及利用导数研究函数的单调性的计算，分a>0、a≤0两种情况讨论f(x)的单调性；(2)根据已知及利用导数研究函数的单调性，二次函数的零点与一元二次方程的关系，不等式的恒成立问题的计算，构造函数，结合导函数，求出a的取值范围．第21页，共21页。
江苏省2021届高三上学期第二次百校联考 数学试题含答案
ex − mxe (ln x +1) ≥ [ f (x) − x3 − 3x2 + e]xe 对任意 x ∈ (1， +∞ )恒成立，则
A．a＝3
B．b＝1
C．m 的值可能是﹣e
D．m 的值可能是 − 1 e
三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置
2
2 π ]上有且仅有 4 个零点，则下列结论正确的是
A． ω ＝2
B．ϕ = π 6
C． f (x) 在( − π ，0)上单调递增 3
D． f (x) 在(0，2 π )上有 3 个极小值点
12．经研究发现：任意一个三次多项式函数 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a≠0)的图象都只有一
10．已知实数 x，y 满足﹣3＜x＋2y＜2，﹣1＜2x﹣y＜4，则
A．x 的取值范围为(﹣1，2)
B．y 的取值范围为(﹣2，1)
C．x＋y 的取值范围为(﹣3，3)
D．x﹣y 的取值范围为(﹣1，3)
11．已知函数 f (x) = 2sin(ωx + ϕ) ( ω ∈ N∗ ， ϕ < π )的图象经过点 A(0， 3 )，且 f (x) 在[0，
至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
r
r
r
9．已知向量 a ＝(1，3)， b ＝(﹣2，1)， c ＝(3，﹣5)，则
r rr A．( a ＋2 b )∥ c
rr C． a + c = 10 + 34
r rr B．( a ＋2 b )⊥ c
rr r D． a + c = 2 b
江苏省苏州市2021届高三第一学期开学调研数学试卷
江苏省苏州市2020～2021学年第一学期高三期初调研试卷数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．集合A ＝{}2230x x x --≤，B ＝{}1x x >，A B ＝A ．(1，3)B ．(1，3]C ．[﹣1，+∞)D ．(1，+∞)2．复数z 满足(1＋i)z ＝2＋3i ，则z 在复平面表示的点所在的象限为 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．421(2)x x-的展开式中x 的系数为 A ．﹣32B ．32C ．﹣8D ．84．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，2σ)，若P(ξ＜4)＝0.9，则P(﹣2＜ξ＜1)为 A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4 D ．0.65．在△ABC 中，AB+AC=2AD ，AE+2DE=0，若EB=XAB+YAC ，则 A ．y ＝2x B ．y ＝﹣2x C ．x ＝2y D ．x ＝﹣2y6．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵，记鲑鱼的游速为v (单位：m /s )，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ．科学研究发现v 与3Qlog 100成正比，当v ＝1m /s 时，鲑的耗氧量的单位数为900．当v ＝2m /s 时，其耗氧量的单位数为 A ．1800 B ．2700 C ．7290 D ．81007．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则下列四个命题不正确的是 A ．直线BC 与平面ABC 1D 1所成的角等于4πB ．点C 到面ABC 1D 1 C ．两条异面直线D 1C 和BC 1所成的角为4πD ．三棱柱AA 1D 1—BB 1C 1外接球半径为3 8．设a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，则12a a a b++ A ．有最小值为4B ．有最小值为221+ C ．有最小值为143D ．无最小值 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．A ，B 是不在平面α内的任意两点，则A ．在α内存在直线与直线AB 异面B ．在α内存在直线与直线AB 相交C ．存在过直线AB 的平面与α垂直D ．在α内存在直线与直线AB 平行10．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A(3，33-)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足()Ry f t ==sin()t ωϕ+(t ≥0，ω＞0，2πϕ<)，则下列叙述正确的是 A ．3πϕ=-B ．当t ∈(0，60]时，函数()y f t =单调递增C ．当t ∈(0，60]时，()f t 的最大值为33D ．当t ＝100时，PA 6=11．把方程1x x y y +=表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有 A ．()y f x =的图象不经过第三象限 B ．()f x 在R 上单调递增C ．()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D ．函数()()g x f x x =+不存在零点 12．数列{}n a 为等比数列 A ．{}1n n a a ++为等比数列 B ．{}1n n a a +为等比数列 C ．{}221n n a a ++为等比数列D ．{}n S 不为等比数列(n S 为数列{}n a 的前n 项和三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知tan 2α=，则cos(2)2πα+＝．14．已知正方体棱长为2，以正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为．15．直线40kx y ++=将圆C ：2220x y y +-=分割成两段圆弧之比为3：1，则k ＝． 16．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ．现在以下三个条件：①(2c ＋b)cosA ＋acosB ＝0；②sin 2B ＋sin 2C ﹣sin 2A ＋sinBsinC ＝0；③a 2﹣b 2﹣c 2＝3S ．请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．已知向量m ＝(4sin x ，，n ＝(cos x ，sin 2x )，函数()23f x m n =⋅-，在△ABC 中，a ＝()3f π，且，求2b ＋c 的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前 3项．（1）求{}n a ，{}n b ； （2）设1(1)n n n n c b a a =++，求{}n c 的前n 项和n S ．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S —ABCD 中，ABCD 是边长为4的正方形，SD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，SC 的中点．（1）证明：EF ∥平面SAD ；（2）若SD ＝8，求二面角D —EF —S 的正弦值．20．（本小题满分12分）某省2021年开始将全面实施新高考方案，在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．（1）某校生物学科获得A 等级的共有10名学生，其原始分及转换分如表：现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y 服从正态分布N(75.8，36)．若Y~N(μ，2σ)，令Y μησ-=，则η~N(0，1)，请解决下列问题：①若以此次高一学生生物学科原始分C 等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留整数）②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记ξ为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求P(ξ＝k )取得最大值时k 的值．附：若η~N(0，1)，则P(η≤0.8)≈0.788，P(η≤1.04)≈0.85． 21．（本小题满分12分）如图，已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的长轴两个端点分别为A ，B ，P(0x ，0y )(0y ＞0)是椭圆上的动点，以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ，使AD ＝kb (k ＞0)，PD 交AB 于 E ，PC 交AB 于F ．（1）若k ＝1，△PCD 的最大面积为12，离心率为3，求椭圆方程； （2）若AE ，EF ，FB 成等比数列，求k 的值．22．（本小题满分12分）已知函数()ln sin 1f x x x x =-++．（1）求证：()f x 的导函数()f x '在(0，π)上存在一零点； （2）求证：()f x 有且仅有两个不同的零点．。
苏州中学2021届10月月考高三数学试卷
2 2 4 5 2 江苏省苏州中学 2020-2021 学年第一学期调研考试 高三数学一、 单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分．1．已知集合 A = {x | x 2- x - 2 ≤ 0}， B = {x | y = x }，则 A B = （）A. {x | -1 ≤ x ≤ 2}B. {x | 0 ≤ x ≤ 2}C. {x | x ≥ -1}D. {x | x ≥ 0}⎛ π ⎫ 3 ⎛ π ⎫2．已知sin α - ⎪ = ,α ∈ 0, ⎪， 则 cos α = ( )⎝ ⎭ ⎝ ⎭A.B.1010C.D.2103 若 b < a < 0 ，则下列不等式：① a > b ；② a + b < ab ；③ ab正确的不等式的有( ) < 2a - b 中，A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个4 若函数 f (x ) = ax 2 + bx (a > 0,b > 0) 的图象在点(1,f (1)) 处的切线斜率为 2 ， 8a + b 则的最小值是( )abA ．10B ． 9C ．8D ． 35 Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I (t ) （t 的单位：天）的 Logistic 模型： I (t )= K1 + e -0.23(t -53) ，其中 K 为最大确诊病例数．当 I (t * ) = 0.95K 时，标志着已初步 遏制疫情，则 t * 约为( ) (ln19 ≈ 3) A ． 60B ． 63C ． 66D ． 693 2 7 2 22⎨ ,⎧x l n x , 6 已知函数 f (x ) = ⎪x ⎪⎩ e xx > 0 x ≤ 0 则函数 y = f (1- x ) 的图象大致是( )A.B.C.D.7 若定义在 R 上的奇函数 f (x )满足对任意的 x ∈R ，都有 f (x ＋2)＝－f (x )成立， 且 f (1)＝8，则 f (2 019)，f (2 020)，f (2 021)的大小关系是( ) A ．f (2 019)<f (2 020)<f (2 021) B ．f (2 019)>f (2 020)>f (2 021) C ．f (2 020)>f (2 019)>f (2 021)D ．f (2 020)<f (2 021)<f (2 019)8 地面上有两座相距 120 m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为 α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为α 2，且在两塔底连线的中点 O 处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为( )A. 50 m ，100 mB. 40 m ，90 mC. 40 m ，50 mD. 30 m ，40 m二、 多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．9 等腰直角三角形直角边长为 1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( ) B. (1 + 2)πC. 2 2πD. (2 +2π)A.2π－ 210 关于 x 的不等式(ax -1)(x + 2a -1) > 0 的解集中恰有 3 个整数，则 a 的值可以为 ( ) A ．2B ．1C ．－1D ． 111 声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y = A sin ωt ,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学 模型是函数 f (x ) = sin x + 1sin 2x ,则下列结论正确的是（ ）2A. 2π 是 f ( x ) 的一个周期B. f ( x ) 在 0, 2π 上有3 个零点C. f ( x )最大值为3 3 D. f (x ) 在⎡0, π ⎤上是增函数4⎢⎣ 2 ⎥⎦12 对于具有相同定义域 D 的函数 f (x ) 和 g (x ) ，若存在函数 h (x ) = kx + b （ k ，b为常数），对任给的正数 m ，存在相应的 x 0 ∈ D ，使得当 x ∈ D 且 x > x 0 时，总有⎧0 < f (x ) - h (x ) < m⎨0 < h (x ) - g (x ) < m 则称直线l : y = kx + b 为曲线 y = f (x ) 与 y = g (x ) 的“分⎩， 渐近线”. 给出定义域均为 D= {x x > 1} 的四组函数, 其中曲线 y = f (x ) 与y = g (x ) 存在“分渐近线”的是( )A. f (x ) = x 2 ， g (x ) =B. f (x ) = 10- x+ 2 ， g (x ) =2x - 3xC. f (x ) = x 2 +1x， g (x ) =x ln x +1 ln xD. f (x ) = 2x 2x +1， g (x ) = 2(x -1- e - x )二、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13 若二次函数 f (x )＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1 有一个零点小于－1，一个零点大于 3， 则实数 a 的取值范围是_ ．x14 在整数集Z 中，被5 除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k 丨n∈Z}，k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2020∈[0]；②-3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]④“整数a,b 属于同一“类”的充要条件是“a -b ∈[0]”.其中正确结论有（填写正确结论标号）．15 已知sin θ＋cos θ＝7，θ∈(0，π)，则tan θ＝.1316 A、B、C 是平面上任意不同三点，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则y＝c＋b a +b c的最小值是．四、解答题：本题共6 小题，第17 题为10 分，第18-22 题每题12 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合A＝{x|y＝log2(－4x2＋15x－9)，x∈R}，B＝{x||x－m|≥1，x∈R}．(1)求集合A；(2)若p：x∈A，q：x∈B，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18.已知函数f (x)＝A sin(ωx＋φ)⎛A>0，ω>0，0<φ<π⎫的部分图象如图所示，其中点⎝2⎭P(1,2)为函数f(x)图象的一个最高点，Q(4,0)为函数f(x)的图象与x轴的一个交点，O 为坐标原点．(1)求函数f (x)的解析式；(2)将函数y＝f (x)的图象向右平移2 个单位长度得到y＝g(x)的图象，求函数h(x)＝f (x)·g(x)的图象的对称中心．19.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC 和△AA1C 均是边长为2 的等边三角形，点O 为AC 中点，平面AA1C1C⊥平面ABC.(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求直线AB 与平面A1BC1所成角的正弦值．20.已知函数f (x)＝x2＋(x－1)|x-a|．(1)若a＝－1，解方程f (x)＝1；(2)若函数f (x)在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(3)若a<1，且不等式f (x)≥2x－3 对一切实数x∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．21 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别为 A、B，焦距为 2，直线 l 与椭圆交于 C，D 两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l 过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴时，四边形ABCD 的面积为6．(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线AC, BD 的斜率分别为k1 , k2 ．①若k2 = 3k1，求证：直线l 过定点；②若直线l 过椭圆的右焦点F，试判断k1是否为定值，并说明理由．k222 设函数f (x)= ln (x + 1)+a (x2-x )，其中a ∈R ．(1)讨论函数f (x)极值点的个数，并说明理由；(2)若∀x > 0, f (x)≥ 0 成立，求a 的取值范围．。
2021届江苏省苏州中学高三(10月份)调研数学试题(解析版)
2021届江苏省苏州中学高三（10月份）调研数学试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =--≤，{B x y ==，则A B =（ ）A ．{}12x x -≤≤ B ．{}02x x ≤≤ C ．{}1x x ≥- D ．{}0x x ≥【答案】C【分析】根据一元二次不等式的解法以及定义域的求法化简集合，再进行并集运算. 【详解】∵集合{}220A x x x =--≤，∴集合{}|12A x x =-≤≤∵集合{B x y ==，∴集合{}0B x x =≥∴{}1A B x x ⋃=≥- 故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，涉及了一元二次不等式的解法，定义域的求解，属于基础题. 2．已知345sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A ．B C D 【答案】A【分析】利用角的变换cos cos 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦化简，求值. 【详解】0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,444πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭4cos 45πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4355=-=. 故选：A【点睛】本题考查三角函数给值求在值，意在考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.3．若0b a <<，则下列不等式：① a b >；② a b ab +<；③22a a b b<-中，正确的不等式的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】C【分析】根据不等式的性质以及2()0a b ->即可判断正误. 【详解】由0b a <<知：||||b a >，0a b ab +<<，而2()0a b ->，则有222a b ab +>，即22a a b b<-， 即②③都正确. 故选：C【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.4．函数2()(0,0)f x ax bx a b =+>>在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，则8a bab+的最小值是（ ） A ．10 B ．9C ．8D．【答案】B【解析】对函数求导可得，()'2.f x ax b =+根据导数的几何意义，()'122f a b =+=，即b1.2a += 8a b ab +=81b a +=(81b a +)·b (2a +)=8a b 2b a +，当且仅当228a b2a b b a +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.所以8a b ab +的最小值是9. 故选B.点睛：本题主要考查导数的几何意义，求分式的最值结合了重要不等式，“1”的巧用，注意取等条件5．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A ．60 B ．63 C ．66 D ．69【答案】C【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.6．已知函数ln ,0(),0e xx x x f x x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题可用特殊值排除法解决问题,代入特殊值0x =、1x =故排除CD ；当0x <时,利用导数判断单调性,排除A,当01x <<时, ()10y f x =-<,当1x >时,()10y f x =-<,即可得出最后答案. 【详解】解：①当0x =时,()()1011ln10y f f =-==⨯=；②当1x =时,()()1100ln00y f f =-==⨯=；故排除CD;③ 当0x <时,11x ->,所以()()()1l 11n y f x x x -==--()()()()'''1ln 11ln 1x x y x x --+--= ()()()'1ln 1111x x x x=--+--- ()ln 110x =---<所以()1y f x =-在0x <时单调递减,故排除A. ④当01x <<时,011x <-<,()()()1l 11n y f x x x -==--11x,()ln 10x -<,()()()1n 101l x x y f x -∴=--<=,故B 符合,⑤当1x >时,10x -<()11e 1xx xy f --=-=, 110,0e xx ,()110e 1xy f x x--∴==<-,故B 符合. 故选：B【点睛】本题考查函数图象,分段讨论图象的单调性、值域,利用排除法即可解得. 7．若定义在R 上的奇函数()f x 满足对任意的x ∈R ，都有()()2f x f x +=-成立，且()18f =，则()2019f ，()2020f ，()2021f 的大小关系是（ ） A ．()()()201920202021f f f << B ．()()()201920202021f f f >> C ．()()()202020192021f f f >> D ．()()()202020212019f f f <<【答案】A【分析】由()()2f x f x +=-，可推出()()4f x f x +=，从而可知函数()f x 是周期函数，周期为4，进而可得出()()20191f f =-，()()20200f f =，()()20211f f =，然后根据()f x 是R 上的奇函数，求出三个函数值，即可得出答案.【详解】因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 是周期函数，周期为4，又函数()f x 是R 上的奇函数，所以()00=f ，()()118f f -=-=-，则()()()2019318f f f ==-=-，()()202000f f ==，()()202118f f ==， 所以()()()201920202021f f f <<. 故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.8．地面上有两座相距120 m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为2α，且在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为（ ） A ．50 m ，100 m B ．40 m ，90 m C ．40 m ，50 m D ．30 m ，40 m【答案】B【分析】在直角三角形中分别表示α、2α的正切值，由二倍角公式把二者联系起来，再分别表示β、2πβ-的正切值，根据互余二者联系起来，然后再解两个不等式组成的方程组可得解.【详解】设高塔高H m ，矮塔高h m ，在O 点望高塔塔顶的仰角为β. 则tan tan 1202120H h αα==，， 根据三角函数的倍角公式有221201201120hH h ⨯=⎛⎫- ⎪⎝⎭①因为在两塔底连线的中点O 望两塔塔顶的仰角互为余角， 所以在O 点望矮塔顶的仰角为2πβ-，由tan 60H β=，tan 260hπβ⎛⎫-=⎪⎝⎭，得6060H h =.② 联立①②解得H ＝90，h ＝40. 即两座塔的高度分别为40 m ，90 m. 故选：B.【点睛】本题主要考查解三角形的实际应用，二倍角的正切公式、诱导公式.二、多选题9．等腰直角三角形直角边长为1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周 ，则所形成的几何体的表面积可以为（ ）A B ．(1π+C ．D ．(2π+【答案】AB【分析】分2种情况，一种是绕直角边，一种是绕斜边，分别求形成几何体的表面积. 【详解】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角，所以所形成的几何体的表面积是)22111S rl r πππππ=+=⨯⨯=.如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高2，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以写成的几何体的表面积221S rl ππ=⨯=⨯=.综上可知形成几何体的表面积是)1π.故选：AB【点睛】本题考查旋转体的表面积，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型. 10．关于x 的不等式()()1210ax x a -+->的解集中恰有3个整数，则a 的值可以为（ ） A ．12-B ．1C ．－1D ．2【答案】AC【分析】由题意先判断出0a <，写出不等式的解集，由不等式()()1210ax x a -+->的解集中恰有3个整数，则这3个整数中一定有0和1,所以分这3个数为101-，，，或0,1,2，分别计算求解即可.【详解】不等式()()1210ax x a -+->的解集中恰有3个整数 当0a =时，不等式化为10x -<，则解集中有无数个整数. 当0a >时，不等式()()1210ax x a -+->的解集中有无数个整数. 所以0a <，10a <，121a ->，所以112a a<- 所以不等式的解集为：1|12x x a a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭，由不等式()()1210ax x a -+->的解集中恰有3个整数，则这3个整数中一定有0和1.则这3个整数为：101-，，，或0,1,2， 若这3个整数为：101-，，，则122121a a -≤⎧⎪⎨-≤<-⎪⎩， 解得：12a =-若这3个整数为：0,1,2，则212311a a<-≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩，解得：1a =-所以实数a 的取值集合是1,12⎧⎫--⎨⎬⎩⎭. 故选：AC.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，考查分类讨论思想的应用，属于中档题.11．声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数sin y A t ω=,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()1sin sin 22f x x x =+,则下列结论正确的是（ ）A ．2π是()f x 的一个周期B ．()f x 在0,2π上有3个零点C ．()f x 的最大值为4D ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 【答案】ABC【分析】①分别计算sin y x =和1sin 22y x =的周期,再求其最小公倍数即可得到()f x 的周期.②令0f x即可求得零点.③对()f x 求导,令()'0f x =,判断单调性即可求得极值.④对()f x 求导,令()'0f x >,即可求出单调递增区间. 【详解】解：因为：()1sin sin 22f x x x =+ ①sin y x =的周期是2π,1sin 22y x =的周期是22ππ=, 所以()1sin sin 22f x x x =+的周期是2π,故A 正确. ②当()1sin sin 202f x x x =+=,[]0,2x π∈时,sin sin cos 0x x x +=sin (1cos )0x x +=sin 0x =或1cos 0x +=解得0x =或32x π=或2x π=, 所以()f x 在0,2π上有3个零点,故B 正确. ③()1sin sin 22f x x x =+()sin sin cos f x x x x =+()'22cos cos sin f x x x x =+-22cos cos 1x x =+-令()'0f x =,求得1cos 2x =或cos 1x =-, 因为()f x 在11,2 单调递增,在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,所以1cos 2x =时取得最大值,则sin x =()max 12224f x =+⨯=,故C 正确. ④由③得()'22cos cos 1f x x x =+-, 要求增区间则()'0f x >, 即cos 1x <-（不成立）,或1cos 12x <≤, 所以0223k x k +≤<+πππ所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数是错误的,故D 错误. 故选：ABC【点睛】本意考查正弦、余弦函数的周期性、零点、单调性、极值,利用导数法求单调性和极值会使计算简便.12．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k ，b为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有()()()()00f x h x mh x g x m ⎧<-<⎪⎨<-<⎪⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”.给出定义域均为{}|1D x x =>的四组函数，其中曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是（ ）A ．()2f x x =，()g x =B ．()102xf x -=+，()23x g x x-=C ．()21x f x x+=，()ln 1ln x x g x x +=D ．()221x f x x =+，()()21xg x x e -=--【答案】BD【分析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数. 【详解】解：()f x 和()g x 存在分渐近线的充要条件是x →∞时，()()0,()()f x g x f x g x -→>．对于①，()2f x x =，()g x =当1x >时，令()()()2F x f x g x x =-=，由于()20F x x '=->，所以()h x 为增函数，不符合x →∞时，()()0f x g x -→，所以不存在分渐近线； 对于②，()1022xf x -=+>，()232,(1)x g x x x-=<> ()()f x g x ∴>，2313()()10210xxx f x g x x x--⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，因为当1x >且x →∞时，()()0f x g x -→，所以存在分渐近线；对于③，21()x f x x+=，ln 1()ln x x g x x +=，21111111()()ln ln ln x x nx f x g x x x x x x x x x++-=-=+--=-当1x >且x →∞时，1x 与1ln x 均单调递减，但1x的递减速度比1ln x 快，所以当x →∞时，()()f x g x -会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④，22()1x f x x =+，()()21xg x x e -=--，当x →∞时，22()()220+1222+1x x x f x g x x e x x e--=-+++=→，且()()0f x g x ->，因此存在分渐近线． 故存在分渐近线的是BD ． 故选：BD ．【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.三、填空题13．若二次函数()2241f x x ax a =-+++有一个零点小于1-，一个零点大于3，则实数a 的取值范围是____________.【答案】4,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由二次函数()2241f x x ax a =-+++的图象开口向下，且在区间(),1-∞-，()3,+∞内各有一个零点，可得()()1030f f ->⎧⎪⎨>⎪⎩，求解即可. 【详解】因为二次函数()2241f x x ax a =-+++的图象开口向下，且在区间(),1-∞-，()3,+∞内各有一个零点，所以()()112410396410f a a f a a -=--++>⎧⎪⎨=-+++>⎪⎩，解得45a >.所以实数a 的取值范围是4,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 故答案为：4,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查二次函数的零点分布，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 14．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k | n ∈Z}，k ＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 014∈[4]； ②－3∈[3]； ③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中，正确的结论是________． 【答案】①③④【分析】对各个选项分别进行分析，利用类的定义直接求解． 【详解】在①中，∵2014÷5＝402…4，∴2014∈[4]，故①正确； 在②中，∵﹣3＝5×（﹣1）+2，∴﹣3∉[3]，故②错误； 在③中，∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类， ∴Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确； 在④中，∵2015÷5＝403，2010÷5＝402， ∴2015与2010属于同一个“类”[0]，故④正确． 故答案为①③④．【点睛】本题为同余的性质的考查，具有一定的创新，关键是对题中“类”的题解，属基础题．15．已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.【答案】125-【分析】已知等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简，求出2sin cos αα的值小于0，得到sin 0α>，cos 0α<，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sin α与cos α的值，即可求出tan α的值． 【详解】解：将已知等式7sin cos 13αα+=①两边平方得：22249(sin cos )sin 2sin cos cos 12sin cos 169αααααααα+=++=+=， 1202sin cos 0169αα∴=-<， 0απ<<，sin 0α∴>，cos 0α<，即sin cos 0αα->，2289(sin cos )12sin cos 169αααα∴-=-=， 17sin cos 13αα∴-=②， 联立①②，解得：12sin 13α=，5cos 13α=-，则12tan 5α=-． 故答案为：125-． 【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，以及完全平方公式的应用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于中档题．四、解答题16．已知A 、B 、C 是平面上任意三点，且BC a =，=CA b ，AB c =.则c by a b c=++的最小值是______.12【详解】依题意，得b c a +，于是 1c b c b c y a b c a b c+=+=+-++ 12c b c b c a b c+++=+-+ 11122222c a b c c a b a b c a b c ++++-=+--++17．已知集合(){}22|log 4159,A x y x x x ==-+-∈R ，{}|1,B xx m x =-≥∈R ‖ （1）求集合A ；（2）若p ：x A ∈，q ：x B ∈，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）3|34A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭（2）[)1,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【分析】(1)在函数有意义的条件下，解一元二次不等式、绝对值不等式即可． （2）从集合的角度理解充分不必要条件，再由集合的包含关系求解即可． 【详解】解：（1）∵(){}22|log 4159,A x y x x x R ==-+-∈ ∴241590x x -+->，则(3)(43)0x x --< ∴334x <<，∴3|34A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭. （2）∵{}|1,B xx m x =-≥∈R ‖ ∴由||1x m -≥可得：1x m -≥或1x m -≤- ∴1x m ≥+或1x m -≤ ∴{|1B x x m =≥+或}1x m ≤- ∵p ：x A ∈，q ：x B ∈， 且p 是q 的充分不必要条件 ∴13m -≥或314m +≤ ∴4m ≥或14m ≤-∴实数m 的取值范围是[)1,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查不等式的解法以及充分条件与必要条件，属于基础题． 18．已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，其中点(1,2)P 为函数图象的一个最高点，(4,0)Q 为函数图象与x 轴的一个交点，O 为坐标原点．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移2个单位得到()y g x =的图象，求函数()()()h x f x g x =⋅图象的对称中心．【答案】（Ⅰ）()2sin()63f x x ππ=+；（Ⅱ）1(3,1)()2k k Z +∈． 【解析】试题分析：（Ⅰ）要确定()sin()f x A x ωϕ=+的解析式，利用最高点确定A ，由P 、Q 两点确定周期，从而可确定ω，再结合五点法（或正弦函数的性质）可确定ϕ；（Ⅱ）由平移变换得出()g x 的表达式，从而求出()()f x g x ，展开后用二倍角公式和两角差的正弦公式化函数为一个三角函数，同样结合正弦函数的性质可得对称中心． 试题解析：（Ⅰ）由题意得振幅2A =，周期4(41)12T =⨯-=，又212πω=，则6πω=将点(1,2)P 代入()2sin()6f x x πϕ=+，得sin()16x πϕ+=，∵02πϕ<<， ∴3πϕ=，故()2sin()63f x x ππ=+．（Ⅱ）由题意可得()2sin (2)2sin 636g x x x πππ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦．∴2()()()4sin()sin 2sin 23cos 636666h x f x g x x x x x x ππππππ=⋅=+⋅=+⋅1cos312sin()3336x x x ππππ=-=+-．由36x k πππ-=得13()2x k k Z =+∈∴()y h x =图像的对称中心为1(3,1)()2k k Z +∈【解析】函数()sin()f x A x ωϕ=+的解析式与性质．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆和△1AA C 均是边长为2的等边三角形，点O 为AC 中点，平面11AA C C ⊥平面ABC ．（1）证明：1A O ⊥平面ABC ；（2）求直线AB 与平面11A BC 所成角的正弦值． 【答案】（1）理由见解析；（2）64【分析】（1）证明1A O AC ⊥，通过平面11AA C C ⊥平面ABC ，推出1A O ⊥平面ABC ． （2）如图，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面11A BC 的法向量为(,,)n x y z =，设直线AB 与平面11A BC 所成角为α，利用空间向量的数量积求解即可． 【详解】（1）证明：11AA AC =，且O 为AC 的中点， 1A O AC ∴⊥，又平面11AA C C ⊥平面ABC ，且交线为AC ，又1AO ⊂平面11AAC C ， 1A O ∴⊥平面ABC ；（2）解：如图，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．由已知可得(0O ，0，0)(0A ，1-，110),(3,0,0),(0,0,3)(0,2,3)B A C ， 1(3,0,3)A B =-，11(3,1,0),(0,2,0)AB AC == 平面11A BC 的法向量为(,,)n x y z =，则有20330y x z =⎧⎪⎨-=⎪⎩，所以n 的一组解为(1,0,1)n =， 设直线AB 与平面11A BC 所成角为α， 则sin cos ,AB n α=又·36cos ,22AB n AB n AB n===， 所以直线AB 与平面11A BC 所成角的正弦值：64． 【点睛】关键点睛：解题的关键在平面与平面垂直的判断定理的应用，以及利用法向量求解直线与平面所成角，主要考查学生空间想象能力以及计算能力，难度属于中档题 20．已知函数2()(1)f x x x x a =+--． （1）若1a =-，解方程()1f x =；（2）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a <且不等式()23f x x ≥-对一切实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围 【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）当1a =-时，， 故有221,1(){1,1x x f x x -≥-=<-，当1x ≥-时，由()1f x =，有2211x -=，解得1x =或1x =- 当1x <-时，()1f x =恒成立 ∴ 方程的解集为或（2）22(1),(){(1),x a x a x af x a x a x a-++≥=+-<，若在上单调递增，则有1{410a a a +≤+>， 解得，13a ≥∴ 当13a ≥时，在上单调递增（3）设()()(23)g x f x x =--则22(3)3,(){(1)3,x a x a x ag x a x a x a-+++≥=--+< 不等式()23f x x ≥-对一切实数x ∈R 恒成立，等价于不等式()0g x ≥对一切实数x ∈R 恒成立．1a <，∴当(,)x a ∈-∞时，()g x 单调递减，其值域为2(23,)a a -++∞，由于2223(1)22a a a -+=-+≥，所以()0g x ≥成立． 当[,)x a ∈+∞时，由1a <，知34a a +<， ()g x 在34a x +=处取最小值， 令，得35a -≤≤，又1a <，所以31a -≤<综上，[3,1a ∈-）．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，直线l 与椭圆交于,CD 两点（均异于椭圆的左、右顶点）.当直线l过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴时，四边形ACBD 的面积为6. （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线,AC BD 的斜率分别为12,k k . ①若213k k =，求证：直线l 过定点；②若直线l 过椭圆的右焦点F ，试判断12k k 是否为定值，并说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）①证明见解析；②1231k k = 【分析】（1）由题意焦距为2，设点0(1,)C y ，代入椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，解得20b y a=±，从而四边形ACBD 的面积226222ABC b S a b a ∆===，由此能求出椭圆的标准方程．（2）①由题意1:(2)AC y k x =+，联立直线与椭圆的方程22143x y +=，得22211(34)16120k x k ++-=，推导出212186(34k C k --+，12112)34k k +，222286(34k D k -+，22212)34k k -+，由此猜想：直线l 过定点(1,0)P ，从而能证明P ，C ，D 三点共线，直线l 过定点(1,0)P ． ②由题意设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，直线:1l x my =+，代入椭圆标准方程：22143x y +=，得22(34)690m y my ++-=，推导出122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，由此推导出111121212122212112222(2)(1)1(2)(3)332y k x y x y my my y y y k y x y my my y y x +---=====+++-（定值）．【详解】（1）由题意焦距为2，可设点0(1,)C y ，代入椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，得202211y a b +=，解得20b y a =±， ∴四边形ACBD 的面积226222ABCb S a b a∆===，23b ∴=，24a =，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）①由题意1:(2)AC y k x =+，联立直线与椭圆的方程22143x y +=，得22211(34)16120k x k ++-=，211211612234k x k -∴-=+，解得211216834k x k -=+，从而11112112(1)34k y k x k =+=+， 212186(34k C k -∴-+，12112)34k k +，同理可得222286(34k D k -+，22212)34k k -+， 猜想：直线l 过定点(1,0)P ，下证之：213k k =，12221222122212121234348686113434PC PDk k k k k k k k k k -++∴-=------++ 1211112222221211114124364401449143691414k k k k k k k k k k k k =+=+=-=------，P ∴，C ，D 三点共线，∴直线l 过定点(1,0)P ．②12k k 为定值，理由如下： 由题意设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，直线:1l x my =+，代入椭圆标准方程：22143x y +=，得22(34)690m y my ++-=，1,2y ∴=，122634m y y m ∴+=-+，122934y y m =-+， ∴111121212122212112222(2)(1)(2)(3)32y k x y x y my my y y y k y x y my my y y x +---====+++- 222222222963()34343499333434m m my y m m m m m y y m m -----++++==-+-+++2222313493334my m m y m -++==-++（定值）． 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线过定点的证明，考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题． 22．设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a R ∈.（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若()0,0x f x ∀>≥成立，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）a 的取值范围是[]0,1.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求()2121211ax ax a f x ax a x x ++-=+-='++，令()221g x ax ax a =++-通过对a 的取值的讨论，结合二次函数的知识，由导数的符号得到函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）根据（1）的结果()00=f 这一特殊性，通过对参数的讨论确定a 的取值范围.试题解析：函数()()()2ln 1f x x a x x =++-的定义域为()1,-+∞()2121211ax ax a f x ax a x x ++-=+-='++ 令()221g x ax ax a =++-，()1,x ∈-+∞（1）当0a = 时，()10g x => ，()0f x '> 在()1,-+∞上恒成立 所以，函数()f x 在()1,-+∞上单调递增无极值； （2）当0a > 时， ()()28198a a a a a ∆=--=-①当809a <≤时，0∆≤ ，()0g x ≥ 所以，()0f x '≥，函数()f x 在()1,-+∞上单调递增无极值； ②当89a >时，0∆> 设方程2210ax ax a ++-=的两根为1212,(),x x x x <因为1212x x +=-所以，1211,44x x -- 由()110g -=>可得：111,4x -<<- 所以，当()11,x x ∈-时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时，()()0,0g x f x '<< ，函数()f x 单调递减； 当()2,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增； 因此函数()f x 有两个极值点．（3）当0a < 时，0∆>由()110g -=>可得：11,x <-当()21,x x ∈-时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增； 当()2,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '<< ，函数()f x 单调递减； 因此函数()f x 有一个极值点．综上：当0a < 时，函数()f x 在()1,-+∞上有唯一极值点； 当809a ≤≤时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点； 当89a >时，函数()f x 在()1,-+∞上有两个极值点； （Ⅱ）由（Ⅰ）知， （1）当809a ≤≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 因为()00=f所以，()0,x ∈+∞时，()0f x > ，符合题意；（2）当819a <≤ 时，由()00g ≥ ，得20x ≤ 所以，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，又()00=f ，所以，()0,x ∈+∞时，()0f x > ，符合题意； （3）当1a > 时，由()00g < ，可得20x >所以()20,x x ∈ 时，函数()f x 单调递减；又()00=f所以，当()20,x x ∈时，()0f x < 不符合题意；（4）当0a <时，设()()ln 1h x x x =-+因为()0,x ∈+∞时，()11011x h x x x =-=>++' 所以()h x 在()0,+∞ 上单调递增，因此当()0,x ∈+∞时，()()00h x h >=即：()ln 1x x +<可得：()()()221f x x a x x ax a x <+-=+- 当11x a>- 时，()210ax a x +-< 此时，()0,f x < 不合题意.综上所述，a 的取值范围是0,1【解析】1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.。
2021届江苏省百校联考高三上学期第一次考试数学试题(解析版)
4．若函数 的图像经过点 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将点 代入 ，根据正弦函数图象和性质求得 值，进而得出解析式,即可得出结果.
【详解】
因为函数 的图象过点 ，
所以 ，从而 ，
解得 .又 ，所以 ，则 ， ，
所以 .
【答案】C
【解析】分析出函数 在区间 和 上的单调性，由偶函数的性质得出 ，分 和 ，解不等式组 和 ，即可得出 的取值范围.
【详解】
因为函数 是定义在 上的偶函数，在 上是增函数，且 ，所以 .
①当 时，若 ，可得 ，则 ，可得 ；
若 ，可得 ，则 ，可得 ；
②当 时，若 ，可得 ，则 ，可得 ；
C． D．
【答案】AC
【解析】利用共线向量定理和向量的数量积运算，即可得答案；
【详解】
， ，所以 ，A正确.
由向量加法的平行四边形法则可知B不正确.
，无法判断与0的大小关系，而 ， ，
同理 ，所以C正确，D不正确.
故选：AC.
【点睛】
本题考查向量共线定理和向量的数量积，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
【详解】
解：圆锥的母线长为5，高为4，
可得圆锥的底面半径为： ，
所以圆锥的体积是： ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查圆锥的体积的求法，属于基础题．
15．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.某中学开展暑期社会实践活动，学生通过测量绘制出月牙泉的平面图，如图所示.图中，圆弧 是一个以 点为圆心､ 为直径的半圆， 米.圆弧 的圆心为 点， 米，圆弧 与圆弧 所围成的阴影部分为月牙泉的形状，则该月牙泉的面积为___________平方米.
江苏省苏州市2021届高三上学期期中考试 数学试题 Word版含答案
江苏省苏州市2021届高三年级第一学期期中考试数 学(满分150分，考试时间120分钟)2020．11第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ＝{x|x 2－x －6≤0}，B ＝{x|x 2>4}，则A ∩B ＝( ) A. (2，3) B. [2，3] C. (2，3] D. [2，3]∪{－2}2. 若角α的终边经过点(3－sin α，cos α)，则sin α的值为( )A. 15B. 14C. 13D. 343. 在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列的前20项和等于( )A. 160B. 180C. 200D. 2204. 函数“f(x)＝x 2＋2x ＋1＋a 的定义域为R ”是“a ≥1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 函数f(x)＝（e x －e －x ）cos xx 2的部分图象大致是( )6. 已知函数f(x)＝xln x ，若直线l 过点(0，－e)，且与曲线C ：y ＝f(x)相切，则直线l 的斜率为( )A. －2B. 2C. －eD. e 7. 衣柜里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为V ＝a·e －kt.已知新丸经过50天后，体积变为49a.若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( )A. 125B. 100C. 75D. 508. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a n >0，a 1＝12，S n <2，则等比数列{a n }的公比的取值范围是( )A. (0，34]B. (0，23]C. (0，34)D. (0，23)二、 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9. 已知函数f(x)＝cos x －3sin x ，g(x)＝f′(x)，则( )A. g(x)的图象关于点(π6，0)对称B. g(x)的图象的一条对称轴是x ＝π6C. g(x)在(－5π6，π6)上递减D. g(x)在(－π3，π3)内的值域为(0，1)10. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1>0，公差d ≠0，则( )A. 若S 5>S 9，则S 15>0B. 若S 5＝S 9，则S 7是S n 中最大的项C. 若S 6>S 7，则S 7>S 8D. 若S 6>S 7，则S 5>S 611. 已知函数f(x)＝|lg(x －1)|，b>a>1且f(a)＝f(b)，则( ) A. 1＜a ＜2 B. a ＋b ＝ab C. ab 的最小值为1＋ 2 D. 1a －1＋1b －1>2 12. 若函数f(x)＝e x －ln x ＋kx－1在(0，＋∞)上有唯一零点x 0，则( ) A. x 0ex 0＝1 B. 12<x 0<1C. k ＝1D. k>1第Ⅱ卷(非选择题 共90分)三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知函数f(x)＝ax 2＋(a ＋2)x ＋a 2为偶函数，则不等式(x －2)f(x)<0的解集为________________________________________________________________________．14. 若对任意正数x ，满足xy ＋yx ＝2－4y 2，则正实数y 的最大值为________．15. 在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10 000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底需缴房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为__________元．(取1.211＝7.5，1.212＝9)16. 已知定义在R 上的函数f(x)关于y 轴对称，其导函数为f′(x)，当x ≥0时，xf ′(x)>1－f(x)．若对任意x ∈R ，不等式e x f(e x )－e x ＋ax －axf(ax)>0恒成立，则正整数a 的最大值为________．四、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)已知函数f(x)＝sin (ωx －φ)(ω＞0，|φ|≤π2)的最小正周期为π. (1) 求ω的值及g(φ)＝f(π6)的值域；(2) 若φ＝π3，sin α－2cos α＝0，求f(α)的值．18.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－13x 3＋a2x 2－2x(a ∈R )．(1) 当a ＝3时，求函数f(x)的单调递减区间；(2) 若对于任意x ∈[1，＋∞)都有f′(x)<2(a －1)成立，求实数a 的取值范围．在① csin B ＋C2＝asin C ，② 2cos A(bcos C ＋ccos B)＝a ，③(sin B －sin C)2＝sin 2A －sinBsin C 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若c ＝(3－1)b ，________． (1) 求C 的值；(2) 若△ABC 的面积为3－3，求b 的值．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．20.(本小题满分12分)已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，且满足a 1＝b 1＝2，a 3＋a 5＋a 7＝30，b 2b 3＝a 16.(1) 求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2) 设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n .①是否存在正整数k ，使得T k ＋1＝T k ＋b k ＋32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；②解关于n 的不等式：S n ≥b n .若函数f(x)在x ∈[a ，b]时，函数值y 的取值区间恰为[k b ，ka ](k ＞0)，则称[a ，b]为f(x)的一个“k 倍倒域区间”．定义在[－4，4]上的奇函数g(x)，当x ∈[0，4]时，g(x)＝－x 2＋4x.(1) 求g(x)的解析式；(2) 求g(x)在[2，4]内的“8倍倒域区间”；(3) 若g(x)在定义域内存在“k(k ≥8)倍倒域区间”，求k 的取值范围．已知函数f(x)＝e x＋ax·sin x.(1) 求曲线C：y＝f(x)在x＝0处的切线方程；(2) 当a＝－2时，设函数g(x)＝f（x）x，若x0是g(x)在(－π，0)上的一个极值点，求证：x0是函数g(x)在(－π，0)上的唯一极大值点，且0＜g(x0)＜2.2021届高三年级第一学期期中考试(苏州)数学参考答案及评分标准1. C2. C3. B4. B5. A6. B7. C8. A9. BC 10. BC 11. ABD 12. ABC 13. (－2，2)∪(2，＋∞) 14. 1215. 40 000 16. 217. 解：(1) 因为函数f(x)的最小正周期为π，所以2πω＝π，ω＝2，(1分)此时g(φ)＝f(π6)＝sin(π3－φ)＝－sin (φ－π3)．因为|φ|≤π2，所以φ－π3∈[－5π6，π6]，所以－1≤sin(φ－π3)≤12，(3分)所以g(φ)＝f(π6)的值域为[－12，1]．(4分)(2) 因为φ＝π3，所以f(α)＝sin (2α－π3)．由sin α－2cos α＝0，得tan α＝2，(6分) f (α)＝sin (2α－π3)＝12sin 2α－32cos 2α(8分)＝12×2 tan α1＋tan 2α－32×1－tan 2α1＋tan 2α＝4－3×（1－4）2×（1＋4）＝4＋3310.(10分) 18. 解：(1) 当a ＝3时，f(x)＝－13x 3＋32x 2－2x ，得f′(x)＝－x 2＋3x －2.(1分)因为f′(x)＜0，得x ＜1或x ＞2，(3分)所以函数f(x)单调递减区间为(－∞，1)和(2，＋∞)．(4分) (2) 由f(x)＝－13x 3＋a2x 2－2x ，得f′(x)＝－x 2＋ax －2.(5分)因为对于任意x ∈[1，＋∞)都有f′(x)＜2(a －1)成立，所以问题转化为：对于任意x ∈[1，＋∞)都有f′(x)max ＜2(a －1)．(6分) 因为f′(x)＝－(x －a 2)2＋a 24－2，其图象开口向下，对称轴为x ＝a2.①当a2＜1时，即a ＜2时，f ′(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f′(x)max ＝f′(1)＝a －3.由a －3＜2(a －1)，得a ＞－1，此时－1＜a ＜2.(8分)②当a 2≥1，即a ≥2时，f ′(x)在[1，a 2]上单调递增，在(a2，＋∞)上单调递减，所以f′(x)max ＝f′(a 2)＝a 24－2.(10分)由a 24－2＜2(a －1)，得0＜a ＜8，此时2≤a ＜8.(11分) 综合①②，可得实数a 的取值范围是(－1，8)．(12分) 19. 解：若选①.(1) 由题设条件及正弦定理，得sin CsinB ＋C2＝sin Asin C ．(1分)因为△ABC 中，sin C ≠0，所以sinB ＋C2＝sin A ．(2分) 由A ＋B ＋C ＝π，可得sin B ＋C 2＝sin π－A 2＝cos A2，(3分)所以cos A 2＝2sin A 2cos A2.(4分)因为△ABC 中，cos A 2≠0，所以sin A 2＝12.因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(5分)因为c ＝(3－1)b ，所以由正弦定理得sin C ＝(3－1)sin B.因为A ＝π3，所以sin B ＝sin(π－A －C)＝sin(A ＋C)＝sin(C ＋π3)，(6分)所以sin C ＝(3－1)sin(C ＋π3)，整理得sin C ＝cos C ．(7分)因为△ABC 中，sin C ≠0，所以cos C ≠0，所以tan C ＝sin Ccos C ＝1.因为0＜C ＜π，所以C ＝π4.(9分)(2) 因为△ABC 的面积为3－3，c ＝(3－1)b ，A ＝π3，所以由S ＝12bcsin A 得34(3－1)b 2＝3－3，(11分)解得b ＝2.(12分)若选②.(1) 由题设及正弦定理得2cos A(sin Bcos C ＋sin Ccos B)＝sin A ，(1分) 即2cos Asin(B ＋C)＝sin A ．(2分)因为B ＋C ＝π－A ，所以2cos Asin A ＝sin A ．(3分) 因为△ABC 中，sin A ≠0，所以cos A ＝12.(4分)因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(5分)下同选①.若选③.由题设得(sin B －sin C)2＝sin 2A －sin Bsin C ，(1分) 所以sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin Bsin C ．(2分) 由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.(4分)因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(5分)下同选①.20. 解：(1) 因为等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝30，所以a 5＝10. 设等差数列{a n }的公差是d ，所以d ＝a 5－a 15－1＝2，(1分)所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n.(2分)设等比数列{b n }的公比是q ，因为b 2b 3＝a 16，所以b 21q 3＝4q 3＝32，所以q ＝2，所以b n ＝b 1qn －1＝2n .(3分) (2) ① 若存在正整数k ，使得T k ＋1＝T k ＋b k ＋32成立，则b k ＋1＝b k ＋32，(4分)所以2k ＋1＝2k ＋32，即2k ＝32，解得k ＝5.(5分) 存在正整数k ＝5满足条件．(6分) ② S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n(n ＋1)， 所以n(n ＋1)≥2n ，即2n －n(n ＋1)≤0.(8分) 令f(n)＝2n －n(n ＋1)，因为f(n ＋1)－f(n)＝2n ＋1－(n ＋1)(n ＋2)－2n ＋n(n ＋1)＝2[2n －1－(n ＋1)]， 所以当n ≥4时，{f(n)}单调递增．(9分)又f(2)－f(1)＜0，f(3)－f(2)＜0，f(4)－f(3)＜0， 所以f(1)＞f(2)＞f(3)＝f(4)＜…＜f(n)＜…(10分) 因为f(1)＝0，f(4)＝－4，f(5)＝2，所以n ＝1，2，3，4时，f(n)≤0，n ≥5时，f(n)＞0，(11分) 所以不等式S n ≥b n 的解集为{1，2，3，4}．(12分) 21. 解：(1) 因为g(x)为定义在[－4，4]上的奇函数，所以当x ∈[－4，0)时，g(－x)＝－(－x)2＋4(－x)＝－x 2－4x. 因为g(－x)＝－g(x)，所以g(－x)＝－g(x)＝－x 2－4x ，(2分) 所以g(x)＝x 2＋4x ，所以g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ∈[－4，0），－x 2＋4x ，x ∈[0，4].(3分)(2) 因为g(x)在[2，4]内有“8倍倒域区间”，设2≤a ＜b ≤4，因为g(x)在[2，4]上单调递减，所以⎩⎨⎧－a 2＋4a ＝8a ，－b 2＋4b ＝8b ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）（a 2－2a －4）＝0，（b －2）（b 2－2b －4）＝0，(5分)解得a ＝2，b ＝1＋5，所以g(x)在[2，4]内的“8倍倒域区间”为[2，1＋5]．(6分) (3) 因为g(x)在x ∈[a ，b]时，函数值的取值区间恰为[k b ，ka ](k ≥8)，所以0＜a ＜b ≤4或－4≤a ＜b ＜0.当0＜a ＜b ≤4时，因为g(x)的最大值为4，所以ka ≤4.(7分)因为k ≥8，所以a ≥2.因为g(x)在[2，4]上单调递减，所以⎩⎨⎧－a 2＋4a ＝ka，－b 2＋4b ＝k b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－4a 2＋k ＝0，b 3－4b 2＋k ＝0，(8分)所以方程x 3－4x 2＋k ＝0在[2，4]上有两个不同的实数解． 令h(x)＝x 3－4x 2＋k ，x ∈[2，4]，则h′(x)＝3x 2－8x.令h′(x)＝3x 2－8x ＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝83，当x ∈(2，83)时，h ′(x)＜0，所以h(x)在(2，83)上单调递减．当x ∈(83，4)时，h ′(x)＞0，所以h(x)在(83，4)上单调递增．(10分)因为h(2)＝k －8≥0，h(4)＝k ≥8，所以要使得x 3－4x 2＋k ＝0在[2，4]上有两个不同的实数解，只需h(83)＜0，解得k ＜25627，所以8≤k ＜25627.(11分)同理可得：当－4≤a ＜b ＜0时，8≤k ＜25627.综上所述，k 的取值范围是[8，25627)．(12分)22. (1) 解：因为f(x)＝e x ＋ax·sin x ，所以f′(x)＝e x ＋a(sin x ＋xcos x)，(1分) 所以f′(0)＝1.因为f(0)＝1，所以曲线f(x)在x ＝0处的切线方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1.(3分) (2) 证明：当a ＝－2时，g(x)＝e xx －2sin x ，其中x ∈(－π，0)，则g′(x)＝e x （x －1）x 2－2cos x ＝e x （x －1）－2x 2cos xx 2.(4分)令h(x)＝e x (x －1)－2x 2cos x ，x ∈(－π，0)，则h′(x)＝x(e x ＋2xsin x －4cos x)． 当x ∈(－π，－π2)时，因为e x ＞0，2xsin x ＞0，cos x ＜0，所以h′(x)＜0，所以h(x)在(－π，－π2)上单调递减．(5分)因为h(－π)＝2π2－e－π(1＋π)＞0，h(－π2)＝e －π2(－π2－1)＜0，所以由零点存在性定理知，存在唯一的x 0∈(－π，－π2)，使得h(x 0)＝0，(7分)所以当x ∈(－π，x 0)时，h(x)＞0，即g′(x)＞0；当x ∈(x 0，－π2)时，h(x)＜0，即g ′(x)＜0.当x ∈(－π2，0)时，g ′(x)＝e x （x －1）x 2－2cos x ＜0.因为g′(x)在(－π，0)上连续，所以x ∈(x 0，0)时，g ′(x)＜0，所以g(x)在(－π，x 0)上单调递增，在(x 0，0)上单调递减，所以x 0是函数g(x)在(－π，0)上的唯一极大值点．(9分)因为g(x)在(x 0，－π2)上单调递减，所以g(x 0)＞g(－π2)．因为g(－π2)＝－1π2e π2＋2＞0，所以g(x 0)＞0.(10分)11 当x 0∈(－π，－π2)时，因为－1＜ex 0x 0＜0，0＜－2sin x 0＜2， 所以g(x 0)＝ex 0x 0－2sin x 0＜2，(11分) 所以0＜g(x 0)＜2.(12分)。
2021-2022学年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷(附详解)
2021-2022学年江苏省苏州市高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合M ={x|−2⩽x ⩽3}，N ={x|log 2x ⩽1}，则M ∩N =( )A. [−2,3]B. [−2,2]C. (0,2]D. (0,3]2. 若a >0,b >0，则“ab <1”是“a +b <1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若tanα=34，则1+sin2α1−2sin 2α=( )A. −17B. −7C. 17D. 74. 函数f(x)=(3x −x 3)sinx 的部分图象大致为( )A.B.C.D.5. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. −58B. 14C. 18D. 1186. 定义方程f(x)=f ′(x)的实数根x.叫做函数f(x)的“躺平点”.若函数g(x)=lnx,ℎ(x)=x 3−1的“躺平点”分别为α,β，则α,β的大小关系为( )A. α⩾βB. α>βC. α⩽βD. α<β7. 已知函数f(x)=Asin(ωx −π6)(A >0,ω>0)，直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为 a 1,a 2,···,a k ,a k+1,···,，…，(其中k ∈N ∗)，若a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2，则A =( )B. 2C. √2D. 2√3A. 2√338.设数列{a m}(m∈N∗)，若存在公比为q的等比数列{b m+1}(m∈N∗)，使得 b，k<a k<b k+1其中k=1，2，…，m，则称数列{b m+1}为数列{a m}的“等比分割数列”，则下列说法错误的是()A. 数列 {b：2，4，8，16，32是数列{a4}：3，7，12，24的一个“等比分割数列”5}B. 若数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，则有 a和1<···<a k−1<a k<···<a n b成立，其中2⩽k⩽n,k∈N∗1<···<b k−1<b k<···<b n<b n+1C. 数列{a3}：−3，−1，2存在“等比分割数列”{b4}D. 数列{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,…,10)，若数列{a10}的“等比分割数列”{b11}的首项为1，则公比q∈(2,2109)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）=2−i(i为虚数单位)，设复数z=(a+1)+(a−1)i，则下列9.已知实数a满足3−ai1+i结论正确的是()A. z为纯虚数B. z2为虚数C. z+z−=0D. z⋅z−=410.已知不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，则b的值可能是()A. −1B. 3C. 2D. 011.关于函数f(x)=sin|x|+|cosx|有下述四个结论，则()A. f(x)是偶函数B. f(x)的最小值为−1C. f(x)在[−2π,2π]上有4个零点D. f(x)在区间(π,π)单调递增212.如图，正方形ABCD与正方形DEFC边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则()A. CP的最小值为√32B. 当P在直线AE上运动时，三棱锥D−BPF的体积不变C. PD+PF的最小值为√2−√2D. 三棱锥A−DCE的外接球表面积为3π三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知曲线y=me x+xlnx在x=1处的切线方程为y=3x+n ，则n=．14. 已知数列{a n }是等差数列，a 1>0，a 3+3a 7=0，则使S n >0的最大整数n 的值为 ．15. 某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道．要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元(不考虑宽度厚度等因素)，则水池面积最大值为 平方米．16. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(1−x)=f(x)，则f(x)的最小正周期为 ；若对任意的x 1,x 2∈[0,12]，当 x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π，则关于x 的不等式f(x)⩽sinπx 在区间[−32,32]上的解集为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ =(2sinx,2sin(x +π4))，向量b ⃗ =(cosx,√62(cosx −sinx))，记f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ (x ∈R)． (1)求f(x)表达式；(2)解关于x 的不等式f(x)⩾1．18. 在下列条件：①数列{a n }的任意相邻两项均不相等，且数列{a n 2−a n }为常数列，②S n =12(a n +n +1)(n ∈N ∗)，③a 3=2,S n+1=S n−1+1(n ⩾2,n ∈N ∗)中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，______． (1)求数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n ； (2)设b k =1S 2k ⋅S 2k+1(k ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n <34(n ∈N ∗)．19.已知函数f(x)=√3sin x2cos x2−cos2x2+12．(1)设g(x)=f(−x)，求函数g(x)的单调递减区间；(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为BC边的中点，若f(A)=12，a=√3，求线段AD的长的取值范围．20.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC=2，BC=CD=1，∠CAD=30°，∠ACB=60°，M是PB上一点，且PB=3MB，N是PC中点．(1)求证：PC⊥BD；(2)若二面角P−BC−A大小为45°，求棱锥C−AMN的体积．21.已知函数f(x)=ax−1x−alnx(a>0)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2)，且不等式f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)+mx1x2恒成立，求实数m的取值范围．22.已知函数f(x)=lnx−x+2sinx，f′(x)为f(x)的导函数，求证：(1)f′(x)在(0,π)上存在唯一零点；(2)f(x)有且仅有两个不同的零点．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查描述法、区间的定义，以及对数不等式的解法和交集的运算，属于基础题．先化简集合N，再根据交集的运算即可求出．【解答】解：集合M={x|−2⩽x⩽3}=[−2,3]，N={x|log2x⩽1}=(0,2],则M∩N=(0,2]．故答案选：C．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了充分、必要条件的判断，可以用特殊值法，列举出满足条件的具体数进行判断，属于基础题．判断充分条件、必要条件时均可以列举出满足条件的数，或使之不成立的数．【解答】解：∵a>0,b>0，∵ab<1，，则a+b>1，令a=4，b=18∴充分性不满足;当a+b<1时，0<a<1且0<b<1，所以ab<1，必要性满足，∴a>0,b>0，ab<1是a+b<1的必要不充分条件．故答案选：B．【解析】【分析】本题主要考查了二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由已知利用二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式将1+sin2α1−2sin2α用tanα表示，再求值即可．【解答】解：因为tanα=34，所以1+sin2α1−2sin2α=sin2α+cos2α+2sinαcosαsin2α+cos2α−2sin2α=tan2α+1+2tanα1−tan2α=(34)2+1+2×341−(34)2=7．故答案选：D．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的图像与性质，一般可以从函数的单调性，奇偶性或特殊点出的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．根据函数奇偶性的概念可判断f(x)为偶函数，排除选项B;再对比剩下选项，需考虑0< x<√3和√3<x<π时，f(x)与0的大小系即可作出选择．【解答】解：∵f(−x)=(−3x+x3)sin(−x)=(3x−x3)sinx=f(x)，∴f(x)为偶函数，排除选项C；当0<x<√3时，3x−x3>0,sinx>0,∴f(x)>0，排除选项D；当√3<x<π时，3x−x3<0，3x−x3<0,sinx>0,∴f(x)<0，排除选项B．故答案选：A．【解析】 【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题． 由题意画出图形，把AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都用BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，然后代入数量积公式得答案． 【解答】 解：如图，∵D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，且DE =2EF ，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +32DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−54|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°+34×12=−54×1×1×12+34=18．故答案选：C ．6.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查新定义的应用，利用导数研究函数的单调性的方法，函数零点存在定理及其应用等知识，属于中等题．对g(x)=lnx 求导，构造函数t(x)=lnx −1x ，研究其单调性和零点，利用零点存在性定理求出α∈(1,e)；同样的方法求出β∈(3,4)，即可得到答案．解：g(x)=lnx 定义域为(0,+∞)，g′(x)=1x ， 由题意得：lnα=1α，令t(x)=lnx −1x ，x ∈(0,+∞)， 则α为函数t(x)=lnx −1x 的零点，t′(x)=1x +1x 2>0， 所以t(x)=lnx −1x 在x ∈(0,+∞)上单调递增，又t(1)=−1<0，t(e)=1−1e >0，由零点存在定理，α∈(1,e)． 另外ℎ(x)=x 3−1，ℎ′(x)=3x 2，由题意得：β3−1=3β2，令s(x)=x 3−1−3x 2，则β为函数s(x)=x 3−1−3x 2的零点，s ′(x)=3x 2−6x ， 令s ′(x)>0得：x >2或x <0， 令s ′(x)<0得：0<x <2，所以s(x)=x 3−1−3x 2单调递增区间为(−∞,0)，(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)， s(x)在x =0处取得极大值，s(0)=−1<0，在x =2处取得极小值， 故s(x)在(−∞,2)上无零点，因为函数在(2,+∞)上单调递增，且s(3)=27−1−27<0，s(4)=64−1−48>0， 由零点存在定理：β∈(3,4) 所以α<β． 故答案选：D ．7.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于中档题．由正弦型函数的图象易知a 2k+1−a 2k−1=T ，结合条件可得a 2k −a 2k−1=13T ，设出顶点坐标，结合图象找到对应比例可求得A ． 【解答】解：设函数周期为T ，由直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a 1,a 2,···,a k ,a k+1,···,(其中k ∈N ∗k ∈N ∗)， 易知a 2k+1−a 2k−1=T ，因为a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2，所以a 2k −a 2k−1=13T ，令顶点为(m,A)，所以m−a2k−1=16T，所以 a2k−1到左边零点的距离为T12，将y=sinx与y=Asin(ωx+φ)相对比，确定1与A两个最大值的比例，当x∈[0,π2]时，π2×T12T6+T12=π6，所以1A =sinπ6sinπ2=12，所以A=2．故答案选：B．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了数列的综合应用，考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于较难题．利用“等比分割数列”的定义，对四个选项逐一分析判断即可．【解答】解：对于A，数列{b5}：2，4，8，16，32，数列{a4}：3，7，12，24，因为2<3<4<7<8<12<16<24<32，所以{b5}是{a4}的一个“等比分割数列”，故A正确；对于B，因为数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，所以 bk<a k<b k+1，k=1，2，…，n，则 bk+1<a k+1<b k+2，所以 bk<a k<b k+1<a k+1，故 b k<b k+1,a k<a k+1,，所以数列{a n}和数列{b n}均为单调递增数列，故B正确；对于C，假设存在{b4}是{a3}：−3，−1，2的“等比分割数列”，所以b1<−3<b2<−1<b3<2<b4，因为−3<b2<−1，b1<−3，故q=b2b1∈(0,1)，q=b3b2∈(0,1)，因为−3<b2<−1，所以−1<b3<0，因为b4>2，则q=b4b3<0，与q∈(0,1)产生矛盾，故假设不成立，故C错误；对于D，{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,...,10)，{b11}的首项为1，公比为q(q>1)，所以b n=q n−1，n=1，2， (11)因为b n<a n<b n+1，n=1，2， (10)则q n−1<2n<q n，n=1，2， (10)故2<q<2n n−1，n=2， (10)因为2n n−1=21+1n−1关于n单调递减，所以2<q<2109，即q∈(2,2109)，故D正确．故答案选：C．9.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查了复数的四则运算，概念分类，共轭复数，复数相等，属于基础题利共用复数的四则运算求解．【解答】解：∵3−ai1+i=2−i，∴3−ai=(2−i)(1+i)=3+i，∴a=−1，∴z=−2i，∴z为纯虚数，故选项A正确;∴z2=(−2i)2=−4为实数，故选项B错误;∴z+z−=−2i+2i=0，故选项C正确;∴z⋅z−=(−2i)×2i=4，故选项D正确．故答案选：ACD．10.【答案】BC【解析】【分析】本题考查了二次函数与方程，不等式的解对应的关系，属于基础题．由不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，得到△=0，求出b的取值范围即可．【解答】解：∵不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，∴△=4a2−4(b−1)=0,即a2=b−1⩾0,∴b⩾1．故答案选：BC．11.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查了三角函数的奇偶性，单调性，周期性，最值及三角函数零点等相关知识，属于中档题．利用奇偶性定义可判断A；由周期的定义f(x+2π)=sin|(x+2π)|+|cos(x+2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，确定2π为函数f(x)的一个周期，求出一个周期内函数的最小值，可判断B；由于函数f(x)为偶函数，故研究x∈[0,2π]时函数的零点情况，从而可得[−2π,2π]函数零点情况，可判断C；,π)上函数的解析式，可判断D．确定(π2【解答】解：对于A，函数定义域为R，f(−x)=sin|−x|+|cos(−x)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；对于B，f(x+2π)=sin|(x+2π)|+|cos(x+2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，所以2π是函数f(x)=sin|x|+|cosx|的一个周期，当x ∈[0,π2]时，f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)，此时f (x )的最小值为1， 当x ∈(π2,32π]时，f(x)=sinx −cosx =√2sin(x −π4)，此时f(x)的最小值为−1， 当x ∈(3π2,2π]时，f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)，此时f(x)的最小值为−1， 所以f(x)的最小值为−1，故B 正确；对于C ，当时，f (x )={sinx +cosx,0≤x ≤π2sinx −cosx,π2<x ≤3π2sinx +cosx,3π2<x ≤2π，令f (x )=0，可得x =5π4,7π4，又f (x )为偶函数，所以f (x )在[−2π,2π]上有4个零点，故C 正确； 对于D ，当x ∈(π2,π)时，sin |x |=sinx,|cosx |=−cosx ， 则f(x)=sinx −cosx =√2sin(x −π4)， 当x ∈(π2,π),x −π4∈(π4,3π4)，所以函数f (x )在(π2,π)上不具备单调性，故D 错误． 故答案选：ABC ．12.【答案】BD【解析】 【分析】本题主要考查立体几何中表面的最短距离问题，锥体体积的计算，锥体的外接球问题等知识，属于中档题．由题可知CP =√DP 2+CD 2，可判断A ；根据条件可知△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，可判断B ；将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，即可判断C ；由正方体的性质可判断D ． 【解答】解：对于A ，连接DP ，CP ，易得CP =√DP 2+CD 2=√DP 2+1≥√12+1=√62，故A错误；对于B ，P 在直线AE 上运动时，△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，故三棱锥D −BPF 的体积不变，故B 正确；对于C ，如图，将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，则当D 、P 、F 三点共线时，PD +PF 取得最小值√(√22)2+(√22+1)2=√2+√2，故C 错误；对于D ，将该几何体补成正方体，则外接球半径R 为√32，外接球表面积为，故D 正确． 故答案选：BD ．13.【答案】−1【解析】 【分析】本题考查利用导数的几何意义研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数及导数的四则运算，属于基础题．求出原函数的导函数，再由函数在x =1处的导数值即为此处切线的斜率3求得me 的值，然后利用函数在x =1时的函数值相等列式求解n ． 【解答】解：由y=me x+xlnx，得y′=me x+lnx+1，则y′|x=1=me+1=3，即me=2，x=1代入曲线当中得y=me，代入切线方程中得y=3+n，又me=3+n，∴3+n=2，即n=−1．故答案为：−1．14.【答案】10【解析】【分析】本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．由等差数列通项公式求出a1=−5d，d<0，从而S n=na1+n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n)=d2n(n−11)，由此能求出使S n>0的最大整数n的值．【解答】解：数列{a n}是等差数列，a1>0，a3+3a7=0，∴a1+2d+3(a1+6d)=0，解得a1=−5d，d<0，∴S n=na1+n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n)=d2n(n−11)，∵d<0,n>0，∴S n>0时，n<11，∴使S n>0的最大整数n的值为10．故答案为：10．15.【答案】400【解析】【分析】本题考查了利用数学知识解决实际问题，考查了弧长及扇形面积公式，考查了基本不等式求最值的问题，属于中档题．写出扇形观景水池的总预算费用，表示出扇形的面积，得到关于θ，r的不等式，利用基本不等式求出面积的最大值．【解答】解：如图，设扇形的半径为r，∠AOB=θ则扇形的弧长l=θr扇形的面积S=12θr2，由题意得， 400×12θr2+1000(2r+θr)⩽240000；化简得θr2+5(2r+θr)⩽1200；又2r+θr⩾2√2θr2，当且仅当2r=θr，即θ=2时取等号。
2021届高三苏州数学起初试卷参考答案 (1)
3 3 m n f ( )筑梦21江苏高考名校资料群723335337苏州市 2020~2021 学年第一学期学业期初研卷高三数学参考答案及评分建议2020.9一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 B AA C DD CB二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．题 号 9 10 11 12 答 案 ACADACDBCD三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．13． 4514． 2 2p 15．±7 16． 54四、解答题：本大题共 6 小题，共计 70 分． 17．（本小题满分 10 分） 解：f (x ) = rg r - 2 = 4sin x c os x + 4 3 s in 2 x -2 3 = 2sin 2x - 2 3 cos 2x = 4sin(2x - p ) ， (3)………………………………………………………2 分a = p = 4sin p = 2 3 3， ............................................. 4 分①若(2c + b ) cos A + a cos B = 0 ，则由正弦定理可得： 2sin C cos A +sin B cos A +sin A cos B = 0 ，即2sin C cos A +sin(B + A ) = 2sin C cos A +sin C = 0 ，因为C 为三角形内角， sin C > 0 ，可得cos A =- 1，因为 A Î (0, p ) ，2可得 A = 2p ． ............................................................ 6 分3 ②若sin 2 B + sin 2 C -sin 2 A + sin B sin C = 0 ，由正弦定理可得： b 2 + c 2 - a 2 + bc = 0 ，由余弦定理可得b 2 +c 2 - a 2 1 cos A = = - ，因为 A Î (0, p ) ，可得 A = 2p ． .........................6 分 2bc 2 3③若 a 2 -b 2 -c 2 = 4 3 S ，则b 2 + c 2 -a 2 =- 4 3 S =- 4 3 ´1 bc s in A =- 2 3bc s in A ，所以3 b 2 + c 2 -a 2 3cos A = =- 3 3 2 3sin A，可得tan A =- ，因为 A Î (0, p ) ， 可得 A = 2p32bc 3 ………………………………………………………………6 分由正弦定理可得b sin B =c sin C = a sin A = 2 3 = 4 ， 32 所以 b = 4sin B ， c = 4sin C ，因为 B +C = p ，所以C = p- B ， ............ 8 分3 3所以 2b + c = 8sin B + 4sin(p - B ) = 8sin B + 4( 3 cos B - 1sin B ) ，3 2 23⎝ ⎭b ( ) 筑梦21江苏高考名校资料群723335337= 6sin B + 2 3 cos B = 4 3 sin(B +p) ,因为0 < B < p ，所以 p < B + p < p ， 1 < sin(B + p) <1，所以 6 3 6 6 2 2 62 3 < 43 s in(B + p) < 4 3 ，即 2b + c 的取值范围为(2 6， 4 3) .......................................... 10 分 18．（本小题满分 12 分）解： (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知: a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 4a 1 +4⨯ 4 -1 d = 4a + 6d = 10 21① ..................... 2 分 又因为 a , a , a 成等比数列，所以 a 2 = a ⋅ a ， (a + d )2= a ⋅ (a + 3d ) ， d 2= a d ，又因为 d ≠ 0 ，所1242141111以a 1 = d . ②....................................................... 4 分 由①②得 a 1 = 1, d = 1，所以 a n = n ，b = a= 1 ， b = a = 2 ，q = b 2= 2 ，∴b= 2n -1. ………………………………………………6 分112 2n1(2)因为S zc = 2n -1 +1= 2n -1 +⎛ 1- 1 ⎫， ………………………nMF………9 分D所以C yn (n +1)n n +1 ⎪ S = 20 + 21+... + 2n -1 + ⎛1- 1 + 1 - 1 + ⋅⋅⋅ + 1 - 1 ⎫ A xEBn 2 2 3 n n +1 ⎪ ⎝ ⎭= 1- 2n+ - 1= 2n -11- 21n +1n +1所以数列{c n }的前n 项和 S n = 2n- 1n +1. …………………………………… 12 分19．（本小题满分 12 分）解：（1）证明：取 SD 中点 M ，连接 AM ，MF ，∵M ，F 分别为 SD ，SC 的中点，MF ∥CD ，且 MF = 1CD ，............ 2 分 2又底面 ABCD 为正方形，且 E 为 AB 中点，∴MF ∥AE ，且 MF ＝AE ，∴四边形 AEMF 为平行四边形，∴EF ∥AM ， ........................... 4 分 ∵EF 不在平面 SAD 内，AM 在平面 SAD 内，∴EF ∥平面 SAD ； .................................................. 5 分3筑梦江苏高考数学精品群236802144⎧ C 80010 10 10EF = (-4,0,4) , DE = (4, 2,0) , FS = (0,-2,4) ..................................... 7 分⎧ ⎪m EF = -4x + 4z = 0设平面 DEF 的一个法向量为 m=(x ,y .z )，则⎨ ⎪⎩m DE = 4x + 2y = 0 ⎪n EF = -4a + 4c = 0，可取 m=(1 , −2.1)，设平面 EFS 的一个法向量为 n=(a ,b .c )，则⎨ ⎪⎩n DE = -2b + 4c = 0，可取 n=(1,2.1)，………………………………9 分设二面角 D ﹣EF ﹣S 的平面角为θ，则cos θ=cos m , n = m n m n1- 4 +1=1+ 4 +1 1+ 4 +1= -1， .......................................... 11 分3 ∴sin θ= 2 2 ，即二面角 D ﹣EF ﹣S 的正弦值为2 2 ． ............... 12 分3320．（本小题满分 12 分）解：（1）随机变量 X 的所有可能的取值为 0，1，2，3，C 0C 3 10 1 C 1C 2 50 5 根 据 条 件 得 P ( X = 0) = 5 5 = = ， P ( X = 1) = 5 5 = =，C 2C 150 5 3 10 C 3C 0 120 12 10 1 3120 12 P ( X = 2) = 5 5 = = P ( X = 3) = 5 5 = = ， ................ 2 分 3 120 12 3120 12则随机变量 X 的分布列为X 01 2 3P1 12 5 12 5 12 1 12 数学期望E ( X ) = 0´ 1 +´ 5 +´ 5 +´ 1 = 3． .................................................4 分 12 12 12 12 2（2）①设该划线分为 m ，由Y ~ N (75.8, 36) 得m = 75.8 ， s = 6 ，令 h = Y -m = Y -75.8 ，则Y = 6h + 75.8 ，s 6依题意， P (Y m ) » 0.85 ，即P (6h + 75.8 m ) = P (h m -75.8) » 0.85 .................. 6 分 6因为当 h ~ N (0,1) 时， P (h 1.04) » 0.85 ，所以 P (h = 1.04) » 0.85 ，所以 m -75.8»-1.04 ，故 m » 69.56 ，取 m = 69 ． ....................................................... 8 分 6②由①讨论及参考数据得 P (Y 71) = P (6h + 75.8 71) = P (h -0.8) = P (h 0.8) » 0.788 ，即每个学生生物统考成绩不低于 71 分的事件概率约为 0.788，故x ~ B (800, 0.788) ， P (x = k ) = C k 0.788k (1-0.788)800-k ． 由ìïíP (x = k ) P (x = k -1), ïîP (x = k ) P (x = k +1),C C C5 52yyìïC k0.788k (1-0.788)800-k C k-10.788k-1(1-0.788)801-k ,即ïí800 800 ………………………… 10 分ïC k 0.788k (1-0.788)800-k C k+10.788k+1(1-0.788)799-k ,îï800 800解得630.188 k 631.188，又k ÎN ，所以k = 631 ，所以当k= 631 时P(x = k )取得最大值．............................... 12 分21．（本小题满分12分）解：（1）如图，当k＝1时，CD过点（0，-b），CD＝2a，当点P 为（0，b）时∆PCD 的面积最大，即有1⨯ 2a ⨯ 2b = 12 ，2∴ab = 6 ．①...................................... 1 分由已知离心率为，c= a2 -b2 5，= ，b = 2 ②……2 分3 a 3 a 3 a 3由①②解得a = 3,b = 2 ．................................. 3 分2∴所求椭圆方程为x+y=1 ． ...................... 4分9 4（2）如图， 由题意得：D(-a, -kb) , C(a, -kb) ．因为P( x, y) ( y> 0)x 2 y 2在椭圆上，所以0 +0 = 1 ．又直线PD 方程为a2 b2y -y =y+kb(x -x ) ，令y = 0 ，x+a解得x =x -y(x+a)，同理可得x =x -y0 (x0 -a) ，E 0 +kbF 0 +kb所以AE =x - (-a) =x -y0 (x0 +a) +a =kb(x0 +a) ，………………………… 6 分E 0 y+kb y+kbEF = [x -y0 (x0 -a)] -[x-y0 (x0 +a)] =y0 (x0 +a) -y0 (x0 -a) = 2ay0，……… 7 分0 y +kb 0 y +kb y +kb y +kb y +kb0 0 0 0 0FB =a -x +y(x-a)=kb(a -x)．...................................... 8 分0 y +kb y +k b0 0因为AE，EF，FB 成等比数列，所以AE ⋅FB =EF 2 ，kb(x +a) kb(a -x ) 4a2 y 2即0 ⋅ 0 = 0 ，化简得：k 2b2 (a2-x 2 ) = 4a2y 2（*）………10 分y +kb y +kb ( y +kb)2 0 00 0 0x 2 y 2 2 2a22又0 +0 = 1 ，所以a -x =y ，代入（*）式得k 2a 2y 2= 4a 2y 2，a2 b2 0 b2 0 0 0因为y > 0 ，所以k 2 = 4 ，又k > 0 ，所以k = 2 ． ............................. 12 分0 0( )22．（本小题满分 12 分）解:（1）设 g (x ) =f '(x ) = 1-1+ cos x ， x当 x ∈ (0,π) 时， g '(x ) = -sin x - 1 x 2所以 g ( x ) 在(0,π) 上单调递减，< 0 ............................................. 2 分π 31 6 -π π2 又因为 g ( ) =-1+ = > 0, g ( ) = -1 < 0 ………………………………… 4 分3 π 2 2π 2 π且当 x ∈ (0, π) 时， y = g ( x ) 的图像不间断，所以 g ( x ) 在 π π 上有唯一的零点 ，所以命题得证 ( , ) α3 2（2）1°由（1）知：当 x ∈ (0,α) 时， f '( x ) > 0 ， f ( x ) 在(0,α) 上单调递增；当 x ∈ (α,π) 时， f '( x ) < 0 ， f ( x ) 在(α,π) 上单调递减； ....................... 7 分 所以 f ( x ) 在(0,π) 上存在唯一的极大值点απ<α<π32π π π π所 以 f (α) > f ( ) = ln- + 2 > 2 - > 0 ............................................... 8 分2 2 2 2 1 1 1 1 1 1又因为 f ( ) = -2 - + sin +1 = -1 - + sin < - < 0e 2 e 2 e 2 e 2 e 2 e 2所以 f ( x ) 在(0,α) 上恰有一个零点又因为 f (π) = ln π-π+ 1 < 2 -π+ 1 = 3 -π< 0所以 f ( x ) 在(α,π) 上也恰有一个零点 ................................ 9 分2°当 x ∈[π, 2π) 时， sin x ≤ 0 ， f (x ) ≤ ln x - x 设 h (x ) = ln x - x +1, x ∈[π, 2π) ， h '(x ) = 1-1 < 0x所以 h ( x ) 在[π, 2π) 上单调递减，所以 h (x ) ≤ h (π) < 0即 f ( x ) 在[π, 2π) 上没有零点 .............................. 10 分 3°当 x ∈[2π, +∞) 时， f (x ) ≤ ln x - x + 2 设ϕ( x ) = ln x - x + 2 ，ϕ'(x ) = 1-1 < 0x所以ϕ( x ) 在[2π, +∞) 上单调递减，所以ϕ(x ) ≤ϕ(2π) < 0所以当 x ∈[2π, +∞) 时， f (x ) ≤ϕ(x ) ≤ϕ(2π) < 0 恒成立所以 f ( x ) 在[2π, +∞) 上没有零点.筑梦21江苏高考名校资料群723335337综上，f ( x) 有且仅有两个零点．.......................... 12 分。
2021届江苏省苏州中学园区校高三上学期8月期初调研数学试题(解析版)
2021届江苏省苏州中学园区校高三上学期8月期初调研数学试题一、单选题1．已知全集U 为实数集，集合{}|13A x x =-<<，(){}|ln 1B x y x ==-，则集合A B 为（ ）A ．{}|13≤<x xB ．{}|3x x <C ．{}|1x x ≤-D ．{}|11x x -<<【答案】D【解析】分析：由题意首先求得集合A 和集合B ，然后结合集合运算的定义进行交集运算即可求得最终结果.详解：求解对数函数()ln 1y x =-的定义域可得：{}|1B x x =<， 结合交集的定义可得：集合A B ⋂为{}|11x x -<<. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查结合的表示方法，交集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12z i =-，则复数12z z =（ ） A ．1- B ．1C ．3455i -+ D ．3455-i 【答案】C【解析】根据1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，可得22z i =--，根据复数除法运算法则可得结果. 【详解】因为12z i =-，1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称， 则22z i =--，所以()()212222443434255555i i z i i i i i z i --+--+--+=====-+-- 故选：C . 【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的几何意义，属于基础题.3．若随机变量~(2X N ，1)，且(1)0.8413P X >=，则(3)P X >=（ ） A ．0.1587 B ．0.3174C ．0.3413D ．0.6826【答案】A【解析】根据题意，由随机变量~(2X N ，1)，且(1)0.8413P X >=可得(1)P X ≤,再利用对称性可得结果. 【详解】因为随机变量~(2X N ，1)，且()10.8413P X >= 所以(1)10.84130.1587P X ≤=-= 所以(3)P X >= (1)0.1587P X ≤= 故选A 【点睛】本题考查了正态分布，了解正态分布的对称性质是解题关键，属于基础题. 4．函数()2ln xf x x=的图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数()2ln xf x x=，结合选项，利用导数法判断. 【详解】因为()2ln xf x x =， 所以()22ln xf x x -'=，令()0f x '=，得2x e =，当20x e <<时，()0f x '>，当2x e >时，()0f x '<， 所以()f x 在()20,e上递增，在()2,e +∞上递减，又当2x e >时，()0f x >， 故选：A 【点睛】本题主要考查导数与函数的图象，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 5．2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动.市民可以通过济南地铁APP 抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为（ ） A ．16B ．13C ．23D ．56【答案】D【解析】可以找事件的反面，即小王和小李都被选中的概率，然后用1减去，得到结果. 【详解】设小王和小李都被选中为事件M ，则()16P M =，则小王和小李至多一人被选中的概率为15166-=，故选D. 【点睛】对于至多，至少之类的概率题，可以找其反面概率，然后用1减去后得到结果，古典概型.属于简单题.6．若方程2214x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2m <B ．02m <<C ．24m <<D ．2m >【答案】B【解析】根据焦点在y 轴上的椭圆满足的条件列出不等式组，解不等式组可得答案. 【详解】方程2214x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则满足004040242m m m m m m m m >>⎧⎧⎪⎪->⇒<⇒<<⎨⎨⎪⎪-><⎩⎩，故选：B . 【点睛】本题考查椭圆标准方程的应用，考查分析推理能力，属于简单题.7．若函数()()11xf x e a x =--+在(0，1)上不单调，则a 的取值范围是（ ）A ．()2,1e +B ．[]2,1e +C ．(][),21,e -∞⋃++∞ D ．()(),21,e -∞⋃++∞【答案】A【解析】求导得()1x f x e a '=-+，原问题可转化为()'f x 在(0,1)上有变号零点，由于()'f x 单调递增，只需满足()()010f f ''<，解之即可．【详解】 解：()(1)1x f x e a x =--+，()1x f x e a '∴=-+，若()f x 在(0,1)上不单调，则()'f x 在(0,1)上有变号零点，又()f x '单调递增，()()010f f ''∴<，即(11)(1)0a e a -+-+<，解得21a e <<+．a ∴的取值范围是(2,e +1)．故选：A ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点存在定理，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F ，2F ，A 为左顶点，过A M ，若120MF MF ⋅=，则该双曲线的离心率是（ ）A B C ．3D ．53【答案】B【解析】联立直线与双曲线的渐近线方程，求出M 的坐标，再根据120MF MF ⋅=，得到方程，即可得到b a =【详解】解：∵直线与双曲线的渐近线相交于第一象限，联立)x y x a b y x y a ⎧⎧=⎪=+⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，即M ，设()1,0F c -，()2,0F c21200MF MF c c ⎫⋅=⇒-+=⎪⎪⎭22220c ⎛⎫⎛⎫⇒-+=，化简得()2233a b =，b a =e ==. ∴故选：B. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查计算能力，属于中档题.二、多选题9．随着我国经济结构调整和方式转变，社会对高质量人才的需求越来越大，因此考研现象在我国不断升温．某大学一学院甲、乙两个本科专业，研究生的报考和录取情况如下表，则A ．甲专业比乙专业的录取率高B ．乙专业比甲专业的录取率高C ．男生比女生的录取率高D ．女生比男生的录取率高【答案】BC【解析】根据数据进行整合，甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人；结合选项可得结果.【详解】由题意可得甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人；甲专业的录取率为259028.75%100300+=+，乙专业的录取率为1805046%400100+=+，所以乙专业比甲专业的录取率高. 男生的录取率为2518041%100400+=+，女生的录取率为905035%300100+=+，所以男生比女生的录取率高. 故选：BC. 【点睛】本题主要考查频数分布表的理解，题目较为简单，明确录取率的计算方式是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．线段11B D 上存在点F ，使得AC AF ⊥ B ．//EF 平面ABCDC ．AEF 的面积与BEF 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值 【答案】BD【解析】建立空间直角坐标系，再依次讨论各选项，即可得答案. 【详解】解：如图，以C 为坐标原点建系CD ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，()1,1,0A ，()0,0,0C ，()1,1,0AC =--，1B F B λ=11D ，即()()0,1,11,1,0x y z λ---=- ∴x λ=，1y λ=-，1z =， ∴(),1,1F λλ-，()1,,1AF λλ=--()()11010AC AF λλ⋅=--++=≠∴AC 与AF 不垂直，A 错误.E ，F 都在B ，D 上，又11//BD B D∴//EF BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ∴//EF 平面ABCD ，B 正确AB 与EF 不平行，则1A B 与EF 的距离相等∴AEF BEF S S ≠△△，∴C 错误A 到BEF 的距离就是A 到平面11BDDB 的距离 A 到11BDD B 的距离为222AC =1111224BEF S =⨯⨯=△∴112234224A BEF V -=⨯⨯=是定值，D 正确. 故选：BD.【点睛】本题考查空间线面位置关系，空间几何体的体积等，考查空间思维能力与运算能力，是中档题.11．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为12,e e ，则下列结论正确的是（ ）A ．()11222a c a c +>+B ．1122a c a c -=-C ．1221a c a c >D ．2112e e +=【答案】ABD【解析】先根据已知的条件确定1a 和2a 的关系，以及1c 和2c 的关系，再判断正确选项． 【详解】由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，可得212a a =， 由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，可得221a c c +=； 因为112222a c a a c +=++，且22a c >，则112222222()a c a a c a c +=++>+，所以A 正确；因为11222222()a c a a c a c -=-+=-，所以B 正确；因为21222a a c c =，212222222()a c a c a a a c =+=+，则有22222222121222()0a c a a c a a c a a c c -=--=-<，所以C 错误；因为1211222122a c c e a e a +==+=，所以D 正确； 故选：ABD . 【点睛】本题考查椭圆的定义，椭圆的圆扁程度与参数之间的关系，属基础题.12．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=，且11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 在1=x e处取得极大值 C ．()011f <<D ．()f x 在()0,∞+单调递增【答案】ACD【解析】根据题意可设()21ln 2f x x x bx =+，根据11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭求b ，再求()f x '判断单调性求极值即可. 【详解】∵函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=即满足()()2'ln xf x f x xx x-= ∵()()()2'f x xf x f x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭ ∴()ln f x xx x '⎛⎫=⎪⎝⎭∴可设()21ln 2f x x b x =+（b 为常数） ∴()21ln 2f x x x bx =+ ∵211111ln 2b f e e e e e ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭，解得12b = ∴()211ln 22f x x x x =+ ∴()112f =，满足()011f <<∴C 正确 ∵()()22111ln ln =ln 10222f x x x x '=+++≥，且仅有1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴B 错误，A 、D 正确 故选：ACD 【点睛】本题主要考查函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中档题.三、填空题13．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数且()()11f x f x +=-，若()19f =，则()2019f =______.【答案】9-【解析】首先变形求得函数的周期，再根据周期和奇偶性求值. 【详解】()()()111f x f x f x +=-=--，则()()()()()244f x f x f x f x =--=---=- ∴()f x 同期为4()()()()()2019504433119f f f f f =⨯+==-=-=-.故答案为：9-. 【点睛】本题考查性质的综合应用，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型.14．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于P ，Q 两点，以P ，Q 为圆心的两圆与双曲线的同一条渐近线相切，若两圆的半径之和，则双曲线的离心率为________. 【答案】32【解析】不妨取22,,b b P c Q c a a ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,，分别计算两点到渐近线0bx ay -=的距离12,r r，根据12r r +=求解即可.【详解】x c =-代入()222210,0x y a b a b -=>>可得2b y a=±， 不妨取22,,b b P c Q c a a ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,，渐近线方程为0bx ay -=，设圆P 和圆Q 的半径分别为12,r r ，∵圆P 和圆Q 均与双曲线的同—条渐近线相切，2212,bc b bc b r r cc+-∴====,，122r r b ∴+==，即2b a =， ∴离心率32e ====， 故答案为：32【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查了数形结合思想和运算能力，属于中档题. 15．已知函数()2f x x 2ax =+，()2g x 4a lnx b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()a 0,∞∈+时，实数b 的最大值是______．【答案】【解析】由题意可得()()00f x g x =，()()00''f x g x =，联立后把b 用含有a 的代数式表示，再由导数求最值得答案． 【详解】 设()00,P x y ，()'22f x x a =+，()24'a g x x=．由题意知，()()00f x g x =，()()00''f x g x =，即2200024x ax a lnx b +=+，①200422a x a x +=，②解②得0x a =或02(x a =-舍)，代入①得：2234b a a lna =-，()0,a ∞∈+，()'684214b a alna a a lna =--=-，当140,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0b >，当14,a e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，'0b <．∴实数b的最大值是1144b e elne ⎛⎫== ⎪⎝⎭．故答案为 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．四、双空题16．已知13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式各项系数之和为64，则展开式中第五项的二项式系数是______，展开式中2x 的系数是______. 【答案】15 1215【解析】利用二项展开式所有项的系数和为64可求得n 的值，进而可计算得出展开式中第五项的二项式系数，写出二项展开式的通项，令x 的指数为2，求得参数的值，代入通项可求得展开式2x 的系数. 【详解】13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式各项系数之和为()31264n n-==，解得6n =， 所以，展开式中第五项的二项式系数为4615C =；613x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()66621661331rr r r r rr r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 令622r -=，可得2r ，所以，展开式中2x 的系数为()2246311215C ⋅⋅-=. 故答案为：15；1215. 【点睛】本题考查利用二项展开式各项系数和求参数，同时也考查了指定项的系数以及二项式系数的求解，考查计算能力，属于中等题.五、解答题17．在①()()0f x f x +-=，②()()0f x f x --=，③()()22f f -=-这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.已知函数())()2log f x x a R =∈满足______.（1）求a 的值；（2）若函数()()21f xg x -=+，证明：()254g x x -≤.【答案】（1）1，（2）证明见解析.【解析】若选择①，（1）根据()()0f x f x +-=，求出1a =；（2）化简()1g x x =-+，求出22()1g x x x x -=-++的最大值可证不等式；若选择②，求不出a 的具体值，故不能选②； 若选择③，（1）根据()()22f f -=-，求出1a =；（2）化简()1g x x =-+，求出22()1g x x x x -=-++的最大值可证不等式；【详解】若选择①()()0f x f x +-=，（1）因为()()0f x f x +-=，所以))22log log x x +0=，所以)2log xx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦0=，所以221x a x +-=，解得1a =.（2）由（1）知，)2()log f x x =，)2()log f x x -=，所以)2log ()2111xg x x x =+=+-=-+，所以222()()11g x x x x x x -=--+=-++215()24x =--+54≤. 若选择②()()0f x f x --=，因为()()0f x f x --=，所以))22log log 0x x -=，x x ，所以0x =，0a ≥，此时求不出a 的具体值，所以不能选②；若选择③()()22f f -=-，（1）因为()()22f f -=-,所以))22log 2log 2=-，所以)221=，所以441a +-=，所以1a =.（2）由（1）知，)2()log f x x =，)2()log f x x -=，所以)2log ()2111xg x x x =+=+-=-+，所以222()()11g x x x x x x -=--+=-++215()24x =--+54≤. 【点睛】本题考查了对数的运算，考查了不等式的证明，属于基础题 18．已知()()32231f x x ax bx aa =+++>在1x =-时有极值0．（1）求常数a ，b 的值；（2）求()f x 在区间[]4,0-上的最值．【答案】（1）2a =，9b =；（2）最小值为0，最大值为4.【解析】（1）已知函数322()3f x x ax bx a =+++在1x =处有极值0，即(1)0f -=，(1)0f '-=，通过求导函数，再代入列方程组，即可解得a 、b 的值；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可． 【详解】解：（1）()236f x x ax b '=++，由题知：()()210360(1)10130(2)f a b f a b a ⎧-=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-=-+-+=⎪⎩'⎩ 联立（1）、（2）有13a b =⎧⎨=⎩（舍）或29a b =⎧⎨=⎩．当13a b =⎧⎨=⎩时()()22363310f x x x x '=++=+≥在定义域上单调递增，故舍去； 所以2a =，9b =，经检验，符合题意（2）当2a =，9b =时，()()()23129331x x x x f x =++=++'故方程()0f x '=有根3x =-或1x =-∴由2()31290f x x x '=++>，得(,3)x ∈-∞-或(1,)-+∞由2()31290f x x x '=++<得(3,1)x ∈--，∴函数()f x 的单调增区间为：[)4,3--，(]1,0-，减区间为：(3,1)--．函数在3x =-取得极大值，在1x =-取得极小值；经计算()40f -=，()34f -=，()10f -=，()04f =，所以函数的最小值为0，最大值为4． 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于基础题．19．如图1，四边形ABCD 为矩形，BC =2AB ，E 为AD 的中点，将ABE 、DCE 分别沿BE 、CE 折起得图2，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面DCE ⊥平面BCE .（1）求证：平面ABE ⊥平面DCE ；（2）若F 为线段BC 的中点，求直线FA 与平面ADE 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）63. 【解析】（1）证明CE ⊥平面ABE ，平面ABE ⊥平面DCE 即得证；（2）以点E 为坐标原点，EB ,EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，设1AB =，利用向量法求直线F A 与平面ADE 所成角的正弦值得解. 【详解】（1）证明：在图1中，BC =2AB ，且E 为AB 的中点，,AE AB AEB ∴=∴∠45︒=，同理45DEC ∠=.所以90CEB BE CE ∠=∴⊥， 又平面ABE ⊥平面BCE ，平面ABE平面BCE BE =，所以CE ⊥平面ABE ，又CE ⊂平面DCE ， 所以平面ABE ⊥平面DCE. （2）如图，以点E 为坐标原点，EB ,EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，设1AB =， 则())()0,0,0,,,,E BC AD F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，.向量222,0,,0,,2222EA ED ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面ADE 的法向量为(),,n x y z = 由0n EA n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00x z yz +=⎧⎨+=⎩，令1z =，得平面ADE 的一个法向量为()1,1,1n =--，又0,22FA ⎛=-⎝⎭，设直线F A 与平面ADE 所成角为θ， 则||sin1||||FA FA n n θ⋅===⨯所以直线F A 与平面ADE . 【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，考查空间直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．过去五年，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段.目前“精准扶贫”覆盖了全部贫困人口，东部帮西部，全国一盘棋的扶贫格局逐渐形成.到2020年底全国830个贫困县都将脱贫摘帽，最后4335万贫困人口将全部脱贫，这将超过全球其他国家过去30年脱贫人口总和.2020年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年，越是到关键时刻，更应该强调“精准”.为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组，为一“对点帮扶”农户引种了一种新的经济农作物，并指导该农户于2020年初开始种植.已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：（1）设2020年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为X 元，求X 的分布列； （2）若该农户从2020年开始，连续三年种植该经济农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该经济农作物一亩至少有两年的纯收入不少于16000元的概率；（3）2020年全国脱贫标准约为人均纯收入4000元.假设该农户是一个四口之家，且该农户在2020年的家庭所有支出与其他收入正好相抵，能否凭这一亩经济农作物的纯收入，预测该农户在2020年底可以脱贫?并说明理由.【答案】（1）分布列见解析；（2）0.896；（3）能预测该农户在2020年底可以脱贫，理由见解析.【解析】（1）首先由题意假设出事件A ，B ，并确定出发生的概率，由题意知利润=产量⨯市场价格-成本，继而得到X 所有可能取值，再由概率的基本性质可得相应概率，得到X 的分布列;（2）将所求概率的事件记为C ，由题意知每年收入相互独立，再由概率的基本性质可得()P C ，设这三年中有Y 年的纯收入不少于16000元，变量Y 服从二项分布，即可得解．（3）由（1）计算()E X ，再与4000进行比较即可得解． 【详解】 （1）由题意知：120020100023000,120015100017000⨯-=⨯-=， 90020100017000,90015100012500⨯-=⨯-=，所以X 的所有可能取值为：23000，17000，12500 设A 表示事件“作物产量为900kg ”，则()0.5P A =； B 表示事件“作物市场价格为15元/kg ”，则()0.4P B =． 则：()()()()2300010.510.40.3P X P A B ==⋅=--=()()()()()1700010.50.40.510.40.5P X P A B P A B ==⋅+⋅=-⨯+⨯-=()()125000.50.40.2P X P A B ==⋅=⨯=，所以X 的分布列为：（2）设C 表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于16000元”， 则()()()()1600023000170000.30.50.8P C P X P X P X =>==+==+=， 设这三年中有Y 年的纯收入不少于16000元， 则有：()~3,0.8Y B所以这三年中至少有两年的纯收入不少于16000元的概率为()33223320.80.80.20.896P P Y C C =≥=⨯+⨯⨯=．（3）由（1）知，2020年该农户种植该经济农作物一亩的预计纯收入为()230000.3170000.5125000.217900E X =⨯+⨯+⨯=（元）1790040004> 凭这一亩经济农作物的纯收入，该农户的人均纯收入超过了国家脱贫标准， 所以，能预测该农户在2020年底可以脱贫． 【点睛】本题考查概率的基本性质，考查二项分布，考查期望，属于中档题．21．已知P是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，以点P 及椭圆的左、右焦点1F ，2F 为顶点的三角形面积为 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过2F 作斜率存在且互相垂直的直线1l ，2l ，M 是1l 与C 两交点的中点，N 是2l 与C 两交点的中点，求△2MNF 面积的最大值．【答案】（Ⅰ）22184x y +=；（Ⅱ）49． 【解析】（Ⅰ）通过已知建立方程组，解方程组即得椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）设直线1l ：2x my =+，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，求出()()222222121MNF m m Sm m +=++,令21m t m +=，2t ≥，则2212MNF S t t=+△再利用导数求函数的最大值得解. 【详解】解：（Ⅰ）由点P在椭圆上可得22231a b+=， 整理得222223b a a b +=①．12122PF F Sc =⨯=2c =， 所以22224a b c b =+=+，代入①式整理得42120b b --=， 解得24b =，28a =．所以椭圆的标准方程为22184x y +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()22,0F ，所以设直线1l ：2x my =+，联立直线与椭圆的方程222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222480m y my ++-=．所以直线1l 与椭圆两交点的中点M 的纵坐标122222M y y my m +==+， 同理直线2l 与椭圆两交点的中点N 的纵坐标22221212N m m y m m --==++，所以22212MNF M N S MF NF y ==△()24221252m m m m +=++ ()()22222121m m m m+=++，将上式分子分母同除()21m m+可得，2222121MNF S m m m m =+++△，不妨设0m >，令21m t m+=，2t ≥，则2212MNF S t t =+△， 令()12f t t t =+，()2221't f t t-=，因为2t ≥，所以()'0f t >， 所以f t 在[)2,+∞单调递增，所以当2t =时，三角形△2MNF 面积取得最大值max 241942S ==+．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和面积最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 22．设函数()3()x f x mx e m R =-+∈. （1）讨论函数()f x 的极值；（2）若a 为整数，0m =，且(0,)x ∀∈+∞，不等式()[()2]2x a f x x --<+成立，求整数a 的最大值.【答案】（1）见解析；（2）2【解析】（1）求出函数()f x 的导数，分为0m ≤和0m >两种情形，结合极值的定义即可得结论；（2）原不等式等价于2,01x x a x x e +<+>-，令()2,01xx g x x x e +=+>-，根据导数和函数的最值的关系即可求出a 的最值.【详解】（1）由题意可得()f x 的定义域为R ，()'=-x f x m e当0m ≤时，()0f x '<恒成立， ∴()f x 在R 上单调递减，()f x 无极值， 当0m >时，令()0f x '=，解得ln x m =， 当(ln ,)x m ∈+∞时， ()0,()f x f x '<单调递减，当(ln )x m ∈-∞，时，()0,()f x f x '>，单调递增， ∴()f x 在ln x m =处取得极大值，且极大值为(ln )ln 3=-+f m m m m ，无极小值， 综上所述，当0m ≤时，无极值，努力的你，未来可期!精品 当0m >时，()f x 极大值为ln 3m m m -+，无极小值.（2）把0()3x m f x mx e =⎧⎨=-+⎩代入()[()2]2x a f x x --<+可得()(1)2x a x e x --<+， ∵0x >，则10x e -> ∴21x x a x e +-<-， ∴2,01x x a x x e +<+>-(*) 令2()1x x g x x e +=+-， ∴2(3)()(1)x x x e e x g x e --'=-， 由（1）可知，当1m =时，()3xf x e x =-++在()0,∞+上单调递减， 故函数()3xh x e x =--在(0,)+∞上单调递增，而(1)0(2)0h h <⎧⎨>⎩ ∴()h x 在(0,)+∞上存在唯一的零点0x 且0(1,2)x ∈故()'g x 在(0,)+∞上也存在唯一的零点且为0x当0)(0x x ∈，时，()0g x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，∴min 0()()g x g x =由0()0g x '=，可得003x e x =+，∴00()1g x x =+，∴0()(2,3)g x ∈，由()式等价于0()a g x <，∴整数a 的最大值为2.【点睛】本题考查了导数和函数的单调性极值最值得关系，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于难题.。
江苏省苏州市高三（上）20212021届数学期末汇编数列
1. （2021·苏州期末·8）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且63198S S =-，42158a a =--，则3a 的值为 ． 【答案】942. （2021·苏州期末·19）已知各项是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若2123n n n a S S -++=（n N *，n ≥2），且12a =．① 求数列{}n a 的通项公式；② 若12n n S λ+⋅≤对任意*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围；（2）数列{}n a 是公比为q （q ＞0， q 1）的等比数列，且{a n }的前n 项积．为10nT ．若存在正整数k ，对任意n N *，使得(1)k n knT T +为定值，求首项1a 的值．【答案】解（1）①当2n ≥时，由212,3n n n a S S -++= ①则2112,3n n n a S S ++++= ②②-①得22111()3n n n n a a a a ++-=-，即13n n a a +-=，2n ≥······································ 2分 当2n =时，由①知2212123a a a a +++=，即2223100a a --=，解得25a =或22a =-（舍），所以213a a -=，即数列{}n a 为等差数列，且首项13a =，所以数列{}n a 的通项公式为31n a n =-. ········································································· 5分 （注：不验证213a a -=扣1分）②由①知，31n a n =-，所以2(312)322n n n n nS -++==， 由题意可得212322n n n S n nλ+++=≥对一切*n ∈N 恒成立，记2232n n n nc ++=，则2113(1)(1)2n n n n c -+-+-=，2n ≥，所以21231142n n n n n c c -+-+--=，2n ≥， ······································································· 8分 当4n >时，1n n c c -<，当4n =时，41316c =，且31516c =，278c =，112c =，所以当3n =时，2232n n n nc ++=取得最大值1516，所以实数λ的取值范围为15[,)16+∞. ················································································· 11分 （2）由题意，设11n n a a q -=（0,1q q >≠），1210n T n a a a ⋅⋅⋅=，两边取常常利用对数，12lg lg lg n n T a a a +++=．令1lg lg lg lg n n b a n q a q ==+-，则数列{}n b 是以1lg a 为首项，lg q 为公差的等差数列， ·············································· 13分若(1)k n knT T +为定值，令(1)k n knT T μ+=，则11(1)[(1)1](1)lg lg 2(1)lg lg 2k n k n k n a qkn kn kn a qμ++-++=-+， 即2221{[(1)]lg }[(1)](lg )lg 0a k k q n k k q qμμ+-++-=对*n ∈N 恒成立，因为0,1q q >≠，问题等价于2221(1)0,(1)0.k k k k a q μμ⎧+-=⎪⎨+-==⎪⎩或将1k k+(1)0k k μ+-=，解得01μμ==或. 因为*k ∈N ，所以0,1μμ>≠，所以21a q =，又0,n a >故1a = ·················································································· 16分 3. （苏州市2021届高三上期末调研测试）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若7772-==S a ,，则7a 的值为【答案】－134. （苏州市2021届高三上学期期末）19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n﹣2（n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }知足=﹣﹣…+（﹣1）n +1，求数列{b n }的通项公式；（3）在（2）的条件下，设c n =2n +λb n ，问是不是存在实数λ使得数列{c n }（n ∈N *）是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由．【答案】解：（1）由S n =2a n ﹣2（n ∈N *），可得a 1=2a 1﹣2，解得a 1=2；n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2﹣（2a n ﹣1﹣2），化为：a n =2a n ﹣1． ∴数列{a n }是等比数列，公比为2，首项为2．∴a n =2n ．（2）∵==﹣﹣…+（﹣1）n +1，∴=﹣﹣…+，∴=（﹣1）n +1，∴b n =（﹣1）n．当n=1时，=，解得b 1=．∴b n =．（3）c n =2n +λb n ，∴n ≥3时，c n =2n +λ，c n ﹣1=2n ﹣1+（﹣1）n ﹣1λ，c n ﹣c n ﹣1=2n ﹣1+＞0，即（﹣1）n •λ＞﹣．①当n 为大于或等于4的偶数时，λ＞﹣，即λ＞﹣，当且仅当n=4时，λ＞﹣．②当n 为大于或等于3的奇数时，λ＜，当且仅当n=3时，λ＜．当n=2时，c 2﹣c 1=﹣＞0，即λ＜8． 综上可得：λ的取值范围是．5. （苏州市2021届高三上期末）已知{}n a 是等差数列，a 5＝15，a 10＝－10，记数列{}n a 的第n 项到第n +5项的和为T n ，则n T 取得最小值时的n 的值为 【答案】5或66. （苏州市2021届高三上期末）已知数列{}n a 知足：112a =，113n n n a a p nq -+-=⋅-，*n ∈N ,,p q ∈R .（1）若0q =，且数列{}n a 为等比数列，求p 的值； （2）若1p =，且4a 为数列{}n a 的最小项，求q 的取值范围.【答案】解：（1）0q =，113n n n a a p -+-=⋅，∴2112a a p p =+=+，321342a a p p =+=+， 由数列{}n a 为等比数列，得21114222p p ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0p =或1p =. ………………3分当0p =时，1n n a a +=，∴12n a = 符合题意； ………………………4分 当1p =时，113n n n a a -+-=，∴()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()12111131133322132n n n ----++++=+=⋅-，∴13n na a +=符合题意. ………………………6分 （2）法一：若1p =，113n n n a a nq -+-=-， ∴()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()()211331212n n q -++++-+++-⎡⎤⎣⎦=()11312n n n q -⎡⎤--⎣⎦. ………………8分 ∵数列{}n a 的最小项为4a ，∴对*n ∀∈N ，有()()141131271222n n n q a q -⎡⎤--=-⎣⎦≥恒成立， 即()1232712n n n q ----≥对*n ∀∈N 恒成立. ………………………10分 当1n =时，有2612q --≥，∴136q ≥； 当2n =时，有2410q --≥，∴125q ≥； 当3n =时，有186q --≥，∴3q ≥；当4n =时，有00≥，∴q ∈R ； ………………………12分当5n ≥时，2120n n -->，所以有1232712n q n n ----≤恒成立，令()123275,12n n c n n n n --=∈--N *≥，则()()()2112222123540169n n n n n n c c n n -+--+-=>--， 即数列{}n c 为递增数列，∴5274q c =≤. ………………………15分综上所述，2734q ≤≤. ………………………16分 法二：因为1p =，113n n n a a nq -+-=-，又4a 为数列{}n a 的最小项，所以43540,0,a a a a -⎧⎨-⎩≤≥即930,2740,q q -⎧⎨-⎩≤≥所以2734q ≤≤. …………………………………………………………8分 此时2110a a q -=-<，32320a a q -=-<，所以1234a a a a >>≥. …………………………………………………………10分 当4n ≥时，令1n n n b a a +=-，141127232304n n n b b q --+-=⋅-⋅->≥， 所以1n n b b +>，所以4560b b b <<<≤，即4567a a a a <<<≤. …………………………………………………………14分综上所述，当2734q ≤≤时，4a 为数列{}n a 的最小项， 即所求q 的取值范围为27[3,]4. …………………………………………………………16分 7. （苏州市2021届高三上期末）已知等差数列{}n a 中，4610a a +=，若前5项的和55S =，则其公差为 【答案】28. （苏州市2021届高三上期末）已知数列{}n a 中1111,33n n n a n a a a n+⎧+⎪==⎨⎪-⎩((n n 为奇数）为偶数）.（1）是不是存在实数λ，使数列2{-}n a λ是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由；（2）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，求知足0n S >的所有正整数n . 【答案】解：（1）设2n n b a λ=-，因为()21122221213n n n nn n a n b a b a a λλλλ+++++--==--()()222211621133n n n n a n n a a a λλλλ-++-+-==--． …………………………………2分若数列{}2n a λ-是等比数列，则必需有22113n n a q a λλ+-=-（常数）， 即()211103n q a q λ-+-+=⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()103110q q λ-=-+=⎧⎪⎨⎪⎩⇔1332q λ==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， …………………5分此时1213131102326b a a =-=+-=-≠， 所以存在实数32λ=，使数列{}2n a λ-是等比数列………………………………………6分 （注：利用前几项，求出λ的值，并证明不扣分） （2）由（1）得{}n b 是以16-为首项，13为公比的等比数列， 故123111126323n n n n b a -⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2113232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，…………………8分由()2211213n n a a n -=+-，得()1212111533216232n n n a a n n --⎛⎫=--=-⋅-+⎪⎝⎭，……10分 所以12121111692692333n n nn n a a n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-⋅+-+=-⋅-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，11133(1)2691213nn n n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-⋅-⋅+-()221113631233nnn n n ⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………………………………………12分显然当*n N ∈时，{}2n S 单调递减，又当1n =时，2703S =>，当2n =时，4809S =-<，所以当2n ≥时，20n S <； 2212231536232nn n n S S a n n -⎛⎫=-=⋅--+ ⎪⎝⎭，同理，当且仅当1n =时，210n S ->．综上，知足0n S >的所有正整数n 为1和2．…………………………………………… 16分9. （苏州市2021届高三上期末调研测试）4.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5 = 5，S 9 = 27，则S 7 = ． 【答案】1410. （苏州市2021届高三上期末调研测试）19.（本小题满分16分）设数列{a n }知足a n +1 = 2a n+ n 2 - 4n + 1．（1）若a 1 = 3，求证：存在2()f n an bn c =++（a ，b ，c 为常数），使数列{ a n + f (n ) }是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；（2）若a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，求首项a 1的值与数列{b n }的通项公式． 【答案】解：（1）∵a n +1 = 2a n + n 2 - 4n + 1，设21(1)(1)n a a n b n c ++++++= 2 (a n +2an bn c ++)，……………… 2分 也即212(2)n n a a an b a n c a b +=++-+--． ……………… 4分∴1,24,1.a b a c a b =⎧⎪-=-⎨⎪--=⎩∴a = 1，b = - 2，c = 0． ……………… 6分 ∵a 1 + 1 - 2 = 2，∴存在2()2f n n n =-，使数列{ a n +22n n -}是公比为2的等比数列．……… 8分∴212222n n n a n n -+-=⨯=．则222n n a n n =-+． ……………… 10分 （2）∵a n +1 = 2a n + n 2 - 4n + 1， 即221(1)2(1)2(2)n n a n n a n n +++-+=+-， ∴2112(1)2n n a n n a -+-=-．即121(1)22n n a a n n -=--+． ………… 12分 ∴121(1),(1)223(2).n n a n b a n n -=⎧⎪=⎨--+⎪⎩≥ ………… 14分 ∵{b n }是等差数列，∴a 1 = 1，b n = -2n + 3． ………… 16分11. （苏州市2021届高三第一学期期末）19.(本小题满分16分) 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，知足21n n a S An Bn +=++（0A ≠）．（1）若132a =，294a =，求证数列{}n a n -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）已知数列{}n a 是等差数列，求1B A-的值． 12. （苏州市2021届高三高三调研测试）4.在等比数列{}n a 中,若3578a a a =-,则24a a =________ 【答案】413. （苏州市2021届高三高三调研测试）19. (本题满分16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知121a a ==,(2)n n n b nS n a =++,数列{}n b 是公差为d 的等差数列,*n N ∈. （1）求d 的值;（2）求数列{}n a 的通项公式;（3）求证:2112122()()(1)(2)n n n a a a S S S n n +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅<++.。
江苏省苏州市高三（上）20212021届数学期末汇编圆锥曲线
1. （2021·苏州期末·3）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =-的核心坐标为 ．【答案】(2,0)-2. （2021·苏州期末·18）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，椭圆上动点P 到一个核心的距离的最小值为1)-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点(0,1)M -的动直线l 与椭圆C 交于 A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是不是恒过定点，并说明理由．【答案】解（1）由题意c a =，故a ， ····················································· 1分又椭圆上动点P 到一个核心的距离的最小值为1)，所以3a c -=， 2分解得3c =，a =2229b a c =-=， ························································· 4分所以椭圆C 的标准方程为221189x y +=. ······································································· 6分（2）当直线l 的斜率为0时，令1y =-，则4x =±，此时以AB 为直径的圆的方程为2(1)16x y ++=． ························································ 7分 当直线l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为229x y +=， ························· 8分联立222(1)16,9,x y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩解得0,3x y ==，即两圆过点(0,3)T ． 猜想以AB 为直径的圆恒过定点(0,3)T ． ······································································· 9分对一般情况证明如下：设过点(0,1)M -的直线l 的方程为1y kx =-与椭圆C 交于1122(,),(,)A x y B x y , 则221,218,y kx x y =-⎧⎨+=⎩整理得22(12)4160k x kx +--=，所以121222416,1212k x x x x k k +==-++．·········································································· 12分 （注：若是不猜想，直接写出上面的联立方程、韦达定理，正确的给3分） 因为1122121212(,3)(,3)3()9TA TB x y x y x x y y y y ⋅=-⋅-=+-++22222216(1)1616(12)16160121212k k k k k k-+-+=-+=+=+++， 所以TA TB ⊥．所以存在以AB 为直径的圆恒过定点T ，且定点T 的坐标为(0,3)． ··························· 16分 3. （苏州市2021届高三上学期期末调研3）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线16322=-y x 的离心率为4. （苏州市2021届高三上学期期末17．）已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的离心率为，而且过点P （2，﹣1）（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过p 点作两条直线别离交椭圆C 于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若直线PQ 平分∠APB ，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．【答案】（1）解：由，得，即a 2=4b 2，∴椭圆C 的方程可化为x 2+4y 2=4b 2．又椭圆C 过点P （2，﹣1）， ∴4+4=4b 2，得b 2=2，则a 2=8．∴椭圆C 的方程为；（2）证明：由题意，设直线PA 的方程为y +1=k （x ﹣2），联立，得（1+4k 2）x 2﹣8（2k 2+k ）x +16k 2+16k ﹣4=0．∴，即．∵直线PQ 平分∠APB ，即直线PA 与直线PB 的斜率互为相反数，设直线PB 的方程为y=1=﹣k （x ﹣2），同理求得．又，∴y 1﹣y 2=k （x 1+x 2）﹣4k ．即=，．∴直线AB 的斜率为．5. （苏州市2021届高三上期末）双曲线22145x y -=的离心率为【答案】326. （苏州市2021届高三上期末）如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2＝1的右核心为F ，点B ，C别离是椭圆O 的上、下极点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点（与y 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ．（1）当直线PM 过椭圆的右核心F 时，求△FBM 的面积； （2）①记直线BM ，BP 的斜率别离为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值； ②求PB PM ⋅的取值范围．【答案】（1）由题意(0,1),(0,1)B C -，核心F ，当直线PM 过椭圆的右核心F 时，则直线PM11y +=-，即1y -，联立，221,41,x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得71,7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,1x y =⎧⎨=-⎩（舍），即1)7M ． ………………2分 连BF ，则直线BF11y+=，即0x -=， 而2BF a ==，1|72d +==． ………………………4分故11222MBFSBF d =⋅⋅=⋅=． ………………………5分 （2）解法一：①设(,2)P m -，且0m ≠，则直线PM 的斜率为1(2)10k m m---==--，则直线PM 的方程为11y x m=--， 联立2211,1,4y x m x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2248(1)0x x m m ++=，解得22284(,)44m m M m m --++， ………8分所以22212412148844m m m k m m m m ---+===--+，21(2)30k m m --==--， 所以1231344k k m m ⋅=-⋅=-为定值． …………………10分② 由①知，(,3)PB m =-，2322222841212(,2)(,)4444m m m m m PM m m m m m ---+=--+=++++，所以324222212121536(,3)(,)444m m m m m PB PM m m m m ++++⋅=-⋅-=+++， …………………13分 令244m t +=>，故22(4)15(4)367887t t t t PB PM t t t t-+-++-⋅===-+，因为87y t t=-+在(4,)t ∈+∞上单调递增，所以8874794PB PM t t ⋅=-+>-+=，即PB PM ⋅的取值范围为(9,)+∞．………16分 解法二：①设点()000(,)0M x y x ≠，则直线PM 的方程为0011y y x x +=-， 令2y =-，得00(,2)1x P y --+. …………………7分 所以0101y k x -=，()020*******y k x x y +--==-+， 所以()()()()2200001222000031313113441y y y y k k x x x y --+-=⋅===--（定值）. …………………10分 ②由①知，00(,3)1x PB y =+，0000(,2)1xPM x y y =+++， 所以()()()()20000000200023212311x y x x PB PM x y y y y y +⎛⎫⋅=+++=++ ⎪+++⎝⎭ =()()()()()()200000200412723211y y y y y y y -+-+++=++． …………………13分令()010,2t y =+∈，则()()8187t t PB PM t tt-+⋅==-++，因为87y t t=-++在(0,2)t ∈上单调递减，所以8872792PB PM t t ⋅=-++>-++=，即PB PM ⋅的取值范围为(9,)+∞． ……16分7. （苏州市2021届高三上期末）以抛物线24y x =的核心为极点，极点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为【答案】2213y x -=8. （苏州市2021届高三上期末）如图，已知椭圆22:1124x y C +=，点B 是其下极点，过点B 的直线交椭圆C 于另一点A （A 点在x 轴下方），且线段AB 的中点E 在直线y x =上.（1）求直线AB 的方程；（2）若点P 为椭圆C 上异于A 、B 的动点，且直线AP ,BP 别离交直线y x =于点M 、N ，证明：OM ON 为定值.【答案】解：（1）设点E （m ，m ），由B （0，－2）得A （2m ，2m+2）． 代入椭圆方程得224(22)1124m m ++=，即22(1)13m m ++=，解得32m =-或0m =（舍）． ………………………………………………3分 所以A （3-，1-），故直线AB 的方程为360x y ++=． …………………………………………………6分 （2）设00(,)P x y ，则22001124x y +=，即220043x y =-． 设(,)M M M x y ,由A ，P ，M 三点共线，即AP AM ，∴00(3)(1)(1)(3)M M x y y x ++=++，又点M 在直线y=x 上，解得M 点的横坐标000032M y x x x y -=-+， (9)分设(,)N N N x y ，由B ，P ，N 三点共线，即BPBN ，∴00(2)(2)N N x y y x +=+，点N 在直线y=x 上，，解得N 点的横坐标00022N x x x y -=--． (12)分所以OM ·0|0|M N x x --=2||||M N x x ⋅＝200003||2y x x y --+0002||2x x y -⋅--=2000200262||()4x x y x y ---=2000220000262||23x x y x x x y ---=2000200032||3x x y x x y --=6．…………………… 16分 9. （苏州市2021届高三上期末调研测试）18.（本小题满分16分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A （2，0），点P （2e ，12）在椭圆上（e 为椭圆的离心率）．（1）求椭圆的方程；（2）若点B ，C （C 在第一象限）都在椭圆上，知足OC BA λ=，且0OC OB ⋅=，求实数λ的值．【答案】解：（1）由条件，a = 2，2ce =，代入椭圆方程，得221144c b+=． ………… 2分 ∵224b c +=， ∴21b =，c 2 = 3．∴椭圆的方程为2214x y +=．………… 5分（2）设直线OC 的斜率为k ，则直线OC 方程为y = kx ，代入椭圆方程2214x y +=，即x 2 + 4y 2 = 4，得22(14)4k x +=，∴C x =则C）． ………… 7分又直线AB 方程为y = k (x - 2)， 代入椭圆方程x 2 + 4y 2 = 4， 得2222(14)161640k x k x k +-+-=． ∵2A x =，∴222(41)14B k x k -=+．则B （2222(41)4,1414k kk k --++）． ………… 9分 ∵0OC OB ⋅=20=．∴212k =．∵C 在第一象限，∴k > 0，k =．………… 12分∵OC =，222222(41)444(2,0)(,)14141414k k kBA k k k k --=--=++++，由OC BA λ=，得λ= ………… 15分∵k =，∴λ． ………… 16分 10. （苏州市2021届高三第一学期期末）9.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左极点为A ，过双曲线E 的右核心F 作与实轴垂直的直线交双曲线E 于B ，C 两点，若ABC ∆为直角三角形，则双曲线E 的离心率为 ． 【答案】211. （苏州市2021届高三第一学期期末）18.(本小题满分16分) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左核心，A ，B ，C 别离为椭圆E 的右、下、上极点，知足5FC BA =，椭圆的离心率为12． （1）求椭圆的方程；（2）若P 为线段FC （包括端点）上任意一点，当PA PB 取得最小值时，求点P 的坐标； （3）设点M 为线段BC （包括端点）上的一个动点，射线MF 交椭圆于点N ，若NF FM λ=，求实数λ的取值范围．12. （苏州市2021届高三高三调研测试）5.与双曲线221916x y -=有公共的渐近线,且通过点(3,A -的双曲线方程是__________.【答案】9x 42-4y 2=113. （苏州市2021届高三高三调研测试）18. (本题满分16分)如图,设点P 是椭圆22:14x E y +=上的任意一点(异于左,右极点A,B ).（1）若椭圆E 的右核心为F ,上极点为C ,求以F 为圆心且与直线AC 相切的圆的半径; （2）设直线,PA PB 别离交直线10:3l x =与点M,N ,求证:PN BM ⊥.。
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3 2
sin
2x
1
3 2
sin
2x
6
.
据此可得函数的值域为： 1
3 ,1 2
3
2
.
13．
(1)
A
2,
-3
，
B
-1,
0
，AB
的中点为：
1 2
,
-
3 2
，AB
的斜率为
1.
所以 AB 的垂直平分线为 x−y−2=0，与 3x−y=0 的交点为(−1,−3)，
所以圆心坐标为 C 1, 3，r CA 3，
11．已知两点 A(1, 0) ， B(1,0) ，若直线 x y a 0 上存在点 P(x, y) 满足 AP BP 0 ， 则实数 a 满足的取值范围是__________
四． 解答题：本题共 3 小题，每题 15 分，共 45 分．解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤．
12．设函数 f (x) sinx, x R .
D．（－ 1 ，0）∪(0，＋∞)
2
2
2．设点 A ， B ， C 不共线，则“ AB AC BC ”是“ AB AC ”（）
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
3．将函数 f x cos 2x 图象上所有点向左平移 个单位长度后得到函数 g x 的图象，
D． 3 16
5．已知点列 An an,bn n N* 均在函数 y ax a 0, a 1 图像上，点列 Bn n, 0 满足
AnBn AnBn1 ，若数列 bn 中任意连续三项能构成三角形的三边，则 a 的范围为（）
A． 0,
5 1 2
5 2
1
,
B．
5 2
1 ,1
高三小练 12 答案 1.C 2.C 3.B 4.B 5.B 6.B 7.ABD 8.ACD9.BC
x2 ( y 1)2 1
10.
2
11. 2, 2
12．. (1)由题意结合函数的解析式可得： f x sin x ，
函数为偶函数，则当 x 0 时， 0 k k Z ，即 k k Z ，结合
（1）已知 [0, 2), 函数 f (x ) 是偶函数，求 的值；
（2）求函数 y [ f (x )]2 [ f (x )]2 的值域.
12
4
13．已知圆 C 圆心在直线 3x y 0 上，且经过点 A(2, -3) ， B(-1, 0) ， （1）求圆 C 的标准方程； （2）若点 P(x, y) 在圆 C 上，求 y 2 的取值范围.
C． a2 b2 的最小值是 2 2
D． a2 的取值范围是 0,
b 1
xex，x 1
9.已知函数
f
(x)
ex x3
，x
1
，函数
g(x)xfLeabharlann (x) ，下列选项正确的是（）
A．点 (0, 0) 是函数 f (x) 的零点
B． x1 (0,1), x2 (1,3) ，使 f (x1) f (x2 )
1,
5 1 2
C． 0,
3 1 2
3 1 2
,
D．
32 1 ,1
1,
3 1 2
6．已知点 M (a,b)(ab 0) 是圆 x2 y2 r2 内一点，直线 g 是以 M 为中点的弦所在直线，
直线 l 的方程为 bx ay r2 0 ，则（ A． l g ，且 l 与圆相交 C． l / / g ，且 l 与圆相交
苏州中学高三数学小练 12(2020.12.8)
一、 单项选择题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分
1．已知向量 a ＝(－2，－1)， b ＝(λ，1)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则 λ 的取值范围是（）
A．（－ 1 ，＋∞ ） 2
B．(2，＋∞)
C．（－ 1 ，2）∪(2，＋∞)
4
如果 g x 在区间0, a 上单调递减，那么实数 a 的最大值为（）
A． 8
B． 4
C． 2
D． 3 4
4．在△ ABC 中，3CD BD ，AD 为 BC 边上的高，O 为 AD 的中点，若 AO AB AC ，
则 λ•μ=（ ）
A． 3 4
B． 3 16
C． 3 4
x2
14．已知圆 C : x2 y 12 5 ，直线 l : mx y 1 m 0 .
（1）求证：对 m R ，直线 l 与圆 C 总有两个交点； （2）设直线 l 与圆 C 交于点 A, B ，若 AB 17 ，直线 l 的倾斜角；
（3）设直线 l 与圆 C 交于点 A, B ，若定点 P 1,1 满足 2 AP BP ，求此时直线 l 的方程.
2
2
0,2 可取 k 0,1，相应的 值为 , 3 .
22
(2)由函数的解析式可得：
y
sin2
x
12
sin2
x
4
1
cos
2
x
6
1
cos
2x
2
2
2
1
1 2
cos
2x
6
cos
2x
2
1
1 2
3 2
cos
2x
1 2
sin
2x
sin
2
x
1
1 2
3 2
cos
2x
）
B． l g ，且 l 与圆相离 D． l / / g ，且 l 与圆相离
二、 多项选择题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
7．已知圆 O 与直线 l1 : y 2x 4 和 l2 : y 2x 6 共有两个公共点，则圆 O 的方程可以是
C．函数 f (x) 的值域为 e1,
D．若关于 x 的方程g(x)2 2ag(x) 0 有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是
2 e2
,
e2 8
(e 2
,
)
三．填空题：本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分
10．已知圆 C：
与直线
相切，且圆 D 与圆 C 关
于直线 对称，则圆 D 的方程是___________．
A． x 12 y 32 5
B． x 12 y 22 5
C． x 12 y 32 25
D． x 12 y 102 25
8．已知 a 、 b 为正实数，直线 x y a 0 与圆 x b2 y 12 2 相切，则（）
A．直线 x y a 0 与直线 x y b 0 的距离是定值 B．点 a,b 一定在该圆外