29第二十九讲 有效值平均值和平均功率及非正弦周期电路的计算(课堂PPT)

p ui [U0 Ukm cos(k1t uk )][I0 Ikm cos(k1t ik )]
k 0
k 0
式中u、i取关联参考方向。
平均功率为：
不同频率的正弦电压和电流
P
1 T
T
0
pdt
乘积的积分为零（即不产生平均 功率）；同频的正弦电压、电流 乘积的积分不为零。
P U0 I0 U1I1 cos 1 U2 I2 cos 2 Uk Ik cos k
１、有效值 ２、平均值 ３、平均功率
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１、有效值
任一周期电流 i 的有效值定义为：
I
1 T
T
0
i 2dt
设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数：
i I0 Ikm cos(k1t k ) k 1
代入有效值公式，则得此电流的有效值为：
I
1 T
T
0 [I0
Ikm cos(k1t k )]2 dt
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最后按时域形式迭加为：
i 13.47cos(1t 81.70o ) 14.47cos(31t 62.30o )
15.41cos(51t 34.41) ...
P P(1) P(3) P(5) P(9) 1337 .63W
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２、举例：例１３－３
例13-3 图示电路中L=5H，C=10µF，负载电阻R=2KΩ，电源us
I
I
2 0
I12
I
2 2
I
2 3
I
2 0
I
2 k
k 1
非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方与各次谐波有
效值的平方之和的平方根。
此结论适用于所有的非正弦周期量。 8
２、平均值
以电流 i 为例，其定义由下式表示：
I av
de f
1 T
T
i dt
0
即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。
式中：
Uk
U km 2
，I k
I
km
2
，k
uk
ik，k
1，2，
即平均功率等于恒定分量的功率和各次谐波平均功
率的代数和。 11
§１３－４ 非正弦周期电流电路的计算
１、谐波分析法的计算步骤 ２、举例： 例１３－２
例１３－３
12
１、谐波分析法的计算步骤
(1) 分解为傅里叶级数，并确定有限项。 （2）分别求出激励的恒定分量及各次谐波分量单独作用时
为正弦全波整流波形，设ω1=314rad/s，Um=157V。求 负载两端电压的各谐波分量。
源自文库L +
us Um
us
CR
-
0
π 2π
ω1t
解: 将给定的 us 分解为傅立叶级数,得
us
4
157
1 2
1 3
cos
(21t
)
1 15
cos(41t)
V
•
设负载两端的第k次谐波为U (k ) ，用结点电压法有：
的响应。
(3)应用叠加定理，把步骤（２）计算出的结果进 行叠加，求得所需响应。
注意：将表示不同频率正弦电流相量或电压相量 直接相加是没有意义的。
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２、举例：例１３－２
图示电路中,R=3Ω,
1
1C
21,1L
0.429, 输入电源为:
a
u_S
i
uR _
Rb
us 280.11cos(1t) 93.37 cos(31t) 56.02cos(51t)
（２）、谐波分析法
a、傅里叶级数的分解 b、应用叠加定理分别计算各项 c、叠加得到响应
3
２、傅里叶级数
（１）、傅里叶级数的分解
f
(t)
A0 2
A1m
cos(1t
1)
A2m
cos(21t
21)
Akm cos(k1t k )
A0 2
k 1
Akm cos(k1t k )
（２）、频谱：幅度频谱、相位频谱
（３）、函数的对称性
偶函数、奇函数、镜对称函数
a、计时起点与相位的关系 b、计时起点与函数的奇偶性 c、傅里叶级数的收敛性
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第十三章 非正弦周期电流电路和 信号的频谱
§１３－３ 有效值、平均值和平均功率 §１３－４ 非正弦周期电流电路的计算 §１３－５ 对称三相电路中的高次谐波
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§１３－３ 有效值、平均值和平均功率
第十三章 非正弦周期电流电路和 信号的频谱
§１３－３ 有效值、平均值和平均功率
§１３－４ 非正弦周期电流电路的计算
§１３－５ 对称三相电路中的高次谐波 重点：
１、有效值、平均值和平均功率 ；
２、非正弦周期电流电路的计算 。
1
一、知识回顾
１、非正弦周期信号 ２、傅里叶级数
2
１、非正弦周期信号
（１）、非正弦周期信号
uL _ c LuC_ C
d
40.03cos(71t) 31.12cos(91t) V
求电流 i 和电阻吸收的平均功率P 。
解：电路中的非正弦周期电压已分解为傅立叶级数形式。
电流相量一般表达式为：
•
•
•
I m(k)
U sm(k )
Z k1
U sm( k )
R jk1L j
根据迭加定理，按k=1，2，…的顺序，依次求解如下：
k 1
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上式中 i 的展开式平方后将含有下列各项：
1 T
T
0
I 02 dt
I
2 0
1
T
T 0
I
2 km
cos2 (k1t
k
)dt
I
2 k
1
T
T
0 2I0 Ikm cos(k1t k )dt 0
1
T
T 0
2 I km I qm
cos(k1t
k
) cos(q1t
q )dt
0，（k
q)
这样可求得 i 的有效值为：
用磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将是电流 的恒定分量；
用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值；
用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值， 因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。
因此，在测量非正弦周期电流和电压时，要选择合适 的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。
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３、平均功率
任意一端口的瞬时功率（吸收）为：
1
k1C
14
Z k1 3
j 0.429k
21 k
31
j 0.143k
7 k
(k )
arctan 0.143k
7 k
(阻抗角)
•
I m(k)
1 3
c
os(
k
)
•
U
sm
(
k
)
(k)
P(k )
1 2
I2 m(k )
•R
1.5
I
2 m
(
k
)
k 1
(1) 81.70 o (容性)
•
I m(1) 13.47 81.70 o A P(1) 272 .33W
按上式可求得正弦电流的平均值为：
I av
1 T
T
0
Im
cos(t )dt
4Im T
T
4 0
cos
(t
)dt
4Im
T
T
[sin(t )]04
0.637Im
0.898I
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，因为取电流的 绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。
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对于同一非正弦周期电流，当用不同类型的仪表进行测 量时，会得到不同的结果。例如：