29第二十九讲 有效值平均值和平均功率及非正弦周期电路的计算(课堂PPT)
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29第二十九讲 有效值平均值和平均功率及非正弦周期电路的计算
I = 1 T
∫0
T
i 2 dt
设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数： 可以分解为傅里叶级数：
i = I 0 + ∑ I km cos( kω1t + φk )
k =1
∞
代入有效值公式，则得此电流的有效值为： 代入有效值公式，则得此电流的有效值为：
1 I= T
∫
T
0
[ I 0 + ∑ I km cos( kω1t + φk )]2 dt
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值， 它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，因为取电流的 绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。 绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。
对于同一非正弦周期电流，当用不同类型的仪表进行测 对于同一非正弦周期电流， 量时，会得到不同的结果。例如： 量时，会得到不同的结果。例如： 用磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将是电流 用磁电系仪表（直流仪表）测量， 的恒定分量； 的恒定分量； 用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值； 用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值； 用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值， 用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值， 因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。 因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。 因此，在测量非正弦周期电流和电压时，要选择合适 因此，在测量非正弦周期电流和电压时， 的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。 的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。
k = 1
ϕ
•
(1 )
= − 81 . 70
o
( 容性 )
o
I m ( 1 ) = 13 . 47 ∠ 81 . 70 P ( 1 ) = 272 . 33 W
∫0
T
i 2 dt
设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数： 可以分解为傅里叶级数：
i = I 0 + ∑ I km cos( kω1t + φk )
k =1
∞
代入有效值公式，则得此电流的有效值为： 代入有效值公式，则得此电流的有效值为：
1 I= T
∫
T
0
[ I 0 + ∑ I km cos( kω1t + φk )]2 dt
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值， 它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，因为取电流的 绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。 绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。
对于同一非正弦周期电流，当用不同类型的仪表进行测 对于同一非正弦周期电流， 量时，会得到不同的结果。例如： 量时，会得到不同的结果。例如： 用磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将是电流 用磁电系仪表（直流仪表）测量， 的恒定分量； 的恒定分量； 用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值； 用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值； 用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值， 用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值， 因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。 因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。 因此，在测量非正弦周期电流和电压时，要选择合适 因此，在测量非正弦周期电流和电压时， 的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。 的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。
k = 1
ϕ
•
(1 )
= − 81 . 70
o
( 容性 )
o
I m ( 1 ) = 13 . 47 ∠ 81 . 70 P ( 1 ) = 272 . 33 W
电子技术(电工学Ⅱ)(第3版)课件：非正弦周期电流电路
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5 非正弦周期电流电路
二、教学要求： 1. 通过学习，理解用傅里叶级数将非正弦周 期信号分解为谐波的方法 ； 2. 理解和掌握非正弦周期电流电路中的有效 值、平均值和平均功率的计算 ； 3.了解线性电路在非正弦激励下的计算方法。
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5.1非正弦周期量的分解
非正弦周期信号
u
Um
u
u
2 2
5.2.2 平均值 非正弦周期电流、电压的平均值分别为
I av
1 T
T
idt
0
U av
1 T
T
udt
0
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5.2效非值正、弦平周均期值电和流平电均路功中率的有 5.2.3 非正弦周期电流电路的平均功率 设某无源二端网络端口处的电压、电流取关联的参 考方向，并设其电压、电流为：
u U0 Ukm sinkt ku k 1
例5-2设二端网络的端口电压、电流为关联的参考方 向，已知：
u 10 141.4sint 50 sin3t 60V
i sin t 700 0.3sin 3t 600 A
求二端网络的平均功率P。
解： P U 0 I 0 U1I1 cos1 U 3 I3 cos3
U0I0
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5.3线性电路在非正弦激 励下的计算
例5-3如图所示电路，已知R=100Ω，C=1μF。激励源
uS为矩形波。已知Um=11V，T=1mS，求输出电压 uO 。
11
0
0.5
1
t ms
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5.3线性电路在非正弦激 励下的计算
解：由已知条件可得基波角频率
1
2
T
1
2
10
3
5 非正弦周期电流电路
二、教学要求： 1. 通过学习，理解用傅里叶级数将非正弦周 期信号分解为谐波的方法 ； 2. 理解和掌握非正弦周期电流电路中的有效 值、平均值和平均功率的计算 ； 3.了解线性电路在非正弦激励下的计算方法。
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5.1非正弦周期量的分解
非正弦周期信号
u
Um
u
u
2 2
5.2.2 平均值 非正弦周期电流、电压的平均值分别为
I av
1 T
T
idt
0
U av
1 T
T
udt
0
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5.2效非值正、弦平周均期值电和流平电均路功中率的有 5.2.3 非正弦周期电流电路的平均功率 设某无源二端网络端口处的电压、电流取关联的参 考方向，并设其电压、电流为：
u U0 Ukm sinkt ku k 1
例5-2设二端网络的端口电压、电流为关联的参考方 向，已知：
u 10 141.4sint 50 sin3t 60V
i sin t 700 0.3sin 3t 600 A
求二端网络的平均功率P。
解： P U 0 I 0 U1I1 cos1 U 3 I3 cos3
U0I0
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5.3线性电路在非正弦激 励下的计算
例5-3如图所示电路，已知R=100Ω，C=1μF。激励源
uS为矩形波。已知Um=11V，T=1mS，求输出电压 uO 。
11
0
0.5
1
t ms
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5.3线性电路在非正弦激 励下的计算
解：由已知条件可得基波角频率
1
2
T
1
2
10
3
非正弦周期电流电路的有效值、平均值和平均功率的计算
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直流分量：
I0
Im 2
157 μA 78.5μA 2
基波最大值：
I1m
2Im
2 1.57 μA 3.14
100 μA
三次谐波最大值：
1 I3m 3 I1m 33.3μA
五次谐波最大值：
I5m
1 5
I1m
20μA
角频率：
2π T
2 3.14 rad/s 6.28 106
10
51C 5 106 1000 1012
iS
+ R
Cu
51L 5 106 103Ω 5kΩ
L
-
Z (51)
(R jXL5)( jXC5) R j(5XL5 XC5)
208.3
89.53
Ω
U5 Is5 Z (51) 20 106
4.166 89.53mV 2
208.3 89.53 V 2
I(1)
440 A 60 j20
6.96
18.4 A
a
+
U1–
U
+ 2–
* W* 60
j20 I
三次谐波作用： Uab(3) 100 30 V
I(3)
100 30 A 60 j60
1.18
15
A
b 测的是u1 的功率
i [6.96 2 cos(t 18.4 ) 1.18 2 cos(3t 15 )]A
各相的初相分别为
A相
k
B相
k
4nπ
2 3
π
C相
k
4nπ
2 3
π
正序对称 三相电源
②令 k =6n+3，即：k =3,9,15, …
第二十九讲 有效值平均值和平均功率及非正弦周期电路的计算 PPT课件
布置作业
１、Ｐ３４１ １３－６ 思考题： １、Ｐ３４２ １３－７
１３－８ 预习：§１４－１ §１４－２
（３）、函数的对称性
偶函数、奇函数、镜对称函数
a、计时起点与相位的关系 b、计时起点与函数的奇偶性 c、傅里叶级数的收敛性
第十三章 非正弦周期电流电路和 信号的频谱
§１３－３ 有效值、平均值和平均功率
§１３－４ 非正弦周期电流电路的计算 §１３－５ 对称三相电路中的高次谐波
§１３－３ 有效值、平均值和平均功率
U1m(0) 100V (直流分量) U1m(2) 3.55 175.21o V U1m(4) 0.171 177.69o V
§１３－５ 对称三相电路中的高次谐波
１、三类对称组：正序、负序和零序组。 ２、线电压中不含零序对称组谐波分量。 ３、星形负载中的情况（有无中线）。 ４、三角形负载中的情况
１、有效值 ２、平均值 ３、平均功率
１、有效值
任一周期电流 i 的有效值定义为：
I
1 T
T
0
i 2dt
设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数：
i I0 Ikm cos(k1t k ) k 1
代入有效值公式，则得此电流的有效值为：
I
1 T
T
0 [I0
Ikm cos(k1t k )]2 dt
1
k1C
Z k1 3
j 0.429k
21 k
31
j 0.143k
7 k
(k )
arctan 0.143k
7 k
(阻抗角)
•
I m(k)
1 3
c
os(
k
)
•
非正弦周期函数的有效值和平均功率
iS
Im 2
2Im
(s in t
1 sin 3t
3
iS
Im
1 sin 5t )
5
T/2 T
t
代入已知数据： Im 157 μA, T 6.28 μs
上页 下页
直流分量
I0
Im 2
157 2
78.5μA
基波最大值
I1m
2Im
2 157 3.14
100 A
三次谐波最大值 五次谐波最大值
iS3
C
3L 3106 103 3kΩ
＋ R
L u3
－
Z(3 ) (R jXL3)( jXC 3) 374.5 89.19
R j( XL3 XC 3)
U 3
IS 3
Z(3 )
33.3 106 2
90 374.5
89.19
12.47 179.2mV 2
上页 下页
（d）五次谐波作用 iS5 20sin(5106 t)A
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
5
)
周期性方波波形分解
直流分量
基波
t
t
三次谐波
五次谐波 t
七次谐波
上页 下页
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
5
)
直流分量+基波
直流分量
基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
上页 下页
iS
Im
T/2 T
t
等效电源
非正弦周期电流电路PPT培训课件
信号处理技术为非正弦周期电流电路提供了重要的处理和 分析手段，通过将信号处理技术应用于非正弦周期电流电 路中，可以实现电路信号的高效处理和传输。
非正弦周期电流电路的未来发展方向与挑战
未来发展方向
随着科技的不断进步和应用需求的不断 提高，非正弦周期电流电路将会向着更 高性能、更低能耗、更智能化的方向发 展，同时非正弦周期电流电路与其他领 域的交叉研究也将不断深入和拓展。
历史背景
非正弦周期电流电路的研究始于 20世纪初，随着电子技术和计算 机技术的不断发展，其应用领域 逐渐扩大。
发展趋势
未来，非正弦周期电流电路将在 新能源、智能电网、物联网等领 域发挥更加重要的作用，其技术 也将不断进步和完善。
02
非正弦周期电流电路的基本 概念
傅里叶级数
傅里叶级数是一种将周期函数表示为 无穷级数的方法，通过将非正弦周期 电流分解为正弦波的叠加，可以分析 非正弦周期电流的特性。
04
非正弦周期电流电路的测量 与实验
测量方法与仪器
测量方法
通过使用示波器、电流表、电压表等 仪器，对非正弦周期电流电路中的电 压、电流、功率等参数进行测量。
测量仪器
示波器、电流表、电压表、功率计、 信号发生器等。
实验设计与操作
实验设计
根据非正弦周期电流电路的特点，设计实验方案，包括电路 连接、参数设置、测量步骤等。
优化目标
提高非正弦周期电流电路的性能指标， 如效率、稳定性、可靠性等。
约束条件
在优化过程中需要考虑电路的物理特 性、材料属性、工艺水平等限制，以 及成本、体积、重量等方面的要求。
设计方法与流程
设计方法
可以采用解析法、仿真法、实验法等多种方法进行非正弦周期电流电路的设计。
非正弦周期电流电路的未来发展方向与挑战
未来发展方向
随着科技的不断进步和应用需求的不断 提高，非正弦周期电流电路将会向着更 高性能、更低能耗、更智能化的方向发 展，同时非正弦周期电流电路与其他领 域的交叉研究也将不断深入和拓展。
历史背景
非正弦周期电流电路的研究始于 20世纪初，随着电子技术和计算 机技术的不断发展，其应用领域 逐渐扩大。
发展趋势
未来，非正弦周期电流电路将在 新能源、智能电网、物联网等领 域发挥更加重要的作用，其技术 也将不断进步和完善。
02
非正弦周期电流电路的基本 概念
傅里叶级数
傅里叶级数是一种将周期函数表示为 无穷级数的方法，通过将非正弦周期 电流分解为正弦波的叠加，可以分析 非正弦周期电流的特性。
04
非正弦周期电流电路的测量 与实验
测量方法与仪器
测量方法
通过使用示波器、电流表、电压表等 仪器，对非正弦周期电流电路中的电 压、电流、功率等参数进行测量。
测量仪器
示波器、电流表、电压表、功率计、 信号发生器等。
实验设计与操作
实验设计
根据非正弦周期电流电路的特点，设计实验方案，包括电路 连接、参数设置、测量步骤等。
优化目标
提高非正弦周期电流电路的性能指标， 如效率、稳定性、可靠性等。
约束条件
在优化过程中需要考虑电路的物理特 性、材料属性、工艺水平等限制，以 及成本、体积、重量等方面的要求。
设计方法与流程
设计方法
可以采用解析法、仿真法、实验法等多种方法进行非正弦周期电流电路的设计。
非正弦周期信号有效值、平均值、功率
非正弦周期信号有效值、平均值、功率
1 ．有效值：
（1 ）周期量有效值的定义：
留意：对于非正弦周期信号，其最大值与有效值之间并无关系。
（2 ）非正弦周期量：
函数
则有效值为：
利用三角函数的正交性得：
同理非正弦周期电流的有效值为：
结论：周期函数的有效值为直流重量及各次谐波重量有效值平方和的方根。
2 ．平均值：
非正弦周期性函数的平均值为直流重量：
明显正弦周期性函数的平均值为0
3 ．功率：
如图所示，所示一端口N 的端口电压u ( t ) 和电流i ( t ) 的关联参考方向下，一端口电路汲取的瞬时功率和平均功率为
一端口电路的端口电压u ( t ) 和电流i ( t ) 均为非正弦周期量，其傅里叶级数形式分别为
在图示关联参考方向下，一端口电路汲取的平均功率
将上式进行积分，并利用三角函数的正交性，得
上式表明，不同频率的电压与电流只构成瞬时功率，不能构成平均功率，只有同频率的电压与电流才能构成平均功率；电路的平均功率等于直流重量和各次谐波重量各自产生的平均功率之和，即平均功率守恒。
即：平均功率＝直流重量的功率＋各次谐波的平均功率。
非正弦周期信号 ; 周期函数分解为傅里叶级数 ; 有效值、平均值和平均功率、 非正弦周期电流电路的计算
T /2
0
ak
2
2
0
iS (t ) cos kt d (t )
2I m 1 sin kt 0 0 k
11
bk
Im
1
2
0
iS (t ) sin ktd(t )
1 ( cos k t ) 0 k
若k为偶数，bk=0
2I m 若k为奇数， bk k
2
0
k p
17
2. 非正弦周期信号的有效值 设 i (t ) I 0 则有效值:
1 T 2 I i dt 0 T 1 T 0
1 I T 0
T
I
k 1
km
cos( k1t k )
T
I 0 I km cosk1t k dt k 1
k 1
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
9
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
式中：A0——直流分量
Akm cos( k1t k ) ——k次谐波分量
振幅 角频率 初相位
一次谐波分量常称为基波分量，1为基波频率
2
2 2 I 2 I I cos k t I cos k t 0 0 km 1 k 1 k dt km k 1 k 1
18
1 T 2 2 I I 0 I km cos 2 k1t k 2 I km I jm cosk1t k cos j1t j dt T 0 k 1 k , j 1 k j
有效值平均值和平均功率
1
T
4 102 dt =5A
T0
平均值为
I av
1 T
T
| i | dt
0
10*T/4
=
=2.5A
T
三、正弦周期电流电路的功率
1、瞬时功率 任意一端口的瞬时功率（吸收）定义为
p ui
U 0
U km
k 1
cos(k1t
ku
)
I
0
k 1
I km
cos(k1t
k
)
式中u、i取关联方向。
2、平均功率的定义
使用时，直接删除本页！
u 10 20cos(30t 27) 30sin(60t 11) 40sin(120t 15)V i 2 3cos(30t 33) 4sin(90t 52) 5sin(120t 15)A
平均功率
× P = 10×2 + 20×3 + 30×4 +40×5
× P = 10×2 + 20×3cos60° + 30×4cos41°+ 40×5cos30 °
=2Im/π =0.637Im =0.898I
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值， 这是因为取电流的绝对值相当于把负半周的各 个值变为对应的正值。
i Im
Iav
O
ωt
3、不同的测量结果
对于同一非正弦周期电流，用不同类型的仪表 进行测量时，会有不同的结果。
用磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将 是电流的恒定分量；
非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平 方与各次谐波有效值的平方之和的平方根。
此结论可推广用于其他非正弦周期量。
二、非正弦周期量的平均值
非正弦周期信号;周期函数分解为傅里叶级数;有效值、平均值和平均功率、非正弦周期电流电路的计算
cos(k1t)
bk ak2 bk2
sin(
k1t)
令：
A0 a0，Akm ak2 bk2
cos k
ak Akm
，sin
k
bk Akm
k
arctan
bk ak
f (t) A0 Akmcos k cos(k1t) sin k sin( k1t) k 1
2
2
0 iS (t) cos ktd (t)
2Im
1 k
sin
kt
0
0
11
bk
1
2
0 iS (t) sin ktd(t)
Im
(
1 k
cos k
t)
0
若k为偶数，bk=0
若k为奇数，
bk
2Im
k
iS
Im 2
2Im
(sin
t
1 sin 3
U0 20 78 .5106 1.57 mV
78.5A R U0
26
基波分量单独作用：
IS1
100 2
90
70.7
90
A
IS1
R jXC(1)
U1
jXL(1)
X C (1)
1
C
1k
X L(1) L 1k
Z1
(R jX L(1) ) jX C(1) R jX L(1) jX C(1)
第4章非正弦周期交流电路PPT精品文档45页
k=1
周期函数 f(wt)=A 0+ A km S(ikn wt+k) k= 1
Akmsink(wt+k) =Akm(sinkwtcosk +cokswtsink) =Akmcosk sinkwt+Akmsink cokswt =Bkmsinkwt+Ckmcokswt
f(wt)=A 0+ B km sikw nt+C km co kwts
0
求出A0、Bkm、Ckm便可得到原函数 f (wt) 的
展开式。
例 周期性方波的分解
直流分量
t
三次谐波
t
五次谐波
t
基波
t
七次谐波
周期性方波的分解
直流分量+基波
直流分量 基波 直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
频谱图
4U m
=U0
U0
u
3
U0
Um
5w
T
t
w 3w 5w
U = 4 U m (sw ti+ n 1 3 s3 iw n t+ 1 5 s5 iw n t+ )
第二步 对各种频率的谐波分量单独计算：
1. 直流分量 IS0 作用
IS0 =78 .5A
对直流，电容相当于断路； IS0
电感相当于短路。所以输出的 直流分量为：
20Ω
R
C L u0
U0 = RIS0
= 20 78 .5106
R u0
= 1.57 mV
IS0
2. 基波 作用 is1=10s0i1 n0 6tμ A
w w w i S= I 2 m + 2 I m (sti + 1 3 n s3 it n + 1 5 s5 in t+ )
周期性非正弦电流电路中的有效值、平均值、平均功率
求该电路的平均功率、无功功率和视在功率。
解：平均功率为 P 10 3 20 6 cos(60) 60W
22
无功功率为 Q 20 6 sin(60) 52var
22
视在功率为
S UI
102
( 20 )2
8
2
32
(
6
)2
2
2
98.1VA
2 2
2 2
电工基础
的有效值；等效正 弦量的频率为非正
S UI
U
2 0
U
2 k
I02
I
2 k
k 1
k 1
弦波的基波频率； 电路的平均功率不 变。由此可得
cos P P
UI S
周期性非正弦电流电路中的有效值、 平均值、平均功率
例7.3 已知某电路的电压、电流分别为
u(t) [10 20sint 8sin(3t 60)]V i(t) [3 6sin(t 60) 2sin 5t)]A
电工基础
周期性非正弦电流电路中的有效值、 平均值、平均功率
1.1 有效值
任何周期量(电流、电压或电动势)的有效值都等于它的方均根 值。这一定义同样适用于周期性非正弦量。以周期电流 为i(t) 例，其有效值 为I
I 1 T i2 (t)dt T0
设周期性非正弦电流 i(t)分解为傅里叶级数为 i(t) I0 Ikm sin(kt k ) k 1 将 i(t) 代入有效值定义式，得
例 试求周期电压
u(t) [100 282sint 141sin 3t] V的有效值。
解： u(t)的有效值为
U 100 2 282 2 141 2 244 .9 2 2
V
周期性非正弦电流电路中的有效值、 平均值、平均功率
解：平均功率为 P 10 3 20 6 cos(60) 60W
22
无功功率为 Q 20 6 sin(60) 52var
22
视在功率为
S UI
102
( 20 )2
8
2
32
(
6
)2
2
2
98.1VA
2 2
2 2
电工基础
的有效值；等效正 弦量的频率为非正
S UI
U
2 0
U
2 k
I02
I
2 k
k 1
k 1
弦波的基波频率； 电路的平均功率不 变。由此可得
cos P P
UI S
周期性非正弦电流电路中的有效值、 平均值、平均功率
例7.3 已知某电路的电压、电流分别为
u(t) [10 20sint 8sin(3t 60)]V i(t) [3 6sin(t 60) 2sin 5t)]A
电工基础
周期性非正弦电流电路中的有效值、 平均值、平均功率
1.1 有效值
任何周期量(电流、电压或电动势)的有效值都等于它的方均根 值。这一定义同样适用于周期性非正弦量。以周期电流 为i(t) 例，其有效值 为I
I 1 T i2 (t)dt T0
设周期性非正弦电流 i(t)分解为傅里叶级数为 i(t) I0 Ikm sin(kt k ) k 1 将 i(t) 代入有效值定义式，得
例 试求周期电压
u(t) [100 282sint 141sin 3t] V的有效值。
解： u(t)的有效值为
U 100 2 282 2 141 2 244 .9 2 2
V
周期性非正弦电流电路中的有效值、 平均值、平均功率
有效值平均值和平均功率及非正弦周期电路的计算
最后按时域形式迭加为：
i 13.47cos(1t 81.70o ) 14.47cos(31t 62.30o )
15.41cos(51t 34.41) ...
P P(1) P(3) P(5) P(9) 1337 .63W
２、举例：例１３－３
例13-3 图示电路中L=5H，C=10µF，负载电阻R=2KΩ，电源us
p ui [U0 Ukm cos(k1t uk )][I0 Ikm cos(k1t ik )]
k 0
k 0
式中u、i取关联参考方向。
平均功率为：
不同频率的正弦电压和电流
P
1 T
T
0
pdt
乘积的积分为零（即不产生平均 功率）；同频的正弦电压、电流 乘积的积分不为零。
P U0 I0 U1I1 cos 1 U2 I2 cos 2 Uk Ik cos k
uL _ c LuC_ C
d
40.03cos(71t) 31.12cos(91t) V
求电流 i 和电阻吸收的平均功率P 。
解：电路中的非正弦周期电压已分解为傅立叶级数形式。
电流相量一般表达式为：
•
•
•
I m(k)
U sm(k )
Z k1
U sm( k )
R jk1L j
根据迭加定理，按k=1，2，…的顺序，依次求解如下：
（３）、函数的对称性
偶函数、奇函数、镜对称函数
a、计时起点与相位的关系 b、计时起点与函数的奇偶性 c、傅里叶级数的收敛性
第十三章 非正弦周期电流电路和 信号的频谱
§１３－３ 有效值、平均值和平均功率
§１３－４ 非正弦周期电流电路的计算 §１３－５ 对称三相电路中的高次谐波
非正弦信号的有效值和平均值.ppt
22
12cos(40) 78.5W
作业：7-2、3、4、13
Im
Kp
Im Im /
2
1.414
第7章 非正弦周期电流电路
三、非正弦信号的平均功率
任意一个二端网络的端电压为u，电流为i，则其
瞬时功率为P=ui， 如果u与i是同频率的非正弦周期
量，其平均功率就是瞬时功率在一个周期内的平均
1 t
1
P
pdt
T0
T
T 0
uidt
设：u U0 Ukm sin( kt ku)
（电压、电流为关联参考方向）
u [50 84.6sin(t 30) 56.6sin(2t 10)]V
i [1 0.707sin(t 20) 0.424sin(2t 50)]A
求二端网络吸收的平均功率。
解： P 501 84.6 0.707 cos(30 20)
22
56.6 0.424 cos(10 50) 50 30cos50
第7章 非正弦周期电流电路
A
A02
1 2 k1
Ak2m
A02 A12 A22
所以任意周期函数的有效值等于它的恒定分量与各
个谐波分量有效值的平方和的平方根。
U
U
2 0
U12
U
2 2
I
I02
I12
I
2 2
例 ： 已知非正弦周期电流i=［1+0.707sin（ωt-20°）
+0.42sin（2ωt+50°）］A， 试求其有效值。
i I0 Ikm sin( kt ki )
k 1
k 1
则： P P0 Pk U0 I0 Uk Ik cos k
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uL _ c LuC_ C
d
40.03cos(71t) 31.12cos(91t) V
求电流 i 和电阻吸收的平均功率P 。
解：电路中的非正弦周期电压已分解为傅立叶级数形式。
电流相量一般表达式为：
•
•
•
I m(k)
U sm(k )
Z k1
U sm( k )
R jk1L j
根据迭加定理，按k=1，2，…的顺序，依次求解如下：
第十三章 非正弦周期电流电路和 信号的频谱
§１３－３ 有效值、平均值和平均功率
§１３－４ 非正弦周期电流电路的计算
§１３－５ 对称三相电路中的高次谐波 重点：
１、有效值、平均值和平均功率 ；
２、非正弦周期电流电路的计算 。
1
一、知识回顾
１、非正弦周期信号 ２、傅里叶级数
2
１、非正弦周期信号
（１）、非正弦周期信号
1
k1C
14
Z k1 3
j 0.429k
21 k
31
j 0.143k
7 k
(k )
arctan 0.143k
7 k
(阻抗角)
•
I m(k)
1 3
c
os(
k
)
•
U
sm
(
k
)
(k)
P(k )
1 2
I2 m(k )
•R
1.5
I
2 m
(
k
)
k 1
(1) 81.70 o (容性)
•
I m(1) 13.47 81.70 o A P(1) 272 .33W
（２）、谐波分析法
a、傅里叶级数的分解 b、应用叠加定理分别计算各项 c、叠加得到响应
3
２、傅里叶级数
（１）、傅里叶级数的分解
f
(t)
A0 2
A1m
cos(1t
1)
A2m
cos(21t
21)
Akm cos(k1t k )
A0 2
k 1
Akm cos(k1t k )
（２）、频谱：幅度频谱、相位频谱
为正弦全波整流波形，设ω1=314rad/s，Um=157V。求 负载两端电压的各谐波分量。
L +
us Um
us
CR
-
0
π 2π
ω1t
解: 将给定的 us 分解为傅立叶级数,得
us
4
157
1 2
1 3
cos
(21t
)
1 15
cos(41t)
V
•
设负载两端的第k次谐波为U (k ) ，用结点电压法有：
（３）、函数的对称性
偶函数、奇函数、镜对称函数
a、计时起点与相位的关系 b、计时起点与函数的奇偶性 c、傅里叶级数的收敛性
4
第十三章 非正弦周期电流电路和 信号的频谱
§１３－３ 有效值、平均值和平均功率 §１３－４ 非正弦周期电流电路的计算 §１３－５ 对称三相电路中的高次谐波
5
§１３－３ 有效值、平均值和平均功率
k 1Biblioteka 7上式中 i 的展开式平方后将含有下列各项：
1 T
T
0
I 02 dt
I
2 0
1
T
T 0
I
2 km
cos2 (k1t
k
)dt
I
2 k
1
T
T
0 2I0 Ikm cos(k1t k )dt 0
1
T
T 0
2 I km I qm
cos(k1t
k
) cos(q1t
q )dt
0，（k
q)
这样可求得 i 的有效值为：
的响应。
(3)应用叠加定理，把步骤（２）计算出的结果进 行叠加，求得所需响应。
注意：将表示不同频率正弦电流相量或电压相量 直接相加是没有意义的。
13
２、举例：例１３－２
图示电路中,R=3Ω,
1
1C
21,1L
0.429, 输入电源为:
a
u_S
i
uR _
Rb
us 280.11cos(1t) 93.37 cos(31t) 56.02cos(51t)
p ui [U0 Ukm cos(k1t uk )][I0 Ikm cos(k1t ik )]
k 0
k 0
式中u、i取关联参考方向。
平均功率为：
不同频率的正弦电压和电流
P
1 T
T
0
pdt
乘积的积分为零（即不产生平均 功率）；同频的正弦电压、电流 乘积的积分不为零。
P U0 I0 U1I1 cos 1 U2 I2 cos 2 Uk Ik cos k
用磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将是电流 的恒定分量；
用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值；
用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值， 因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。
因此，在测量非正弦周期电流和电压时，要选择合适 的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。
10
３、平均功率
任意一端口的瞬时功率（吸收）为：
按上式可求得正弦电流的平均值为：
I av
1 T
T
0
Im
cos(t )dt
4Im T
T
4 0
cos
(t
)dt
4Im
T
T
[sin(t )]04
0.637Im
0.898I
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，因为取电流的 绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。
9
对于同一非正弦周期电流，当用不同类型的仪表进行测 量时，会得到不同的结果。例如：
式中：
Uk
U km 2
，I k
I
km
2
，k
uk
ik，k
1，2，
即平均功率等于恒定分量的功率和各次谐波平均功
率的代数和。 11
§１３－４ 非正弦周期电流电路的计算
１、谐波分析法的计算步骤 ２、举例： 例１３－２
例１３－３
12
１、谐波分析法的计算步骤
(1) 分解为傅里叶级数，并确定有限项。 （2）分别求出激励的恒定分量及各次谐波分量单独作用时
I
I
2 0
I12
I
2 2
I
2 3
I
2 0
I
2 k
k 1
非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方与各次谐波有
效值的平方之和的平方根。
此结论适用于所有的非正弦周期量。 8
２、平均值
以电流 i 为例，其定义由下式表示：
I av
de f
1 T
T
i dt
0
即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。
１、有效值 ２、平均值 ３、平均功率
6
１、有效值
任一周期电流 i 的有效值定义为：
I
1 T
T
0
i 2dt
设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数：
i I0 Ikm cos(k1t k ) k 1
代入有效值公式，则得此电流的有效值为：
I
1 T
T
0 [I0
Ikm cos(k1t k )]2 dt
15
最后按时域形式迭加为：
i 13.47cos(1t 81.70o ) 14.47cos(31t 62.30o )
15.41cos(51t 34.41) ...
P P(1) P(3) P(5) P(9) 1337 .63W
16
２、举例：例１３－３
例13-3 图示电路中L=5H，C=10µF，负载电阻R=2KΩ，电源us