高中数学学案：椭圆的几何性质

高中数学学案：椭圆的几何性质

1. 熟练掌握椭圆的几何性质,会利用几何性质解决简单的问题.

2. 能够依据椭圆的几何性质获得参数间的关系,并能够处理椭圆与其他曲线综合的简单问题.

1. 阅读：选修11第32～34页(理科阅读选修21相应内容).

2. 解悟：①椭圆中的基本量a,b,c满足关系a2＝b2＋c2,在图形中分别对应着什么？有怎样的几

何关系？②离心率是反映了椭圆形状的一个重要量,它与b

a之间满足一个什么关系？求离心率

关键要寻找何种等式？③a－c,a＋c是椭圆上的点到某一焦点的最小与最大距离吗？你能证明吗？

3. 践习：在教材空白处完成选修11第34页练习第1、2、4题(理科完成选修21相应任务).

基础诊断

1. 若焦点在x轴上的椭圆x2

2＋

y2

m＝1的离心率为

1

2,则m＝

3

2.

解析：因为焦点在x轴上的椭圆x2

2＋

y2

m＝1的离心率为

1

2,所以

2－m

2＝

1

4,得m＝

3

2.

2. 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为

3

2,且椭圆G上一点到两个焦点

的距离之和为12,则椭圆G的方程为x2

36＋

y2

9＝1.

解析：由题意知e＝

3

2,2a＝12,所以a＝6,c＝33,所以b＝3,所以椭圆方程为

x2

36＋

y2

9＝1.

3. 若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则椭圆的中心到其准线的距离是3.

解析：由题意知2b＝2,2a＝4b,所以b＝1,a＝2,所以c＝a2－b2＝3,则椭圆的中心到其准

线的距离是a2

c＝

4

3

＝

43

3.

4. 过椭圆x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为其右焦点,若

∠F1PF2＝60°,则椭圆的离心率为3Ｗ.

解析：由题意知点P 的坐标为⎝ ⎛

⎭⎪⎫－c ，－b 2a 或⎝ ⎛⎭

⎪⎫－c ，b 2a ,因为∠F 1PF 2＝60°,所以2c b 2a ＝3,即2ac

3b 2＝3(a 2－c 2),所以3e 2＋2e －3＝0,所以e ＝3

3或e ＝－3(舍).

范例导航

考向❶ 通过几何性质探求椭圆基本量

例1 设A,B 是椭圆C ：x 23＋y 2

m ＝1长轴的两个端点.若椭圆C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°,求实数m 的取值范围.

解析：若椭圆的焦点在x 轴上,则有a 2＝3,b 2＝m(0＜m ＜3),当点M 为椭圆短轴的端点时,此时∠AMB 最大,根据椭圆的对称性,只需满足tan ∠AMO ＝a

b ≥tan 60°＝3(其中O 为坐标原点),即3

m ≥3,得0＜m ≤1；若椭圆的焦点在y 轴上,则有a 2＝m(m ＞3),b 2＝3,同理可得m ≥9.

故m 的取值范围是(0,1]∪[9,＋∞).

如图,设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,且点D 在椭圆上,DF 1⊥F 1F 2,F 1F 2

DF 1

＝

2,△DF 1F 2的面积为22,则该椭圆的标准方程为 x 22＋y 2

＝1 Ｗ.

解析：设F 1(－c,0),F 2(c,0),其中c 2＝a 2－b 2.由F 1F 2DF 1＝22,得DF 1＝F 1F 222＝2

2c,所以

S △DF 1F 2＝12DF 1·F 1F 2＝22c 2＝22,故c ＝1,所以DF 1＝22.由DF 1⊥F 1F 2,得DF 22＝DF 21＋F 1F 22＝92

,因此DF 2＝32

2,所以2a ＝DF 1＋DF 2＝22,故a ＝2,b 2＝a 2－c 2＝1,因此所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2

＝1.

考向❷ 求椭圆离心率

例2 如图,x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 2的直线交椭圆于P,Q 两点,且PQ ⊥PF 1.

(1) 若PF 1＝2＋2,PF 2＝2－2,求椭圆的标准方程； (2) 若PF 1＝PQ,求椭圆的离心率e.

解析：(1) 由题意得2a ＝PF 1＋PF 2＝(2＋2)＋(2－2)＝4,所以a ＝2. 设椭圆的半焦距为c,由已知PQ ⊥PF 1,

所以2c ＝PF 21＋PF 22＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23,所以c ＝3,所以b ＝a 2－c 2

＝1,

故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2

＝1. (2) 方法一：连结F 1Q, 设椭圆上点P(x 0,y 0),PF 1⊥PF 2,

所以有⎩⎪⎨⎪⎧x 20a 2＋y 2

0b 2＝1，

x 20＋y 20＝c 2，

解方程组,得x 0＝±a c a 2－2b 2,y 0＝±b

2

c ,

由PF 1＝PQ>PF 2, 得x 0>0,从而 PF 2

1＝⎝

⎛

⎭

⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4

c 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆定义,得PF 1＋PF 2＝2a,QF 1＋QF 2＝2a, 由PF 1＝PQ ＝PF 2＋QF 2, 得QF 1＝4a －2PF 1.

又PF 1⊥PQ,PF 1＝PQ,所以QF 1＝2PF 1, 所以(2＋2)PF 1＝4a,

所以(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a,