等比数列前n项的求和公式教学设计(1)

等比数列前n项的求和公式教学设计

一、教学内容分析

1、本节课讲述内容是职高数学基础模块二册等比数列，前n项和的公式及其应用。

2、教学重点：会判断等比数列，会用求和公式。

3、学难点：实际生活中的按结贷款每年给银行的付费的问题。知识与技能目标：在等差数列的基础上理解等比数列的慨念，会求等比数列的通项公式，前n项和的公式及应用。

过程与方法目标：引导学生学会用变化的思想和理念，搞清楚等比数列的变化规律，特别是项与项数的关系，引导推出求和公式（乘公比做差法）初步感受等比数列在生产实践中的应用。

情感态度与价值观目标：让学生初步体会事物间相互转化以及特殊到一般的辨证思想.

二、教学基本条件分析

1．学生条件：学生有较好的数学基础，在学习了等比数列慨念和通项公式基础上进行的求和公式推导与应用，学生有一定的数学运算能力，和数学理解能力，喜欢思考，乐于探究。

2．前期内容准备：围棋棋单，银行按结贷款的详细说明。在学习等差数列，等比数列慨念和通项公式的基础上进行的项数与其总和的一种函数关系，即前n项和的公式。

3．教学媒体条件：支持幻灯片展示。

三、教学过程设计

开门见山，揭示课题

引语：大家还记得前面我们学习的等差数列、等差数列前项和公式、等比数列慨念和通项公式吗？那么等比数列前n项和怎么求呀？

（幻灯片展示）提出问题：

这是发生在国际象棋棋盘上的一个故事。国际象棋是印度宰相西萨·班·达依尔发明的，国王舍罕知道后非常赞赏，就把宰相达依尔召到面前，说：“老爱卿，你以自己的聪明才智发明了这种变化无穷、引人人胜的游戏，我要重重地奖赏你。那就请你在棋盘的第一个小格内赐给我1粒麦子吧。”

“什么? 1粒麦子?”国王感到非常意外，惊讶地问。

“是的，陛下，1粒普通的麦子。”宰相说，“请在第二个小格内赐给我2粒，第三个小格内赐给我4粒，第四个小格8粒，第五个小格16粒，照这样下去，每一小格是前一小格的2倍。把摆满棋盘64个小格的所有麦子赏赐给你的仆人吧!”

“竟是这种愿望!你不是在开玩笑吧?”国王有些生气了。宰相所要求的，不仅您所有粮仓的麦子不够，就是把全世界的麦子都给了他，也相差太远太远了。”

“能这样吗?你是不是算错了?”国王怀疑地说。

“一点不错，陛下，这是千真万确的!”接着，侍从便算给国王听。

宰相达依尔要求赏赐的麦子是多少呢?通过计算才知道，这需要：1+2+2的2次方+2的3次方+2的4次方+……+2的62次方+2的63次方=18，446，744，073，709，551，615(颗麦子)

1立方米麦子约有15，000，000粒。照这样计算，国王就得给宰相1，200，000，000，000立方米的麦子。这些麦子比全世界两千年生产麦子的总和还多。假如造一个高4米、宽10米的粮仓装这些麦子，这个粮仓就有30，000，000千米长，能绕地球赤道转700圈，等于地球到太阳距离的两倍。所以国王是无法满足的。这个故事就是本节课要讲授的内容。

1、复习回顾等比数列的通项公式，等比中项。

11n n a a q -= G = 强调这两个公式的重要性，并指出作业中存在的问题

2、导入新课：

A, 利用前面在国际象棋棋格盘子里放麦粒的问题中棋盘到底

能放多少麦子，国王能否兑现他的承诺.

1, 2, 4 , 8 , (632)

B,假设有一张很大的纸张厚度是０.05毫米问对折再对折这样

对折100次问纸张的厚度是多少米?答案请同学们来猜 A,30米 B, 150米 C,能从地球到达月球. D,都不对

3、请同学们阅读92页麦粒求和的问题

012363642222......2s =+++++ ①

关键是对①式两边乘以2得：

12364642222......2s =++++ ②

我们观察①和②看出它们好多项是相同的，我们用②—①就得到

6406464222s s -=-⇒646421s =-

告诉你呀：国王是奖赏不起的啊，大约要8千万吨小麦

4、师生一起来推导等比数列的求和公式？

12......n n s a a a =+++ ③ 设等比数列的公比为q 用q 乘③式得

12.....n n qs a q a q a q =+++

④⇒231......n n n qs a a a a +=+++ ⑤ 用③—⑤得：1111(1)n n n n n s qs a a q s a a q +-=-⇒-=- 当q ≠1时则

1(1)1n n a q s q -=-

特别：当q=1时为常数列即既是等差数列又是等比数列则n s an =

5、教授求和公式的记忆方法（有四个变量，只要知道三个就能求出另外的一个。公式的形式是分式，推出方式是乘公比然后做差，特别强调乘公比做差在等比数列中的作用。）引导学习求和公式的应用。

例1、求等比数列1111,

,,......248的前10项的和 解：分析因为a 1=1 12

q =所以带入公式得 1010109111()21102321251212

s ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦===- 例2、已知等比数列的前三项的和为92，第三项为32

，求它的前10项的和？

解：分析：根据等比数列的通项公式和求和公式

21213211.561131(1)24.521a q a q q q a q q q q ⎧==⎧++⎪⎪⇒=⇒=-⇒⎨⎨-=-=⎪⎪⎩-⎩

所以10101016(1())124(1)121()2

s --==--- 6、课堂练习（分组练习）94页练习1求下列数列的前6项的和

一组：⑴ 二组；⑵ 三组；⑶ 四组；⑷

并上黑板写出各自的答案（点评对和错）

7、归纳总结：

1、重点：求和公式的推导和记忆

2、要求：熟练掌握和应用。

8、课外大作业：

某人购房因资金不足采用按结贷款的方式买了一套10万元的房子,从该年年末开始,每年偿还a 元(定值),银行年存款利率为0.03,贷款利率为0.06,恰好五年还清。求a

难点透析：你每付一笔款银行（给你）加息,利率为0.03;把利息也作为还款的一部分。因为你分期付款时先付的款就像存在银行中一样；同样，你的贷款也要加息,利率为0.06(你拖了五年,最后还贷总额肯定是10(1+0.06)5次方)

流程：

第一年 a 元 第二年 a 元 第三年 a 元 第四年 a 元 第五年 a 元