极坐标与参数方程题型和方法归纳

极坐标与参数方程题型和方法归纳

极坐标与参数方程题型和方法归纳

题型一：极坐标（方程）与直角坐标（方程）的相互转化，参数方程与普通方程相互转化，极坐标方程与参数方程相互转化。方法如下：

{22222

cos sin tan (0x y x y x y

y

x x ραρα

ρρθ==⎧=++⎪⎨=≠+⎪⎩

−−−−−−−→

←−−−−−−−或(1)极坐标方程直角坐标方程

2

2

1θθ=−−−−−−−−−−−−→←−−−−−−−−−−−−消参（代入法、加减法、sin +cos 等）圆、椭圆、直线的参数方程

(2)参数方程直角坐标方程 −−→−−→←−−←−−

(3)参数方程直角坐标方程(普通方程)极坐标方程

1、已知直线l 的参数方程为

11233x t y t ⎧

=+⎪

⎨

⎪=⎩

（t 为参数）

以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的方程为2sin 3cos 0

θρθ=.

（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线

l

与曲线C 交点的一个极坐标.

题型二：三个常用的参数方程及其应用 （1）圆

222

()()x a y b r -+-=的参数方程是：

cos sin ()x a r y b r θ

θθ

=+⎧⎨

=+⎩为参数

（2）椭圆

22

221(0,0,)x y a b a b a b

+=>>≠的参数方程是：

cos ,()sin x a y b θ

θθ=⎧⎨

=⎩

为参数

（3）过定点0

(,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为：

00cos ,()sin x x t t y y t α

α

=+⎧⎨

=+⎩为参数

对（3）注意： P 点所对应的参数为0

t

=，记直线

l

上任意两点,A B 所对应的参数分别为1

2

,t t ，则①

12

AB t t =-,②

1212121212,0

,0

t t t t PA PA t t t t t t ⎧+⋅>⎪+=+=⎨

-⋅<⎪⎩，

③1

212

PA PA t

t t t ⋅=⋅=⋅

2、在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为

cos 2sin x a t

y t

=⎧⎨

=⎩ （t 为参数，0a > ）以坐标原点O 为极点，

以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l

的极坐标方程为cos 24

πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝

⎭

（Ⅰ）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值；

（Ⅱ）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.

3、已知曲线1

C ：12cos 4sin x y θ

θ

=⎧⎨

=⎩

（参数R θ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2

C 的极坐标方程为3cos()

3

ρπ

θ=

+，点Q 的极坐

标为(4

2,)

4

π

．

（1）将曲线2

C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求出点Q 的直角坐标；

（2）设P 为曲线1

C 上的点，求PQ 中点M 到曲线2

C 上

的点的距离的最小值．

4、已知直线l ：11232

x t y t ⎧

=+⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1

C ：cos sin x y θ

θ

=⎧⎨

=⎩

（θ为参数）.

（1）设l 与1

C 相交于两点,A B ，求||AB ；

（2）若把曲线1

C 上各点的横坐标压缩为原来的1

2

32

C ，设

点P 是曲线2

C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.

5、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线

3:sin x C y αα

⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为

2cos()124

π

ρθ+=-．

（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；

（2）过点(1,0)M -且与直线l 平行的直线1

l 交C 于,A B

两点，求弦AB 的长．

6、面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为

⎩⎨⎧x ＝5 cos α，y ＝sin α

（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋ π

4

)=2．l 与C 交于

A 、

B 两点.

（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点P (0,－2),求：① |PA |＋|PB |，②

PA PB

⋅,③

11

PA PB

+,④AB

题型三：过极点射线极坐标方程的应用

出现形如：（1）射线OP ：6πθ=（0ρ≥）；（1）直线OP ：6

π

θ=

（R ρ∈） 7、在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为

22((1)9

x y -++=，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极