近世代数初步_习题解答(抽象代数)

《近世代数初步》

习题答案与解答

引 论 章

一、知识摘要

1.A 是非空集合,集合积A A b a b a A A 到},:),{(∈=⨯的一个映射就称为A 的一个代数运算(二元运算或运算).

2. 设G 非空集合,在G 上有一个代数运算,称作乘法,即对G 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的积,记为c=ab.若这个运算还满足：,,,G c b a ∈∀

(1),ba ab = (2)),()(bc a c ab =

(3)存在单位元e 满足,a ae ea ==

(4)存在,'G a ∈使得.''e a a aa =='a 称为a 的一个逆元素.

则称G 为一个交换群.

(i)若G 只满足上述第2、3和4条,则称G 为一个群. (ii) 若G 只满足上述第2和3条,则称G 为一个幺半群. (iii) 若G 只满足上述第2条,则称G 为一个半群.

3.设F 是至少包含两个元素的集合,在F 上有一个代数运算,称作加法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的和,记为c=a+b.在F 上有另一个代数运算,称作乘法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素d 与之对应,d 称为a 与b 的积,记为d=ab.若这两个运算还满足：

I. F 对加法构成交换群.

II. F*=F\{0}对乘法构成交换群.

III..)(,,,ac ab c b a F c b a +=+∈∀

就称F 为一个域.

4.设R 是至少包含两个元素的集合,在R 上有加法和乘法运算且满足：

I. R 对加法构成交换群(加法单位元称为零元,记为0;加法单位逆元称为负元). II. R *=R\{0}对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为1).

III. .)(,)(,,,ca ba a c b ac ab c b a R c b a +=++=+∈∀ 就称R 为一个环.

5.群G 中满足消去律：.,,,c b ca ba c b ac ab G c b a =⇒==⇒=∈∀且

6.R 是环,),0(00,,0,==≠∈≠∈ba ab b R b a R a 或且若有则称a 是R 中的一个左(右)零因子.

7.广义结合律:半群S 中任意n 个元a 1,a 2,…,a n 的乘积a 1a 2…a n 在次序不变的情况下可以将它们任意结合.

8.群G 中的任意元素a 及任意正整数n,定义：

个

n n a aa a ...=, 个

n n a a a a e a 1

110...,----==.

则由广义结合律知,,,Z n m G a ∈∀∈∀有

.)(,)(,1m m mn n m n m n m a a a a a a a --+===

(在加法群中可写出相应的形式.)

9.关于数域上的行列式理论、多项式理论(包括除法算式、整除性、最大公因式、因式分解唯一性定理等)、线性方程组理论、矩阵运算及理论、线性空间及线性变换理论在一般域F 上都成立.

二、习题解答 1、（1）否，（2）否，（3）是，（4）是。

注：因为集合Ａ上的一个代数运算对应了集合Ａ×Ａ到Ａ的一个映射。此类题由此直接判断。

2、证明 由于在F 2上的任一和式中，只要有一项是1，其结果永远是1。而a+b 与b+a ；a+(b+c)与(a+b)+c 中1，0出现的次数分别相同，它们的和就分别相等，故F 2中加法交换律和结合律成立。

由于ab 和ba ；a （bc ）和（ab ）c 中如有0出现，其积为零，否则其积为1，故这两对积分别相等，于是F 2中乘法交换律和结合律成立。

对a （b+c ）和ab+ac ，若a=0，这两式子都为零；若a=1，这两式子都为b+c ，对这两种情形两式子都相等，故F 2中乘法对加法的分配律成立。

注：此类题根据所定义的运算法则直接验证。 3、（1）对a+b=a=a+0用加法消去律，得b=0。

（2）由于[（-a ）-b]+a+b=（-a ）+[-b+（a+b ）]=（-a ）+a=0,由负元的定义知（-a ）-b=-（a+b ）. （3）在（2）中将 b 换为-b ，就得-（a-b ）=（-a ）+b 。

（4）对a-b=c 两边加上b ，左边=（a-b ）+b=a ，右边=c+b ，故a=c+b 。 （5）a ·0+a=a ·0+a ·1=a （0+1）=a,用加法消去律得a ·0=0。

（6）00)()(=⋅=+-=+-b b a a ab b a ，故b a ab )(-=-，将上式b a ,互换就得)(b a ab -=。 （7）.)())(()(ac ab c a ab c b a c b a -=-+=-+=- 注：此题直接根据环上的两个运算的性质和关系进行验证。 4

∑=m i i a 1

∑=n

j j

b

1

=∑=++n

j j

m b

a a 1

1)

( ∑∑==++=n

j j m n j j b a b a 1

1

1

∑∑

∑∑=====++=n

j j

i m

i n

j j m n

j j b

a b a b a 1

1

1

1

1 。

注：此题直接根据环上“乘法对加法的分配律”来证明。

5.分几种情形

（i ）0=+n m ，但m ，n 不为零，不妨设m 为正整数。m

m

a a -为m 个a 及m 个1

-a 的乘积，由广义

结合律知)(01m m m

m

a a a

a -+-===。

（ii ）若m ，n 中有零，不妨设m=0，则左边右边====+n n n

a a a a

00。

（iii ）m ，n 皆为正整数，则a m+n 与a m a n 皆为m+n 个a 的积，由广义结合律知它们相等。若m ，n 皆为负整数，则a m+n 与a m a n 皆为-（m+n ）个a -1的乘积，由广义结合律知它们相等。

（iv ）m ，n 中有正有负，且0≠+n m ，不妨设m 与m+n 为异号。则由（iii ）n m n m m n

m a a a a ==-+-+)(，

两边再乘上()

m m

a a =--1

(参看(i)),则n m n m a a a =+.

以上已证明了m m n m n

m a a a a a

--+==1)(及

再由);0(,)(时当个

个〉===+++n a a a a a

n m n m m n m m m mn