不完全市场下投资组合选择的鞅方法

不完全市场下投资组合选择的鞅方法

【摘要】介绍了投资组合选择理论的产生和新的发展，在总结不完全市场下假设下投资组合选择的鞅方法的基础上，对其理论进行了详细的描述。

【关键词】不完全市场，投资组合选择，随机控制论，鞅方法1、引言

投资组合选择理论被定义为最佳风险管理的定量分析。投资组合选择主要是投资者把拥有的财富投资到不同的资产中，以达到风险和确保收益的目的。其本质上就是一个金融优化问题的研究。1952年，美国经济学家markowitz（1952）首次提出投资组合理论，并进行了全面深入和开创性的研究，他利用了均值和方差的概念来分析资产的收益和风险[1]。它极大地推动了现代金融学的产生和发展，也掀起了华尔街的第一次革命。

投资组合选择理论最大的应用就是证券投资上面，尤其是基金管理行业。证券投资基金起源于英国投资信托公司，发展与美国证券投资市场。在markowitz之前，基金经理很难去风险有很好的刻画，均值方差投资理论给基金管理行业提供了重要的理论依据。随着各种理论模型的提出，极大地促进了投资组合选择理论的发展，也推动了证券投资行业的兴起和繁荣。

金融市场可以分为完全市场和不完全市场，从50年代以来，投资组合的研究主要集中在完全市场，并且已经有了很多丰富的理论成果。但是现实的市场多数都是不完全的，完全市场的假设往往和

实际相违背，于是80年代末90年代初起，开始进行了对不完全市场下的投资组合的研究[2-4]。研究的方法主要集中在两种：（1）控制论方法，（2）鞅方法。本文主要是在研究大量文献的基础上，总结和分析在不完全市场下投资组合选择的鞅方法。

2、鞅和对偶方法

鞅方法主要就是思想是把一个动态的最优问题，转化为一个静态的最优问题。pagès（1987）最早采用鞅方法来研究不完全市场下的投资组合选择问题，并且提出了等价鞅测度的思想[2]。he和pearson（1988）继续了pagès的工作，重点讨论了如何需找最大的等价鞅测度，并且定义了arrow-debreu状态价格[3]。karatzas、lehoczky、shreves和xu（1991）用鞅和对偶的方法，通过增加“虚拟”股票，得到了与完全市场相一致的最优投资组合。这几位学者都通过假设股票数量小于brownian运动个数来刻画市场的不完全性[4]。总结起来，可以概括为：

求解时可以利用对偶原理进行求解。

上述方法其实和不完全市场下的期权定价的需找一个相对最优

的等价鞅测度来进行定价的思想很像，实际上期权定价也等价于一个如何寻找一个资产组合来复制这个期权。所以我们可以采用处理不完全市场下期权定价的方法，来确定鞅方法中的状态价格密度过程。比如可以用最优鞅测度定价方法、一般均衡框架定价方法等。

3、总结与讨论

鞅方法最大的优点就是把一个动态问题转化为一个静态问题的，

计算量相对较少，可以利用对偶理论等技巧来计算该静态问题。但是对于不同的处理方式，难易程度有很大不同。比如对于通过寻找一个相对最优的等价鞅测度来计算状态价格密度过程这种处理方

法就带来比较繁琐的计算，会用到鞅论的一些理论。

参考文献：

[1]markowitz h m. portfolio selection. journal of finance，1952， 7：.

[2]h. pagès， optimal consumption and portfolio policies when markets are incomplete， mit mimeo， massachusetts institute of technology， cambridge， ma， 1987

[3]h. he and n. pearson， consumption and portfolio policies with incomplete markets and short-sale constraints： the finite dimensional case， working paper， simon graduate school of business administration， university of rochester，rochester， ny， 1988

[4]i. karatzas， j. lehoczky， s.e. shreve and g.l. xu，martingale and duality methods for utility maximization in incomplete markets， siam j. control and optimization， 1991，29（3）：702-730

[5]d. duffie， m. jackson， optimal hedging and equilibrium in a dynamic futures market， journal economic dynamics control， 1990， 14： 21-33.