相互独立事件的集合关系
§10.2-事件的相互独立性课件-高一下学期数学人教A版必修第二册第十章
(3) 如果 A⊆B，P(A)≤P(B)． (4) A，B 是一个随机试验中的两个事件，
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 特别：①当 A 与 B 互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②当 A 与 B 对立时，P(B)＝1－P(A) 或 P(A)＝1－P(B)．
(0, 0)}, 所以AB={(1, 0)}. 由古典概型概率计算公式，得
P(A)=P(B)= 1 , P(AB)= 1 . 于是P(AB)=P(A)P(B).
2
4
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
新课讲授 下面两个随机实验各定义了一对随机事件A和B，你觉
得事件A产生与否会影响事件B产生的概率吗？
下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题.
探究1 下面两个随机实验各定义了一对随机事件A和B，你
觉得事件A产生与否会影响事件B产生的概率吗？ 实验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A= “第一枚硬币 正面朝上"，B="第二枚硬币反面朝上”. 实验2： —个袋子中装有标号分别是1, 2, 3, 4的4个球，除 标号外没有其它差异. 采用有放回方式从袋中依次任意摸 出两球. A= “第一次摸到球的标号小于3”，B = “第二 次摸到球的标号小于3”.
解：(2)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为 58，若这一事件发生了，则“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个， 取出的仍是白球”的概率为4，若前一事件没有发生，则后一
7 事件发生的概率为5.可见，前一事件是否发生，对后一事件
7 发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．
例 2. 判断下列各对事件是不是相互独立事件： (3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现 3 点或 6 点”．
概率与统计1
【解析】三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24, 解析】三人均达标为0.8×0.6× 0.8 三人中至少有一人达标为1 三人中至少有一人达标为1-0.04=0.96
5.（湖北卷14）明天上午李明要参加奥运志愿者活动， 5.（湖北卷14）明天上午李明要参加奥运志愿者活动， 14 为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己， 为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设 甲闹钟准时响的概率是0.80， 甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是 0.80 0.90， 0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 。.
题型二 相互独立事件同时发生的概率问题 2009北京卷文）（本小题共13分 北京卷文）（本小题共13 例2 （2009北京卷文）（本小题共13分） 某学生在上学路上要经过4个路口， 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口 是否遇到红灯是相互独立的， 是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都
1 1 1 4 P ( A) = 1 − × 1 − × = 3 3 3 27
（Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多 是4min为事件B，这名学生在上学路上遇到 4min为事件B 为事件 的事件
Bk ( k = 0,1, 2 )
2 16 P ( B0 ) = = 3 81
1 的概率都是 2 若某人获得两个“支持” 则给予10万元的创业资助； 10万元的创业资助 .若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得
一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予 一个“支持” 则给予5万元的资助；若未获得“支持” 资助． 资助．求： 该公司的资助总额为零的概率； (1) 该公司的资助总额为零的概率； （2）该公司的资助总额超过15万元的概率． 该公司的资助总额超过15万元的概率． 15万元的概率
人教A版高中数学必修第二册教学课件：事件的相互独立性
＝
1 12
+
1 8
+
1 4
＝
11 24
，所以事件A，B，C只发生两个的概率为
11 24
.
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学二必册修教第学二课册件 教：学事课件 件的：相第互 十独章立性 10.2 事件的相互独立性(共16张PPT)
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人教A版高中数学必修第二册教学课件 ：事件 的相互 独立性
人教A版高中数学必修第二册教学课件 ：事件 的相互 独立性
（3）记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，
则A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}，
所以P（A）＝ 3 ＝ 1 ，P（B）＝ 2 ＝ 1 ，P（AB）＝ 1 .
62
63
6
【变式训练2】端午节放假，甲回老家过节的概率为 1 ，乙、丙回老家 3
过节的概率分别为 1 ，1 .假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段 45
时间内至少1人回老家过节的概率为 （ ）
A. 59
B. 1
C. 3
D. 1
60
2
5
60
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所以P（AB）＝P（A）P（B），
所以事件A与B相互独立.
高考数学复习考点知识讲解课件57 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
件 B：甲和乙选择的景点不同，则条件概率 P(B|A)＝( D )
A．176
B．78
C．37
D．67
பைடு நூலகம்
[解析] 由题意知，事件 A：甲和乙至少一人选择庐山，共有 n(A)＝C12·C13＋1＝7 种 情况，事件 AB：甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山，共有 n(AB)＝C12·C13＝6 种情况，P(B|A)＝nnAAB＝67.故选 D．
2
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条件概率的 2 种求法 (1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)＝PPAAB，这是求条件概率的通法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再求事件 A 与事件 B 的交事件中包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)＝nnAAB.
满 2 局或 3 局，且在 11 分制比赛中，每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13；在“FAST5”
模式，每局比赛双方获胜的概率都为12，每局比赛结果相互独立．
(1)求 4 局比赛决出胜负的概率；
(2)设在 24 分钟内，甲、乙比赛了 3 局，比赛结束时，甲乙总共进行 5 局的概率．
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2．条件概率 (1)概念：一般地，设
A，B
为两个随机事件，且
P(A)>0，我们称
P(B|A)＝PPAAB
为
在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，简称条件概率．
(2)两个公式
nAB
①利用古典概型，P(B|A)＝ nA .
②概率的乘法公式：P(AB)＝ P(A)P(B|A) ．
相互独立事件同时发生的概率公式相互独立事件的定义和性质相互独立事件和互斥事件的区别
相互独立事件的定义：如果事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
若A，B是两个相互独立事件，则A与，与，与B都是相互独立事件。
相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生，记做A·B，P（A·B）＝P（A）·P（B）。
若A1，A2，…A n相互独立，则n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A1·A2·…·A n）＝P（A1）·P（A2）·…·P （A n）。
相互独立事件同时发生的概率计算：（1）利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；（2）（2）正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算。
相互独立事件的定义相互独立是设A，B是两事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A，B相互独立。
设A，B是试验E的两个事件，若P(A)>0，可以定义P(B∣A)。
一般A的发生对B发生的概率是有影响的，所以条件概率P(B∣A)≠P(B)。
1特殊事件必然事件记作Ω，样本空间Ω也是其自身的一个子集，Ω也是一个“随机”事件，每次试验中必定有Ω中的一个样本点出现，必然发生。
不可能事件记作Φ，空集Φ也是样本空间的一个子集，Φ也是一个特殊的“随机”事件，不包含任何样本点，不可能发生。
事件关系事件A是事件B的子事件，事件A发生必然导致事件B发生，事件A的样本点都是事件B的样本点，记作A⊂B。
若A⊂B且B⊂A，那么A=B，称A和B为相等事件，事件A与事件B含有相同的样本点。
和事件发生，即事件A发生或事件B发生，事件A与事件B至少一个发生，由事件A与事件B所有样本点组成，记作A∪B。
积事件发生，即事件A和事件B同时发生，由事件A与事件B的公共样本点组成，记作AB或A∩B。
相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件之间的发生互不影响，但可能会同时发生。
对立事件和独立事件的
P(A+B+C+…)=P(A)+P(B)+P(C)+…
2, 概率的一般加法公式:
设A、B为任意两个事件，则 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 显然, 互不相容事件的概率的加法公式 是一般加法公式的特例.
新授
一、对立事件的概率
P( A) 1 P( A)
课堂练习
教材P144 / 1，2，3，4, 5
课后作业
教材P145 / 1，2，3，6
1，四个人在议论逻一辑位推作理家的年龄。甲说
“她不会超过35岁。” 乙说“她不超过
40 岁。” 丙说“她的岁数在50以下。” 丁
说
“她绝对在40岁以上。” 实际上只有一 个
人说A、对甲了说。的那对么下列说法正确的是（ ） B、她的年龄在45~50岁之间 C、她的年龄在50岁以上 D、丁说的对
逻辑推理
2，经过破译敌人的密码，已经知道“香蕉
苹果大鸭梨”的意思是“星期三秘密进攻”，
“苹果甘蔗水蜜桃”的意思是“执行秘密计
划”，“广柑香蕉西红柿”的意思是“星期三
的胜利属于我们”，那么“大鸭梨”的意思
是
（）
A、秘密 C、进攻
B、星期三 D、执行
类比推理
先给出一对相关的词，要求从备选项 中找出一对与之在逻辑关系上最为贴近或 相似的词。
5．相互对立事件
如果“事件A与B满足: AB=φ且A+B=U 则称事件A与B为相互对立事件。
又称互为逆事件. A的对立事件记作：A
“A与B互为对立事件” 就是说: “A与B不能 同时发生(互不相容), 但二者必有一个发生.
事件的相互独立性
设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P( AB) P( A) P(B)
则称事件 A, B 相互独立,简称 A, B 独立.
注. 1º若 P( A) 0,则
P(B A) P(B) P( AB) P( A)P(B)
说明 事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的 发生与事件 B 发生的概率无关.
例4 若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为 0.4%, 假设每个人血清中是否含有肝炎病毒 相互独立，混合100个人的血清，求此血清 中含有肝炎病毒的概率. 解
Ai {第i人的血清含有肝炎病毒},i 1, 2,...100
B {100个人的混合血清中含有肝炎病毒} 则 P( Ai ) 0.004
[r(2 r)]n rn(2 r)n
(2) 问：哪个系统的可靠性更大？
令 f ( x) xn (n 2)，则
0r1
f ( x) n(n 1)xn2 0 ( x 0)
(2 r)n 2 rn
故曲线y f ( x)是凹的，从而 f (2 r) f (r) f ( (2 r) r ) f (1) 1
P(BC ) P(B)P(C ),
P(
AC
)
P( A)P(C ),
P( ABC ) P( A)P(B)P(C ),
则称事件 A, B,C 相互独立 .
3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P( Ai Aj ) P( Ai )P( Aj )
通路上各元件
都正常工作
而 系统Ⅰ正常工作
两条通路中至少
有一条正常工作
B1 C D A1A2 An An1An2 A2n
事件的相互独立性 课件 高中数学新人教A版必修第二册 (1)
P(BC)＝P(B)P(C)成立即可.
利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，
P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.
可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C).
所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C
简称独立.
知识点二 相互独立事件的性质
如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.不可能事件与任何一个事件相互独立.( √ )
2.必然事件与任何一个事件相互独立.( √ )
4 3 2
乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为5，4，3，在实际操作考试中“合格”的
1 2 5
概率依次为2，3，6，所有考试是否合格相互之间没有影响.
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能
性最大？
解
记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格
1 15 15
所以整个电路不发生故障的概率为 P＝P(A)×P1＝2×16＝32.
核心素养之数学抽象
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE CHOU XIANG
方程思想在相互独立事件概率中的应用
典例 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一
1
等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 4，乙机床加工的零件是一等品而丙机
相互独立事件
2.2.2 事件的相互独立性一、知识复习问题一：1）条件概率定义及公式2）什么是相互独立事件？3）若A，B独立，则A、A，B，B关系如何？4）什么是互斥事件？对立事件？二、知识学习问题二：互斥事件与独立事件的区分：互斥事件与独立事件的区分：（1）互斥事件：一次试验中的两个事件，不可能同时发生。
（2）相互独立事件：两个试验中的各一个事件，一个事件是否发生对另一个事件是否发生没有影响。
这两个事件可以同时发生，也可同时不发生。
问题三：两相互独立事件同时发生的概率：例题1某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；（注：指定号码为中奖号码）(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．例1解答提示： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB．由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A）U（B）表示．由于事件A与B互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P (A）十P（B）=P（A）P（）+ P（）P（B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A）U （B）表示．由于事件 AB , A和 B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P（A）+ P（ B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求：（1）人都射中目标的概率；（2）人中恰有人射中目标的概率；（3）人至少有人射中目标的概率；（4）人至多有人射中目标的概率？例2解答提示：记“甲射击次，击中目标”为事件，“乙射击次，击中目标”为事件，则与，与，与，与为相互独立事件，（1）人都射中的概率为：，∴人都射中目标的概率是．（2）“人各射击次，恰有人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件发生）根据题意，事件与互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：∴人中恰有人射中目标的概率是．（3））：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为．（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是，∴“两人至少有1人击中目标”的概率为．（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，故所求概率为：．（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率解：分别记这段时间内开关，，能够闭合为事件，，．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是．答：在这段时间内线路正常工作的概率是．例3 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中（Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？（Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？例3解答提示：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A、B、C，则P（A）=0.9，P（B）=0.8，P（C）=0.85，P=[1-P（A）]•[1-P（B）]•[1-P（C）]=（1-0.9）×（1-0.8）×（1-0.85）=0.003答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003．（Ⅱ）P=[1-P（A）]•P（B）•P（C）+P（A）•[1-P（B）]•P（C）+P（A）•P（B）•[1-P（C）]=（1-0.9）×0.8×0.85+0.9×（1-0.8）×0.85+0.9×0.8×（1-0.85）=0.329．答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329．例4三个元件T 1、T 2、T 3正常工作的概率分别为,43,43,21将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路.（Ⅰ）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？（Ⅱ）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图，并说明理由.11例4解答提示：记“三个元件T 1、T 2、T 3正常工作”分别为事件A 1、A 2、A 3，则.43)(,43)(,21)(321===A P A P A P（Ⅰ）不发生故障的事件为（A 2+A 3）A 1.（2分） ∴不发生故障的概率为321521]41411[)()]()(1[)4)(()(])[(1321311321=⨯⨯-=⋅⋅-=⋅+=+=A P A P A P A P A A P A A A P P 分（Ⅱ）如图，∴把T 2或T 3放在T 1的位置才能使电路中不发生故障的概率最大． 此时不发生故障的概率最大.证明如下： 图1中发生故障事件为（A 1+A 2）·A 3 ∴不发生故障概率为3221)()]()(1[)()(])[(3213213212=⋅-=⋅+=+=A P A P A P A P A A P A A A P P )11(12分P P >∴。
相互独立事件的概念
相互独立事件的概念相互独立事件是概率论中一个重要的概念，它指的是两个或多个事件之间没有任何关联，即一个事件的发生与另一个事件的发生无关。
在实际生活中，我们经常会遇到一些相互独立的事件，例如抛硬币的结果（正面或反面）、投掷骰子的结果（1到6之间的数字）等等。
首先，我们来介绍一下事件的概念。
事件是指一个可能发生或未发生的事情，可以是一个具体的结果，也可以是多个结果的集合。
例如，抛硬币的结果可以是正面或反面，投掷一个骰子的结果可以是1到6之间的任意一个数字。
在概率论中，我们使用概率来描述事件发生的可能性。
概率的取值范围为0到1之间，表示事件发生的可能性大小。
对于相互独立事件来说，它们之间的概率是独立的，一个事件的发生不会影响另一个事件的发生。
假设有两个相互独立的事件A和B，它们的概率分别为P(A)和P(B)。
那么同时发生事件A和事件B的概率可以用乘法法则表示为P(A ∩ B) = P(A) × P(B)。
这个公式说明了两个相互独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
举个例子来说明相互独立事件的概念。
假设有一个装有10个红球和10个蓝球的袋子，从中随机抽取两个球，每次抽取后都将球放回袋中。
我们定义事件A为第一次抽取得到红球，事件B为第二次抽取得到红球。
由于每次抽取都是独立的，所以事件A和事件B是相互独立的。
事件A的概率为抽取得到红球的概率，即P(A) = 10/20 = 1/2。
事件B的概率也是1/2，因为每次抽取都是独立的，所以第二次抽取得到红球的概率仍然是10/20 = 1/2。
根据乘法法则，事件A和事件B同时发生的概率为P(A ∩ B)= P(A) × P(B) = 1/2 × 1/2 = 1/4。
也就是说，在两次抽取中同时得到红球的概率为1/4。
除了乘法法则之外，我们还可以使用加法法则来计算相互独立事件的概率。
当两个事件A和B不同时发生时，它们的概率之和等于它们各自的概率之和，即P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。
互逆互斥独立的关系概率论
互逆互斥独立的关系概率论引言在概率论中，我们经常需要分析事件之间的关系。
其中互逆、互斥和独立是最为常见的三种关系。
本文将深入探讨互逆、互斥和独立关系，并通过实例来解释这些概念。
互逆关系互逆关系指的是两个事件同时发生或者同时不发生的情况。
互逆事件可以用互补事件来描述，即事件A的互补事件为事件A的补集，记作A'。
当事件A发生时，事件A'不发生，反之亦然。
互逆关系中，事件A和事件A'的概率之和等于1。
这是由于在所有可能的情况下，事件A和事件A'必然有一个发生。
设事件A的概率为P(A)，则事件A'的概率为P(A')=1-P(A)。
互斥关系互斥关系指的是两个事件不可能同时发生的情况。
如果事件A和事件B互斥，那么它们的交集为空集。
换句话说，当事件A发生时，事件B必然不发生，反之亦然。
互斥关系中，事件A和事件B的概率之和等于各自概率的和。
设事件A的概率为P(A)，事件B的概率为P(B)，则事件A和事件B的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)。
独立关系独立关系指的是两个事件之间没有相互影响的情况。
如果事件A和事件B独立，那么它们的发生与否对对方的概率没有任何影响。
在独立关系中，事件A和事件B的概率乘积等于各自概率的乘积。
设事件A的概率为P(A)，事件B的概率为P(B)，则事件A和事件B的概率为P(A∩B)=P(A)·P(B)。
实例分析为了更好地理解这些概念，我们来看一个具体的实例。
假设有一副52张标准扑克牌，从中取出一张牌。
事件A表示取到黑桃牌，事件B表示取到红心牌。
现在我们来判断事件A和事件B之间的关系。
首先，黑桃牌和红心牌是互斥的，因为同一张牌不能既是黑桃牌又是红心牌。
所以，P(A∪B)=P(A)+P(B)=P(黑桃牌)+P(红心牌)=1/4+1/4=1/2。
同时，黑桃牌和红心牌是独立的，因为取到一张黑桃牌的概率与是否取到红心牌没有关系。
所以，P(A∩B)=P(A)·P(B)=1/4·1/4=1/16。
事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
2.条件概率
(1)概念：一般地，设 A，B 为两个随机事件，且 P(A)>0，我们
PAB
称 P(B|A)＝ PA 为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条
件概率，简称条件概率．
提醒： P(B|A)与 P(A|B)的意义不同，“|”后面的表示条件，一般 情况下，二者不相等．
第四节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
②有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为(男，
男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，
(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，
由等可能性知这 8 个元素的概率均为18，这时 A 中含有 6 个元素， B 中含有 4 个元素，AB 中含有 3 个元素．于是 P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝ 12，P(AB)＝38，显然有 P(AB)＝38＝P(A)P(B)成立．
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
(2)性质：设 P(B|A)>0，则 ①P(Ω|A)＝ 1 ； ②任何事件的条件概率都在 0 和 1 之间，即 0≤P(B|A)≤1 ； ③如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝ P(B|A)＋P(C|A) ； ④设 B 和 B 互为对立事件，则 P( B |A)＝ 1－P(B|A) ．
降雨为 A B ＋ A B，
所以 P(A B ＋ A B)＝P(A B )＋P( A B)
＝P(A)P( B )＋P( A )P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.]
第四节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
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第二章2.22.2.2事件的相互独立性
③在含有 2 红 1 绿三个大小相同的小球的口袋中，任 取一个小球，观察颜色后放回袋中，事件 A＝“第一次取 到绿球”，B＝“第二次取到绿球”．
解：①事件 A 与 B 是互斥事件，故 A 与 B 不是相互
独立事件．
②第一枚出现正面还是反面，对第二枚出现反面没有
影响，所以 A 与 B 相互独立．
③由于每次取球观察颜色后放回，故事件 A 的发生 对事件 B 发生的概率没有影响，所以 A 与 B 相互独立．
(2)“2人中恰有1人射中目标”包括两种情况：一种 是甲射中，乙未射中(事件AB发生)；另一种是甲未射 中，乙射中(事件AB发生)．根据题意，事件AB与AB互 斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概 率乘法公式，所求的概率为
P(AB)＋P(AB)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B) ＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26.
第二章 随机变量及其分布
2.2 二项分布及其应用 2．2.2 事件的相互独立性
[学习目标] 1.在具体情境中，了解两个事件相互独 立的概念(重点)． 2.能利用相互独立事件同时发生的概 率公式解决一些简单的实际问题(难点)．
1．相互独立事件的定义和性质 (1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝ P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)如果A与B相互独立，那么A与B，A_与B_，A与_ B也 都相互独立． (3)如果A与B相互独立，那么P(B|A)＝P(B)，P(A|B) ＝P(A)．
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为 P2＝1－ P(A- B—C)＝1－P(A- )P(B- )P(C- )＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
[迁移探究] 在典例 2 条件下，求恰有一列火车正点 到达的概率．
概率论-第一章1.6-独立性
如果两个事件不能同时发生，那么它 们之间没有任何联系？
如果一个事件发生了，我们即可以确 定另外一个事件不会发生！
性质:
当 P( A) > 0, P( B) > 0 时，互不相容与相互独立 不能同时成立。
证： A、B互不相容 P( AB) = 0 ⇒ P( AB) ≠ P( A) P( B) 反之 A、B 相互独立 = P( AB) P( A) P( B) > 0 则 AB ≠ Φ ，故A、B不可能互不相容。
这在直观上很显然，但证明较麻烦. 若B3=A4A5A6，则B2 , B3就不一定独立，因为都 与A4有关.
例：设某型号高炮命中率为0.6，现若干门炮同时发射
（每炮一发）,欲以99%以上的把握击中来犯的一架敌机， 至少需要配备几门炮？ 解：设n为所需炮数，
i = 1, 2, , n Ai 表示第i门炮击中飞机，
从四个球中任取一个
1 2 3
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即A 1、A2、A3 两两独立。
1 1 1 1 1 P ( A1 A2 A3 ) = ≠ P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) = ⋅ ⋅ = 4 2 2 2 8
所以A 1、A2、A3 不相互独立。
定理4 设 n个事件A1, A2, …An相互独立，则把它们中的任意 m (1≤m ≤ n)个事件换成各自事件的逆事件，则所得的n个事件 也相互独立.
定理1: 当 P ( A ) > 0 ( 或 P ( B ) > 0)时，
事件A与B 独立的充要条件是:
P ( B A) = P ( B )
(或 P ( A B ) = P ( A) )
P ( AB )= P ( A) P ( B ) ⇔ P ( B A)= P ( B )
事件的相互独立性课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
1234
从应届高中生中选飞行员，已知这批学生体形合格的概率为13，视力合格的概率 为16，其他综合标准合格的概率为15，从中任选一学生，则三项均合格的概率为 (假设三项标准互不影响)
4
1
A.9
√B.90
4
5
C.5
D.9
解析
由题意知三项标准互不影响，∴P＝13×61×15＝910.
1234
已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.85，且3人 是否击中目标相互独立.若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的 概率为__0_._0_0_9__.
＝14＋18＋112＝2141.
所以甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为2141.
反思感悟
求解相互独立事件的概率的具体步骤
(1)
(2)
(3)
确定各事件是 否相互独立
确定各事件是 否会同时发生
先确定每个事件的 概率，再计算其积
跟踪训练1 一次数学考试的试卷上有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5 分，否则得0分，在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后3道 题能得出正确答案的概率分别为 p，12，13，且每题答对与否相互独立. (1)当p＝23 时，求考生填空题得满分的概率；
3
随堂演练
1234
一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为
0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为
A.1
√B.0.629
C.0
解析
D.0.74或0.85
设“甲保险丝熔断”为事件A，“乙保险丝熔断”为事件B， 则P(A)＝0.85，P(B)＝0.74， 由事件A与B相互独立，得“两根保险丝都熔断”为事件AB， ∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.85×0.74＝0.629.
事件的相互独立性
举例：天气预 报准确，则明 天下雨的概率
为100%
与独立性的区 别：事件A与 事件B相互独 立，即A发生 与否不影响B 发生的概率
举例：扔硬币 正面朝上与反 面朝上概率都是50%投掷两颗骰子的事件的相互独立性分析
事件1：第一颗骰子的点数
事件2：第二颗骰子的点数
定义事件：投掷两颗骰子， 观察出现的点数
发展前景与研究方向
完善事件独立性的定义和性质 事件独立性在各领域的应用拓展 发展前景：与其他学科的交叉研究 研究方向：理论与实证相结合
与事件的互斥性的区别
定义不同：互斥事件是指在一定条件下不可能同时发生的事件；相互独立事件是指一个事件的发生不会影响另一个事件的发生。
联系不同：互斥事件和相互独立事件之间没有必然的联系；两个事件不包括共同的事件；且相互独立事件之间的发生概率不受事件是 否发生的影响。
独立事件的和事件与积事件的概率计算
两个独立事件的和事件概率计算公式：P(A+B)=P(A)+P(B)
两个独立事件的积事件概率计算公式：P(AB)=P(A)P(B)
举例说明：假设有两个独立事件A和B，P(A)=0.4，P(B)=0.6，则 P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.6=1，表示A和B同时发生的概率为1 结论：独立事件的和事件与积事件的概率计算公式可以用来计算两个独 立事件同时发生的概率。
在金融领域的应用
计算回报率：独立事件对 回报率的影响
风险评估：独立事件对风 险的影响
投资组合优化：独立事件 对投资组合的优化
保险产品定价：独立事件 对保险产品定价的影响
在计算机科学中的应用
密码学：利用独立性来增加密码的安全性 并发控制：避免多个事件同时修改同一个数据而产生冲突 故障恢复：独立处理每个事件以确保系统的稳定性和可靠性 算法设计：利用独立性来优化算法的性能和效率
集合与概率事件的独立与非独立
集合与概率事件的独立与非独立在数学中，集合和概率事件是两个重要的概念。
集合是由一些特定对象组成的整体，而概率事件是指在某种实验或随机试验中可能发生或不发生的结果。
研究集合与概率事件的独立性与非独立性，可以帮助我们更好地理解概率论的基础知识。
一、集合的定义与基本运算首先，我们来回顾一下集合的定义与基本运算。
集合是由元素组成的，这些元素可以是任意对象。
我们通常用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素。
集合之间的关系可以通过以下运算来描述：1. 并集：将两个集合中的所有元素放在一起，形成一个包含两个集合元素的新集合。
记作A∪B。
2. 交集：找出两个集合中共有的元素，形成一个新集合。
记作A∩B。
3. 补集：给定一个全集U，对于集合A，A在U中的补集就是指在U中但不在A中的所有元素的集合。
记作A'。
4. 差集：给定两个集合A和B，A和B的差集就是属于A但不属于B的所有元素的集合。
记作A-B。
二、独立事件与非独立事件在概率论中，我们经常会讨论事件之间的关系，主要包括独立事件和非独立事件。
1. 独立事件：两个事件A和B被称为独立事件，如果事件A的发生与B的发生没有任何关系，即事件A的发生与B的发生是相互独立的。
换句话说，事件A的发生与B的发生不会对对方的发生概率产生影响。
2. 非独立事件：如果事件A的发生与B的发生存在一定的关系，即事件A的发生与B的发生是相互依赖的，那么事件A和事件B就被称为非独立事件。
三、独立事件的判定方法判断两个事件是否独立有以下几种方法：1. 乘法法则：对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率，即P(A∩B) = P(A) × P(B)。
2. 条件概率法则：如果事件A和事件B是独立事件，那么事件B 在事件A已经发生的条件下仍然发生的概率等于事件B本身发生的概率，即P(B|A) = P(B)。
3. 相互独立性判定：对于多个事件A1，A2，...，An，如果对于任意的事件Ai和事件Aj，都有P(Ai∩Aj) = P(Ai) × P(Aj)，那么这些事件是两两独立的。
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相互独立事件的集合关系
互斥事件交集为空，那么相互独立事件呢？有交集的事件一定是相互独立事件吗？
如果相互独立事件没有明确的集合关系，那么它们之间就没有集合图像吗？
我来帮他解答
互斥事件交集为空，那么相互独立事件呢？
独立事件的交集一般不为空,除非某一事件的概率为空.
你画一个正方形□,□内为全体事件,以面积的大小表示事件的多少.
再画一横线,变成了日,日的上面的框内为事件A,
然后画一竖线,变成了田.田的左侧两个框内为事件B,
此时,左上方为事件AB,
AB为独立事件.
因为无论你如何上下移动横线,事件AB的面积除以事件A的面积始终等于事件B的面积除以全体事件的面积.
同样,无论如何移动竖线,事件AB的面积除以事件B的面积始终等于事件A的面积除以全体事件的面积.
当你把竖线换成斜线结果就不同了,或者当你把□形换成○形结果也会不同的.你试试,此时的AB就不是独立事件了.
相互独立事件可以这样理解:
在事件A的概率为P(A),事件B的概率为P(B),事件AB的概率为P(AB),则
P(AB)/P(A)=P(B),就是说在发生了A的事件中发生了B的概率的大小(这是条件概率)和所有事件中发生B的概率是相同的.
在不发生事件A的概率为P(A非),事件B的概率为P(B),不发生事件A发生B的概率为P(A非B),则
P(A非B)/P(A非)=P(B),就是说在不发生A的事件中发生了B的概率的大小(这是条件概率)和所有事件中发生B的概率是相同的.
换句话说,是否发生A与发生B的概率无关.
当然将所有的A换成B,将B换成A,上边的说法仍然成立.
有交集的事件一定是相互独立事件吗？
不是的.前面说的将竖线变成斜线后的关系就是反例,我举一个实例:
事件A:今天西安城区平均温度高于30°,
事件B:明天西安城区平均温度高于30°.
今天明天连续两天温度高于30°的情况有吗?我想是有的.
如果今天西安城区平均温度高于30°,那么明天西安城区平均温度高于30°的可能性我觉得会更高一些,于是这两个事件就不是独立事件了.
如果相互独立事件没有明确的集合关系，那么它们之间就没有集合图像吗？
我想前面的两个你清楚了,后面的这个就不用我说了吧.
当A1A2A3……An相互独立P（A1A2A3……An）=P(A1)*P(A2)*P(A3)*P(A4)*……*P(An)
解读独立事件的概率和条件概率
1.理解独立事件的本质:一个事件是否发生对另一个事件是否发生不产生联系，事件的相互独立性的概念可以推广到n个事件之间的相互独立.条件概率具有概率的一般性质，即概率值都在[o，1」内，若事件B，C互斥，则尸(BUC}A)-P(B}A)+P(C IA)等.
2.
学会分析事件之间的关系，一个实际问题中往往涉及多个事件，正确理解这些事件之间
的相互关系是解决问题的核心.一般的思路是先把所要解决的随机事件分成若干个互斥事件的和，再把这些互斥事件中的每一个事件分成若干个相互独立事件的乘积，把所要求的随机事件的概率计算转化为已知的一些事件的概率之积、之和的计算.侧，甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球.甲袋装有2个红球，2个白球;乙袋装有2个红球，n个白球.从甲、乙两袋中各取2个球. (l)若n一3，求取到的4个球全是红球的概率; (2)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为3一子，求n.4’一_.分析:第(l)问是两个相互独立事件同时发生的概率;第(2)问可以转化为其对立事件进而求解.解:(1)记“取到的4个球全是红球”为事件A，则点评:把复杂问题简单化是解决数学问题的一...... (本文共计1页) [继
续阅读本文]。