概率论与数理统计海南大学五六章习题详解

习题五

1 .已知()1E X =，()4D X =，利用切比雪夫不等式估计概率

{}1 2.5P X -<.

解： 据切比雪夫不等式

{}2

21P X σμεε

-<≥-

{}24

1 2.51 2.5

P X -<≥-

925

= . 2．设随机变量X 的数学期望()E X μ=，方程2

()D X σ=，利用切比雪夫不等式估计{}||3P X μσ-≥.

解：令3εσ=，则由切比雪夫不等式

{}2

()

||3D X P X μσε

-≥≤

， 有

{}22

1

||3(3)9

P X σμσσ-≥≤=. 3. 随机地掷6颗骰子，利用切比雪夫不等式估计6颗骰子出现点数之和在1527 之间的概率.

解： 设X 为6颗骰子所出现的点数之和；

i X 为第i 颗骰子出现的点数，1,2,,6i = ，

则6

1

i i X X ==

∑，且126

,,...,X X X 独立同分布，

分布律为：

12611166

6⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，于是

6

117

()62i k E X k ==⋅=∑

62

21

191

()66i

k E X k ==⋅=∑

所以22

()()()i i i D X E X E X =-

914964

=- 35

12= ，1,2,,6i = 因此 6

1

7

()()6212i i E X E X ===⨯=∑

6

1

35

()()612i i D X D X ===⨯∑

35

2

= 故由切比雪夫不等式得：

{}{}|5271428P X P X ≤≤=<<

{}7217P X =-<-< {}|()|7P X E X =-<

2

()

17D X ≥-

13559114921414

=-⨯=-=.

{}1|()|7P X E X =--≥

即6颗骰子出现点数之和在1527 之间的概率大于等于9

14

.

4. 对敌阵地进行1000次炮击，每次炮击中。炮弹的命中颗数的期望为0.4，方差为3.6，求在1000次炮击中，有380颗到420颗炮弹击中目标的概率.

解： 以i X 表示第i 次炮击击中的颗数(1,2,,1000)i =

有()0.4i E X = ，() 3.6i D X =

据 定理：

则1000

1380420i i P X =⎧⎫<≤⎨

⎬⎩⎭

∑

≈Φ-Φ

11(()33=Φ-Φ-

12()13=Φ-

20.62931=⨯- 0.2586= .

5. 一盒同型号螺丝钉共有100个，已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是100g ，标准差是10g . 求一盒螺丝钉的重量超过10.2kg 的概率.

解： 设i X 为第i 个螺丝钉的重量，1,2,,100i = ，

且它们之间独立同分布，

于是一盒螺丝钉的重量100

1

i i X X ==

∑，

且由()100i E X =

10=知

()100()10000i E X E X =⨯=

100=，

由中心极限定理有：

100001020010000(10200)10100X P X P --⎧⎫

>=>⎨⎬⎩⎭

100002100X P -⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭ 1000012100X P -⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭

1(2)≈-Φ

10.977250.02275=-= .

6. 用电子计算机做加法时，对每个加数依四舍五入原则取整，设所有取整的舍入误差是相互独立的，且均服从[]0.5,0.5-上的均匀分布. （1）若有1200个数相加，则其误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

（2）最多可有多少个数相加，使得误差总和的绝对值小于10的概率达到90%以上.

解： 设i X 为第i 个加数的取整舍入误差， 则{}i X 为相互独立的随机变量序列， 且均服从[]0.5,0.5-上的均匀分布，则

0.5

0.5

()0i E X xdx μ-===⎰

0.5

2

2

0.51

()12

i D X x dx σ-===⎰

（1） 因1200n =很大，

由独立同分布中心极限定理对该误差总和

1200

1

i i X =∑，

1200115i i P X =⎧⎫>⎨⎬⎩⎭

∑

P ⎫⎪

=

12 1.5i i P X =⎫⎪=>⎬⎪⎭ 2(1(1.5))=-Φ

0.1336= .

即误差总和的绝对值超过15的概率达到13.36% .

(2) 依题意，设最多可有n 个数相加，则应求出最大的n ，

使得1100.9n k k P X =⎧⎫

<≥⎨⎬⎩⎭

∑

由中心极限定理：

1110n n

i i i P X P X ==⎧⎧⎫⎪<=<⎨⎬⎨⎪⎩⎭⎩

∑∑

2(10.9≈Φ-≥ .