人教A版高中数学选修2-2同步练习-第一章基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导

数的运算法则（一）

A 级 基础巩固

一、选择题 1．给出下列结论：

①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝

⎛⎭⎪⎫－1x ′＝1

2x x .

其中正确的个数是( ) A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析：因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误．sin π3＝3

2，而⎝ ⎛⎭

⎪⎫32′

＝0，所以②错误.⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －2－1＝－2x －3

＝－2x 3，所以③错

误.⎝

⎛⎭⎪⎫－1x ′＝(－x －12)′＝12x －12－1＝12x －32＝1

2x x ，所以④正确．

答案：B

2．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－2，则a 的值等于( ) A ．2

B ．－2

C ．3

D ．－3

解析：若a ＝2，则f (x )＝x 2，所以f ′(x )＝2x ， 所以f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件． 答案：A

3．已知曲线y ＝x 3在点(2，8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b ＝( )

A ．4

B ．－4

C ．28

D ．－28

解析：因为y ′＝3x 2，所以点(2，8)处的切线斜率k ＝f ′(2)＝12. 所以切线方程为y －8＝12(x －2)，即y ＝12x －16， 所以k ＝12，b ＝－16，所以k －b ＝28. 答案：C

4．已知f (x )＝2x ，g (x )＝ln x ，则方程f (x )＋1＝g ′(x )的解为( ) A ．1

B.1

2

C ．－1或1

2

D ．－1

解析：由g (x )＝ln x ，得x >0，且g ′(x )＝1

x .

故2x ＋1＝1

x ，

即2x 2＋x －1＝0， 解得x ＝1

2或x ＝－1.

又因x >0， 故x ＝1

2，选B.

答案：B

5．曲线y ＝sin x 在x ＝0处的切线的倾斜角是( ) A.π2

B.π3

C.π6

D.π4

解析：由题知，y ′＝cos x ，所以y ′|x ＝0＝cos 0＝1.设此切线的倾斜

角为α，则tan α＝1，因为α∈[0，π)，所以α＝π

4

.

答案：D 二、填空题

6．已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧x 3，x <0，

ln x ，0

________．

解析：f ′(x )＝⎩⎨⎧3x 2，x <0，

1x ，0

或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，

3a 2

＝12，解得a ＝1

12

或a ＝－2.

答案：

1

12

或－2 7．曲线y ＝x 3＋3x 在点(1，4)处的切线方程为____________． 解析：对函数求导得到y ′＝3x 2＋3，当x ＝1时，y ′＝6，又点(1，4)在切线上，所以切线方程为y －4＝6(x －1)，即6x －y －2＝0.

答案：6x －y －2＝0

8．若曲线y ＝x 3的某一切线与直线y ＝12x ＋6平行，则切点坐标是________．

解析：设切点坐标为(x 0，x 3

0)，因为y ′＝3x 2，所以切线的斜率k ＝3x 20，又切线与直线y ＝12x ＋6平行，所以3x 2

0＝12，解得x 0＝±

2，故切点为(2，8)或(－2，－8)．

答案：(2，8)或(－2，－8) 三、解答题

9．求下列函数的导数： (1)y ＝5

x 3；

(2)y ＝1x

4；

(3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2 x 4； (4)y ＝log 2 x 2－log 2 x .

解：(1)y ′＝(5

x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝3

55

x 2

.

(2)y ′＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5.

(3)因为y ＝－2sin x 2⎝

⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝

⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1 ＝2sin x 2cos x

2＝sin x ，

所以y ′＝(sin x )′＝cos x .

(4)因为y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， 所以y ′＝(log 2x )′＝1

x ln 2

.

10．求曲线y ＝1

x 和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成

的三角形的面积．

解：由⎩⎨⎧y ＝1x ，

y ＝x 2

得交点A 的坐标为(1，1)．

由y ＝x 2得y ′＝2x ，

所以y ＝x 2在点A (1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.

由y ＝1x ，得y ′＝－1x

2，