人教A版高中数学选修2-2同步练习-第一章基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

合集下载

人教A版数学选修2-2练习：1.2 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (二) 巩固提升

[学生用书P75(单独成册)][A 基础达标]1．(2019·山东潍坊高二模拟检测)函数f (x )＝(2πx )2的导数是( )A ．f ′(x )＝4πxB ．f ′(x )＝4π2xC ．f ′(x )＝8π2xD ．f ′(x )＝16πx解析：选C.f ′(x )＝2×2πx ×2π＝8π2x .2．函数y ＝cos(－x )的导数是( )A ．cos xB ．－cos xC ．－sin xD ．sin x解析：选C.法一：[cos(－x )]′＝－sin(－x )·(－x )′＝sin(－x )＝－sin x .法二：y ＝cos(－x )＝cos x ，所以[cos(－x )]′＝(cos x )′＝－sin x .3．曲线y ＝e 2x 在点(0，1)处的切线方程为( )A ．y ＝12x ＋1 B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝2x －1 D ．y ＝2x ＋1解析：选D.由y ＝e 2x ，可得y ′＝2e 2x ，令x ＝0，可得y ′|x ＝0＝2，所以曲线y ＝e 2x 在点(0，1)处的切线方程为y －1＝2x ，即y ＝2x ＋1.4．已知曲线f (x )＝x 2＋a x ＋1在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为3π4，则实数a ＝( ) A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选C.因为f ′(x )＝2x （x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）2＝x 2＋2x －a （x ＋1）2，又f ′(1)＝tan 3π4＝－1，所以a ＝7.5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e解析：选C.因为f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，所以f ′(x )＝2f ′(e)＋1x，所以f ′(e)＝2f ′(e)＋1e，解得f ′(e)＝－1e，故选C. 6．已知f (x )＝sin x 1＋cos x，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝________．解析：f ′(x )＝（sin x ）′（1＋cos x ）－sin x （1＋cos x ）′（1＋cos x ）2＝cos x （1＋cos x ）－sin x （－sin x ）（1＋cos x ）2＝cos x ＋cos 2x ＋sin 2x （1＋cos x ）2＝cos x ＋1（1＋cos x ）2 ＝11＋cos x. 所以f ′⎝⎛⎭⎫π3＝11＋cos π3＝23. 答案：237．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________.解析：法一：由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，得f ′(x )＝4ax 3＋2bx .因为f ′(1)＝2，所以4a ＋2b ＝2，即2a ＋b ＝1.则f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2(2a ＋b )＝－2.法二：因为f (x )是偶函数，所以f ′(x )是奇函数，f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(1)＝2，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.答案：－28．已知f (x )＝e x x，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________．解析：因为f ′(x )＝（e x ）′x －e x x ′x 2＝e x （x －1）x 2(x ≠0)．所以由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得e x 0（x 0－1）x 20＋e x 0x 0＝0. 解得x 0＝12.答案：129．求下列函数的导数．(1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)；(2)y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1； (3)y ＝3x e x －2x ＋e ；(4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4.解：(1)法一：y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1，所以y ′＝(6x 3＋2x 2－3x －1)′＝18x 2＋4x －3.法二：y ′＝(2x 2－1)′(3x ＋1)＋(2x 2－1)(3x ＋1)′＝4x (3x ＋1)＋3(2x 2－1)＝12x 2＋4x ＋6x 2－3＝18x 2＋4x －3.(2)y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1＝x 2＋x ＋1－2x x 2＋x ＋1＝1－2x x 2＋x ＋1，所以y ′＝－2（x 2＋x ＋1）－2x （2x ＋1）（x 2＋x ＋1）2＝2x 2－2（x 2＋x ＋1）2. (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x ln 3·e x ＋3x e x －2x ln 2＝3x e x (ln 3＋1)－2x ln 2.(4)令u ＝12x ＋π4，则y ＝sin u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(sin u )′·⎝⎛⎭⎫12x ＋π4′＝cos u ·12＝12cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4. 10．(2019·河北承德高二期末)已知函数f (x )＝(x ＋2)e x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设g (x )＝f （x ）（x ＋2）2，计算g (x )的导函数．解：(1)f ′(x )＝(x ＋3)e x ，则f ′(0)＝3.又f (0)＝2，所以所求切线方程为y －2＝3x ，即y ＝3x ＋2.(2)g (x )＝e xx ＋2，g ′(x )＝e x （x ＋2）－e x （x ＋2）2＝e x （x ＋1）（x ＋2）2. [B 能力提升]11．已知曲线f (x )＝(x ＋a )·ln x 在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，则a ＝( ) A.12B ．1C ．－32D ．－1解析：选C.因为f (x )＝(x ＋a )·ln x ，x >0，所以f ′(x )＝ln x ＋(x ＋a )·1x，所以f ′(1)＝1＋a .又因为f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，所以f ′(1)＝－12，所以a ＝－32，故选C. 12．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选C.因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.13．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a ，b ，c 的值．解：因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)，所以a ＋b ＋c ＝1.①因为y ′＝2ax ＋b ，所以4a ＋b ＝1.②又因为抛物线过点Q (2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1.③联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.14．(选做题)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )．(1)求f (1)＋f ′(1)；(2)若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝ax 2＋ln x ，得f ′(x )＝2ax ＋1x，所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x ∈(0，＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点，即f ′(x )＝0⇒2ax ＋1x＝0有正实数解，即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．由Ruize收集整理。

-12学年高中数学122基本初等函数的导数公式及导数运算法则1同步练习新人教A版选修2-2

-12学年高中数学122基本初等函数的导数公式及导数运算法则1同步练习新人教A版选修2-2高中数学中的基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

对于这些函数，我们可以利用导数公式和导数运算法则求出它们的导数。

一、常数函数的导数公式和导数运算法则：常数函数的导数恒为零，即对于常数c，有f(x)=c，f’(x)=0。

导数运算法则：常数函数与其他函数进行加减乘除运算时，可以直接将常数提到导数的外面。

二、幂函数的导数公式和导数运算法则：幂函数的导数公式：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，f’(x)=n*x^(n-1)。

导数运算法则：1.对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，可以将n视为常数，然后按照常数倍法则进行求导。

2.若幂函数中的指数为常数，则其导数也是幂函数。

三、指数函数的导数公式和导数运算法则：指数函数的导数公式：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，f’(x)=a^x*lna。

导数运算法则：1.对于指数函数f(x)=a^x，可以将指数函数转化为自然指数函数进行求导。

2.若指数函数中的底数为常数，则其导数是指数函数乘以底数的自然对数。

四、对数函数的导数公式和导数运算法则：对数函数的导数公式：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，f’(x)=1/(x*lna)。

导数运算法则：1. 对于对数函数f(x)=log_a(x)，可以将对数函数转化为自然对数函数进行求导。

2.若对数函数中的底数为常数，则其导数是常数除以自变量的乘积再乘以底数的自然对数的相反数。

五、三角函数的导数公式和导数运算法则：1. sin函数的导数公式：(sinx)’=cosx。

2. cos函数的导数公式：(cosx)’=-sinx。

3. tan函数的导数公式：(tanx)’=sec^2(x)。

4. cot函数的导数公式：(cotx)’=-csc^2(x)。

2019新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用 1.2.1-1.2.2

1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课时过关·能力提升基础巩固1函数f(x)=0的导数是()A.0B.1C.不存在D.不确定答案A2已知f(x)=xα,f'(-1)=-4,则α=()A.4B.-4C.5D.-5解析∵f'(x)=(xα)'=αxα-1,∴f'(-1)=α(-1)α-1.又f'(-1)=-4,∴α(-1)α-1=-4.将各选项代入检验,知当α=4时等式成立.故选A.答案A3已知曲线y=f(x)=x3在某点处的切线的斜率等于9,则这样的点()A.有一个B.有两个C.多于两个D.不能确定解析∵f'(x)=3x2,∴令3x2=9,得x=±.∴可得切点坐标为(,3)和(-,-3).故满足条件的点有两个.答案B4y=cos x在x=处的切线斜率为()A. B.- C.- D.解析∵y'=(cos x)'=-sin x,∴y'=-sin=-.答案C5曲线y=ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是,切线方程为.解析∵y'=(ln x)'=,∴y'|x=e=.∴切线方程为y-1=(x-e),即x-e y=0.答案x-e y=06若函数f(x)=log a x,f'(1)=-1,则a=.解析∵f'(x)=,∴f'(1)==-1.∴ln a=-1.∴a=.答案7曲线y=sin x在点处的切线方程为.解析因为y'=(sin x)'=cos x,所以y'.所以切线方程为y--,即x-2y+=0.答案x-2y+=08求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=log4x;(3)y=.解(1)y'='=(x-4)'=-4x-5=-.(2)y'=(log4x)'=.(3)y'=()'=()'=-.9若质点P的运动方程是s=(s的单位为m,t的单位为s),求质点P在t=8 s时的瞬时速度.分析求质点P在t=8 s时的瞬时速度,根据瞬时速度的概念以及幂函数导数的求法知,求瞬时速度即是求在t=8 s时的导数.解∵s'=()'=()'=-,∴s'|t=8=-×2-1=.故质点P在t=8 s时的瞬时速度为 m/s.能力提升1下列结论正确的个数为()①若y=ln 2,则y'=;②若y=,则y'|x=3=-;③若y=2x,则y'=2x ln 2;④若y=log2x,则y'=.A.0B.1C.2D.3解析①y=ln 2为常数,所以y'=0,①错;②③④均正确,直接利用公式即可验证.答案D2曲线y=e x在(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.e2B.2e2C.e2D.解析因为y'=e x,所以y'|x=2=e2.所以切线方程为y-e2=e2(x-2),即y=e2x-e2.当x=0时,y=-e2;当y=0时,x=1,所以所围成的三角形的面积S=×1×|-e2|=.答案D3若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x3答案A4正弦曲线y=sin x(x∈(0,2π))上切线的斜率等于的切点坐标为.解析设切点坐标为(x0,y0)(x0∈(0,2π)),则由题意可得cos x0=,所以x0=,y0=或x0=,y0=-.故切点坐标为或-.答案或-5已知P,Q为抛物线x2=y上的两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过点P,Q分别作抛物线的切线,两条切线交于点A,则点A的纵坐标为.解析由已知可设P(4,y1),Q(-2,y2),∵点P,Q在抛物线x2=y上,∴-①②∴即P(4,16),Q(-2,4),如图所示.又抛物线为y=x2,∴y'=2x.∴过点P的切线斜率为y'|x=4=8.∴过点P的切线方程为y-16=8(x-4),即y=8x-16.又过点Q的切线斜率为y'|x=-2=-4,∴过点Q的切线方程为y-4=-4(x+2),即y=-4x-4.联立---得-故点A的纵坐标为-8.。

高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)练习新人教A版选修2_2

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）[A 基础达标]1．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D.y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1，所以y ′|x ＝1＝4.2．函数y ＝cos(－x )的导数是( ) A ．cos x B ．－cos x C ．－sin xD ．sin x解析：选C.法一：[cos(－x )]′＝－sin(－x )·(－x )′＝sin(－x )＝－sin x . 法二：y ＝cos(－x )＝cos x ，所以[cos(－x )]′＝(cos x )′＝－sin x .3．(2018·郑州高二检测)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)解析：选C.因为f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x，又x >0，所以f ′(x )>0即x－2>0，解得x >2.4．对于函数f (x )＝e xx 2＋ln x －2kx，若f ′(1)＝1，则k 等于( )A.e 2B.e 3 C ．－e 2D ．－e 3解析：选A.因为f ′(x )＝e x（x －2）x 3＋1x ＋2kx2，所以f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A. 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e xf ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－3B ．2eC.21－2eD.31－2e解析：选D.因为f ′(1)为常数，所以f ′(x )＝2e xf ′(1)＋3x，所以f ′(1)＝2e f ′(1)＋3，所以f ′(1)＝31－2e.6．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(2)＝________．解析：因为f ′(x )＝[log 3(2x －1)] ′＝ 1（2x －1）ln 3(2x －1)′＝2（2x －1）ln 3，所以f ′(2)＝23ln 3.答案：23ln 37．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：法一：由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，得f ′(x )＝4ax 3＋2bx .因为f ′(1)＝2，所以4a ＋2b ＝2，即2a ＋b ＝1.则f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2(2a ＋b )＝－2. 法二：因为f (x )是偶函数，所以f ′(x )是奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 答案：－28．已知f (x )＝exx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________．解析：因为f ′(x )＝（e x ）′x －e x x ′x 2＝e x（x －1）x2(x ≠0)．所以由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得e x0（x 0－1）x 20＋e x0x 0＝0. 解得x 0＝12.答案：129．求下列函数的导数： (1)y ＝cos(1＋x 2)； (2)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝ln(2x 2＋x )； (4)y ＝x ·2x －1.解：(1)设u ＝1＋x 2，y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(1＋x 2)′ ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(1＋x 2)． (2)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin v ·cos v＝2sin 2v ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. (3)设u ＝2x 2＋x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x 2＋x )′ ＝1u ·(4x ＋1)＝4x ＋12x 2＋x. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′. 先求t ＝2x －1的导数．设u ＝2x －1，则t ＝u 12，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·u －12·(2x －1)′＝12×12x －1×2＝12x －1 . 所以y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1. 10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解：因为曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)，所以a ＋b ＋c ＝1.① 因为y ′＝2ax ＋b ，所以4a ＋b ＝1.②又因为曲线过点Q (2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[B 能力提升]11．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选 C.因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.12．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝－x e －x解析：选D.若f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ″(x )＝－sin x －cos x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝ln x －2x ，则f ″(x )＝－1x 2，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－x 3＋2x －1，则f ″(x )＝－6x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－xe－x，则f ″(x )＝2e－x－x e－x＝(2－x )e －x，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )>0，不是凸函数．13．已知曲线y ＝e 2x·cos 3x 在点(0，1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解：因为y ′＝(e 2x)′·cos 3x ＋e 2x·(cos 3x )′＝2e 2x·cos 3x －3e 2x·sin 3x ，所以y ′|x ＝0＝2，所以经过点(0，1)的切线方程为y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1.设符合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得5＝|b －1|5，解得b ＝6或－4. 所以符合题意的直线方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4. 14．(选做题)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )． (1)求f (1)＋f ′(1)；(2)若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝ax 2＋ln x ，得f ′(x )＝2ax ＋1x，所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x ∈(0，＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点，即f ′(x )＝0⇒2ax ＋1x＝0有正实数解，即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．。

人教A版高中数学选修2-2提能达标过关：1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

第一章 1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)提能达标过关一、选择题1．下列结论正确的是( )A ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin xB ．若y ＝sin x ，则y ′＝－cos xC ．若y ＝1x ，则y ′＝－1x 2D ．若y ＝x ，则y ′＝x 2解析：若y ＝cos x ，则y ′＝－sin x ，∴A 错；若y ＝sin x ，则y ′＝cos x ，∴B 错；若y ＝1x ＝x －1，则y ′＝－1·x －2＝－1x 2，∴C 正确；若y ＝x ＝，则y ′＝12·＝12x ，∴D 错．答案：C2．函数y ＝e x 在点(0,1)处的切线方程为( )A ．y ＝1e x ＋1B ．y ＝e x ＋1C ．y ＝x －1D ．y ＝x ＋1解析：∵y ′＝e x ，∴k ＝f ′(0)＝e 0＝1，∴切线方程为y －1＝1·(x －0)，即y ＝x ＋1，故选D.答案：D3．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，切线的倾斜角为α，∵y ′＝(sin x )′＝cos x ，∴k ＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0＝tan α.∵－1≤cos x 0≤1，∴－1≤tan α≤1.又∵0≤α＜π，∴0≤α≤π4或3π4≤α＜π.答案：A4．(2019·定州高三模拟)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析：设函数y ＝f (x )的图象上两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为k 1＝f ′(x 1)，k 2＝f ′(x 2)，若函数具有T 性质，则k 1·k 2＝f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A 选项，f ′(x )＝cos x ，显然k 1·k 2＝cosx 1·cos x 2＝－1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，f ′(x )＝1x (x >0)，显然k 1·k 2＝1x 1·1x 2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，f ′(x )＝e x >0，显然k 1·k 2＝e x 1·e x 2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，f ′(x )＝3x 2≥0，显然k 1·k 2＝3x 12·3x 22＝－1无解，故该函数不具有T 性质．故选A.答案：A5．已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 相切，则k 的值为( )A ．eB ．－e C.1e D ．－1e 解析：∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x .设切点为(x 0，y 0)，则k＝1x0.由⎩⎨⎧y0＝kx0，y0＝ln x0，得⎩⎨⎧x0＝e，y0＝1.∴k＝1e.答案：C二、填空题6．若f(x)＝10x，则f′(1)＝________.解析：∵f(x)＝10x，∴f′(x)＝10x ln 10，∴f′(1)＝10ln 10.答案：10ln 107．曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．解析：y′＝1x ln 2，∴∴切线方程为y＝1ln 2(x－1)，令x＝0，得y＝－1ln 2，令y＝0，得x＝1，∴S＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1ln 2＝12ln 2.答案：1 2ln 28．(2019·寿光高二月考)设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 018(x)＝________.解析：由已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2 018(x)＝f2(x)＝－sin x.答案：－sin x三、解答题9．(2019·泉州高二月考)已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：不存在．理由如下：由于y1＝sin x，y2＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)，所以两条曲线在P (x 0，y 0)处切线的斜率分别为 k 1＝y 1′|x ＝x 0＝cos x 0，k 2＝y 2′|x ＝x 0＝－sin x 0. 若使两条切线互相垂直，必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin 2x 0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．10．已知函数y ＝12x 2的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12x 02处的切线为l ，若l 也为函数y ＝ln x (0<x <1)的图象的切线，求证：3<x 0<2.证明：函数y ＝12x 2的导数为y ′＝x ，在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12x 02处的切线的斜率为k ＝x 0，切线方程为y －12x 02＝x 0(x －x 0)，设切线与y ＝ln x 相切的切点为(m ，ln m )，0<m <1，由y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，可得x 0＝1m ，切线方程为y －ln m ＝1m (x －m )，令x ＝0，可得y ＝ln m －1＝－12x 02，由0<m <1，可得x 0>1，由m ＝1x 0，可得12x 02－ln x 0－1＝0，令f (x )＝12x 2－ln x －1，x >1，∴f ′(x )＝x －1x >0，∴f (x )在(1，＋∞)上递增，且f (2)＝1－ln 2>0，f (3)＝32－12ln 3－1＝12(1－ln 3)<0，则有12x 02－ln x 0－1＝0的根x 0∈(3，2)． ∴3<x 0<2.由Ruize收集整理。

人教a版数学【选修2-2】练习：1.2.2基本初等函数的导数公式(一)(含答案)

选修2-2 第一章 1.2 1.2.2 第1课时一、选择题1．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0[答案] A[解析] ∵直线x ＋4y －8＝0的斜率k ＝－14，∴直线l 的斜率为4，而y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1而x ＝1时，y ＝1，故直线l 的方程为：y －1＝4(x －1)即4x －y －3＝0.2．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( ) A ．193B ．163C ．103D ．133[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋18x ＋6，∴由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163.∴选B.3．(2014·山师附中高二期中)设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′(π4)＝( )A ． 2B ．－ 2C ．0D ．22[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ， ∴f ′(π4)＝cos π4＋sin π4＝2，故选A.4．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n的值为( )A ．1nB ．1n ＋1C ．n n ＋1D ．1[答案] B[解析] 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n ，令x ＝1得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n ＋1，在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0，得x n ＝nn ＋1.则x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1，故选B.5．(2014·合肥一六八高二期中)下列函数中，导函数是奇函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝e x C ．y ＝ln x D ．y ＝cos x －12[答案] D[解析] 由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，故A 错；又y ＝e x 时，y ′＝e x 为非奇非偶函数，∴B 错；C 中y ＝ln x 的定义域x >0，∴C 错；D 中y ＝cos x －12时，y ′＝－sin x 为奇函数，∴选D.6．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒 [答案] D[解析] 显然瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)，令v ＝0可得t ＝0,4,8.故选D.二、填空题7．过曲线y ＝cos x 上点P ⎝⎛⎭⎫π3，12且与在这点的切线垂直的直线方程为________． [答案] 2x －3y －2π3＋32＝0[解析] ∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ，曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12处的切线斜率是 y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23， ∴所求的直线方程为y －12＝23⎝⎛⎭⎫x －π3，即2x －3y －2π3＋32＝0.[点评] 在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数y ′是否为零，当y ′＝0时，切线平行于x 轴，过切点P 垂直于切线的直线斜率不存在．8．(2014·杭州质检)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为________． [答案] (2，＋∞)[解析] 由f (x )＝x 2－2x －4ln x ，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x ＝2·x 2－x －2x ＝2·(x ＋1)(x －2)x ，f ′(x )>0，解得x >2，故f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)．9．在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．[答案] (2,1)[解析] 设P (x 0，y 0)，∵y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 2′＝(4x －2)′＝－8x －3，tan135°＝－1， ∴－8x －30＝－1.∴x 0＝2，y 0＝1.三、解答题10．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x .[解析] (1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2， ∴y ′＝3x 2－2x 3.(2)∵y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1＝－x 12＋x －12，∴y ′＝－12x －12－12x －32＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x . (3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x4＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ，∴y ′＝－14sin x .(4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.一、选择题11．(2014·长春市期末调研)已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( ) A ．－e B ．e C ．－1eD ．1e[答案] D[解析] y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k ，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，1，又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k ＝1，∴1k ＝e ，k ＝1e.12．(2014·山师附中高二期中)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 [答案] C[解析] 由条件知，点A 在直线上，∴k ＝2，又点A 在曲线上，∴a ＋b ＋1＝3，∴a ＋b ＝2.由y ＝x 3＋ax ＋b 得y ′＝3x 2＋a ，∴3＋a ＝k ，∴a ＝－1，∴b ＝3，∴2a ＋b ＝1.13．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A ．π2B ．0C ．钝角D ．锐角 [答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.14．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2013(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x[答案] C[解析]f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝(－cos x)′＝sin x，∴4为最小正周期，∴f2013(x)＝f1(x)＝cos x.故选C.二、填空题15．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝________.[答案]212[解析]f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)...(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)...(0－a8)]′.0＝a1a2 (8)因为数列{a n}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.16．(2014·宁夏三市联考)经过点P(2,1)且与曲线f(x)＝x3－2x2＋1相切的直线l的方程是________．[答案]4x－y－7＝0或y＝1[解析]设切点为(x0，x30－2x20＋1)，由k＝f′(x0)＝3x20－4x0，可得切线方程为y－(x30－2x20＋1)＝(3x20－4x0)(x－x0)，代入点P(2,1)解得：x0＝0或x0＝2.当x0＝0时切线方程为y＝1；当x0＝2时切线方程为4x－y－7＝0.综上得直线l的方程是：4x－y－7＝0或y＝1.三、解答题17．已知两条曲线y＝sin x、y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析]由于y＝sin x、y＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝y′|x＝x0＝cos x0，k2＝y′|x＝x0＝－sin x0.若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．18．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b 的图象在点M (－1，f (－1))处的切线的方程为x ＋2y ＋5＝0，求函数的解析式．[分析] f (x )在点M 处切线方程为x ＋2y ＋5＝0有两层含义，(一)是点M 在f (x )的图象上，且在直线x ＋2y ＋5＝0上，(二)是f ′(－1)＝－12.[解析] 由条件知，－1＋2f (－1)＋5＝0， ∴f (－1)＝－2， ∴－a －61＋b＝－2，(1) 又直线x ＋2y ＋5＝0的斜率k ＝－12，∴f ′(－1)＝－12，∵f ′(x )＝－ax 2＋12x ＋ab(x 2＋b )2，∴－a －12＋ab (1＋b )2＝－12，(2) 由(1)(2)解得，a ＝2，b ＝3.(∵b ＋1≠0，∴b ＝－1舍去)． ∴所求函数解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3.。

人教版数学高二A版选修2-2练习 1.2.3基本初等函数的导数及导数的运算法则(二)

第一章导数及其应用1.2 导数的计算1.2.3 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）A 级基础巩固一、选择题1．若f (x )＝sin π3－cos x ，则f ′(α)等于( ) A ．sin αB ．cos αC ．sin π3＋cos αD ．cos π3＋sin α 解析：由f (x )＝sin π3－cos x ，得f ′(x )＝sin x ，所以f ′(α)＝sin α.答案：A2．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193B.163C.103D.133解析：因为f (x )＝3ax 2＋18x ＋6，所以由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163. 答案：B3．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2，8)，则点A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2解析：切线的斜率即为求y ＝4x 在x ＝2处的值．答案：C4．下列函数中，导函数是奇函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝e xC ．y ＝ln xD ．y ＝cos x －12解析：由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，所以A 错；由y ＝e x 得，y ′＝e x 为非奇非偶函数，所以B 错；C 中y ＝ln x 的定义域为{x |x ＞0}，所以C 错；D 中y ＝cos x －12，y ′＝－sin x 为奇函数，所以选D.答案：D5．设曲线y ＝ax －ln (x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：令f (x )＝ax －ln (x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1. 所以f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3.答案：D二、填空题6．已知f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝____．解析：f ′(x )－g ′(x )＝2x －1x＝1，即2x 2－x －1＝0.解得x ＝－12或x ＝1，又x ＞0，所以x ＝1. 答案：17．设曲线y ＝e ax 在点(0，1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________．解析：令y ＝f (x )，则曲线y ＝e ax 在点(0，1)处的切线的斜率为 f ′(0)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ，所以f ′(x )＝(e ax )′＝e ax ·(ax )′＝a e ax ，所以f ′(0)＝a e 0＝a ，故a ＝2.答案：28．已知函数f (x )＝ax ＋b e x 图象上在点P (－1，2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是__________________．解析：由题意可知，f ′(－1)＝－3，所以a ＋b e －1＝－3，又f (－1)＝2，所以－a ＋b e －1＝2，解之得a ＝－52， b ＝－12e ，故f (x )＝－52x －12e x ＋1. 答案：f (x )＝－52x －12e x ＋1 三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y ＝x e x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝2x x 2＋1； (4)y ＝x sin x －2cos x. 解：(1)y ′＝x ′·e x ＋x ·(e x )′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x .(2)因为(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6.所以y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x x 2＋1′＝（2x ）′（x 2＋1）－2x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝ 2（x 2＋1）－4x 2（x 2＋1）2＝2－2x 2（x 2＋1）2. (4)y ′＝(x sin x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x ′＝sin x ＋x cos x －2sin x cos 2x . 10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数f ′(x )＝2x －8.(1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．解：(1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又知f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8.(2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3，所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8，所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7，又知g (0)＝3，所以g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)．即7x ＋y －3＝0.B 级能力提升1．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为() A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1，0)解析：由f(x)＝x2－2x－4ln x得f′(x)＝2x－2－4x＞0，整理得（x＋1）（x－2）x＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，又因为f(x)的定义域为{x|x＞0}，所以选项C正确．答案：C2．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________．解析：因为f′(x)＝2x＋2f′(1)，所以f′(1)＝2＋2f′(1)，所以f′(1)＝－2，所以f′(x)＝2x＋2f′(1)＝2x－4，所以f′(0)＝－4.答案：－43．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0，1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．解：因为f(x)的图象过点P(0，1)，所以e＝1.又因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.所以b＝0，d＝0.所以f(x)＝ax4＋cx2＋1.因为函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，所以切点为(1，－1)．所以a ＋c ＋1＝－1. 因为f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，所以4a ＋2c ＝1，所以a ＝52，c ＝－92. 所以函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.。

人教版数学高二A版选修2-2练习基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

第一章导数及其应用1.2 导数的计算1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）A级基础巩固一、选择题1．已知f(x)＝log4x，则f′(2)＝()A.12ln 2 B.14ln 2 C.1ln 4 D.12ln 4解析：因为f′(x)＝1x ln 4，所以f′(2)＝12ln 4.答案：D2．已知f(x)＝x a，若f′(－1)＝－2，则a的值等于()A．2 B．－2 C．3 D．－3解析：若a＝2，则f(x)＝x2，所以f′(x)＝2x，所以f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．答案：A3．已知曲线y＝x3在点(2，8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝()A．4 B．－4 C．28 D．－28解析：因为y ′＝3x 2，所以点(2，8)处的切线斜率k ＝f ′(2)＝12. 所以切线方程为y －8＝12(x －2)，即y ＝12x －16，所以k ＝12，b ＝－16，所以k －b ＝28.答案：C4．已知f (x )＝2x ，g (x )＝ln x ，则方程f (x )＋1＝g ′(x )的解为( )A ．1 B.12 C ．－1或12D ．－1 解析：由g (x )＝ln x ，得x >0，且g ′(x )＝1x. 故2x ＋1＝1x，即2x 2＋x －1＝0，解得x ＝12或x ＝－1. 又因x >0，故x ＝12，选B. 答案：B5．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则P 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 解析：因为y ′＝－1x 2，令－1x 2＝－4，得x ＝±12，P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，故选B.答案：B二、填空题6．已知①y ＝f (x )，②y ＝g (x )，③y ＝h (x )都是路程y 关于时间x 的函数，且f ′(x )＝1，g ′(x )＝2，h ′(x )＝3，则运动速度最快的是________(填序号)．解析：由导数的几何意义知，y ＝f (x )的瞬时速度为1，y ＝g (x )的瞬时速度为2，y ＝h (x )的瞬时速度为3，且都是匀速运动，故最快的是③.答案：③7．已知函数y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的一条切线，则k ＝______．解析：设切点为(x 0，y 0，)因为y ′＝1x ，所以k ＝1x 0，所以y ＝1x 0·x ，又点(x 0，y 0)在曲线y ＝ln x 上，所以y 0＝ln x 0，所以ln x 0＝x 0x 0，因为x 0＝e ，所以k ＝1e. 答案：1e8．若曲线y ＝x 3的某一切线与直线y ＝12x ＋6平行，则切点坐标是________．解析：设切点坐标为(x 0，x 30)，因为y ′＝3x 2，所以切线的斜率k＝3x 20，又切线与直线y ＝12x ＋6平行，所以3x 20＝12，解得x 0＝±2，故切点为(2，8)或(－2，－8)．答案：(2，8)或(－2，－8)三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4； (3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2 x 4； (4)y ＝log 2 x 2－log 2 x .解：(1)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)因为y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1 ＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，所以y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)因为y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，所以y ′＝(log 2x )′＝1x ln 2. 10．求曲线y ＝1x和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝x 2得交点A 的坐标为(1，1)．由y ＝x 2得y ′＝2x ，所以y ＝x 2在点A (1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.由y ＝1x ，得y ′＝－1x 2，所以y ＝1x在点A (1，1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即y ＝－x ＋2.又直线y ＝2x －1与x 轴交点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线y ＝－x ＋2与x 轴交点为C (2，0)，所以所求面积S ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12×1＝34. B 级能力提升1．某质点的运动方程为s ＝1t 4(其中s 的单位为m ，t 的单位为s)，则质点在t ＝3 s 时的速度为( )A ．－4×3－4 m/sB ．－3×3－4 m/sC ．－5×3－5 m/sD ．－4×3－5 m/s解析：由s ＝1t 4得s ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 4′＝(t －4)′＝－4t －5. 所以s ′|t ＝3＝－4×3－5，故选D.答案：D2．已知f (x )＝cos x (x ∈[0，2π])，g (x )＝x ，解不等式f ′(x )＋g ′(x )≤0的解集为________．解析：f ′(x )＝－sin x ，g ′(x )＝1，所以不等式f ′(x )＋g ′(x )≤0，变为－sin x ＋1≤0.即sin x ≥1，又sin x ≤1，所以sin x ＝1，又x ∈[0，2π]，所以x ＝π2. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2 3．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解：根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．设切点坐标为(x 0，x 20)，因为y ′＝2x ，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，所以切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.。

高中数学人教A版选修2-2作业1.2.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)(备选)(含答案详析)

选修2-2 第一章 1.2 1.2.2 第2课时1．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( )A ．2B ．0C ．－2D ．－4 [答案] D[解析] f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2.∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4.2．已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >CB ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A [答案] A[解析] 记M (a ，f (a ))，N (a ＋1，f (a ＋1))，则由于B ＝f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a，表示直线MN 的斜率，A ＝f ′(a )表示函数f (x )＝log a x 在点M 处的切线斜率；C ＝f ′(a ＋1)表示函数f (x )＝log a x 在点N 处的切线斜率．所以，A >B >C .3．(2014·山西六校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e )( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1 D ．－e [答案] C[解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x， ∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，解得f ′(e)＝－1e，故选C. 4．(2014·泸州市一诊)若曲线f (x )＝x －12在点(a ，f (a ))处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝( )A ．64B ．32C ．16D ．8[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝－12x －32，∴f ′(a )＝－12a －32， ∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )．令x ＝0得y ＝32a －12，令y ＝0得x ＝3a ，由条件知12·32a －12·3a ＝18， ∴a ＝64.5．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图象上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB .[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(a )＝－1 (0<a <1)，即3a 2－2a －1＝－1，解得a ＝23.。

人教a版数学高二选修2-2习题_第一章导数及其应用_1.2.1几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式有答案

人教a版数学高二选修2-2习题_第一章_导数及其应用_1.2.1几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式有答案1.2 导数的计算1.2.1 几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式A级基础巩固一、选择题1．已知f(x)＝log4x，则f′(2)＝( )A.12ln 2B.14ln 2C.1ln 4D.12ln 4解析：因为f′(x)＝1x ln 4，所以f′(2)＝12ln 4.答案：D2．已知f(x)＝x a，若f′(－1)＝－2，则a的值等于( ) A．2 B．－2 C．3 D．－3解析：若a＝2，则f(x)＝x2，所以f′(x)＝2x，所以f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．答案：A3．一个物体的运动方程为s(t)＝2－t＋12t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在5秒末的瞬时速度是( )A．6米/秒B．5米/秒C．4米/秒D．3米/秒解析：v(t)＝s′(t)＝－1＋t，所以v(5)＝－1＋5＝4(米/秒)．答案：C4．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( ) A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0解析：因为l与直线x＋4y－8＝0垂直，所以l 的斜率为4.因为y ′＝4x 3，所以切线l 的斜率是4，得4x 3＝4，所以x ＝1.所以切点坐标为(1，1)．所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.答案：A5．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12解析：y ′＝12x －3x ，由12x －3x ＝12，得x ＝3或x ＝－2，由于x ＞0，所以x ＝3.答案：A二、填空题6．已知①y ＝f (x )，②y ＝g (x )，③y ＝h (x )都是路程y 关于时间x 的函数，且f ′(x )＝1，g ′(x )＝2，h ′(x )＝3，则运动速度最快的是________(填序号)．解析：由导数的几何意义知，y ＝f (x )的瞬时速度为1，y ＝g (x )的瞬时速度为2，y ＝h (x )的瞬时速度为3，且都是匀速运动，故最快的是③.答案：③7．已知y ＝13x 3－x －1＋1，则其导函数的值域为________．解析：y ′＝x 2＋x －2≥2x 2·x －2＝2，所以y ′∈)，g (x )＝x ，解不等式f ′(x )＋g ′(x )≤0的解集为________．解析：f ′(x )＝－sin x ，g ′(x )＝1，所以不等式f ′(x )＋g ′(x )≤0，变为－sin x ＋1≤0.即sin x ≥1，又sin x ≤1，所以sin x ＝1，又x ∈，所以x ＝π2. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2 3．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解：根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．设切点坐标为(x 0，x 20)，因为y ′＝2x ，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，所以切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.。

高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习及答案

解：（1）因为 y =
所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 ．所以在点 P 处的切线方程是
y−
即
8 = 4(x − 2), 3
12x − 3y − 16 = 0.
（2）设切点为 (x 0 , y 0 )，则由（1）知切线的斜率 k = x2 ，切线方程为 y − y 0 = x2 (x − x 0 ) ． 0 0 又切线过点 P (2,
求下列函数的导数：（1）y = e3x+2 ；（2）ln(2x − 1)．
′
解：（1）y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ⋅ (3x + 2)′ = 3e3x+2 ；（2）y ′ = (ln(2x − 1))′ =
1 2 ． ⋅ (2x − 1)′ = 2x − 1 2x − 1
2.利用导数求函数的切线方程描述：利用导数求函数的切线方程步骤一：求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ；步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )．例题：求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程．解：因为 y = ex + 1，所以 y ′ = ex ，故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为
1 ；（4）f (x) = √x． x8
1 ) = (x−8 )′ = −8x−9 ； x8 1 1 1 1 （4）f ′ (x) = (√x )′ = (x 2 )′ = x− 2 = ． 2 2√x
求下列函数的导数：
ex ． x2 解：（1）y ′ = (sin x − cos x)′ = (sin x)′ − (cos x)′ = cos x + sin x；（2）y ′ = (x ln x)′ = x ′ ln x + x(ln x)′ = ln x + 1 ； (e x )′ ⋅ x 2 − e x ⋅ (x 2 )′ ex (x − 2) ex ′ （3）y ′ = ( ． = = ) x2 x3 x4

人教A版数学选修2-2 第1章 1.2 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

1 f′(x)＝___x___
栏目导航
2.导数的运算法则
(1)和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ．
(2)积的导数 ①[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
②[c商的导数
gfxx′＝
栏目导航
(5)∵y＝5x，∴y′＝5xln 5. (6)y＝cosπ2－x＝sin x，∴y′＝cos x.
栏目导航
1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解． 2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导” 的基本原则，避免不必要的运算失误． 3．要特别注意“1x与 ln x”，“ax 与 logax”，“sin x 与 cos x” 的导数区别．
栏目导航
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导，如求 y＝1－2sin22x的导数，因为 y＝1－2sin22x＝cos x，所以 y′＝(cos x)′＝－sin x.
C [∵y′＝10xln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10.]
栏目导航
3．(1)2xx′＝________；(2)(xex)′＝________.
1－xln 2 (1) 2x
(2)(1＋x)ex
[(1)2xx′＝2x－2xx2x2ln 2
＝1－2xxln 2；
[提示]
y＝2sin
x 2cos
2x＝sin x，故 y′＝cos x.
栏目导航
【例 2】求下列函数的导数． (1)y＝x－2＋x2；
(2)y＝3xex－2x＋e；

高中数学 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数运算法则2同步练习新人教A版选修2-2

高中数学精品资料2020.8课时同步练习及详解选修2-2 1.2.2 第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] D[解析] y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.2．若对任意x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)＝( )A．x4B．x4－2C．4x3－5 D．x4＋2[答案] B[解析] ∵f′(x)＝4x3.∴f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－1∴1＋c＝－1，∴c＝－2，∴f(x)＝x4－2.3．设函数f(x)＝x m＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和是( )A.nn＋1B.n＋2n＋1C.nn－1D.n＋1n[答案] A[解析] ∵f(x)＝x m＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，∴数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和为：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1，故选A.4．二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a >0，b >0，则f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2－b 24a，顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b2a，－b 24a 在第三象限，故选C.5．函数y ＝(2＋x 3)2的导数为( ) A ．6x 5＋12x 2B ．4＋2x 3C ．2(2＋x 3)2D ．2(2＋x 3)·3x[答案] A[解析] ∵y ＝(2＋x 3)2＝4＋4x 3＋x 6， ∴y ′＝6x 5＋12x 2.6．(2010·江西文，4)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0[答案] B[解析] 本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )，f ′(1)＝4a ＋2b ，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2要善于观察，故选B.7．设函数f (x )＝(1－2x 3)10，则f ′(1)＝( ) A ．0B ．－1C ．－60D ．60[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝10(1－2x 3)9(1－2x 3)′＝10(1－2x 3)9·(－6x 2)＝－60x 2(1－2x 3)9，∴f ′(1)＝60.8．函数y ＝sin2x －cos2x 的导数是( ) A ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 B ．cos2x －sin2x C ．sin2x ＋cos2xD ．22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 [答案] A[解析] y ′＝(sin2x －cos2x )′＝(sin2x )′－(cos2x )′ ＝2cos2x ＋2sin2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.9．(2010·高二潍坊检测)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12[答案] A[解析] 由f ′(x )＝x 2－3x ＝12得x ＝3.10．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )A ．－15B ．0 C.15D ．5[答案] B[解析] 由题设可知f (x ＋5)＝f (x ) ∴f ′(x ＋5)＝f ′(x )，∴f ′(5)＝f ′(0) 又f (－x )＝f (x )，∴f ′(－x )(－1)＝f ′(x ) 即f ′(－x )＝－f ′(x )，∴f ′(0)＝0 故f ′(5)＝f ′(0)＝0.故应选B. 二、填空题11．若f (x )＝x ，φ(x )＝1＋sin2x ，则f [φ(x )]＝_______，φ[f (x )]＝________. [答案]2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，1＋sin2x[解析] f [φ(x )]＝1＋sin2x ＝(sin x ＋cos x )2＝|sin x ＋cos x |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.φ[f (x )]＝1＋sin2x .12．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.[答案]π6[解析] f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋5π6. 若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则f (0)＋f ′(0)＝0，即0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋5π6，∴φ＋5π6＝k π(k ∈Z )．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.13．函数y ＝(1＋2x 2)8的导数为________． [答案] 32x (1＋2x 2)7[解析] 令u ＝1＋2x 2，则y ＝u 8，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝8u 7·4x ＝8(1＋2x 2)7·4x ＝32x (1＋2x 2)7.14．函数y ＝x 1＋x 2的导数为________． [答案] (1＋2x 2)1＋x21＋x 2[解析] y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x2＝(1＋2x 2)1＋x21＋x2. 三、解答题15．求下列函数的导数：(1)y ＝x sin 2x ； (2)y ＝ln(x ＋1＋x 2)； (3)y ＝e x＋1e x －1； (4)y ＝x ＋cos x x ＋sin x .[解析] (1)y ′＝(x )′sin 2x ＋x (sin 2x )′ ＝sin 2x ＋x ·2sin x ·(sin x )′＝sin 2x ＋x sin2x .(2)y ′＝1x ＋1＋x2·(x ＋1＋x 2)′＝1x ＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2.(3)y ′＝(e x＋1)′(e x－1)－(e x＋1)(e x－1)′(e x －1)2＝－2ex(e x －1)2 .(4)y ′＝(x ＋cos x )′(x ＋sin x )－(x ＋cos x )(x ＋sin x )′(x ＋sin x )2＝(1－sin x )(x ＋sin x )－(x ＋cos x )(1＋cos x )(x ＋sin x )2＝－x cos x －x sin x ＋sin x －cos x －1(x ＋sin x )2. 16．求下列函数的导数：(1)y ＝cos 2(x 2－x )； (2)y ＝cos x ·sin3x ； (3)y ＝x log a (x 2＋x －1)； (4)y ＝log 2x －1x ＋1. [解析] (1)y ′＝[cos 2(x 2－x )]′ ＝2cos(x 2－x )[cos(x 2－x )]′＝2cos(x 2－x )[－sin(x 2－x )](x 2－x )′ ＝2cos(x 2－x )[－sin(x 2－x )](2x －1) ＝(1－2x )sin2(x 2－x )．(2)y ′＝(cos x ·sin3x )′＝(cos x )′sin3x ＋cos x (sin3x )′ ＝－sin x sin3x ＋3cos x cos3x ＝3cos x cos3x －sin x sin3x .(3)y ′＝log a (x 2＋x －1)＋x ·1x 2＋x －1log a e(x 2＋x －1)′＝log a (x 2＋x －1)＋2x 2＋x x 2＋x －1log a e.(4)y ′＝x ＋1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′log 2e ＝x ＋1x －1log 2e x ＋1－x ＋1(x ＋1)2＝2log 2e x 2－1. 17．设f (x )＝2sin x 1＋x 2，如果f ′(x )＝2(1＋x 2)2·g (x )，求g (x )．[解析] ∵f ′(x )＝2cos x (1＋x 2)－2sin x ·2x(1＋x 2)2＝2(1＋x 2)2[(1＋x 2)cos x －2x ·sin x ]，又f ′(x )＝2(1＋x 2)2·g (x )．∴g (x )＝(1＋x 2)cos x －2x sin x .18．求下列函数的导数：(其中f (x )是可导函数)(1)y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x；(2)y ＝f (x 2＋1)．[解析] (1)解法1：设y ＝f (u )，u ＝1x，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝f ′(u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝－1x2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1x .解法2：y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1x .(2)解法1：设y ＝f (u )，u ＝v ，v ＝x 2＋1，精心整理资料，感谢使用！。

2020版人教A版数学选修2-2同步配套___第一章导数及其应用基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

(sin�� + ��cos��)cos�� + ��sin2��
=
cos2��
sin��cos�� + ��
= cos2�� .
典例透析
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
反思应用基本初等函数的求导公式和导数的运算法则解决函数的求导问题时注意以下几点:
典例透析
题型一
题型二
反思1.
题型三
题型四
典例透析
2.求过点P与曲线相切的直线方程的步骤:
3.经过曲线上某点的切线不一定只有一条,即该点有可能是切点, 也可能是切线与曲线的交点,解题时注意不要漏解.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 (1)求曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程; (2)在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线斜率为2,求点P的坐标. 解:(1)因为y'=ex+xex+2, 所以曲线在点(0,1)处的切线斜率为k=e0+0+2=3, 所以所求切线方程为y-1=3x,即y=3x+1. (2)设点P的坐标为(x0,y0), 因为 y'=3x2-10,所以 3��02 − 10=2,解得 x0=±2. 因为点P在第二象限内,所以x0=-2.
则切线斜率为 k=y′|��=��0 = 3��02 − 2,
故切线方程为 y-y0=(3��02 − 2)(x-x0).① ∵点(x0,y0)在曲线 y=x3-2x 上,

人教版数学高二选修2-2第一章同步检测1-2-2-1基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

选修2-2 1.2.2 第1课时基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）一、选择题1．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫－1，－73处切线的倾斜角为( ) A ．30°B ．45°C ．135°D ．60°By ′|x ＝－1＝1，∴倾斜角为45°.2．设f (x )＝13x 2－1x x ，则f ′(1)等于( ) A ．－16B.56 C ．－76D.76 B3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0A∵直线l 的斜率为4，而y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1而x ＝1时，y ＝x 4＝1，故直线l 的方程为：y －1＝4(x －1)即4x －y －3＝0.4．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193B.163C.103D.133 B∵f ′(x )＝3ax 2＋18x ＋6，∴由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163. ∴选B.5．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒 D显然瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)，令v ＝0可得t ＝0,4,8.故选D.6．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝－x －1C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x －2 A本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A.7．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角 Cy ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.8．曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为 ( )A.π22B ．π2C ．2π2 D.12(2＋π)2A曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的面积为π22. 9．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2011(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x Df 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，∴4为最小正周期，∴f 2011(x )＝f 3(x )＝－cos x .故选D.10．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )－g (x )为常数C ．f (x )＝g (x )＝0D ．f (x )＋g (x )为常数 B令F (x )＝f (x )－g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝0，∴F (x )为常数．二、填空题11．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′⎝⎛⎭⎫π3＝12，则a ＝________，b ＝________.0 －1f ′(x )＝2ax －b cos x ，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ －b cos0＝12π3a －b cos π3＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1a ＝0. 12．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )＜0的解集为________．(－1,3)f ′(x )＝3x 2－6x －9，由f ′(x )＜0得3x 2－6x －9＜0，∴x 2－2x －3＜0，∴－1＜x ＜3.13．曲线y ＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12处的切线的斜率为______．－32 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴切线斜率k ＝y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32. 14．已知函数f (x )＝ax ＋b e x 图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________．f (x )＝－52x －12e x ＋1 由题意可知，f ′(x )|x ＝－1＝－3，∴a ＋b e －1＝－3，又f (－1)＝2，∴－a ＋b e －1＝2，解之得a ＝－52，b ＝－12e ，故f (x )＝－52x －12e x ＋1. 三、解答题15．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x－1)； (3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x. (1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x2， ∴y ′＝3x 2－2x3；(3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝－14sin x ；(4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2. 16．已知两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．由于y ＝sin x 、y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)，∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin2x 0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．17．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2.直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程．设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21.①对于C 2：y ′＝－2(x －2)，与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4. ②∵两切线重合，∴2x 1＝－2(x 2－2)且－x 21＝x 22－4，解得x 1＝0，x 2＝2或x 1＝2，x 2＝0.∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.18．求满足下列条件的函数f (x )：(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0；(2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.(1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c由f (0)＝3，可知d ＝3，由f ′(0)＝0可知c ＝0，由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0可建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3a ＋2b ＝－3f ′(2)＝12a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝－3，所以f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )是一次函数可知f (x )是二次函数，则可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)f ′(x )＝2ax ＋b ，把f (x )和f ′(x )代入方程，得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1整理得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1若想对任意x 方程都成立，则需⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0b －2c ＝0c ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝2c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.。

2020版人教A版数学选修2-2同步配套练习：第一章 1.2 1.2.2 基本初等函数的导数公式及

姓名，年级：时间：1.2。

2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二）课时过关·能力提升基础巩固1.下列求导正确的是（）A.(x+1x )′=1+1x2B。

(lg x+x3）’=1xln10+3x2 C.(3x+ln 3)'=3x ln 3+13 D.（x2cos x）'=—2x sin x解析:(x+1x )′=1−1x2,(3x+ln 3)’=3x ln 3，(x2cos x）'=2x·cos x—x2·sin x。

答案：B2。

已知f(x)=ax3+3x2+2，若f'(-1）=4，则a等于()A.193B.163C.133D.103解析：∵f’（x）=3ax2+6x,∴f’(-1)=3a-6=4.∴a=103.答案：D3.函数f（x）=（2x+1)2在x=1处的导数值是（)A.6B.8C.10 D。

12答案：D4.曲线y=x ln x在点(1,0）处的切线方程为(）A。

y=2x+2 B。

y=2x-2C。

y=x-1 D.y=x+1解析:∵y=x ln x,∴y'=ln x+1,∴曲线在点(1,0）处的切线的斜率k=y’|x=1=1.故切线方程为y=x —1。

答案:C5.若曲线y =x+1x -1在点(3，2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a 等于（ )A 。

2B .12C .−12 D.—2 解析:y =x+1x -1=1+2x -1, ∴y'=−2(x -1)2. ∴y'｜x=3=−12. ∴—a=2。

∴a=-2.答案:D6.已知f (x ）=sin α-cos x ,则f'（α）= 。

解析：f’（x ）=（sin α）'—（cos x ）’=0+sin x=sin x ,则f'(α)=sin α.答案：sin α7.若f (x )=x e 2x,则f'（1）= 。

高中数学人教A版选修2-2第一章 1.2.2(三)

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)一、基础过关1．下列函数不是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1x ＋1 B ．y ＝cos(x ＋π4)C ．y ＝1ln x D ．y ＝(2x ＋3)42．函数y ＝1(3x －1)2的导数是( ) A.6(3x －1)3 B.6(3x －1)2C ．－6(3x －1)3 D ．－6(3x －1)23． y ＝e x 2－1的导数是( ) A ．y ′＝(x 2－1)e x 2－1 B ．y ′＝2x e x 2－1C ．y ′＝(x 2－1)e xD ．y ′＝e x 2－14．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2xB ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2xC ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x5．函数y ＝(2 011－8x )3的导数y ′＝________.6．曲线y ＝cos(2x ＋π6)在x ＝π6处切线的斜率为________．7．函数y ＝x (1－ax )2(a >0)，且y ′|x ＝2＝5，则实数a 的值为________．二、能力提升8．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2C ．－1D ．－29．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 210．求下列函数的导数：(1)y ＝(1＋2x 2)8；(2)y ＝11－x 2； (3)y ＝sin 2x －cos 2x ；(4)y ＝cos x 2.11．已知a >0，f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，l 是曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线．求切线l 的方程．12．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s (单位：m)关于时间t (单位：s)的函数为s ＝s (t )＝5－25－9t 2.求函数在t ＝715s 时的导数，并解释它的实际意义．三、探究与拓展13．求证：可导的奇函数的导函数是偶函数．答案1．A 2．C 3．B 4．B5．－24(2 011－8x )26．－27．18．B 9．D10．解 (1)设y ＝u 8，u ＝1＋2x 2，∴y ′＝(u 8)′(1＋2x 2)′＝8u 7·4x ＝8(1＋2x 2)7·4x＝32x (1＋2x 2)7.(2)设y ＝u －12，u ＝1－x 2，则y ′＝(u －12)′(1－x 2)′ ＝(－12u －32)·(－2x ) ＝x (1－x 2)－32. (3)y ′＝(sin 2x －cos 2x )′＝(sin 2x )′－(cos 2x )′＝2cos 2x ＋2sin 2x＝22sin (2x ＋π4)． (4)设y ＝cos u ，u ＝x 2，则y ′＝(cos u )′·(x 2)′＝(－sin u )·2x＝(－sin x 2)·2x ＝－2x sin x 2.11．解 f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，f (0)＝1.∴f ′(x )＝2ax －2＋1x ＋1＝2ax 2＋(2a －2)x －1x ＋1， f ′(0)＝－1，∴切点P 的坐标为(0，1)，l 的斜率为－1，∴切线l 的方程为x ＋y －1＝0.12．解函数s＝5－25－9t2可以看作函数s＝5－x和x＝25－9t2的复合函数，其中x是中间变量．由导数公式表可得s x′＝－12x－1 2，x t′＝－18t.故由复合函数求导法则得s t′＝s x′·x t′＝(－12x－12)·(－18t)＝9t25－9t2，将t＝715代入s′(t)，得s′(715)＝0.875 (m/s)．它表示当t＝715s时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s.13．证明设y＝f(x)是奇函数，即f(－x)＝－f(x)，两边对x求导，得f′(－x)·(－x)′＝－f′(x)，即－f′(－x)＝－f′(x)，f′(－x)＝f′(x)，故原命题成立．。