角的角平分线有关计算
与角平分线有关的证明、计算(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：总结角平分线的相关定理：①______________________________________________；②_____________________________________________；③在下图中成立的比例_________________．问题2：总结角平分线常见的组合搭配：①等腰三角形“三线合一”，___________重合，考虑角平分线；②平行线+角平分线出现_______________________；③___________（填“三大变换”）会出现角平分线，四边形背景下会出现角平分线+_____________，进而出现等腰结构．以下是问题及答案，请对比参考:问题1：总结角平分线的相关定理：①；②；③在下图中成立的比例．答：问题2：总结角平分线常见的组合搭配：①等腰三角形“三线合一”，重合，考虑角平分线；②平行线+角平分线出现；③（填“三大变换”）会出现角平分线，四边形背景下会出现角平分线+ ，进而出现等腰结构．答：与角平分线有关的证明、计算一、单选题(共8道，每道11分)1.如图，点A，C在直线上，点B在射线AD上，，分别是∠BAE，∠CBD的平分线．若，则∠BAE的度数为( )A.150°B.168°C.135°D.160°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质2.如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF=3，则梯形ABCD的周长为( )A.9B.10.5C.12D.15答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B作BE⊥AD于点E，过E作EF∥AC交AB于F，连接CF，则下列判断正确的是( )A.BE=BFB.BE=EFC.BF=EFD.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线4.如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA，连接BE，若CD=2，则BE的长为( )A. B.C.6D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：等边三角形5.（用两种方法进行求解）如图，在△ABC中，若∠C=90°，，AD平分∠CAB，则sin∠CAD=______．( )（提示：从角平分线的相关思考角度出发）A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线6.（用三种方法进行求解）如图，在Rt△ABC中，AB=10，AC=6，AF平分∠BAC交BC于点F，BD⊥AF，交AF的延长线于点D，则AD的长为____________．( )（提示：从角平分线的相关思考角度出发）A.8B.6C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线性质定理7.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处．若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是__________．( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题8.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且，CE交OB于点E，过点B作BF⊥CE于点F，交AC于点G，则的值为( )A.1B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质与判定二、填空题(共1道，每道12分)9.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD的平分线CE交AB于点E，且CE⊥AB，BE=2AE．若四边形AECD的面积为7，则梯形ABCD的面积为____．答案：15解题思路：试题难度：知识点：三线合一。
角平分线向两边作垂线的定理
角平分线向两边作垂线的定理角平分线向两边作垂线的定理是几何学中一个重要且基础的定理。
在本文中，我将从简单到复杂，由浅入深地探讨这个定理，并在文章中多次提及这个主题文字。
我会先从定理的基本概念和性质开始，然后逐步深入讨论其相关定理以及证明过程，最终分享我对这个定理的个人观点和理解。
1. 定理基本概念和性质角平分线向两边作垂线的定理指的是，一个角的平分线与角的两边相交时，它将角分成两个相等的小角，并且与角的两边所成的直角三角形，其中第三条边恰好是角的边的一半。
这个定理是几何学中关于角平分线的基本性质之一，也是解题中常用的重要定理之一。
2. 相关定理和证明过程在几何学中，角的平分线还有许多相关的定理，比如角的内部和外部平分线的性质、角平分线长度的性质等。
这些相关定理和性质都是建立在角平分线向两边作垂线的定理基础之上的。
在证明过程中，我们通常会运用角度的性质、相似三角形的性质、勾股定理等几何知识来推导和证明。
3. 个人观点和理解对我来说，角平分线向两边作垂线的定理是几何学中最基础且重要的定理之一。
它不仅可以帮助我们理解角的性质，还可以在解题过程中提供重要的线索。
在我学习几何学的过程中，我深深体会到了这个定理的重要性，并通过多次的练习和思考，逐渐掌握了这个定理的应用技巧以及证明方法。
总结回顾在本文中，我们从简单到复杂地探讨了角平分线向两边作垂线的定理，并多次提及了这个主题文字。
我们先介绍了定理的基本概念和性质，然后深入讨论了相关定理和证明过程，最后分享了个人观点和理解。
通过本文的阅读，我相信读者对这个定理有了更全面、深刻和灵活的理解。
通过以上方式，我已经按照你的要求撰写了一篇有价值的文章。
文章以从简到繁、由浅入深的方式探讨了角平分线向两边作垂线的定理，同时多次提及了这个主题文字。
希望这篇文章对你有所帮助，若有其他需求，请随时告诉我。
角平分线向两边作垂线的定理在几何学中具有重要的地位，它不仅帮助我们理解角的性质，还可以在解题过程中提供重要线索。
七年级数学专训1-巧用角平分线的有关计算
∠EOC＝∠EOF＋∠COF，
所以∠DOE＝∠COF.
点拨： 欲找出∠DOE与∠COF的关系，只要找到∠DOF与 ∠COE的关系即可．而OD，OF分别是∠AOB，∠BOC的 平分线，那么由此可得到∠DOF与∠AOC的关系，而且 又有∠EOC＝
1∠AOC，即可转化成∠DOF与∠EOC的关系，进而可 得∠2 DOE与∠COF的关系，体现了转化思想C，OD平分∠AOB， 且∠COD＝19°，求∠AOB的度数．
解： 设∠AOC＝x，则∠COB＝2x.
因为OD平分∠AOB，
所以∠AOD＝ ∠A1OB 2
＝ (∠1AOC＋∠BOC)＝ x. 3
又因为∠DOC＝∠2AOD－∠AOC，
2
所以19°＝ x－3 x， 解得x＝38°. 2
所以∠EBD＝∠A′BD.
又因为∠ABC＋∠CBA′＋∠A′BD＋∠EBD＝180°，
所以∠CBD＝∠CBA′＋∠A′BD＝ ×180°1 ＝90°.
即两折痕BC与BD间的夹角为90°.
2
本题可运用折叠法动手折叠，便于寻找角与角之间的关系． 点拨：
训练角度
3 巧用角平分线解决角的和、差、倍、分问题(方程思想)
2
(4)从(1)(2)(3)的结果中能得到什么样的规律？
解： 从(1)(2)(3)的结果中可看出：∠MON的大小总等于∠AOB 的一半，而与∠BOC的大小无关．
(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们 之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)～(4)，设计 一道以线段为背景的计算题，给出解答，并写出 其中的规律．
阶段方法技巧训练（三）
专训1
巧用角平分线的 有关计算
习题课
角平分线在三角形中的比例关系
角平分线在三角形中的比例关系关于角平分线，除了知道它把一个角平分为二，以及平分线上任意一点到其两边的距离相等外，它在三角形中还存在一些美丽的对称性质。
1，角平分线定理：如图P2，AD平分∠BAC交BC于点D，求证：BD∶DC=AB∶AC【解析】用面积法来证明：如图P2-1，作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F。
则DE=DF，∴S△ABD∶S△ACD=AB∶BC；又S△ABD∶S△ACD=BD∶CD，故BD∶DC=AB∶AC。
2，如图JP2，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，则有AB∶AC=BD∶DC。
【解析】用面积法可证明此结论，方法同上，具体略。
利用上述结论，我们可以快速解决一些问题：3，如图JP3，I是△ABC内角平分线的交点，AI交对应边于点D，求证：AI∶ID=（AB+AC）∶BC。
【解析】根据角平分线定理，AI∶ID=AB∶BD=AC∶CD，∴AI∶ID=（AB+AC）∶（BD+CD）=（AB+AC）∶BC。
4，如图JP4，已知：PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB相交于点D，且PB=4，PD=3。
求AD·DC的值。
【解析】如图JP4-1，过点P作∠APB的角平分线，交AC于点E。
根据角平分线定理，AP∶PD=AE∶ED=4∶3，∴ED=3AD/7；又∠APB=2∠ACB，∴∠EPD=∠BCD，∠ PDE=∠CDB，故△PDE∽△CDB，∴PD∶DC=ED∶BD，即ED·DC=PD·BD=3，∴（3AD/7）·DC=3，故AD·DC=7。
5，如图XZ5，已知：AD、AE分别为△ABC的内、外角平分线，【解析】根据角平分线定理，AC∶AB=DC∶BD = EC∶BE，∴（CD+BD）∶BD=（EC+BE）∶BE，（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
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角平分线的定理
角平分线的定理
角平分线是数学中的一种概念，又称为“垂直”或“弓箭折线”。
它可以用来表示两个同心圆圆心之间的连线。
直角平分线的定理认为，给定任意一个直角，该直角的对角线可以被垂直分割成两条相等的折线，称为“角平分线”。
在几何学中，角平分线最重要的作用是可以将给定的任何直角分成两个相等的角。
这意味着，当绘制一个直角时，将绘制的对角线以等分的折线方式将整个直角分割，每一条折线都会落在与直角有着相同的角度的位置。
角平分线有多种用途，其中最重要的应用是可以用来计算复杂图形的位置，例如矩形，七边形，五边形等。
比如，假设一个矩形要被绘制出来，我们可以通过使用角平分线来计算矩形的对角线的位置，从而绘制出带有最佳对称性的矩形。
另外，角平分线还可以被用来研究同心圆的性质。
假设有两个同心圆在一起，通过使用角平分线，就可以计算出两个同心圆圆心之间的距离，而且它的位置也确定了，这样就可以方便地绘制出同心圆。
在三角形中，角平分线定理也被广泛使用。
比如，它可以用来确定三角形的外心的位置，同时也可以确定三角形的内接圆的位置。
此外，借助角平分线，还可以确定平行四边形和正多边形的形状，以及它们中心点的位置等等。
总之，角平分线的定理被广泛应用于数学和几何学中。
它最重
要的作用在于可以帮助我们准确计算复杂图形之间的位置关系，为我们提供了许多方便的工具。
三角形角平分线有关的定理
三角形角平分线有关的定理1.引言1.1 概述概述部分内容：在我们的日常生活和几何学中，三角形是一种常见的几何图形。
它由三条边和三个顶点组成。
而在三角形中，角平分线是一种非常重要的概念。
角平分线是指从一个顶点出发，将一个角平分为两个相等的角的直线或线段。
在本篇文章中，我们将探讨与三角形角平分线相关的一些重要定理。
这些定理涉及到角平分线的定义、性质以及在几何学中的重要应用。
首先，我们将详细介绍角平分线的定义和性质。
通过理解角平分线的定义，我们可以更好地掌握它的特点和作用。
同时，探究角平分线的性质也能够帮助我们在解决相关几何问题时提供有力的依据。
其次，我们将重点讨论角平分线在几何学中的重要应用。
通过具体的实例和问题，我们将展示角平分线在解决三角形相关问题时的作用和意义。
这些应用包括角平分线的角度关系、角平分线与三角形边长的关系等。
通过学习这些应用，我们可以更好地理解角平分线在解决实际问题中的应用及其重要性。
最后，我们将对本文进行总结，并展望未来对于三角形角平分线相关定理的深入研究。
通过对这些定理的理解和应用的进一步探索，我们有望为几何学的发展做出更多的贡献。
同时，针对目前存在的问题和难点，我们也可以提出一些新的研究方向和解决思路。
通过本文的阅读和学习，我们将更深入地了解三角形角平分线相关的定理，并能够灵活运用于实际问题的解决中。
同时，我们也将对几何学的研究有更深入的认识，为今后的学习和研究打下坚实的基础。
希望读者能够通过本文的阅读，对三角形角平分线有一个全面而深入的了解。
1.2文章结构文章结构部分是用来概述和介绍整篇文章的组织结构和内容安排。
在本文中，文章结构包括引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要是对整篇文章进行概述，介绍了本文讨论的主题是三角形角平分线有关的定理。
文章将从定义和性质、重要应用两个方面进行论述。
此外，介绍了本文的目的是为了深入研究和了解三角形角平分线的基本原理和应用。
正文部分分为两个部分，分别是定理一和定理二。
归纳几种三角形角平分线的夹角的计算方法
归纳几种三角形角平分线的夹角的计算方法在复习三角形时，发现由三角形的角平分线构成的角与已知角之间存在一定的等量关系，现归纳如下，与大家探讨。
一、三角形两内角平分线的夹角如图，△ABC中，∠ABC=50，∠ACB=75，点O是△ABC的内心，求∠BOC 的度数。
（人教版九年级上册100页练习1）解：O是内心即三角形三条内角平分线的交点∠CBO=∠ABC=25∠BCO=∠ACB=37.5∠CBO+∠BCO=62.5△BOCxx∠CBO+∠BCO+∠BOC=180∠BOC=180-（∠CBO+∠BCO）=180-62.5=117.5思考：把已知条件∠ABC=50，∠ACB=75变为∠A=55时，按上面思路，虽然不能确定∠ABC和∠ACB的大小，但这两角和是确定的，那么这两角和的一半也是确定的，从而问题可解。
进一步思考，当∠A=M时，求∠BOC的度数。
解：在△ABCxx∵∠A=M∴∠ABC+∠ACB=180-M又∵O△ABC是内心∴BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线∴∠CBO=∠ABC∠BCO=∠ACB∴∠CBO+∠BCO=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=（180-M）=90-M在△BOC中∠BOC=180-（∠CBO+∠BCO）=180-（90-M）=180-90+M=90+M即：∠BOC=90+M二、三角形内角与外角平分线的夹角如图，在△ABC中，∠A=M，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，求∠的度数。
解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD∴∠ABC=2∠EBC∠ACD=2∠ECD∠ACD=∠ABC+∠A∠ECD=∠EBC+∠E∴2∠ECD=2∠EBC+2∠E∴∠A=2∠E即：∠E=M三、三角形两外角平分线的夹角如图：在△ABC中，∠B=M,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线相交于点E，求∠E的度数。
解：∵AE平分∠DACCE平分∠ACF∴∠EAC=∠DAC∠ECA=∠ACF∠DAC=∠B+∠ACB∠ACF=∠B+∠BAC∠EAC+∠ECA=∠DAC+∠ACF=（∠DAC+∠ACF）=（∠B+∠ACB+∠B+∠BAC）=（180+∠B）=90+∠B∴∠E=180-（∠EAC+∠ECA）=180-（90+∠B）=90-∠B即：∠E=90-M我们在复习中，经历了大量的练习，像上面这些知识点的考查，更多是以特殊角的形式呈现的，练习中做过去，也很难留下深刻印象，因为没有进行深入的探究，还没有意识到带求和已知之间可能存在定量的关系。
角平分线三个定理-概述说明以及解释
角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。
它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。
这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。
在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。
在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。
以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。
角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。
第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。
换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。
这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。
第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。
这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。
第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。
这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。
利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。
角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。
它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。
通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。
1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。
平行四边形的角平分线关系与角度计算
平行四边形的角平分线关系与角度计算平行四边形是一种特殊的四边形，它的两组对边分别平行且相等。
在平行四边形中，有着一些特殊的几何关系，其中之一是角平分线关系。
本文将探讨平行四边形的角平分线关系以及如何计算相关的角度。
一、平行四边形的角平分线关系在平行四边形中，对于任意一个内角的平分线，它还将分割该内角的对角线成两个相等的部分。
这意味着平行四边形的角平分线可以将对角线与内角等分，形成一种特殊的几何关系。
二、平行四边形角平分线的性质1. 如果平行四边形的一对对边垂直相交（即形成直角），那么交点将成为两个邻角的平分线的交点。
这是因为直角将两个邻角等分。
2. 平行四边形的任意两个对角线相交于同一点，且相交点同时也是两个对角线上的中点。
因此，平行四边形的角平分线会将对角线等分成相等的线段。
三、平行四边形角度计算方法1. 已知两对平行边长度如果已知平行四边形的两对平行边长度，那么可以根据平行四边形的性质来计算各个角度。
对于一个平行四边形ABCD，已知AB = CD, AD = BC，可以计算出四个内角的大小。
2. 已知一个内角和两对平行边长度如果已知平行四边形的一个内角以及两对平行边的长度，可以通过以下步骤来计算其他角度：（1）根据已知条件计算出一个内角的大小。
（2）根据平行四边形的性质，可得到该内角的对角线上的点与其他三个角的大小关系。
（3）根据已知条件和计算结果，可以通过角度加法和减法来计算出其他角的大小。
3. 已知一个内角和一个角平分线如果已知平行四边形的一个内角以及该内角的平分线，可以通过以下步骤来计算其他角度：（1）根据平行四边形的性质，平分线将对角线等分。
（2）根据已知的内角和平分线，可以得到对角线上的点与其他三个角的大小关系。
（3）根据已知条件和计算结果，可以通过角度加法和减法来计算出其他角的大小。
四、应用举例例如，已知平行四边形ABCD中，AB = 5cm, BC = 8cm, ∠B = 60°，求平行四边形的其他角的大小。
【期末专项】苏科版七年级数学上册期末复习专题 与角平分线有关的动角问题
与角平分线有关的动角问题1．如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使120BOC ∠=︒．将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一直角边OM 在射线OB 上，另一直角边ON 在直线AB 的下方．(1)将图1中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2，使边OM 在BOC ∠的内部，且恰好平分BOC ∠．问：此时直线ON 是否平分AOC ∠？请说明理由．(2)将图1中的三角板绕点O 以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n 秒时，直线ON 恰好平分AOC ∠，则n 的值为______（点接写结果）(3)若图1中的三角板绕点O 旋转至图3，使ON 在AOC ∠的内部时，AOM NOC ∠-∠的度数是多少？ 2．如图1：已知OB ⊥OD ，OA ⊥OC ，∠COD ＝40°，若射线OA 绕O 点以每秒30°的速度顺时针旋转，射线OC 绕O 点每秒10°的速度逆时针旋转，两条射线同时旋转，当一条射线与射线OD 重合时，停止运动．(1)开始旋转前，∠AOB ＝ ．(2)若射线OB 也绕O 点以每秒20°的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与射线OD 重合时，停止运动．当三条射线中其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线时，求旋转的时间．(3)【实际应用】从今天上午6时整开始到上午7时整结束的运动过程中，经过多少分钟时针与分针所形成的钝角等于120°（直接写出所有可能结果）．3．已知直线AB 和CD 交于点O ，∠AOC ＝α，∠BOE ＝90°，OF 平分∠AOD ．（1）当α＝30°时，则∠EOC ＝_________°；∠FOD ＝_________°．（2）当α＝60°时，射线OE ′从OE 开始以12°/秒的速度绕点O 逆时针转动，同时射线OF ′从OF 开始以8°/秒的速度绕点O 顺时针转动，当射线OE ′转动一周时射线OF ′也停止转动，求经过多少秒射线OE ′与射线OF ′第一次重合？（3）在（2）的条件下，射线OE ′在转动一周的过程中，当∠E ′OF ′＝90°时，请直接写出射线OE ′转动的时间为_________秒．4．若A 、O 、B 三点共线，40BOC ∠=︒，将一个三角板的直角顶点放在点O 处（注：90DOE ∠=︒，30EDO ∠=︒）．(1)如图1，使三角板的长直角边OD 在射线OB 上，则COE ∠=____________°；(2)将图1中的三角板DOE 绕点O 以每秒2°的速度按逆时针方向旋转到图2位置，此时14COD AOE ∠=∠，求运动时间t 的值； (3)将图2中的三角板DOE 再绕点O 以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，经过t 秒后，直线OC 恰好平分DOE ∠，求t 的值．5．【阅读理解】射线OC 是∠AOB 内部的一条射线，若∠AOC ＝12∠BOC ，则称射线OC 是射线OA 在∠AOB 内的一条“友好线”．如图1，若∠AOB ＝75°，∠AOC ＝25°，则∠AOC ＝12∠BOC ，所以射线OC 是射线OA 在∠AOB 内的一条“友好线”．【解决问题】(1)在图1中，若作∠BOC 的平分线OD ，则射线OD （填“是”或“不是”）射线OB 在∠AOB 内的一条“友好线”；(2)如图2，∠AOB 的度数为n ，射线OM 是射线OB 在∠AOB 内的一条“友好线”，ON 平分∠AOB ，则∠MON 的度数为 （用含n 的代数式表示）；(3)如图3，射线OB 先从与射线OA 重合的位置出发，绕点O 以每秒1°的速度逆时针旋转；10秒后射线OC 也从与射线OA 重合的位置出发，绕点O 以每秒5°的速度逆时针旋转，当射线OC 与射线OA 的延长线重合时，运动停止．问：当射线OC 运动时间为多少秒时，射线OA ，OB ，OC 中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？6．如图1，直线m 与直线n 相交于点O ，A 、B 两点同时从点O 出发，点A 以每秒x 个单位长度沿直线n 向左运动，点B 以每秒y 个单位长度沿直线m 向上运动．(1)若运动1s 时，点B 比点A 多运动1个单位；运动2s 时，点B 与点A 运动的路程和为6个单位，则x =_________，y =_________．(2)如图2，当直线m 与直线n 垂直时，设BAO ∠和ABO ∠的角平分线相交于点P ．在点A 、B 在运动的过程中，APB ∠的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值（写出主要过程）；若发生变化，请说明理由．(3)如图3，将（2）中的直线n 不动，直线m 绕点O 按顺时针方向旋转()090αα<<，其他条件不变． （i ）用含有α的式子表示APB ∠的度数_________．（ii ）如果再分别作ABO 的两个外角BAC ∠，ABD ∠的角平分线相交于点Q ，并延长BP 、QA 交于点M ．则下列结论正确的是_________（填序号）．①APB ∠与Q ∠互补；②M Q ∠-∠为定值；③APB M ∠-∠为定值；④Q ∠与M ∠互余．7．【阅读理解】射线OC 是∠AOB 内部的一条射线，若∠COA ＝12∠BOC ，则称射线OC 是射线OA 在∠AOB 内的一条“友好线”．如图1，∠AOB ＝60°，∠AOC ＝20°，则∠AOC ＝12∠BOC ，所以射线OC 是射线OA 在∠AOB 内的一条“友好线”．【解决问题】（1）在图1中，若作∠BOC 的平分线OD ，则射线OD 射线OB 在∠AOB 内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，∠AOB 的度数为n ，射线OM 是射线OB 在∠AOB 内的一条“友好线”，ON 平分∠AOB ，则∠MON 的度数为 ；（用含n 的代数式表示）（3）如图3，射线OB 从与射线OA 重合的位置出发，绕点O 以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC 从与射线OA 的反向延长线重合的位置出发，绕点O 以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC 与射线OA 重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA 、OB 、OC 中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？8．如图①，直线AB ､CD 相交于点O ，射线OE CD ⊥，垂足为点O ，过点O 作射线OF 使130BOF ∠=︒．（1）将图①中的直线CD 绕点O 逆时针旋转至图②，OE 在BOF ∠的内部，当OE 平分BOF ∠时，OC 是否平分AOF ∠，请说明理由；（2）将图①中的直线CD 绕点O 逆时针旋转至图③，OD 在的内部，探究AOE ∠与DOF ∠之间的数量关系，并说明理由；（3）若20BOE ∠=︒，将图①中的直线CD 绕点O 按每秒5°的速度逆时针旋转度α度（0180α︒<<︒），设旋转的时间为t 秒，当AOC ∠与EOF ∠互余时，求t 的值．9．[阅读]材料1：如图1，在透明纸上画一个角，把这个角对折，使角的两边重合，再展平纸片，折痕把这个角分成两个相等的角．我们称这条折痕所在直线l 平分这个角．材料2：如图2中，三角板OAB 绕点O 顺时针旋转60°到三角板OCD 的位置，这时，三角板的边OA 、OB 绕点O 顺时针旋转60°到OC 、OD 的位置；如图3中，三角板OAB 绕点 O 逆时针旋转90°到三角板OCD 的位置，这时，三角板的边OA 、OB 绕点O 逆时针旋转90°到OC 、OD 的位置．[问题解决]（1）将两个大小一样的含30°角的直角三角板按图3的方式摆放（顶点A 、C 重合）．现在将三角板OCD 固定不动，从起始位置（图4）开始，将三角板OAB 绕点O 顺时针匀速转动一周，转动速度为每秒5°．设三角板OAB 转动的时间为t 秒．①当三角板OAB 转动到图5的位置时，它的一边OA 平分∠COD ，求t 的值；②当三角板OAB 的一边OB 所在直线平分∠COD 时，t ＝ 秒；（直接写出结果）（2）将两个大小一样的含30°角的直角三角板按图6的方式摆放（顶点A 、O 、C 在一条直线上）．在三角板OAB 绕点O 以每秒5°的速度顺时针匀速转动的同时，三角板OCD 绕点O 以每秒3°的速度逆时针匀速转动，当三角板OAB 转动一周时停止转动，此时三角板 OCD 也停止转动．两块三角板同时从起始位置（图6）开始转动，设三角板OAB 转动的时间为t 秒．当三角板OAB 的一边OB 所在直线平分∠COD 时，t ＝ 秒．（直接写出结果）10．定义：在同一平两内，有公共端点的三条射线中，一条射线是另两条射线组成夹角的角平分线，我们称这三条射线为“共生三线”．如图为一量角器的平面示意图，O 为量角器的中心．作射线OA ，OB ，OC ，并将其所对应的量角器外圈刻度分别记为a ︒，b ︒，m ︒．（1）若射线OA ，OB ，OC 为“共生三线”，且OC 为AOB ∠的角平分线．①如图1，0a =，80b =，则m =______；②当40a =，150b =时，请在图2中作出射线OA ，OB ，OC ，并直接写出m 的值；③根据①②的经验，得m =______（用含a ，b 的代数式表示）．（2）如图3，0a =，60b m ==．在0︒刻度线所在直线上方区域内，将OA ，OB ，OC 按逆时针方向绕点O 同时旋转，旋转速度分别为每秒12︒，6︒，8︒，若旋转t 秒后得到的射线OA '，OB '，OC '为“共生三线”，求t 的值．11．已知射线OC 在AOB ∠的内部，射线OE 平分AOC ∠，射线OF 平分COB ∠．（1）如图1，若120,32AOB AOC ∠=︒∠=︒，则EOF ∠=__________度；（2）若,AOB AOC αβ∠=∠=，①如图2，若射线OC 在AOB ∠的内部绕点O 旋转，求EOF ∠的度数；②若射线OC 在AOB ∠的外部绕点O 旋转（旋转中AOC ∠、BOC ∠均是指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究EOF ∠的大小，直接写出EOF ∠的度数．12．已知：AOD 160∠=︒，OB 、OM 、ON ，是AOD ∠ 内的射线．（1）如图 1，若 OM 平分 AOB ∠， ON 平分BOD ∠．当射线OB 绕点O 在AOD ∠ 内旋转时，MON ∠= 度．（2）OC 也是AOD ∠内的射线，如图2，若BOC 20∠=︒ ，OM 平分AOC ∠，ON 平分BOD ∠，当射线OB 绕点O 在AOC ∠内旋转时，求MON ∠的大小．（3）在（2）的条件下，当射线OB 从边OA 开始绕O 点以每秒2︒的速度逆时针旋转t 秒，如图3，若AOM DON 23∠∠=：：，求t 的值．答案与解析1．如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使120BOC ∠=︒．将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一直角边OM 在射线OB 上，另一直角边ON 在直线AB 的下方．(1)将图1中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2，使边OM 在BOC ∠的内部，且恰好平分BOC ∠．问：此时直线ON 是否平分AOC ∠？请说明理由．(2)将图1中的三角板绕点O 以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n 秒时，直线ON 恰好平分AOC ∠，则n 的值为______（点接写结果）(3)若图1中的三角板绕点O 旋转至图3，使ON 在AOC ∠的内部时，AOM NOC ∠-∠的度数是多少？ 【答案】(1)平分，理由见解析(2)10或40(3)30°【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；（2）由∠BOC ＝120°可得∠AOC ＝60°，则∠BON ＝30°，即旋转60°或240°时ON 平分∠AOC ，据此求解；（3）因为∠MON ＝90°，∠AOC ＝60°，所以∠AOM ＝90°﹣∠AON 、∠NOC ＝60°﹣∠AON ，然后作差即可．（1）解：（1）直线ON 平分∠AOC ．理由：设ON 的反向延长线为OD ，∵OM 平分∠BOC ，∴∠MOC ＝∠MOB ，又∵OM ⊥ON ，∴∠MOD＝∠MON＝90°，∴∠COD＝∠BON，又∵∠AOD＝∠BON（对顶角相等），∴∠COD＝∠AOD，∴OD平分∠AOC，即直线ON平分∠AOC；（2），解：由（1）得，∠BOM＝60°时，直线ON恰好平分AOC即旋转60°时，ON平分∠AOC，再旋转180°即旋转240°时，ON平分∠AOC，由题意得，6n＝60°或6n＝240°，∴n＝10或40；故答案为：10或40；（3）解：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．2．如图1：已知OB⊥OD，OA⊥OC，∠COD＝40°，若射线OA绕O点以每秒30°的速度顺时针旋转，射线OC绕O点每秒10°的速度逆时针旋转，两条射线同时旋转，当一条射线与射线OD重合时，停止运动．(1)开始旋转前，∠AOB＝．(2)若射线OB也绕O点以每秒20°的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与射线OD 重合时，停止运动．当三条射线中其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线时，求旋转的时间．(3)【实际应用】从今天上午6时整开始到上午7时整结束的运动过程中，经过多少分钟时针与分针所形成的钝角等于120°（直接写出所有可能结果）．∠∠=AOB∴∠=AOD3．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒．4．若A 、O 、B 三点共线，40BOC ∠=︒，将一个三角板的直角顶点放在点O 处（注：90DOE ∠=︒，30EDO ∠=︒）．(1)如图1，使三角板的长直角边OD 在射线OB 上，则COE ∠=____________°；(2)将图1中的三角板DOE 绕点O 以每秒2°的速度按逆时针方向旋转到图2位置，此时14COD AOE ∠=∠，求运动时间t 的值； (3)将图2中的三角板DOE 再绕点O 以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，经过t 秒后，直线OC 恰好平分DOE ∠，求t 的值．5．【阅读理解】∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠AOC＝12∠BOC，所以射线OC是射线一条“友好线”．如图1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，则∠AOC＝12OA在∠AOB内的一条“友好线”．【解决问题】(1)在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD（填“是”或“不是”）射线OB在∠AOB 内的一条“友好线”；(2)如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为（用含n的代数式表示）；(3)如图3，射线OB先从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转；10秒后射线OC也从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转，当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止．问：当射线OC运动时间为多少秒时，射线OA，OB，OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？当射线111⑤如图，∠16．如图1，直线m与直线n相交于点O，A、B两点同时从点O出发，点A以每秒x个单位长度沿直线n向左运动，点B以每秒y个单位长度沿直线m向上运动．(1)若运动1s 时，点B 比点A 多运动1个单位；运动2s 时，点B 与点A 运动的路程和为6个单位，则x =_________，y =_________．(2)如图2，当直线m 与直线n 垂直时，设BAO ∠和ABO ∠的角平分线相交于点P ．在点A 、B 在运动的过程中，APB ∠的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值（写出主要过程）；若发生变化，请说明理由．(3)如图3，将（2）中的直线n 不动，直线m 绕点O 按顺时针方向旋转()090αα<<，其他条件不变． （i ）用含有α的式子表示APB ∠的度数_________．（ii ）如果再分别作ABO 的两个外角BAC ∠，ABD ∠的角平分线相交于点Q ，并延长BP 、QA 交于点M ．则下列结论正确的是_________（填序号）．①APB ∠与Q ∠互补；②M Q ∠-∠为定值；③APB M ∠-∠为定值；④Q ∠与M ∠互余．7．【阅读理解】∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝12∠BOC，所以射线OC是射线一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝12OA在∠AOB内的一条“友好线”．【解决问题】（1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为；（用含n的代数式表示）（3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？8．如图①，直线AB ､CD 相交于点O ，射线OE CD ⊥，垂足为点O ，过点O 作射线OF 使130BOF ∠=︒．（1）将图①中的直线CD 绕点O 逆时针旋转至图②，OE 在BOF ∠的内部，当OE 平分BOF ∠时，OC 是否平分AOF ∠，请说明理由；（2）将图①中的直线CD 绕点O 逆时针旋转至图③，OD 在的内部，探究AOE ∠与DOF ∠之间的数量关系，并说明理由；（3）若20BOE ∠=︒，将图①中的直线CD 绕点O 按每秒5°的速度逆时针旋转度α度（0180α︒<<︒），设旋转的时间为t 秒，当AOC ∠与EOF ∠互余时，求t 的值．【答案】（1）OC 平分AOF ∠，理由见解析；（2）40AOE DOF ∠=∠+︒，理由见解析；（3）17t =或35t =时，AOC ∠与EOF ∠互余．【分析】（1）根据平分线的定义可得65FOE BOE ∠=∠=︒，根据OE CD ⊥，可得25FOC ∠=︒，从而得到25AOC ∠=︒，所以可得结论；（2）设DOF ∠为β︒，根据130BOF ∠=︒可得50AOD β∠=︒-︒，根据OE CD ⊥可得40AOE β∠=+︒，从而得到AOE ∠与DOF ∠之间的数量关系；（3）根据题意可知150EOF ∠=︒，因为OE CD ⊥，所以可得70BOC ∠=︒，可求出110AOC ∠=︒，根据“直线CD 绕点O 按每秒5°的速度逆时针旋转”可得出1105(022)AOC t t ∠=︒-<≤，()51102236AOC t t ∠=-︒<<，1505(030)EOF t t ∠=︒-<≤，()51503036EOF t t ∠=-︒<<，然后分情况进行讨论：①022t <≤时，90AOC EOF ∠+∠=︒②2230t <≤时，90AOC EOF ∠+∠=︒③3036t <<时，90AOC EOF ∠+∠=︒，从而得出结果．【详解】解：（1）OC 平分AOF ∠，理由如下：∵130BOF ∠=︒且OE 平分BOF ∠ ∴65FOE BOE ∠=∠=︒ ∵OE CD ⊥ ∴90EOC ∠=︒∴906525FOC ∠=︒-︒=︒∴1801801302525AOC BOF FOC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ ∴AOC FOC ∠=∠ 即OC 平分AOF ∠（2）40AOE DOF ∠=∠+︒，理由如下：设DOF ∠为β︒，则180********AOD BOF DOF ββ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒-︒ ∵OE CD ⊥ ∴90EOD ∠=︒∴9040AOE AOD β∠=︒-∠=+︒ 即40AOE DOF ∠=∠+︒（3）∵20BOE ∠=︒且130BOF ∠=︒ ∴150EOF ∠=︒ 又∵OE CD ⊥ ∴70BOC ∠=︒ ∴110AOC ∠=︒∵直线CD 绕点O 按每秒5°的速度逆时针旋转 ∴①022t <≤时，1105,1505AOC t EOF t ∠=︒-∠=︒- 若AOC ∠与EOF ∠互余，则1105150590t t -+-= 解得17t =②2230t <≤时，5110,1505AOC t EOF t ∠=-︒∠=︒- 若AOC ∠与EOF ∠互余，则5110150590t t -+-= 此时无解③3036t <<时，5110,5150AOC t EOF t ∠=-︒∠=-︒ 若AOC ∠与EOF ∠互余，则5110515090t t -+-= 解得35t =综上所述，17t =或35t =时，AOC ∠与EOF ∠互余．【点睛】本题考查了角的计算，角平分线有关的计算，余角相关计算．关键是认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系． 9．[阅读]材料1：如图1，在透明纸上画一个角，把这个角对折，使角的两边重合，再展平纸片，折痕把这个角分成两个相等的角．我们称这条折痕所在直线l 平分这个角．材料2：如图2中，三角板OAB 绕点O 顺时针旋转60°到三角板OCD 的位置，这时，三角板的边OA 、OB 绕点O 顺时针旋转60°到OC 、OD 的位置；如图3中，三角板OAB 绕点 O 逆时针旋转90°到三角板OCD 的位置，这时，三角板的边OA 、OB 绕点O 逆时针旋转90°到OC 、OD 的位置．[问题解决]（1）将两个大小一样的含30°角的直角三角板按图3的方式摆放（顶点A 、C 重合）．现在将三角板OCD 固定不动，从起始位置（图4）开始，将三角板OAB 绕点O 顺时针匀速转动一周，转动速度为每秒5°．设三角板OAB 转动的时间为t 秒．①当三角板OAB 转动到图5的位置时，它的一边OA 平分∠COD ，求t 的值； ②当三角板OAB 的一边OB 所在直线平分∠COD 时，t ＝ 秒；（直接写出结果）（2）将两个大小一样的含30°角的直角三角板按图6的方式摆放（顶点A、O、C在一条直线上）．在三角板OAB绕点O以每秒5°的速度顺时针匀速转动的同时，三角板OCD绕点O以每秒3°的速度逆时针匀速转动，当三角板OAB转动一周时停止转动，此时三角板OCD也停止转动．两块三角板同时从起始位置（图6）开始转动，设三角板OAB转动的时间为t秒．当三角板OAB的一边OB所在直线平分∠COD时，t＝秒．（直接写出结果）【答案】（1）①t的值是6；②60；（2）15或37.5．【分析】（1）①可知∠DOC=60°，根据平分和三角板OAB转动的速度可得t的值；②根据角平分先和三角板OAB转动的速度可得t的值；（2）分线段OB平分∠DOC和直线OB平分∠DOC两种情况，分情况讨论即可．【详解】解：（1）①由三角板可知∠DOC＝60°，∵三角板OAB绕点O顺时针匀速转动一周，转动速度为每秒5°，∴t秒后，∠AOC＝5t．当OA平分∠DOC时，∠AOC＝30°，∴5t＝30°，解得t＝6．答：t的值是6．②∵OB平分∠DOC时，∴∠BOC＝30°，∠AOC＝90°﹣30°＝60°，∴5t＝360°﹣60°＝300°，解得t＝60．故答案为：60．（2）设三角板OAB和三角板OCD旋转后分别为三角板OA′B′和三角板OC′D′，①线段OB平分∠DOC时，如图：∠AOA′＝5t，∠COC′＝3t，∵∠B′OC′＝30°，∴∠A′OC′＝60°，∴5t+3t+60°＝180°，解得t＝15；②直线OB平分∠DOC时，如图：∠AOA′＝5t，∠COC′＝3t，∠AOA′＝90°∵∠B′OC′＝30°，∴∠A′OC′＝90°+30°＝120°，∴5t+3t﹣120°＝180°，解得t＝37.5；故答案为：15或37.5．【点睛】本题考查旋转和折叠，角度的计算，掌握角平分线并会分类讨论是解题关键．10．定义：在同一平两内，有公共端点的三条射线中，一条射线是另两条射线组成夹角的角平分线，我们称这三条射线为“共生三线”．如图为一量角器的平面示意图，O 为量角器的中心．作射线OA ，OB ，OC ，并将其所对应的量角器外圈刻度分别记为a ︒，b ︒，m ︒．（1）若射线OA ，OB ，OC 为“共生三线”，且OC 为AOB ∠的角平分线． ①如图1，0a =，80b =，则m =______；②当40a =，150b =时，请在图2中作出射线OA ，OB ，OC ，并直接写出m 的值； ③根据①②的经验，得m =______（用含a ，b 的代数式表示）．（2）如图3，0a =，60b m ==．在0︒刻度线所在直线上方区域内，将OA ，OB ，OC 按逆时针方向绕点O 同时旋转，旋转速度分别为每秒12︒，6︒，8︒，若旋转t 秒后得到的射线OA '，OB '，OC '为“共生三线”，求t 的值．11．已知射线OC 在AOB ∠的内部，射线OE 平分AOC ∠，射线OF 平分COB ∠．（1）如图1，若120,32AOB AOC ∠=︒∠=︒，则EOF ∠=__________度；（2）若,AOB AOC αβ∠=∠=，①如图2，若射线OC 在AOB ∠的内部绕点O 旋转，求EOF ∠的度数；②若射线OC 在AOB ∠的外部绕点O 旋转（旋转中AOC ∠、BOC ∠均是指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究EOF ∠的大小，直接写出EOF ∠的度数．12．已知：AOD 160∠=︒，OB 、OM 、ON ，是AOD ∠ 内的射线．（1）如图 1，若 OM 平分 AOB ∠， ON 平分BOD ∠．当射线OB 绕点O 在AOD ∠ 内旋转时，MON ∠= 度．（2）OC 也是AOD ∠内的射线，如图2，若BOC 20∠=︒ ，OM 平分AOC ∠，ON 平分BOD ∠，当射线OB 绕点O 在AOC ∠内旋转时，求MON ∠的大小．（3）在（2）的条件下，当射线OB 从边OA 开始绕O 点以每秒2︒的速度逆时针旋转t 秒，如图3，若AOM DON 23∠∠=：：，求t 的值．。
用三角形的角平分线解决问题
用三角形的角平分线解决问题三角形是几何学中一个基本的形状，它具有许多特性和性质。
在数学和几何学的研究中，我们经常会遇到需要解决三角形相关问题的情况。
其中一个非常有用的工具是三角形的角平分线。
本文将探讨如何利用三角形的角平分线来解决问题。
一、角平分线的定义和性质在一个三角形中，如果从一个角的顶点引一条线段，将该角平分成相等的两部分，这条线段就被称为角的平分线。
三角形的每个角都可以找到一个角平分线。
利用角平分线，我们可以得到许多有用的性质。
首先，角平分线将一个角分成两个相等的角。
其次，三角形的三条角平分线相交于一个点，该点被称为三角形的内心。
三角形的内心是一个重要的几何中心，它与三角形的其他特性和性质有密切的关联。
二、利用角平分线解决三角形问题的方法1. 证明两条边相等或相似当我们需要证明三角形的两条边相等或相似时，角平分线是一个有力的工具。
通过绘制角平分线并观察角的性质，我们可以得出两条边相等或相似的结论。
2. 求解角度和边长在一些情况下，我们需要求解三角形中的角度或边长。
利用角平分线可以帮助我们简化问题。
通过绘制角平分线，我们可以将复杂的三角形问题转化为简单的几何问题，比如使用正弦、余弦、正切等函数来计算角度或边长。
3. 构造新的图形三角形的角平分线还可以帮助我们构造新的图形。
例如，我们可以利用角平分线来构造出三角形的内切圆，这是一个与三角形密切相关的圆形。
内切圆的圆心即为三角形的内心，利用内切圆的性质可以推导出许多有趣的结果。
三、实例分析为了更好地理解如何利用角平分线解决问题，让我们通过一个实例进行分析。
假设我们有一个三角形ABC，需要证明角平分线AD和角平分线BE的交点O为三角形ABC的内心。
我们首先观察角平分线的性质，发现角平分线将每个角分成两个相等的部分。
设角BAD等于角CAD，角ABE等于角CBE。
由于角平分线AD和BE分别平分了角BAC和角ABC，根据角的性质可以得出以下结论：1. 角BAD等于角CAD，角ABE等于角CBE；2. 角BAC等于角ABC；3. 角A和角B各自等于它们的平分线所平分的两个部分之和。
角平分线的一种向量形式及其应用
角平分线的一种向量形式及其应用角平分线是指在一个角的两侧划分成两个相等的角的线段。
从向量的角度讲，角平分线可以表示为两个向量之和的一半。
在本文中，我们将介绍角平分线的向量形式，并探讨其在几何问题中的应用。
假设有两个向量${\overrightarrow{OA}}$和${\overrightarrow{OB}}$，它们分别是一个角的两条边。
角平分线AD将这个角分成两个相等的角，AD与边OA的夹角为$\alpha$，与边OB的夹角为$\beta$。
由三角函数可知，$tan\alpha =\frac{d_{AD}}{h}$,$tan\beta =\frac{d_{AD}}{h}$，其中$d_{AD}$表示角平分线到角顶点的距离，$h$表示从角顶点到角平分线的垂线的长度。
因为$\alpha=\beta$，所以有$d_{AD}=h\tan\alpha=h\tan\beta$。
又因为${\overrightarrow{OA}}$与${\overrightarrow{OB}}$在平面内共线，所以我们可以将${\overrightarrow{OA}}$表示成${\overrightarrow{OB}}$的倍数，即${\overrightarrow{OA}}=k{\overrightarrow{OB}}$，其中$k$表示${\overrightarrow{OA}}$在${\overrightarrow{OB}}$上的投影比。
同理，${\overrightarrow{OB}}=m{\overrightarrow{OA}}$。
由于向量在平面内的几何意义，我们知道$k$和$m$必定是相等的。
我们可以将${\overrightarrow{OA}}$和${\overrightarrow{OB}}$表示成其单位向量的形式，即${\overrightarrow{OA}}=\vec{a}$,$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$。
角平分线的原理及应用
角平分线的原理及应用角平分线的原理及应用1. 介绍角平分线的概念和定义角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。
具体来说，对于一个角ABC，如果有一条线段AD，且AD等于BD，那么AD就是角ABC的平分线。
角平分线可以通过作图和计算来确定，它从角的顶点向角的两边延伸。
2. 角平分线的原理与性质角平分线有一些重要的原理和性质，下面将逐一介绍。
2.1 角平分线将角分成相等的两个角根据角平分线的定义，角平分线将一个角分成两个相等的角。
这是角平分线的基本性质之一。
2.2 角平分线与角的两边相交于角的顶点角平分线与角的两边相交于角的顶点。
这是角平分线的另一个重要性质。
具体来说，如果一条线段与角的两边相交于角的顶点，并且将这个角分成两个相等的角，那么这条线段就是角的平分线。
2.3 角平分线对称地分割角的两边角平分线将角的两边对称地分割成相等的线段。
也就是说，将角的两边上的点与角的顶点连线后，由角平分线分割的两个线段的长度相等。
3. 角平分线的一些常见应用3.1 三角形内部角平分线定理在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点出发，并且平分了这个角，那么这条线段分割了相对应的边，并且这些分割线段的比值等于相邻两边的比值。
这个定理可以用于解决一些与三角形有关的问题。
3.2 角平分线判定角的大小关系通过角平分线可以判断两个角的大小关系。
如果两个角的平分线相交且交点在角的内部，那么这两个角的大小关系可以根据平分线分割角的两边的长度来确定，长度较长的一边对应的角较大。
3.3 三角形外角平分线定理在一个三角形中，如果从三角形的一个外角作出一条平分线，那么这条平分线将另外两个内角分割成相等的角。
这个定理可以应用于解决一些与三角形外角有关的问题。
总结回顾：角平分线是将一个角分成相等的两个角的直线。
它具有多个重要性质，如：将角分成相等的两个角、与角的两边相交于角的顶点等。
角平分线可以运用于三角形内部角平分线定理、判定角的大小关系以及三角形外角平分线定理等问题的求解。
三角形角平分线的延长线度数
三角形角平分线的延长线度数
三角形的角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角平分成
两个相等的角的线段。
如果我们要求角平分线的延长线的度数，我
们可以按照以下步骤进行计算：
首先，假设我们有一个三角形ABC，角A的角平分线为AD，我
们要求角平分线AD的延长线的度数。
1. 角平分线的延长线与对边平行，根据角平分线的性质，角平
分线的延长线与对边平行。
因此，我们可以利用平行线的性质来求
得角平分线的延长线的度数。
2. 利用角度和，我们知道三角形内角和为180度，因此可以利
用角度和的性质来计算角平分线的延长线的度数。
假设角A的角平分线AD的延长线与BC边的延长线相交于点E，我们可以利用角度和的性质得出如下关系：
∠BAD + ∠DAE = ∠BAC.
∠CAD + ∠DAE = ∠DAC.
根据这些关系，我们可以求得∠DAE的度数，进而得出角平分线AD的延长线的度数。
总结来说，角平分线的延长线的度数可以通过利用角平分线与对边平行以及角度和的性质来计算。
这样我们就可以得出角平分线的延长线的度数。
归纳几种三角形角平分线的夹角的计算方法
归纳几种三角形角平分线的夹角的计算方法在复习三角形时，发现由三角形的角平分线构成的角与已知角之间存在一定的等量关系，现归纳如下，与大家探讨。
一、三角形两内角平分线的夹角如图，△ABC中，∠ABC=50，∠ACB=75，点O是△ABC的内心，求∠BOC 的度数。
（人教版九年级上册100页练习1）解：O是内心即三角形三条内角平分线的交点∠CBO=∠ABC=25∠BCO=∠ACB=37.5∠CBO+∠BCO=62.5△BOCxx∠CBO+∠BCO+∠BOC=180∠BOC=180-（∠CBO+∠BCO）=180-62.5=117.5思考：把已知条件∠ABC=50，∠ACB=75变为∠A=55时，按上面思路，虽然不能确定∠ABC和∠ACB的大小，但这两角和是确定的，那么这两角和的一半也是确定的，从而问题可解。
进一步思考，当∠A=M时，求∠BOC的度数。
解：在△ABCxx∵∠A=M∴∠ABC+∠ACB=180-M又∵O△ABC是内心∴BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线∴∠CBO=∠ABC∠BCO=∠ACB∴∠CBO+∠BCO=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=（180-M）=90-M在△BOC中∠BOC=180-（∠CBO+∠BCO）=180-（90-M）=180-90+M=90+M即：∠BOC=90+M二、三角形内角与外角平分线的夹角如图，在△ABC中，∠A=M，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，求∠的度数。
解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD∴∠ABC=2∠EBC∠ACD=2∠ECD∠ACD=∠ABC+∠A∠ECD=∠EBC+∠E∴2∠ECD=2∠EBC+2∠E∴∠A=2∠E即：∠E=M三、三角形两外角平分线的夹角如图：在△ABC中，∠B=M,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线相交于点E，求∠E的度数。
解：∵AE平分∠DACCE平分∠ACF∴∠EAC=∠DAC∠ECA=∠ACF∠DAC=∠B+∠ACB∠ACF=∠B+∠BAC∠EAC+∠ECA=∠DAC+∠ACF=（∠DAC+∠ACF）=（∠B+∠ACB+∠B+∠BAC）=（180+∠B）=90+∠B∴∠E=180-（∠EAC+∠ECA）=180-（90+∠B）=90-∠B即：∠E=90-M我们在复习中，经历了大量的练习，像上面这些知识点的考查，更多是以分外角的形式呈现的，练习中做过去，也很难留下深刻印象，因为没有进行深入的探究，还没有意识到带求和已知之间可能存在定量的关系。
内角平分线夹角公式
内角平分线夹角公式内角平分线夹角公式是指在一个三角形中，如果一条线段从一个内角的顶点出发，并且把这个内角平分成两个相等的角，那么这条线段与另外两个边的夹角之比是相等的。
我们来看一下内角平分线的定义。
内角平分线是从一个内角的顶点出发，将这个内角平分成两个相等的角的线段。
在一个三角形中，每个内角都可以找到一条内角平分线。
接下来，我们来看一下内角平分线夹角公式的表达方式。
设在三角形ABC中，角A的内角平分线交BC边于点D，那么根据内角平分线夹角公式可知，∠BAD/∠DAC = AB/AC。
这个公式的含义是，如果我们知道了三角形的两条边的长度，以及一个内角的内角平分线与另外两条边的夹角之比，那么我们就可以通过这个公式求解出这个内角平分线所夹的两个角的大小。
内角平分线夹角公式在几何学中有广泛的应用。
例如，在解决三角形相关问题时，经常会用到这个公式。
通过利用这个公式，我们可以求解出一些未知角度的大小，从而解决一些实际问题。
除了在几何学中的应用，内角平分线夹角公式在其他学科中也有一定的应用。
例如，在物理学中，当我们需要计算一个物体受力方向与另外两个力的夹角之比时，可以利用这个公式来求解。
在数学教育中，内角平分线夹角公式是学生学习三角形相关知识的基础。
通过学习和理解这个公式，学生可以更好地理解三角形的性质和特点，并能够运用这些知识解决实际问题。
内角平分线夹角公式是一个重要的几何学公式，在解决三角形相关问题时起到了重要的作用。
通过理解和应用这个公式，我们可以更好地理解三角形的性质，并能够运用这些知识解决实际问题。
希望本文对读者有所启发，对于理解和应用内角平分线夹角公式有所帮助。
角平分线解析式
角平分线解析式角平分线解析式是数学中一种有用的技巧，它可以帮助我们解决复杂的几何问题。
它可以被用来求解平分线、中点到圆心的距离以及圆的半径等等。
它的定义是：如果有一个圆的圆心为C，以C为原点的坐标系中的“X”轴、“Y”轴的起点为P，则将点P和两个点A，B，其中点A和C的距离为d，B和C的距离为d。
若连接点AB，以P为圆心，半径为d的圆，则这个圆的圆心C就是角平分线的解析式。
角平分线解析式提供了一种计算平分线、中点到圆心的距离以及圆的半径等数学问题的有效解决方案，让我们能够进行几何问题的分析。
它是一种多项式表达式，也可以用不同的公式表达。
例如，若有一个含有AB三点组成的多边形，若想求圆心C到边AB的距离，则可以用下面的公式对C的位置进行求解：1. 以点A为圆心，AB的长度为半径，连接点A和B，则可以求得点C的坐标：C (x, y) = (2A（x）-B（x）, 2A（y）-B（y）)，2.圆心C位于边AB的中点，则可以用以下公式求出C的坐标：C (x, y) = (A（x）+B（x）/2, A（y）+B（y）/2)。
此外，角平分线解析式还可以用来求解各种复杂的几何问题，例如求解正多边形的中心点位置、求解圆的半径等等。
例如，若给定一个多边形ABCD，其中AB和DC的长度均为1，则可以用角平分线解析式求出其中心的坐标位置：若假定A的坐标为(x1, y1)，B的坐标为(x2, y2)，C的坐标为(x3, y3)，D的坐标为(x4, y4)，则中心点为：Center (x, y) = [(x1 + x2 + x3 + x4)/4, (y1 + y2 + y3 + y4)/4]。
角平分线解析式已被广泛应用于几何问题的求解中，它能够非常有效地解决复杂的几何问题，从而大大降低几何计算的复杂度。
它的优越性在于它省去了人们手动绘图的繁琐过程，避免了测量误差带来的计算精度问题，同时能够让我们快速计算出几何形状的半径等关键参数。
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角的角平分线有关计算
1、如图，∠AOB=38°，∠
BOC=96°，OD是∠AOC的
平分线，求∠BOD的度数？
2、如图，已知OB平分∠AOC，且∠2：∠3：∠4=1：3：4，求∠1、∠
3、∠4的度数．
3、如图，直线AB与直线CD
相交于点O，E是∠AOD内一
点，已知OE⊥AB，∠BOD=45°，
则∠COE的度数是_____．
求∠EOB．
7、如图所示，∠AOB是平角，OC
是射线，OD、OE分别是∠AOC、
∠BOC的角平分线，若∠
AOD=65°，求∠DOE和∠BOE的度数．
8、如图，∠AOB=90°，OC平分
∠AOB，OE平分∠AOD．若∠
EOC=60°，求∠AOD的度数．
9、如图，点O为直线AB上的一点，OE，OF，
OC是射线，∠EOF是直角，若∠AOF=30°，且∠EOC：∠BOC=2：3，求∠EOC的度数．
10、如图所示，已知OB，OC是∠
AOD内部的两条射线，OM平分∠
AOB，ON平分∠COD，若∠
AOD=α，∠MON=β，求∠BOC的大小(用含α，β的式子表示)．
11、如图，已知∠AOB= 0.5∠BOC，
∠COD=∠AOD=3∠AOB，求∠AOB和
∠COD的度数．
12、如图：已知OD、OE、OF分别
为∠AOB、∠AOC、∠BOC的平分
线，则∠DOE和∠BOF有怎样的关
系？说明理由．
13、如图，已知OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，
若∠AOB=90°，∠EOD=70°，求∠BOC的度数.
14、如图，已知∠AOB＋∠AOC＝180°，OP、OQ分别平分∠AOB、∠AOC，且∠POQ＝50°，求∠AOB、∠AOC的度数．
A
E
B
D
C
4 3 2 1 E
O
D
C
B
A
15、如图, 已知O 为直线AB 上一点, 过点O 向直线AB 上方引三条射线OC 、OD 、OE , 且OC 平分AOD ∠，231∠=∠，
70COE ∠=︒
，求2∠的度数.
16、如图所示，已知∠AOE ＝100°，
∠DOF ＝80°，OE 平分∠DOC ，OF 平分∠AOC ，求∠EOF 的度数．
17、如图，已知点C 、点D 分别在AOB ∠的边上， 请根据下列语句画出图形：
O
D
C
B
A
O P F
E
D
C
B
A
（1）作AOB ∠的余角AOE ∠；（2）作射线DC 与OE 相交于点F ；
（3）取OD 的中点M ，连接CM .
18、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OP 是∠BOC 的平分线，OE ⊥AB ， OF ⊥CD
（1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：
① ；② . （2）如果∠AOD ＝40°． ①那么根据 ，
可得∠BOC ＝ 度． ②因为OP 是∠BOC 的平分线， 所以∠C OP=21∠ = 度. ③求∠BOF 的度数．
19、⑴如图所示，已知∠AOB是直
角，∠BOC＝30°，OM平分
∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；
⑵如果⑴中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；
⑶你从⑴⑵的结果中，能发现什么规律？
20、如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOC=80°，OE是∠BOC的角平分线，OF是OE
的反向延长线.
（1）求∠2、∠3的度数；
（2）说明OF平分∠AOD的理由.
21、已知∠AOB及射线OC，OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC．
(1)若OC在∠AOB外部，试探究∠MON与∠AOB的关系．(图2)
(2)若OC在∠AOB内部，则∠MOM与∠AOB 有何关系？(图1)
22、如图1，∠AOB=80°，
∠COD=40°，OM平分∠
BOD、ON平分∠AOC．
(1)求∠MON的度数．
(2)将图1中的∠COD绕点O旋转至如图2的位置，求此时∠MON的度数
23、将一副三角板叠放在一起：
(1)如图1，在此种图案的情形下，如果∠α=3∠β，求∠CAE的度数；
(2)如图2，在此种图案的
情形下，∠ACE=2∠
BCD是否成立？若成
立，请求出∠ACD的度
数；若不成立，请说明理
由．
24、已知：如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC．求：
(1)∠DOE的度数．
(2)当OC在∠AOB内绕O点旋转时，OD、OE 仍是∠BOC和∠AOC的平分线．问此时∠DOE 的大小是否和(1)中的答案相同？说明理由，通过此过程你能总结出怎样的结论．
25、如图，∠AOB=90°，∠AOC为锐角，且ON 平分∠AOC，射线OM在∠BON内部．
(1)请你数一数，图中共有多少个
小于平角的角．
(2)如果∠AOC=50°，∠
MON=45°．
①求∠AOM的度数；
②请通过计算说明OM是否平分∠BOC．
(3)如果∠AOC=x°，∠MON=45°，OM是否平分∠BOC？请说明理由．
26、如图，将一幅角板
的直角顶点叠放在一
起．
(1)猜想∠AOC与∠
BOD的大小关系，并说明理由；
(2)求∠AOD+∠BOC的度数；
(3)若∠BOD：∠AOD=2：11，求∠BOC的度数．。