08约数个数和完全平方数

基础知识

四、求约数个数与所有约数的和

1．求任一整数约数的个数

一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。

如:1400严格分解质因数之后为32257⨯⨯，所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身)

约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。

2．求任一整数的所有约数的和

一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。

如：33210002357=⨯⨯⨯，所以21000所有约数的和为

2323(1222)(13)(1555)(17)74880

++++++++=此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。

3．约数的积:设M 的约数个数为x 个，那么M 所有约数的积为2x M 。(如果是完全平方数，

先开方求得值为A，再计算

x A 的值，即为所求)。

如：21分解质约数为3×7，所以有(1＋1)×(1＋1)＝4个，所以21的所有约数的积为2421＝441。又如：9分解质约数为23，所以有(1＋2)＝3个约数，为完全平方数，9开方为3，所以9的所有约数的乘积为33＝27。

1.平方数的概念：一个数能写成两个相同数相乘的形式的数是平方数。

偶指性，奇约性。（根据概念得到）平方数的因数个数是奇数个。

2.20以内的平方数要求记忆。1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289.324,361,400平方数的判断：看个位：只能是0,1,4,5,6,9不能是2,3,7,8

3.平方数的末两位只有（00）（01,21,41,61,81）（04,24,44，64,84,）（25）（09,29,49,69,89，）（16,36,56,76,96），因个位是0,1,4,5,6,9得到。

思维数学第08讲

约数个数和平方数（一）

4.平方数的判断看末两位：十位数字是奇数时，个位只能是6，即平方数的奇6性。末两位相同只能时，只能是00或44

5.平方数除以某个数的余数，是小于这个数的平方数。如：除以3的余数只能是0和1这两个平方数，除以4的余数只能是0和1这两个平方数。除以5的余数只能是0,1,4三个平方数，除以8的余数只能是0,1,4三个平方数。除以16的平方数只能是0,1,4,9四个平方数。性质1：奇数的平方的个位数字为奇数十位数字为偶数。

性质2：偶数的平方是4的倍数，奇数的平方是4的倍数加1.

性质3：奇数的平方是8n+1型，偶数的平方是8n或8n+4型。在性质4的证明中，由k（k+1）一定为偶数可得到（2K+1）是8n+1型的数，由为奇数或偶数可得（2K）为8n型或8n+4型的数。

性质4：平方数的形式必为下列两种之一：3k，3k+1.

性质5：不能被5整除的数的平方为5k 1型，能被5整除的数为5k型。

性质6：平方数的形式具有下列形式之一，16m，16m+1,16m+4,16m+9。

技巧总结

1.哥德巴赫猜想：每个大于4的偶数都可以表示成两个质数之和。

2.在连续的三个奇数中一定有一个数是3的倍数。3个连续的偶数中一定有一个数是3的倍数。

3.只有完全平方数才有奇数个约数，只有质数的平方才有3个约数。

4.4.构造n个连续合数的方法：（n+1)+2,(n+3)+3,……，（n+1)+(n+1),这n个数分别能被2，3，4，……，（n+1)整除，它们是连续的n个合数，其中n表示从1一直乘到n的积，即：1×2×3×……×n.

5.平方数：因子个数平均分给2个人。立方数：因子个数平均分给3个人。4次方：因子个数平均分给四个人。

课堂中的例题建议重做一遍，再做课后练习，1-3道不会为正常现象。