初中数学竞赛圆历届考题
全国初中数学竞赛试题
全国初中数学竞赛试题【试题一】：代数基础1. 已知 \( a, b, c \) 是一个三角形的三边长，且满足 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，求证 \( a + b \geq c \)。
【试题二】：几何问题2. 给定一个圆，圆心为 \( O \)，半径为 \( r \)。
在圆上任取两点\( A \) 和 \( B \)，连接 \( OA \) 和 \( OB \)。
求证 \( \angle AOB \) 的度数小于 \( 180^\circ \)。
【试题三】：数列与级数3. 一个等差数列的首项是 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)。
求这个数列的第 \( n \) 项 \( a_n \) 的表达式，并计算前 \( n \) 项的和 \( S_n \)。
【试题四】：函数与方程4. 已知函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求该函数的最小值。
【试题五】：概率统计5. 一个袋子里有 \( 5 \) 个红球和 \( 3 \) 个蓝球。
随机抽取两个球，求两个球颜色相同的概率。
【试题六】：组合数学6. 有 \( 8 \) 个不同的球，需要将它们放入 \( 3 \) 个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球。
求不同的放法有多少种。
【试题七】：逻辑推理7. 在一个逻辑推理题中，有三个人分别说了以下的话：- 甲说：“乙是说谎者。
”- 乙说：“丙是说谎者。
”- 丙说：“甲和乙都是说谎者。
”如果三个人中只有一个人说谎，那么谁说的是真话？【试题八】：创新问题8. 一个正方体的体积是 \( 8 \) 立方厘米，求这个正方体的表面积。
【试题九】：应用题9. 一个水池可以以恒定的速率 \( r \) 进水，同时也以另一个恒定的速率 \( s \) 出水。
如果水池开始时是空的，求水池被填满的时间\( t \)。
【试题十】：综合题10. 一个圆的半径是 \( 5 \) 厘米，圆内接一个等边三角形。
初中数学圆试卷加答案
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列哪个图形是圆？A. 正方形B. 矩形C. 三角形D. 圆2. 圆的半径为5cm，则其直径为：A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm3. 圆的周长公式为：A. C=πrB. C=2πrC. C=πdD. C=2πd4. 下列哪个角度是直角？A. 45°B. 90°C. 180°D. 360°5. 下列哪个数是圆周率π的近似值？A. 3.14C. 3.1416D. 3.14159二、填空题（每题5分，共25分）6. 圆的直径与半径的关系是：直径=半径×______。
7. 圆的周长公式是：C=______。
8. 圆的面积公式是：S=______。
9. 一个圆的半径是6cm，其周长是______cm。
10. 一个圆的直径是8cm，其面积是______cm²。
三、解答题（每题15分，共45分）11. 已知一个圆的半径为10cm，求其周长和面积。
12. 一个圆的直径是12cm，求其周长和面积。
13. 一个圆的半径增加了2cm，求其周长和面积增加了多少。
答案：一、选择题1. D2. B3. D4. B5. A二、填空题6. 27. πd9. 31.4cm10. 75.36cm²三、解答题11. 周长：C=πd=π×10=31.4cm，面积：S=πr²=π×10²=314cm²。
12. 周长：C=πd=π×12=37.68cm，面积：S=πr²=π×(12÷2)²=113.04cm²。
13. 周长增加了：2π×2=12.56cm，面积增加了：π×(2²)=12.56cm²。
全国初中数学竞赛《圆》历届真题
点，使得 ∠ADP = ∠ACB ，求 的值.所以 PB = = 3 .…………………………（15 分）点 I 关于边 BC ，CA ，AB 的对称点。
若点 B 在△A1B1C1 的外C 接（初中数学竞赛《圆》历届考题1（04）．D 是△ABC 的边 AB 上的一点，使得 AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一 PBPD解：连结 AP ，则 ∠APB = ∠ACB = ∠ADP ，所以，△APB ∽△ADP ， …………………………（5 分）∴ AB AP =AP AD，所以 AP 2 = AB • AD = 3 A D 2 ，∴ AP = 3 A D ，…………………………（10 分）APPD AD2、（05）已知点 I 是锐角三角形 ABC 的内心，A1，B1，C1 分别是 BA 1圆上，则∠ABC 等于（ ）1IDA 、30°B 、45°C 、60°D 、90°AC答：C解：因为 IA1＝IB1＝IC1＝2r （r 为△ABC 的内切圆半径），所以B 1点 I 同时是△A1B1C1 的外接圆的圆心，设 IA1 与 BC 的交点为 D ，则 IB ＝IA1 ＝2ID ，所以∠IBD ＝30°，同理，∠IBA ＝30°，于是，∠ABC ＝60°3． 06）正方形 ABCD 内接于⊙O ，点 P 在劣弧 AB 上，连结 DP ，交 AC 于点 Q ．若 QP=QO ，则 QC QA的值为（ ）D C（A ） 2 3 - 1 （B ） 2 3 （C ） 3 + 2 （D ） 3 + 2O答：D ．Q解：如图，设⊙O 的半径为 r ，QO=m ，则 QP=m ，QC=r ＋m ， ABQA=r －m ．在⊙O 中，根据相交弦定理，得 QA ·QC=QP ·QD ．P（第 3 题图）＋QO 即 m ⎪⎪ = r 2 + m 2 ，解得 m = r 所以， = == 3 + 2故r 2 - m 2即(r －m )(r ＋m )=m ·QD ，所以 QD= ．连结 DO ，由勾股定理，得 QD 2=DO 2m2， ⎛ r 2 - m 2⎝⎭ 3 QA r - m 3 - 14．（06）如图，点 P 为⊙O 外一点，过点 P 作⊙O 的两条切线，切点分别为 A ，B ．过点 A作 PB 的平行线，交⊙O 于点 C ．连结 PC ，交⊙O 于点 E ；连结 AE ，并延长 AE 交 PB 于点K ．求证：PE ·AC=CE ·KB ．P证明：因为 AC ∥PB ，所以∠KPE=∠ACE ．又 P A 是⊙O 的切线，所以∠KAP=∠ACE ，故∠KPE=∠KAP ，于是△KPE ∽△KAP ，K所以KP KE =KA KP， 即 KP 2 = KE ⋅ KA ． E由切割线定理得KB 2 = KE ⋅ KAAB所以KP = KB ． …………………………10 分因为 AC ∥△PB ， KPE ∽△ACE ，于是OPE KPPE KB==CE ACCE AC，C即PE ·AC=CE ·KB ． ………………………………15 分（第 4 题）5（△07）已知ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E．若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过△ABC的（）．（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心答：（B）．解：如图，连接△BE，因为ABC为锐角三角形，所以∠BAC，∠ABE均为锐角．又因为⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，且DE为两圆的公共弦，所以∠BAC=∠ABE．于是，∠BEC=∠BAC+∠ABE=2∠BAC．若△ABC的外心为O，则∠BOC=∠BAC11，所以，⊙O一定过△ABC（第3题答案图）的外心．故选（B）．6．已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以2（第△Rt ABC 7．如图，点 E ，F 分别在四边形 ABCD 的边 AD ，BC 的延长线上，且满足 DE （1） AD ．又已知 ，所以， 16 分别与 AB 、AC 相交于点 D ，E ，则 DE 的长为 。
初三数学圆测试题及答案
初三数学圆测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知圆的半径为2，圆心在原点，下列哪个点在圆上？A. (3, 0)B. (2, 2)C. (2, 0)D. (0, 2)2. 圆的标准方程是 (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中a和b是圆心的坐标，r是半径。
如果圆心在(1, 1)，半径为3，那么圆的方程是什么？A. (x-1)^2 + (y-1)^2 = 9B. (x+1)^2 + (y+1)^2 = 9C. (x-1)^2 + (y+1)^2 = 9D. (x+1)^2 + (y-1)^2 = 93. 已知圆的直径为6，那么圆的半径是多少？A. 3B. 6C. 9D. 124. 如果一个圆的半径为5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π5. 圆的切线垂直于经过切点的半径，那么切线与半径的夹角是多少？A. 0°B. 90°C. 180°D. 360°6. 如果两个圆的半径分别为3和5，且它们外切，那么两圆心之间的距离是多少？A. 2B. 8C. 10D. 127. 圆的周长公式是C = 2πr，如果一个圆的周长为12π，那么它的半径是多少？A. 3B. 4C. 6D. 128. 已知圆的半径为4，圆心在点(2, 3)，那么圆上一点(5, 7)到圆心的距离是多少？A. 3B. 4C. 5D. 69. 圆的面积公式是A = πr^2，如果一个圆的面积为16π，那么它的半径是多少？A. 2B. 3C. 4D. 510. 如果一个圆的半径为2，那么它的直径是多少？A. 4B. 6C. 8D. 10二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知圆的半径为r，那么它的直径是________。
2. 圆的周长公式为C = 2πr，如果一个圆的半径为4，那么它的周长是________。
3. 圆的面积公式为A = πr^2，如果一个圆的半径为5，那么它的面积是________。
初中数学竞赛——圆6.圆与圆(二)
第3讲 圆与圆（二）典型例题【例1】 分别以梯形ABCD 的上底AD 、下底BC 的长为直径作⊙1O 、⊙2O ，若两圆的圆心距等于这个梯形的中位线长，则这两个圆的位置关系是____________．【例2】 如图，A B ⊙，⊙的半径分别为1cm ，2cm ，圆心距AB 为5cm ．如果A ⊙由图示位置沿直线AB 向右平移3cm ，则此时该圆与B ⊙的位置关系是_____________．【例3】 如图，1O ⊙和2O ⊙的半径为1和3，连接12O O 交2O ⊙于点P ，128O O =，若将1O ⊙绕点P 按顺时针方向旋转360︒，则1O ⊙与2O ⊙共相切_______次．【例4】 如图，ABC △是正三角形，点C 在矩形ABDE 的边DE 上，ABC △的内切圆半径是1．则矩形ABDE 的外接圆直径是 ．【例5】 如图，已知半圆O 的直径为AB ，半径长为254，点D 在AB 上，74OD =，CD AB ⊥，CD 交半圆'O 于D ．那么与半圆相切，且与BC CD ，相切的'O ⊙的半径长为 ．【例6】 如图，3PQ =，以PQ 为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P ，正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD 切于点Q ．则AB = ．图 3BADCEP【例7】 如图，10PQ =，以PQ 为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点P ，正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD 切于Q ，若AB m =+m ，n 是正数，求m n +的值．【例8】 如图，P 为半圆弧上任意一点，圆⊙1O 、⊙2O 都与ABP △的一边和半圆相切的最大圆，⊙3O 是ABP △的内切圆，其中⊙1O 、⊙2O 、⊙3O 和半圆的半径分别1r 、2r 、3r 、R ，12r =，21r =，则3r 为 ．【例9】 如图，11PQ PO O Q 、、分别是以123O O O 、、圆4C 内切于半圆1C 及外切于半圆23C C 、．若24PQ =，求圆4C 的面积．【例10】 如图，大圆O ⊙的直径cm AB a =，分别以OA OB 、为直径作1O ⊙和2O ⊙，并在O ⊙与1O ⊙和2O ⊙的空隙间作两个等圆3O ⊙和4O ⊙，这些圆互相内切或外PBA123切，则四边形1423O O O O 的面积为___________2cm ．【例11】 已知A 为O ⊙上一点，B 为A ⊙与OA 的交点，A ⊙与O ⊙的半径分别为r R 、，且r R <．（1）如图1，过点B 作A ⊙的切线与O ⊙交于M N 、两点．求证：2AM AN Rr ⋅=；（2）如图2，若A ⊙与O ⊙的交点为EF 、，C 是EBF 上任意一点，过点C 作A ⊙的切线与O ⊙交于P Q 、两点，试问2AP AQ Rr ⋅=是否成立并证明你的结论．【例12】 两个圆相交于点A 和B ，由点A 作两个圆的切线，分别与两个圆相交于点M 和N ．直线BM 和BN 分别与两个圆交于另外两点P 和Q （P 在BM 上，Q 在BN 上）．求证：MP NQ =． 图1图2【例13】 如图（1），两半径为r 的等圆1O ⊙和2O ⊙相交于M N ，两点，且2O ⊙过点1O ．过M 点作直线AB 垂直于MN ，分别交1O ⊙和2O ⊙于A B ，两点，连结NA NB ，．（1）猜想点与有什么位置关系，并给出证明； （2）猜想NAB ∆的形状，并给出证明；（3）如图（2），若过M 的点所在的直线AB 不垂直于MN ，且点A B ，在点M 的两侧，那么⑵中的结论是否成立，若成立请给出证明．【例14】 如图，1O ，2O 交于A B ，两点，直线MN 垂直于AB 于点A ，分别与12O O ，交于点N M ，，P 为MN 中点，1122AO Q AO Q ∠=∠，求证：12PQ PQ =．QMPB A2O 1O 图1图2Q 2Q 1O 2O 1P N MBA【例15】 设圆O 、圆P 外切于A ，外公切线BC 分别切两圆于B 、C ，BC 与OP 的交点为Q ，过Q 引MN BC ⊥交BA 、AC 于S 、R ， 求证：QS QR =．【例16】 半径为R 的两圆之一过平行四边形ABCD 的顶点A 和B ，而另一圆过顶点D 和C ，点M 是两圆除B 外的另一个交点，求证：AMD △的外接圆半径长也为R ．【例17】 如图，已知ABC △的高AD BE 、交于H ，ABC ABH △、△的外接圆分别为O ⊙和O ⊙′．求证：O ⊙与O ⊙′的半径相等． NM SRQPACBOD【例18】 在ABC △中，AB AC =，圆1O 与ABC ∆的外接圆内切于D ，与AB 、AC 分别相切于P 、Q ．求证：PQ 的中点O 是ABC △的内切圆圆心．【例19】 A 是O 上一点，O 的半径为R ，以A 为圆心，r 为半径()r R <作圆，设O的弦PQ 与A 切于点M ，求证：不论PQ 的位置如何，PA QA ⋅为定值．【例20】 如图，圆O 与圆D 相交于A B ，两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =．（1）证明：点O 在圆D 的圆周上．（2）设ABC △的面积为S ，求圆D 的半径r 的最小值．【例21】 如图所示，过O ⊙上的一点C 作直径AB 的垂线，垂足为D ，'O ⊙切AB 于点E ，切CD 于点F ，内切半圆O 于点G ，证明：AC AE =．【例22】 如右图a ，在矩形ABCD 中，20cm AB =，4cm BC =，点P 从A 开始沿折线A B C D ---以4cm/s 的速度移动，点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动．设运动时间为(s)t ． （1）t 为何值时，四边形APQD 为矩形（2）如右图b ，如果P ⊙和Q ⊙的半径都是2cm ，那么t 为何值时，P ⊙和Q ⊙外切ODCBAO'O G FED C BA作业1. 如图，A B ⊙、⊙的圆心A B ，在直线l 上，两圆半径都为1cm ，开始时圆心距4cm AB ，现A B ⊙，⊙同时沿直线l 以每秒2cm 的速度相向移动，则当两圆相切时，A ⊙运动的时间为 秒．2. 如图，矩形内放置8个半径为1的圆，其中相邻两个圆都相切，并且左上角和右下角的两个圆和矩形的一边相切，则该矩形的面积为 ．图al3. 把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于________．4. 已知多边形ABDEC 是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC 组成，一圆过A 、D 、E 三点，求该圆半径的长．5. 过定圆的圆心O 作A ，设A 与O 的一个交点为B ，过B 作A 的直径BC ，BC 与O 交于点D ，求证BD BC ⋅为定值．6. 已知圆1O 、2O 外切于P ，过圆1O 上一点A 作圆2O 的切线AC ，交圆1O 于B ，C 为切点．求证：PA AC PB BC=．。
初中数学竞赛——圆4.四点共圆
第1讲 四点共圆典型例题一. 基础练习【例1】 如图，P 为ABC △内一点，D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上．已知P 、D 、C 、E 四点共圆，P 、E 、A 、F 四点共圆，求证：B 、D 、P 、F 四点共圆．【例2】 如图7-55，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，过B 、C 两点作一圆，AB 、CD 的延长线交该圆于点E 、F ．求证：A 、D 、E 、F 四点共圆．【例3】 如图，⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点，P 是BA 延长线上一点，割线PCD 交⊙1O 于C 、D ，割线PEF 交⊙2O 于E 、F ，求证：C 、D 、E 、F 四点共圆．【例4】 如图7-56，在△ABC 中，AD =AE ，BE 与CD 交于点P ，DP =EP ，求证：B 、C 、E 、D 四点共圆．P E CB ADF⋅2O P1O⋅FDCBAE【例5】 如图，已知ABC △是⊙O 的内接三角形，⊙O 的直径BD 交AC 于E ，AF BD ⊥于F ，延长AF 交BC 于G ，求证：2AB BG BC =⋅．【例6】 如图7－63，在ABCD □的对角线上，任取一点P ，过点P 作AB 、CD 的公垂线EG ，又作AD 、BC 的公垂线FM ．求证：EF //GM ．【例7】 如图7-66，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，DE ⊥AC ，AF ⊥BD ，点E 、F 是垂足．求证：EF //BC ．【例8】 如图7-60，已知△ABC ，AB 、AC 的垂直平分线交AC 、AB 的延长线于点F 、E ．求证：E 、F 、C 、B 四点共圆．O⋅GF ECD BA【例9】 如图，已知：60ABD ACD ∠=∠=o ，1902ADB BDC ∠=∠-∠o ．求证：ABC △是等腰三角形．二. 综合提高【例10】 如图7-61，在⊙O 中，AB ∥CD ，点P 是AB 的中点，CP 的延长线交⊙O 于点F ，又点E 为弧BD上任一点，连EF 交AB 于点G ．求证：P 、G 、E 、D 四点共圆．【例11】 如图7-62，在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB =AC ，BM =MC ，过M 、C 任作一圆，与AC 交于点E ，BE 与圆交于F 点，求证：AF ⊥BE ．【例12】 如图7－64，P 为△ABC 外接圆一任意一点，点P 到△ABC 三边的垂足分别为D 、E 、F 三点成一直线．CDBA【例13】如图7-65，在ABCD□中，过D、B两点作一圆，交平行四边形四条边(或它们的延长线)于点E、F、G、H．求证：EF//GH．【例14】如图7-67，AB为半圆的直径，弦AC、BD相交于点H，HP⊥AB．求证：∠1＝∠2．【例15】如图7－68，四边形ABCD是正方形，点E为BC上的任一点，AE⊥EF，EF交∠BCD的外角平分线于点F．求证：EA=EF．【例16】在等边三角形ABC中，D、E分别是边BC、AC上的点，且有12BD CE CD==，连结BE、AD 交于点P ，求证：CP AD ⊥．【例17】 设凸四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相垂直，垂足为E ，证明：点E 关于AB 、BC 、CD 、DA 的对称点共圆．【例18】 证明：三角形的三条高交于一点．【例19】 已知在凸五边形ABCDE 中，3BAE BC CD DE α∠===，，且1802BCD CDE α︒∠=∠=-，求证：BAC CAD DAE ∠=∠=∠．EDC B A【例20】 如图所示，设N 是正九变形，O 为其外接圆的圆心，PQ 和QR 是N 的两相邻边，A 为PQ 的EC BAP中点，而B 为垂直于QR 的圆半径的中点，试求AO 与AB 的夹角．【例21】 如图，已知ABC △内接于O ⊙，AD 、BD 为O ⊙的切线，作DE BC ∥，交AC 于E ，连结EO并延长交BC 于F ，求证：BF FC =．D【例22】 如图，在凸四边形ABCD 的BC 边上取E 和F （点E 比F 更靠近点B ）．已知BAE CDF∠=∠及EAF FDE ∠=∠，证明：FAC EDB ∠=∠．【例23】 如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠为钝角，且AE BC AF CD ⊥⊥，．（1）求证：A E C F 、、、四点共圆；O⋅AC RQ P BFECBDA（2）设线段BD 与（1）中的圆交于M N 、．求证：BM ND =．NM F EBDAC【例24】 正方形ABCD 的中心为O ，面积为2009，P 为正方形内的一点，且45OPB ∠=︒，:4:5PA PB =，求PB ．PO DCBA【例25】 如图，已知ABC △中，AH 是高，AT 是角平分线，且TD AB TE AC ⊥⊥，．求证：（1）AHD AHE ∠=∠；（2）BH CHBD CE=．THEDCBA【例26】 如图，⊙O 为ABC △的外接圆，60BAC ∠=o ，H 为AC 、AB 上高BD 、CE 的交点，在BD上取点M ，使BM CH =．连结OM OH 、，求证：OM OH =．【例27】 如图，CD 是O e 的直径，弦AE 交CD 于点Q ，点B 是弧»DE上一点，BC 和DE 交于点F ．AB CD ⊥，垂足为M ，求证：QF AB ∥．DC三. 过三点的圆【例28】 如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，若76CAD ︒∠=，13BDC ︒∠=，则CBD ∠=_______，BAC ∠=__________．DCBA【例29】 已知凸四边形ABCD ，2BAC BDC ∠=∠，2CAD CBD ∠=∠，求证：AB AC AD ==．O ⋅H ME DCBA思维飞跃【例30】 如图，直线AB 和AC 与O ⊙分别相切于B C 、，P 为圆上一点，P 到AB AC 、得距离分别为49、，试求P 到BC 的距离．【例31】 如图，ABC △中，90ACB ∠=o ，AB 边上的高线CH 与ABC △的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点．PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：//EF AB ．【例32】 如图，已知P 是正ABC △外接圆的弧BC 上的任一点．求证：22PA AC PB PC =+⋅．BCADCBAMNPHBACE Q F【例33】如图，PA、PB切圆O于A和B，PO交AB于M，过M任作一弦CD，求证：APC BPD∠=∠．【例34】如图，AB为⊙O的直径，P为⊙O外一点，过P引圆O的两条切线，切点分别为C、D，AD 与BC交于点E，求证：EP AP⊥．作业O⋅A BDCFPO⋅DCPBAM1. 在锐角△ABC 中，三条高AD 、BE 、CF 相交于点H ．求证：点H 是△DEF 的内心．2. 已知AB 是圆的直径，AD 为圆的切线，FB 和DB 是圆的割线，分别交圆于E 、C ，求证：BE BF BC BD ⋅=⋅．3. 已知ABC △中，AB AC =，AD 是高，P 为AC 上任一点，PC 的中垂线RQ 交AD 于R ，求证：RPB DAC ∠=∠．4. 如图，设四边形ABCD 的两组对边AB 、DC 及AD 、BC 的交点分别为E 、F ．若E ∠、F ∠的平分线互相垂直，则A 、B 、C 、D 四点共圆．⋅FE C DABRDCBA QP5. 如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，过P 作割线交⊙O 于C 、D ，过B 作BE CD ∥，连结AE交PD 于M ，求证：M 为DC 的中点．6. 过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A B 、，所作割线交圆于C D 、两点，C 在P D、之间．在弦上取一点Q ，使DAQ PBC ∠=∠．求证：DBQ PAC ∠=∠．QPDCBAO⋅A DBEMCPAFEDCBM。
圆的竞赛题集
圆的竞赛题集例1、如图，O 为圆心，若已知圆心角∠AOC = x °，则∠CBD 为 ( ) (A )180°– x ° (B )90°– x °(C ) 12 x ° (D )90°– 12x °(2005年江苏省第二十届初中数学竞赛第1试)例2、在同圆中， CD 的度数小于180°，且 2AB CD=，那么弦AB 和CD 的大小关系是（ ）A ．AB>CDB ．AB=CDC ．AB<CD D ．不确定例3、如图，AB 为⊙O 的直径，诸角p 、q 、r 、s 之间的关系 (1) p = 2q ；(2) q = r ；(3) p + s = 180° 中，正确的是 ( ) (A ) 只有(1)和(2) (B ) 只有(1)和(3) (C ) 只有(2)和(3) (D ) (1)、(2)和(3)(2005年江苏省第二十届初中数学竞赛第2试)例4、如图，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 上的一个动点(C 点不与A 、B 重合)，CD⊥AB，AD 、CD 分别交⊙O 于E 、F ，则与AB·AC 相等的一定是( ) (A)AE·AD (B)AE·ED (C)CF·CD (D)CF·FD （2003年江苏省第十八届初中数学竞赛试题第2题）例5、如图，AB 是⊙O 直径，点C 在⊙O 上运动（不与点A ，B 重合）。
作弦CD ⊥AB ，并作∠DCO 的平分线交⊙O 于点P ，在点C 运动过程中，点P 与点A ，B 的距离是否相等？证明你的结论。
例6、如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的⊙O ，对角线AC 是直径，AC 和BD 的交点是P ，AB=BD ，且PC=0.6，求四边形ABCD 的周长。
（1999年全国初中数学竞赛题）PDA OBC PO CABDsrqpABx ︒oBC ADFOrrBDCEA r第14题例7、如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上一点，60AOC ∠=，点P 在AB 的延长线上，且3PB BO cm ==。
关于圆的初中数学竞赛题选
关于圆的问题圆的有关问题是与直线型紧密结合在一起的，因而综合性强，富于变化. 圆的有关计算与证明例1 圆内接八边形的四条边长为1，另四条边长为2.求此八边形的面积.例2 在边长为1cm 的正五边形,去掉所有与五边形各顶点距离都小于1cm 的点,求余下部分的面积.例3三个全等的圆有一个公共点O ，并且都在一个已知△ABC 内.每个圆与△ABC 的两边相切.求证：△ABC 的内心、外心和O 点共线.例4如图35-4，在△ABC 中，BD 、CE 为高，F 、G 分别为ED 、BC 的中点，O 为外心，求证：AO ∥FG.例5已知在凸五边形ABCDE 中，∠BAE=3a,BC=CD=DE ，且∠BCO=∠CDE=180°-2a ，求证：∠BAC=∠CAD=∠DAE.例6如图35-6，AB 为定圆O 中的定弦，作⊙O 的弦C 1D 1，C 2D 2，…C 1988D 1988，对其中每一i （i=1，2，…,1988），C i D i 都被弦AB 平分于M i .过C i 、D i 分别作⊙O 的切线，两切线交于P i .求证：点P 1，P 2，…，P 1988与某定点等距离，并指出这定点是什么点. 例7若凸四边形两对角线的乘积等于它的两组对边乘积之和，则此四边形内接于圆. 托勒密逆定理例8如图35-8，已知AD 、BC 是⊙O 的两条相交的弦，且B 在劣弧AD 上，⊙O 的半径为5，BC=6，AD 被BC 平分；又设从A 出发的弦只有AD 能被BC 等分，这样可以知道AB 劣弧对应的圆心角的正弦是一个有理数.如果把这个有理数化为最简分数nm，求mn.例9(1962年北京中学生数学竞赛题)任意剪六个圆形纸片放在桌面上,使得没有一个纸片的中心落在另一纸片上或被另一纸片盖住,然后用一枚针去世扎这一堆纸片.证明:不论针尖落在哪一点,总是不能一次把六个纸片全部扎中.例10（第21届国际中学生数学竞赛题）如图35-10，平面上两圆相交，其中一交点为A.两动点各以匀速自A 点出发在不同的圆周上同向移动，这两点移动一周后同时返回到A 点.求证平面上有一定点P ，它不论在何时皆和两动点等距离.关于圆的问题例1 （第3届全国部分省市初中数学通讯赛试题）圆内接八边形的四条边长为1，另四条边长为2.求此八边形的面积.解 由弓形面积公式知所求的八边形的面积与八边形各边排列的顺序无关.不妨设八边形ABCDEFGH 如图35-1，且有 AB=CD=EF=GH=2， BC=DE=FG=HA=1.双向延长AH 、BC 、DE 、FG 得正方形KLMN. 故S 八边形ABCDEFGH =S 正方形KLMN -4S △ABK=.245)2(214)122(22+=⋅-+例2 （第19届全苏中学生竞赛题）在边长为1cm 的正五边形,去掉所有与五边形各顶点距离都小于1cm 的点,求余下部分的面积.解 以A 为圆心,1cm 长为半径的扇形ABE 内的点到点A 的距离都小于1cm.分别以正五边形的各顶点为圆心,1cm 长为半径作弧,以五段圆弧为边界的“曲边五边形”MNPQR 内的点到正五边形ABCDE 各顶点的距离小于1cm.五边形内余下的部分是五个等积的“曲边三角形”BMC 、CND 、DPE 、EQA 、ARB （如图35-2）. 考察“曲边三角形”BMC 与以∠BAM 为圆心角(等于60°)的扇形BAM 的面积之和,恰等于等边三角形ABM 与以∠CBM 为圆心角（等于108°-60°=48°）的扇形CBM 的面积之和.所以，所要求的面积为： 5S 曲边△BMC=5(S △ABM +S 扇形CBM -S 扇形BAM ) =5)615243(ππ-+=).(64352cm π-例3 （第22届国际数学竞赛题）三个全等的圆有一个公共点O ，并且都在一个已知△ABC 内.每个圆与△ABC 的两边相切.求证：△ABC 的内心、外心和O 点共线.证明 如图35-3,设三等圆为⊙A ′、⊙B ′和⊙C ′.故A ′B ′∥AB ，B ′C ′∥BC ，C ′A ′∥CA.于是△A ′B ′C ′∽△ABC.由于三等圆分别与△ABC 的两边相切，故AA ′、BB ′、CC ′相交于△ABC 内心I.显然，I 也是△A ′B ′C ′的内心.因此，△ABC 的外心E ，△A ′B ′C ′的外心E ′与I 三点共线.又O 是三等圆的公共点，OA ′=OB ′=OC ′，因此O 即是△A ′B ′C ′的外心E ′.故E ，O 、I 三点共线.四点共圆例4 （1980年哈尔滨初中数学竞赛题）如图35-4，在△ABC 中，BD 、CE 为高，F 、G 分别为ED 、BC 的中点，O 为外心，求证：AO ∥FG . 证明 过A 作⊙O 的切线A T. ∵BD 、CE 为高，∴B 、C 、D 、E 四点共圆.∴∠TAC=∠ABC=∠ADE ∴AT ∥ED.又AO ⊥AT ，∴AO ⊥ED. 又∵G 为BC 中点，∴DG=21BC=EG . 而EF=DF ，∴FG ⊥ED.故AO ∥FG.例5（1990年全国初中数学竞赛题）已知在凸五边形ABCDE 中，∠BAE=3a,BC=CD=DE ，且∠BCO=∠CDE=180°-2a ，求证：∠BAC=∠CAD=∠DAE. 证明 连结BD 、CE. ∵BC=CD=DE ， ∠BCD=∠CDE ， ∴△BCD ≌△CDE. 又∠BCD=180°-2a, ∴∠CBD=∠CDB=∠DCE=∠DEC=a,∴B 、C 、D 、E 四点共圆，且BC=CD=DE=2a. ∴BCDE=6a.又∠BAE=3a ， ∴A 、B 、C 、D 、E 共圆. ∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=a.例6 （1988年广州等五市数学联赛题）如图35-6，AB 为定圆O 中的定弦，作⊙O 的弦C1D1，C2D2，…C1988D1988，对其中每一i （i=1，2，…,1988），CiDi 都被弦AB 平分于Mi.过Ci 、Di 分别作⊙O 的切线，两切线交于Pi.求证：点P1，P2，…，P1988与某定点等距离，并指出这定点是什么点.证明 连OC i 、OD i ，对每个i （i=1，2，…1988）， ∵C i D i 均被AB 平分于M i ，∴C i M i ·D i M i =AM i ·BM i . ① 又P i C i ,P i D i 分别切⊙O 于C i 、D i ，故知O 、C i 、P i 、D i 共圆，且OP i 通过C i D i 的中点M i . ∴C i M i ·D i M i =P i M i ·OM i . ② 由①、②得OM i ·M i P i =M i A ·M i B. ∴P i 和O 、A 、B 共圆.但O 、A 、B 为定点，∴P i 和⊙OAB 的圆心距离相等. 即点P 1，P 2，…，P 1988与定点等距离，这定点为⊙OAB 的圆心.例7若凸四边形两对角线的乘积等于它的两组对边乘积之和，则此四边形人接于圆.证明如图35-7，在凸四边形ABCD 中，设AC ·BD=AB ·CD+AD ·BC.（※）作∠ECD=∠ACB ，∠EBC=∠CAD ，于是△BEC ∽△ADC ，∴AC BCAD BE = ACBCDC EC = ② 由①得BE ·AC=AD ·BC. ③ 由②及∠1=∠2,可得△ABC ∽△DCE. ∴∠3=∠4，.DCACDE AB = 即 DE ·AC=AB ·DC ④ ③+④即有(BE+DE)·AC=AD ·BC+AB ·DC. ⑤ 比较⑤式与(※)式 得BE+DE=BD. 这说明，E 在BD 上，∠3与∠BDC 重合. ∴∠BDC=∠BAC.故A 、B 、C 、D 四点共圆. 此例是托勒密逆定理.1． 杂题例8（第1届美国数学邀请赛题）如图35-8，已知AD 、BC 是⊙O 的两条相交的弦，且B 在劣弧AD 上，⊙O 的半径为5，BC=6，AD 被BC 平分；又设从A 出发的弦只有AD 能被BC 等分，这样可以知道AB 劣弧对应的圆心角的正弦是一个有理数.如果把这个有理数化为最简分数n m，求mn.分析设AD 、BC 交于M ，M 为AD 中点，则点M 的轨迹是在A 点与⊙O 内切的半径为25的⊙P ，依题意BC 与⊙P 切于点M.要求mn ，须求sin ∠AOB=nm，亦是求cos ∠AOB 之值. 作ON ⊥BC 于N ，连OB ，则BN=BC 21=3，ON=.422=-BN OB 作PQ ⊥ON 于Q,连PM,则PQNM 为矩形,故有QN=PM=OP =21AO=25,OQ=ON-QN=,23 MN=PQ=,222=-OQ OP BM=BN-MN=1 BP=.22922=+PM BM在△POB 中,由余弦定理,cos ∠AOB=BOPO BP BO PO ⋅⋅-+2222=522)2921(5)25(222⋅⋅-+=2524,∴sin ∠AOB=AOB ∠-2cos 1=.257)2524(12=-∴mn=7×25=175.例9(1962年北京中学生数学竞赛题)任意剪六个圆形纸片放在桌面上,使得没有一个纸片的中心落在另一纸片上或被另一纸片盖住,然后用一枚针去世扎这一堆纸片.证明:不论针尖落在哪一点,总是不能一次把六个纸片全部扎中.分析 这命题等价于：平面上有六个圆，每个圆心都在其余各圆的外部，证明平面上任意一点都不会同时在这六个圆内部.证明 （反证法）如图35-9，设平面上有一点M 同时在这六个圆内部，连结六个圆心：MO 1，MO 2，…，MO 6.则∠O 1MO 2+∠O 2MO 3+…+∠O 6MO 1=360°.因此，至少有一个角不大于60°，不妨设∠O 1MO 2≤60°，即γ≤60°.又，α+β+γ=180°则α,β中必有一个不小于60°.不妨设β≥60°，则β≥γ.∴O 1O 2≤O 1M ＜r 1(r 1为圆⊙O 1的半径).故O 2在⊙O 1内，这与题设矛盾，这就证明了M 点不可能同时在六个圆的内部.例10（第21届国际中学生数学竞赛题）如图35-10，平面上两圆相交，其中一交点为 A.两动点各以匀速自A 点出发在不同的圆周上同向移动，这两点移动一周后同时返回到A 点.求证平面上有一定点P ，它不论在何时皆和两动点等距离.解设⊙O 1与⊙O 2相交于A 和A ′并设两动点Q 1和Q 2分别在⊙O 1和⊙O 2上，使∠AO 1Q 1=∠AO 2Q 2.连Q 1A ′Q 2A ′.因为圆周角等于同弧所对圆心角的一半， 故∠AA ′Q 1=∠21AO 1Q 1,∠AA ′Q 2=π-∠AXQ 2=π-21∠AO 2Q 2.∴∠AA ′Q 1+∠AA ′Q 2=π.即有Q 1、B 、Q 2三点共线.过A 点作MN ⊥AA ′分别交两圆于M 、N ，（如图35-11），设Q 1和Q 2表示两动点在任一时刻的位置.由圆内接四边形两对角互补可知∠MQ 1A ′=∠A ′Q 2N=.2π 作Q 1Q 的中垂线，交MN 于它的中点P ，点P 就是所求的定点.它显然和Q 1，Q 2等距离.后记;。
初中数学竞赛练习第11讲 圆(含解析)
第11讲圆一、模空题I.(2022·福建·九年级统考竞赛〉如1蜀，ABCD为圆。
的内按四边形，且AC..LBD，若AB=IO,CD=8，则阁。
的面积为一一一··B2.(2022·广东·九年级统考竞赛）古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图所示的几何图形，此图｜如三个半圆构成，三个半圆的直径分别为Rt-ABC的斜边βC，］豆角边AB,AC.若以AB,AC为直径的两个半阁的弧长总长度为2π，则以斜边BC为直径的半圆顶积的；最小值为·3.(2018·全国九年级竞赛〉已知D是..ABC内一点，E是AC的中点，AB=6,BC=IO，ζBAD＝ζBCD, LEDC=LABD，则DE＝－A5、』ε豆、C4.(2022谷·湖南长沙·八年级校联考竞赛）如图1～4，在旦角边分别为3和4ti甘直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，因10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，缸，缸，....S10，则S1+S2+S3+... +S10＝一一.,因l国2图3国45.216秋山东泰安·九年级党赛〉如图是“横店影视城”的困弧形门，妙可同学到影视城游玩，很想知边这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的因与水平地丽是相切的，，！也＂＇，（＇�＂＇咀f)cm,BD = 200 c m，且AB,CD与水平地商都是垂直，的根据以上数据，你帮助妙可同学计算这个回弧形门的最高点离地丽的高度是一一一一一6.215秋，山东ilfliifr·九年级党和已知正六边形的边心距为占，ljjl］它的周长是一一一·7.215:f)、山东临沂·九年级党赛〉如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的因心角为120。
’则因锥的母线长是·8. 215秋·山东泰安·九年级竞赛〉如图，直线AB与半径为2的。
初中数学竞赛：圆与圆(附练习题及答案)
初中数学竞赛：圆与圆圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有如下三种方法：1．通过两圆交点的个数确定；2．通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定；3．通过两圆的公切线的条数确定．为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】如图，⊙O l与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O l经过圆心O2，作⊙O2的直径BC交⊙O l于点D，EF为过点A的公切线，若O2D=22，那么∠BAF= 度．思路点拨直径、公切线、O2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连O2O l必过A点，先求出∠D O2A的度数．注：(1)两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通．同时，又是生成圆幂定理的重要因素．(2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集中，通过解直角三角形求解．【例2】如图，⊙O l与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O l 与⊙O2的半径之比为( )A．2：5 B．1：2 C．1：3 D．2：3思路点拨添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出∠CO l O2 (或∠DO2O l)的度数，为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的关系．【例3】如图，已知⊙O l与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O l上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O l于点N．(1)过点A作AE∥CN交⊙O l l于点E，求证：PA=PE；(2)连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长．思路点拨 (1)连AB，充分运用与圆相关的角，证明∠PAE=∠PEA；(2)PB·PC=PD·PA，探寻PN、PD、PA对应三角形的联系．【例4】如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连结OD并延长交大圆于点E，连结BE交AC于点F，已知AC=24，大、小两圆半径差为2．(1)求大圆半径长；(2)求线段BF的长；(3)求证：EC与过B、F、C三点的圆相切．思路点拨 (1)设大圆半径为R ，则小圆半径为R-2，建立R 的方程；(2)证明△EBC ∽△ECF ；(3)过B 、F 、C 三点的圆的圆心O ′，必在BF 上，连O ˊC ，证明∠O ′CE=90°．注：本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识．作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键． 【例5】 如图，AOB 是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O 1的圆心O 1在OA 上，并与弧AB 内切于点A ，半圆O 2的圆心O 2在OB 上，并与弧AB 内切于点B ，半圆O 1与半圆O 2相切，设两半圆的半径之和为x ，面积之和为y ． (1)试建立以x 为自变量的函数y 的解析式； (2)求函数y 的最小值．思路点拨 设两圆半径分别为R 、r ，对于(1)，)(2122r R y +=π，通过变形把R 2+r 2用“x =R+r ”的代数式表示，作出基本辅助线；对于(2)，因x =R+r ，故是在约束条件下求y 的最小值，解题的关键是求出R+r 的取值范围．注：如图，半径分别为r 、R 的⊙O l 、⊙O 2外切于C ，AB ，CM 分别为两圆的公切线，O l O 2与AB 交于P 点，则：(1)AB=2r R ；(2) ∠ACB=∠O l M O 2=90°； (3)PC 2=PA ·PB ；(4)sinP=rR rR +-； (5)设C 到AB 的距离为d ，则dR r 211=+．专题训练1．已知：⊙O l 和⊙O 2交于A 、B 两点，且⊙O l 经过点O 2，若∠AO l B=90°，则∠A O 2B 的度数是 ．2．矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切，点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围 ． 3．如图；⊙O l 、⊙O 2相交于点A 、B ，现给出4个命题：(1)若AC 是⊙O 2的切线且交⊙O l 于点C ，AD 是⊙O l 的切线且交⊙O 2于点D ，则AB 2=BC ·BD ； (2)连结AB 、O l O 2，若O l A=15cm ，O 2A=20cm ，AB=24cm ，则O l O 2=25cm ；(3)若CA 是⊙O l 的直径，DA 是⊙O 2 的一条非直径的弦，且点D 、B 不重合，则C 、B 、D 三点不在同一条直线上，(4)若过点A 作⊙O l 的切线交⊙O 2于点D ，直线DB 交⊙O l 于点C ，直线CA 交⊙O 2于点E ，连结DE ，则DE 2=DB ·DC ，则正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号) ．4．如图，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O l 与AB 切于点M ，设⊙O l 的半径为y ，AM 的长为x ，则y 与x 的函数关系是 ，自变量x 的取值范围是 ．5．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是( ) A ．2 B ．221+C ．231+D ．231+6．如图，已知⊙O l 、⊙O 2相交于A 、B 两点，且点O l 在⊙O 2上，过A 作⊙O l l 的切线AC 交B O l的延长线于点P ，交⊙O 2于点C ，BP 交⊙O l 于点D ，若PD=1，PA=5，则AC 的长为( ) A ．5 B ．52 C ．52+ D ．537．如图，⊙O l 和⊙O 2外切于A ，PA 是内公切线，BC 是外公切线，B 、C 是切点①PB=AB ；②∠PBA=∠PAB ；③△PAB ∽△O l AB ；④PB ·PC=O l A ·O 2A ． 上述结论，正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．两圆的半径分别是和r (R>r)，圆心距为d ，若关于x 的方程0)(222=-+-d R rx x 有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是( )A ．一定内切B ．一定外切C ．相交D ．内切或外切9．如图，⊙O l 和⊙O 2内切于点P ，过点P 的直线交⊙O l 于点D ，交⊙O 2于点E ，DA 与⊙O 2相切，切点为C ．（1）求证：PC 平分∠APD ； (2)求证：PD ·PA=PC 2+AC ·DC ； (3)若PE=3，PA=6，求PC 的长．10．如图，已知⊙O l 和⊙O 2外切于A ，BC 是⊙O l 和⊙O 2的公切线，切点为B 、C ，连结BA 并延长交⊙O l 于D ，过D 点作CB 的平行线交⊙O 2于E 、F ，求证：(1)CD 是⊙O l 的直径；(2)试判断线段BC 、BE 、BF 的大小关系，并证明你的结论．11．如图，已知A是⊙O l、⊙O2的一个交点，点M是 O l O2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O l、⊙O2于B、C．(1)求证：AB=AC；(2)若O l A切⊙O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d l、d2，求证：d l+d2=O1O2；(3)在(2)的条件下，若d l d2=1，设⊙O l、⊙O2的半径分别为R、r，求证：R2+r2= R2r2．12．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为．13．如图，7根圆形筷子的横截面圆半径为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为．14．如图，⊙O l和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦AB经过⊙O l的圆心O l，交⊙O l于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，则⊙O l与⊙O2的直径之比为( )A．2：7 B．2：5 C．2：3 D． 1：315．如图，⊙O l与⊙O2相交，P是⊙O l上的一点，过P点作两圆的切线，则切线的条数可能是( )A．1，2 B．1，3 C．1，2，3 D．1，2，3，416．如图，相等两圆交于A、B两点，过B任作一直线交两圆于M、N，过M、N各引所在圆的切线相交于C，则四边形AMCN有下面关系成立( )A．有内切圆无外接圆 B有外接圆无内切圆C．既有内切圆，也有外接圆 D．以上情况都不对17．已知：如图，⊙O与相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP 及其延长线交⊙P P于点D，E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F．（1）求证：BC是⊙P的切线；(2)若CD=2，CB=22，求EF的长；(3)若k=PE：CE，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形?若存在，求出是的值；若不存在，请说明理由．18．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．(1)若PC=PD，求PB的长；(2)试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？，如果存在，问这样的P点有几个?并求出PB的值；如果不存在，说明理由；(3)当点F在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少，或PC、PD 具有何种关系)时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与OB的位置关系，证明你的结论．19．如图，D、E是△ABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，∠DAE=∠CAF．(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；(2)若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长．20．问题：要将一块直径为2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．操作：方案一：在图甲中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求，画示意图) ．方案二；在图乙中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求：画示意图)；，探究：(1)求方案一中圆锥底面的半径；(2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；(3)设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明．参考答案。
全国初中数学竞赛《圆》历届真题
初中数学竞赛《圆》历届考题1（04）．D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点，使得ACB ADP ∠=∠，求PD PB的值.解：连结AP ，则ADP ACB APB ∠=∠=∠，所以，△APB ∽△ADP ， …………………………（5分） ∴AD APAP AB =，所以223AD AD AB AP =∙=，∴AD AP 3=， …………………………（10分） 所以3==ADAPPD PB . …………………………（15分）2、（05）已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A1，B1，C1点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点。
若点B 在△A1B1C1圆上，则∠ABC 等于（ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、90° 答：C解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r （r 为△ABC 的内切圆半径），所以 点I 同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC 的交点为D ，则IB ＝IA1＝2ID ，所以∠IBD ＝30°，同理，∠IBA ＝30°，于是，∠ABC ＝60°3．（06）正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则QAQC的值为（ ） （A ）132-（B ）32 （C ）23+（D ）23+答：D ．解：如图，设⊙O 的半径为r ，QO=m ，则QP=m ，QC=r ＋m ， QA=r －m ．在⊙O 中，根据相交弦定理，得QA ·QC=QP ·QD ．即 (r －m )(r ＋m )=m ·QD ，所以 QD=mm r 22-．连结DO ，由勾股定理，得QD 2=DO 2B 1C 1 （第3题图）＋QO 2，即22222m r mm r +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，解得r m 33=所以， 231313+=-+=-+=m r m r QA QC 4．（06）如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE ·AC=CE ·KB ．证明：因为AC ∥PB ，所以∠KPE=∠ACE ．又P A 是⊙O所以∠KAP=∠ACE ，故∠KPE=∠KAP ，于是△KPE ∽△KAP ，所以 KPKE KA KP =， 即 KA KE KP ⋅=2． 由切割线定理得 KA KE KB ⋅=2所以 KB KP =． …………………………10分因为AC ∥PB ，△KPE ∽△ACE ，于是AC KP CE PE = 故 ACKBCE PE =， 即 PE ·AC=CE ·KB ． ………………………………15分5（07）已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（ ）．（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 答：（B ）．解： 如图，连接BE ，因为△ABC 为锐角三角形，所以BAC ∠，ABE ∠均为锐角．又因为⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦，所以BAC ABE ∠=∠． 于是，2BEC BAC ABE BAC ∠=∠+∠=∠．若△ABC 的外心为1O ，则12B O C B A C ∠=∠，所以，⊙O 一定过△ABC的外心．故选（B ）．6．已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C ；以点B 为圆心，BP 为半径作⊙B ，⊙B 与半圆O 相交于点D ，且线段（第4题）C（第3题答案图）CD 的中点为M ．求证：MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．证明：如图，连接AC ，AD ，BC ，BD ，并且分别过点C ，D 作AB为,EF ，则CE ∥DF ．因为AB是⊙O 的直径，所以90ACB ADB ∠=∠=和Rt △ABD中，由射影定理得22PA AC AE AB==⋅，22PB BD BF AB ==⋅． ……………5分两式相减可得()22PA PB AB AE BF -=-，又 ()22()()PA PB PA PB PA PB AB PA PB -=+-=-， 于是有 AE BF PA PB -=-，即PA AE PB BF -=-，所以PE PF =，也就是说，点P 是线段EF 的中点．因此，MP 是直角梯形CDFE 的中位线，于是有MP AB ⊥，从而可得MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．7．如图，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线上，且满足DE ADCF BC=．若CD ，FE 的延长线相交于点G ，△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连接P A ，PB ，PC ，PD ．求证：（1）AD PDBC PC=； （2）△PAB ∽△PDC ．证明：（1）连接PE ，PF ，PG ，因为PDG PEG ∠=∠， 所以PDC PEF ∠=∠．又因为PCG PFG ∠=∠，所以△PDC ∽△PEF ，于是有,PD PECPD FPE PC PF=∠=∠，从而△PDE ∽△PCF ，所以PD DE PC CF =．又已知DE AD CF BC =，所以，AD PDBC PC=． ………………10分 （2）由于PDA PGE PCB ∠=∠=∠，结合（1）知，△PDA ∽△PCB ，从而有,PA PDPB PC= DPA CPB ∠=∠，所以A P B D P ∠=∠，因此△PAB ∽△PDC ． ………………15分8、△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心l 作DE ∥BC ，分别与AB 、AC 相交于点D ，E ，则DE 解：如图，设△ABC 的三边长为,,a b c ， 内切圆l 的半径为r ，BC 边上的高为a h ，则C（第8题）11()22a ABC ah S a b c r ∆==++，所以a r a h a b c=++， 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此,a a h r DEh BC-= 所以DE ＝()(1)(1)a a a h r r a a b c a a a h h a b c a b c-+⋅=-=-=++++ 故 DE ＝8(79)168796⨯+=++。
历届初中数学竞赛试题及答案
历届初中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是多少？A. 4B. -4C. 4 或 -4D. 16答案：C3. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A4. 一个数列1, 1, 2, 3, 5, ...，每个数都是前两个数的和，这个数列的第6个数是多少？A. 8B. 13C. 21D. 34答案：B5. 如果一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 100πD. 125π答案：B二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的绝对值是它本身，这个数是________。
答案：非负数7. 一个长方体的长、宽、高分别是2cm、3cm和4cm，它的体积是________。
答案：24立方厘米8. 一个分数的分子和分母同时乘以一个相同的数，这个分数的值________。
答案：不变9. 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是________。
答案：1，-1，010. 一个圆的周长是2πr，其中r是圆的半径，π是圆周率，π的值约等于________。
答案：3.14三、解答题（每题5分，共20分）11. 一个班级有50名学生，其中30名学生参加了数学竞赛，20名学生参加了英语竞赛，并且有5名学生同时参加了数学和英语竞赛。
请问只参加数学竞赛的学生有多少人？答案：只参加数学竞赛的学生有30-5=25人。
12. 一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。
答案：等差数列的公差d=5-2=3，第10项a10=a1+(10-1)*d=2+9*3=29。
13. 一个直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，求另一条直角边长。
答案：根据勾股定理，另一条直角边长b=√(13²-5²)=12。
简论与圆有关的竞赛题
Ａ Ａ 且 Ｂ Ｂ＝ ， Ｄ＝２／ ， 四边形 Ａ Ｃ ． 求 ｘ Ｂ Ｄ的面 积．
（ ０ ０年 全 国初 中数 学竞赛 试题 ） ２０ 解
因 此
Ｏ ， Ｂ＝２则 Ｅ＝ Ａ ， ０ ＝ ＋ Ｓ＝ （ ） Ｙ ， Ｙ ０＋ ， 因此 ｆ＝ｙ ＋（ ） Ｙ ＋０ ＋ ａ ＝ ０＋ ＝ ２ ｘ＋
Ａ Ｃ与 Ｅ 的交 点 ０是 圆心 ， Ｈ 即
ＯＥ ＝ＯＦ．
ｓ／ Ｄ， ｔ ＃Ｃ
从 而 △０ △Ｃ Ｄ， ＿ 一 Ｐ Ｐ 于是
ｃＤ ＣＰ
—Ｏ ＰＯ Ｂ— —— ‘
目ｎ
因为
所 以
又
／Ｃ Ｅ＝ ０ 一 Ｃ＝３ 。 Ｏ ９。 ０，
Ｏ Ｆ＝ ５ ． Ｅ ７ ０
例 ２ 如图 ２ 已知直径与等边三角形 Ａ Ｃ的 ， Ｂ
高相等 的 圆与 边 Ａ 和 Ｂ Ｂ Ｃ相 切 于点 Ｄ和 Ｅ， 与边 Ａ Ｃ相交 于点 Ｆ和 Ｇ 求 ／Ｄ Ｆ的度数． ， Ｅ
（ ０ ７年 全 国数 学竞赛 （ 江赛 区） 赛试题 ） ２０ 浙 初
这一类计算题通常计算的是长度、 角度、 面积、 比值 、 最值等 ， 虽然计算的对象各有所别 ， 但应用到 的基础 知识 与方法 同样 具有 圆问题 的思维 特色． 例 １ 如 图 １ 已知四边形 Ａ Ｃ ， Ｂ Ｄ内接于直径 为 ３的圆 ０， 角线 Ａ 对 Ｃ是 直 径 ， 角 线 Ａ 对 Ｃ和 Ｂ Ｄ 的交 点是 Ｐ，Ｂ＝ Ｄ， Ｐ ０ ６ 求 四边形 Ａ Ｃ Ａ Ｂ 且 Ｃ＝ ． ， ＢＤ
有旋 转对称 性 ， 这是 圆 的最 重要 的性质 ； 、 弧 弦和直 径 的关 系（ 径定 理 ） 圆心 角 、 垂 ， 圆周 角 、 弦切 角 以
历年(95-10)全国初中数学竞赛联赛几何
历年(95-10)年全国数学竞赛(联赛)分类题型详解- 几何(1)选择题(30道题)1. 如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［]A．62πB．63π C．64πD．65π1995年全国初中数学联赛试题答案: D详解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由AB2＋AD2 ＝252＋602 ＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．2. 设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定1995年全国初中数学联赛试题答案: B详解1: 不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．详解2: 若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B．3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于[ ]1996年全国初中数学联赛试题答案: B4．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的[ ]A．内心B．外心 C．重心 D．垂心1996年全国初中数学联赛试题答案: A5．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[ ]A．4个B．8个C．12个D．24个1996年全国初中数学联赛试题答案: C6. 在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）181998年全国数学联赛试卷答案: C详解: 连ED，则又因为DE是△ABC两边中点连线，所以故选C．7．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．A．11 B．12 C．13 D．141999年全国初中数学竞赛答案: C8．在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（）．A．30 B．36 C．72 D．1251999年全国初中数学竞赛答案: B9．在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形，这样的不同的点P 的个数为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．51999年全国初中数学竞赛答案: D10. 设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a b a b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是（ ）。
圆的初中数学竞赛题选
圆的初中数学竞赛题选文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]关于圆的问题圆的有关问题是与直线型紧密结合在一起的，因而综合性强，富于变化.圆的有关计算与证明例1 圆内接八边形的四条边长为1，另四条边长为2.求此八边形的面积.例2 在边长为1cm的正五边形,去掉所有与五边形各顶点距离都小于1c m的点,求余下部分的面积.例3三个全等的圆有一个公共点O，并且都在一个已知△ABC内.每个圆与△ABC 的两边相切.求证：△ABC的内心、外心和O点共线.例4如图35-4，在△ABC中，BD、CE为高，F、G分别为ED、BC的中点，O为外心，求证：AO∥FG.例5已知在凸五边形ABCDE中，∠BAE=3a,BC=CD=DE，且∠BCO=∠CDE=180°-2a，求证：∠BAC=∠CAD=∠DAE.例6如图35-6，AB 为定圆O 中的定弦，作⊙O 的弦C 1D 1，C 2D 2，…C 1988D 1988，对其中每一i （i=1，2，…,1988），C i D i 都被弦AB 平分于M i .过C i 、D i 分别作⊙O 的切线，两切线交于P i .求证：点P 1，P 2，…，P 1988与某定点等距离，并指出这定点是什么点.例7若凸四边形两对角线的乘积等于它的两组对边乘积之和，则此四边形内接于圆. 托勒密逆定理例8如图35-8，已知AD 、BC 是⊙O 的两条相交的弦，且B 在劣弧AD 上，⊙O 的半径为5，BC=6，AD 被BC 平分；又设从A 出发的弦只有AD 能被BC 等分，这样可以知道AB 劣弧对应的圆心角的正弦是一个有理数.如果把这个有理数化为最简分数nm，求mn. 例9(1962年北京中学生数学竞赛题)任意剪六个圆形纸片放在桌面上,使得没有一个纸片的中心落在另一纸片上或被另一纸片盖住,然后用一枚针去世扎这一堆纸片.证明:不论针尖落在哪一点,总是不能一次把六个纸片全部扎中.例10（第21届国际中学生数学竞赛题）如图35-10，平面上两圆相交，其中一交点为A.两动点各以匀速自A 点出发在不同的圆周上同向移动，这两点移动一周后同时返回到A 点.求证平面上有一定点P ，它不论在何时皆和两动点等距离.关于圆的问题例1 （第3届全国部分省市初中数学通讯赛试题）圆内接八边形的四条边长为1，另四条边长为2.求此八边形的面积.解 由弓形面积公式知所求的八边形的面积与八边形各边排列的顺序无关.不妨设八边形ABCDEFGH 如图35-1，且有AB=CD=EF=GH=2， BC=DE=FG=HA=1. 双向延长AH 、BC 、DE 、FG得正方形KLMN.故S 八边形ABCDEFGH =S 正方形KLMN -4S △ABK=.245)2(214)122(22+=⋅-+例2 （第19届全苏中学生竞赛题）在边长为1cm 的正五边形,去掉所有与五边形各顶点距离都小于1cm 的点,求余下部分的面积.解 以A 为圆心,1cm 长为半径的扇形ABE 内的点到点A 的距离都小于1cm.分别以正五边形的各顶点为圆心,1cm 长为半径作弧,以五段圆弧为边界的“曲边五边形”MNPQR 内的点到正五边形ABCDE 各顶点的距离小于1cm.五边形内余下的部分是五个等积的“曲边三角形”BMC 、CND 、DPE 、EQA 、ARB （如图35-2）.考察“曲边三角形”BMC 与以∠BAM 为圆心角(等于60°)的扇形BAM 的面积之和,恰等于等边三角形ABM 与以∠CBM 为圆心角（等于108°-60°=48°）的扇形CBM 的面积之和.所以，所要求的面积为： 5S 曲边△BMC=5(S △ABM +S 扇形CBM -S 扇形BAM ) =5)615243(ππ-+=).(64352cm π-例3 （第22届国际数学竞赛题）三个全等的圆有一个公共点O ，并且都在一个已知△ABC 内.每个圆与△ABC 的两边相切.求证：△ABC 的内心、外心和O 点共线.证明 如图35-3,设三等圆为⊙A ′、⊙B ′和⊙C ′.故A ′B ′∥AB ，B ′C ′∥BC ，C ′A ′∥CA.于是△A ′B ′C ′∽△ABC.由于三等圆分别与△ABC 的两边相切，故AA ′、BB ′、CC ′相交于△ABC 内心I.显然，I 也是△A ′B ′C ′的内心.因此，△ABC 的外心E ，△A ′B ′C ′的外心又O 是三等圆的公共点，OA ′=OB ′=OC ′，因此O 即是△A ′B ′C ′的外心E ′.故E ，O 、I 三点共线.四点共圆例4 （1980年哈尔滨初中数学竞赛题）如图35-4，在△ABC 中，BD 、CE 为高，F 、G 分别为ED 、BC 的中点，O 为外心，求证：AO ∥FG.证明 过A 作⊙O 的切线AT.∵BD 、CE 为高，∴B 、C 、D 、E 四点共圆.∴∠TAC=∠ABC=∠ADE∴AT ∥ED.又AO ⊥AT ，∴AO⊥ED.又∵G 为BC 中点，∴DG=21BC=EG.而EF=DF ，∴FG ⊥ED.故AO∥FG.例5（1990年全国初中数学竞赛题）已知在凸五边形ABCDE 中，∠BAE=3a,BC=CD=DE ，且∠BCO=∠CDE=180°-2a ，求证：∠BAC=∠CAD=∠DAE.证明 连结BD 、CE.∵BC=CD=DE ，∠BCD=∠CDE ，∴△BCD ≌△CDE.又∠BCD=180°-2a,∴∠CBD=∠CDB=∠DCE=∠DEC=a,∴B 、C 、D 、E 四点共圆，且BC=CD=DE=2a.∴BCDE=6a.又∠BAE=3a ， ∴A 、B 、C 、D 、E 共圆.∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=a.例6 （1988年广州等五市数学联赛题）如图35-6，AB为定圆O中的定弦，作⊙O的弦C1D1，C2D2，…C1988D1988，对其中每一i（i=1，2，…,1988），CiDi都被弦AB平分于Mi.过Ci、Di分别作⊙O的切线，两切线交于Pi.求证：点P1，P2，…，P1988与某定点等距离，并指出这定点是什么点.证明连OCi 、ODi，对每个i（i=1，2，…1988），∵Ci Di均被AB平分于Mi，∴Ci Mi·DiMi=AMi·BMi.①又PiCi,PiDi分别切⊙O于Ci、Di，故知O、Ci、Pi、Di共圆，且OPi通过CiDi的中点Mi.∴CiMi·DiMi=PiMi·OMi. ②由①、②得OMi·MiPi=MiA·MiB.∴Pi和O、A、B共圆.但O、A、B为定点，∴Pi和⊙OAB的圆心距离相等.即点P1，P2，…，P1988与定点等距离，这定点为⊙OAB的圆心.例7若凸四边形两对角线的乘积等于它的两组对边乘积之和，则此四边形人接于圆.证明如图35-7，在凸四边形ABCD中，设AC·BD=AB·CD+AD·BC.（※）作∠ECD=∠ACB，∠EBC=∠CAD，于是△BEC∽△ADC，∴ACBCADBE=ACBCDCEC=②由①得BE·AC=AD·BC. ③由②及∠1=∠2,可得△ABC∽△DCE.∴∠3=∠4，.DCACDEAB=③+④即有(BE+DE)·AC=AD ·BC+AB ·DC. ⑤比较⑤式与(※)式 得BE+DE=BD. 这说明，E 在BD 上，∠3与∠BDC 重合. ∴∠BDC=∠BAC.故A 、B 、C 、D 四点共圆. 此例是托勒密逆定理.1．杂题例8（第1届美国数学邀请赛题）如图35-8，已知AD 、BC 是⊙O 的两条相交的弦，且B 在劣弧AD 上，⊙O 的半径为5，BC=6，AD被BC 平分；又设从A 出发的弦只有AD 能被BC 等分，这样可以知道AB 劣弧对应的圆心角的正弦是一个有理数.如果把这个有理数化为最简分数n m，求mn.分析设AD 、BC 交于M ，M 为AD 中点，则点M 的轨迹是在A 点与⊙O 内切的半径为25的⊙P ，依题意BC 与⊙P 切于点M. 要求mn ，须求sin ∠AOB=nm，亦是求cos ∠AOB 之值.作ON ⊥BC 于N ，连OB ，则 BN=BC 21=3，ON=.422=-BN OB作PQ ⊥ON 于Q,连PM,则PQNM 为矩形,故有QN=PM=OP=21AO=25,OQ=ON-QN=,23 MN=PQ=,222=-OQ OP BM=BN-MN=1 BP=.22922=+PM BM 在△POB 中,由余弦定理, cos ∠AOB=BOPO BP BO PO⋅⋅-+2222=5252)2921(5)25(222⋅⋅-+=2524,∴sin ∠AOB=AOB ∠-2cos 1=.257)2524(12=-∴mn=7×25=175.例9(1962年北京中学生数学竞赛题)任意剪六个圆形纸片放在桌面上,使得没有一个纸片的中心落在另一纸片上或被另一纸片盖住,然后用一枚针去世扎这一堆纸片.证明:不论针尖落在哪一点,总是不能一次把六个纸片全部扎中.分析 这命题等价于：平面上有六个圆，每个圆心都在其余各圆的外部，证明平面上任意一点都不会同时在这六个圆内部. 证明 （反证法）如图35-9，设平面上有一点M 同时在这六个圆内部，连结六个圆心： MO 1，MO 2，…，MO 6.则∠O 1MO 2+∠O 2MO 3+…+∠O 6MO 1=360°.因此，至少有一个角不大于60°，不妨设∠O1MO2≤60°，即γ≤60°.又，α+β+γ=180°则α,β中必有一个不小于60°.不妨设β≥60°，则β≥γ.∴O1O2≤O1M＜r1(r1为圆⊙O1的半径).故O2在⊙O1内，这与题设矛盾，这就证明了M点不可能同时在六个圆的内部.例10（第21届国际中学生数学竞赛题）如图35-10，平面上两圆相交，其中一交点为A.两动点各以匀速自A点出发在不同的圆周上同向移动，这两点移动一周后同时返回到A点.求证平面上有一定点P，它不论在何时皆和两动点等距离.解设⊙O1与⊙O2相交于A和A′并设两动点Q1和Q2分别在⊙O1和⊙O2上，使∠AO1Q1=∠AO2Q2.连Q1A′Q2A′.因为圆周角等于同弧所对圆心角的一半，故∠AA′Q1=∠21AO1Q1,∠AA′Q2=π-∠AXQ2=π-21∠AO2Q2.∴∠AA′Q1+∠AA′Q2=π.即有Q1、B、Q2三点共线.过A点作MN⊥AA′分别交两圆于M、N，（如图35-11），设Q1和Q2表示两动点在任一时刻的位置.由圆内接四边形两对角互补可知∠MQ1A′=∠A′Q2N=.2作Q1Q的中垂线，交MN于它的中点P，点P就是所求的定点.它显然和Q1，Q2等距离.后记;。
全国初中数学竞赛圆历届真题
初中数学竞赛《圆》历届考题外接圆上一是△ABC的边．D是△ABCAB上的一点，使得AB=3AD，P1（04）PB的值.点，使得，求ACBADP???PD解：连结AP，则，ADP??ACB?APB??分）…………………………（5APB ∽△ADP，所以，△ABAP∴，?APAD22，所以AD3AB?ADAP??AP?3AD，∴…………………………（10分）PBAP.…………………………（15所以分）3??PDAD BA12、（05）已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1，B1，C1分别是D 点I关于边BC，CA，AB的对称点。
若点B在△A1B1C1的外接C1圆上，则∠ABC等于（）IA、30°B、45°C、60°D、90° AC答：CB1解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r（r为△ABC的内切圆半径），所以点I同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC的交点为D，则IB＝IA1 2ID，＝°°，同理，∠所以∠IBD＝30IBA＝30°，于是，∠ABC＝60，．若QP=QOQ上，连结DP，交AC于点AB，正方形．3（06）ABCD内接于⊙O点P在劣弧QC的值为（则）D CQA3?32?2323?12）））（D（B （A（）C O．答：D QBAm＋，QP=mr的半径为，QO=m，则，QC=rO解：如图，设⊙P．QD·QC=QP·QA中，根据相交弦定理，得O．在⊙m－QA=r题图）3（第22m?r22－DOQD=QD=．连结DOr，由勾股定理，得m)(r＋m)=m·QD，所以即(m222??mr?313?QCr?m222??rm?mr??2?3???即＋QO，解得所以，，??3m mQAr?13???A，B．过点外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A064．（）如图，点P为⊙O于点AE交PBO于点E；连结AE，并延长作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙··KBK．求证：PE．AC=CE P∥O的切线，ACE．又PA证明：因为AC是⊙PB，所以∠KPE=∠KAP，于是∠ACE，故∠KPE=∠所以∠KAP=K，∽△KAP△KPEEKPKE2KP?KE?KA?．，即所以KAKPBA2KB?KE?KA由切割线定理得OKP?KB．…………………………10分所以∥PB，△KPE∽△ACE，于是因为ACPEKPPEKB??，故 CACCECEAC··（第4题）………………………………即PE15AC=CE分KB．OABC经过点B，C，且与边AB，AC5（07）已知△分别相交于点为锐角三角形，⊙D，OOABCADE的（一定经过△E．若⊙）的半径与△．的外接圆的半径相等，则⊙（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心答：（B）．ABC?BAC，为锐角三角形，所以解：如图，连接BE，因为△OABE?ADE的外接圆的半径相等，的半径与△均为锐角．又因为⊙?BAC??ABEDE．为两圆的公共弦，所以且?BEC??BAC??ABE?2?BAC．于是，（第3题答案图）OABCABC2?AC?BBOC?O一定过△若△的外心为，则⊙，所以，11 B的外心．故选（）．上的任意一点．以AB为直径P的直径，点O为半圆AB．已知6．点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切．证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别（第13A题答案图）E,F?ACB??ADB?90?ABC△所以在Rt．，则CE ∥DF．因为AB是⊙O的直径，为22?AE??ACPAAB ABD，定理和Rt△得中，由射影22?BF??BDPBAB．……………5分??22BFABPA??PBAE?，两式相减可得??22PBPAPB)?AB?)(PA?PB?(PA?PBPA?又，AE?BF?PA?PBPA?AE?PB?BF，，即于是有CDFEPF?PE的中位是直角梯形的中点．因此，MP，也就是说，点P所以是线段EF AB?MP 相切．BA和⊙，从而可得MP线，于是有分别与⊙DEAD?．若的延长线上，且满足的边AD，BCF7．如图，点E，分别在四边形ABCD CFBC CDGDEGCFGFE的外接圆的另一个交点为点，，△的延长线相交于点的外接圆与△P，连接PA，PB，PC，PD．求证：ADPD?（1）；BCPC PDCPAB．∽△（2）△?PDG??PEG，，因为1）连接PE，PF，PG证明：（?PDC??PEF．所以?PCG??PFGPDCPEF，∽△，所以△又因为PDPE?,?CPD??FPE PCFPDE，所∽△于是有，从而△PFPCPDDEADADPDDE???分………………10 ，所以，．以．又已知PCBCBCPCCFCF PCB?PCB??PGE??PDAPDA，从而有）由于，结合（1）知，△∽△（2PDPA,?PDB????DPA?CPB?APPAB以△所，，因此△∽PCPB PDC………………15分．8、△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心l作DE∥BC，16A分别与AB、AC相交于点D，E，则DE的长为。
九年级数学圆竞赛题
九年级数学竞赛题一、选择题 1．若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），则此圆的半径为（ ）A ．2b a +B ．2b a -C ．22b a b a -+或D ．b a b a -+或2．如图24—A —1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．83．已知点O 为△ABC 的外心，若∠A=80°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．40° B ．80° C ．160° D ．120°4．如图24—A —2，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=40°，则∠OBC 的度数为（ ） A ．20° B ．40° C ．50° D ．70°5．如图24—A —3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位6．如图24—A —4，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B=60°，则∠A 等于（ ）A ．80°B ．50°C ．40°D ．30°7．如图24—A —5，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5，则△PCD 的周长为（ ） A ．5 B ．7 C ．8 D ．108．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m ，母线长为3m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（ ） A ．26m B ．26m π C ．212m D ．212m π 9．如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（ ）A ．16πB ．36πC ．52πD ．81π图24—A —5图24—A —6图24—A —1图24—A —2 图24—A —3 图24—A —410．已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC 的内切圆的半径为（ ）A ．310B ．512C ．2D ．311．如图24—A —7，两个半径都是4cm 的圆外切于点C ，一只蚂蚁由点A 开始依A 、B 、C 、D 、E 、F 、C 、G 、A 的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走2006πcm 后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ）A ．D 点B ．E 点C ．F 点D ．G 点二、填空题 12．如图24—A —8，在⊙O 中，弦AB 等于⊙O 的半径，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，则∠AOC= 。
全国初中数学联赛真题 圆(09-18)
5.如图，在△ABC中，AB＞AC，∠BAC=45°，E是∠BAC的外角平分线与△ABC的外接圆的交点，点F在AB上且EF⊥AB.已知AF=1，BF=5，求△ABC的面积.
2016年联赛初三卷
6.如图，已知三个等圆⊙O1，⊙O2，⊙O3有公共点O，点A、B、C是这些圆的其他交点，则点O一定是△ABC的（）
2010年
第2试A卷
29．已知等腰三角形△ABC中，AB=AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD∥AC，交⊙I于D点.证明：PD是⊙I的切线.
2009年第1试
30．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CFE=（）
答案：48°
第2试A卷
18.如图，在□ABCD中，E为对角线BD上一点，且满足∠ECD=∠ACB，AC的延长线与△ABD的外接圆交于点F.证明：∠DFE=∠AFB.
第2试B卷
19.如图，已知O为△ABC的外心，AB=AC，D为△OBC的外接圆上一点，过点A作直线OD的垂线，垂足为H.若BD=7，DC=3，求AH.
A.12 B.15 C.16 D.18
第2试A卷
9.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD⊥AB于点D，点E在BD上，AE=AC，四边形DEFM是正方形，AM的延长线与⊙O交于点N.证明：FN=DE.
第2试A卷
第2试B卷（解答用到四点共圆）
10.如图，在等腰△ABC中，AB=AC= ，D为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD的对称点为点E，EB的延长线与AD的延长线交于点F，求AD·AF的值.
第2试A卷
27.如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对角线AC，BD交于点S，且DS=2SB，P为AC的中点.求证：（1）∠PBD=30°；（2）AD=DC.
圆——竞赛题
第7题图圆中的竞赛例题与习题1．已知:如图,△ABC 的外接圆直径AE 交BC 于D.求证：.DEAD tgC tgB =⋅2．G 是ΔABC 的重心，过A 和G 作圆与BG 相切于G ，延长CG 交圆于D ，求证：DG CG AG ∙=23．在锐角ΔABC 的BC 边上取D 、E 两点，使∠BAD=∠CAE ，EM ⊥AB 于M ，EN ⊥AC 于N ，AD 的延长线交ΔABC 的外接圆于P ，求证：BAC AC AB MN AP ∠∙∙=∙sin 。
4．⊙O 半径为2，半径OA ⊥OB ，C 是半径OB 上异于O 、B 的任一点，AC 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线交OB 的延长线于E ，设OC=x ，DE=y ，点C 是否存在这样的位置，使ΔBCD ∽ΔDCE ？若存在，求出此时2tan E ∠的值；若不存在，请说明理由。
5．（2004年全国初中数学联赛成都初赛）如图，不等边ΔABC 内接于⊙O ，I 是其内心并且AI ⊥OI 。
求证：AB+AC=2BC 6．（1999年全国初中数学联赛）如图，设△ABC 是直角三角形，点D 在斜边BC 上，BD ＝4DC 。
已知圆过点C 且与AC 相交于F ，与AN 相切于AB 的中点G 。
求证：AD ⊥BF 。
7．（1995年全国初中数学联赛）已知∠ACE ＝∠CDE ＝90°，点B在CE 上，CA ＝CB ＝CD ，经A 、C 、D 三点的圆交AB 于F （如图）求证F 为△CDE 的内心。
8．（2003年全国初中数学联赛天津复赛）如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P ．问EP 与PD 是否相等？证明你的结论．第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图 第6题图 第8题图PE DCBA O9．（2004年全国初中数学竞赛）D 是△ABC 边AB 上的一点，使得AB ＝3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点（P 在弧AC 上），使得∠ADP ＝∠ACB ，求PB/PD 的值。
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初中数学竞赛《圆》历届考题1（04）．D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点，使得ACB ADP ∠=∠，求PD PB的值.解：连结AP ，则ADP ACB APB ∠=∠=∠，所以，△APB ∽△ADP ， …………………………（5分） ∴AD APAP AB =，所以223AD AD AB AP =∙=，∴AD AP 3=， …………………………（10分） 所以3==ADAPPD PB . …………………………（15分）2、（05）已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A1，B1，C1点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点。
若点B 在△A1B1C1圆上，则∠ABC 等于（ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、90° 答：C解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r （r 为△ABC 的内切圆半径），所以 点I 同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC 的交点为D ，则IB ＝IA1＝2ID ，所以∠IBD ＝30°，同理，∠IBA ＝30°，于是，∠ABC ＝60°3．（06）正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则QAQC的值为（ ） （A ）132-（B ）32 （C ）23+（D ）23+答：D ．解：如图，设⊙O 的半径为r ，QO=m ，则QP=m ，QC=r ＋m ， QA=r －m ．在⊙O 中，根据相交弦定理，得QA ·QC=QP ·QD ．即 (r －m )(r ＋m )=m ·QD ，所以 QD=mm r 22-．连结DO ，由勾股定理，得QD 2=DO 2B 1C 1 （第3题图）＋QO 2，即22222m r mm r +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，解得r m 33=所以， 231313+=-+=-+=m r m r QA QC 4．（06）如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE ·AC=CE ·KB ．证明：因为AC ∥PB ，所以∠KPE=∠ACE ．又P A 是⊙O所以∠KAP=∠ACE ，故∠KPE=∠KAP ，于是△KPE ∽△KAP ，所以 KPKE KA KP =， 即 KA KE KP ⋅=2． 由切割线定理得 KA KE KB ⋅=2所以 KB KP =． …………………………10分因为AC ∥PB ，△KPE ∽△ACE ，于是AC KP CE PE = 故 ACKBCE PE =， 即 PE ·AC=CE ·KB ． ………………………………15分5（07）已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（ ）．（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 答：（B ）．解： 如图，连接BE ，因为△ABC 为锐角三角形，所以BAC ∠，ABE ∠均为锐角．又因为⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦，所以BAC ABE ∠=∠． 于是，2BEC BAC ABE BAC ∠=∠+∠=∠．若△ABC 的外心为1O ，则12B O C B A C ∠=∠，所以，⊙O 一定过△ABC的外心．故选（B ）．6．已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C ；以点B 为圆心，BP 为半径作⊙B ，⊙B 与半圆O 相交于点D ，且线段（第4题）C（第3题答案图）CD 的中点为M ．求证：MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．证明：如图，连接AC ，AD ，BC ，BD ，并且分别过点C ，D 作AB为,EF ，则CE ∥DF ．因为AB是⊙O 的直径，所以90ACB ADB ∠=∠=和Rt △ABD中，由射影定理得22PA AC AE AB==⋅，22PB BD BF AB ==⋅． ……………5分两式相减可得()22PA PB AB AE BF -=-，又 ()22()()PA PB PA PB PA PB AB PA PB -=+-=-， 于是有 AE BF PA PB -=-，即PA AE PB BF -=-，所以PE PF =，也就是说，点P 是线段EF 的中点．因此，MP 是直角梯形CDFE 的中位线，于是有MP AB ⊥，从而可得MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．7．如图，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线上，且满足DE ADCF BC=．若CD ，FE 的延长线相交于点G ，△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连接P A ，PB ，PC ，PD ．求证：（1）AD PDBC PC=； （2）△PAB ∽△PDC ．证明：（1）连接PE ，PF ，PG ，因为PDG PEG ∠=∠， 所以PDC PEF ∠=∠．又因为PCG PFG ∠=∠，所以△PDC ∽△PEF ，于是有,PD PECPD FPE PC PF=∠=∠，从而△PDE ∽△PCF ，所以PD DE PC CF =．又已知DE AD CF BC =，所以，AD PDBC PC=． ………………10分 （2）由于PDA PGE PCB ∠=∠=∠，结合（1）知，△PDA ∽△PCB ，从而有,PA PDPB PC= DPA CPB ∠=∠，所以A P B D P ∠=∠，因此△PAB ∽△PDC ． ………………15分8、△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心l 作DE ∥BC ，分别与AB 、AC 相交于点D ，E ，则DE 解：如图，设△ABC 的三边长为,,a b c ， 内切圆l 的半径为r ，BC 边上的高为a h ，则C（第8题）11()22a ABC ah S a b c r ∆==++，所以a r a h a b c=++， 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此,a a h r DEh BC-= 所以DE ＝()(1)(1)a a a h r r a a b c a a a h h a b c a b c-+⋅=-=-=++++ 故 DE ＝8(79)168796⨯+=++。
9、已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1，以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ B ）。
A、B 、1 C、D 、a 解：如图，连接OE ，OA ，OB ，设∠D ＝a ，则 ∠ECA ＝120°－a ＝∠EAC又因为∠ABO ＝11(601802)12022ABD a a ∠=︒+︒-=︒-所以 △ACE ≌△ABO ，于是AE ＝OA ＝110．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AHAB的值为 ．解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ．由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EF A 中，90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠ 所以Rt△FHA∽Rt△EF A，AH AF AF AE =.而AF AB =，所以AH AB 13=.（第9题）11（10）．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证： tan EFPAD BC∠=． 证明：如图，连接ED ，FD . 因为BE 和CF 都是直径，所以ED ⊥BC ， FD ⊥BC ，因此D ，E ，F 三点共线. …………（5分） 连接AE ，AF ，则AEF ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠，所以，△ABC ∽△AEF . …………（10分）作AH ⊥EF ，垂足为H ，则AH =PD . 由△ABC ∽△AEF 可得EFAHBC AP =， 从而E FP DB CA P=， 所以 t a n P D E FPAD AP BC∠==. …………（20分）12（11）、如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点。
证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q连结AH ，BD ，QC ，QH∵AB 为直径 ∴∠ADB ＝∠BDQ ＝900 ∴BQ 为⊙2O 的直径 于是CQ ⊥BC ，BH ⊥HQ∵点H 为△ABC 的垂心 ∴AH ⊥BC ，BH ⊥AC ∴AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACHQ 为平行四边形 则点P 为CH 的中点。
A。