高二数学导数的运算法则PPT教学课件
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[f1(x)·f2(x)·f3(x)…fn(x)]′ ＝ f1′(x)f2(x)f3(x) ＋ …fn(x)
＋f1(x)f2′(x)f3(x)f4(x)…fn(x)＋…＋f1(x)f2(x)…fn′(x)
f′(x)±g′(x)
• 1 ． 设 函 数 ff(′(xx))·g、(x)＋g(f(xx))·g是′(x) 可 导 函 数 ，
(4)y＝xtanx－co2sx.
• [解析] (1)方法一：y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋ (x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝ 3x2＋2x－1.
• 方法二：y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x －1，
• y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1. • (＋2()3xy)2y′c＝′o＝s(xx.21xs＋inx22x＋)′x＝33′(x＝2)(′xs－i1n＋x2＋·x－x22＋(s3i·nx－x3))′′＝＝2－xsx－in2 x
• ＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x.
2．函数 f(x)＝x3＋21x＋1的导数是(
• 1 ． [f(x)±g(x)]′ ＝ f′(x)±g′(x) 的 推 广 [f1(x)±f2(x)±f3(x)±f4(x)±…±fn(x)]′ ＝ f1′(x)±f2′(x)±f3′(x)±…±fn′(x)
• 2．积或商的导数法则的误解 • [f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)
gf((xx))′≠gf′′((xx)) 3．公式[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)的推广
• 能利用给出的基本初等函数的导数公式表 和导数的四则运算法则求简单函数的导数
• 本节重点：导数的四则运算及其运用．
• 本节难点：导数的四则运算法则的推导．
• 1．可导函数的四则运算法则是解决函数 四则运算形式的求导法则，也是进一步学 习导数的基础，因此，必须透彻理解函数 求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内 在联系及规律，通过对知识的重新组合， 以达到巩固知识、提升能力的目的．
[例 2] 求函数 y＝sin44x＋cos44x的导数．
• [分析] 解答本题可先化简解析式再求导 函数，否则较繁．
• [点评] 不加分析，盲目套用求导法则，会 给运算带来不便，甚至导致错误．在求导 之前，对三角恒等式先进行化简，然后再 求导，这样既减少了计算量，也可少出差 错．
求函数 y＝－sin2x(1－2sin24x)的导数． [解析] ∵y＝－sin2x·(1－2sin24x) ＝－sin2x·cos2x＝－12sinx， 所以 y′＝(－12sinx)′＝－12cosx.
x.
• [正解] C
• 一、选择题
• 1．函数y＝2sinxcosx的导数为
()
• A．y′＝cosx
B．y′＝2cos2x
• C．y′＝2(sin2x－cos2x) D．y′＝－sin2x
• [答案] B
பைடு நூலகம்
• [解析] y′＝(2sinxcosx)′
• ＝2(sinx)′·cosx＋2sinx(cosx)′
• ∴1＝a＋b－7，即a＋b－8＝0①
• 又由于经过点(1,1)的抛物线的切线方程为
• 4x－y－3＝0，
• ∴经过该点的抛物线的切线斜率为4.
• ∵y′＝(ax2＋bx－7)′＝2ax＋b，∴2a＋b－4
• [误解] D
[辨析] (3 x)′＝(x13)′＝13x－23＝13·31x2，而不等于13 3
• ∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
• ∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
• ∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.
• 已知抛物线y＝ax2＋bx－7通过点(1,1)，过 点(1,1)的切线方程为4x－y－3＝0，求a、b 的值．
• [解析] 由于抛物线y＝ax2＋bx－7经过点 (1,1)，
• [例3] 偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e 的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方 程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．
• [解析] ∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.
• 又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
• 故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－ dx＋e.
(f(x)±g(x))′＝
；
• (f(x2．)·设g(函x)数)′＝f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)≠0．，gf((xx))′
＝
f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x) g2(x)
.
• [例1] 求下列函数的导数：
• •
((12))(yy3)＝ ＝y＝(x1xx2＋＋sinx212x＋)；2x3(3x；－1)；
• [点评] 较为复杂的求导运算，一般综合 了和、差、积、商的几种运算，要注意： (1)先将函数化简；(2)注意公式法则的层次 性．
求下列函数的导数： (1)y＝x2－2＋x3－3 (2)y＝(2x2＋3)(3x－2) (3)y＝x－sin2x·cos2x
• [点评] 在可能的情况下，求导时应尽量少 用甚至不用乘法的求导法则，所以在求导 之前，应利用代数、三角恒等变形对函数 进行化简，然后再求导，这样可减少运算 量.
－4x－3－9x－4＝－x12－x43－x94.
(4)y′＝xcsoisnxx－co2sx′＝xsicnoxs－x 2′ ＝(xsinx－2)′cocsoxs＋2x(xsinx－2)sinx
＝(sinx＋xcosx)ccoossx2＋x xsin2x－2sinx
＝sinxcoscxo＋s2xx－2sinx＝tanx＋coxs2x－2ctoasnxx.
• 2．利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则，以及常见函数的导数公式 之后，对一些简单函数的求导问题，便可 直接应用法则和公式很快地求出导数，而
• 3．应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应 在求导之前，先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简，然后再求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，避免差错．
＋f1(x)f2′(x)f3(x)f4(x)…fn(x)＋…＋f1(x)f2(x)…fn′(x)
f′(x)±g′(x)
• 1 ． 设 函 数 ff(′(xx))·g、(x)＋g(f(xx))·g是′(x) 可 导 函 数 ，
(4)y＝xtanx－co2sx.
• [解析] (1)方法一：y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋ (x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝ 3x2＋2x－1.
• 方法二：y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x －1，
• y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1. • (＋2()3xy)2y′c＝′o＝s(xx.21xs＋inx22x＋)′x＝33′(x＝2)(′xs－i1n＋x2＋·x－x22＋(s3i·nx－x3))′′＝＝2－xsx－in2 x
• ＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x.
2．函数 f(x)＝x3＋21x＋1的导数是(
• 1 ． [f(x)±g(x)]′ ＝ f′(x)±g′(x) 的 推 广 [f1(x)±f2(x)±f3(x)±f4(x)±…±fn(x)]′ ＝ f1′(x)±f2′(x)±f3′(x)±…±fn′(x)
• 2．积或商的导数法则的误解 • [f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)
gf((xx))′≠gf′′((xx)) 3．公式[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)的推广
• 能利用给出的基本初等函数的导数公式表 和导数的四则运算法则求简单函数的导数
• 本节重点：导数的四则运算及其运用．
• 本节难点：导数的四则运算法则的推导．
• 1．可导函数的四则运算法则是解决函数 四则运算形式的求导法则，也是进一步学 习导数的基础，因此，必须透彻理解函数 求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内 在联系及规律，通过对知识的重新组合， 以达到巩固知识、提升能力的目的．
[例 2] 求函数 y＝sin44x＋cos44x的导数．
• [分析] 解答本题可先化简解析式再求导 函数，否则较繁．
• [点评] 不加分析，盲目套用求导法则，会 给运算带来不便，甚至导致错误．在求导 之前，对三角恒等式先进行化简，然后再 求导，这样既减少了计算量，也可少出差 错．
求函数 y＝－sin2x(1－2sin24x)的导数． [解析] ∵y＝－sin2x·(1－2sin24x) ＝－sin2x·cos2x＝－12sinx， 所以 y′＝(－12sinx)′＝－12cosx.
x.
• [正解] C
• 一、选择题
• 1．函数y＝2sinxcosx的导数为
()
• A．y′＝cosx
B．y′＝2cos2x
• C．y′＝2(sin2x－cos2x) D．y′＝－sin2x
• [答案] B
பைடு நூலகம்
• [解析] y′＝(2sinxcosx)′
• ＝2(sinx)′·cosx＋2sinx(cosx)′
• ∴1＝a＋b－7，即a＋b－8＝0①
• 又由于经过点(1,1)的抛物线的切线方程为
• 4x－y－3＝0，
• ∴经过该点的抛物线的切线斜率为4.
• ∵y′＝(ax2＋bx－7)′＝2ax＋b，∴2a＋b－4
• [误解] D
[辨析] (3 x)′＝(x13)′＝13x－23＝13·31x2，而不等于13 3
• ∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
• ∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
• ∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.
• 已知抛物线y＝ax2＋bx－7通过点(1,1)，过 点(1,1)的切线方程为4x－y－3＝0，求a、b 的值．
• [解析] 由于抛物线y＝ax2＋bx－7经过点 (1,1)，
• [例3] 偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e 的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方 程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．
• [解析] ∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.
• 又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
• 故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－ dx＋e.
(f(x)±g(x))′＝
；
• (f(x2．)·设g(函x)数)′＝f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)≠0．，gf((xx))′
＝
f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x) g2(x)
.
• [例1] 求下列函数的导数：
• •
((12))(yy3)＝ ＝y＝(x1xx2＋＋sinx212x＋)；2x3(3x；－1)；
• [点评] 较为复杂的求导运算，一般综合 了和、差、积、商的几种运算，要注意： (1)先将函数化简；(2)注意公式法则的层次 性．
求下列函数的导数： (1)y＝x2－2＋x3－3 (2)y＝(2x2＋3)(3x－2) (3)y＝x－sin2x·cos2x
• [点评] 在可能的情况下，求导时应尽量少 用甚至不用乘法的求导法则，所以在求导 之前，应利用代数、三角恒等变形对函数 进行化简，然后再求导，这样可减少运算 量.
－4x－3－9x－4＝－x12－x43－x94.
(4)y′＝xcsoisnxx－co2sx′＝xsicnoxs－x 2′ ＝(xsinx－2)′cocsoxs＋2x(xsinx－2)sinx
＝(sinx＋xcosx)ccoossx2＋x xsin2x－2sinx
＝sinxcoscxo＋s2xx－2sinx＝tanx＋coxs2x－2ctoasnxx.
• 2．利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则，以及常见函数的导数公式 之后，对一些简单函数的求导问题，便可 直接应用法则和公式很快地求出导数，而
• 3．应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应 在求导之前，先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简，然后再求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，避免差错．