第7章 电磁感应 暂态过程

7-5在半径为R的长直螺线管中有 的磁场，如图（a）所示，直导线 。求导线ac上的感生电动势。
分析导线ac的ab段处在变化的磁场中，bc段在变化的磁场外，要求导线ac上的感生电动势，可以构造一个闭合回路，使回路上除ac之外，其它部分的感生电动势为零，由法拉第电场感应定律求解。也可先求得空间的有旋电场的分布，进而由 直接求解。
解（1）因为
而
所以
故
（2）
说明由此题可以推知，若已知电流随时间的变化率，可由 求得 ，这是求自感系数 的另一种方法。
7-11如图所示，截面积为 ，单位长度上匝数为 的螺绕环上套一边长为 的正方形线圈。现在正方形线圈中通以交变电流 ，螺绕环两端为开路，试求螺绕环两端的互感电动势。
分析正方形线圈中通以随时间变化的电流，使螺绕环处在变化的磁场之中，螺绕环两端必有互感电动势产生，所以可用互感电动势定义求解。
所以
（2）ab在 作用下匀速运动的条件是它受到的磁力与阻力大小相等，方向相反。
设此时ab匀速运动时的速度为 ，则回路中的电流为
磁力为
由
得
（3） （W）
（4）当 时，从接通电路到ab开始作匀速运动这段时间内，电源提供的能量一部分转换为内阻 上的焦耳热；另一部分转换为导线ab的动能。ab作匀速运动时，电路中无电流，电源不再提供能量。
4．根据产生方式不同，感应电动势可分为
（1）自感电动势：
其中 为自感系数，是在无铁磁质存在时，与回路中的电流无关，仅由回路的匝数、几何形状和大小以及周围介质的磁导率决定的物理量。
（2）互感电动势
其中M为互感系数，是在无铁磁质存在时，与回路中的电流无关，仅由回路的几何形状、尺寸、匝数、周围介质的磁导率以及回路的相对位置决定的物理量。
7-10一对同轴无限长直空心薄壁圆筒，电流 沿内筒流去，沿外筒流回，已知同轴空心圆筒单位长度的自感系数为 。
（1）求同轴空心圆筒内外半径之比 ？
（2）若电流随时间变化，即 ，求圆筒单位长度产生的感应电动势。
分析因为圆筒的自感系数与圆筒的大小和形状有关，即 必与 、 有关，找出其关系，即可求得 。第二问由自感电动势 易得。
解先求这一时刻通过线圈的磁通量。由于线圈处于一非均匀场中，所以在线圈上取一面积微元 ，如图所示，则通过面积元 的磁通量为
在该时刻通过整个线圈面积的磁通量为
故线圈内的感生电动势为
即感生电动势随时间按余弦变化。
说明由计算结果可以看出，感生电动势的方向是随时间变化的，每隔 时间方向改变一次。
7-8设长为 的导体棒在导线框上以速度 匀速向右滑动，空间分布均匀的随时间变化的磁场 垂直于回路平面，如图所示，且变化率 。求导体棒与导线框构成的闭合回路中产生的感应电动势 。
7-3法拉第圆盘发电机是一个在磁场中转动的金属圆盘，如图所示。设圆盘半径 ，匀强磁场的磁感应强度 ，转速为 时，求盘心与盘边缘之间的电势差 。
分析整个圆盘可以看作由许多沿圆盘半径方向的金属细棒（比较确切地说，是许多小的扇形面）组成。当圆盘转动时，每一金属细棒在磁场中运动必产生大小和方向都相同的动生电动势。这些细棒彼此并联，因此盘心与盘边缘之间的电势差的值就等于每一金属细棒两端的电动势。
解法一用法拉第电磁感应定律求解。
如图（a）所示。取闭合回路 ，其中 、 均沿半径方向，与有旋电场的方向始终垂直，所以 ，由法拉第电磁感应定律知
其中
故
，所以其方向与求 时的绕行方向相反，即感应电动势由a指向c。
解法二用感生电场力作功的方法求解
由于磁场分布具有对称性，因此螺线管内、外的有旋电场线都是以螺线管轴线的点为圆心的同心ຫໍສະໝຸດ Baidu线，且同一个同心圆线上各点 的大小相等。
式中
线圈中感应电动势为
]
说明用法拉第电磁感应定律解题的关键是求出任意时刻 通过线圈的磁通量。
7-2如图所示，金属杆OA在均匀磁场中绕通过O点的竖直轴OZ作匀速率旋转，旋转角速度为 ，杆OA长 ，磁感应强度为 ，方向与OZ一致。试求下列两种情况下OA两端之电势差：
（1）若杆OA与OZ轴垂直时，见图（a）所示；
7-4如图所示，长为 的直导线ab，可在光滑水平导轨上运动。导轨左端与直流电源相连接，整个装置处于均匀磁场 中。若 .2m， T， V，内阻 ，不考虑摩擦和其它线段的电阻。试求：
（1）ab匀速运动时的速度；
（2）当ab受向左的阻力 N后，它作匀速运动时的速度；
（3）ab匀速运动时，阻力作功的功率；
（4）分别讨论 和 时的能量转换关系。
（2）若杆OA与OZ轴夹角为 时，见图（b）所示。
分析金属杆在稳定磁场中运动，产生动生电动势，因此可用动生电动势公式 求解。
解（1）由于杆OA上各处的线速度不同，故在杆上取一线元 ，其线速度为 ，离轴的距离为 ，则 。此种情况下， ， ， 是互相垂直的，所以，此线元的动生电动势为
整个金属杆的动生电动势为
令
所以
方向由 指向于 。
所以
，所以其方向为由 指向 。
说明感生电动势的方向也可由楞次定律判定。
7-6测铁磁质中的磁感应强度。如图所示，在铁磁试样做的环上绕上两组线圈。一组线圈匝数为 ，与电池相连。另一组线圈匝数为 ，与一个“冲击电流计”相连（这种电流计的最大偏转与通过它的电量成正比）。设铁环原来没有磁化。当合上电键使 中电流从零增大到 时，冲击电流计测出通过它的电量为 。求与电流 相应的铁环中的磁感应强度 是多大？
解设方线圈为线圈（1）、螺绕环为线圈（2）。若在方线圈中通电流 ，则方线圈中电流的变化在螺线环中引起的互感电动势的大小
但是求方线圈对螺线环的互感系数 很困难，因方线圈在空中产生的磁感应强度的分布不易确定。但螺线环对方线圈的互感系数很容易求得，若在螺线环中通电流 ，则螺线环在方线圈中引起的磁通量
因为 ，所以 ，感应电动势沿逆时针方向。
说明从计算结果可以看出，当导体回路在变化磁场中运动时，总的感应电动势等于动生电动势与感生电动势之和。利用这一结论对此题计算，也可得到同样的结论。实际上，上述结果的第一项即为感生电动势，第二项即为动生电动势。
7-9一同轴传输线由两个半径分别为 和 的薄金属圆筒组成，电流由内筒一端流入，从外筒的另一端流回，如图(a)所示。如果筒间充满相对磁导率为 的磁介质，试求这传输线 长度的自感。
分析导体在磁场中运动，导体中的自由电子受洛仑兹力作用，导体中会产生动生电动势，同时由于磁场是变化的，导体中的自由电子又会受到有旋电场的作用而使导体中产生感生电动势。对此情况，可直接用法拉第电磁感应定律求解。
解先规定回路的正回转方向为 ，则任意时刻 通过 回路所围面积的磁通量为
则由法拉第电磁感应定律知
设 中的电流增大到 需要的时间为 ，则在同一时间内通过 回路的电量为
由此得
这样，根据冲击电流计测出的电量 ，就可以算出与 相对应的铁环中的磁感应强度。
说明这是常用的一种测量磁介质中的磁感应强度的方法。不同的是，若测量的是顺磁质或抗磁中的磁感应强度时， 需在介质圆环上密绕且绕满整个圆环，以防漏磁，从而保证整个圆环内建立的磁场大致均匀。
分析将线圈 绕在铁环上，铁环会使 中的电流产生的磁场大大增强，而且磁场基本上集中在铁芯内部，这时整个铁环就相当于一个由束缚电流组成的螺绕环。 中的电流变化，必使铁环中的磁场发生变化，因而 线圈中有感生电动势产生。
解以S表示环的截面积，以B表示环内磁感应强度， 中的感生电动势的大小为
以R表示 回路的总电阻，则 中的电流为
5．磁能
自感磁能
磁场能量密度
磁场能量
6．全电流安培环路定理
其中 为传导电流， ，为位移电流。
7．麦克斯韦方程组
（1）通量公式：
其中，式中的 为高斯面内包围的自由电荷量的代数和。
（2）环流公式：
8．暂态过程
（1）LR电路的暂态过程（如图7.1）。
接通1
当开关K拨向2
（2）RC电路的暂态过程（如图7.2）
解取如图所示的一条细棒为研究对象。在距盘心 为 处取一线元 ，其速度大小 ，线元 上的动生电动势为
盘心 与盘边缘 之间的动生电动势
，表明 的方向由 指向 ，即 点为低电势， 点为高电势。所以，盘心 与盘边缘 间的电势差为
将 ； ； ，代入上式，得
说明从计算结果 知，要提高圆盘发电机的电动势需从增加磁感应强度，提高转速及增大圆盘面积三方面着手。一般来说，圆盘发电机所产生的电动势较小，不太实用。
第7章 电磁感应 暂态过程
一、目的与要求
1．掌握法拉第电磁感应定律，能熟练地应用法拉第电磁感应定律计算感应电动势，并能应用楞次定律判断感应电动势的方向。
2．掌握动生电动势和感生电动势、感生电场的概念、规律和计算方法。
3．理解自感和互感现象，掌握简单情况下自感系数、自感电动势，互感系数，互感电动势的计算方法。
在 的情况下，从接通电路到ab开始作匀速运动这段时间内，电源提供的能量一部分转换为内阻 上的焦耳热，一部分转换为导线ab的动能，还有一部分用来克服阻力作机械功。 以速度 匀速运动时，电路中的电流也不为零。电源还得继续提供能量，该能量的一部分转换为内阻 上的焦耳热，另一部分用来克服阻力作机械功。
说明此题所述的电能通过磁场这个媒介转换为机械能的过程，就是电动机的工作原理。不论是机械能转换为电能还是电能转换为机械能，都不是直接的，中间必须通过磁场作为媒介。
分析本题是包含电磁感应，磁场对电流的作用和牛顿定律等内容的综合性问题。当接通电源后，电源电势在导线 中产生电流。该通电导线受磁场力的作用而向右加速运动，由于 向右运动使通过 回路的磁通量逐渐增加，在回路中产生感应电流，从而使回路中流减小，当 速度达到一定值时，回路中流为零，此时 匀速运动。
解（1）设 匀速运动时的速度为 ，回路中电流为零，即
充电时
放电时
三、例题
7-1一长直导线通有电流I，其附近有正方形线圈。线圈绕 轴以匀角速旋转。转轴与导线平行，两者相距为 ，且在线圈平面内与其一边平行并过中心。求任意时刻线圈中的感应电动势。
分析线圈旋转，穿过线圈所围面积的磁通量随时间变化，线圈中必有感应电动势。用法拉第电磁感应定律求解。
解线圈在转动过程中，通过它的磁通量随时间变化。当线圈转过角度 时，通过它的磁通量为
在管内，即 区域，在垂直于管轴的平面内取以 为半径，圆心在管轴上的圆形闭合路径，按逆时针方向进行积分，则由
知
沿逆时针方向。
在管外，即 区域，同理可得
沿逆时针方向。
所以导线ac上的感生电动势为
如图（b）所示，对于ab段，设其到螺线管轴线O的距离为h，则
其中， ， ，所以
方向由a指向于b。
将 ， 代入上式得
，说明电动势方向与积分路径一致，即从O指向 ，说明 端电势比O端高。
（2）同样，可将杆看作由许多线元组成。任取距O点为l远处长为 的一段，由图（b）知， ， 的方向与B垂直，为水平方向，与 的夹角为 。其中 的大小为 ，所以
整个金属杆OA两端的电势差为
为正值，说明A端电势比O端高。
说明此题也可将OA补成一回路，用法拉第电磁感应定律求解。
4．理解磁场能量的概念，掌握磁场能量的计算方法。
5．理解位移电流和全电流的概念，了解麦克斯韦方程组积分形式的物理意义。
6．了解暂态过程中的物理特征，掌握RL、RC串联电路暂态过程的计算方法。
二、内容提要
1．电源电动势
2．法拉第电磁感应定律
3．根据产生原因不同，感应电动势可分为
（1）动生电动势
（2）感生电动势
解法二由安培环路定理可求得两筒间任一点的磁场强度为
式中 为该点离轴线的垂直距离。同一点的磁感应强度为
则任一点的磁能密度为
可以看出 只与 有关，因此在如图(a)的半径为 、厚为 、长为 的薄金属圆筒状体积内，其 是一样的。在此薄层内的磁场能量为
这样在长度为 的传输线内磁场的能量为
由 知
说明从计算结果可以看出，自感 是一个与电流无关，仅由回路的几何形状和大小以及周围介质的磁导率决定的物理量（无铁磁质存在时）。
7-7如图，一长直导线通以交变电流 ，式中 表示瞬时电流，而 表示最大电流， 是圆频率， 和 都是常量，在此导线平行地放一长为 ，宽为 的长方形线圈，靠近导线的一边与导线相距为 。周围介质的磁导率为 。求任一时刻线圈中的感应电动势。
分析导线中电流 随时间 变化，它激发的磁场也随时间 而变化，因此通过线圈的磁通量也随 而变化，线圈中有感生电动势，用法拉第电磁感应定律求解。
分析由于电流分布具有轴对称性，所以可以利用安培环路定理很容易求得磁场分布，进而求得 长度的磁通量 ，利用 可求得 ；也可以先求出传输线 长度的磁场能量，利用 求出 。
解法一设电流强度为 ，由安培环路定理不难知道，磁场仅分布在两金属圆筒之间，且其间的磁感应强度为
图(b)中面积 的磁通量为
因此，自感系数为