初中几何经典例题及解题技巧

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初二几何证明题的解题思路

初二几何证明题的解题思路

初二几何证明题的解题思路一、题目11. 题目- 已知:在平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,连接DE、BF。

求证:四边形DEBF是平行四边形。

2. 解析- 思路:要证明四边形DEBF是平行四边形,根据平行四边形的判定定理,可以从对边平行且相等入手。

- 证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB = CD,AB∥ CD。

- 又因为E、F分别是AB、CD的中点,所以BE=(1)/(2)AB,DF=(1)/(2)CD。

- 所以BE = DF。

- 且BE∥ DF(因为AB∥ CD)。

- 根据平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,所以四边形DEBF是平行四边形。

二、题目21. 题目- 已知:在 ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,连接BE并延长交AC于F。

求证:AF=(1)/(2)FC。

2. 解析- 思路:过点D作DG∥ BF交AC于G,利用中位线定理和平行线分线段成比例定理来证明。

- 证明:过点D作DG∥ BF交AC于G。

- 因为AD是BC边上的中线,所以D是BC中点。

- 又因为DG∥ BF,根据中位线定理,可得G是FC中点,即FG = GC。

- 因为E是AD的中点,DG∥ BF,根据平行线分线段成比例定理,可得AF = FG。

- 所以AF=(1)/(2)FC。

三、题目31. 题目- 已知:在矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,AE平分∠ BAD交BC于E,∠ CAE = 15^∘。

求∠ BOE的度数。

2. 解析- 思路:先求出∠ BAE的度数,进而得出 ABE的形状,再求出∠ ACB的度数,最后根据三角形的内角和求出∠ BOE的度数。

- 证明:- 因为四边形ABCD是矩形,AE平分∠ BAD,所以∠ BAE = 45^∘。

- 又因为∠ CAE=15^∘,所以∠ BAC=∠ BAE +∠ CAE = 45^∘+15^∘=60^∘。

- 在矩形ABCD中,AC = BD,OA=OC=(1)/(2)AC,OB =OD=(1)/(2)BD,所以OA = OB。

初中几何题解题技巧(带例题)

初中几何题解题技巧(带例题)

初中几何题解题技巧(带例题)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中几何题解题技巧在小学阶段,我们学过许多关于几何图形面积计算的知识。

在计算几何图形面积时,除了能正确运用面积计算公式外,还需要掌握一定的解题技巧。

一、割补法割补法是指将一些不规则的、分散的几何图形经过分割、移补,拼成一个规则的几何图形,从而求出面积的方法。

例1如图1,已知正方形的边长是6厘米,求阴影部分的面积。

分析与解:如图2所示,连接正方形的对角线,可以将阴影I分割成I1和I2两部分,然后将阴影I1移至空白I1′处,将阴影I2移至空白I2′处,这样阴影部分就拼成了一个等腰直角三角形。

要求阴影部分的面积,只要求出这个等腰直角三角形的面积即可,列式为:6×6÷2=18(平方厘米)。

练一练1:如图3,已知AB=BC=4厘米,求阴影部分的面积。

二、平移法平移法是指把一些不规则的几何图形沿水平或垂直方向移动,拼成一个规则的几何图形,从而求出面积的方法。

例2如图4,已知长方形的长是12厘米,宽是6厘米,求阴影部分的面积。

分析与解:如图5所示,连结长方形两条长的中点,把阴影部分分成左右两部分,然后把左边的阴影部分向右平移至空白处,这样阴影部分就转化成了一个边长为6厘米的正方形。

要求阴影部分的面积,只要求出这个正方形的面积,列式为:6×6=36(平方厘米)。

练一练2:如图6,求阴影部分的面积(单位:分米)。

三、旋转法旋转法是指把一些几何图形绕某一点沿顺时针(或逆时针)方向转动一定的角度,使分散的、不规则的几何图形合并成一个规则的几何图形,从而求出面积的方法。

例3如图7,已知ABC是等腰直角三角形,斜边AB=20厘米,D是AB的中点,扇形DAE和DBF都是圆的,求阴影部分的面积。

分析与解:如图8所示,把扇形DBF绕D点沿顺时针方向旋转180°后,扇形DBF与扇形DAE就合并成了一个半径为10厘米的半圆,两个空白三角形也合并成了一个直角边为10厘米的等腰直角三角形,要求阴影部分的面积,只要用半圆的面积减去空白部分的面积即可,列式为:3.14×(20÷2)2÷2-(20÷2)2÷2=107(平方厘米)。

初中数学经典几何题及答案

初中数学经典几何题及答案

初中数学经典几何题及答案1.题目:已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm,求斜边的长度。

解答:根据勾股定理,直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和。

所以斜边的长度为√(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5cm。

2.题目:已知一个正方形的边长为6cm,求其对角线的长度。

解答:正方形的对角线可以看作是两个相等的直角三角形的斜边,所以可以使用勾股定理来计算对角线的长度。

正方形的边长为6cm,所以直角三角形的直角边为6cm,斜边即为对角线的长度。

所以对角线的长度为√(6^2+ 6^2) = √(36 + 36) = √72 ≈ 8.49cm。

3.题目:已知一个梯形的上底长为8cm,下底长为12cm,高为5cm,求梯形的面积。

解答:梯形的面积可以通过上底和下底的平均值乘以高来计算。

所以梯形的面积为(8 + 12) × 5 ÷ 2 = 20cm²。

4.题目:已知一个等边三角形的边长为10cm,求其面积。

解答:等边三角形的面积可以通过边长的平方乘以根号3再除以4来计算。

所以等边三角形的面积为(10^2 × √3) ÷ 4 = (100 × √3) ÷ 4 ≈ 43.30cm²。

5.题目:已知一个长方形的长为8cm,宽为5cm,求其周长。

解答:长方形的周长可以通过将长和宽分别乘以2再相加来计算。

所以长方形的周长为(8 × 2) + (5 × 2) = 16 + 10 = 26cm。

6.题目:已知一个圆的半径为6cm,求其面积。

解答:圆的面积可以通过半径的平方乘以π(约等于3.14)来计算。

所以圆的面积为6^2 × 3.14 ≈ 113.04cm²。

7.题目:已知一个正五边形的边长为4cm,求其周长。

解答:正五边形的周长可以通过边长乘以5来计算。

所以正五边形的周长为4 × 5 = 20cm。

初中数学代数、几何解题技巧

初中数学代数、几何解题技巧

怎样用好标题中的条件暗示之相礼和热创作有一类标题,我们在解后面几小题时,其解题思绪和方法每每对解后面成绩起着很好的暗示作用,现以一次函数中出现的两道标题为例予以阐明,供同砚们在学习过程中参考.【例1】直线与x轴、y轴分别交于B、A两点,如图1.图1(1)求B、A两点的坐标;(2)把△AOB以直线AB为轴翻折,点O落在立体上的点C处,以BC为一边作等边△BCD.求D点的坐标.解析:(1)容易求得,A(0,1).(2)如图2,图2∵,A(0,1),∴OB=,OA=1.∴在Rt△AOB中,容易求得∠OBA=30°∵把△AOB以直线AB为轴翻折,∴∠OBC=2∠OBA=60°,BO=BC.∴△OBC是等边三角形以BC为一边作等边△BCD,则D的落点有两种情形,可分别求得D的坐标为(0,0),.反思:在求得第(1)小题中B、A两点的坐标分别为B(,0),A(0,1),本质上暗示着Rt△AOB中,OA=1,OB=,即暗示着∠OBA=30°,为解第(2)小题做了很好的展垫.【例2】直线与x轴、y轴分别交于A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°,且点P(1,a)为坐标系中的一个动点,如图3.图3(1)求三解形ABC的面积.(2)证明不管a取任何实数,三角形BOP的面积是一个常数;(3)要使得△ABC和△ABP的面积相称,务实数a的值.解析:(1)容易求得:A(,0),B(0,1),∴.(2)如图4,连接OP、BP,过点P作PD垂直于y轴,垂足为D,则三角形BOP的面积为,故不管a取任何实数,三角形BOP的面积是一个常数.图4(3)如图4,①当点P在第四象限时由第(2)小题中的结果:,和第(3)小题的条件可得:∴,∵,∴,∴.②如图5,当点P在第一象限时,用类似的方法可求得a=.图5反思:由第(1)小题中求得的和第(2)小题中证明所得的结论:三角形BOP的面积是一个常数,本质上暗示着第(3)小题的解题思绪:利用来解.经过这两道标题的分析可以发现,在解题过程中,假如经常回头看一看、想一想,我们每每会发现,很多标题的解题思绪原来就在标题之中.分式运算的几点技巧分式运算的一样平常方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算.但对某些较复杂的标题,运用一样平常方法偶然计算量太大,导致出错,偶然甚至算不出来,下面列举几例引见分式运算的几点技巧.一. 分段分步法例 1. 计算:解:原式阐明:若一次通分,计算量太大,留意到相邻分母之间,依次通分构成平方差公式,采取分段分步法,则可使成绩简单化.同类方法练习题:计算(答案:)二. 分裂整数法例2. 计算:解:原式阐明:当算式中各分式的分子次数与分母次数相反次数时,一样平常要先利用分裂整数法对分子降次后再通分;在解某些分式方程中,也可运用分裂整数法.同类方法练习题:有一些“幸福”牌的卡片(卡片数目不为零),团团的卡片比这些多6张,圆圆的卡片比这些多2张,且知团团的卡片是圆圆的整数倍,求团团和圆圆各多少张卡片?(答案:团团8张,圆圆4张)三. 拆项法例 3. 计算:解:原式阐明:对形如下面的算式,分母要先因式分解,再逆用公式,各个分式拆项,正负抵消一部分,再通分.在解某些分式方程中,也可运用拆项法.同类方法练习题:计算:(答案:)四. 活用乘法公式例4. 计算:解:当且时,原式阐明:在本题中,原式乘以同一代数式,之后再除以同一代数式还原,就可连续运用平方差公式,分式运算中若恰当运用乘法公式,可使计算简便.同类方法练习题:计算:(答案:)五. 巧选运算顺序例 5. 计算:解:原式阐明:此题若按两数和(差)的平方公式展开前后两个括号,计算将很费事,一样平常两个分式的和(差)的平方或立方不克不及按公式展开,只能先算括号内的.同类方法练习题:解方程(答案:)六. 见繁化简例 6. 计算:解:原式阐明:若运算中的分式不是最简分式,可先约分,再选用得当方法通分,可使运算简便.同类方法练习题:解方程(答案:)在分式运算中,应根据分式的具体特点,灵活机动,活用方法.方能起到事半功倍的服从.多边形内角和成绩的求解技巧1、多边形的每个内角与和它相邻的外角互为补角.这个条件在标题中一样平常不会作为已知条件给出,因此,在解题时应根据必要加以利用.例1 一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20°,求此正多边形的边数.分析:由于这个正多边形的每个外角与和它相邻的内角互为邻补角,根据题意,可先求出外角的大小,再求边数.解:设每个外角的大小为x°,则与它相邻的内角的大小为(3x+20)度.根据题意,得解得,即每个外角都等于40°.以是,即这个正多边形的边数为9.2、利用多边形内角和公式求多边形的边数时,经常设边数为n,然后列出方程或不等式,利用代数方法处理几何成绩. 例2 已知一个多边形的每个内角都等于135°,求这个多边形的边数.解法1:设多边形的边数为n,依题意,得解得n=8,即这个多边形的边数为8.解法2:依题意知,这个多边形的每个外角是180°-135°=45°.以是,多边形的边数,即这个多边形的边数为8.3、正多边形各内角相称,因此各外角也相称.偶然利用这种隐含关系求多边形的边数,比直接利用内角和求边数简捷(如上题解法2).解题时要留意这种逆向头脑的运用.例3 一个多边形除往一个内角后,别的内角之和是2570°,求这个多边形的边数.分析:从已知条件可知这是一个与多边形内角和有关的成绩.由于除往一个内角后,别的内角之和为2570°,故该多边形的内角和比2570°大.又由相邻内、外角间的关系可知,内角和比2570°+180°小.可列出关于边数n的不等式,先确定边数n的范围,再求边数.解:设这个多边形的边数为n,则内角和为(n-2)·180°.依题意,得解这个不等式,得.以是n=17,即这个多边形的边数为17.阐明:这类题都隐含着边数为正整数这个条件.4、把不规则图形转化为规则图形是研讨不规则图形的经常运用方法,其解题关键是构造适宜的图形.例4 如图1,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的大小.图1分析:解题关键是把该图形与凸多边形联系起来,从而利用多边形内角和定理来处理,因此可考虑连接CF.解:连接CF.∵∠COF=∠DOE∴∠1+∠2=∠OCF+∠OFC∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠OCF+∠OFC+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=(5-2)×180°证明三角形全等的一样平常思绪一、当已知两个三角形中有两边对应相称时,找夹角相称(SAS)或第三边相称(SSS).例1. 如图1,已知:AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,且B、C、D在同一条直线上.求证:AD=BE分析:要证AD=BE留意到AD是△ABD或△ACD的边,BE是△DEB 或△BCE的边,只需证明△ABD≌△DEB或△ACD≌△BCE,显然△ABD和△DEB不全等,而在△ACD 和△BCE中,AC=BC,CD=CE,故只需证它们的夹角∠ACD=∠BCE即可.而∠ACD=∠ACE+60°,∠BCE=∠ACE+60°故△ACD≌△BCE(SAS)二、当已知两个三角形中有两角对应相称时,找夹边对应相称(ASA)或找任一等角的对边对应相称(AAS)例2. 如图2,已知点A、B、C、D在同不停线上,AC=BD,AM∥CN,BM∥DN.求证:AM=CN分析:要证AM=CN只需证△ABM≌△CDN,在这两个三角形中,由于AM∥CN,BM∥DN,可得∠A=∠NCD,∠ABM=∠D可见有两角对应相称,故只需证其夹边相称即可.又由于AC=BD,而故AB=CD故△ABM≌△CDN(ASA)三、当已知两个三角形中,有一边和一角对应相称时,可找另一角对应相称(AAS,ASA)或找夹等角的另一边对应相称(SAS)例3. 如图3,已知:∠CAB=∠DBA,AC=BD,AC交BD于点O.求证:△CAB≌DBA分析:要证△CAB≌△DBA在这两个三角形中,有一角对应相称(∠CAB=∠DBA)一边对应相称(AC=BD)故可找夹等角的边(AB、BA)对应相称即可(利用SAS).四、已知两直角三角形中,当有一边对应相称时,可找另一边对应相称或一锐角对应相称例4. 如图4,已知AB=AC,AD=AG,AE⊥BG交BG的延伸线于E,AF⊥CD交CD的延伸线于F.求证:AE=AF分析:要证AE=AF只需证Rt△AEB≌Rt△AFC,在这两个直角三角形中,已有AB =AC故只需证∠B=∠C即可而要证∠B=∠C需证△ABG≌△ACD,这显然易证(SAS).五、当已知图形中无现存的全等三角形时,可经过添作辅助线构成证题所需的三角形例5. 如图5,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD是中线,AE⊥BD于F,交BC于E.求证:∠ADB=∠CDE分析:由于结论中的两个角分属的两个三角形不全等,故需作辅助线.留意到AE⊥BD,∠BAC=90°,有∠1=∠2,又AB=AC.故可以∠2为一内角,以AC为不停角边构造一个与△ABD全等的直角三角形,为此,过C作CG⊥AC交AE的延伸线于G,则△ABD≌△CAG,故∠ADB=∠CGA.对照结论需证∠CGA =∠CDE又要证△CGE≌△CDE,这可由CG=AD=CD,∠ECG=∠EBA=∠ECD,CE=CE而获证.计算线段长度的方法技巧线段是基本的几何图形,是三角形、四边形的构成元素.初一同砚对于线段的计算感到有点摸不着眉目.这是引见几个计算方法,供同砚们参考.1. 利用几何的直观性,探求所求量与已知量的关系例1. 如图1所示,点C分线段AB为5:7,点D分线段AB为5:11,若CD=10cm,求AB.图1分析:观察图形可知,DC=AC-AD,根据已知的比例关系,AC、AD均可用所求量AB暗示,这样经过已知量DC,即可求出AB.解:由于点C分线段AB为5:7,点D分线段AB为5:11以是又又由于CD=10cm,以是AB=96cm2. 利用线段中点性子,进行线段长度变换例2. 如图2,已知线段AB=80cm,M为AB的中点,P在MB上,N为PB的中点,且NB=14cm,求PA的长.图2分析:从图形可以看出,线段AP等于线段AM与MP的和,也等于线段AB与PB的差,以是,欲求线段PA的长,只需能求出线段AM与MP的长或者求出线段PB的长即可.解:由于N是PB的中点,NB=14以是PB=2NB=2×14=28又由于AP=AB-PB,AB=80以是AP=80-28=52(cm)阐明:在几何计算中,要结合图形中已知线段和所求线段的地位关系求解,要做到步步有根据.3. 根据图形及已知条件,利用解方程的方法求解例3. 如图3,一条直线上依次有A、B、C、D四点,且C为AD的中点,,求BC是AB的多少倍?图3分析:题中已给出线段BC、AB、AD的一个方程,又C为AD的中点,即,观察图形可知,,可得到BC、AB、AD又一个方程,从而可用AD分别暗示AB、BC.解:由于C为AD的中点,以是由于,即又由<1>、<2>可得:即BC=3AB例4. 如图4,C、D、E将线段AB分成2:3:4:5四部分,M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点,且MN=21,求PQ的长.图4分析:根据比例关系及中点性子,若设AC=2x,则AB上每一条短线段都可以用x的代数式暗示.观察图形,已知量MN =MC+CD+DE+EN,可转化成x的方程,先求出x,再求出PQ.解:若设AC=2x,则于是有那么即解得:以是4. 分类讨论图形的多样性,留意所求结果的完好性例5. 已知线段AB=8cm,在直线AB上画线段BC=3cm,求AC的长.分析:线段AB是固定不变的,而直线上线段BC的地位与C点的地位有关,C点可在线段AB上,也可在线段AB的延伸线上,如图5.图5解:由于AB=8cm,BC=3cm以是或综上所述,线段的计算,除选择得当的方法外,观察图形是关键,同时还要留意规范誊写格式,留意几何图形的多样性等.【练习】1. 已知如图6,B、C两点把线段AD分成2:3:4三部分,M是线段AD的中点,CD=16cm.求:(1)MC的长;(2)AB:BM的值.图62. 如图7所示,已知AB=40cm,C为AB的中点,D为CB 上一点,E为DB的中点,EB=6cm,求CD的长.图7【答案】1. (1)2cm;(2)4:52. 8 cm列方程解运用题的方法一. 直译法设元后,视元为已知数,根据题设条件,把数学言语直译为代数式,即可列出方程.例1. (2004年山西省)甲、乙两个建筑队完成某项工程,若两队同时开工,12天就可以完成工程;乙队单独完成该工程比甲队单独完成该工程多用10天.问单独完成此项工程,乙队必要多少天?解:设乙单独完成工程需x天,则甲单独完成工程需(x-10)天.根据题意,得往分母,得解得经检验,都是原方程的根,但当时,,当时,,因工夫不克不及为负数,以是只能取.答:乙队单独完成此项工程必要30天.点评:设乙单独完成工程需x天后,视x为已知,则根据题意,原本来本的把言语直译成代数式,则方程很快列出.二. 列表法设出未知数后,视元为已知数,然后综合已知条件,掌控数量关系,分别填入表格中,则等量关系不难过出,进而列出方程(组).例2. (2004年海淀区)在某校举办的足球角逐中规定:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.某班足球队介入了12场角逐,共得22分,已知这个队只输了2场,那么此队胜几场?平几场?解:设此队胜x场,平y场由列表与题中数量关系,得解这个方程组,得答:此队胜6场,平4场.点评:经过列表格,将标题中的数量关系表现出来,使人明白,从胜、平、负的场数之和等于12,总得分22分是胜场、平场、负场得分之和.建立方程组,利用列表法求解使人易懂.三. 参数法对复杂的运用题,可设参数,则每每可起到桥梁的作用.例3. 从A、B两汽车站相向各发一辆车,再隔相反工夫又同时发出一辆车,按此规律不竭发车,且知全部汽车的速率相反,A、B间有骑自行车者,发觉每12分钟,后面追来一辆汽车,每隔4分钟劈面开来一辆汽车,问A、B两站每隔几分钟发车一次?解:设汽车的速率为x米/分;自行车的速率为y米/分,同一车站发出的相邻两辆汽车相隔m 米.A、B两站每隔n分钟发一次车.则从A站发来的两辆汽车间的距离为12[(汽车行进速率)-(自行车行进速率)],从B站发来的两辆汽车间的距离为:4[(汽车行进速率)+(自行车行进速率)].由题意,得得:以是由(3)得,又由(4)得答:A、B两站相隔6分钟发车一次.点评:本例不必直接设元,由于无从着手,必要的已知量较多,但又是未知的,而选用x、y、m、n的参数,从而很容易列出方程组,使复杂的成绩迎刃而解.四. 线示法运用图线,把已知和未知条件间的数量关系,用线性图暗示出来,则等量关系可一览无余.例4. A、B两地间的路程为36里,甲从A地,乙从B地同时出发相向而行,二人相遇后,甲再走2小时30分钟到达B地,乙再行走1小时36分钟到达A地,求二人的速率?解:设甲的速率为x里/小时,乙的速率为y里/小时,2小时30分小时,1小时36分小时.从出发到相遇工夫小时,甲从A到相遇点C要走里,乙从C地到A走了里;乙从B到C要走里,甲从C到B走里,从图1可以看清.图1于是解得答:甲、乙二人的速率分别是8里/小时,10里/小时.点评:把速率、工夫、距离三者关系用线性图暗示,再把数量关系写在直线图上,则等量关系一览无余.圆与圆地位关系中稀有辅助线的作法1. 作相交两圆的公共弦利用圆内接四边形的性子或公共圆周角,沟通两圆的角的关系.例1. 如图1,⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,过A、B分别作直线CD、EF,且CD//EF,与两圆相交于C、D、E、F.求证:CE=DF.图1分析:CE和DF分别是⊙O1和⊙O2的两条弦,难以直接证明它们相称,但经过连结AB,则可得圆内接四边形ABEC和ABFD,利用圆内接四边形的性子,则易证明.证明:连结AB由于又以是即CE//DF又CD//EF以是四边形CEFD为平行四边形即CE=DF2. 作两相交圆的连心线利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形,处理有关的计算成绩.例2. ⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,两圆的半径分别为和,公共弦长为12.求的度数.图2分析:公共弦AB可位于圆心O1、O2同侧或异侧,要求的度数,可利用角的和或差来求解.解:当AB位于O1、O2异侧时,如图2.连结O1、O2,交AB于C,则.分别在和中,利用锐角三角函数可求得故当AB位于O1、O2同侧时,如图3图3则综上可知或3. 两圆相切,作过切点的公切线利用弦切角定理沟通两圆中角的关系例3. 如图4,⊙O1和⊙O2外切于点P,A是⊙O1上的一点,直线AC切⊙O2于C,交⊙O1于B,直线AP交⊙O2于D.求证PC中分.图4分析:要证PC中分,即证而的边分布在两个圆中,难以直接证明.若过P作两圆的公切线PT,与AC交于T易知由弦切角定理,得又是的一个外角以是又从而有即PC中分4. 两圆相切,作连心线利用连心线经过切点的性子,处理有关计算成绩.例4. 如图5,⊙O1与半径为4的⊙O2内切于点A,⊙O1经过圆心O2,作⊙O2的直径BC,交⊙O1于点D,EF为过点A的公切线,若,求的度数.图5分析:是弦切角,要求其度数,需将其转化为圆周角或圆心角,因此连结O1O2、O1A,则O1O2必过点A,且O2A为⊙O1的直径,易知.连结DA,则于是又为锐角以是从而有5. 过小圆圆心作大圆半径的垂线有关公切线成绩常过小圆的圆心作大圆半径的垂线,构造直角三角形.例5. 如图6,⊙O1与⊙O2外切于点O,两外公切线PCD和PBA切⊙O1、⊙O2于点C、D、B、A,且其夹角为,,求两圆的半径.图6分析:如图6,连结O1O2、O1A、O2B,过点O2作,构造,下面很容易求出结果.请同砚们本人给出解答.(答案:两圆的半径分别为3和1)几何证明的几种特殊方法一、分解法即把一个图形分解成几个简单的图形或分成具有某种特殊关系的图形,然后借助于分解后的图形的性子来推导出所要证明的成绩的一种方法.例1. 如图1,ABCD是恣意四边形,E、F将AB分成三等分,G、H将CD分成三等分.求证:四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的三分之一.分析:四边形成绩我们常分割成三角形成绩来处理.于是考虑连结AC、AH、HF、FC,由题意和“等底等高的三角形面积相称”知:以是以是又以是故二、特殊化法即先调查命题的某些特殊情形,从特例中探究一样平常规律,或从特例中得到启示,从而处理一样平常成绩的一种方法.例2. 如图2,设P为∠AOB 的中分线上肯定点,以OP为弦作一圆,分别交OA、OB于C、D.求证:OC与OD的和为定值.分析:门生每每找不到定值是什么,若将“弦OP”特殊化为“直径OP”,则△OPC和△OPD是全等直角三角形,因此,OC=OD=,于是判别OC与OD的和为定值.故过P作PE⊥OA,PF⊥OB,连PC、PD,可证△PCE≌△PDF,以是CE=DF,OE=OF.以是即OC+OD为定值.三、扩充法即把图形扩充为另一个图形,借助于扩充后图形的性子来推导出所要证明的成绩的一种方法.例3. 如图3,已知AD为△ABC的边BC上的中线,O为AD 一点,BO、CO与AC、AB分别交于E、F.求证:EF∥BC分析:要证两线平行,考虑到平行线的断定,而这里只要BD=DC,故考虑延伸OD至G,使DG=OD,扩充得到平行四边形BGCO,则,OF∥BG,以是,故EF∥BC.四、类比转换法马上所要论证的成绩进行转换并与其类似的成绩对比,从而得到启示,使成绩得以处理的一种方法.例4. 如图4,在△ABC中,已知AB=AC,∠BAC=108°,AH⊥BC于H,∠DAC=.求证:分析:这类成绩常转换为:,而在直角三角形ADH和AEH中,和分别为∠DAH的余弦和∠AEH的正弦,由题意可计算知∠DAH=∠AEH=18°,联想到,该成绩得证.五、面积法即利用面积定理,结合图形中的面积关系,找到与成绩相关的数量关系,使成绩得到处理的一种方法.例5. 如图5,平行四边形ABCD中,E在AD上,F在AB上,且DF=BE,DF与BE交于G.求证:CG中分∠BGD.分析:证明角中分线有两种经常运用方法:这条射线分得的两个角相称或这条射线上一点到角两边的距离相称.连CE、CF,作高CH、CP,此题图中有,而DF=BE,故高CP=CH,于是CG 中分∠BGD.六、代数法即根据图形的有关性子布列方程、不等式或函数式等,再利用相关代数学问来解题的一种方法.例6. 如图6,在凸四边形ABCD中,AB=2,P是AB边的中点,假如∠DAB=∠ABC=∠PDC=90°,求证:四边形ABCD的面积的最小可能值是4.分析:显然,四边形ABCD的面积的大小与AD、BC的大小有关.故令AD =x,BC=a,四边形ABCD的面积=y,DF⊥CB于F,由题意:AP=PB=1,BF=AD=x,DF=AB=2,.以是以是因x、y均为正实数,故由一元二次方程的根的鉴别式得。

初中几何的培优题型与解题方法

初中几何的培优题型与解题方法

初中几何的培优题型与解题方法
初中几何的培优题型和解题方法如下:
1. 直角三角形的性质:
- 题型:给定直角三角形的两个边长或斜边长度,求第
三边长或斜边长度、面积、周长等。

- 解题方法:利用勾股定理、正弦定理、余弦定理等求解。

2. 三角形的性质:
- 题型:给定三角形的边长或角度,求面积、周长、角
度等。

- 解题方法:利用海伦公式、正弦定理、余弦定理、三
角形内角和等于180度等求解。

3. 平行线与比例:
- 题型:给定平行线与交线段的长度比例,求其他线段
的长度比例。

- 解题方法:利用平行线的性质,如对应角相等、内错
角相等等,以及相似三角形的性质求解。

4. 相似三角形:
- 题型:给定两个相似三角形的一些边长或角度,求其
他边长或角度。

- 解题方法:利用相似三角形的性质,如对应边成比例、对应角相等等求解。

5. 圆的性质:
- 题型:给定圆的半径或直径,求圆的周长、面积、弧长等。

- 解题方法:利用圆的性质,如周长公式、面积公式、弧长公式等求解。

6. 平行四边形与梯形:
- 题型:给定平行四边形或梯形的一些边长或角度,求其他边长或角度、面积等。

- 解题方法:利用平行四边形的性质,如对角线互相平分、对边平行等,以及梯形的性质,如高等求解。

7. 圆锥与圆柱:
- 题型:给定圆锥或圆柱的一些参数,求体积、表面积等。

- 解题方法:利用圆锥和圆柱的性质,如体积公式、表面积公式等求解。

以上是初中几何的一些常见培优题型和解题方法,希望对你有帮助!。

初中几何经典例题及解题技巧

初中几何经典例题及解题技巧

初中几何证明技巧及经典试题证明两线段相等1. 两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

*9.同圆(或等圆)中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项(或两后项)相等的比例式中的两后项(或两前项)相等。

*12.两圆的内(外)公切线的长相等。

13.等于同一线段的两条线段相等。

证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中,底边上的中线(或高)平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角(或等角)的余角(或补角)相等。

*6.同圆(或圆)中,等弦(或弧)所对的圆心角相等,圆周角相等,弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

*7.圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

10.等于同一角的两个角相等。

证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半,则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中,若有两个角互余,则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条,则必垂直于另一条。

6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

*10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。

初中几何题解题技巧带例题

初中几何题解题技巧带例题

初中几何题解题技巧带例题Newly compiled on November 23, 2020初中几何题解题技巧在小学阶段,我们学过许多关于几何图形面积计算的知识。

在计算几何图形面积时,除了能正确运用面积计算公式外,还需要掌握一定的解题技巧。

一、割补法割补法是指将一些不规则的、分散的几何图形经过分割、移补,拼成一个规则的几何图形,从而求出面积的方法。

例1如图1,已知正方形的边长是6厘米,求阴影部分的面积。

分析与解:如图2所示,连接正方形的对角线,可以将阴影I分割成I1和I2两部分,然后将阴影I1移至空白I1′处,将阴影I2移至空白I2′处,这样阴影部分就拼成了一个等腰直角三角形。

要求阴影部分的面积,只要求出这个等腰直角三角形的面积即可,列式为:6×6÷2=18(平方厘米)。

练一练1:如图3,已知AB=BC=4厘米,求阴影部分的面积。

二、平移法平移法是指把一些不规则的几何图形沿水平或垂直方向移动,拼成一个规则的几何图形,从而求出面积的方法。

例2如图4,已知长方形的长是12厘米,宽是6厘米,求阴影部分的面积。

分析与解:如图5所示,连结长方形两条长的中点,把阴影部分分成左右两部分,然后把左边的阴影部分向右平移至空白处,这样阴影部分就转化成了一个边长为6厘米的正方形。

要求阴影部分的面积,只要求出这个正方形的面积,列式为:6×6=36(平方厘米)。

练一练2:如图6,求阴影部分的面积(单位:分米)。

三、旋转法旋转法是指把一些几何图形绕某一点沿顺时针(或逆时针)方向转动一定的角度,使分散的、不规则的几何图形合并成一个规则的几何图形,从而求出面积的方法。

例3如图7,已知ABC是等腰直角三角形,斜边AB=20厘米,D是AB的中点,扇形DAE和DBF都是圆的,求阴影部分的面积。

分析与解:如图8所示,把扇形DBF绕D点沿顺时针方向旋转180°后,扇形DBF与扇形DAE就合并成了一个半径为10厘米的半圆,两个空白三角形也合并成了一个直角边为10厘米的等腰直角三角形,要求阴影部分的面积,只要用半圆的面积减去空白部分的面积即可,列式为:×(20÷2)2÷2-(20÷2)2÷2=107(平方厘米)。

初中几何题解题技巧(带例题)

初中几何题解题技巧(带例题)
S△ACD ,则 S 四边形 EFGO=S 阴影-S△ACD 。四边形 EFGO 的面积为:880 -1500÷2=130(平方厘米)。
练一练 7: 如图 19 所示,已知平行四边形 EFGH 的底是 8 厘米,高是 6 厘 米,阴影部分的面积是 16 平方厘米,求四边形 ABCD 的面积。
八、两次求差法 两次求差法是指根据图形之间相容相斥的原理,通过两次求差求出面积的方 法。 例 8 如图 20,长方形 ABCD 的长是 6 厘米,宽是 4 厘米,求阴影部分的面积。
分析与解:通过作辅助线,可以将三角形 ABC 平均分成 16 个完全一样的小 三角形(如图 11 所示),阴影部分为其中 3 个小三角形,即阴影部分的面积占 三角形 ABC 的面积的。阴影部分的面积为:48×=9(平方分米)。
练一练 4: 如图 12 所示,长方形 ABCD 的长是 10 厘米,宽是 6 厘米,E、F 分别是 AB 和 AD 的中点,求阴影部分的面积。
七、等量代换法 等量代换法是指根据题目中图形之间面积相等的关系,以此代彼,相互替换, 从而求出面积的方法。 例 7 如图 18,长方形 ABCD 的面积为 1500 平方厘米,阴影部分的面积为 880 平方厘米,求四边形 EFGO 的面积。
分析与解:在长方形 ABCD 中,△ABF 与△DBF 同底(即 BF 的长)、等高(即 长方形的宽),所以 S△ABF= S△DBF 。若从这两个三角形中同时减去△BEF, 则剩下的图形面积相等,即:S△ABE=S△DEF 。这样 S 阴影=S 四边形 EFGO+
分析与解:通过仔细观察图形,我们可以发现:在大圆中,与阴影Ⅰ、阴影 Ⅱ、阴影Ⅲ面积相等的图形均有 4 个,其中阴影 1 个,空白 3 个。要求阴影部分 的面积,就相当于把大圆的面积平均分成 4 份,求其中一份的面积,列式为: 3.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4×(20÷2)2÷4=78.5(平方厘米)。

初中经典几何证明练习题(含问题详解)

初中经典几何证明练习题(含问题详解)

初中几何证明题经典题(一)1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO . 求证:CD =GF .证明:过点G 作GH ⊥AB 于H ,连接OE ∵EG ⊥CO ,EF ⊥AB∴∠EGO=90°,∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ,CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知:如图,P 是正方形ABCD 部的一点,∠PAD =∠PDA =15°。

求证:△PBC 是正三角形.(初二) 证明:作正三角形ADM ,连接MP ∵∠MAD=60°,∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°,∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ,AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ,MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ,MP=CP ∵∠PAD =∠PDA =15°∴PA=PD ,∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ,∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ,MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F . 求证:∠DEN =∠F .证明:连接AC ,取AC 的中点G,连接NG 、MG ∵CN=DN ,CG=DG ∴GN ∥AD ,GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ,AG=CG ∴GM ∥BC ,GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题(二)1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O 为外心,且OM ⊥BC 于M . (1)求证:AH =2OM ;(2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二) 证明:(1)延长AD 交圆于F ,连接BF ,过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ,BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2(GH+DH )=2GD 又AD ⊥BC ,OM ⊥BC ,OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM (2)连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ,OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由(1)知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ,连接CD并延长交MN 于Q ,连接EB 并延长交MN 于P. 求证:AP =AQ .证明:作点E 关于AG 的对称点F ,连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ,PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ,设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二)证明:作OF ⊥CD 于F ,OG ⊥BE 于G ,连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ,∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN , ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ,∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°,OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP ∴AP=AQ 4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ,点O 是DF 的中点,在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQOP ⊥BC求证:BC=2OP (初二)证明:分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线,垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ,DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°,BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题(三)1、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,AE =AC ,AE 与CD 相交于F . 求证:CE =CF .(初二)证明:连接BD 交AC 于O 。

初中解析几何题型及解题方法

初中解析几何题型及解题方法

初中解析几何题型及解题方法解析几何是初中数学中的一个重要部分,主要涉及直线、圆、抛物线、双曲线等图形的性质和特点。

以下是一些常见的初中解析几何题型及解题方法:1. 求直线的方程题型描述:给定直线上两点或一点及斜率,要求求出直线的方程。

解题方法:+ 两点式:$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$+ 点斜式:$y - y_1 = m(x - x_1)$2. 求圆的方程题型描述:给定圆上的三点或两点及半径,要求求出圆的方程。

解题方法:$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$,其中 $(h, k)$ 是圆心,$r$ 是半径。

3. 直线与圆的位置关系题型描述:给定直线和圆的方程,要求判断直线与圆的位置关系(相交、相切、相离)。

解题方法:计算圆心到直线的距离,与半径比较。

4. 求抛物线的方程题型描述:给定抛物线上的两点或一点及焦点,要求求出抛物线的方程。

解题方法:标准方程为 $y = ax^2 + bx + c$。

如果知道焦点和准线,则可以求出 $a$ 和 $b$ 的值。

5. 求最值问题题型描述:在给定的图形中,求某一点的坐标或某条线段的长度,使得该值最大或最小。

解题方法:使用配方法、顶点式、导数等方法求最值。

6. 实际应用题题型描述:给定生活中的实际问题,如最短路径、最大面积等,要求用解析几何知识求解。

解题方法:建立数学模型,转化为几何问题,然后使用解析几何的知识求解。

在解决解析几何问题时,除了掌握上述方法外,还需要培养自己的空间想象能力和逻辑推理能力。

同时,多做练习题也是提高解题能力的有效途径。

几何动点问题初一例题及解题技巧

几何动点问题初一例题及解题技巧

几何动点问题初一例题及解题技巧:
下面是一个初一几何动点问题的例题及解题技巧:
例题:一个小球从高度为10米的地方自由下落,每次弹地后反弹高度的一半。

求小球在第5次弹地后,总共经过的距离。

解题技巧:
确定问题的关键信息:从题目中可以得知初始高度为10米,每次反弹高度为前一次的一半。

找出问题的规律:观察每次反弹的高度和所经过的距离。

第一次反弹高度为10米的一半,即5米,所经过的距离为10米+5米=15米。

第二次反弹高度为5米的一半,即2.5米,所经过的距离为15米+2.5米=17.5米。

以此类推,我们可以得到第三次、第四次和第五次反弹后所经过的距离。

计算总共经过的距离:将每次反弹后所经过的距离相加即可得到总共经过的距离。

解答:
第一次反弹后所经过的距离:10米+5米=15米
第二次反弹后所经过的距离:15米+2.5米=17.5米
第三次反弹后所经过的距离:17.5米+1.25米=18.75米
第四次反弹后所经过的距离:18.75米+0.625米=19.375米
第五次反弹后所经过的距离:19.375米+0.3125米=19.6875米
因此,在第5次反弹后,小球总共经过的距离为19.6875米。

八年级经典几何题

八年级经典几何题

八年级经典几何题一、三角形全等类。

题1:如图,在△ABC中,AB = AC,AD是BC边上的中线,求证:△ABD≌△ACD。

解析:1. 在△ABD和△ACD中:- 已知AB = AC(题目所给条件)。

- 因为AD是BC边上的中线,所以BD = CD(中线的定义)。

- AD = AD(公共边)。

2. 根据SSS(边 - 边 - 边)全等判定定理,可得△ABD≌△ACD。

题2:已知:如图,点B、E、C、F在同一直线上,AB = DE,AC = DF,BE = CF。

求证:∠A = ∠D。

解析:1. 因为BE = CF,所以BE+EC = CF + EC,即BC = EF。

2. 在△ABC和△DEF中:- AB = DE(已知)。

- AC = DF(已知)。

- BC = EF(已证)。

3. 根据SSS全等判定定理,△ABC≌△DEF。

4. 所以∠A = ∠D(全等三角形的对应角相等)。

二、等腰三角形性质类。

题3:等腰三角形的一个角是70°,求它的另外两个角的度数。

解析:1. 当70°角为顶角时:- 因为等腰三角形两底角相等,设底角为x。

- 根据三角形内角和为180°,则2x+70° = 180°。

- 2x = 180° - 70° = 110°,解得x = 55°。

- 所以另外两个角都是55°。

2. 当70°角为底角时:- 则另一个底角也是70°,顶角为180°-70°×2 = 180° - 140° = 40°。

- 所以另外两个角是70°和40°。

题4:已知等腰三角形ABC中,AB = AC,AD⊥BC于D,若∠BAD = 30°,求∠C的度数。

解析:1. 因为AB = AC,AD⊥BC,根据等腰三角形三线合一的性质,AD是∠BAC的平分线。

初中解析几何解题技巧与实例讲解

初中解析几何解题技巧与实例讲解

初中解析几何解题技巧与实例讲解解析几何是数学的一个重要分支,也是初中数学的一部分。

在学习解析几何时,同学们常常会遇到一些难题,需要一些技巧和方法来解决。

本文将介绍一些初中解析几何解题的技巧,并给出一些实例讲解,帮助同学们更好地掌握解析几何的应用。

一、直线与坐标在解析几何中,直线是一个重要的概念。

通过给定的条件,我们可以确定直线的方程或性质。

下面通过两个实例来说明解析几何中直线的解题技巧:实例1:已知点A(2,3)和点B(5,7),求线段AB的中点坐标。

解析:线段的中点坐标可以通过x坐标和y坐标的平均值来确定。

根据题意,点A的坐标是(2,3),点B的坐标是(5,7)。

所以线段AB的中点坐标为:[(2+5)/2,(3+7)/2],即中点的坐标为(3.5,5)。

实例2:已知直线的斜率为1/2,且经过点(4,3),求直线的方程。

解析:直线的方程可以通过斜率和截距来确定。

根据题意,直线的斜率为1/2,经过点(4,3)。

斜率为1/2说明直线上的任意两点横坐标的差和纵坐标的差的比值都是1/2。

现在取直线上的一点为(x,y),则有(x-4)/(y-3)=1/2。

通过解这个方程可以得到直线的方程。

二、直角三角形与勾股定理直角三角形是解析几何中常见的一个概念,其中最重要的定理就是勾股定理。

下面通过两个实例来说明直角三角形的解题技巧:实例1:已知直角三角形的两条直角边长度分别为3和4,求斜边的长度。

解析:根据勾股定理,直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和。

所以斜边的长度等于√(3^2+4^2)=5。

实例2:已知直角三角形的斜边长度为5,一直角边长度为3,求另一直角边的长度。

解析:根据勾股定理,直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和。

所以另一直角边的长度等于√(5^2-3^2)=4。

三、圆与圆的相交解析几何中考察的另一个重要概念是圆与圆的相交。

通过确定圆心和半径,我们可以确定圆的性质与位置关系。

下面通过一个实例来说明圆与圆的相交的解题技巧:实例:已知圆A的圆心为(2,3),半径为4;圆B的圆心为(5,7),半径为3,求圆A和圆B的交点坐标。

初中的数学经典几何的题目及问题详解

初中的数学经典几何的题目及问题详解

4e d c 经典难题(一)1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO . 求证:CD =GF .(初二)2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD =∠PDA =150.求证:△PBC 是正三角形.(初二)3、如图,已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形,A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点.求证:四边形A 2B 2C 2D 2是正方形.(初二)4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F .求证:∠DEN =∠F .A P C DB A F GC EBO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 N FE CDPCG FB QA DE 经典难题(二)1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O 为外心,且OM ⊥BC 于M .(1)求证:AH =2OM ;(2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二)2、设MN 是圆O 外一直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 引圆的两条直线,交圆于B 、C 及D 、E ,直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二)3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题: 设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ,设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q .求证:AP =AQ .(初二)4、如图,分别以△ABC 的AC 和BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ,点P 是EF 的中点.求证:点P 到边AB 的距离等于AB 的一半.(初二)经典难题(三)1、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,AE =AC ,AE 与CD 相交于F .求证:CE =CF .(初二)· A D HE M C B O · GAO D B EC Q P NM · O Q PB DE C N M · A AFD E2、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,且CE =CA ,直线EC 交DA 延长线于F .求证:AE =AF .(初二)3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点,PF ⊥AP ,CF 平分∠DCE .求证:PA =PF .(初二)4、如图,PC 切圆O 于C ,AC 为圆的直径,PEF 为圆的割线,AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D .求证:AB =DC ,BC =AD .(初三)经典难题(四)1、已知:△ABC 是正三角形,P 是三角形内一点,PA =3,PB =4,PC =5.求:∠APB 的度数.(初二)2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且∠PBA =∠PDA .求证:∠PAB =∠PCB .(初二)3、设ABCD 为圆内接凸四边形,求证:AB ·CD +AD ·BC =AC ·BD .(初三)D E DA CB F F EP C B A O D BFAECP AP CBP A D CB DA4、平行四边形ABCD 中,设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF 相交于P ,且 AE =CF .求证:∠DPA =∠DPC .(初二) 经典难题(五)1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点,L =PA +PB +PC ,求证:≤L <2.2、已知:P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点,求PA +PB +PC 的最小值.3、P 为正方形ABCD 内的一点,并且PA =a ,PB =2a ,PC =3a ,求正方形的边长.4、如图,△ABC 中,∠ABC =∠ACB =800,D 、E 分别是AB 、AC 上的点,∠DCA =300,∠EBA=200,求∠BED 的度数.FP DE CBAAPCBACBPDEDCB A A CBPD经典难题(一)1.如下图做GH⊥AB,连接EO。

初中几何经典题型分享,化异为同,迅速找到突破口!

初中几何经典题型分享,化异为同,迅速找到突破口!

初中几何经典题型共享,化异为同,迅速找到突破口!在初中数学中,几何是一个重要的部分,而几何题型中又有一些经典的题型,对于学生来说,能够熟练掌握这些经典题型是非常关键的。

本文将共享一些初中几何经典题型,并提供一些化异为同的方法,帮助学生迅速找到题目的突破口。

一、相似三角形的题型相似三角形在初中数学中是一个非常重要的概念,而与相似三角形相关的题型也是很常见的。

在解决相似三角形的题目时,我们可以采用化简、观察、找规律的方法快速找到突破口。

1. 根据比例关系求解当题目给出两个相似三角形的边长比例时,我们可以利用这个比例关系来求解其他未知边长。

比如题目给出一个大三角形ABC和一个小三角形DEF,并告诉我们AB与DE的比例为2:1,BC与EF的比例为3:2,我们就可以利用这个比例关系求出AC与DF的比例,从而得出未知边长。

2. 利用相似三角形的性质求解相似三角形有很多性质,比如对应角相等、对应边成比例等。

在解题过程中,我们可以利用这些性质来进行推导和求解。

当题目给出两个三角形相似时,我们可以利用对应角相等的性质来得出一些结论,进而找到解题的方法。

3. 观察图形找出等边和等角有时候,题目中的相似三角形可能隐藏着一些等边和等角的信息,我们可以通过观察图形,找出这些信息,然后利用这些信息来解题。

通过观察图形,我们可以找到一些直接的相等关系,从而快速找到题目的突破口。

二、平行线和角的关系题型平行线和角的关系也是初中几何中的一个重要内容,而与平行线和角的关系相关的题型也是比较常见的。

在解决这类题目时,我们可以采用化异为同的方法,将题目中的信息转化为相似的形式,从而快速找到解题的突破口。

1. 利用平行线的性质找角题目中常常会涉及到一些平行线的性质,比如同位角相等、内错角相等等。

在解题时,我们可以利用这些性质来找出一些角的关系,从而推导出一些结论。

通过化异为同,我们可以将题目中的信息转化为相似的形式,从而更容易找到解题的方法。

八年级上 数学几何典型例题 及 解题思路

八年级上 数学几何典型例题 及 解题思路

数学几何是初中数学的一个重要部分,也是学生们比较容易感到困惑的一个知识点。

通过典型例题的学习,可以帮助学生掌握数学几何的解题方法,提高他们的解题能力。

下面就一些典型的数学几何例题进行详细讲解,希望能够对广大学生有所帮助。

【例题一】已知直角三角形ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=12cm,求AC的长度。

解题思路:1. 根据勾股定理,直角三角形的斜边长度可以通过其两条直角边的长度求得。

2. AC的长度即为三角形ABC的斜边长度,可以使用勾股定理求解。

具体步骤:1. 根据勾股定理,AC的长度可以通过AB和BC的长度求得,即AC²=AB²+BC²。

2. 代入数据,得到AC²=5²+12²=25+144=169。

3. 开平方,得到AC=√169=13cm。

AC的长度为13cm。

离心力计算题:一杯长10cm,杯口宽4cm的杯子内装满水,该杯子立在旋转盘上,旋转盘以每秒200转的角速度匀速旋转,求杯口边缘的水滴的离心力。

解题思路:1. 离心力是一个物体在旋转运动时产生的一种惯性力,可以通过公式计算得出。

2. 对于杯口边缘的水滴,可以看作是在旋转盘上做匀速圆周运动,因此可以利用离心力的公式进行计算。

具体步骤:1. 离心力的公式为F=mω²r,其中m为物体的质量,ω为角速度,r 为旋转半径。

2. 首先计算出水滴的质量,然后根据旋转盘的角速度和杯子的半径计算出离心力的大小。

这里就不再罗列具体计算步骤,具体计算过程略。

最后得出水滴的离心力为XXX。

【例题三】已知矩形ABCD中,AB=8cm,BC=6cm,P是AB的中点,E是BC 上一点,使得PE⊥AB,求PE的长度。

解题思路:1. 首先利用矩形的性质和垂直平分线的性质进行分析。

2. 利用相似三角形的性质,通过比较辅助线的长度来求解PE的长度。

具体步骤:1. 由矩形的性质可知,AD=BC=6cm,同时由垂直平分线的性质可知,PE=EC,且PE⊥AB。

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6
B E
1ห้องสมุดไป่ตู้5
4 2 3
O
D
A
F 图6
6
C
分 析 : 在 AC 上 截 取 AF = AE 。 易 知 AEO AFO , 1 2 。 由 B 60 , 知 。 , 得 : 5 6 60 ,1 60 ,2 3 120 1 2 3 4 60
2
知识归纳: 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本 类型:一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化,如证明平行关系 可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法: (1)综合法(由因导果),从已知条件出发,通过有关定义、定理、公理的应用,逐步向前推进,直到问题 的解决; (2)分析法(执果索因)从命题的结论考虑,推敲使其成立需要具备的条件,然后再把所需的条件看成要证 的结论继续推敲,如此逐步往上逆求,直到已知事实为止; (3)两头凑法:将分析与综合法合并使用,比较起来,分析法利于思考,综合法易于表达,因此,在实际思 考问题时,可合并使用,灵活处理,以利于缩短题设与结论的距离,最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法:复杂的图形都是由基本图形组成的,因此要善于将复杂图形分解成基本图形。 在更多时候需要构造基本图形,在构造基本图形时往往需要添加辅助线,以达到集中条件、转化问题的目的。 一. 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。 很多其它问题最后都可化归为此 类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质,其它如线段中垂线的性质、角平分 线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 例 1. 已知:如图 1 所示, ABC 中, C 90 ,AC BC,AD DB,AE CF 。 求证:DE=DF
说明:有等腰三角形条件时,作底边上的高,或作底边上中线,或作顶角平分线是常用辅助线。 证明二:如图 5 所示,延长 ED 到 M,使 DM=ED,连结 FE,FM,BM A
F
E
B M
D
C
图5
BD DC BDM CDE,DM DE BDM CDE CE BM,C CBM BM / / AC A 90 ABM 90 A AB AC,BF AE AF CE BM AEF BFM FE FM DM DE FDED
说明:证明两直线垂直的方法如下: (1)首先分析条件,观察能否用提供垂直的定理得到,包括添常用辅助线,见本题证二。 (2)找到待证三直线所组成的三角形,证明其中两个锐角互余。 (3)证明二直线的夹角等于 90°。
三. 证明一线段和的问题 (一)在较长线段上截取一线段等一较短线段,证明其余部分等于另一较短线段。(截长法) 例 5. 已知:如图 6 所示在 ABC 中, B 60 ,∠BAC、∠BCA 的角平分线 AD、CE 相交于 O。 求证:AC=AE+CD
BCE DAF ( SAS ) E F
说明:利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线,制造全等三角形,这时应注意:
4
(1)制造的全等三角形应分别包括求证中一量; (2)添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。 二. 证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中,平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行,可用同位角、内错角或同旁内角的 关系来证,也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直,可转化为证一个角等于 90°,或 利用两个锐角互余,或等腰三角形“三线合一”来证。 例 3. 如图 3 所示,设 BP、CQ 是 ABC 的内角平分线,AH、AK 分别为 A 到 BP、CQ 的垂线。求证:KH ∥BC A
(二)延长一较短线段,使延长部分等于另一较短线段,则两较短线段成为一条线段,证明该线段等于较长线 段。(补短法) 例 6. 已知:如图 7 所示,正方形 ABCD 中,F 在 DC 上,E 在 BC 上, EAF 45 。 求证:EF=BE+DF
说明:在直角三角形中,作斜边上的中线是常用的辅助线;在等腰三角形中,作顶角的平分线或底边上的中线 或高是常用的辅助线。显然,在等腰直角三角形中,更应该连结 CD,因为 CD 既是斜边上的中线,又是底边上的 中线。本题亦可延长 ED 到 G,使 DG=DE,连结 BG,证 EFG 是等腰直角三角形。 例 2. 已知:如图 2 所示,AB=CD,AD=BC,AE=CF。求证:∠E=∠F E
初中几何证明技巧及经典试题
证明两线段相等 1. 两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 *9.同圆(或等圆)中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 *10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项(或两后项)相等的比例式中的两后项(或两前项)相等。 *12.两圆的内(外)公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中,底边上的中线(或高)平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角(或等角)的余角(或补角)相等。 *6.同圆(或圆)中,等弦(或弧)所对的圆心角相等,圆周角相等,弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 *7.圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 8.相似三角形的对应角相等。 *9.圆的内接四边形的外角等于内对角。 10.等于同一角的两个角相等。 证明两条直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半,则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中,若有两个角互余,则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一条,则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。 *10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。 *11.利用半圆上的圆周角是直角。 证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等,内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。 6.平行于同一直线的两直线平行。 7.一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的线段对应成比例,则这条直线平行于第三边。
A F
1 2 3
E
B
证明一:连结 AD
D 图4
C
AB AC,BD DC ∠1 ∠ 2 90 ,∠DAE ∠DAB ∠BAC 90 ,BD DC BD AD ∠B ∠DAB ∠DAE 在 A D E和 B D F中,
5
AE BF,∠B ∠DAE,AD BD ADE BDF 3 1 3 2 90 FDED
FOC DOC, FC DC
证明:在 AC 上截取 AF=AE
BAD CAD,AO AO AEO AFO SAS 4 2
又 B 60
5 6 60 1 60 2 3 120 1 2 3 4 60 FOC DOC ( AAS ) FC DC 即 AC AE CD
∠AHB ∠NHB 90 ABH NBH ( ASA)
BA BN,AH HN
BH=BH
同理,CA=CM,AK=KM KH 是 AMN 的中位线 即 KH//BC KH / / MN 说明:当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时,则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把 一个直角三角形沿一条直角边翻折(轴对称)而成一个等腰三角形。 例 4. 已知:如图 4 所示,AB=AC, ∠A 90 ,AE BF,BD DC 。 求证:FD⊥ED
A D
B F 图2
C
证明:连结 AC 在 ABC 和 C D A 中,
AB CD,BC AD,AC CA ABC CDA ( SSS ) B D AB CD,AE CF BE DF 在 B C E 和 D A F中, BE DF B D BC DA
Q K B M 图3 H N
P
C
分析:由已知,BH 平分∠ABC,又 BH⊥AH,延长 AH 交 BC 于 N,则 BA=BN,AH=HN。同理,延长 AK 交 BC 于 M,则 CA=CM,AK=KM。从而由三角形的中位线定理,知 KH∥BC。 证明:延长 AH 交 BC 于 N,延长 AK 交 BC 于 M ∵BH 平分∠ABC ∠ABH ∠NBH 又 BH⊥AH
3
A E D
C
F 图1
B
分析: 由 ABC 是等腰直角三角形可知, 由 D 是 AB 中点, 可考虑连结 CD, 易得 CD AD , A B 45 , DCF 45 。从而不难发现 DCF DAE 证明:连结 CD
AC BC A B
ACB 90 ,AD DB CD BD AD,DCB B A AE CF,A DCB,AD CD A D E C D F DE DF
1
证明线段的和差倍分 1.作两条线段的和,证明与第三条线段相等。 2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段,证明余下部分等于第二条线段。 3.延长短线段为其二倍,再证明它与较长的线段相等。 4.取长线段的中点,再证其一半等于短线段。 5.利用一些定理(三角形的中位线、含 30 度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角 形的性质等)。 证明 角的和差倍分 1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。 2.利用角平分线的定义。 3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 证明线段不等 1.同一三角形中,大角对大边。 2.垂线段最短。 3.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。 4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等,则夹角大的第三边大。 *5.同圆或等圆中,弧大弦大,弦心距小。 6.全量大于它的任何一部分。 证明两角的不等 1.同一三角形中,大边对大角。 2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。 3.在两个三角形中有两边分别相等,第三边不等,第三边大的,两边的夹角也大。 *4.同圆或等圆中,弧大则圆周角、圆心角大。 5.全量大于它的任何一部分。 证明比例式或等积式 1.利用相似三角形对应线段成比例。 2.利用内外角平分线定理。 3.平行线截线段成比例。 4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。 *5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。 6.利用比利式或等积式化得。 证明四点共圆 *1.对角互补的四边形的顶点共圆。 *2.外角等于内对角的四边形内接于圆。 *3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆(顶角在底边的同侧)。 *4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。 *5.到顶点距离相等的各点共圆
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