控制系统的状态空间描述

2、系统的状态和系统的输出是两个不同的概念。 系统的输出通常有明确的物理含义，是可以测量的； 系统的状态不一定有物理含义，不一定可以测量； 在线性系统中，输出是系统状态变量中某一个或某几个的线性组合。
1.2 状态空间表达式
一、状态方程
1、状态方程的定义
所谓状态方程，就是描述系统的状态之间以及输入和状态之间动态关系的 一阶微分方程组。
x(t) :
x1 (t)
x (t )
x
2
(
t
)
x
n
(
t
)
状态向量
u1
u(t) :
u (t )
u
2
u
l
f1 ()
f () :
f
()
f
2
()
f
n
()
输入向量
n 1 维的函数向量
3、线性定常系统的状态方程
x 1a11x1a12x2a1nxnb11u1b12u2b1lul x 2a21x1a22x2a2nxnb21u1b22u2b2lul x n an1x1an2x2an nxnbn1u1bn2u2bnul l
较之传递函数，状态空间描述的优点有：
1、可以方便地描述多输入—多输出系统；
2、由前面的分析可以看出，对于不同维数的系统，可以采用同一表达方 式来进行描述，由此可见从低维系统得到的结论可以方便地推广到高维系 统，只是计算复杂一些而已。
3、状态空间分析是一种时域分析方法，可用计算机直接在时域中进行数 值计算。
2、状态方程的标准形式
dx1 dt
x1
f1(x1, x2 ,
, xn ; u1, u2 ,
,ul )
dx2 dt
x2
f2 (x1, x2 ,
, xn ; u1, u2 ,
,ul )
dxn dt
xn
fn (x1, x2 ,
, xn ; u1, u2 ,
,ul )
向量矩阵形式为
x (t)f(x(t)u ,(t))
输入向量：将系统的各个输入量看成一个列向量 u (t ) 。
u1 (t )
u (t)
u
2
(
t
)
u
l
(
t
)
l ：输入量的个数
输出向量：将系统的各个输出量看成一个列向量 y (t ) 。
y1(t)
y (t )
y
2
(
t
)
y
m
(
t
)
m：输出量的个数
1、系统状态变量的选取不是唯一的，但状态的数目是一定的；
x(t)Ax(t)Bu(t) y(t)Cx(t)Du(t)
或
A B
C D
四、状态空间模型与传递函数的比较
U(s)
Y(s)
G(s)
传递函数只能描述系统外部的输入输出关系，并不能反映系统内部状态的 变化，我们称之为外部描述。
状 态
x1
x
2
输 出
方 方
程
x
n
程
状态空间表达式将输入输出间的信息传递分为两段来描述。第一段是输入 引起系统内部状态发生变化，用状态方程描述；第二段是系统内部的状态 变化引起系统输出的变化，用输出方程描述。由此可见，状态空间表达式 在一定程度上描述了系统内部变量的变化，所以我们称之为内部描述。
2、输出方程的标准形式
y1 g1(x1, x2, , xn;u1,u2, ,ul ) y2 g2(x1, x2, , xn;u1,u2, ,ul ) ym gm(x1, x2, , xn;u1,u2, ,ul )
向量矩阵形式为
y(t)g(x(t)u ,(t))
y1(t)
y (t )
:
y (t )
向量矩阵形式为
x (t)A(tx )B(tu )
a11 a12 a1n
A a21 a22
a
2
n
an1
an2
ann
nn维的系数矩阵
b11 b12 b1l
B b21 b22
b2
l
bn1 bn2
bnl
nl 维的系数矩阵
二、输出方程
1、输出方程的定义 所谓输出方程，就是描述系统输出量与状态和输入量之间相互关系的代数 方程组。
y
2
(
t
)
y
m
(
t
)
输出向量
g 1 ()
g ()
:
g ()
g
2
(
)
g
n
(
)
m1维的函数向量
3、线性定常系统的输出方程
y1c1x11c12x2c1nxnd1u11d1u 22d1lul y2c2x11c22x2c2nxnd2u11d2u 22d2lul ymcm1x1cm2x2cmxnndm1u1dm2u2dmull
五、状态空间模Leabharlann Baidu的结构图
u
x
x
y
B
C
A
D
六、状态空间表达式的非唯一性
假设 x和 x * x 是我们为某一系统选定的两组不同状态变量， 和 x * 之间有
一一对应的变换关系即可逆变换关系，对于线性系统而言，这种关系就是
线性非奇异变换，既 x与 x *之间必有关系
xPx*
其中P为非奇异常数矩阵
x 设以 为状态向量时系统的状态空间表达式为
表示。
x1(t)
x (t)
x
2
(
t
)
x
n
(
t
)
三、状态空间
状态空间：所有n维状态向量的全体便构成了实数域上的n维状态空间。
状态轨迹：在状态空间中，时间t是一个参变量，某一时间t的状态是状 态空间中的一个点，而一段时间下状态的集合称为系统在这一时间段的状 态轨迹，有时也称作相轨迹。
四、输入向量和输出向量
第一章 控制系统的状态空间描述
1.1 状态向量与状态空间
一、状态的定义
1、定义 所谓系统状态，是指在描述对象运动的所有变量中，必定可以找到数目最 小的一组变量，它们足以描述对象的全部运动。 状态变量: 该变量组中的每个变量称为状态变量。
2、有关定义的两点说明 1）足以描述系统全部运动的含义：只要确定了这组变量在某一初始时刻
则t对 象t 0的的全值部，变并量且在确此定刻了和从（这t一 初t 0 始）时的刻运起动（都唯t 一t 确0 ）定的了输。入量函数，
2）数目最小的含义：是指这个变量组中的每个变量都是相互独立的。
二、状态向量
若一个系统有n个状态变量：x1(t)x ,2(t) , ,xn(t)，用这n个状
态变量作为分量所构成的向量 x (t ) ，就称为该系统的状态向量，用 x (t )
向量矩阵形式为
y(t)C(tx )D(tu )
c11 c12 c1n
C
c21
c22
c2
n
cm1 cm2
cmn
mn维的系数矩阵
d11 d12
D
d
21
d 22
dm1 dm2
d1l
d2l
d
ml
ml 维的系数矩阵
三、状态空间表达式（状态空间模型）
线性定常系统的状态空间模型：将状态方程和输出方程合在一起，即