9.4_完全平方公式(一)

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初中数学课件-完全平方公式演示课件北师大版1

完全平方公式
知识回顾
多项式乘多项式的法则
（a + b）（p + q）= ap + aq + bp + bq
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
这个式子有什么特点？
这是两个数的平方和你知道怎么算这种式子吗？
下面就来探究一下．
探究计算下列各式：
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代数证明
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=
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几何证明
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练习
1．在等号右边的括号内填上适当的项，并用去括号法则检验．
（1）a+b-c=a+（
）
（2）a-b-c=a-（
）
（3）a+b-c=a-（
）
（4）a+b+c=a-（
）
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ab ab
=
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完全平方差
观察式子，回答下列问问题： ①等式左边都是两个数__差__的__平___方____ ②等式右边都是两个数__平__方___的__和____，再减去这两个数 __积__的___两__倍____

完全平方公式

完全平方公式（1）教案背景：本节课的主题：通过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平方公式的两种形式。

关键信息：1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。

首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关系。

通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。

学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。

2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学生的数学思维。

教学课题：完全平方公式（1）教材分析：知识与技能：经历由一般的多项式乘法向乘法公式过渡的探究过程，进一步培养学生归纳总结的能力,并给公式的应用打下坚实的基础。

数学思考：能收集、选择、处理数学信息，并做出合理的推断或大胆的猜测；解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。

情感与态度：敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难勇气和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；体验数、符号和图形是有效的描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性；在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解；能从交流中获益。

教学方法：1、教师是学生学习的组织者、促进者、合作者：本节的教学过程，要为学生的动手实践，自主探索与合作交流提供机会，搭建平台；尊重和自己意见不一致的学生，赞赏每一位学生的结论和对自己的超越，尊重学生的个人感受和独特见解；帮助学生发现他们所学东西的个人意义和社会价值，作学生健康心理、健康品德的促进者、催化剂。

完全平方公式ppt课件

4. 解法：
（1）先把二次方程化为完全平方公式的形式： ax² + bx + c = 0
完全平方公式
（2）然后将方程按照完全平方公式的标准形式：
(x + p)² + q = 0
01
（5）求出方程的根：
x1 = -p + √(-q)
04
x2 = -p - √(-q)
（3）求出p、q的值：
02
p = -b/2a q = c - b²/4a
一、完全平方公式
演讲人 2023-01-14
目录
01
02
完全平方公式
实例
完全平方公式
1. 定义：
完全平方公式，又称为对称二次方程，指的是可以表示为一
个完全平方式的二次方程。
2. 标准形式：
ax² + bx + c = 0
3. 用途：
完全平方公式可以用来解决二次方程，求解方程的根，从而
解决一些数学问题。
04
0 5
（1）将二次方程化为完全平方公式的形式：
x² - 10x + 25 = 0
（3）求出p、q的值：
p = -10/2 q = 25 - 100/4
实例
x1 = 5 + √24 01
03 x1 = 9
（5）求出方程的根：x2 = 5 - √2 0204 x2 = 1
谢谢
03
（4）由求出的p、q值代入完全平方公式中：
(x + p)² + q = 0
实例
例1：解x² - 10x + 25 = 0
在右侧编辑区输入内容
（2）按照完全平方公式的标准形式：

完全平方公式

9.3运用公式法――完全平方公式(1)教学目标1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．4．通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。

教学重点和难点重点：运用完全平方式分解因式.难点：灵活运用完全平方公式公解因式.教学过程一、复习1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法.问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?答：有完全平方公式.请写出完全平方公式.完全平方公式是：(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2.这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2.这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式.问：具备什么特征的多项是完全平方式?答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?(1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2；(3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1.答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=(x+3)2.(2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy.(3)是完全平方式.25x4=(5x)2，1=1 ，10x2=2·5x2·1，所以25x4－10x2+1=(5x－1)2.(4)不是完全平方式.因为缺第三部分.请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?答：完全平方公式为：其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.例1 把25x4+10x2+1分解因式.分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“25x4”是(5x2)的平方，第三项“1”是1的平方，第二项“10x2”是5x2与1的积的2倍.所以多项式25x4+10x2+1是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式.解 25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2例2 把1－12m+116m2分解因式.问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法?答：这个多项式由三部分组成，第一项“1”是1的平方，第三项“116m2”是m4的平方，第二项“－12m”是1与m/4的积的2倍的相反数，因此这个多项式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式解法1 1－12m+116m2=1－2·1·m4+（m4）2=（1－m4）2.解法2 先提出，则1－12m+116m2=116(16－8m+m2)=116(42－2·4·m+m2)=116(4－m)2.三、课堂练习(投影)1.填空：(1)x2－10x+（）2=（）2；(2)9x2+（）+4y2=（）2.2.下列各多项式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多项式改变为完全平方式.(1)x2－2x+4； (2)9x2+4x+1； (3)a2－4ab+4b2；(4)9m2+12m+4.3.把下列各式分解因式：(1)a2－24a+144； (2)4a2b2+4ab+1；(3)19x2+2xy+9y2答案：1.(1)25，(x－5) 2； (2)12xy，(3x+2y) 2； (3)2m/3，（1－m3）2.2.(1)不是完全平方式，如果把第二项的“－2x”改为“－4x”，原式就变为x2－4x+4，它是完全平方式；或把第三项的“4”改为1，原式就变为x2－2x+1，它是完全平方式.(2)不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x2+6x+1，它是完全平方式.(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2.(4)是完全平方式，9m2+12m+4=(3m+2) 2.(5)是完全平方式，1－a+a2/4=（1－a2）2.3.(1)(a－12) 2； (2)(2ab+1) 2；(3)(13x+3y) 2； (4)（12a－b）2.四、小结运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：1.首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解.有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解.2.在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2；如果是负号，则用公式a2－2ab+b2=(a－b) 2.五、作业把下列各式分解因式：1.(1)a2+8a+16； (2)1－4t+4t2；(3)m2－14m+49； (4)y2+y+1/4.2.(1)25m2－80m+64； (2)4a2+36a+81；(3)4p2－20pq+25q2； (4)16－8xy+x2y2；(5)a2b2－4ab+4； (6)25a4－40a2b2+16b4.3.(1)m2n－2mn+1； (2)7am+1－14am+7am－1；答案：1.(1)(a+4)2； (2)(1－2t)2；(3)(m－7) 2； (4)（y+12）22.(1)(5m－8) 2； (2)(2a+9) 2；(3)(2p－5q) 2； (4)(4－xy) 2；(5)(ab－2) 2； (6)(5a2－4b2) 2.3.(1)(mn－1) 2； (2)7a m－1(a－1) 2.文案编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。

9.4_完全平方公式(一)第七周开课版

议一议
如何计算
解:
2 (a+b+c) 2 =[(a+b)+c]
2 (a+b+c)
2 2 =(a+b) +2·(a+b)·c+c 2 2 2 =a +2ab+b +2ac+2bc+c
2 2 2 =a +b +c +2ab+2ac+2bc
应用新知 2 2001 = 2 99 =
体会成功：
通过这节课的学习你学到了什么
课堂小结
1.能运用完全平方公式进行相关计算.
2.能够掌握完全平方公式推导方法，并体会换元和数形结合思想;
完全平方差公式的图形理解 b a
ab
b² ab
？
2
( a b) a ab ab b 2 2 a 2ab b
2
a b
2
作业
P65 页2 、4、
课堂检测
（1）(6a+5b)2 2 （2）(4x-3y)
b ab a
b²
ab b
2 2
(a+b)²
a²
a
2
( a b) a +2ab +b
完全平方和公式
例1 计算：(例题解析１ a – b )2
想一想：你有几种方法计算 (a-b)2
方法一：
解：(a-b)2= (a-b) (a-b)
=a2 –ab –ab +b2
=a2 -2ab +b2
例1 计算：(a-b)2
算一算：
2 (a+b)
=(a+b) (a+b) 2 2 = a +ab +ab +b 2 2 = a +2ab+b

《完全平方公式》教案

《完全平方公式》教案第一章：引言1.1 教学目标让学生了解完全平方公式的概念和意义。

引导学生通过实际例子发现完全平方公式的规律。

1.2 教学内容完全平方公式的定义和表达式。

完全平方公式的推导和证明。

1.3 教学方法使用图表和动画辅助学生理解和记忆完全平方公式。

1.4 教学评估设计一些练习题，让学生应用完全平方公式进行计算。

观察学生在练习中的表现，及时给予指导和帮助。

第二章：完全平方公式的推导和证明2.1 教学目标让学生理解完全平方公式的推导过程。

引导学生通过证明理解完全平方公式的正确性。

2.2 教学内容完全平方公式的推导方法。

完全平方公式的证明过程。

2.3 教学方法使用图表和动画演示完全平方公式的推导过程。

引导学生通过逻辑推理和数学证明理解完全平方公式的正确性。

2.4 教学评估设计一些证明题，让学生运用完全平方公式进行证明。

观察学生在证明过程中的思路和推理是否清晰。

第三章：完全平方公式的应用3.1 教学目标让学生能够运用完全平方公式解决实际问题。

引导学生通过完全平方公式简化计算过程。

3.2 教学内容完全平方公式在实际问题中的应用。

完全平方公式在简化计算过程中的作用。

3.3 教学方法通过实际例子引导学生运用完全平方公式解决问题。

使用图表和动画演示完全平方公式在计算过程中的应用。

3.4 教学评估设计一些应用题，让学生运用完全平方公式进行计算和解决问题。

观察学生在解题过程中的思路和计算是否准确。

第四章：完全平方公式的扩展4.1 教学目标让学生了解完全平方公式的扩展形式。

引导学生通过完全平方公式的扩展形式解决更复杂的问题。

4.2 教学内容完全平方公式的扩展形式。

完全平方公式的扩展形式在解决问题中的应用。

4.3 教学方法通过实际例子引导学生了解完全平方公式的扩展形式。

使用图表和动画演示完全平方公式的扩展形式在解决问题中的应用。

4.4 教学评估设计一些扩展题，让学生运用完全平方公式的扩展形式进行计算和解决问题。

初中数学《完全平方公式》实用ppt北师大版1

4.根据结构来梳理。按照情节的开端、发展、高潮和结局来划分文章层次,进而梳理情节。
5.根据场景来梳理。一般一个场景可以梳理为一个情节。小说中的场景就是不同时间人物活动的场所。
6.根据线索来梳理。抓住线索是把握小说故事发展的关键。线索有单线和双线两种。双线一般分明线和暗线。高考考查的小说往往较简单,线索也一般是单线式。
a 2 b 2 ( a b ) 2 2 ab (ab)2 2ab
4a b(ab)2(ab)2
课本P156习题15.2—2、3、4题, 《同步导学》P97-98.
1.情节是叙事性文学作品内容构成的要素之一,是叙事作品中表现人物之间相互关系的一系列生活事件的发展过程。
(2)(x -y)2 =x2 -y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2错
(-x +y)2 =x2 -2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 错
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
例1、运用完全平方公式计算：
2.它由一系列展示人物性格,反映人物与人物、人物与环境之间相互关系的具体事件构成。
3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础, 也是整体感知小说的起点。命题者在为小说命题时,也必定以情节为出发点, 从整体上设置理解小说内容的试题。通常从情节梳理、情节作用两方面设题考查。
例3.
若 ab5,a b6,求 a2b2,a2ab b2.

9.4乘法公式

9.4乘法公式（完全平方公式）班级姓名学号等第教学目标：(1) 探索并推导完全平方公式、并能运用公式进行简单的计算； (2) 引导学生感受转化的数学思想以及知识间的内在联系。

教学重点：完全平方公式；教学难点：正确的应用完全平方公式、进行计算教学方法：探索、引导法教具准备：三角尺、投影仪 a 教学过程：一. 情景创设 b如右图：你能通过不同的方法计算大正方形的面积吗？从而你发现了什么？二. 探索活动问题一：如何用字母表示上图中大正方形的面积？生：将上图看成一个大正方形，则面积为 2)(b a +。

师：很好，还有没有其它的方法呢？生：可将上图看成是由两个小长方形和两个小正方形组成的图形，那么它的面积为222b ab a ++。

师：两种方法都求出了大正方形的面积，从而我们可以发现什么呢？生：2)(b a +=222b ab a ++ 这个公式就叫做一个完全平方公式。

问题二：你能用多项式的乘法法则推导公式2)(b a +=222b ab a ++吗？生：2)(b a +=))((b a b a ++=22b ba ab a +++=222b ab a ++ 师：很好，你能用同样的方法计算2)(b a -吗？生：222222))(()(b ab a b ba ab a b a b a b a +-=---=--=- 即：2222)(b ab a b a +-=-，这是我们要学习的另一个完全平方公式。

完全平方公式：2)(b a + 222b ab a ++=2222)(b ab a b a +-=-师：你能用文字语言叙述这两个公式吗？两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍师：你能说出这两个公式的特点吗？生：左边是：两数和（差）的平方. 右边是: 两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 三. 范例点睛例1 计算：( a – b )2想一想：你有几种方法计算 (a -b )2例2 用完全平方公式计算(1) ( 5 + 3p )2 (2) ( 2x - 7y )2例3 用完全平方公式计算（1）（ -x + 2y ）2 (2) ( -2a - 5)2例4 用完全平方公式计算（1）9982 （2） 1012例4：填空题：（注意分析，找出a 、b ）①()()2216=++x ； ②()()()22243=+-y x③()()22=+-ab a ；④()()225025=++ab a ⑤()-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-2224116214y x y x⑥()()222b ab a b a ++=+- ()()222b ab a b a +-=-+例5．已知3=+y x ，2=xy ，求①22y x +；②yx 11+四．随堂练习1、用完全平方公式计算 (1)（1＋x ）2 （2） (y -4)2（3） ( x − 2y )2 （4） (2x y + x )22. 一个正方形的边长为a c m 。

（1）完全平方公式

（1）完全平方公式（1）完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a ，b 可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式1. 下列运算正确的是( ) A ．326a a a ⋅= B ．3226()ab a b =C ．222()a b a b -=-D ．532a a -=答案：B2. 已知2()8m n -=，2()2m n +=，则22m n +=( ) A ．10 B ．6C ．5D ．3答案：C3. 当3a =，2b =时，222a ab b ++的值是( ) A ．5 B ．13C ．21D ．25答案：D4. 若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=，则下列式子一定成立的是( ) A ．0x y z ++= B ．20x y z +-=C ．20y z x +-=D ．20z x y +-=答案：D5. 若a 、b 是正数，1a b -=，2ab =，则a b +=( )A ．3-B ．3C ．3±D ．9答案：B6. 下列运算正确的是( ) A ．22232x x x -= B ．22(2)2a a -=-C ．222()a b a b +=+D ．2(1)21a a --=--答案：A7. 若a 满足22(38383)38383a -=-⨯，则a 值为( ) A ．83 B ．383C ．683D ．766答案：C8. 下列各式中，与2(1)x -相等的是( ) A ．21x - B ．221x x -+C ．221x x --D ．21x +答案：B9. 下列计算正确的是( )A．23325x x x += B．222()a b a b -=- C．326()x x -= D．2363412x x x ⋅=答案：C10. 若3a b +=，则222426a ab b ++-的值是( ) A ．12 B ．6C ．3D ．0答案：A11. 已知2225x y +=，7x y +=，且x y >，那么x y -的值等于( ) A ．1± B ．7±C ．1D ．1-答案：C12. 小明做题一向粗心，下面计算，他只做对了一题，此题是( ) A ．336a a a +=B ．257a a a ⋅=C ．326(2)2a a =D ．222()a b a ab b -=-+答案：B13. 某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a 、b ，都有a b +≥成立．某同学在做一个面积为36002cm ，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述规律，求得用来作对角线用的竹条至少需要准备x cm ．则x 的值是( )A ．B ．C ．120D ．60答案：C14. 当2x =-时，代数式221x x -+-的值等于( ) A ．9 B ．9-C ．1D ．1-答案：B15. 已知3a b +=，339a b +=，则ab 等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：B16. 设22(53)(53)a b a b A +=-+，则A =( ) A ．30ab B ．15abC ．60abD ．12ab答案：C17. 若7m n +=，12mn =，则22m mn n -+的值是( ) A ．11 B ．13C ．37D ．61答案：B18. 运算结果为222mn m n --的是( ) A ．2()m n - B ．2()m n --C ．2()m n -+D ．2()m n +答案：B19. 已知2()8a b +=，2()12a b -=，则ab 的值为( ) A ．1B ．1-C ．4D ．4-答案：B20. 已知7x y +=，8xy =-，下列各式计算结果正确的是( ) A ．2()91x y -= B ．2265x y += C ．22511x y += D ．22567x y -=答案：B21. 不论x 、y 为什么实数，代数式22247x y x y ++-+的值( ) A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数答案：A22. 若156x =，144y =，则 221122x xy y ++的值是( ) A ．150 B ．45000 C ．450 D ．90000答案：B23. 不论m ，n 为何有理数，22248m n m n +--+的值总是( ) A ．负数 B ．0 C ．正数 D ．非负数答案：C24. 已知代数式2221a a -+-，无论a 取任何值，它的值一定是( ) A ．正数 B ．非正数 C ．非负数 D ．负数答案：D25. 已知实数x 满足13x x +=，则221x x+的值为____________。

9.4完全平方公式.4完全平方公式

【练一练】
3．用简便方法计算 992.
4．如图所示，内外两个均为正方形，则小正方形的边长为多少厘米？大正方形的面积比小正方形大多少？
3
a
9.4 乘法公式（1）——完全平方公式
2=a2+2ab+b2 ; ( a + b ) 完全平方公式： 2 −2ab+b2. 2 a (a−b) =
在解题过程中要正确确定a和b、对照公式原形的两边，做到不丢项、不弄错符号、2ab时不能少乘2.
a
b
(a+b)2= a2+ 2 ab + b2
9.4 乘法公式（1）——完全平方式
想一想
(a+b)2=a2+2ab+b2 ；
(a + b )2 = ( a + b ) ( a + b )
=a2+ab+ ab+b2 =a2+2ab+ b2
你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
推证
这个公式称为完全平方公式.
9.4
乘法公式（1） ——完全平方公式
9.4 乘法公式（1）——完全平方公式
聪明的阿凡提
从前有一个贪心的财主，人们叫他巴依老爷. 巴依老爷有两块地，一块面积为 a2，另一块面积为 b2，而阿凡提只有一块地，面积为(a+b)2 .有一天，巴依老爷眼珠一转对阿凡提说:“我用我的两块地换你的一块地，可以吧？”
公式的结构特征（口诀）：
首平方，尾平方，首尾二倍在中央，中央符号看前方.
9.4 乘法公式（1）——完全平方公式
【例1】用完全平方公式计算：
（1）(5＋3p)2；（2） (2x－7y)2；（3） (－2a－5)2.

完全平方公式

完全平方公式完全平方公式是数学中一个用于求解一元二次方程的重要公式。

通过完全平方公式，我们可以直接求解任意形式的一元二次方程，而无需进行因式分解或使用其他方法。

一元二次方程的一般形式一元二次方程是指一个未知数的二次方程，其一般形式可以表示为：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c为已知的实数系数，且a不等于0。

我们的目标是求解方程中的未知数x的值。

完全平方公式的表达给定一个一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，完全平方公式可以表示为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)在完全平方公式中，± 表示两个不同的解，√代表求平方根。

完全平方公式的推导过程完全平方公式可以通过配方法进行推导，具体过程如下：首先，将一元二次方程ax^2 + bx + c = 0移项得到ax^2 + bx = -c。

然后，我们通过添加一个常数项，使得方程成为一个完全平方。

我们的目标是创建一个二次多项式，其可以被表示为一个完全平方。

为了实现这一点，我们需要将方程右侧的常数项进行调整。

如果需要使方程成为一个完全平方，则我们需要添加一个数使得bx可以写成一个平方项的形式。

考虑到一元二次方程的一般形式，我们可以选择b/2的平方，即(b/2)^2 = b^2/4。

将这个平方项添加到方程右侧，我们可以得到(ax^2 + bx + b^2/4) = -c + b^2/4。

通过移项，我们将该方程转化为(ax + b/2)^2 = b^2 - 4ac/4。

接下来，我们对上式的两边取平方根，得到ax + b/2 = ± √(b^2 - 4ac)/2。

最后，将方程重新整理，我们可以得到完全平方公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)完全平方公式的应用举例通过完全平方公式，我们可以解决任意一元二次方程的问题。

下面是一些应用举例：例子1给定方程2x^2 + 5x - 3 = 0，我们可以通过完全平方公式求解x的值。

初中完全平方公式大全

初中完全平方公式大全完全平方公式是指一个二次多项式的形式为 a^2 + 2ab + b^2 或a^2 - 2ab + b^2，其中 a 和 b 是任意实数。

这个公式在代数中经常用到，它的应用非常广泛。

完全平方公式可以用来解决一些关于二次方程的问题。

二次方程的一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a，b，c 分别是二次项、一次项和常数项的系数。

当我们想要将二次方程转化为一个完全平方时，可以使用完全平方公式。

我们将二次方程的左边整理成一个完全平方的形式，即可方便地解得方程的解。

在应用完全平方公式时，有一些常见的问题类型。

其中一种类型是给定二次方程的解，求解二次方程的系数。

假设有一个二次方程 x^2 + bx + c = 0，已知该方程有两个解 x1 和 x2，我们可以利用完全平方公式来解出 b 和 c。

首先，根据完全平方公式，我们知道 (x - x1)(x - x2) = 0。

展开这个式子，可以得到x^2 - (x1 + x2)x + x1x2 = 0。

由此可以看出，b = -(x1 + x2)，c = x1x2。

另一种常见的问题类型是利用完全平方公式将一个二次方程转化为一个完全平方。

例如，给定一个二次方程 ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过使用完全平方公式将其转化为 (sqrt(a)x + sqrt(a)b/2sqrt(a))^2 + c - b^2/4a = 0。

从这个新形式中，我们可以直接读出方程的解。

另外，这种形式也有助于我们分析方程的性质。

完全平方公式在几何问题中也有广泛的应用。

例如，对于一个正方形，我们知道其对角线的长度是边长的√2 倍。

这个结论可以通过完全平方公式得出。

假设正方形边长为 a，则对角线的长度为√(a^2 + a^2) = √(2a^2) = a√2。

在解决数列和等差数列问题时，完全平方公式也是非常有用的。

例如，对于一个等差数列的前 n 项和 Sn，我们可以通过将 Sn表达为 n 个完全平方的和来简化计算。

常用完全平方公式

常用完全平方公式同学们，今天咱们来聊一聊一个特别有趣又很有用的数学知识，那就是完全平方公式。

什么是完全平方公式呢？就像搭积木一样。

比如说有个小正方形，它的边长是a，那这个小正方形的面积就是a乘以a，也就是a²。

现在呢，我们想把这个小正方形变大一点。

我们在它的两边各加上一个小长方形，这个小长方形的长是a，宽是b。

这样就组成了一个更大的正方形。

这个大正方形的边长就是a + b啦。

那这个大正方形的面积怎么算呢？我们可以把它分成好几部分。

中间原来的小正方形面积是a²，两边的小长方形面积都是ab，还有一个新的小正方形，它的边长是b，面积就是b²。

所以这个大正方形的面积就是(a + b)²，它等于a²+ 2ab + b²。

这就是完全平方公式的一种啦。

我给大家讲个故事吧。

小明有个正方形的小花园，边长是3米，那这个小花园的面积就是3² = 9平方米。

后来呢，小明想把花园扩大一点，他在花园的两边各加宽了2米。

这时候花园就变成了一个大正方形，边长变成了3 + 2 = 5米。

那这个大花园的面积就是5² = 25平方米。

我们用完全平方公式来算一算。

原来花园边长是a = 3米，加宽的长度是b = 2米。

按照公式(a + b)² = a²+ 2ab + b²，就是3²+ 2×3×2+ 2² = 9 + 12 + 4 = 25平方米，和我们直接算边长为5米的正方形面积是一样的呢。

还有一种完全平方公式哦。

假如我们有一个大正方形，边长是a，我们从这个大正方形的一个角上拿掉一个小正方形，这个小正方形的边长是b。

那剩下的图形的面积怎么算呢？这个大正方形面积是a²，拿掉的小正方形面积是b²，剩下的图形可以看成两个一样的长方形，长方形的长是a，宽是(a - b)，那这两个长方形的面积就是2ab - 2b ²。

完全平方公式ppt课件

推导过程
引入
通过具体例题引入完全平方公式的概念，让学生明确学习目标。
推导步骤
逐步详细展示完全平方公式的推导过程，包括展开、整理、简化等步骤，确保逻辑严密。
推导结论
公式形式
总结得出完全平方公式的标准形式，强调公式中的重要部分，如中间项系数、首尾项平方等。
应用举例
通过具体例题，演示如何运用完全平方公式进行计算，帮助学生理解公式的实际应用。
它可以帮助我们简化二次多项式，将其表示为一个更简单的形式，便于计算和解决各种数学问题。
完全平方公式还可以用于证明一些重要的数学定理，如勾股定理和三角形的余弦定理等。
02
完全平方公式的推导过程
推导前的准备
知识储备
学生应具备基本的代数知识和运算能力，了解平方、乘法等基本概念。
工具准备
准备黑板、白板或PPT等教学演示工具，以便清晰地展示推导过程。
详细描述
该公式是二次项和一次项的完全平方公式，其中$a$和$b$是常数，表示一个二次多项式和一个一次多项式相加或相减的结果。
二次项和常数的完全平方公式
总结词
表示形式为$a^2+2ac+c^2$，适用于二次项和常数的完全平方公式。
详细描述
该公式是二次项和常数的完全平方公式，其中$a$、$c$是常数，表示一个二次多项式和一个常数相加或相减的结果。
完全平方公式ppt课件
目
CONTENCT
录
• 完全平方公式简介 • 完全平方公式的推导过程 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的变种 • 完全平方公式的练习题
01
完全平方公式简介
完全平方公式的定义
01
完全平方公式是一种数学公式，用于将一个二次多项式表示为一个一次多项式和一个常数的乘积的平方。