2019-2020学年高中数学 2.1.2离散型随机变量的分布列导学案新人教版选修2-3.doc
高中数学_2.1.2离散型随机变量的分布列教学设计学情分析教材分析课后反思
课题 §2.1.2离散型随机变量的分布列一.【教学目标】知识技能目标：了解离散型随机变量的分布列，会求某些简单的离散型随机变量的分布列；过程方法目标：发展学生的抽象、概括能力；情感态度目标 ：通过引导学生对解决问题的过程的参与，使学生进一步感受数学表示的简洁，从而激发学生学习数学的热情.二、【重点、难点】教学重点:会求离散型随机变量的分布列, 会应用离散型随机变量的分布列的性质.教学难点：求离散型随机变量的分布列. 三、【教具准备】多媒体课件.四、【教学过程】1、新课导入（1）随机变量：我们将随机试验中的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量．随机变量常用字母X 、Y 、ξ、η等表示． （2）两类随机变量若随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量. 若随机变量的取值是某个区间的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 今天先来学习离散型随机变量的分布列. 2、探究问题抛掷一枚骰子，所得的点数X 有哪些值？X 取每个值的概率是多少？ 3、新课讲授（1）离散型随机变量的分布列的定义设离散型随机变量X 可能取的值为12,,a a L ,随机变量X 取i a 的概率为(1,2,,)iP i n =L ，记作： ()()1,2,3,i i P X a p i ===L （1） 或把上式列成表2-2：表2-2或（1）式称为离散型随机变量X 的分布列.（2）根据随机变量的意义与概率的性质，你能发现分布列有什么性质？①0,12，，i p i >=L ②121p p ++=L 4、典例探究例1 设随机变量X 的分布列 ak k X =⎪⎭⎫ ⎝⎛=5p (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a 的值；(2)求⎪⎭⎫ ⎝⎛≥53p X .[跟踪训练]1．若离散型随机变量X 的分布列为：例2. 一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个小球，用X 表示取出球的最大号码，求X 的分布列．5、随堂练习1．设随机变量ξ的分布列为()ia i p ⎪⎭⎫⎝⎛==31ε， i ＝1,2,3，则a 的值为( )A ．1B ．913C ．2713D ．11132．下列表中能成为随机变量X 的分布列的是( )A.B.C.D.3．2X －1，则P (Y ＜6)的值为( )A ．0.3B ．0.5C ．0.1D ．0.24．将一枚硬币掷三次，设X 为正面向上的次数，则P (0＜X ＜3)＝________. 6、课堂总结 （1）分布列的定义. （2）分布列的性质：①0,12，，i p i >=L ②121p p ++=L （3）求分布列的步骤：①确定随机变量X 的所有可能的值； ②求出各取值对应的概率； ③画出表格.五、【板书设计】根据本人以往的教学经验和学生思维的最近发展区理论，从以下两方面对学生学习本节课内容的情况加以分析，便于找到学生的认知规律，帮助学生跨越学习障碍。
人教版数学高二离散型随机变量的分布列》学案
其中 ，且 ．称分布列
X
0
1
…
P
…
为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X服从超几何分布。
三、典例解析：
题型一：求离散型随机变量的分布列
例1、掷一枚骰子，所掷出的点数为随机变量X：
（1）求X的分布列；
（2）求“点数大于4”的概率；
（3）求“点数不超过5”的概率。
变式训练盒子中装有4个白球和2个黑球，现从盒中任取4个球，若X表示从盒中取出的4个球中包含的黑球数，求X的分布列.
2.随机变量 所有可能的取值为1，2，3，4，5，且 ，则常数c=, =.
3、盒中有9个正品和3个次品零件，每次取出一个零件，如果取出的次品不再放回，则在取得正品前已取出的次品数X的可能取值为。
4、设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量 描述一次该项试验的成功次数，则 等于（ ）
A．0 B． C． D．
二、预习自测：
1. 离散型随机变量的分布列
（1）如果离散型随机变量X的所有可能取得值为x1，x2，…，xn；X取每一个值xi（i=1，2，…，n）的概率为p1，p2，…，pn，则称表
X
…
…
P
…
…
为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列
（2） 离散型随机变量的分布列的两个性质：
；
．
例2、已知随机变量X的概率分布如下：
X
-1
-0.5
0
1.8
3
P
0.1
0.2
0.1
0.3
a
求: （1）a； （2）P（X<0）；（3）P（-0.5≤X<3）；（4）P（X<-2）；
高中数学第二章2.1离散型随机变量及其分布列2.1.2离散型随机变量的分布列问题导学案
2.1.2 离散型随机变量的分布列问题导学一、离散型随机变量的分布列 活动与探究1试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货．将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列． 迁移与应用1．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，杯子中球的最多个数记为X ，则X 的分布列是__________．2．从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，(1)以X 表示赢得的钱数，随机变量X 可以取哪些值？求X 的分布列． (2)求出赢钱的概率，即X ＞0时的概率．(1)求离散型随机变量的分布列的步骤：①找出随机变量ξ的所有可能的取值x i (i ＝1,2，…)； ②求出取每一个值的概率P (ξ＝x i )＝p i ； ③列出表格．(2)求离散型随机变量分布列时应注意以下几点：①确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多或无穷多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．②在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确．二、离散型随机变量分布列的性质 活动与探究2设ξ1．(2013则p 等于( )A ．110B ．210C ．25D ．122．设随机变量X 的分布列P (X ＝i )＝k2i (i ＝1,2,3)，则P (X ≥2)＝__________．利用离散型随机变量分布列的性质可以求随机变量在某个范围内取值的概率，此时只需根据随机变量的取值范围确定随机变量可取哪几个值，再利用分布列即可得到它的概率，注意分布列中随机变量取不同值时所表示的随机事件彼此互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率．三、两点分布 活动与探究3一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，摸出白球，1，摸出红球.求X 的分布列；(2)从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的分布列．迁移与应用1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球一次得分的分布列为__________．2．在购物抽奖活动的随机试验中，令X ＝1表示中奖；X ＝0表示不中奖．如果中奖的概率为0.6，试写出随机变量X 的分布列．两点分布的几个特点：(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．(2)两点分布又称为0－1分布，应用十分广泛，如彩票抽取问题，婴儿性别问题，投篮是否命中问题等．(3)由对立事件的概率求法可知，已知P (X ＝0)(或P (X ＝1))，便可求出P (X ＝1)(或P (X ＝0))．四、超几何分布 活动与探究4某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．迁移与应用1．箱中装有50个零件，其中有40个是合格品，10个是次品，从箱子中任意拿出10个，其中的次品数为随机变量ξ，求ξ的分布列．2．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中任取3个，求取出的球中白球个数X 的分布列．解决此类问题，先分析随机变量是否满足超几何分布，若满足超几何分布，则建立超几何分布列的组合关系式，求出随机变量取相应值的概率；否则直接利用概率公式和计数原理求随机变量取相应值的概率．在解题中不应拘泥于某一特定的类型．答案：课前·预习导学 【预习导引】1．(1)概率分布列 分布列 p i ，i ＝1,2，…，n 图象 (2)①≥ ②1②P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝36＋18＋12＝6．(2)提示：0.3 2．P (X ＝1)预习交流2 提示：不服从两点分布，因为X 的取值不是0或1．3．00C C C n M N M n N -- 11C C C n M NM n N -- C C C m n mM N M nN-- 预习交流3 提示：D 课堂·合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：(1)先分析不进货包括哪些情况，再运用互斥事件的概率加法公式求出概率；(2)分析确定出X 的可能取值，再用概率加法公式求出对应的概率．解：(1)P (“当天商店不进货”)＝P (“当天商品销售量为0件”)＋P (“当天商品销售量为1件”)＝120＋520＝310．(2)由题意知，X 的可能取值为2,3．P (X ＝2)＝P (“当天商品销售量为1件”)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (“当天商品销售量为0件”)＋P (“当天商品销售量为2件”)＋P (“当天商品销售量为3件”)＝120＋920＋520＝34．故X 的分布列为迁移与应用 1．解析：1,2,3． 当X ＝1时，对应于4个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形； 当X ＝2时，对应于4个杯子中恰有一个杯子放两球的情形； 当X ＝3时，对应于4个杯子中恰有一个杯子放三个球的情形．P (X ＝1)＝A 3443＝38；P (X ＝2)＝C 23·C 14·C 1343＝916； P (X ＝3)＝C 1443＝116．可得X 的分布列为2．解：(1){2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}． 当取到2白时，结果输2元，随机变量X ＝－2； 当取到1白1黄时，输1元，随机变量X ＝－1； 当取到1白1黑时，随机变量X ＝1；当取到2黄时，X ＝0；当取到1黑1黄时，X ＝2；当取到2黑时，X ＝4．则X 的可能取值为－2，－1,0,1,2,4．P (X ＝－2)＝26212C C ＝522，P (X ＝－1)＝1162212C C C ＝211，P (X ＝0)＝22212C C ＝166，P (X ＝1)＝1164212C C C ＝411，P (X ＝2)＝1142212C C C ＝433，P (X ＝4)＝24212C C ＝111．从而得到(2)P (X ＞0)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝11＋33＋11＝33．∴赢钱的概率为1933．活动与探究2 思路分析：求常数q ，利用各随机变量的概率和为1，列出q 的方程即可求解，注意检验．解：由离散型随机变量分布列的性质可得，12＋1－2q ＋q 2＝1，解得q ＝1±22，又当q ＝1＋22时，1－2q ＝－1－2＜0， ∴q ＝1＋22舍去，∴q ＝1－22． 迁移与应用 1．D 解析：由110＋310＋110＋p ＝1，解得p ＝510＝12．2．37解析：由已知得随机变量X 的分布列为 ∴k 2＋k 4＋k 8＝1，∴k ＝87． ∴P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3) ＝k 4＋k 8＝27＋17＝37． 活动与探究3 思路分析：两问中X 只有两个可能取值，且为0,1，属于两点分布，应用概率知识求出X ＝0的概率，然后根据两点分布的特点求出X ＝1的概率，最后列表即可．解：(1)由题意知P (X ＝0)＝37，P (X ＝1)＝47．∴X 的分布列如下表：(2)由题意知P (X ＝0)＝C 23C 27＝17，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)＝67．∴X 的分布列如下表：迁移与应用 1．解析：用随机变量X X 可能的取值为0,1，且取这两个值的概率分别为0.3，2为0.6，其分布列为活动与探究4 思路分析：(1)505克包含(505,510]，(510,515]两个区间，由对应小矩形的高及组距求出频率，频率与样本容量的乘积即为所求；(2)分析可知Y 服从超几何分布，分布列易求．解：(1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12．(2)Y 的可能取值为0,1,2，且Y 服从参数为N ＝40，M ＝12，n ＝2的超几何分布，故P (Y＝0)＝021228240C C C ＝63130，P (Y ＝1)＝C 112C 128C 240＝2865，P (Y ＝2)＝201228240C C C ＝11130． 所以Y 的分布列为迁移与应用 1．解：ξP (ξ＝m )＝C m 10C 10－m 40C 1050(m ＝0,1,2，…，10)．∴ξ2的概率P (X ＝1)＝C 16C 22C 38＝328；X ＝2表示取出的3个球中有2个白球1个黑球，此时的概率P (X＝2)＝C 26C 12C 38＝1528；X ＝3表示取出的3个球中有3个白球0个黑球，此时的概率P (X ＝3)＝306238C C C＝514，其分布列为当堂检测1．随机变量XA ．13 B ．12 C ．16 D ．14答案：D 解析：由分布列性质得14＋m ＋13＋16＝1， ∴m ＝14． 2A ．0.28B ．0.88C ．0.79D ．0.51 答案：C3．为了加强学生实践、创新能力和团队精神的培养，教育部门举办了全国学生智能汽车竞赛．某校的智能汽车爱好小组共有15人，其中女生7人．现从中任意选10人参加竞赛，用X 表示这10人中女生的人数，则下列概率中等于46781015C CC 的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)答案：C 解析：15人中，有7名女生，8名男生，4678C C 表示选出的10人中有4名女生，6名男生，∴P (X ＝4)＝46781015C CC ．4．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2,3,4)，则常数a ＝__________．答案：110 解析：由已知可得a ＋2a ＋3a ＋4a ＝1， ∴a ＝110．5．已知随机变量ξ则P (2≤ξ＜4)＝答案：0.6 解析：P (2≤ξ＜4)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝0.2＋0.4＝0.6．。
《2.1.2 离散型随机变量的分布列(2)》导学案(新部编)2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.1.2 离散型随机变量的分布列（2）》导学案2课前预习学案一、预习目标通过预习了解离散型随机变量的分布列的概念，两点分布和超几何分布的定义。
二、预习内容1、离散型随机变量的分布列。
2.分布列的性质：3．两点分布的定义及其他名称4超几何分布的定义和主要特征三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案【教学目标】1.知道概率分布列的概念。
2.掌握两点分布和超几何分布的概念。
3.回求简单的离散型随机分布列。
【教学重难点】教学重点：概率分布列的概念；教学难点：两点分布和超几何分布的概。
三、学习过程问题1.什么是离散型随机变量的分布列?问题2：离散型随机变量的分布列有什么性质？问题3. 例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令 ⎧⎨⎩1，针尖向上；X=0,针尖向下.如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量 X 的分布列． 备注：两点分布。
问题4. 例 2．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求： (1)取到的次品数X 的分布列； （2）至少取到1件次品的概率． 备注:超几何分布：练习：在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的概率．问题5. 例5．某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．（五）当堂检测某一射手射击所得环数ξ分布列为求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率 .解：“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ξ=7”，“ξ=8”，“ξ=9”，“ξ=10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，有：P （ξ≥7）=P （ξ=7）+P （ξ=8）+P （ξ=9）+P （ξ=10）=0.88 .课后练习与提高1．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么310为（ ） Ａ．恰有1只坏的概率Ｂ．恰有2只好的概率Ｃ．4只全是好的概率Ｄ．至多2只坏的概率2．袋子里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15支，白色手套10只，现从中随机地取出2只手套，如果2只是同色手套则甲获胜，2只手套颜色不同则乙获胜．试问：甲、乙获胜的机会是（）Ａ．甲多Ｂ．乙多Ｃ．一样多Ｄ．不确定3．将一枚均匀骰子掷两次，下列选项可作为此次试验的随机变量的是（）Ａ．第一次出现的点数Ｂ．第二次出现的点数Ｃ．两次出现点数之和Ｄ．两次出现相同点的种数4.随机变量X的分布列为则a=＿＿＿＿＿＿＿。
高中数学新人教版A版精品教案《2.1.2 离散型随机变量的分布列》
学方法教学过程教学内容师生活动设计意图一、情境引入：闹市中常见这样的一幕，骗子在箱子里放入10个标号为“10”以及10 个标号为“5”的乒乓球，让路人免费抽奖，从箱子里抽出10 个乒乓球，然后把乒乓球的标号求和作为抽得的分值，游戏规则如表一所示，其中送出的礼品是仿造的牌子货。
你能用概率学的角度拆穿骗子的把戏吗？二、自主学习：请同学们阅读课本()i iP x pξ==29c c-38c-13231233或以上答案都不对(),1,2,3,4,5;____,517()_______1010kP k a k aPξξ==⋅==<<=求常数求310C346k kC C-学生思考教师引出本节课课题学生读课本创设情景,激发学生强烈的求知欲及参与的积极性346310(),0,1,2,3k k C C P X k k C -===0346310C C C 1246310C C C 2146310C C C 3046310C CC 6036410051201201201206++== 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件 {X=｝发生的概率为(),0,1,2,,k n kM N MnNC C P X k k m C --===,其中min{,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列X1…mP 0n M N M n N C C C - 11n M N MnNC C C -- … m n m M N MnNC C C --为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布 三、小组合作，应用探究 例2 闹市中常见这样的一幕，骗子在箱子里放入10个标号为“10”以及10 个标号为“5”的乒乓球，让路人免费抽奖，从箱子里抽出10 个乒乓球，然后把乒乓球的标号求和作为抽得的分值，游戏规则如表一所示，，试写出X 的分布列。
高中数学 2.1.2离散型随机变量的分布列导学案(无答案)新人教版选修2 3 学案
2．1．2离散型随机变量的分布列【学习目标】1、理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念；2、会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列。
【重点难点】重点：求离散型随机变量的分布列 难点：超几何分布。
【预习指导】复习概率相关内容Ex1：下面给出了三个随机变量：某传呼台1分钟内接到的呼叫次数；(2)某森林树木的高度在（0，50）这一范围内变化，测的某一树木的高度；(3)某人射击一次集中的环数. 其中是随机变量的个数是 ( ) A.0 B.1 C. 2 D . 3 Ex2:下列变量中，不是随机变量的是 ( )A.投掷一次硬币，正面朝上的次数B.投掷一枚硬币100次，正面朝上的次数的频率C. 某人某月的电话费D.投掷一枚硬币，正面朝上或反面朝上的次数【合作探究】阅读书本p46—48页，回答以下问题：1、离散型随机变量的分布列：（1）如果随机试验的结果可以用一个 来表示，那么这样的变量叫做 ；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做 。
（2）设离散型随机变量ξ可能取的值为ξ,,,,21n x x x 取每一个值),,2,1(n i x i = 的概率()ii p x P ==ξ，则称表为随机变量ξ的概率分布列，具有性质： ①ip 0，n i ,,2,1 =；②ni p p p p +++++ 21= 。
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 。
2、如果随机变量X 的分布列为其中,1,10p q p -=<<则称离散型随机变量X 服从 并称参数p 为 。
3、超几何分布列在含有M 件次品数的N 件产品中，任取n 件，其中含有X 件次品数，则事件{}k X =发生的概率为：==)(k X P （m k ,,2,1,0 =），其中{}n M m ,m in =，且*,,,,N N M n N M N n ∈≤≤，则称分布列 为超几何分布列。
例1：一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3只,以ξ表示取出的3个球中的最小号码,试写出ξ的分布列.变式:在一个袋子中有10个球，其中6个白球，4个红球。
《2.1.1离散型随机变量》导学案
《2．1．1离散型随机变量》导学案【导学过程】一教材导读1、随机变量定义：．2、随机变量的表示方法：．思考1：随机变量和函数的区别和联系？3、离散型随机变量4、离散型随机变量的特征：思考2：电灯泡的寿命x是离散型随机变量吗？二、题型导航题型一、随机变量概念的辨析【例1】将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是：（）(A)两次出现的点数之和；(B)两次掷出的最大点数；(C)第一次减去第二次的点数差；(D)抛掷的次数。
变式1 ：（1）某市一中公交车站每天候车亭候车的人数X；（2）张三每天走路的步数Y；（3）下落的篮球离地面的距离Z；（4）每天停靠某港的船的数量S.不是离散型随机变量的是解题总结题型二、随机变量的值域【例2】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η变式2：写出下列各随机变量可能取得值：（1）抛掷一枚骰子得到的点数。
（2）袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数。
（3）抛掷两枚骰子得到的点数之和。
解题总结1题型三有关随机变量的不等式【例3】抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的和为ξ，试问：（1）“ξ< 4”表示的试验结果是什么？（2）“ξ> 11”表示的试验结果是什么？变式3 ：抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？解题总结三、基础达标1.小王钱包中只剩有20元、10元、5元、2元和1元人民币各一张。
他决定随机抽出两张，作为晚餐费用。
用X表示这两张人民币金额之和。
X的可能取值。
2.在含有10件次品的100件产品中,任意抽取4件,设含有的次品数为X：X=4表示事件____ ___；X=0表示事件__ ；X<3表示事件_____ ；事件“抽出3件以上次品数”用_______表示.3.袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回的条件下取出两个小球，设两个小球号码之和为X，则X所有可能值的是__ ；X=4表示．2《2．1．1离散型随机变量》配套作业一.选择题．1.投掷均匀硬币一次，随机变量为（）A.出现正面的次数；B.出现正面或反面的次数；C.掷硬币的次数；D.出现正反面次数之和.2.有下列问题：①某路口一天经过的车辆数为ε；②抽检有4件产品的120件产品的次品数为ε；③某一天之内的温度为ε；④某人一生中的身高为ε；⑤射击运动员对某目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ε表示运动员在射击中的得分上述问题中的ε的离散型随机变量的是（）A．①②③⑤；B．①②④；C．①；D．①②⑤．3.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ε，则“ε>4”表示试验的结果为（）A．第一枚为5点，第二枚为1点；B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点；C．第一枚为6点，第二枚为1点；D．第一枚为4点，第二枚为1点；二、解答题4．下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果：（1）投掷两枚骰子，所得点数之和；（2）某足球队在5次点球中射进的球数；（3）把一枚硬币先后投掷两次.如果出现两个正面的5分，出现两个反面得-3分，其他结果得0分.用X来表示得到的分值，列表写出可能出现的结果与对应的X值. 5.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：（1）“ξ> 4”表示的试验结果是什么？（2）问题（1）中的结果一定会出现吗？“ξ> 5”是否有意义.（3）如果是两个人分别掷两枚骰子进行比赛，你会怎样定义获胜的结果？34《2．1．2离散型随机变量的分布列》导学案（一） 【导学过程】 一、教材导读探究1、抛掷一粒骰子，向上一面的数字是随机变量记为X ，其可能取的探究2、利用探究1的分布表，计算在这个随机试验中， ①事件｛X<3｝的概率；②事件｛x 为偶数｝的概率。
高中数学 第二章 2.1.2 离散型随机变量的分布列(一)学案 新人教A版选修2-3
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题2.1.2 离散型随机变量的分布列(一)学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.了解分布列对于刻画随机现象的重要性.3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．知识点 离散型随机变量的分布列思考 掷一枚骰子，所得点数为X ，则X 可取哪些数字？X 取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示X 与P 的对应关系吗？ 答案 (1)x ＝1,2,3,4,5,6，概率均为16.(2)X 与P 的对应关系为梳理 (1)离散型随机变量的分布列的概念一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：此表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；② i ＝1np i ＝1.1．在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( × ) 2．在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．( ×)3．在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.( √)类型一 离散型随机变量分布列的性质例1 设随机变量X 的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a 的值；(2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35； (3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X <710.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率解 (1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝115.(2)∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝115k (k ＝1,2,3,4,5)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45. (3)当110<X <710时，只有X ＝15，25，35时满足，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X <710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35 ＝115＋215＋315＝25. 反思与感悟 利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题 (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意∑i ＝1np i ＝1，而且要注意p i ≥0，i ＝1,2，…，n .跟踪训练1 (1)设随机变量ξ只能取5,6,7，…，16这12个值，且取每一个值概率均相等，若P (ξ<x )＝112，则x 的取值范围是________．(2)设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝k2i (i ＝1,2,3)，则P (X ≥2)＝________.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用题点 根据分布列的性质求概率 答案 (1)(5,6] (2)37解析 (1)由条件知P (ξ＝k )＝112，k ＝5,6， (16)P (ξ<x )＝112，故5<x ≤6.(2)由已知得随机变量X 的分布列为∴k 2＋k 4＋k 8＝1，∴k ＝87. ∴P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝k 4＋k 8＝27＋17＝37.类型二 求离散型随机变量的分布列命题角度1 求离散型随机变量y ＝f (ξ)的分布列 例2 已知随机变量ξ的分布列为分别求出随机变量η1＝12ξ，η2＝ξ2的分布列．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 两个相关的随机变量分布列的求法解 由η1＝12ξ知，对于ξ取不同的值－2，－1,0,1,2,3时，η1的值分别为－1，－12，0，12，1，32， 所以η1的分布列为由η2＝ξ2知，对于ξ的不同取值－2,2及－1,1，η2分别取相同的值4与1，即η2取4这个值的概率应是ξ取－2与2的概率112与16的和，η2取1这个值的概率应是ξ取－1与1的概率14与112的和，所以η2的分布列为反思与感悟 (1)若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数，则η＝a ξ＋b 也是一个随机变量，推广到一般情况有：若ξ是随机变量，f (x )是连续函数或单调函数，则η＝f (ξ)也是随机变量，也就是说，随机变量的某些函数值也是随机变量，并且若ξ为离散型随机变量，则η＝f (ξ)也为离散型随机变量．(2)已知离散型随机变量ξ的分布列，求离散型随机变量η＝f (ξ)的分布列的关键是弄清楚ξ取每一个值时对应的η的值，再把η取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可．跟踪训练2 已知随机变量ξ的分布列为分别求出随机变量η1＝－ξ＋12，η2＝ξ2－2ξ的分布列．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 两个相关随机变量分布列的求法解 由η1＝－ξ＋12，对于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η1＝52，32，12，－12，－32，－52，相应的概率值为112，14，13，112，16，112.故η1的分布列为由η2＝ξ2－2ξ，对于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η2＝8,3,0，－1,0,3.所以P (η2＝8)＝112，P (η2＝3)＝14＋112＝13，P (η2＝0)＝13＋16＝12，P (η2＝－1)＝112.故η2的分布列为命题角度2 利用排列、组合求分布列例3 某班有学生45人，其中O 型血的有10人，A 型血的有12人，B 型血的有8人，AB 型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X ，求X 的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列解 将O ，A ，B ，AB 四种血型分别编号为1,2,3,4， 则X 的可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝C 110C 145＝29，P (X ＝2)＝C 112C 145＝415，P (X ＝3)＝C 18C 145＝845，P (X ＝4)＝C 115C 145＝13.故X 的分布列为反思与感悟 求离散型随机变量分布列的步骤 (1)首先确定随机变量X 的取值； (2)求出每个取值对应的概率； (3)列表对应，即为分布列．跟踪训练3 一袋中装有5个球，编号分别为1,2,3,4,5.在袋中同时取3个球，以X 表示取出的3个球中的最小号码，写出随机变量X 的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列 解 随机变量X 的可能取值为1,2,3.当X ＝1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为2,3,4,5的4个球中取，故有P (X ＝1)＝C 24C 35＝610＝35；当X ＝2时，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为3,4,5的3个球中取，故有P (X ＝2)＝C 23C 35＝310；当X ＝3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能是编号为4,5的2个球，故有P (X ＝3)＝C 22C 35＝110.因此，X 的分布列为类型三 离散型随机变量的分布列的综合应用例4 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．(1)求袋中原有的白球的个数； (2)求随机变量ξ的分布列； (3)求甲取到白球的概率．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用 解 (1)设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2n C 27＝n (n －1)27×62＝n (n －1)7×6， 可得n ＝3或n ＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球． (2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5.P (ξ＝1)＝37； P (ξ＝2)＝4×37×6＝27； P (ξ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (ξ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (ξ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以ξ的分布列为(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A ，则P (A )＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝2235.反思与感悟 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率，即必须解决好两个问题，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一个值时的概率．跟踪训练4 北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：从中随机地选取5只．(1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率；(2)若完整的选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设X 表示所得的分数，求X 的分布列． 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用解 (1)选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率P ＝C 12·C 13C 58＝656＝328.(2)X 的取值为100,80,60,40. P (X ＝100)＝C 12·C 13C 58＝328，P (X ＝80)＝C 23(C 22·C 13＋C 12·C 23)＋C 33(C 22＋C 23)C 58＝3156， P (X ＝60)＝C 13(C 22·C 23＋C 12·C 33)＋C 23·C 33C 58＝1856＝928， P (X ＝40)＝C 22·C 33C 58＝156.所以X 的分布列为1．已知随机变量X 的分布列如下：则P (X ＝10)等于( ) A.239 B.2310 C.139D.1310 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 C解析 P (X ＝10)＝1－23－…－239＝139.2．已知随机变量X 的分布列如下表所示，其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)等于( )A.13B.14C.12D.23考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 D解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 由分布列的性质得a ＋b ＋c ＝3b ＝1，∴b ＝13.∴P (|X |＝1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝－1) ＝1－P (X ＝0)＝1－13＝23.3．已知随机变量X 的分布列如下表(其中a 为常数)：则下列计算结果错误的是( ) A ．a ＝0.1 B ．P (X ≥2)＝0.7 C ．P (X ≥3)＝0.4 D ．P (X ≤1)＝0.3考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 C解析 易得a ＝0.1，P (X ≥3)＝0.3，故C 错误． 4．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为则P (ξ≤0)＝________.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案2－12解析由分布列的性质，得1－2q≥0，q2≥0，12＋(1－2q)＋q2＝1，所以q＝1－22，q＝1＋22(舍去)．P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＝12＋1－2×⎝⎛⎭⎪⎫1－22＝2－12.5．将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．考点离散型随机变量的分布列题点求离散型随机变量的分布列解由题意知ξ＝i(i＝1,2,3,4,5,6)，则P(ξ＝1)＝1C16C16＝136；P(ξ＝2)＝3C16C16＝336＝112；P(ξ＝3)＝5C16C16＝536；P(ξ＝4)＝7C16C16＝736；P(ξ＝5)＝9C16C16＝936＝14；P(ξ＝6)＝11C16C16＝1136.所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为1．离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．2．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．一、选择题1．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么( ) A ．n ＝3 B ．n ＝4 C ．n ＝10D ．n ＝9考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 由分布列的性质求参数 答案 C解析 由题意知P (X <4)＝3P (X ＝1)＝0.3， ∴P (X ＝1)＝0.1，又nP (X ＝1)＝1，∴n ＝10. 2．若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是( ) A ．x ≤1 B ．1≤x ≤2 C ．1<x ≤2D ．1≤x <2考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 由分布列的性质求参数 答案 C解析 由分布列知，P (η＝－2)＋P (η＝－1)＋P (η＝0)＋P (η＝1)＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8， ∴P (η<2)＝0.8，故1<x ≤2.3．若随机变量X 的概率分布列为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2，3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 D解析 ∵P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＝1，∴a ＝54.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝a 1×2＋a 2×3＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝54×23＝56.4．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.56考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 B解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，解得b ＝13.∵f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点， ∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1， ∴P (ξ＝1)＝13.5．设离散型随机变量X 的分布列为若随机变量Y ＝X －2，则P (Y ＝2)等于( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 A解析 由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，得m ＝0.3. 又P (Y ＝2)＝P (X ＝4)＝0.3.6．抛掷2枚骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)等于( ) A.16 B.13 C.12 D.23考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 A解析 根据题意，有P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)．抛掷两枚骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1,1)，X ＝3对应(1,2)，(2,1)，X ＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)．故P (X ＝2)＝136，P (X ＝3)＝236＝118，P (X ＝4)＝336＝112，所以P (X ≤4)＝136＋118＋112＝16.7．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列的公差的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 C ．[－3,3]D ．[0,1]考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求参数 答案 B解析 设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质，得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1， 故a ＝13.由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.二、填空题8．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤ξ≤53＝________.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 47解析 设二级品有k 个，则一级品有2k 个，三级品有k 2个，总数为72k 个．∴ξ的分布列为∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤ξ≤53＝P (ξ＝1)＝47.9．由于电脑故障，使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：根据该表可知X 取奇数值时的概率是________． 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 0.6解析 由离散型随机变量的分布列的性质，可求得P (X ＝3)＝0.25，P (X ＝5)＝0.15，故X 取奇数值时的概率为P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6. 10．把3枚骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X ，则有P (X <2)＝________. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案2527解析 P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝5363＋C 13×5263＝2527.11．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X ，则X 的分布列是________．考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列 答案解析 由题意知X ＝1,2,3. P (X ＝1)＝A 3443＝38；P (X ＝2)＝C 23A 2443＝916；P (X ＝3)＝A 1443＝116.∴X 的分布列为三、解答题12．设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)设“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举事件A 包含的基本事件； (2)设ξ＝m 2，求ξ的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列 解 (1)由x 2－x －6≤0， 得－2≤x ≤3， 即S ＝{x |－2≤x ≤3}．由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0， 所以事件A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P (ξ＝0)＝16， P (ξ＝1)＝26＝13， P (ξ＝4)＝26＝13， P (ξ＝9)＝16.故ξ的分布列为13．将一枚骰子掷两次，第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数的差为X ，求X 的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列解 第一次掷出的点数与第二次掷出的点数的差X 的可能取值为－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5， 则P (X ＝－5)＝136，P (X ＝－4)＝236＝118，…，P (X ＝5)＝136.故X 的分布列为四、探究与拓展14．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分，记得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用 答案1335解析 取出的4个球中红球的个数可能为4,3,2,1，相应的黑球个数为0,1,2,3，其得分ξ＝4,6,8,10，则P (ξ≤6)＝P (ξ＝4)＋P (ξ＝6)＝C 44×C 03C 47＋C 34×C 13C 47＝1335.15．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X 的分布列，并求出P (5≤X ≤25)的值． 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用 解 (1)该顾客中奖的概率P ＝1－C 26C 210＝1－13＝23.(2)X 的可能取值为0,10,20,50,60. P (X ＝0)＝C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，P (X ＝60)＝C 11C 13C 210＝115.故随机变量X 的分布列为所以P (5≤X ≤25)＝P (X ＝10)＋P (X ＝20)＝25＋115＝715.。
【B版】人教课标版高中数学选修2-3《离散型随机变量的分布列》导学案
2.1.2 离散型随机变量的分布列【学习要求】1．在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性。
2．掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质。
【学法指导】离散型随机变量的分布列可以完全描述随机变量所刻画的随机现象，利用分布列可以计算随机变量所表示的事件的概率。
【知识要点】1．定义：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝ ，以表格的形式表示如下：此表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的 。
2．离散型随机变量的分布列的性质：（1）p i 0，i ＝1，2，3，…，n ；（2）∑ni ＝1p i ＝ 。
【问题探究】探究点一 离散型随机变量的分布列的性质问题1 对于一个随机试验，仅知道试验的可能结果是不够的，还要能把握每一个结果发生的概率。
请问抛掷一枚骰子，朝上的一面所得点数有哪些值？取每个值的概率是多少？问题2 离散型随机变量X 的分布列刻画的是一个函数关系吗？有哪些表示法？ 问题3 离散型随机变量的分布列有哪些性质？例1 设随机变量X 的分布列P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1，2，3，4，5)。
（1）求常数a 的值； （2）求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35；（3）求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X <710。
小结 离散型随机变量的分布列的性质可以帮助我们求题中参数a ，然后根据互斥事件的概率加法公式求得概率。
跟踪训练1 （1）下面是某同学求得的离散型随机变量X 的分布列：试说明该同学的计算结果是否正确。
（2）设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为①求q 的值； ②求P (ξ<0)，P (ξ≤0)。
探究点二 求离散型随机变量的分布列例2 将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列。
高中数学第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列预习导学案新人教B版选修2
2.1 离散型随机变量及其分布列预习导航一、随机变量1．随机变量在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得试验可能出现的结果在这个对应关系下，变量随着试验结果的不同而变化这种随着试验结果的不同而变化的变量称为随机变量随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实提示：随机变量是建立在基本事件空间与实数对应关系的基础上，每一个基本事件(试验结果)都有唯一的实数与之对应，故是映射．思考2若说随机变量就是函数，对吗？提示：随机变量不一定为函数，函数是非空数集A，B间的一种特殊的映射，而随机变量间的对应是基本事件与实数间的对应．思考3类似地，函数的定义域和值域相当于随机变量概念中的哪些量？提示：随机变量与函数都是一种映射，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．二、离散型随机变量的分布列1．将离散型随机变量X所有可能取的不同值x1，x2，…，x n和X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率p1，p2，…，p n列成下面的表：的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．2．离散型随机变量的分布列的性质：(1)p i≥0，i＝1,2,3，…，n；(2)p1＋p2＋p3＋…＋p n＝1.性质(1)是由概率的非负性所决定的；性质(2)是因为一次试验的各种结果是互斥的，而全部结果之和为必然事件．三、特殊分布1．二点分布如果随机变量X的分布列为其中0＜p＜1，q＝1－p p的二点分布．思考4二点分布有哪些特点？提示：二点分布的特点是试验结果只有两个，且随机变量的取值是0和1，其中一个概率为p，另一个概率为1－p.2．超几何分布一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为P(X＝m)＝C m M C n－mN－M(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分C n N布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学《2.1 离散型随机变量及其分布列》学案 新人教A版选修
高中数学《2.1 离散型随机变量及其分布列》学案新人教A版选修2、1离散型随机变量及其分布列学习目标：1、理解随机变量的定义；2、掌握离散型随机变量的分布列学习重点：离散型随机变量的分布列学习难点：随机变量的定义【自主探究】1、随机变量的定义我们确定一种关系，使得试验的每一个可能的结果都用一个表示，在这种关系下，数字随着试验结果的变化而变化，像这种随着试验结果变化而变化的变量称为常用字母、、…表示、思考：随机变量与函数有类似的地方吗？随机变量与函数都是一种，试验结果的范围相当于函数的，随机变量的范围相当于函数的2、离散型随机变量的分布列：所有取值可以的随机变量，称为离散型随机变量、若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率、这个式子用表格表示为：…………称上面这个式子或这个表格为离散型随机变量的分布列。
它反映了随机变量的所有可能取值及各个值的概率。
它具有以下性质：（1）；（2）【合作探究】1、在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数将随着抽取结果的变化而变化，是一个，其值域是、表示；表示；表示；“抽出3件以上次品”可用集合表示、思考：①电灯泡的寿命是离散型随机变量吗？②随机变量是一个离散型随机变量吗？2、抛掷一枚质地均匀的硬币3次，写出正面向上次数的分布列、3、一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数为X （1）写出下列随机变量可能取的值，说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果（2）写出X的分布列。
【巩固提高】1、设随机变量的概率分布为,则（）A、B、C、D、2、随机变量的概率分布列如下：1234P0、20、30、4c则c等于（）A、0、1B、0、2C、0、3D、0、43、由经验得知，在商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012345人及其以上概率0、10、160、30、30、10、04（1）求至多两个人排队的概率；（2）求至少3个人排队的概率、4、袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止、求取球次数X 的概率分布、。
2020高中数学 2.1.2离散型随机变量的分布列(2)导学案 新人教A版选修2-3
课题：2.1.2离散型随机变量的分布列（2）【三维目标】知识与技能：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性；会求出某些离散型随机变量的概率分布。
过程与方法：通过求某些简单的离散型随机变量的概率分布，培养自己分析问题解决问题的能力情感态度与价值观：通过学习，使学生体会数学源于生活又服务于生活，激发学习热情【学习重点】求离散型随机变量的分布列【学习难点】求离散型随机变量的分布列【学法指导】在理解随机变量、离散型随机变量的分布列概念的基础上，学会分析问题解决问题【知识链接】A 1、离散型随机变量的分布列的概念及其性质A2、写出下列各随机变量可能的取值.1）、一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球数2）、接连不断地射击，首次命中目标需要的射击次数 ．B3、在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算合格，求该考生答对试题数X 的分布列，并求该考生及格的概率。
【学习过程】B 例1、已知随机变量 的分布列如下ξξ分别求出随机变量 求（1） （2）B 例2、袋中有个5红球，4个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得1分，取到一个黑球得0分，现从袋中随机摸4个球，求所得分数X 的概率分布列。
C 例3、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为 ，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取到的机会是等可能的，用 表示取球终止时所需112ηξ=22ηξ=17要的取球次数。
（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量的概率分布； （3）求甲取到白球的概率。
【达标检测】B1、C2、从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件的抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，每次取出的产品都不放回，求出取到合格品为止时所需抽取次数 的分布列。
【金版学案】高中数学2.1.2离散变型随机变量的分布列学案新人教A版选修2-3
η
12
3
4
5
6
P 0.2 x 0.25 0.1 0.15 0.2
则 x＝________， P( η ≤3) ＝ ________． 解析： ∵0.2 ＋ x＋ 0.25 ＋0.1 ＋ 0.15 ＋ 0.2 ＝1， ∴ x＝ 0.1.
3
2m
4m
8m
解析： P( X＝ 1) ＝ 3 ， P( X＝ 2) ＝ 9 ， P( X＝ 3) ＝ 27，由离散型随机变量的分布列的性质
知 P( X＝ 1) ＋ P( X＝ 2) ＋ P( X＝3) ＝ 1，
2m 4m 8m
27
即 3 ＋ 9 ＋ 27＝ 1，解得 m＝38. 故选 B.
对离散型随机变量分布列的性质理解不透致误 【典例】 设 ξ 是一个离散型随机变量，其分布列为：
47
C.
D.
245
以上都不对
C25 5× 4
2
解析： P( X＝ 2) ＝ C250＝ 50× 49＝245. 故选 A.
3．在 15 个村庄中，有 7 个村庄交通不太方便，现在任意选
个村庄中交通不太方便的村庄数，则概率等于
C47C68
10
C15
的是
(
C)
10 个村庄，用 ξ 表示 10
A． P( ξ ＝ 2) B ． P( ξ≤ 2) C． P( ξ ＝ 4) D ． P( ξ≤4) 4．随机变量 η 的分布列如下：
C． ξ取某 2 个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和
D． ξ取某 2 个可能值的概率大于分别取其中每个值的概率之和
2k 3．设随机变量 X 的分布列为 P( X＝k) ＝ m 3 ， k＝ 1， 2， 3，则 m的值 为 ( B)
《2.1.2 离散型随机变量的分布列(1)》导学案(新部编)2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.1.2 离散型随机变量的分布列（1）》导学案2【教学目标】1. 知道概率分布列的概念。
2. 掌握两点分布和超几何分布的概念。
3. 回求简单的离散型随机分布列。
【教学重难点】教学重点：概率分布列的概念 ； 教学难点：两点分布和超几何分布的概。
【教学过程】一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量. 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示.2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量. 并且不改变其属性（离散型、连续型） .请同学们阅读课本P 5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？ 二、讲解新课：1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表ξ x 1 x 2 … x i … PP 1P 2…P i…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 .2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 .即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ .3.两点分布列:例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令 ⎧⎨⎩1，针尖向上；X=0,针尖向下.如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量 X 的分布列．解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1p -) ．于是，随机变量 X 的分布列是像上面这样的分布列称为两点分布列．两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布 ( two 一point distribution)，而称p =P (X = 1）为成功概率．两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ) 试验，所以还称这种分布为伯努利分布．()q P ==0ξ， ()p P ==1ξ，10<<p ，1=+q p ．4. 超几何分布列：例 2．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求： (1)取到的次品数X 的分布列； （2）至少取到1件次品的概率．解： (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为310C ，从100 件产品中任取3件， 其中恰有k 件次品的结果数为3595kkC C -，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为35953100(),0,1,2,3k kC C P X k k C -===。
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2019-2020学年高中数学 2.1.2离散型随机变量的分布列导学案新人教版选修
2-3
【学习目标】
1、理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念；
2、会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列。
【重点难点】
重点：求离散型随机变量的分布列
难点：超几何分布。
【预习指导】复习概率相关内容 E x1：下面给出了三个随机变量：
某传呼台1分钟内接到的呼叫次数；(2)某森林树木的高度在（0，50）这一范围内变化，测的某一树木的高度；(3)某人射击一次集中的环数. 其中是随机变量的个数是 ( )
A.0
B.1
C. 2 D . 3 E x2:下列变量中，不是随机变量的是 ( )
A.投掷一次硬币，正面朝上的次数
B.投掷一枚硬币100次，正面朝上的次数的频率
C. 某人某月的电话费
D.投掷一枚硬币，正面朝上或反面朝上的次数
【合作探究】阅读书本p46—48页，回答以下问题：
1、离散型随机变量的分布列：
（1）如果随机试验的结果可以用一个 来表示，那么这样的变量叫做 ；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做 。
（2）设离散型随机变量ξ可能取的值为 ξ,,,,21n x x x 取每一个值),,2,1(n i x i = 的概率()i i p x P ==ξ，则称表
为随机变量ξ的概率分布列，具有性质： ①i p 0，n i ,,2,1 =；②n i p p p p +++++ 21= 。
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 。
2、如果随机变量X 的分布列为
其中,1,10p q p -=<<则称离散型随机变量X 服从 并称参数p 为 。
3、超几何分布列
在含有M 件次品数的N 件产品中，任取n 件，其中含有X 件次品数，则事件{}k
X =发生的概 率为：==)(k X P （m k ,,2,1,0 =），其中{}n M m ,min =，且*,,,,N N M n N M N n ∈≤≤，则称分布列
例1：一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3只,以ξ表示取出的3个球中的最小号码,试写出ξ的分布列.
变式:在一个袋子中有10个球，其中6个白球，4个红球。
从中任取3个，求抽到红球数的概率分布。
【达标测评】 1、随机变量ξ的概率分布规律为()()4,3,2,1)1(=+==n n n a n P ξ，其中a 是常数，则⎪⎭⎫ ⎝⎛<<252
1ξP 的值为（ ） A 、32 B 、43 C 、54 D 、6
5
2、5封不同的信投入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，ξ是三个箱子中放有信件数目的最大值，求ξ的分布列。
3、从8个男生5个女生中抽取6个参加义务劳动，其中女生的人数ξ是随机变量，求ξ的分布列。
【归纳小结】
取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念的理解与会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列。
.
【巩固练习】（各班可按实际情况安排）
1. P49 练习
2. 作业：P49 习题4.5。
3. 《金版》变式训练、课时训练。