37.沪教版高三一轮复习基础题练习——排列组合(第一版)

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高考数学一轮复习排列与组合专题练习及答案

高考数学一轮复习排列与组合专题练习及答案高考数学一轮复习排列与组合专题练习及答案一、填空题1.市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是________.[解析] 由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共322=12种;如果是第二种偶奇奇的情况，个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0,1种情况)，共321=6种，因此总共12+6=18种情况.[答案] 182.若从1,2,3，，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种.[解析] 满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C=5(种);二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有CC=60(种);三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的`取法共有5+60+1=66(种).[答案] 663.(2014福州调研)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，称这个数为伞数.现从1,2,3,4,5,6这六个数字中取3个数，组成无重复数字的三位数，其中伞数有________个.[解析] 分类讨论：若十位数为6时，有A=20(个);若十位数为5时，有A=12(个);若十位数为4时，有A=6(个);若十位数为3时，有A=2(个).因此一共有40个.[答案] 404.一个平面内的8个点，若只有4个点共圆，其余任何4点不共圆，那么这8个点最多确定的圆的个数为________.[解析] 从8个点中任选3个点有选法C种，因为有4点共圆所以减去C种再加1种，共有圆C-C+1=53个.[答案] 535.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有________种.[解析] 分两种情况：选2本画册，2本集邮册送给4位朋友有C=6(种)方法;选1本画册，3本集邮册送给4位朋友有C=4(种)方法，不同的赠送方法共有6+4=10(种).[答案] 106.用数字1,2,3,4,5,6六个数字组成一个六位数，要求数字1,2都不与数字3相邻，且该数字能被5整除，则这样的五位数有________个.[解析] 由题可知，数字5一定在个位上，先排数字4和6，排法有2种，再往排好的数字4和6形成的3个空位中插入数字1和3，插法有6种，最后再插入数字2，插法有3种，根据分步乘法计数原理，可得这样的六位数有263=36个.[答案] 367.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法有________种.[解析] 第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法CC=264(种);第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C-3C=220-12=208(种).由分类计数原理知不同的取法有264+208=472(种).[答案] 4728.在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的三位数共有________个.[解析] 在1,2,3,4,5这五个数字中有3个奇数，2个偶数，要求三位数各位数字之和为偶数，则两个奇数一个偶数，符合条件的三位数共有CCA=36(个).[答案] 36二、解答题9.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是多少?(用数字作答).[解] 分三类：选1名骨科医生，则有C(CC+CC+CC)=360(种);选2名骨科医生，则有C(CC+CC)=210(种);选3名骨科医生，则有CCC=20(种).骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360+210+20=590种.10.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.(1)若每个盒子放一球，则有多少种不同的放法?(2)恰有一个空盒的放法共有多少种?[解] (1)每个盒子放一球，共有A=24(种)不同的放法;(2)法一先选后排，分三步完成.第一步：四个盒子中选一只为空盒，有4种选法;第二步：选两球为一个元素，有C种选法;第三步：三个元素放入三个盒中，有A种放法.故共有4CA=144(种)放法.法二先分组后排列，看作分配问题.第一步：在四个盒子中选三个，有C种选法;第二步：将四个球分成2,1,1三组，有C种放法;第三步：将三组分到选定的三个盒子中，有A种放法.故共有CCA=144种放法.。

排列组合(一轮复习)

(2)除去该女生后，先取后排，有 C4· 4＝840 种． 7 A4
(3)先选后排，但先安排该男生，有 C4· 1· 4＝3 360 种． C4 A4 7
(4)先从除去该男生该女生的 6 人中选 3 人有 C3种，再 6
1 安排该男生有 C3种，选出的 3 人全排有 A3种，共 C3· 1· 3 3 6 C3 A 3
5 解：(1)先排歌唱节目有 A5种，歌唱节目之间以及两端共有
6 个空位，从中选 4 个放入舞蹈节目，共有 A4种方法，所 6
5 以任两个舞蹈节目不相邻的排法有 A5· 6＝43 200 种方法． A4 4 (2)先排舞蹈节目有 A4种方法，在舞蹈节目之间以及两端共
有 5 个空位，恰好供 5 个歌唱节目放入．所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有 A4· 5＝2 880 种方法. 4 A5
Cm＋Cm n n
－1
.
[探究]
2.如何区分一个问题是排列问题还是组合问题？
提示：看选出的元素与顺序是否有关，若与顺序有关，则是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．
[自测· 牛刀小试]
1．12名选手参加校园歌手大奖赛，大赛设一等奖、二等奖、
三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖种
数是 ( )
乙不能同时入选”的选法有 C5 －C2C3 ＝672 种； 12 2 10
(5)间接法： “男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反
5 面是“两人都不入选”，即从其余 10 人中任选 5 人有 C10种
选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数
5 为 C5 －C10＝540 种． 12
—————
5 所以“至少有 1 名女生入选”的选法有 C5 －C7＝771 种； 12

2019年上海高考数学·第一轮复习讲义第26讲排列组合

2019年上海高考数学·第一轮复习（第26讲排列组合）[基础篇]一、知识梳理1、乘法原理与排列乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，……，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有123n N m m m m =⋅⋅⋅种不同的方法。

乘法原理的核心：分步在乘法原理的应用中，首先要正确分清做一件事的步骤，其次要搞清楚每一个步骤的方法数。

排列的概念：从n 个不同元素中任取m 个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。

【说明】如果两个排列相同，那么必须满足：1、元素完全相同；2、元素的排列次序相同。

排列数：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n P 表示。

排列数公式：!(1)(2)(1)()!m n n P n n n n m n m =--⋅⋅⋅-+=-；规定：0!1= 2、加法原理与组合做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法。

【说明】计数原理⎩⎨⎧乘法原理（分步）且加法原理（分类）或组合的概念：从n 个不同元素中任取m 个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C mn 表示.组合数公式C mn =!)!(!m m n n -. 组合数的两个性质：（1）C m n =C m n n -；（2）C m n 1+=C m n +C 1-m n . 排列与组合的区别与联系：都是从n 个不同元素中取出m 个不同的元素，都是研究无重复元素问题，但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关。

高中排列组合基础题 (含答案)

排列、组合问题基本题型及解法同学们在学习排列、组合的过程中，总觉得抽象，解法灵活，不容易掌握.然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目.本文将总结常见的类型及相应的解法.一、相邻问题“捆绑法”将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列. 例1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必须站在一起，不同的排法共有几种？分析：先把甲、乙当作一个人，相当于三个人全排列，有33A ＝6种，然后再将甲、乙二人全排列有22A ＝2种，所以共有6×2＝12种排法. 二、不相邻问题“插空法”该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意两端）.例2 7个同学并排站成一排，其中只有A 、B 是女同学，如果要求A 、B 不相邻，且不站在两端，不同的排法有多少种？.分析：先将其余5个同学先全排列，排列故是55A ＝120.再把A 、B 插入五个人组成的四个空位（不包括两端）中，（如图0×0×0×0×0“×”表示空位，“0”表示5个同学）有24A ＝2种方法.则共有5254A A ＝440种排法.三、定位问题“优先法”指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可优先排这个元素，后排其他元素.例3 6个好友其中只有一个女的，为了照像留念，若女的不站在两端，则不同的排法有种.分析：优先排女的（元素优先）.在中间四个位置上选一个，有14A 种排法.然后将其余5个排在余下的5个位置上，有55A 种方法.则共1545A A ＝480种排法.还可以优先排两端（位置优先）. 四、同元问题“隔板法”例4 10本完全相同的书，分给4个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？分析：在排列成一列的10本书之间，有九个空位插入三块“隔板”.如图： ×× × ××× ××××一种插法对应于一种分法，则共有39C ＝84种分法. 五、先分组后排列对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和.例5 由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）（A ）210个（B ）300个（C ）464个（D ）600个分析：由题意知，个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型，每一种类型分别有55A 个、113433A A A 个、113333A A A 个、113233A A A 个、1333A A 个，合计300个，所以选B例6 用0，1，2，3，…，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个?【解法1】考虑0的特殊要求，如果对0不加限制，应有325555C C A 种，其中0居首位的有314544C C A 种，故符合条件的五位数共有325314555544C C A C C A ＝11040个.【解法2】按元素分类：奇数字有1，3，5，7，9；偶数字有0，2，4，6，8. 把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：①不含0的；②含0的.①不含0的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有325545C C A 个；②含0的，这时0只能排在除首位以外的四个数位上，有14A 种排法，再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有31415444C C A A 种排法.综合①和②，由分类计数原理，符合条件的五位数共有325545C C A ＋31415444C C A A ＝11040个. 例8 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字，比20000大，且百位数字不是3的自然数？【解】设A ＝{满足题设条件，且百位数字是3的自然数}，B ＝{满足题设条件，且比20000大的自然数}，则原题即求()card U B A ，画韦恩图如图，阴影部分即UBA ，从图中看出()()card card UBA B AB =-.又A BB ，由性质2，有()()()card card card .B A B B A B -=-()card B 即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字，且比20000大的自然数的个数，易知()1444card A A B =.()card A B 即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字、比20000大，且百位数字是3的自然数的个数，易知()1333card A A AB =，所以()14134433card A A A A UB A =-＝78.即可组成78个符合已知条件的自然数.典型例题例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有39A 个；当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814A A A ⋅⋅（个）．∴ 没有重复数字的四位偶数有2296179250428181439=+=⋅⋅+A A A A 个．例2 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。

高中数学排列组合必考知识点经典练习题(完整版)

排列组合复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同3. 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。

第一轮复习排列组合常见题型及解法

排列组合常见题型及解法排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口,实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。

一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。

二．处理排列组合应用题的规律（1）两种思路：直接法，间接法。

(2)两种途径：元素分析法，位置分析法。

1 重复排列“住店法”重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。

把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题。

例1 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）2. 特殊元素（位置）用优先法:把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），可优先将它（们）安排好，后再安排其它元素。

对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？例2（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）。

例3 5个“1”与2个“2”可以组成多少个不同的数列？3. 相邻问题用捆绑法:对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”“捆绑”为一个“大元素：与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。

例1. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？例2（1996年上海高考题）有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有____________种（结果用数字表示）。

4. 相离问题用插空法:元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。

上海市高三数学排列组合二项式概率统计复习题(含解析)沪教版(1)

排列组合二项式概率统计概念：1、排列数：!(1)(2)(1)()!mn n P n n n n m n m =---+=-2、组合数：(1)(2)(1)!!!()!m mn nm m P n n n n m n C P m m n m ---+===-，规定01n C =。

3、组合数的性质：m n m n n C C -=， 111m m m n n n C C C ++++=，11k k n n kC nC --=， 1121m m mm m m m m n n C C C C C ++++++++=。

4、排列与组合的关系m m mn n m P C P =5、二项式定理：011222()n n n n r n r rn nn n n n n a b C a C a b C a b C a b C b---+=+++++6、1r n r rr n T C a b -+= b 的指数与组合数的上标一致。

7、 ○1二项展开式的各二项式系数之和0122nn n n n n C C C C ++++=○2二项展开式的奇数项之和024n n n C C C +++=偶数项之和13512n n n n C C C -+++=8、总体平均数121()N x x x Nμ=++9、总体中位数的意义：从小到大的次序排列，位于正当中位置的数是中位数，当N 为偶数时，当中位置的两个数的平均数是总体中位数 10、总体方差2222121[]N x x x Nσμμμ=-+-++-（）（）（）=2222121N x x x Nμ=+++-（）11、样本方差(总休标准差的点估计值)：s =12、随机抽样(抽签法、随机数表法):13、系统抽样:等间隔抽样，(每一个间隔抽取一个) 14、分层抽样:按比例抽样，比例n =N nk N=样本数总体数(一)排列与组合1、在一块并排10垄的田地中，选择两垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6 ，不同的种植方法共有多少种？解：第一步：选垄，分类完成。

高考数学一轮总复习第十章排列与组合

组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数
(1)从中任取4张，共有________种不同取法；
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
• 拓直展接提法高求把解符排合列条应件用的问排题列的数主直要接方列法式计算
优先法优先安排特殊元素或特殊位置
故共有 C16C25C33＝60(种)．
(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有 C16C25C33A33＝360(种)． (3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是 C26C24C22种方法，但是这里出现了重复．不妨记六本书为 A，B，C，D，E，F，若第一步取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则 C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)，
拓展提高组合问题常有以下两类题型：
法二 (特殊位置优先法)首尾位置可安排另 6 人中的两人，拓展提高均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还
是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关；
正难则有反、A等价26种转化排的方法法，其他有 A55种排法，共有 A26A55＝3 600(种)．
• 思路点拨要注意分析特殊元素是“含”、“不含”、“至少”、 “至多”．
[解] (1)共有 C318＝816(种)． (2)共有 C518＝8 568(种)． (3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有 C12C418＋C318＝6 936(种)． (4)(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得 C520－(C512＋C58)＝14 656(种)．

沪教高三数学第一轮复习：排列组合与概率

例3.六本不同的书，按下列要求，各有多少种不同的分法？（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；解： N C 2 C 2 C 2 90 6 4 2 （2）分为三堆，每堆两本；解：
2 2 C 62 C 4 C 2 N 15 3 P3
小结：均分问题：
把 km 个不同元素平均分成 k 组，每组 m 个元素，共有
课题：10.1排列组合与概率
【知识点梳理】：
1、加法原理：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法， ……，在在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有的方法。 2、乘法原理：
N m1 m2 mn
m n
【例题精讲】：
例1.解下列方程：
P24x1 140Px2 ；（1）
2x 1 4 解： x2 (2 x 1) 2 x (2 x 1) (2 x 2) 140 x ( x 1)
x3
C xy 2 1 C xy 2 C xy 22 （2） 0.6 ;
m n
7、组合数的两个性质：（1）C
C
nm n
；（2）C
m n 1
m m m 1 C n 1 C n C n ；
8、基本事件：把一次试验可能出现的结果叫做基本事件。 9、古典概型：把具有以下两个特点的概率模型叫做古典概型：（1）一次试验所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。 10、随机事件、必然事件与不可能事件：在概率论中，随机试验的结果叫做随机事件，随机事件一般用大写英文字母 A、B 等来表示；试验后必定出现的事件叫做必然事件，记作；试验中不可能出现的事件叫做不可能事件，记作。

沪教版高三排列组合知识点

沪教版高三排列组合知识点排列组合是数学中一个重要的概念，它在高三数学学科中也是一个重要的知识点。

在沪教版高三数学教材中，排列组合是作为一个章节和知识点进行详细探讨的。

首先，我们来了解一下什么是排列。

排列是从一组元素中按照特定的顺序选择若干元素的方式。

比如，如果有3个元素A、B、C，那么它们的全部排列就是ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，共计6种。

排列的计算公式是An = n!，其中n表示元素的个数，!表示阶乘运算。

接下来，我们转到组合的概念。

组合是从一组元素中选择若干个元素的方式，与排列不同的是，组合不考虑元素的顺序。

比如，对于3个元素A、B、C，它们的全部组合就是A、B、C、AB、AC、BC，共计6种。

组合的计算公式是Cn = n! / (k! * (n-k)!)，其中n表示元素的个数，k表示选择的元素个数。

排列组合在实际问题中有很多应用。

比如，计算一本书的页码数，一个标准的中学课本通常包含几百页，那么用几位数字来编码这些页码呢？我们可以使用排列来计算。

又比如，考虑一个篮球队有12名球员，教练要选出5名球员参加比赛，那么有多少种不同的选择方式呢？我们可以使用组合来计算。

在排列组合的基础上，还有一些相关的知识点，比如重复排列、循环排列、多重集等。

重复排列是指元素允许重复出现的排列，计算公式为A`n = n^k，其中n表示元素的个数，k表示选择的元素个数。

循环排列是指元素按照一定的顺序循环出现的排列，计算公式为(n-1)!。

多重集是指元素可以重复出现，但是顺序不同的排列，计算公式为C`n = (n+k-1)! / (k! * (n-1)!)，其中n表示元素的种类数，k表示选择的元素个数。

综上所述，排列组合是高三数学中一个重要的知识点，通过理解和掌握排列组合的概念和计算方法，可以帮助我们解决实际问题中的计数和选择问题。

当然，除了在数学学科中的应用，排列组合的思维方式也可以在其他学科和领域中发挥重要作用。

沪教版高三一轮学案——16排列组合二项式定理

排列与组合（校本）学习目标：1.掌握乘法原理、加法原理、排列、组合的定义及排列数与组合数的计算，会用计算器求排列数与组合数.2.会求简单情境下的排列问题和组合问题.3.会解决简单情境下的排列与组合综合问题.【例题解析】一、乘法原理、加法原理、排列与组合基础计算问题例1.书架的上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书.（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（2）从书架上任取数学书与语文书各1本，有多少种不同的取法？练习1.将5封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法共有（）（A ）35种（B ）53种（C ）15种（D ）8种练习2.（1）4位同学去报名3种不同课程，每人限报1门，共有多少种方法？（2）4位同学参加3个竞赛，共有3个冠军奖杯，每人均可参加三个竞赛，共有多少种获冠军奖杯的情况？例2.电视台在某娱乐节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定三位幸运观众.抽奖规则如下：先抽取1名幸运之星，再从两个信箱中各抽取1名幸运伙伴.共有多少种不同的抽奖结果？例3.解方程（1）3221326x x x P P P +=+ （2）2211515x x C C -= （3）24n 120C n P +=例4.有8本互不相同的书，其中数学书3本、外文书2本、其他书3本，若将这些书排成一排放在书架上，（1）数学书排在一起，外文书也排在一起的不同排法有多少种？（2）第一本不是数学书且最后一本不是外文书的的排法有多少种？练习1. 7个人站成一排，有3名男生，4名女生：（1）甲不能站在排头，有多少种站法？（2）甲既不能站在排头，也不能站在排尾，有多少种站法？（3）甲乙两人要站在相邻位置，有多少种站法？（4）甲乙两人不能相邻而站，有多少种站法？（5）男女生相间而站，有多少种站法？（6）甲乙丙三人从左到右顺序保持一定，有多少种站法？练习2.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为练习3.现有0，1，2，3，4，5六位数字，（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且3不在十位上的五位数？例5.若甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选修的课程中只有1门相同的选法种数为练习1.从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是（用数字作答）练习2.某高级中学欲从本校的7位古诗词爱好者（其中男生2人、女生5人）中随机选取3名同学作为学校诗词朗读比赛的主持人，若要求主持人中至少有一位是男同学，则不同选取方法的种数是（结果用数值表示）练习3. 6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为_______四、排列组合综合问题例6.某届世界博览会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同的工作.若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有多少种？二项式定理（校本）学习目标：掌握二项式定理、二项式系数的性质，能解决一些简单问题，有一定的观察、分析能力. 例1.在9(2)x 的二项展开式中，求：（1）第4项；（2）最中间的项；（3）各项的二项式系数之和；（4）各项的系数之和.练习1.在10()x a -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a =练习2.已知二项式n 的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为例2.二项式21()n x x -的展开式中，第5项的二项式系数最大，（1）求n 的值；（2）求该二项展开式中的常数项.练习1.已知二项式展开式7270127(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，且复数7112128a z a i =+，则复数z 的模||z = （其中i 是虚数单位）练习2.若等式232301231(1)(1)(1)x x x a a x a x a x +++=+-+-+-对一切x ∈R 都成立，其中0a 、1a 、2a 、3a 为实常数，则0123a a a a +++=（）A. 2B. 1-C. 4D. 1。

高三第一轮复习讲义——排列组合（上海）

公式P 是指排列，从n 个元素取m 个进行排列(即排序)。

公式C 是指组合，从个元素取个，不进行排列（即不排序）。

mnA =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n £)．注:规定1!0=. ）1(1)m m n n A n m A -=-+; n -）11m m n n A nA --=; m n C=m n mm A A =m m n n n ´´´+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -×(n ∈N *，m N Î，且m n £). （1）m n C =m n n C - ; （2）mn C +1-m n C =mn C 1+. （3）11k k n n kC nC --=0n 以下公式都和二项（4）å=nr r n C=n2m m n nA m C =×！.3 【排列组合问题解题技巧归纳汇总】1）特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =例2. （2009北京卷理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A ．324 B ．328 C ．360 D ．648 解：首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有289872P =´=（个），当0不排在末位时，有111488256P P P =（个），于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72256328+=（个）.故选B. 2）相邻元素捆绑策略例3. 7人站成一排人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第五章排列组合与二项式定理一、排列、组合

沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第五章排列组合与二项式定理一、排列、组合一、解答题(★★★) 1. （1）用排列数表示：；（2）若，求的值.(★★★) 2. （1）计算：；（2）求；（3）求证：为偶数.(★★★) 3. 分别从集合和集合中各取两个数字，问：（1）可组成多少个四位数？（2）可组成多少个四位偶数？(★★★) 4. 四位同学参加三项不同的竞赛.（1）每位同学必须参加一项，有几种不同结果？（2）每项竞赛只有且必须有一位同学参加，有几种不同结果？（3）每位同学最多参加一项，且每项竞赛只许有一位同学参加，有几种不同结果？(★★★) 5. 以立方体八个顶点中的四个为顶点，共可构成多少个四面体？(★★) 6. （1）4本不同的书平均分成两堆，每堆两本，有几种分法？（2）10人坐成一排，要求甲、乙、丙三人按从左到右的顺序就坐（不一定要相邻），有几种坐法？(★★★) 7. 一排个空位，四人就坐其中的个位子.（1）若每人左、右两边都有空位，有几种坐法？（2）若个空位中，个相连，另个也相连，但个不连在一起，有几种坐法？(★★) 8. 要从15个候选人（其中女生6人）选出5人担任干部.（1）女生至少一人当选，有几种选法？（2）男、女生都至少有两人当选，有几种选法？(★★★) 9. 有4位同学在同一天的上午、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”5个项目的测试，每位同学上午、下午各测试1个项目，且不重复.若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上午、下午都各测试1人，则不同的安排方式有多少种？(★★★) 10. 若Ü ，求符合条件的二次函数的解析式有多少种？(★★★) 11. 由、、、组成无重复数字的四位数，求：（1）这些数的数字和；（2）这些数的和.(★★) 12. 学校开设的课程有语文、数学、外语、政治、物理、化学、体育门，若星期五只排节课，并且规定体育不排在第一和第四节，问星期五的课表有几种排法？(★★★) 13. 由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个没有重复数字，且偶数数字与奇数数字相间隔的四位数？(★★) 14. 两个相交平面 M与 N，它们的交线为 l.在 l上有3点，除这3点外在平面 M， N上各有5点、4点，则这12点最多能确定多少个平面？(★★★) 15. 划船运动员8人，其中3人只会划右舷，2人只会划左舷，3人左右舷都会划，现在要从这8人中选6个人，3个划右舷，3个划左舷，共有多少种选法？二、单选题(★) 16. 等于（）.A．B．C．D．(★★) 17. 已知集合Ü ，且 A中至少有一个奇数，则这样的集合有（）.A．2个B．3个C．4个D．5个(★★) 18. 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共（）A．24种B．18种C．12种D．6种(★★★) 19. 用、、、四个数字可组成必须含有重复数字的四位数有（）A．个B．个C．个D．个(★★★) 20. 从台甲型和台乙型电视机中任意取出台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A．70种B．84种C．140种D．35种(★★) 21. 书架上有排好顺序的6本书，如果保持这6本书的相对顺序不变，再放上3本书，则不同的放法共有（）.A．210种B．252种C．504种D．505种(★★) 22. A， B， C， D， E五个字母排成一排，字母 A排在字母 B的左边（但不一定相邻）的排法种数为（）.A．24B．12C．60D．120(★★★) 23. 直线，在上有4个点，在上有6个点，把这些点作为端点连成线段，这些线段在与之间最多有交点（）.A．24个B．45个C．80个D．90个(★★★) 24. 5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有一人的不同站法有（）.A．288种B．72种C．36种D．24种(★★★) 25. 某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选的不同选法有16种，则小组中的女生人数为（）A．2B．3C．4D．5(★★) 26. 满足，且的有序数组共有（）个.A．B．C．D．(★★) 27. 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有（）A．45种B．36种C．28种D．25种(★★★★) 28. 如图，在某海岸 P的附近有三个岛屿 Q， R， S，计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥只连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接方式有（）.A．24种B．20种C．16种D．12种(★★★) 29. 从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）.A．20种B．16种C．12种D．8种(★★★★) 30. 如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A．40320种B．5040种C．20160种D．2520种三、填空题(★★) 31. 乘积展开后的项数为________.(★★) 32. 在所有的两位数中，个位上的数字小于十位上的数字的两位数有________个.(★★) 33. 方程的解为 ________ .(★★) 34. 6个学生排成一排，其中甲、乙两人不能相邻的排法种数为________.(★★★) 35. 用0，1，2，3，4，5这六个数字可组成_______个无重复数字且2、3相邻的四位数.(★) 36. 坐标平面上有5个点：，，，，，以它们为顶点可以组成的不同的三角形有_________个.(★★) 37. 将12本不同的书分给甲、乙、丙三人，甲拿3本，乙拿3本，丙拿6本，则不同的分法有________种.(★★) 38. 6名男生4名女生共10人，要从这10个人中选出3人共同去完成某项任务，要求这3人中至少要有1个女生，则不同的选法有_________种.(★) 39. 个人参加、、跑的决赛，同一个项目中，并列冠军的情况不发生，则冠军分配的不同情况有________种.(★★★) 40. 已知，则_________.(★★) 41. 在2000到6000中，有 _________ 个没有重复数字的奇数.(★★) 42. 在正八边形的顶点与中心共9个点中，以其中的3个点为顶点的三角形有________个(★★) 43. 有 A， B， C， D， E五名学生参加网页设计竞赛，决出了第一到第五的名次， A，B两位同学去问成绩，老师对 A说：“你没能得第一名”，又对 B说：“你是第三名”，从这个问题分析，这五人的名次排列共有_______种可能.(★★) 44. 已知集合，，从集合 S， P中各取一个元素作为点的坐标，在直角坐标系中表示不同点的个数为_________.(★★★) 45. 从编号为1，2，3，…，9的9个球中任取4个球，使它们的编号之和为奇数，再把这4个球排成一排，共有_________种不同的排法.(★★★) 46. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 .。

排列组合练习题及答案.

排列组合练习题及答案.第一篇：排列组合练习题及答案.《排列组合》一、排列与组合1.从9人中选派2人参加某一活动,有多少种不同选法?2.从9人中选派 2人参加文艺活动, 1人下乡演出, 1人在本地演出, 有多少种不同选派方法?3.现从男、女 8名学生干部中选出 2名男同学和 1名女同学分别参加全校“资源”、“生态” 和“环保”三个夏令营活动,已知共有 90种不同的方案,那么男、女同学的人数是A.男同学 2人,女同学 6人B.男同学 3人,女同学 5人C.男同学 5人,女同学 3人D.男同学 6人,女同学 2人4.一条铁路原有m 个车站,为了适应客运需要新增加n 个车站(n>1,则客运车票增加了58种(从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票,那么原有的车站有A.12个B.13个C.14个D.15个 5.用 0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字,(1可以组成多少个数字不重复的三位数?(2可以组成多少个数字允许重复的三位数?(3可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数?(4可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数?(5可以组成多少个大于3000,小于 5421的数字不重复的四位数?二、注意附加条件1.6人排成一列(1甲乙必须站两端,有多少种不同排法?(2甲乙必须站两端,丙站中间,有多少种不同排法?2.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数?3.由数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7所组成的没有重复数字的四位数,按从小到大的顺序排列起来, 第 379个数是A.3761B.4175C.5132D.6157 4.设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖,将五个杯盖盖在五个茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有A.30种B.31种C.32种D.36种5.从编号为1, 2,…, 10,11的 11个球中取 5个,使这 5个球中既有编号为偶数的球又有编号为奇数的球,且它们的编号之和为奇数,其取法总数是A.230种B.236种C.455种D.2640种6.从 6双不同颜色的手套中任取 4只,其中恰好有 1双同色的取法有 A.240种 B.180种 C.120种 D.60种7.用 0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数组成没有重复数字的四位偶数,将这些四位数从小到大排列起来,第 71个数是。

沪教版2022届高考数学一轮复习讲义专题20：排列组合复习与检测(含答案)

学习目标1.掌握加法原理2.掌握乘法原理3.排列数公式4.组合数公式知识梳理1．分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类中有m1种有不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法……在第n类型有m3种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。

2．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有种不同的方法。

特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。

3．排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.4．排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示.5．排列数公式：特别提醒：（1）规定0! = 1（2）含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于.例如：已知数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数.6．组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.7．组合数公式：8．两个公式：①②例题分析例1．新冠防疫期间，某街道需要大量志愿者协助开展防疫工作.某学校有3名男教师、3名女教师申请成为志愿者，若安排这6名志愿者到3个社区协助防疫工作，每个社区男女教师各1名，则不同的安排方式种数是（）A．18B．36C．48D．72【答案】B【详解】先安排男教师、再安排女教师，各有33A中安排方式，故不同的安排方式共有333336A A⋅=种.故选：B．例2．第三方检测机构又称公正检验，指两个相互联系的主体之外的某个客体，我们把它叫做第三方.某县为创建文明城市，省里委托第三方检测机构对该县进行检测，现从7名检测人员中选派5人到该县甲、乙、丙三个单位检查，要求每个单位至少派1人，甲单位2人，则不同的选派方法总数为（）A．630B．1260C．480D．1120【答案】B【详解】分以下两种情况讨论：①乙单位2人，此时，不同的选派方法数为522753630C C C =种； ①乙单位1人，此时，不同的选派方法数为521753630C C C =种. 综上所述，不同的选派方法数为63021260⨯=种. 故选：B.跟踪练习1．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（） A ．4545A AB ．345345A A AC ．145345C A AD ．245245A A A2．五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有（） A ．120种B ．96种C ．78种D ．72种3．有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（）种 A ．48B ．72C ．78D ．844．某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（）种． A ．5040B ．1260C ．210D ．6305．从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（）A ．4812C -B ．488-C C ．486-CD ．484-C6．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为4的概率为（） A ．121B ．321C ．521D ．7217．我们称()*n n ∈N元有序实数组()12,,,n x x x 为n 维向量，12n x x x +++为该向量的范数，已知n 维向量()12,,,n a x x x =，其中{}1,0,1i x ∈-，1,2,i n =，记范数为奇数的n 维向量a 的个数为n A ，这n A 个向量的范数之和为n B . （1）求2A 和2B 的值；（2）求2020A 的值；（3）当n 为奇数时，证明：()131n n B n -=⋅+.8．从5个男生和3个女生中选5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法种数．（1）女生人数少于男生人数；（2）某女生一定选中且担任语文课代表，某男生也必须选中且不担任数学课代表． 9．小平、老金、大魏、小刘、小张和小徐共6人要排成一排拍照．（1）若小张和小徐必须相邻．则共有多少种排队种数？（2）若大魏和小刘不能相邻，则共有多少种排队种数？（3）若小张和小徐必须相邻，大魏和小刘不能相邻，小平和老金不能相邻，则共有多少种排队种数？ 10．7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？参考答案1．D 【详解】先把三种不同的画捆在一起，各看成整体，但水彩画不放在两端，则油画与国画放在两端有22A 种不同的排法然后对4幅油画的排放有44A 种不同的排法对5幅国画的排放有55A 种不同的排法，所以不同的陈列方式有245245A A A 种不同的排法. 故选：D. 2．C 【详解】由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有44A =24种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则乙不在排尾，也不在甲的位置，有3种，其余三人有336A =种，所以共有3333A ⨯⨯=54种排法，由分类计数原理，排法共有24+54=78种，故选：C ．3．A 【详解】五个小球全排列共有：55120A =种排法当两个红色小球与两个黄色小球都相邻时，共有：22322324A A A =种排法当两个红色小球相邻，两个黄色小球不相邻时，共有：22222324A A A =种排法当两个红色小球不相邻，两个黄色小球相邻时，共有：22222324A A A =种排法∴颜色相同的小球不相邻的排法共有：12024242448---=种排法故选A 4．D 【详解】把7天分成一组2天，一组2天，一组3天，3个人各选1组值班，共有2237536302C C A =种．故选：D. 5．A 【详解】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有48C 种，正方体表面四点共面不能构成四面体有6种，正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有6种，所以可得到的四面体的个数为44886612C C --=-种，故选：A 6．C 【详解】根据题意：从10个数中任取5个不同的数，则基本事件为51010987649725254321C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，则这5个不同的数的中位数为4的有：224560C C ⋅=，故概率60525221P ==.故选：C7．（1）24A =，24B =；（2）2020312-；（3）证明见解析.【详解】（1）范数为奇数的二元有序实数对有：()1,0，1,0，()0,1，()0,1-，它们的范数依次为1，1，1，1，24A ∴=，24B =.（2）当n 为偶数时，在向量()12,,,n a x x x =的n 个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，∴可按照含0个数为1,3,,1n ⋅⋅⋅-进行讨论：a 的n 个坐标中含1个0，其余坐标为1或-1，共有112n n C -⋅个，每个a 的范数为1n -；a 的n 个坐标中含3个0，其余坐标为1或-1，共有332n n C -⋅个，每个a 的范数为3n -；a 的n 个坐标中含1n -个0，其余坐标为1或-1，共有12n nC -⋅个，每个a 的范数为1；11331222n n n n n n n A C C C ---∴=⋅+⋅++⋅，()022121222n n nn n n nn n C C C C --+=⋅+⋅++⋅+ ① ()()02221221nn nn n nn nC C C --=⋅-⋅++- ① 2-①②得：11331312222n n n n n n nnA C C C----=⋅+⋅++⋅=， 20202020312A -∴=. （3）当n 为奇数时，在向量()12,,n a x x x =的n 个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是偶数，∴可按照含0个数为0,2,4,,1n ⋅⋅⋅-进行讨论：a 的n 个坐标中含0个0，其余坐标为1或-1，共有02nn C ⋅个，每个a 的范数为n ；a 的n 个坐标中含2个0，其余坐标为1或-1，共有222n n C -⋅个，每个a 的范数为2n -；a 的n 个坐标中含1n -个0，其余坐标为1或-1，共有12n nC -⋅个，每个a 的范数为1；0221222n n n n n n n A C C C --∴=⋅+⋅++⋅，()022121222n n nn n n nn nC C C C --+=⋅+⋅++⋅+， ()()02221221nnn n nn n nC C C --=⋅-⋅++-，两式相加除以2得：0221312222n nn n n nnnA C C C--+=⋅+⋅++⋅=，而()02212222nn n n n n n B n C n C C --=⋅⋅+-⋅⋅++⋅，()()()()1!!!!!1!kk n n n n n k C n k n n C k n k k n k --⋅=-⋅=⋅=⋅⋅-⋅--，0221111222n n n n n n n B n C n C n C -----∴=⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅()2111021222n n n n n n n C C C -----=⋅⋅+⋅++⋅ ()01231111222n n n n n n n C C C ------=⋅⋅+⋅++()11312312n n n n --+=⋅=⋅+.8．（1）5520；（2）360．【详解】（1）从5个男生和3个女生中选5人担任5门不同学科的课代表，共有586720A =种情况，若女生人数多于男生人数，则有3个女生和2个男生担任课代表，共有25551200C A =种情况，则女生人数少于男生人数的选法有：672012005520-=种；（2）先从剩余的6人种选三人，共有3620C =种情况，因为某女生一定选中且担任语文课代表，某男生也必须选中且不担任数学课代表，所以该男生有13C 种选择，因此共有133320360C A ⨯=种选法.9．（1）240；（2）480；（3）96．【详解】（1）若小张和小徐必须相邻．则共有2525240A A =种；（2）先将除大魏和小刘外的四人全排，则有44A 种情况，可产生5个空，再将大魏和小刘插空，则共有4245480A A =种；（3）因为小张和小徐必须相邻，则这两人有222A =种情况；若先排大魏和小刘，再排小平和老金，则有222424A A =种情况；若先排小平和老金，再排大魏和小刘，则有222424A A =种情况；因此共有()2242496⨯+=种排队种数. 10．1440 【详解】解:先将其余四人排好有4424A =种排法，再在这些人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲乙丙插入，则有3560A =种方法，这样共有24601440⨯= 种不同排法．。

沪教版(上海)数学高三上册-16.4 排列与组合综合练习题

排列与组合综合练习题A 组 1. ,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----用排列数符号表示为___________。

2. 关于x 的方程22563434x x x C C --=的解集是___________。

3. 如果将3名男学生与2名女学生排成一排，且2名女学生不排在相邻位置上，那么不同排法的种数是________。

4. 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅为水彩画，4幅为油画，5幅为国画，排成一行陈列。

如果同一品种的画必须排在一起，并且水彩画不能排在两端，那么陈列方式有______种。

5. 用数字5,4,3,2,1,0可组成没有重复数字的六位数，其中数字4,2排在相邻数位上，满足条件的六位数共有_______个。

6. 若{2,5,7,8}m ∈，{1,3,4,6}n ∈，则方程221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆有_______个。

7. 某中学在高一开设了4门选修课，每个学生必须且只选修1门选修课。

对于该年级的甲、乙、丙3名学生，共有__________种不同的选法。

8. 从集合{0,1,2,3}的所有非空子集中，等可能地取出一个，则取出的非空子集中所有元素之和恰为5的个数是__________。

9. 两对夫妇排成一排照相，则任何一对夫妇都不相邻的排法种数为_____________。

10.某校推出4个男同学与3个女同学的达人秀比赛（每场比赛限一人出场），若限定第一场与最后一场由甲、乙两位选手参加，则比赛的排法共有_____________种。

11.从5名学生中选3人参加数学、物理、化学三科竞赛，每科只能有1人参加，若其中学生甲不能参加化学竞赛，则不同的参赛方案共有______________种（结果用数字作答）。

B组12.6个人排成一列，其中甲乙两人之间至少有两个人的不同排法种数是________。

13.从4,3,2,1,0五个数中随机取2个数组成一个二位数，则这个二位数为偶数的个数是__________。

2021年上海高考数学第一轮复习第42讲排列组合

2021年上海高考数学第一轮复习第42讲排列组合第42讲排列与组合[基础篇]一、乘法原理和加法原理：（1）乘法原理：如果完成一件事需要n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N?m1m2mn种不同的方法.（2）加法原理：如果完成一件事有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N?m1?m2??mn种不同的方法. 【注意】应用两个计数原理的关键是分清“步”与“类”.完成一件事需要若干步，而每一步缺一不可，则符合乘法原理，需要注意“步”与“步”之间的连续性；完成一件事有若干类方法，每类方法能独立完成这件事，则符合加法原理，需要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性. 二、排列组合：（1）排列的概念：从n个不同的元素中取出m(m?n)个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同的元素中取出m(m?n)个元素的所有排列的个数叫做从mn个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Pn表示.Pn?n(n?1)(n?2)（2）排列数公式：m(n?m?1)?n!0!?1. (m,n?N*,m?n)，规定：Pnn?n!，(n?m)!（3）组合的概念：从n个不同的元素中取出m(m?n)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同的元素中取出m(m?n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中m取出m个元素的组合数，用符号Cn表示.Pnmn(n?1)(n?2)(n?m?1)n!（4）组合数公式：C?m? ?Pmm!m!(n?m)!mnmn?mmm?1m（5）组合的两个性质：①Cn；②Cn?Cn?Cn?Cn?1【注意】 1．直接法与间接法是解排列与组合的常用方法；重复和遗漏是分析排列与组合问题时易犯的错误! 2．区分排列与组合问题的关键问题是搞清事件与元素的顺序有关还是无关；搞清解决问题的方法需分步还是分类，是统计排列与组合问题总数的依据； 3．常用的解题策略有：先选后排、特殊元素优先安排、正难则反、等价转化法、捆绑法、插空法、构造模型等. 1[技能篇]例题1(1)将4封信投寄到3个邮箱中，有多少种不同的投寄方法？(2)将4封信投寄到3个邮箱中，每个邮箱至少一封信，有多少种不同的投寄方法？(3)将4封信投寄到3个邮箱中，恰好有一个邮箱没有投递，有多少种不同的投寄方法？例题2 9名身高各不相同的人排队，按下列要求，各有多少种不同的排法？（1）排成一排；（2）排成前排4人，后排5人；（3）排成一排，其中A、B两人不相邻；（4）排成一排，其中C,D两人必须相邻；（5）排成一排，其中E不在排头，F不在排尾；（6）排成一排，其中A必须站在B 的右侧；（7）排成一排，身高最高的人站在中间且向两边递减；（8）排成一排，其中H,I 之间必须间隔2个.例题3 （1）求用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位数的个数. （2）求用1,2,3,4四个数字组成四位数的个数.（3）求用1,2,3,4四个数字组成无重复数字且比2000小的四位数的个数.（4）求用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位奇数的个数.（5）求用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位数，其中2在3的左边的个数.x?2x3x?6例题4 (1)C12,求x. ?C12333333(2) C3?C4?C5?C6?C7?C8? . 17?n3n(3) C2 . ?Cn13?n?2例题5 有15本不同的书，其中6本是数学书，问：（1）分给甲4本，且都不是数学书；（2）平均分给3人；（3）若平均分为3份；（4）甲分2本，乙分7本，丙分6本；（5）1人2本，1人7本，1人6本.2例题6 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，问: (1)从中任取4个球，红球的个数不少于白球的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7的取法有多少种？例题7 设?A的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同?A的顶点共有10个点，以这些点为顶点，可以构成个三角形。

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排列组合
姓名：
1. 从5名志愿者中选出3名，分别从事布置、迎宾策划三项不同的工作，每人承担一项工作，则不同的选派方案有种（用数值作答）
2. 从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课代表，共有种不同的选法（结果用数值表示）
3. 从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，若其中至少有一名女生入选，则组队方案数为___________.
4.里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道，在由2名中国运动员和6
名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的情况是种.
5. 电视台在电视剧开播前连续播放6个广告，其中4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有种.
6. 某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是
7. 奥运火炬接力传递路线公分6段，传递活动分别由6名火炬手完成，如果第一棒火炬手只能从甲乙丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲乙中产生，则不同的传递方案有 _种.
【知识点轮动】
1. 不等式3593100x x +⋅-+>的解集为
2. 已知01a <<，若不等式log (3)log (2)a a x x +<-成立，则x 的取值范围是_________。

3. 函数log a y x =在(2,)x ∈+∞上恒有||1y >，则a 的范围是____________。

4. 若31log 2log 273
x +=，则=x ______。

5 . 已知()(1)
a x f x x a -=-+，且1(1)f x --的图像的对称中心是(0,3)，则a =________。

6. 函数2211log (4),[,]166
y x x x =-∈的值域是________。

7. 已知函数21()21
x x a f x ⋅-=+（a 为实数）；（1）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；
（2）若对任意的1x ≥，都有1()3f x ≤≤，求a 的取值范围；。