第4章 电路的网络拓扑分析方法

26
4. 3 一般支路VCR的矩阵形式 图G的画法按标准支路取边 为计算机求解时，建立方程规律化以及输入数据规律化， 采用标准支路：
Hale Waihona Puke BaiduIk
G k ( Rk )
U Sk
＋ －
I Sk
＋
Uk
－
Notes: ①实际支路元件可能不全具备，但单独的理想压/流源不构成 标准支路(需转移); ②图中方向为标准，实际方向相反者取负号.
4.
A M
对偶
特 例
对偶
特 例
Q B
21
5.
G A
唯一
G Q
唯一
G B
唯一
22
五. 基尔霍夫定律的矩阵形式 1. 基尔霍夫定律的关联矩阵形式 1 2Ω ＋ ① 2 1Ω 1Ω 4 ② 1A 5 2Ω 1Ω 3 ＋ 2V － ③ 1 ④
2 3
4
③
1
④ 6
5
8
割集定义：可将一连通图分割为两个连通部分的极小边集。
说明： 少移一条不行（否则图仍连通）；
多移一条也不行（非极小）； 只是分成两个连通部分（不是更多）。 例： 1 3 5
2
4
6
9
基本割集（单树支割集）：只含有一个树支的割集。 注意要点：
1.基本割集数=树支数。 基本割集的方向取为 该割集中的树支方向。 2.各基本割集是独立的。 3.树的取法不同，所得 基本割集组不同；但 树一定，基本割集组 便是唯一的。 Q3 1 Q1
1 Ql
(1) ( 2)
2. 按先树枝后连支排列支路次序,则有:
B Bt Bl Bt Q Qt Ql 1 T Bt Ql or
Ql Bt
-1
T
3.由（1）、（2）关系式可推得：
Ql At Al
20
3
2. 无向图和有向图：
无向图：未赋予边方向
有向图：赋予边方向
4
3. 连通图和非连通图：
当图的任意两个顶点之间至少存在一条路经时，称之 为连通图，否则为非连通图。 ① ② ① ②
③
④ 连通图
③ 非连通图
④
5
包含图G的所有顶点且无回路的连通子图 4. 树和树支：
a
●
1
4 ● 5 3 2 6 ●
b
4.基本回路数=连支数 =b－n＋1。基本回路的 方向取为连支方向。
7
6. 割集和基本割集
割集(Cut-set)：可将一连通图分割为两个连通 部分的极小边集称为割集。 注意要点:
图中移去边时不连带顶点； 图中允许有孤立顶点存在； 多移一边不行（非极小） ； 少移一边不行（图仍连通）。
① ②
R6
+ u – S
电路模型
G=( V , E )
G---- Graph(图) V---- Vertex(顶点) E ---- Edge (边) 点集V={①,②,③,④} 2 边集E={1,2,3,4,5,6}
注意要点: （1）图仅表示电路的连接关系,与元件性质 无关, 与线段的曲直无关; （2）顶点和边自成集合,但任一条边必须 终止在顶点上; （3）移去一个顶点须连带边, 但移去一个边 不连带顶点; （4）图中允许有孤立顶点的存在； （5）图中顶点的符号和边的编号尽量与 原电路一致。
d
Tree=｛2,4,5｝
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结论：1.树一经选定, [B]就一定;树不同， [B]不同。 2.适当排列支路次序: 先树支,后连支,可得
[B]=[Bt 1]
如上例：
[B] =
2 4 5 1 B1 0 1 1 1 B2 1 1 1 0 B3 1 1 0 0
3 6 0 0 1 0 0 1
① 1 AI b ② 0 ③ 0
U 1 U 2 U 3 T U n A U 4 U 5 U 6
1 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0
2 3 1 1 0 1 0 1
4 0 1 0
5 6 0 1 0 1 1 0
Q3 5｝ 5｝ 5｝
a
2 4 6
Q2 1
Q3
c
5 3
Q1 Q2 , Tree=｛ 2, B1 =｛ 1, B2 =｛ 3, 4, 4,
b
2， 4,
Q1
d
B3 =｛ 6,
2， 4｝
18
【例题2】 求：1.该图对应于此Q的树支集; 2.该图对应于此Q的三个基本回路。 Q2 a c 6 1 2 Q2 3 B1={4, 1, 2} Q1 b 4 3 B2={5, 2, 3} 5 Q1 5 1 4 Q 3 2 B3={6, 1, 2, 3} 6
M U b 0 I b M T I m
特 例
特 例
形式二 KCL : KVL :
Q I b 0 U b Q T U t
形式三
对偶
KVL : KCL :
B U b 0 I b B T I l
支路
b
+1: 支路k方向背离节点j －1: 支路k方向指向节点j 0：支路k与节点j无关
[A]=
1 2 3 4 a 1 1 0 1 b 0 0 0 1 c 1 0 1 0
5 0 1 1
6 0 1 0
d
[A]反映图的全部信息， [A] [Aa] G
13
二. 基本回路矩阵[B]: 表示支路与基本回路关联关系的矩阵。 (b-n+1)行 × b列 基本回路 支路
第4章 电路的网络拓扑分析方法
重点掌握
图的基本概念: 树、基本回路、基本割集 图的矩阵表示: 关联矩阵A、回路矩阵B、割集矩阵Q KCL和KVL的矩阵表示 节点电压方程的矩阵形式
1
4. 1 树 割集
1. 电路的图
2
i2 1 R1 i1 R2 i3 R3 4 R5 i5 i6 R4 i4 3 1 ④ 6 图=(顶点, 边） ① 2 3 5 ② 4 ③
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Ik
G k ( Rk )
U Sk
＋
I Sk
－ －
标准支路 k: U k Rk I k I Sk U Sk
＋
Uk
或 I k Gk U k Gk U Sk I Sk
则所 有b条标 准支路方 程构成的 矩阵 形式: I 1 G1 U 1 G1 U S1 I S1 I U U I G G 2 2 2 2 S2 S2 : : : : G b U b G b U Sb I Sb Ib 所 有b条 标 准支 路 方 程 构成 的 矩 阵 形式:
a
2 4 B3 6
1
c
B2 5 3
+1: 支路k与回路j关联且方向一致 元素bjk = －1: 支路k与回路j关联且方向相反 0：支路k与回路j无关
bB1
[B] =
1 2 3 4 5 6 B1 1 0 0 1 1 0 B2 0 1 1 1 1 0 B3 0 1 0 1 0 1
Q2 两者的特例？ Q3 1 2
b
6
4
两者与各支路的关联关系？
11
基本割集和基本回路的特例： Q3 3 a
b 6 c B2
4 d
B1 2
1
5
B3
12
4.2
一. (节点)关联矩阵[A]
图的矩阵表示
[A]：表示图的节点与支路关联关系的矩阵。 (n-1)行 × b列
a
1 2 4 6
c
5 3
独立节点 元素ajk =
3 6 2
4
5
Q2
Q1 ={3，1 ，2} Q2 ={5，1 ，4} Q3 ={6，1 ，2，4}
树支集=｛3，5，6｝ 10｝ 连支集=｛1，2，4
基本割集和基本回路互为对偶： 3 a b 4 B2 6 c 5 d
Q1 3
B1 2
1
a
2 1
B3
4
d
5 1
T=｛3，5，6｝ L=｛1，2，4｝ a
0 0 1 0 1 1
U ① U ② U ③
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2. KCL & KVL的四种矩阵形式
形式一 KCL : KVL :
形式四
A I b 0 U b AT U n
KVL :
对偶
KCL :
称为树（Tree）。组成树的边称为树支。 a a c c 1 ● 4 ● ● ●
c
● 3
b
6
●
5 2
b
●
d
图G
●
d
●
d
树G1
树G2
树支数=全部顶点数－1=（ n －1 ）
连支：图中选定某一树后，不属于树支的支路称为连支。 连支数=全部支路数－树支数=（b－n+1） 6
5. 基本回路（单连支回路）：只含有一个连支的回路。
3. [Q]与图不是一一对应, 可能有多个图与[Q]对应。 研究课题：a. 判断给定矩阵是否为[Q]； b. 由[Q]如何自动求出全部图； c. 这些全部图之间的关系。 4. 若某一连支与几个割集相关联，则该连支一定与这几个基本 17 割集中的树支构成基本回路。
【例题1】
[Q] =
1 Q1 0 Q2 1 Q3 1
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KCL : KVL :
A I b 0 ⑴ U b AT U n ⑵
1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 I1 I 2 I3 0 I 4 I5 I6
Q3
d
1 2 3 4 5 6
Q1 1 Qf Q2 0 Q3 0
0 1 0
0 0 1
1 1 0
0 1 1
1 1 1
19
四. 各矩阵之间的关系 1. 按同样的支路次序列各矩阵,且基本回路次序同连支次序, 割集次序同树枝次序,则有: T
A B 0 T B Q 0
a
2 4 6
1
c
5 3
b
3. [B]与图不是一一对应, 可能有多个图与[B]对应。 研究课题：a. 判断给定矩阵是否为[B]； b. 由[B]如何自动求出全部图； c. 这些全部图之间的关系。
d
15
三. 基本割集矩阵[Q]：表示支路与基本割集关联关系的矩阵。 (n -1)行 × b列 基本割集 支路
注意要点： 1.每一个连支可与两个 端点之间的唯一树路径构 成一个唯一的基本回路； 2.每选定一个树，便存在 与之对应的一组相互独立 的基本回路； 3.树的取法不同，所得的 基本回路组不同；但树一 定，基本回路组便是唯一 的; 1 ② 3 5 4 ① 2
③ 6 树支集=｛1，3，4｝ 连支集=｛2，5，6｝
a
2 4 6
Q2 1
c
5 3
+1: 支路k与割集j关联且方向一致 元素qjk = －1: 支路k与割集j关联且方向相反 0：支路k与割集j无关
b
Q3
Q1
[Q] =
1 Q1 0 Q2 1 Q3 1
2 3 1 1 0 1 0 1
4 0 1 0
5 6 0 1 0 1 1 0
①
10V
④ － 6
2 4 ② 6 5
3
③
4Ω
1
2
3
4
5
6
① 1 [A]= ② 0 ③ 0
1 1 0
1 0 1
0 1 0
0 1 1
0 0 1
23
1
2
3
4
5
6
① 1 A ② 0 ③ 0
1 1 0
1 0 1
0 1 0
0 1 1
0 0 1
d
Tree=｛2,4,5｝
16
结论：1.树一经选定, [Q]就一定,树不同， [Q]不同; 2.适当排列支路次序: 先树支,后连支,可得
[Q]=[1 Ql ]
如上例：
[Q] =
2 Q1 1 Q2 0 Q3 0
4 5 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1
3 6 1 1 1 1 1 0
U n-1
设除参考节点外的各独 立节点电位组成
U n U ① 节点电压列向量：

U②

T
若以各支路电流电压为 元素组成
T 支路电流列向量： I b I 1 I 2 I b T 支路电压列向量：U b U 1 U 2 U b 则KCL : A I b 0 ⑴ T KVL : U A U n ⑵