深圳大学数院陈必红博士——用初等列变换解线性方程组

陈必红博士学术报告会：用初等列变换解线性方程组
而行初等变换的办法也可以用在列初等变换 上, 对任一m行n列的矩阵A, 假设r(A)=r, 也可 以经一系列的列初等变换, 变成(B, O)这样的 分块矩阵的形式. 其中B是列满秩矩阵, 共有r 列, 而O则有n-r列.
A ( B O ) →
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1 0 0 0 1 1 1 1 1 2 1 −5 1 −1 −2 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 −4 −1 −4 −3 1 1 0 0 −2 c3 − c2 c4 + 4 c2 2 1 −6 −3 9 −7 8 c5 + c2 → 1 −1 −1 −7 0 −3 1 1 −1 4 1 1 1 1
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例:
x1 + 2 x2 + x3 − x4 = 0 3 x1 + 6 x2 − x3 − 3 x4 = 0 5 x + 10 x + x − 5 x = 0 2 3 4 1
0 0 0 1 1 −2 1 1 0 , 0 0 0 1
0 −1 λ λ a − 1 1 a 1 0
λ=1方程将无解, 为方程有无穷多解, λ=-1
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将λห้องสมุดไป่ตู้-1代入已经变了一半的矩阵中:
0 0 0 λ −1 2 1 − λ 1 − λ 1 1 −1 −λ 0 0 0 1 0 −1 0 −2 0 −1 λ λ a − 1 0 2 −1 − a − 1 = 1 1 1 a 1 −1 1 a 1 0
第2列上部必须和第4列的上部成比例,否则方 程组无解, 因此必有-a-1=1, 得a=-2, 再代入上 面的矩阵继续变换:
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0 0 0 1 1
0 0 0 1 0 −2 0 0 1 0 0 −2 0 −1 0 2 −1 0 1 1 c4 − c2 2 −1 1 0 2 → 1 − 0 1 1 2 −1 1 −2 1 −1 1 − 3 2
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二、举例说明
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A −B E O 然后, 只许做某列乘一数加到另一列的变换, 努力在上方消出尽可能多的零列. 如果上方的-B不能够被消成零列, 则原方程组 无解. 如果消成了零列, 则零列的下方将变成 方程组的特解. 在有解的情况下, A中的列消 成了一些零列, 它们的下方就是导出组的基础 解系, 如果没有列消成零列, 则特解就是唯一 解.
x1 + x2 + 2 x3 + 3 x4 = 1 x2 + x3 − 4 x4 = 1 x1 + 2 x2 + 3 x3 − x4 = 4 2 x1 + 3 x2 − x3 − x4 = −6
0 0 −4 −1 −4 −3 −7 8 −3 1 1
例: x1+2x2-x3=0. 系数矩阵A=(1,2,-1), 1 2 −1 1 0 0 1 c2 − 2 c1 1 −2 1 c3 + c1 → 1 1 1 1 得基础解系的两个向量为(-2,1,0)T, (1,0,1)T
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用初等列变换解线性方程组
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一、基本原理
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大家知道, 线性代数中求一个矩阵A的秩时, 通常的办法是对A作初等行变换, 变换成阶梯 形矩阵后, 数一数非零行的行数, 这个行数就 是A的秩了. 也就是将A变换成上面r行的非零行, 下面是 m-r行的零行的形式, 上面的r行可以认为是行 满秩的. B 初等行变换 A → O
1. 解齐次线性方程组 要点: 并不是非要象定理那样搞成列阶梯型矩 阵, 可以只做”将一列乘以常数加到另一列”的 初等变换, 而”某列乘非零常数”和”交换两列” 都禁止做. 只要各列之间根据方便努力相消, 导致每一个非零列的最高的不为零的元素都 在不同的行即可.
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1
(1,0,2,0)T是特解, (-3,2,7,0)T,(-1,0,-2,1)T 是基础解系
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例
1 0 1 2 1
3 −1 1 0 0 0 1 1 −4 −1 −1 −4 c2 − c1 1 1 1 c c34 − 2c11 2 1 −5 3 −1 −1 6 c4 − 31 c +c → 1 −1 −2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 3
1 2 1 −1 1 0 0 3 6 −1 −3 3 0 −4 −2 5 10 1 −5 c2 −c c1 5 0 −4 c3 1 1 1 −2 c4 + c1 → 1 1 1 1 1
初等列变换
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如果在m行n列秩为r<n的矩阵A的下方加上一 个n阶单位矩阵En, 按同样的列变换, 就有
Am×n Bm×r E → P n n× r Om×( n − r ) Qn×( n − r )
陈必红定理证明了: Q的n-r个列向量,就是 齐次方程组AX=O的基础解系.
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1 0 0 0 1 0 0 −1 0 0 0 −1 0 0 0 −4 −2 2 c2 − 23c3 0 0 −2 c4 + c → 1 1 1 −1 1 −1 1 1 1 1 −2 1 因此得ξ2=(0,0,1)T+k1(-1,1,-2)T, k1为任意数.
特解是(0,-1/2,-3/2)T, 导出组基础解系是 (1,0,1)T
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(090311)设 1 −1 −1 −1 −1 1 1 , ξ = 1 A= 1 0 −4 −2 −2 (1) 求满足Aξ2=ξ1, A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2, ξ3; (2) 对(1)中的任意向量ξ2,ξ3, 证明ξ1,ξ2,ξ3线性 无关.
0 0 0 2 4 −4 2 4 −4 4 8 −8 1 1 −1 1 1
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1 0 1 −7 3 −7 1 −14 1 −5 1 0 0 2 4 2 4 4 8 1 1 1 1 1 0 1 0 0 −4 3 0 −4 c2 + 7 c3 1 0 2 c4 − 2 c3 −8 c5 + 2 c3 1 − 3 → −1 2 1 7 2 0 2 2 4 1 0 0 0 0 0 0 −1 1 −2 2 1 0 0
方程组无解
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2010年考研题, 数学一: 设 1 1 λ a 0 λ −1 0 ,b = 1 , A= 1 1 1 λ 已知线性方程组AX=b存在两个不同解. (I) 求λ,a; (II)求AX=b的通解.
0 0 0 0 0 1
陈必红博士学术报告会：用初等列变换解线性方程组 2 2 0 −1 然后算得 A2 = −2 −2 0 , ξ1 = 1 4 4 0 −2 2 0 0 0 2 2 0 1 −2 0 0 0 −2 −2 0 −1 c2 − c1 4 0 0 0 1 4 4 0 2 c4 − 2 c1 → 1 1 1 −1 − 2 1 1 1 1
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解:
λ 0 1 1
1 1 λ a 0 λ −1 0 ,b = 1 , A= 1 1 1 λ 1 1 −a 0 0 0 λ − 1 0 −1 λ −1 c1 − λ c3 2 c2 − c3 1 λ −1 c4 + ac3 1 − λ 1 − λ → 1 1 1 1 −1 −λ
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例
1 1 3 1 1
x1 + 5 x2 − x3 − x4 = −1 x − 2 x + x + 3x = 3 1 2 3 4 3x1 + 8 x2 − x3 + x4 = 1 x1 − 9 x2 + 3 x3 + 7 x4 = 7 5 −1 −1 1 1 0 1 −7 −2 1 3 −3 8 −1 1 −1 c2 −5c1 3 −7 c34 + c11 1 −14 +c −9 3 7 −7 c5 −c1 c → 1 −5 1 1 1 1