变化率问题1PPT课件
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5.1.1变化率问题课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
4.8
.
计算运动员在 0 t 48 这段时间里的平均速度，发现了什么？ 49
用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
运动员在 0 t 48 这段时间里的平均速度为 0. 显然，在这段时间内， 49
运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这 一时间段里的运动状态.
1.瞬时速度的概念：
1.999999
x 0
x
k Δx 2
0.01
2.01
0.001
2.001
0.0001
2.0001
0.00001
2.00001
0.000001
2.000001
……
……
当 x 无限趋近于 0 时，即无论 x 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边
无限趋近于 1 时，割线 P0 P 的斜率 k 都无限趋近于 2.
给出 t 更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度 v 的值. 当 t 无限趋近于 0 时，
即无论 t 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边无限趋近于 1 时，平均速度 v 都无限
趋近于 5 .
由
v
h(1 Δt) h(1) (1 Δt) 1
4.9Δt
5
发现，当
t
无限趋近于
0
时，
4.9Δt
也无限趋近于
0，
所以 v 无限趋近于 5 ，这与前面得到的结论一致.
数学中，我们把
5
叫做“当
t
无限趋近于
0
时，
v
h(1
Δt) Δt
h(1)
的极限”，记为
h(1 Δt) h(1)
lim
5 .
课件1：5.1.1 变化率问题
∴ΔΔyx＝－ΔΔxx＋＋242，
∴k＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
－ΔxΔ＋x－242＝－44＝－1.
又 x＝2 时 y＝242＝1，
∴切线方程为 y－1＝－1×(x－2)，即 x＋y－3＝0.
【课堂小结】
1．函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的切线斜率反映了函数在该点处的
瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．即：
【学以致用】
1．一物体的运动方程是 s＝3＋2t，则在[2，2.1]这段时间
内的平均速度是( )
A．0.4
B．2
C．0.3
D．0.2
B [ v ＝s22.1.1－－s22＝4.02－.1 4＝2.]
2．物体自由落体的运动方程为 s(t)＝12gt2，g＝9.8 m/s2，若 v
＝lim Δt→0
率及瞬时速度的概念．(易混点) 及数学运算的核心素养.
1．平均变化率
【新知初探】
对于函数 y＝f (x)，从 x1 到 x2 的平均变化率：
(1)自变量的改变量：Δx＝__x_2－__x_1_. (2)函数值的改变量：Δy＝__f_(_x_2_)－__f_(_x_1)__．
(3)平均变化率ΔΔyx＝
【例 2】 某物体的运动路程 s(单位：m)与时间 t(单位：s)的关
系可用函数 s(t)＝t2＋t＋1 表示，求物体在 t＝1 s 时的瞬时速度．
[解] ∵ΔΔst＝s1＋ΔΔtt－s1
＝1＋Δt2＋1＋ΔΔtt＋1－12＋1＋1＝3＋Δt，
∴lim Δt→0
ΔΔst ＝Δlitm→0
(3＋Δt)＝3.
5.1.1 变化率问题
学习目标
核心素养
《变化率问题》课件
从以上的例子中，我们可以了解到，平均变化率 是指在某个区间内数值的平均变化量. 如果上述问题中的函数关系用 f ( x) 表示，那么问 f x2 f x1 题中的变化率可用式子： 表示。 x2 x1
函数f ( x)从x1到x2的平均变化率
f x2 f x1 平均变化率： x2 x1
习惯上：用 x表示x2 -x1，即：x x2 x1
注意：x是一个整体符号，而不是与x相乘。
可把x看作是相对于x1的一个增量， 可用x1 x代替x2 ;
“增量”：x
x2 x1
令“增量” x x2 x1
f f x2 f x1
可以看出： 随着气球体积逐渐变大，它的 平均膨胀率逐渐变小。
思 考 ？
当空气பைடு நூலகம்量从V1增加到V2时，气
球的平均膨胀率是多少？
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
探究活动
气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把
这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均
变化率:
r (V2 ) r (V1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) V2 V1 x2 x1
3.1.1 变化率问题
很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程。
发现：
随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加 的越来越慢。 从数学的角度，如何描述这种现象呢？
气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm)之 间的函数关系是：
4 3 3V 3 V (r ) r r (V ) 3 4
f x2 f x1 f x1 x f x1 f x x2 x1 x
f 于是：平均变化率可以表示为： x
变化率问题 课件
解析：(1)∵Δt＝3，Δs＝s(3)－s(0)＝15， ∴该物体在0≤t≤3这段时间里的平均速度 v 1＝ΔΔst＝5(m/s)． (2)∵Δt＝3－2＝1，Δs＝s(3)－s(2)＝7， ∴该物体在2≤t≤3这段时间里的平均速度 v 2＝ΔΔst＝7(m/s)． (3)∵Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝(2t0＋2)·Δt＋(Δt)2， ∴该物体在t0≤t≤t0＋Δt这段时间里的平均速度 v ＝ΔΔst ＝2t0＋2＋ Δt.
(3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy ＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
(4)在平均变化率中，当x1取定值后，Δx取不同的数值时，函数的 平均变化率不一定相同；当Δx取定值后，x1取不同的数值时，函数的 平均变化率也不一定相同．
点评：求平均变化率的步骤： 通常用“两步”法，一作差，二作商，即： ①先求出Δx＝x2－x1，再计算Δy＝f(x2)－f(x1)； ②对所求得的差作商，即得 ΔΔxy＝fxx22－－xf1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1.
考点二 求平均速度 例2 已知某物体的运动方程为s＝t2＋2t(s的单位：m，t的单位： s)．求： (1)该物体在0≤t≤3这段时间里的平均速度； (2)该物体在2≤t≤3这段时间里的平均速度； (3)该物体在t0≤t≤t0＋Δt这段时间里的平均速度．
π 2
附近的平均变化率．
解析：函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 fxx0＋ 0＋ΔΔxx－ －fxx00＝[3x0＋Δx2＋Δx2]－3x20＋2 ＝6x0·ΔxΔ＋x3Δx2＝6x0＋3Δx. 当x0＝2，Δx＝0.1时， 函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6×2＋3×0.1＝12.3.
变化率问题PPT优秀课件
并思考下面的问题:
49
h(65) h(0) 10 v h 0
49
t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态.
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f ( x1) 表示 x2 x1
h(t)4.9t26.5t10 v
如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运 动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, vh(0.5)h(0)4.0(5 m)/;s
0.50
在1≤ t ≤2这段时间里, vh(2)h(1)8.2(m)/;s
21
探 究:
计算运动员在 0 t 65 这段时间里的平均速度,
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δf=Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
理解：
1，式子中△x 、△ f 的值可正、可负，但△x
(单位:dm)之间的函数关系是
V (r) 4 r3
3
在改变？变 量的变化情
如果将半径r表示为体积V的函数, 况？
那么 r (V ) 3 3V 4
我们来分析一下:
r (V ) 3 3V 4
当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1 )r(0 )0 .6 2 (d m ) 气球的平均膨胀率为 r(1)r(0)0.62(dm/L)
变化率问题 课件
rV 3
3V
4
.（气2）球当的空平气均容膨积胀率V从1L增加到2L时
（1）当空气容积V从0增加到1 L时, 气球半径显增然加了
r1 r0 0.62cm,
气球的平均膨胀率为
r
1
1
r0
0
0.62>0.16
0.62dm / L.
（2）类似地,当空气容量从1 L增加到2 L时, 气球半径
增加了r2 r1 0.16dm,
问题4：用怎样的数学模型刻画函数 值变化的快慢程度？
比值称为函数在某一区间上的平均变化率
思考1：你能给出函数 f (x) 从x1到x2的平均变
化率的定义吗？
函数 f (x) 从x1到x2的平均变化率为
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
❖ 习惯上：Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
运动员的运动状态有什 h 么问题吗？
h( 65) h(0)
v 49 65 0 49
0(s / m)
O
t 65 98
65 49
t
练一练
一运动质点的位移S与时间t满足S(t)=t2,分别计算S(t)
在下列区间上的平均变化率.(位移单位为m,时间单位为s)
（1）[1, 3];
4
（2）[1, 2];
这4年我国人均GDP“猛增”？ 比值反映了在某一时间段内我国人均GDP变化的
快慢程度？
某小区近十年来的房价变化如下图所示
y y元/m2
11000
((1132,,1111000000))
情境2 8000
5500
(121,8000) (101,5500)
2400 (1,2400)
变化率问题 课件
【解题探究】1.函数平均变化率计算式子中，Δx,Δy分别表 示什么？ 2.求函数平均变化率的关键是什么？ 探究提示： 1.Δx是自变量的改变量，即Δx=x2-x1.Δy是函数值的改变 量，即Δy=f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1). 2.关键是求函数值的改变量与自变量的改变量之比, 即 y.
x0
2x
x0
2x
均为函数f(x)在x=a处的导数的表达式.
【类题试解】(2013·杭州高二检测)已知函数y=f(x)在区间
(a,b)内可导，且x0∈(a,b)，则 lim f (x0 h) f (x0 h)
h0
h
的值为( )
A.f′(x0) C.-2f′(x0)
B.2f′(x0) D.0
【解析】选B.方法一：由题意，得
2
2.一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？并说明 它的意义(重力加速度为9.8 m/s2).
【解题探究】1.运动物体的平均速度与瞬时速度有什么关系? 2.题2中“下落3秒时的速度”的含义是什么？ 探究提示： 1.运动物体在某一时刻的瞬时速度是这一时刻平均速度的极 限. 2.其含义是求此小球在下落3秒时的瞬时速度.
变化率问题 导数的概念
一、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
1.定义式: y = f (x2 ) f (x1) .
x
x2 x1
2.实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比.
3.意义:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
思考:(1)函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的大小与曲 线y=f(x)在区间[x1,x2]上的“陡峭”程度有什么关系? 提示:平均变化率的绝对值越大,曲线y=f(x)在区间[x1,x2]上越 “陡峭”,否则相反. (2)平均变化率可以是零吗?举例说明. 提示:可以为零,如常数函数f(x)=a(a为常数).
1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件高二下学期数学人教A版选修22
度, 写成
lim
t 0
h(2
+
t) t
-
h(2)
.
即
lim
t 0
h(2
+
t) t
-
h(2)
=
-13.1.
2. 瞬时变化率
对于函数的平均变化率
y = f (x2 ) - f (x1) ,
x
x2 - x1
由△x=x2-x1 得 x2=△x+x1,
y = f (x + x1) - f (x1) .
x
x
当△x 很小很小时, △x+x1 就接近于 x1.
我们用符号
lim
x0
表示△x
趋近于零,
用平均变化
率的极限 lim y = lim f (x + x1) - f (x1)
x x0
x0
x
表示函数在 x1 处的瞬时变化率.
3. 导数
一般地, 函数 y=f(x) 在 x=x0 处的瞬时变化率是
lim f (x0 + x) - f (x0 ) = lim y ,
x0
x
x0 x
我们称它为函数 y=f(x) 在 x=x0 处的导数, 记作 f(x0)
或 y |x=x0, 即
f
(x0) =
lim
x0
f
(x0 + x)x
f
(x0) .
问题 1 中, 运动员在时间 t=2 时的瞬时速度就是 求函数 h(x) 在 t=2 时的导数.
导数可以描述任何物体的瞬时变化.
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
人教A版·高中数学·选修2-2 第一章
5.1.1变化率问题 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量 Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的增量 Δy＝f(x2)－f(x1)；
第三步，求平均变化率ΔΔxy＝fxx22－－xf1x1. 求平均变化率的一个关注点
fx0＋Δx－fx0
求点 x0 附近的平均变化率，可用
Δx
的形式．
1．质点运动规律为 s(t)＝t2＋3，则从 3 到 3＋Δt 的平均速度为 ( )
A．6＋Δt
B．6＋Δt＋Δ9t
C．3＋Δt
D．9＋Δt
答案：A
2.质点按照运动规律 s＝2t2－t 运动，其中 s 表示位移，t 表示时间， 则质点在[2,2＋Δt]这段时间内的平均速度是__7_＋__2_Δ_t_，
() A.2.1 B1.1 C.2 D.0 解析：ΔΔxy＝f11.1.1－－1f1＝00..211＝2.1.
2．求平均变化率的一个关注点
fx0＋Δx－fx0
求点 x0 附近的平均变化率，可用
Δx
的形式．
例 1 已知函数 f(x)＝3x2＋5，求 f(x)： [解] (1)因为f(x)＝3x2＋5，
在1
t
2这段时间里，v
h(2) 2
h(1) 1
一般地,在t1 t t2这段时间里，
v h(t2 ) h(t1) t2 t1
4.9(t1 t2) 4.8.
在0 t 48 这段时间里， 49
v 4.9 48 4.8 49
0.
9.9(m / s)
o
t
要精确地描述非匀速直线运动,就 要知道物体在 每一时刻运动的快慢程度．
h(t) 4.9t2 4.8t 11
h
如何描述运动员从起跳到入水的 过程中运动的快慢程度呢？
人教A版高中数学选修2-2课件变化率问题.pptx
观察：某城市3月18日——4月20日的温度T（ ℃）相对于
时间t（天）的变化情况，用曲线图表示为：
T (℃)
C (34, 33.4)
30
思考
2（0 注： 3月18日
为第一天）
10 A (1, 3.5)
2
02
10
B (32, 18.6)
20
30 34t(天)
你能从图中观察出各时间段的温度变化情况吗？ 温度快慢的变化情况怎么刻画？
h
65 计算运动员在0 t 这段时间
49
里的平均速度, 并思考下面的问题o :
t
1 运动员在这段时间里是静止的吗? 2你认为用平均速 度描述 运动员运动
状态有什么问题吗?
四．课堂小结
三个实际变 化率问题
函数的平均变化率
代数表示
意义（实际、
几何）
思想方法
从特殊到一般
平均速度
瞬时速度
如何求瞬时速度， 课下你怎么去做？
空白演示
在此输入您的封面副标题
引言
我们这一章研究的内容是导数及其应用， 导数研究的问题就是变化率问题， 即研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢情况．
在我们的日常生活中丰富多彩的变化 率问题是随处可见的，我们就从现实中的 三个问题出发, 开始变化率与导数学习!
1.1.1 变化率问题
问题一 温度变化率问题
相对于水面的高度h与起跳后的时间t
存在的函数关系：
h(t) 4.9t2 6.5t 10
实践操作
h(t) 4.9t2 6.5t 10
计算
在0 t 0.5这段时间里, v h 0.5 h 0 4.05m / s
0.5 0
在1 t 2这段时间里,
5.1.1变化率问题 课件
趋近于
0
时，Δs趋 Δt
近于的常数，就是物体在该时刻的瞬时速度．
练习巩固
练习1. 火箭发射t(s)后,其高度(单位: m)为h(t) 0.9t2.求:
(1)在1 t 2这段时间里,火箭爬高的平均速度; (2)发射后第10s时, 火箭爬高的瞬时速度.
练习巩固
解: (1) v h(2) h(1) 2.7
[解] (1)－v ＝st2t2－－ts1t1＝3×2－22－23×0－02＝22＝1. 所以在 t＝0 到 t＝2 时的平均其位移 s 与时间 t 的关系是 s(t)＝3t－t2.
(1)求 t＝0 到 t＝2 时的平均速度；
(2)求此物体在 t＝2 时的瞬时速度．
练习巩固
练习2：求抛物线 f (x) x2 1在点(0,1)处的切线方程 .
解:
则，k0
lim
x0
f
(0 x) f (0) (0 x) 0
lim (x)2 11 lim x
x0
x
x0
0
抛物线f (x) x2 1在点(0,1)处的切线方程为
y 1 0
练习巩固
练习3：求抛物线 f (x) x2 1在点(2,5)处的切线斜率 .
fx－f1
1＋Δx2－1
x－1
1＋Δx－1
Δx＋2
k＝ 01 ____________＝ 02 ____________＝ 03 _________.
我们发现，当Δx 无限趋近于 0 时，即无论 x 从小于 1 的一边，还是从
大于 1 的一边无限趋近于 1 时，割线 P0P 的斜率 k 都无限趋近于 2.
2 1
解: (2)
v h(10 t) h(10) 0.9 (10 t)2 0.9102
5.1.1变化率问题课件(人教版)
(1)设 P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线 y＝f (x)上任意不同两点，
则平均变化率fx－fx0＝fx0＋Δx－fx0为割线
x－x0
Δx
P0P
的__斜__率_．
(2)当 P 点逐渐靠近 P0 点，即Δx 逐渐变小，当Δx→0 时，瞬时变
化率
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0就 是 Δx
的瞬时速度，这就需要用到我们数学中的“极限”思想，意思就是让Δt无限
趋近于0.
ht0＋Δt－ht0
lim
Δt→0
Δt
思考：在点P0(1,1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线f(x)＝x2的割线 P0P有什么变化趋势？
提示 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置.
曲线的切线斜率
5.1.1 变化率问题
学习目标
1.通过实例，了解平均速度与瞬时速度. 2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系. 3.会求曲线在某一点处的切线方程.
情境导入 在高台跳水中， 运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间存在函数关 系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10， 根据上述探究，你能求该运 动员在0≤t≤0.5,1≤t≤2, 0≤t≤6459内的平均速度吗？
例 1 某物体的运动路程 s(单位：m)与时间 t(单位：s)的关系可 用函数 s(t)＝t2＋t＋1 表示，求物体在 t＝1 s 时的瞬时速度．
[解] ∵ΔΔst＝s1＋ΔΔtt－s1
＝1＋Δt2＋1＋ΔΔtt＋1－12＋1＋1＝3＋Δt，
∴lim Δt→0
ΔΔst ＝Δlitm→0
(3＋Δt)＝3.
提示 0≤t≤0.5 时， v ＝h00.5.5－ －h00＝4.05(m/s)；1≤t≤2 时， v ＝ h22－ －h11＝－8.2(m/s)；0≤t≤6459时， v ＝h46649559－－h00＝0(m/s)；
一元二次方程变化率问题-课件
二次增长后的值为
a •(1 x)n
依次类推n次增长后的值为
设基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为 a •(1 x) 二次降低后的值为 a •( 1 x )2
依次类推n次降低后的值为 a •( 1 x )n
小结归纳
这节课你有哪些收获？
列方程解应用题的一般步骤
关于两次平均增长(降低)率问题的一 般关系:
学习目标
第一次 a
分析
ax
：
第二次 a+ax=
a（1+x）
a（1+x）x
第三次 a(1+x)+ a(1+x) x
=a（1+x）2
50(1+x)2=72
1 x2 .2
但x 2.2不合题意，舍去
x 0.2 20%
答：二月、三月平均每月的增长率是20%
解：设原价为1个单位，每次降价的百分 率为 x.根据题意，得
27（1-x）2=9 解这个方程，得
x1≈0.42, x2≈1.58(不合题意，舍去) 答：两次降价的平均降价率为42%.
变化率规律小结
（1）增长率问题
设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后
的值为
a •(1 x)
a •(1 x)2
a(1±x)2=A(其中a表示基数,x表表示 增长(或降低)率,A表示新数)
布置作业
a •(1 x)n
依次类推n次增长后的值为
设基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为 a •(1 x) 二次降低后的值为 a •( 1 x )2
依次类推n次降低后的值为 a •( 1 x )n
小结归纳
这节课你有哪些收获？
列方程解应用题的一般步骤
关于两次平均增长(降低)率问题的一 般关系:
学习目标
第一次 a
分析
ax
：
第二次 a+ax=
a（1+x）
a（1+x）x
第三次 a(1+x)+ a(1+x) x
=a（1+x）2
50(1+x)2=72
1 x2 .2
但x 2.2不合题意，舍去
x 0.2 20%
答：二月、三月平均每月的增长率是20%
解：设原价为1个单位，每次降价的百分 率为 x.根据题意，得
27（1-x）2=9 解这个方程，得
x1≈0.42, x2≈1.58(不合题意，舍去) 答：两次降价的平均降价率为42%.
变化率规律小结
（1）增长率问题
设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后
的值为
a •(1 x)
a •(1 x)2
a(1±x)2=A(其中a表示基数,x表表示 增长(或降低)率,A表示新数)
布置作业
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(3)[1， 1.1]；
趋
(4)[1，1.01];
近 于
(5)[1，1.001]
2
越来越小
y
B
9
4
C
A
1 0 123 x
课堂练习
1.质点运动规律为 s=t2+3，则在时间(3,3+△t)中相 应的平均速度为 ． 2.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临 近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( ) A.3 B.3Δx-(Δx)2 C.3-(Δx)2 D.3-Δx 3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy) 作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
所以：
r(1)-r(0) 1-0
≈_0_._6_2_(dm/L)
r(2)-r(1) 2-1
≈_0_._1_6_(dm/L)
r(2.5)-r(2) 2.5-2
≈_0_._1_4_(dm/L)
r(4)-r(2.5) 4-2.5
≈_0_._1_0_(dm/L)
所以，随着气球体积逐渐变大，它的_平__均__膨__胀__率___逐渐变小了。
回 1．平均变化率的概念及 顾 几何意义; 总 2．函数在某点处附近的 结 平均变化率.
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
1.1.1变化率问题
牛两顿人同时创立了微莱布积尼分兹
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中 引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立 以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程关于时间的函数,求物体 在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、 最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变 量变化的快慢程度．
问题气1 球膨胀率
0.62dm
第一次
0.16dm
问题1
（1）假设每次匀速吹入等量 1L气体，随着吹入气体的增加， 它的膨胀速度有何变化？
计算运动员在 下面的问题:
0 这t 段 时4695间里的平均速度,并思考
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有 什么问题吗?
如果上述两个问题中的函数关系用f(x)表示， 那么问题中的变化率可用式子
f (x2 ) f (x1) x2 x1
想一想 上面的式子和我们以前 学过的什么式子相似？
的平均变化率为：g(1) g(3) 2
(1) (3)
函数 g( x)在区间[0，5]上的平
变化率为:
f (5) f (0) 2
50
均变化率为： g(5) g(0) 2
50
例2 已知函数 f(x)=x2 , 分别计算 f(x) 在
下列区间上的平均变化率.
(1)[1， 3]； (2)[1， 2]； 3
问题气1 球膨Байду номын сангаас率
思考
当气球的空气容量从V1增加到V2时，气球的 平均膨胀率是多少？
问题2高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员
相对于水面的高度 h (单位:m)与 起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数
关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
如何用运动员在某些时
间段内的平均速度 v粗略地
描述其运动状态?
问题2高台跳水
请计算 0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v : h h(t)=-4.9t2+6.5t+10
在0
t
0.5这段时间里，v
h(0.5)
h(0)
o
4.05(m
/
t
s)
0.5 0
在1 t 2这段时间里，v h(2) h(1) 8.2(m / s) 2 1
问题2高台跳水
例1 已知函数f (x)=2x+1, g(x)= - 2x ,分
别计算在区间[-3-1]，[0，5]上 f(x)及g(x)
的平均变化率.
解: 函数 f (x)在区间[-3，-1]上的 函数 g( x) 在区间[-3，-1]上
平均变化率为：f (1) f (3) 2
(1) (3)
函数 f (x)在区间[0，5]上的平均
（2）这一现象中，把气球近 似看成球体，哪些量在改变？ 变化的情况如何呢？
（3）球体的体积公式？
第二次
函数
r(V)=
3
3V 4π
(0≤V≤5
)的图象为:
利用函数图象计算：
r(0)=___0______ r(1)≈ _0_._6_2___ r(2)≈ _0_._7_8____ r(2.5)≈0_.8_5_____ r(4)≈ _1________