第二章 因次分析与定理
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，， 为待定常数。将上式写成因次式得： 式中：
图2-1 单摆
第二节 因次和谐原理和因次分析方法
二、 因次分析方法
[t ] [l m g ]
选择 [ M , L, T ] 为基本因次，根据因次和谐原理，则上式可写成：
[T ] [ L] [M ] [ LT 2 ]
根据因次和谐： [M ] : 0
为基本参变量 为其它参变量,其因次可以由基 本量诱导出来
[ xm1 ] [ x1 ]1 [ x2 ]2 ...[xm ]m [ xm2 ] [ x1 ]1 [ x2 ]2 ...[xm ]m .......... .......... .......... ..... [ xn ] [ x1 ] [ x2 ] ...[xm ]
选择[M,L,T]为基本量纲，则写出两边的量纲表达式：
[ M 0 L3T 1 ] [ ML1T 2 ] [ L] [ L] [ ML1T 1 ] [ M L 2 T 2 ]
根据因次和谐原理，方程两侧同类因次的指数必须相同，即：
[M ] : 0
第一节 物理量的因次、量度单位和因次式
2、物理量的因次分类
物理量的因次可分为两大类 1）基本因次：它们彼此是相互独立的，即它们中的任何 一个因次不能从其它基本因次推导出来。 力学上通常选择长度（以[L]表示）、时间（以[T]表示） 和质量（以[M] 表示）作为基本因次，显然它们是相互独 立的。它们中任一个不能从另外二个推导出来 （例如[L] 不可能由[M]、[T]来组成）。 2）导出因次：这类因次可由基本因次推导出来。 若选择[M、L、T]为基本因次，
伯努利方程
p v 2 z H r 2g
上式中各项的因次都是长度 [L]，所以因次是和谐的。不管方程中各项采用 的单位是什么，方程的形式都不会改变，若同除以任一项变为无量纲方程 式，其形式仍然不会改变。 如果一个方程在因次上不和谐，则要检查方程式是否完整，采用度量单位 是否一致，数学分析过程是否严谨。
1 2 m
[ [
xm1 ] 1 1 2 m x1 x2 ...xm xm 2 ] 1 1 2 m x1 x2 ...xm xn ] 1 r1 r2 rm x1 x2 ...xm
.......... .......... .......... .....
[
某一物理量xi,除了具有因次[xi]外，还有数值大小，而且数值 大小随单位的改变而改变。如果两个物理量的因次之比等于1， 那么他们的物理量因次相同，则其数值之比是一个无因次数。 比如： x
该式称为因次关系式。
证明过程：见书P32页。
物理量ｙ的性质可由指数αβγ来反映，如均为0，则y为一次无因次纯数， 指数αβγ中有一个不等于0，就可以说ｙ是一个有因次的物理量。 从上式可以导出常见的有因次的物理量
0, 0, 0
0, 0, 0
[ y] [ L] [ y] [M ] [ y] [M ] [ L] [T ]
• 4、只有当参变量不大于3个时，方能求解由3个基本因次构成的因次和 谐方程组，求得不大于3个的待定指数，从而建立方程的具体形式。
当待求的物理方程中包含的参变量大于3个时，瑞利法就无能为 力了。这时需采用因次分析的普遍方法——π 定理，找出复合 无因次项，方能建立完整的物理方程式。
第三节 π定理及其应用
Ｌ θ
[ L] : 0 [T ] : 2 1
联立求得上列3式求解得：
θ
1 1 : ， 0， 2 2
图2-1 单摆
[T ] [l
1
2
g
1
2
]t k
l g
第二节 因次和谐原理和因次分析方法
二、 因次分析方法
由单摆试验得到
k 常数等于2π ，则单摆周期的表达式为：
第一节 物理量的因次、量度单位和因次式
1 因次、量纲的概念
因次及量纲：表征物理量，除了有量的数值外，还有量的种类（或类 别），如长度、时间、质量、力等，人们把表征物理量的种类通称为“因 次”（Dimension）或称为“量纲”。 单位：度量各物理量数值大小的标准，称为单位。 市制、公制、英制、 美制 。
v2 1 2 [m ] [M][LT ] [L]1 [MLT2 ] R
显然左侧与右侧的因次相同，即可证得：
v2 F m R
2、因次和谐原理的重要性
3.用因次和谐原理建立某些物理方程。 实际工程中有许多自然现象，直至目前仍尚未找出具体形式的物理 方程。通过观察和试验等只知道有哪些物理量参与作用，那么，利用 因次和谐原理往往可以确定方程式的结构模式。
常见因次关系详见P34页表2－1 物理量 无因次量 导出量 有因次量 基本量
第二节
因次和谐原理和因次分析方法
1、因次和谐原理 凡是正确反映某一物理现象变化规律的完整的物理方程， 其各项因次都必须是一致的，这称为因次和谐原理。
只有类型相同的物理量才能相加减，即因次相同的物理 量才能相加减，两个不同类型的物理量相加减是没有意义的。 比如，1m+1kg是没有意义的。所以，方程中各项因次都必 须是一致的。
第三节 π定理及其应用
一、 π定理的基本概念 π定理的数学解释： 设某一物理过程包含n个物理量x1, x2 ,…，xn，则这一物理 过程可用这些参变量的函数关系式表示：
f ( x1 , x2 ,, xn ) 0
若n个参变量中有m个因次独立（m<n） ，则上式可以改写：
f ( x1 , x2 ,xm , xm1 , xm2 xn ) 0 x1 , x2 , xm xm1 , xm2 ,xn
举例：水平圆管中层流流量Q的计算式的确定。
通过试验知道它与如下参数有关： 圆管半径 单位管长的压差
p / l
r
流体动力粘滞系数
写出函数关系式：
Q f (r , p / l , )
假设：
Q(
p ) r l
其因次式为：
p [Q ] [ ] [ r ] [ ] l
因次分析方法就是建立在上述结论基础上，是用于探求 物理现象的函数关系式的一种数学分析方法。
第二节
因次和谐原理和因次分析方法
二、因次分析方法 因次分析方法有二种： 瑞利（Rayleigh）法——适用于解决较简单问题 π 定理——具有普遍性的方法 瑞利方法的实质是应用因次和谐原理来建立物理现象的 函数关系。
一、 π定理的基本概念 π定理的全部含意是：
某一物理进程，若有ｎ个物理量参与作用，其中有ｍ个具有因次独立 的基本物理量，则经过处理，这一物理过程可由包含ｎ-ｍ个由这些物理量 组成的无因次准数π的函数关系式来表示。 因次独立的基本物理量的含义： 指任何一个基本物理量的因次不能由其它基本物理量诱导出来，或者更严 格的讲，由基本物理量不可能组成一个无因次的量。例如用质量ｍ，长度l， 时间t三个基本物理量，不管怎样组合均不可能组成一个无因次量。
l g
t 2
这与理论分析结果完全相同。
第二节 因次和谐原理和因次分析方法
二、 因次分析方法 应用瑞利因次分析法探求物理方程式的步骤如下：
1 、 找出物理过程的参变量，建立函数关系式（一般采用幂指数乘积形 式）； 2 、写出函数的因次关系式； 3、 选定3个基本因次（一般为：M ,L,T ），按选定的基本因次整理、归 并得出函数的因次关系式； 4、根据因次和谐原理列出因次和谐方程，联立求解出各参变量指数值； 5、将解得的指数值回代到原假定的函数关系式，并加以整理、化简； 6、通过模型试验或现场观测，验证所得的函数表达式的完整性和正确性， 并确定表达式中的待定系数或指数，最后获得描述该物理现象的完整的表达 式。
假设x1, x2 ,x3——是基本量，它们的因次式表示如下：
[ x1 ] [M 1 L1 T 1 ]
[ x2 ] [M 2 L2 T 2 ]
[ x3 ] [M 3 L3T 3 ]
则它们是因次独立的(即不能组成无因次量)的条件是上 列因次式中的指数行列式不等于零。
1 2 3 1 1 2 2 0 3 3
[ L] : 2 3 [T ] : 2 1
联解上列3式得：
1, 4, 1
从而有
p 4 1 [Q] [ r ] l
写成函数关系式为
pr 4 Qk l
k
其中，k为无因次系数，由试验结果分析得：
8
于是圆管中层流流量公式为：
2、因次和谐原理的重要性 利用方程因次和谐特征：（1）可以探求物理方程的结构形 式，（2）检验复杂方程式的正确性，（3）还可以用来导出 模型试验中必须遵循的相似准则。因此，这一原理是因次分 析的重要依据。
2、因次和谐原理的重要性
1. 一个物理方程式在因次上是和谐的，则方程的文字结构形式不随量度单 位的更换而变化。因此因次和谐原理可以用以检验新建方程式或经验公式 的正确性和完整性。
pr 4 Q 8 l
第二节
因次和谐原理和因次分析方法
二、因次分析方法
由因次和用因次和谐原理，可以得到如下认识： • 1 、自然界中某一物理现象的变化规律，可以用一个完整的物理 方程来描述；
•
2 、一个完整的物理方程式必须符合因次和谐原理；
• 3 、一个完整的物理方程式其文字结构不随人为确定的量度单位 的更换而改变； • 4 、 因次和谐的条件是方程式中各个变量的基本因次的指数在方 程式两侧彼此相等。
1）长度——米
国际单位
2）时间——秒
3）质量——千克
4）力 ——牛顿
Hale Waihona Puke Baidu
第一节 物理量的因次、量度单位和因次式
2 物理量分类
物理量可分为两大类
1）有因次的:如长度、时间、速度、加速度、 质量、力等，这类物理量要以人为的单位来 表示，其数值大小随着单位的更换而改变； 1m=100cm
物理量
2）无因次的:如坡度、佛汝德数、雷诺数等， 这些量是一个纯数或比值，其数值大小不受 量度单位更换的影响。
2、因次和谐原理的重要性
2. 用因次和谐原理确定物理方程中各物理量的指数。
质量为M、以速度v沿半径为R的圆周运动时其关系式为：
v2 F m R 利用因次和谐原理可以证明关系式的合理性
各物理量的量纲为： [F]=[MLT-2]、[m]=[M]、[v]=[MLT-1]、[R]=[L]
根据因次和谐原理，左右两侧的量纲应该和谐 ： 左侧 右侧 [F]=[MLT-2]
则速度因次可表示为： [V]=[L]/[T]=[LT-1]
因次
加速度的因次为：[a]=[V]/[T]=[LT-2] 力的因次为： [F]=[M][a]=[M LT-2]
可见某一物理量的因次总可以由基本因次推导出来，而且是基本因次幂指数 的乘积，即：
γ [ y] [M ] [ L] [T ]
第二节 因次和谐原理和因次分析方法
二、 因次分析方法
用瑞利因次分析法建立物理现象的函数表达式，最大的优点就是简单 易行，但有一定局限性：
• 1、只能假定物理方程式的模式是参变量幂指数的乘积； • 2、所建立的方程式正确与否，很大程度取决于参变量的选择是否正确、 完整； • 3 、方程式中的待定系数或某些指数，一般需由模型试验或理论分析 （比较简单的物理过程）求得；
第二节 因次和谐原理和因次分析方法
二、 因次分析方法
例： 一弦长为L的单摆,摆端有质量为m的摆球，要求用瑞利法求单摆 的摆动周期t的表达式。 根据单摆现象观测，周期t与弦长l、摆球质 量m为及重力加速度g有关，即：
t f (l , m, g )
用幂指数乘积来表示这一函数关系，即：
Ｌ θ
θ
t f (l m g )
y为一几何学量 y为一运动学量 y为一动力学量
0, 0, 0
第一节 物理量的因次、量度单位和因次式
如面积是由两个长度的乘积组成的，则它们的因次为长度因次 的平方,[A]=[L2]或写成[A]=[M0L2T0]。 流速因次为[V]= [LT-1] = [M0LT-1]； 力的因次为[F]=[M][a]=[M LT-2]。
图2-1 单摆
第二节 因次和谐原理和因次分析方法
二、 因次分析方法
[t ] [l m g ]
选择 [ M , L, T ] 为基本因次，根据因次和谐原理，则上式可写成：
[T ] [ L] [M ] [ LT 2 ]
根据因次和谐： [M ] : 0
为基本参变量 为其它参变量,其因次可以由基 本量诱导出来
[ xm1 ] [ x1 ]1 [ x2 ]2 ...[xm ]m [ xm2 ] [ x1 ]1 [ x2 ]2 ...[xm ]m .......... .......... .......... ..... [ xn ] [ x1 ] [ x2 ] ...[xm ]
选择[M,L,T]为基本量纲，则写出两边的量纲表达式：
[ M 0 L3T 1 ] [ ML1T 2 ] [ L] [ L] [ ML1T 1 ] [ M L 2 T 2 ]
根据因次和谐原理，方程两侧同类因次的指数必须相同，即：
[M ] : 0
第一节 物理量的因次、量度单位和因次式
2、物理量的因次分类
物理量的因次可分为两大类 1）基本因次：它们彼此是相互独立的，即它们中的任何 一个因次不能从其它基本因次推导出来。 力学上通常选择长度（以[L]表示）、时间（以[T]表示） 和质量（以[M] 表示）作为基本因次，显然它们是相互独 立的。它们中任一个不能从另外二个推导出来 （例如[L] 不可能由[M]、[T]来组成）。 2）导出因次：这类因次可由基本因次推导出来。 若选择[M、L、T]为基本因次，
伯努利方程
p v 2 z H r 2g
上式中各项的因次都是长度 [L]，所以因次是和谐的。不管方程中各项采用 的单位是什么，方程的形式都不会改变，若同除以任一项变为无量纲方程 式，其形式仍然不会改变。 如果一个方程在因次上不和谐，则要检查方程式是否完整，采用度量单位 是否一致，数学分析过程是否严谨。
1 2 m
[ [
xm1 ] 1 1 2 m x1 x2 ...xm xm 2 ] 1 1 2 m x1 x2 ...xm xn ] 1 r1 r2 rm x1 x2 ...xm
.......... .......... .......... .....
[
某一物理量xi,除了具有因次[xi]外，还有数值大小，而且数值 大小随单位的改变而改变。如果两个物理量的因次之比等于1， 那么他们的物理量因次相同，则其数值之比是一个无因次数。 比如： x
该式称为因次关系式。
证明过程：见书P32页。
物理量ｙ的性质可由指数αβγ来反映，如均为0，则y为一次无因次纯数， 指数αβγ中有一个不等于0，就可以说ｙ是一个有因次的物理量。 从上式可以导出常见的有因次的物理量
0, 0, 0
0, 0, 0
[ y] [ L] [ y] [M ] [ y] [M ] [ L] [T ]
• 4、只有当参变量不大于3个时，方能求解由3个基本因次构成的因次和 谐方程组，求得不大于3个的待定指数，从而建立方程的具体形式。
当待求的物理方程中包含的参变量大于3个时，瑞利法就无能为 力了。这时需采用因次分析的普遍方法——π 定理，找出复合 无因次项，方能建立完整的物理方程式。
第三节 π定理及其应用
Ｌ θ
[ L] : 0 [T ] : 2 1
联立求得上列3式求解得：
θ
1 1 : ， 0， 2 2
图2-1 单摆
[T ] [l
1
2
g
1
2
]t k
l g
第二节 因次和谐原理和因次分析方法
二、 因次分析方法
由单摆试验得到
k 常数等于2π ，则单摆周期的表达式为：
第一节 物理量的因次、量度单位和因次式
1 因次、量纲的概念
因次及量纲：表征物理量，除了有量的数值外，还有量的种类（或类 别），如长度、时间、质量、力等，人们把表征物理量的种类通称为“因 次”（Dimension）或称为“量纲”。 单位：度量各物理量数值大小的标准，称为单位。 市制、公制、英制、 美制 。
v2 1 2 [m ] [M][LT ] [L]1 [MLT2 ] R
显然左侧与右侧的因次相同，即可证得：
v2 F m R
2、因次和谐原理的重要性
3.用因次和谐原理建立某些物理方程。 实际工程中有许多自然现象，直至目前仍尚未找出具体形式的物理 方程。通过观察和试验等只知道有哪些物理量参与作用，那么，利用 因次和谐原理往往可以确定方程式的结构模式。
常见因次关系详见P34页表2－1 物理量 无因次量 导出量 有因次量 基本量
第二节
因次和谐原理和因次分析方法
1、因次和谐原理 凡是正确反映某一物理现象变化规律的完整的物理方程， 其各项因次都必须是一致的，这称为因次和谐原理。
只有类型相同的物理量才能相加减，即因次相同的物理 量才能相加减，两个不同类型的物理量相加减是没有意义的。 比如，1m+1kg是没有意义的。所以，方程中各项因次都必 须是一致的。
第三节 π定理及其应用
一、 π定理的基本概念 π定理的数学解释： 设某一物理过程包含n个物理量x1, x2 ,…，xn，则这一物理 过程可用这些参变量的函数关系式表示：
f ( x1 , x2 ,, xn ) 0
若n个参变量中有m个因次独立（m<n） ，则上式可以改写：
f ( x1 , x2 ,xm , xm1 , xm2 xn ) 0 x1 , x2 , xm xm1 , xm2 ,xn
举例：水平圆管中层流流量Q的计算式的确定。
通过试验知道它与如下参数有关： 圆管半径 单位管长的压差
p / l
r
流体动力粘滞系数
写出函数关系式：
Q f (r , p / l , )
假设：
Q(
p ) r l
其因次式为：
p [Q ] [ ] [ r ] [ ] l
因次分析方法就是建立在上述结论基础上，是用于探求 物理现象的函数关系式的一种数学分析方法。
第二节
因次和谐原理和因次分析方法
二、因次分析方法 因次分析方法有二种： 瑞利（Rayleigh）法——适用于解决较简单问题 π 定理——具有普遍性的方法 瑞利方法的实质是应用因次和谐原理来建立物理现象的 函数关系。
一、 π定理的基本概念 π定理的全部含意是：
某一物理进程，若有ｎ个物理量参与作用，其中有ｍ个具有因次独立 的基本物理量，则经过处理，这一物理过程可由包含ｎ-ｍ个由这些物理量 组成的无因次准数π的函数关系式来表示。 因次独立的基本物理量的含义： 指任何一个基本物理量的因次不能由其它基本物理量诱导出来，或者更严 格的讲，由基本物理量不可能组成一个无因次的量。例如用质量ｍ，长度l， 时间t三个基本物理量，不管怎样组合均不可能组成一个无因次量。
l g
t 2
这与理论分析结果完全相同。
第二节 因次和谐原理和因次分析方法
二、 因次分析方法 应用瑞利因次分析法探求物理方程式的步骤如下：
1 、 找出物理过程的参变量，建立函数关系式（一般采用幂指数乘积形 式）； 2 、写出函数的因次关系式； 3、 选定3个基本因次（一般为：M ,L,T ），按选定的基本因次整理、归 并得出函数的因次关系式； 4、根据因次和谐原理列出因次和谐方程，联立求解出各参变量指数值； 5、将解得的指数值回代到原假定的函数关系式，并加以整理、化简； 6、通过模型试验或现场观测，验证所得的函数表达式的完整性和正确性， 并确定表达式中的待定系数或指数，最后获得描述该物理现象的完整的表达 式。
假设x1, x2 ,x3——是基本量，它们的因次式表示如下：
[ x1 ] [M 1 L1 T 1 ]
[ x2 ] [M 2 L2 T 2 ]
[ x3 ] [M 3 L3T 3 ]
则它们是因次独立的(即不能组成无因次量)的条件是上 列因次式中的指数行列式不等于零。
1 2 3 1 1 2 2 0 3 3
[ L] : 2 3 [T ] : 2 1
联解上列3式得：
1, 4, 1
从而有
p 4 1 [Q] [ r ] l
写成函数关系式为
pr 4 Qk l
k
其中，k为无因次系数，由试验结果分析得：
8
于是圆管中层流流量公式为：
2、因次和谐原理的重要性 利用方程因次和谐特征：（1）可以探求物理方程的结构形 式，（2）检验复杂方程式的正确性，（3）还可以用来导出 模型试验中必须遵循的相似准则。因此，这一原理是因次分 析的重要依据。
2、因次和谐原理的重要性
1. 一个物理方程式在因次上是和谐的，则方程的文字结构形式不随量度单 位的更换而变化。因此因次和谐原理可以用以检验新建方程式或经验公式 的正确性和完整性。
pr 4 Q 8 l
第二节
因次和谐原理和因次分析方法
二、因次分析方法
由因次和用因次和谐原理，可以得到如下认识： • 1 、自然界中某一物理现象的变化规律，可以用一个完整的物理 方程来描述；
•
2 、一个完整的物理方程式必须符合因次和谐原理；
• 3 、一个完整的物理方程式其文字结构不随人为确定的量度单位 的更换而改变； • 4 、 因次和谐的条件是方程式中各个变量的基本因次的指数在方 程式两侧彼此相等。
1）长度——米
国际单位
2）时间——秒
3）质量——千克
4）力 ——牛顿
Hale Waihona Puke Baidu
第一节 物理量的因次、量度单位和因次式
2 物理量分类
物理量可分为两大类
1）有因次的:如长度、时间、速度、加速度、 质量、力等，这类物理量要以人为的单位来 表示，其数值大小随着单位的更换而改变； 1m=100cm
物理量
2）无因次的:如坡度、佛汝德数、雷诺数等， 这些量是一个纯数或比值，其数值大小不受 量度单位更换的影响。
2、因次和谐原理的重要性
2. 用因次和谐原理确定物理方程中各物理量的指数。
质量为M、以速度v沿半径为R的圆周运动时其关系式为：
v2 F m R 利用因次和谐原理可以证明关系式的合理性
各物理量的量纲为： [F]=[MLT-2]、[m]=[M]、[v]=[MLT-1]、[R]=[L]
根据因次和谐原理，左右两侧的量纲应该和谐 ： 左侧 右侧 [F]=[MLT-2]
则速度因次可表示为： [V]=[L]/[T]=[LT-1]
因次
加速度的因次为：[a]=[V]/[T]=[LT-2] 力的因次为： [F]=[M][a]=[M LT-2]
可见某一物理量的因次总可以由基本因次推导出来，而且是基本因次幂指数 的乘积，即：
γ [ y] [M ] [ L] [T ]
第二节 因次和谐原理和因次分析方法
二、 因次分析方法
用瑞利因次分析法建立物理现象的函数表达式，最大的优点就是简单 易行，但有一定局限性：
• 1、只能假定物理方程式的模式是参变量幂指数的乘积； • 2、所建立的方程式正确与否，很大程度取决于参变量的选择是否正确、 完整； • 3 、方程式中的待定系数或某些指数，一般需由模型试验或理论分析 （比较简单的物理过程）求得；
第二节 因次和谐原理和因次分析方法
二、 因次分析方法
例： 一弦长为L的单摆,摆端有质量为m的摆球，要求用瑞利法求单摆 的摆动周期t的表达式。 根据单摆现象观测，周期t与弦长l、摆球质 量m为及重力加速度g有关，即：
t f (l , m, g )
用幂指数乘积来表示这一函数关系，即：
Ｌ θ
θ
t f (l m g )
y为一几何学量 y为一运动学量 y为一动力学量
0, 0, 0
第一节 物理量的因次、量度单位和因次式
如面积是由两个长度的乘积组成的，则它们的因次为长度因次 的平方,[A]=[L2]或写成[A]=[M0L2T0]。 流速因次为[V]= [LT-1] = [M0LT-1]； 力的因次为[F]=[M][a]=[M LT-2]。