线性代数期中试卷2011s

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11级线性代数试卷A答案

中南大学考试试卷答案2011——2012学年第二学期（2012.4）时间：100分钟《线性代数》课程 32 学时 2 学分考试形式：闭卷专业年级：2011级总分：100分一、填空题（本题15分，每题3分）1、0；2、8132（练习册P99）； 3、3-； 4、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--12333212312113311n n A ；5、12+⎪⎪⎭⎫⎝⎛λA （练习册P113）。

二、选择题（本题15分，每题3分）1、D ；2、B （练习册P106）；3、C ；（教材P55）4、D ；5、A （练习册P120）。

三、（本题10分）（练习册P102）解：解： D n ====+++c c c c c c n 131121000120012201222=2n –1，设D n 展开式中正、负项总数分别为x 1, x 2，则x 1+x 2=n !，x 1–x 2=2n –1，于是正项总数为x 1=1221(!)n n -+。

四、（本题10分）（典型题解P121）解：由X A E AX +=+2，得：E A X E A -=-2)(，)(,010********E A E A -∴≠-==- 可逆，故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A X ；由于09≠=X ，()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===∴---*-201030102911)(1111X X X X X 。

五、（本题14分）解：将矩阵()4321,,,αααα化为最简形阶梯形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000011003101032001000011001030101121306014211035271，（1）()3,,,4321=ααααR ；（2）321,,ααα为所求的一个最大线性无关组，且32143132αααα++=。

六、（本题14分）解：()0311********--=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==λλλααA E A T，(1)A 的特征值为0,0,3；由0=AX 得对应0的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101011l k ，l k ,为不全为零的任意常数，由0)3(=-X A E 得对应3的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111c ，c 为任意非零常数。

线性代数考试题及答案

2011级材料学院《线性代数》期中考试试卷时间：120分钟满分：100分一、单项选择题 (共10小题，每小题3分，共30分)1. 在下列构成5阶行列式展开式的各项中，取“－”的为 ( )(A) 5144322315a a a a a (B) 5344322511a a a a a (C) 3442155321a a a a a (D) 2544133251a a aa a2. 已知矩阵34 6 2 4 2 1 6 3 1 1 2 3- 0 21 1 1 1 1 =A ，则.)(=A r；1 )(A；2 )(B；3 )(C5 )(D3. 设四阶行列式111201110011111------=x D ，则其中x 的一次项的系数为 ( )(A) 1 (B) －1 (C) 2 (D) －24. 行列式0=nD 的一个必要条件是 ( )(A) D n 中各行元素之和等于零 (B) D n 中有一行(列)元素全为零(C) D n 中有两行(列)元素对应成比例 (D) 系数行列式为D n 的齐次线性方程组有非零解5. 设A , B 皆为n 阶方阵，且A 可逆，则下列运算一定正确的是 ( ) (A)kk kBA AB =)( (B)AA -=- (C)))((22A B A B AB-+=- (D)1**1)()(--=A A6. 设A , B 皆为n 阶方阵，则必有 ( )(A)BAAB = (B)AB B A -=- (C)BA B A +=+ (D)BA B A ⋅=⋅7. 设分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=231A AO AA ，其中的子块A 1, A 2为方阵，O 为零矩阵，若A 可逆，则 ( )(A) A 1可逆，A 2不一定可逆 (B) A 2可逆，A 1不一定可逆 (C) A 1,A 2都可逆(D) A 1,A 2都不一定可逆 8. 用初等矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01100001左乘矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=642113112A ，相当于对A 进行如下何种初等变换( )(A)21r r ↔ (B)32r r ↔ (C)21c c ↔ (D)32c c ↔9. 设A 为5×3矩阵，且2)(=A R ，下三角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=424212347437221P ，则)(PA R 等于 ( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 10. 非齐次线性方程组bx A=⨯55在以下哪种情形下有无穷多解. ( )(A)5),( ,4)(==b A A R R (B)4),( ,3)(==b A A R R (C)4),( ,4)(==b A A R R (D)5),( ,5)(==b A A R R二、填空题 (共5小题，每空3分，共15分)1. 设x 1,x 2,x 3,x 4是四次方程0234=+++c bxaxx的根，则行列式=0752340000014321x x x x ________.2. 若n 阶下三角行列式1111111111=nD)2(≥n ，则所有．．元素的代数余子式之和等于_____.3. 设A , B 皆为n 阶方阵，2=A ，3=B，则=-1*3BA_____.4. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=004300002000010A ，则=-1A.5. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a212221212111A ，且02121≠n n b b b a aa ，则________)(=A R .三、计算题 (共5小题，每小题6分，共30分)1.yy x x x y y xyy x =+++x2. 设五次多项式1111111111111111111111111)(+++++=x x x x x x f ，求：①x 5的系数；②x 4的系数；③常数项.3. 设四阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1612841296386424321A ，求A 99=__________4. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21110001A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=322154B ，利用矩阵的初等变换．．．．．．．求矩阵X ，使得AX =B .5. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=k k 12115210611A 的秩等于2，求k 的值.四、证明题 (共2小题，每小题6分，共12分)1. 已知TTA ααββ=+，Tα为α的转置，Tβ为β的转置.（1）求证2≤)(A R ；（2）若,αβ线性相关，则2<)(A R .2. 设A 为n 阶矩阵，且AA =2，证明：n R R =-+)()(A E A .五、解答题 (13分)用克莱姆法则解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x xx x x x x x x x x x x x x x一、单项选择题 (10×3=30分) 1. (D)；解：选项(A)和(B)的行标排列为标准次序，列标排列的逆序数分别为8和4(偶排列)；选项(C)的行标、列标排列都不是标准次序，调整相乘元素的次序，使行标排列为标准次序，则列标排列的逆序数为6(偶排列)；选项(D)的列标排列为标准次序，行标排列的逆序数分别为7(奇排列)，故选项(D)正确。

线性代数期终考试卷

线性代数期终考试卷一、试卷一1)填空题（每小题4分，共20分）（1）设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300220111,则A T A= （2）在分块矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡O C B O 中，已知1-B 、1-C 存在，则=-1A（3）设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963042321，B 为三阶非零矩阵，满足AB=O ，则r(B)= （4）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡3152X=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1264，则X= （5）三次代数方程321842184211111x x x--=0的根是2）选择题（每小题3分，共15分）（1）设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231332221131211a a a a a a a a a ,B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a P 1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010，P 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010001，则必有（） (A)AP 1P 2=B (B)AP 2P 1=B(C)P 1P 2A=B (D)P 2P 1A=B(2)设A 是三阶矩阵，A*是其转置伴随矩阵，又k 为常数k ≠0,1±，则(kA)*=( ) (A)kA* (B)k 2A* (C)k 3A* (D)31A* (3)若r(A)=r<n,则n 元线性代数方程Ax=b ( ) （A ）又无穷多个解 (B)有唯一解 (C)无解 (D)不一定有解(4)下列说法中正确的是（）(A ）对向量组kαα,,1Λ，若有全不为零的数k c c ,,1Λ使011=++k k c c ααΛ，则k αα,,1Λ线性无关(B) 若有全不为零的数k c c ,,1Λ使011≠++k k c c ααΛ，则kαα,,1Λ线性无关(C)若向量组kαα,,1Λ线性相关，則其中每个向量皆可由其余向量线性表示 (D)任何n+2个n 维向量必线性相关(5)矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100的特征值是（） (A)1，1，0 (B)-1，1，1 (C)1，1，1 (D) 1，-1，-13）（每小题6分，共12分）（1）计算行列式D= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+y y x x1111111111111111 （2）已知q 1=T⎥⎦⎤⎢⎣⎡313131,q 2=T⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21021，求q 3，使Q=[]321q q q为正交阵。

浙江财经学院10线性代数期中试卷A解答

浙江财经学院2011～2012学年第一学期《线性代数》课程期中考试试卷 ( A 试卷)适用专业、班级：一.填空题（每题3分）1 .若1112132122233132331a a a D a a a a a a ==则 1111121312121222331313233423423423a a a a D a a a a a a a a -=-=-12)3(4333231232221131211-=-⨯a a a a a a a a a 2. 由数码1,2,,1,2n n n + 构成的一个排列2,1,21,2,1,n n n n -+ 的逆序数是 (2n-1)+(2n-3)+…+1=n 23.11 n n i i x a aa x aD A a a x===∑ 则1)(0000001111--=--=n a x ax a x a a a x a a a a x a a a （其中11i i A D a 是中元素的代数余子式1,2,i n = ）4. 若方程组123123230020x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩有非零解，则λ=-1或4 0)4)(1(1121111=-+=--λλλλ5 ()()()3 1,1,0,1,3,1,5,3,t ααα==-=12若向量组线性相关，则t =1 035131011=-t()()()3 1,2,1,1,2,0,,0, 2t ααα=-=126. 若向量组=0,-4,5,-2的秩为，则t=37．若向量组123,,ααα与向量组12ββ，等价，则向量组123, , ααα线性相关8．若 m n ⨯矩阵A 的n 个列向量线性无关，则r(A)= n9 3,,ααα12设是某四元非齐次线性方程组的三个解向量,方程组的系数矩阵为A ，()()122330123T αααα+=+=T r(A)=3,1,0,1，，，，，，则该方程组的全部解为T T c c )0,1,1,1()23,21,0,21()(23121--+=-++αααα10.设矩阵34()ij A a ⨯=，()2r A =且则它在初等变换下的等价标准形为⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000100001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--↓⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00030011020120151402021t t二.计算行列式（每题6分）22404135 D=31232051-----71305100461211203840553002112-----=-----= 2707135102-=----==n 111222D a an nn a++=+ a n nn a a n n a n n a n n ++++++++=2222)1(2)1(2)1( 12)1(00001112)1(2221112)1(-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=n a a n n aa a n n a n n n a a n n122110000100000001nn n xx x xa a a a a x----=-+n D nn n n n n n n n n nn n n nn n n n n nn n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x x a a x a x a D x a x a D x a a xD x a xD a D x ++++++=++++++=++++=++=++=+=--+-=----------------+-12322111232221133221221211112)(][)1()1()1(nn n n n nn n n n n a x a x a x a x xx x x x a xx x a x x x a x xx a +++++=---++----++---+----=----+-+122112112221100000010001)1)((1000000010001)1(1000000010000)1(1000000010001)1(三．确定向量间线性关系（每题8分）1．设向量组()()()()1231,4,0,2, 2,7,1,3, 0,1,1,, =3,10,b,4a αααβ===- 问（1）当, b a 取何值时，β不能由123,,ααα线性表示。

线性代数专科2011级期中试题讲评

杉达专科2011级线性代数期中考试讲评一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，每小题2分，共16分。

）1. 设D=|a ij |为5阶行列式，问D 的展开式中，下列哪一项取负号 ( )A 、a 15a 24a 33a 42a 51B 、a 12a 23a 34a 45a 51C 、a 11a 23a 34a 45a 52D 、a 51a 42a 33a 24a 15【讲评】考点：D=|a ij |的展开式中项a 1j 1 a 2j 2 …a nj n 的符号为 (-1)N(j 1,j 2,…,j n )，排列的逆序数的计算。

N(j 1,j 2,…j n )=m 1+m 2+…+m n ,其中m k 表示数码k 前面比k 大的数码的个数。

本题：N(54321)=4+3+2+1+0=10, N(23451)=4+0+0+0+0=4,N(13452)=0+3+0+0+0=3, D 与A 一样。

选：C 。

2.三阶行列式 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪20 40 40201 401 399 1 2 3= ( ) A 、-20 B 、70 C 、-70 D 、20【讲评】考点：行列式计算的性质。

行列式可依行(列)提出公因子；将行列式某行(列)乘以一个数加到另一行(列)上去，行列式的值不变。

本题：D=⎪⎪⎪⎪⎪⎪20 40 40201 401 399 1 2 3=20×⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 2 21 1 -11 2 3=20×(3-2+4 –2-6+2)= -20 选：A 。

3. 行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 0 0 a0 b a 00 a b 0a 0 0 b = ( )A 、a 4- b 4B 、(b 2-a 2)2C 、b 4- a 4D 、a 4b 4 【讲评】考点：四阶行列式计算无对角线法则，必须用展开与降阶的方法。

本题：第一行展开⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 0 0 a 0 b a 00 a b 0a 0 0 b = b ⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a 0a b 00 0 b - a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪0 b a 0 a b a 0 0=b 2(b 2-a 2) – a 2(b 2-a 2)= (b 2-a 2)2 选：B 。

线性代数期中测试题及答案

一、填空题（每小题5分，共30分）1、三阶方阵A=1230 0 0 0 0 0λλλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（其中1230 λλλ≠）的逆矩阵A -1 = 。

2、已知A= 3 5 01-1 -2 02 0 0 2⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A*是矩阵A 的伴随矩阵，则 (A*)-1 = 。

3、n 阶方阵A ，B 满足A+B=AB ，则B-E 可逆且（B-E ）-1 = 。

4、A 为三阶方阵， 1A =，则 1*(2) A A -- =________ 。

5、A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对调得到矩阵B ，则 AB -1 = 。

6、111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121111132221212332313133 a a a a B a a a a a a a a +⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭，10 1 01 0 00 0 1P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2 1 0 10 1 00 0 1P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B = 。

（用12,,A P P 表示B ）答案：1、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 0 /10 1/ 0 1/ 0 0 123λλλ 2、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2 0 0 0 2- 1-0 5 3 2 3、A-E 4、-1/8 5、E n (i,j ) 6、A P 2P 1二、（30分）1、计算行列式123410123110125D =--- （10分）解：7014101231107-25D =---327 1 4 (1)(1) 1 1 2 7 -2 -5+=-- 6 0 21 1 2 9 0 -1=226 2(1)-249 -1+=-=2、计算行列式D n = a a a b a a b aa b a a b a a a----(a ≠-b ) (10分)解：将第2、3、…、n 列同时加到第一列，并提取公因子，得n 1 a a b 1 a b aD [(n 1)a b] .................................1 b a a 1 a a a--=---0 0 0 -b-a 0 0 -b-a 0[(n 1)a b] .................................0 -b-a 0 0 1 a a a=--n(n 1)n 1n 12(1)(1)(b a)[(n 1)a b]---=--+--(n 1)(n 2)n 12(1)(a b)[(n 1)a b]-+-=-+--3、求下列矩阵的逆矩阵（10分）11000130000020********001A ⎛⎫⎪- ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭答案： 341400014140000012000001200001-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪- ⎪ ⎪⎝⎭三、（40分）1. 已知011111010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，112113B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且满足AX +B =X ，用初等变换法求X （10分）解：由AX +B =X 知 B =X -AX =(E -A )X()100011111010111101001010011E A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭且10E A -=≠所以E -A 可逆，由此得1()XE A B -=-()111111012101113E A B ---⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎪⎝⎭010121012101113---⎛⎫⎪−−→-⎪⎪⎝⎭ 010121002200101---⎛⎫ ⎪−−→⎪ ⎪⎝⎭ 100220101200101⎛⎫ ⎪−−→ ⎪⎪⎝⎭2、已知矩阵A =0 1 01 2 00 0 -1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A *是矩阵A 的伴随矩阵，若矩阵B 满足（B-E ）-1 =A *-E ，求矩阵B 。

11-12 线代期中考试卷及答案详解x

2011《线性代数》期中考试试卷及答案详解一、单项选择题 (每小题4分，共20分)1. 在下列构成5阶行列式展开式的各项中，取“+”的为⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) 5345342112a a a a a (B) 2554134231a a a a a (C) 2534511342a a a a a (D) 4223155134a a a a a解答案为(C).根据行列式的定义，对于行列式的一般项，若行标排列是标准排列，则符号取决于列标排列的逆序数的奇偶性；若列标排列是标准排列，则符号取决于行标排列的逆序数的奇偶性；若行标、列标排列都不是标准排列，则符号取决于行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性(或者，交换一般项中的元素，使行标成为标准排列，再根据列标排列的逆序数判断)选项(A)的行标排列是标准排列，列标排列的逆序数为t (21453)=3，故(A)取“-”。

选项(B)的列标排列是标准排列，行标排列的逆序数为t (34152)=5，故 (B)取“-”。

选项(C)行标和列标排列都不是标准排列，方法一：行标和列标排列的逆序数之和t (41532)+t (23145)=6+2=8，得符号为“+”；方法二，交换相乘的元素，使行标成为标准排列，得a 13a 25a 34a 42a 51，此时列标排列的逆序数为t (35421)=8，故取“+”。

同理可得，(D)应取“-”。

2.设n 阶行列式D =1，将D 上下翻转得D~，则D~的值为⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) -1 (B) (-1)n(C) (-1)n /2(D) (-1)n (n -1)/2解答案为(D).参见教材习题一第7题的解答。

3. 设A , B 均为n 阶方阵，下列结论正确的是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) 若A ≠B ，则∣A ∣≠∣B ∣ (B) 若AB =O ，则A =O 或B =O (C) A 2-B 2=( A +B )( A -B ) (D) ∣AB ∣=∣BA ∣ 解答案为(D).选项(A)错误，反例：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10011112, 但1011112=。

线性代数(2010-2011年度所有线性代数试题及部分答案)

全国2011年1月自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：本卷中，A T 表示矩阵A 转置，det(A )表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，(α，β)表示向量α，β的内积，E 表示单位矩阵．一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设A 是4阶方阵，且det(A )=4，则det(4A )=( )A ．44B ．45C ．46D ．472．已知A 2+A +E =0，则矩阵A -1=( )A ．A +EB ．A -EC ．-A -ED ．-A +E 3．设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =( )A ．A -1CB -1B ．CA -1B -1C ．B -1A -1CD ．CB -1A -14．设A 是s×n 矩阵(s≠n)，则以下关于矩阵A 的叙述正确的是( )A ．A T A 是s×s 对称矩阵B ．A T A =AA TC ．(A T A )T =AA TD ．AA T 是s×s 对称矩阵5．设α1，α2，α3，α4，α5是四维向量，则( )A ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性无关B ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性相关C ．α5一定可以由α1，α2，α3，α4线性表出D ．α1一定可以由α2，α3，α4，α5线性表出6．设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量X 均满足AX =0，则( )A ．A =0B ．A =EC ．秩(A )=nD ．0<秩(A )<n7．设矩阵A 与B 相似，则以下结论不正确．．．的是( ) A ．秩(A )=秩(B )B ．A 与B 等价C ．A 与B 有相同的特征值D ．A 与B 的特征向量一定相同8．设1λ，2λ，3λ为矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200540093的三个特征值，则1λ2λ3λ=( )A ．10B ．20C ．24D ．309．二次型f (x 1，x 2，x 3)=323121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 10．设A ，B 是正定矩阵，则( )A ．AB 一定是正定矩阵B ．A +B 一定是正定矩阵C ．(AB )T 一定是正定矩阵D ．A -B 一定是负定矩阵二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

云南财经大学《线性代数》10-11期中试卷答案

云南财经大学20201010至20201111学年第二学期《线性代数》课程期中考试试卷答案一、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）1．行列式512312123122x x x D x x x=的展开式中含3x 的系数是－5；2．若行列式1023145x x 的代数余子式121A =−，则代数余子式21A =－4；3．设11,0,,0,22⎛⎞=⎜⎟⎝⎠α⋯为1n ×矩阵，矩阵T =−A E αα，2T =+B E αα，其中E 为n 阶单位矩阵，则AB =E ；4．设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠A ,111222333a b d a b d a b d ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠B ，且4=A ，1=B ，则A+B =20；5．设矩阵310121342⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠A ，110225341−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠B ，则−=AB BA 1461717391816−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠；6．设A 为n 阶非奇异矩阵，E 为n 阶单位矩阵，α为1n ×矩阵，b 是常数，记分块矩阵*||⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠T E O P A A α，⎛⎞=⎜⎟⎝⎠TAQ b αα，则PQ =1−⎛⎞⎜⎟⎜⎟−+⎝⎠()T A O A A b ααα；7．齐次线性方程组1231231232000ax x x x ax x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪+−=⎩只有零解，则a 应满足41≠−≠a a 且；8．如A 是n 阶方阵，满足22A A E O −+=，则1(2)A E −+=149()E A −；9．若向量(1,2,)T t =β可由向量组1(2,1,1)T =α，2(1,2,7)T =−α，3(1,1,4)T =−−α线性表出，则t =5；10．设向量组1(1,0,5,2)T =α，2(3,2,3,4)=−−T α，3(1,1,,3)T t =−α．若该向量组线性相关，则t =1；若该向量组线性无关，则t ≠1．二、单选题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）11．设ij D a =为六阶行列式，则下列选项中为D 中带负号的项是（①）；①615243342516a a a a a a ；②1223344655a a a a a ；③213243165564a a a a a a ；④213243546566a a a a a a ．12．设i j M ，i j A 分别是4阶行列式1012110311101254i jD a −==−中元素i j a 的余子式与代数余子式（,1,2,3,4i j =），则D =（③）；①31323334+++A A A A ；②31323334254+++−A A A A ；③1333435++A A A ；④1424344414243444(1)(1)(1)(1)++++−+−+−+−M M M M ．13．用j A 表示三阶行列式i ja 的第j列(3,2,1=j )，且T ijam =，则1322(,25,3)−=A A A A （④）；①30m ；②15m −；③6m ；④6m −．14．设A 是任一n 阶矩阵，则下列交换错误的是（③）；①∗∗=A A A A ；②m p p m =A A A A （,m p 为正整数）；③T T =A A A A ；④()()()()+−=−+A E A E A E A E ．15．设111213212223313233a a a a A a a a a a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，131211122322212233323132a a a a B a a a a a a a a ⎛⎞+⎜⎟=+⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠，1100110001P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，2110010001P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，3001010100P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则B =（②）；①12A P P ；②13A P P ；③31A P P ；④23A P P ．16．设A ，B 为n 阶方阵，则下列结论中正确的是（③）；①若A B O =，则A O =或B O =；②若A O ≠且B O ≠，则A B O ≠；③若A B O =，则0A =或0B =；④若A B O ≠，则0A ≠且0B ≠．17．设A 为n 阶可矩逆阵，A *是A 的伴随矩阵，k 为实数，则下列结论中不正确的是（①）．①()A A ∗∗=n k k (n 为正整数)；②2()A A A −∗∗=n (n 为正整数)；③()()A A ∗∗=T T ；④11()()A A ∗−−∗=．18．已知向量组1234,,,αααα线性无关，则下列命题中正确的是（④）；①向量组12+αα，23+αα，34+αα，41+αα线性无关；②向量组12−αα，23−αα，34−αα，41−αα线性无关；③向量组12+αα，23+αα，34−αα，41−αα线性无关；④向量组12+αα，23−αα，34−αα，41−αα线性无关．19．如向量组,,αβγ线性无关，向量组,,αβδ线性相关，则（③）；①向量α必可由向量组,,βγδ线性表示；②向量β必不可由向量组,,αγδ线性表示；③向量δ必可由向量组,,αβγ线性表示；④向量δ必不可由向量组,,αβγ线性表示．20．对于n 元非齐次线性方程组A X B =和对应齐次方程组A X O =，正确的命题是（②）．①如A X O =只有零解，则A X B =有唯一解；②如A X B =有两个不同的解，则A X O =有非零解；③A X B =有唯一解的充分必要条件是0A ≠；④如A X O =有非零解，则A X B =有无穷多组解．三、计算题（要写解答过程．本大题共2个小题，每小题6分，共12分）21．计算n 阶行列式012211000100000100n n n a a x a xD a x a x −−−−=−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．解：从第一行起，每行乘x加到下一行，得0122110010000010n n n a a x a x D a x a x−−−−=−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯010221100001000001000n n a a a x a xa x a x−−−+−=−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯0102210221011000010000000001000−−−−−+−++==+++−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n n n n a a a xa a x a x a a x a x ax010221022101120100001000000000100n n n n n n a a a xa a x a x a a x a x a a x a x −−−−−−−+−++=+++−+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1112010000100()(1)001001n n n n a a x a x −+−−−−=+++−−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯111120()(1)(1)n n n n n a a x a x −+−−−=+++−−⋯12120()(1)n nn n a a x a x −−−=+++−⋯1121200121n n n n n n n a a x a x a x a x a x a −−−−−−−=+++=++++⋯⋯11n n i i i a x −−−==∑22．设1111121113A −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，求1()A ∗−．解：****A A A A A E ==**11A A A A E A A ⎛⎞⎛⎞⇔==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠*11()A A A −⇔=又1(),A E −111100121010113001⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋮⋮⋮111100010110002101⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⋮⋮⋮11110001011000112012⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⋮⋮⋮1103201201011000112012−⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⋮⋮⋮1110052112010110(,())00112012E A −−−−⎛⎞⎜⎟→−=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⋮⋮⋮从而有11()−−=AA 5211211012012−−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠于是有1||2A =，故*152********()1102201212012101A A A −−−−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==−=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠四、计算题（要写解答过程．本大题共2个小题，每小题8分，共16分）23．已知向量组1(1,1,2,3)=T α，2(1,1,1,1)=−T α，3(1,3,3,5)T =α，4(4,2,5,6)=−T α，5(3,1,5,7)=−−−−T α．求：（1）该向量组的一个极大无关组；（2）并将其余向量表为该极大无关组的线性组合；（3）该向量组的秩．解：以51234,,,,T T T T Tααααα为行构造矩阵A ，再对A 进行行初等变换，化为梯矩阵，得11212313414551112311231111111113351335425642564315731573T TTTT T TTT TTT TT A ⎛⎞⎛⎞−⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=→−⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−−−−−−−−⎝⎠⎝⎠+αααααααααααααα1213141511123021202120636402123T T T T T T T T T ⎛⎞−⎜⎟−−−⎜⎟⎜⎟→−⎜⎟−−−⎜⎟−⎜⎟⎝⎠+ααααααααα121312141215121112302120000()000043()00003()T T TT T T TT T T T T T T T⎛⎞−⎜⎟−−−⎜⎟⎜⎟→−+−⎜⎟⎜⎟−−−⎜⎟⎝⎠++−ααααααααααααααα121213121412151211()211231()0112220000()000043()00003()T T TT T T T T T T T T T T T T T +−⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟⎜⎟→−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠++−ααααααααααααααααα121213121412151211()2103251()0112220000()000043()0003()T T TT T T T T T T T T T T T T T +−⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟⎜⎟→−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠++−ααααααααααααααααα（1）梯矩阵非零的前两行对应的两个向量12,TTαα即12,αα就是该向量组的一个极大无关组；（2）将其余向量表为该极大无关组的线性组合，后三行分别对应3123121312()22T T T T T T T O −+−=⇒=−⇒=−αααααααααα412412141243()33T T T T T T T O −−−=⇒=+⇒=+αααααααααα51255121123()22T T T T T T T O ++−=⇒=−−⇒=−−αααααααααα（3）该向量组的秩为2，即12345(,,,,)2r =ααααα解法2：以12345,,,,ααααα为列构造矩阵12345(,,,,)A =ααααα，再对矩阵A 施行初等变换,将其化为行简化阶梯形矩阵，得12345(,,,,)A =ααααα11143113212135531567−⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠11143022620113102262−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟→⎜⎟−−⎜⎟−−⎝⎠11143022620000000000−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠11143011310000000000−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠10212011310000000000−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠则（1）12,αα是该向量组的一个极大无关组；（2）312412512232⎧=−⎪⎪=+⎨⎪=−−⎪⎩ααααααααα；（3）该向量组的秩为2，即12345(,,,,)2r =ααααα24．设(1,2,3,4)=α，(1,1,1,1)=β均为14×矩阵，试求：（1）T A =αβ；（2）T B =βα；（3）n A （n 为正整数）．解：（1）TA =βα12(1,1,1,1)34⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠1111222233334444⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠（2）1211111112131434⎛⎞⎜⎟⎜⎟===×+×+×+×⎜⎟⎜⎟⎝⎠(,,,)()TB αβ11(10)10×==（3）由矩阵的幂及矩阵乘法的结合律，并利用（1）、（2）的结果，得()()()()n T n T T T A αβαβαβαβ==⋯()()()T TTTαβαβαβαβ=⋯111()1010TTTn n Tn αβαβαβαβ−−−===1111122221033334444n −⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠.五、计算题（要写解答过程．本大题共2个小题，每小题10分，共20分）25．设矩阵方程AB =A +2B ，且矩阵301110014A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，并计算矩阵B ．解：由题设，知22(2)AB A BAB B A A E B A=+⇔−=⇔−=而30110010121102010110014001012A E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−=−=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦因10110110121100110111012012001A E−=−=−−=−−=−0≠于是，矩阵(2)A E −可逆故，矩阵方程(2)A E B A −=有唯一解1(2)B A E A−=−对分块矩阵(2,)A E A −作一系列行初等变换，将其左半部分化为单位矩阵E ，这时右半部分就是1(2)XA E A −=−，即(2,)A E A −101301110110012014⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮→101301011211012014⎡⎤⎢⎥−−−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮→101301011211001223⎡⎤⎢⎥−−−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮→100522010432001223−−⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮→100522010432001223−−⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮1((2)),E A E A −=−求出矩阵方程(2)A E X A −=的解为1(2)XA E A −=−522432223−−⎡⎤⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦26．讨论,a b 为何值时，线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x bx x x a x +++=⎧⎪++=⎪⎨−+−−=⎪⎪+++=−⎩无解，有唯一解，有无穷多解?有解时求其所有解．解：（1）“解的判断”：对其增广矩阵111100122101323211a b aA⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥−−−⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮⋮1111001221013201231a b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−−−⎢⎥−−−−⎣⎦⋮⋮⋮⋮1111001*********0010a b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−+⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮⋮因此当1a =，且1b ≠−时，()2()3r r A A=≠=⇔该方程组无解；当1a ≠时，()()3r r A A==⇔该方程组有唯一解；当1a =，且1b =−时，()()23r r A A==<⇔该方程组有无穷多组解.（2）“回代”求解：对其有解的情形，利用高斯（Gauss）消元法，对其增广矩阵变换化为行简化梯矩阵，再导出同解方程组.讨论如下①当1a ≠时11110012210010100010a b a A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−+⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮⋮11110012210010100010a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−+⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮11100012010010100010a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−+⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮11100012010010(1)(1)00010b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥+−⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮1100(1)(1)010012(1)(1)0010(1)(1)00010b a b a b a −+−⎡⎤⎢⎥−+−⎢⎥⎯⎯→⎢⎥+−⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮1000(1)(1)1010012(1)(1)0010(1)(1)0010b a b a b a +−−⎡⎤⎢⎥−+−⎢⎥⎯⎯→⎢⎥+−⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮即，该方程组的唯一解为1234(1)(1)112(1)(1)(1)(1)x b a x b a x b a x =+−−⎧⎪=−+−⎪⎨=+−⎪⎪=⎩②当1a =，且1b =−时11110012210010100010a b a A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥−+⎢⎥−⎣⎦⋮⋮⋮⋮11110012210000000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮10111012210000000000−−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯→⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋮⋮⋮⋮导出同解方程组1342341122x x x x x x =−++⎧⎪⎨=−−⎪⎩令3142,x c x c ==（12,c c 为任意数），求出原方程组的无穷多组解为11221231421122x c c x c c x c x c =−++⎧⎪=−−⎪⎨=⎪⎪=⎩（12,c c 为任意数）六、证明题（本大题共3个小题，每小题4分，共12分）27．设A 是n 阶可逆矩阵，且T A A =−，求证：11()()()()TE A E A E A E A E −−⎡⎤⎡⎤−+⋅−+=⎣⎦⎣⎦．证明：11[()()][()()]TE A E A E A E A −−−+−+11[()()][()]()T TE A E A E A E A −−=−++−11()()[()]()T T T E A E A E A E A −−=−++−11()()()()T T T T E A E A E A E A −−=−++−11()()()()E A E A E A E A −−=−++−1()[()()]()E A E A E A E A −=−++−1()[()()]()E A E A E A E A −=−−++11()()()()E A E A E A E A −−=−++−11[()()][()()]E A E A E A E A −−=−++−E E E==28．已知向量组123,,ααα线性无关，求证：向量组1223+αα，23−αα，123++ααα线性无关．证明：11223βαα=+，223βαα=−，3123βααα=++设11223x x x Oβββ++=1122233123(23)()()x x x O ααααααα⇔++−+++=1311232233(2)(3)()x x x x x x x O ααα⇔+++++−+=由于向量组123,,ααα线性无关，故只有当131232320300x x x x x x x ⎧+=⎪⎪++=⎨⎪−+=⎪⎩时，上式才能成立，齐次线性方程组的系数行列式33201211213113211(1)22131032011001+==×−=×−×=≠−由此可知，该齐次线性方程组仅有零解，从而向量组123,,βββ线性无关，即向量组1223αα+，23αα−，123ααα++线性无关.29．设A 为n 阶矩阵(n ≥2)，若r(A )=n －1，证明：r(A *)=1．证明：因为r(A )=n －1，所以A 中至少有一个n －1阶子式不为零，即A *中至少有一个元素不为零，故r(A *)≥1．又因r(A )=n －1，A 不是满秩矩阵，于是|A |=0．由*||=AA A E 知，*=AA O ，有*r()r()n +�A A ，把r(A )=n －1代入，得r(A *)≤1．综上所得r(A *)=1．。

线性代数期中考试(答案)

A+2B=
( C
n
)
( A) k A
( B) k A
(C ) k n A
1 0 0 1 0 0 1 1 0 A = 0 2 0 ，则 A = 5、设 0 0 1 0 0 3
6、设 A=
1 −1 1 1 2 3 ， B= ；则 1 1 −1 −1 −2 4
ì ï ï x1 = ï ï ï ï 所以方程组的通解为 ï x2 = í ï ï ï ï ï ï ï ï î
0 −
3 16 7 1 − 16 0 0 0 0
9 16 5 − 16 0 − 0
9 16 5 16 0 0
ì x1 = - 4k 2 ï ï ïx = k + k +1 ï 2 1 2 ï 所以通解为 í , k1 , k 2 Î R ï x 3 = k1 ï ï ï x4 = k2 ï î
T T
( C )
中
考
试
试卷
使用班级： 2009 经管
考试形式：闭卷
7． A 为 m × n 矩阵， r ( A) = r 的充分必要条件是： (A)、A 中有 r 阶子式不等于零， (C)、A 中非零子式的最高阶数小于 r+1, （每题 2 分，共 16 分） 8 。.
嘉兴学院
2010— 2011 学年第一学期期
课程名称：线性代数 C(N) 班级：____________
6. 已知 An × n , Bm × n ，则 ( AB ) 等于： (A)、 AB ， (C)、 BAT ， (B)、 AT B ， (D)、 B T AT 。

线性代数(经管类)试题及答案解析(试卷+答案+解析) (1)

全国2011年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题（课程代码：04184）说明：本卷中，A T表示方阵A的转置钜阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1. 设101350041A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则TAA=（）A. -49B. -7C. 7D. 492. 设A为3阶方阵，且4A=，则2A-=（）A. -32B. -8C. 8D. 323. 设A，B为n阶方阵，且A T=-A，B T=B，则下列命题正确的是（）A. （A+B）T=A+BB. （AB）T=-ABC. A2是对称矩阵D. B2+A是对称阵4. 设A，B，X，Y都是n阶方阵，则下面等式正确的是（）A. 若A2=0，则A=0B. （AB）2=A2B2C. 若AX=AY，则X=YD. 若A+X=B，则X=B-A5. 设矩阵A =11310214000500⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则秩（A ）=（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 若方程组02020kx z x ky z kx y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则k ≠（）A. -2B. -1C. 0D. 27. 实数向量空间V={（x 1，x 2，x 3）|x 1 +x 3=0}的维数是（） A. 0 B. 1 C. 2D. 38. 若方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解，则λ=（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 设A =100010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则下列矩阵中与A 相似的是（）A. 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ B. 110010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C. 10001102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦D. 10102001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10. 设实二次型2212323(,,)f x xx x x =-，则f （）A. 正定B. 不定C. 负定D. 半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

浙江大学城市学院线性代数期中试卷汇集(11-14)

城院线性代数期中试卷汇集浙江大学姜豪汇编2014年6月目录第一部分：试卷真题13—14学年第二学期期中试卷 (2)13—14学年第一学期期中试卷 (4)12—13学年第二学期期中试卷 (6)12—13学年第一学期期中试卷 (9)11—12学年第二学期期中试卷 (11)第二部分：答案与评估13—14学年第二学期期中试卷答案 (13)13—14学年第二学期期中试卷难度与题量评估 (14)13—14学年第一学期期中试卷答案 (15)13—14学年第一学期期中试卷难度与题量评估 (15)12—13学年第二学期期中试卷答案 (16)12—13学年第二学期期中试卷难度与题量评估 (17)12—13学年第一学期期中试卷答案 (17)12—13学年第一学期期中试卷难度与题量评估 (19)11—12学年第二学期期中试卷答案 (19)11—12学年第二学期期中试卷难度与题量评估 (20)第三部分：试题详解13—14学年第二学期期中试卷详解 (21)13—14学年第一学期期中试卷详解 (28)12—13学年第二学期期中试卷详解 (34)12—13学年第一学期期中试卷详解 (41)11—12学年第二学期期中试卷详解 (48)参考文献[1] 苏德矿，裘哲勇，线性代数，高等教育出版社，2005。

[2] 姜豪，线性代数十三讲.ppt 网易免费邮箱，用户名：mathjh, 密码：math123456[3] 姜豪，线性代数习题集。

网易免费邮箱，用户名：mathjh, 密码：math123456[4] 姜豪，线性代数命题集锦。

网易免费邮箱，用户名：mathjh, 密码：math123456[5] 姜豪，[1]的名词索引。

网易免费邮箱，用户名：mathjh, 密码：math123456[6] 姜豪，[1]的勘误表。

网易免费邮箱，用户名：mathjh, 密码：math123456[7] 同济大学数学系，（工程数学）线性代数，第五版，高等教育出版社，2007。

2011年线性代数(2)期中卷

上海师范大学天华学院标准试卷2011 ~ 2012学年第一学期考试日期 2011 年 11 月日科目：线性代数（2）期中卷专业本科 10 年级班姓名学号题号一二三四总分得分我承诺，遵守《上海师范大学天华学院考场规则》，诚信考试。

签名：________________一、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40 分）1．计算行列式D=⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 2 0 03 1 2 00 3 1 20 0 3 1[解]:2. 设A,B 三阶方阵，I 为三阶单位矩阵，已知 AB=2A+B ，B=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0 10 1 01 0 1，求(A-I)-1。

[解]：3．设A, B 为4阶矩阵，且|A|=5, |B|=4，|B -1+A|=2，求 |A -1+B| 的值。

[解]：4. 设A=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 2 32 3 13 5 3，B=⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 15 3，C=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 32 03 1，且满足AXB=C ， (1) 问a, b, c 何值时，D=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 a -7-3 -6 b c 1 -1为A 的逆矩阵；(2)求矩阵X. [解]：5. 设矩阵A=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 2 1 a 3 ab+6 3 3a 2 4 a+2 2a ，讨论a, b 的值，来确定矩阵A 的秩. [解]：二、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12 分）6. 证明n 阶行列式 D=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 2 … 2 a 2 2 … a 2 … … … …2 a … 2 2a 2 … 2 2 =(-1)n(n-1)2[a+2(n-1)](a-2)n-1.[解]：7. 设A 为3阶实对称矩阵，I 为3阶单位矩阵，且(I-A)2= I–2A ，证明：A=0 . [解]：三、简答题（本大题共8小题，每小题 4 分，共32分）写简单解答过程，将正确的答案写出。

8．计算行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪2011 20122013 2014的值。

高等代数期中考试试卷(2011.5)

19. 设 A 是一个 n 级矩阵, 若已知 A 的 n 个特征值是 λ1 , λ2 , · · · , λn , 则 A 的行列式与迹分别是 .
20. 在线性空间 P [x]n 中, 线性变换 D (f (x)) = f (x) , 则 D 在基 1, x, x2 , · · · , xn−1 下的矩阵为 .
【第3页，共4页】
三、证明题: 第 24 小题 10 分, 25 小题 15 分, 共 25 分. 24. 设 A 是 n 级矩阵, 证明: (1) W1 = {A ∈ P n×n |A = A } 与 W2 = {A ∈ P n×n |A = −A } 都是 P n×n 的子空间; (2)P n×n = W1 ⊕ W2 .
Hale Waihona Puke 25. 设 V 为数域 P 上的 n 维线性空间, A 是 V 的一个线性变换, 且有 ξ ∈ V 使 A n−1 ξ = 0, A n ξ = 0. (1) 证明: ξ, A ξ, A 2 ξ, · · · , A n−1 ξ 为 V 的一组基; (2) 求出 A 在上述基下的矩阵以及 A 的特征多项式; (3) 证明: 当 n > 1 时, A 不能对角化.
. . . . . . . . . . . . . . . . . .密. . . . . . . . . . . . . . . . . .封. . . . . . . . . . . . . . . . . .线. . . . . . . . . . . . . . . . . .
得分
一、填空题: 1-20 小题, 每小题 2.5 分, 共 50 分. 1. 映射 f : A → B 称为满射, 是指 f (A) = . . .
A 分解为一个列向量与一个行向量的乘积.

线性代数期中测验题

3
n 1
T
2. 设 A 是 n阶方阵 , 满足 A A
求 A+E .
T
E E 是 n 阶单位矩阵 , A 是 A的转置矩阵 , A 0,
3.设n阶方阵A的伴随矩阵为 A 且
2 4.设 A 1 1 2 1 2 3 1 A . 0 ,求 1
3.作业提交时间:第十五周周一上课时间,各组把打印好的作业交给助教.
说明: 教学9班,10班做第一题; 教学11班,12班做第二题.
2.某地区有三个重要产业:一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采1元钱的煤,煤矿要支付0.25元的电费及0.25 元的运输费.生产1元钱的电力,发电厂要支付0.65元的煤费、0.05元的电费及0.05元的运输费.创收1元钱的运输费, 铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费.在某一周内,煤矿接到外地金额为50000元的订货,发电厂接到外地金额为25000元的订货,外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求? 作业要求A 5,来自试求 5 A .
5.
2 x1 x 2 x 3 1 6. 取何值时,方程组 x1 x 2 x 3 2 无解,有唯一解, 4 x 5 x 5 x 1 2 3 1
有无穷多解?并在有无穷多解时,写出方程组的通解.
二.应用题(共1道题)
1.一组同学先讨论每道题目,再在word中作出答案,每组用A4纸打印一份答案上交即可.作业首页中要有完成作业同学的姓名和学号. 汉字一律用宋体小四号字体,数字和英文字母一律用Times New Roman小四号字,1.2倍行距,所有数学公式均在Mathtype软件中编辑好再粘贴到word中.

10-11_第1学期_线性代数期中考试卷

福建师范大学试卷纸
9．设 A 是 n 阶矩阵，如果 AA = E 且 A = 1, 那么 A 的伴随矩阵 A 必等于（
T
∗
）
A.
A
B. −A
C. AT
D. − AT ）
10. 设 A 为 n (n ≥ 2) 阶方阵且 | A |= 0 ，则（
A. A 必有两行元素对应成比例 C. A 必为零矩阵
B. A 必有一行元素全为零 D. 方程组 AX = O 有非零解
二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）填空题（
1 3
1.
1 4 2 1
0 0 2 3
0 0 2 4
1 2
=
2 −1 2. 设方阵A满足A − 3A − 10 E = 0，则A − 4 E可逆且（A − 4 E） = _____
3. 设 A 是 3 阶矩阵，且 A = 4, ，则
A
*
=
2 x1 − x 2 + 4 x3 = 0 4. 线性方程组 4 x1 + ax 2 + x3 = 4 有唯一解的充要条件为 2 x − x + 3 x = 1 2 3 1
福建师范大学试卷纸
共
4 页，第 3 页
1 1 − 1 1 ,矩阵 X 满足 A*X=A-1+2X,其中 A*是 A 的 2．（10 分）设矩阵 A= − 1 1 1 −1 1
伴随矩阵，求矩阵 X。
2 1 A = 0 3．分）矩阵（12 0 0 2 2 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 是否可逆？若可逆，求它的逆矩阵。 0 1
0 L 0 a2 L 0 L L L = L 0 a n −1 L 0 0

2011级(2012-11-3)数三线性代数期中考试试卷

西南民族大学经济学院期中考试试卷（2012—2013学年第1学期）科目：《高等数学》(III)—线性代数年级：经济学院2011级各专业题号一二三四五总分得分一、填空题（每小题3分，共15分）1.设A, B均为n阶矩阵，|A| = 2，|B|=－3，则|2A*B-1|= .2. 由m个n维向量组成的向量组，当m n时，向量组一定线性相关.3. 在秩为m的矩阵中，一定有子式.4.设矩阵A与B等价，A有一个k阶子式等于0, 则R(B) k.5.齐次线性方程组AX=0中A=(aij)m(n ,当时方程组AX=0只有零解.二．选择题（每小题3分，共15分）1. 设A是n阶方阵,且As=0,则(A) (E-A)-1=1/(E-A) (B) (E-A)-1=E-A-1(C) (E-A)-1=A+A2+...+As (D) (E-A)-1=E+A+...+As-12. 设有向量组α1=(1,-1,2,4), α2=(0,3,1,2), α3=(3,0,7,14),α4=(1,-2,2,0),α5=(2,1,5,10),则该向量组的极大线性无关组是( )(A) α1, α2, α3 (B)α1, α2,α4 (C) α1, α2, α5 （D）α1,α2,α4,α53. 如果向量组(I)与向量组(Ⅱ)等价,那么( )(A) (I)的秩<(Ⅱ)的秩(B) (I)的秩=(Ⅱ)的秩(C) (I)的秩>(Ⅱ)的秩(D) 以上都不对4.设A=,若r(A)=2, 则参数a的值为( )(A)0 (B) 0或-1 (C)-1 (D)-1或15.如果齐次线性方程组有非零解, 那么( )(A) s<n (B)s=n (C)s>n (D)三种情况都有可能三、简答题（要求简要地写出计算步骤或说明理由,本题共15分,每小题3分）1.设A是n(n>2)阶方阵，k为常数，且|A|=a，计算行列式|kAAT|2.设A 为二阶矩阵，且k的值等于多少？3.设向量(1,(2,(3线性无关,(4可由(1,(2,(3线性表示,则r((1,(2,(3(4)是多少？4. 设A,B,C为n阶方阵,且AB=CB. 问下列推导过程有无问题？若有,请指出是第几步。

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[4]
(b) Give an example of a subset of R2 that is closed under addition but not closed under scalar multiplication. Justify your answer.
Mห้องสมุดไป่ตู้TH 136 - Midterm
UNIVERSITY OF WATERLOO MIDTERM SPRING TERM 2012
Student Name (Print Legibly) (family name) Signature Student ID Number (given name)
COURSE NUMBER COURSE TITLE DATE OF EXAM TIME PERIOD DURATION OF EXAM NUMBER OF EXAM PAGES (Including this sheet) INSTRUCTORS/SECTIONS 001 Sean Speziale (11:30) 002 Ting Kei Pong (8:30) 003 Andrew Beltaos (12:30) EXAM TYPE ADDITIONAL MATERIALS ALLOWED
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MATH 136 - Midterm
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[8]
7. Consider the linear system x1 + hx2 = 2 5x1 + x2 = k Find all values for h and k (if any) such that the system has (i) no solutions; (ii) a unique solution; (iii) inﬁnitely many solutions.
[4]
(b) With V , W , and V + W deﬁned as in part (a), suppose that the vectors v1 , . . . , vp and w1 , . . . , wq are such that V = Span{v1 , . . . , vp } and W = Span{w1 , . . . , wq }. Prove that V + W = Span{v1 , . . . , vp , w1 , . . . , wq }.
Notes: 1. Fill in your name, ID number, section, and sign the paper. Don’t write formulas on this page. 2. Answer all questions in the space provided. The last page is for rough work. 3. Check that there are 10 sheets. 4. Your grade will be inﬂuenced by how clearly you express your ideas, and how well you organize your solutions.
MATH 136 Linear Algebra 1 For Honours Mathematics Monday, June 4, 2012 19:00 - 20:50 110 minutes 10
(please indicate your section) Closed Book NONE (NO CALCULATORS)

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2. Consider the linear system x1 − 2x2 + x3 = 0 2x2 − 8x3 = 8 −4x1 + 5x2 + 9x3 = −9 [1] [4] [2] [1] [2] (a) Write the augmented matrix for the system. (b) Row reduce the augmented matrix into Reduced Row Echelon Form. Make sure to indicate the elementary row operations you are using. (c) Find the general solution of the system, if it exists. (d) What is the rank of the augmented matrix? (e) Find the general solution of the corresponding homogeneous system (that is, the homogeneous system with the same coeﬃcients as the given system).
Marking Scheme: Question 1 2 3 4 5 6 7 8 Total Mark Out of 10 10 11 9 8 9 8 10 75
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3 3 1. Let v = 0 and w = 3 . 0 0 [1] [3] [3] [3] (a) Find ||w||. (b) Find the angle between the vectors v and w (you may give your answer in radians or degrees). (c) Find v × w. (d) Find projw (v ).
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[3]
[3]
[3]
1 −1 6. Let a = 1 and b = 2 . −2 3 −1 (a) Let x = 5 . Is x ∈ Span{a, b}? If so, ﬁnd the coeﬃcients that make x a linear 5 combination of a and b. −1 (b) Let y = 5 . Is y ∈ Span{a, b}? If so, ﬁnd the coeﬃcients that make x a linear 4 combination of a and b. −2 (c) Let c = 10 . Is the set{a, b, c} linearly independent? Prove why or why not. 8
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[4]
5. (a) Let S = {v1 , v2 , v3 } and assume that S is an orthogonal set. Prove that ||v1 + v2 + v3 ||2 = ||v1 ||2 + ||v2 ||2 + ||v3 ||2 . Hint: Recall that ||x||2 = x · x.
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3. Let P be the plane in R3 containing the points A = (0, 1, 1), B = (1, −1, 1), and C = (1, 0, 1). Let L be the line perpendicular to P , containing the point A. Let U = (1, −1, 0). Find the following: [4] [3] [4] (a) a scalar equation for the plane P . (b) a vector equation for the line L. (c) The point on the line L which is closest to the point U .
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[5] [5]
8. (a) Prove that any set which is the span of some vectors in Rn is a subspace of Rn . That is, let S = Span{v1 , . . . , vk }, where v1 , . . . , vk ∈ Rn . Prove that S is a subspace of Rn . (b) Prove the following statement: The set {v1 , v2 } is linearly dependent if and only if one of the vectors is a scalar multiple of the other.