泊松分布与生灭过程
泊松过程
dPk 1 ( t ) 已得 Pk 1 ( t ) Pk ( t ) dt
t d [ e Pk 1 ( t )] t 两边同乘 e 得， e t Pk ( t ) dt
k d [ e t Pk 1 ( t )] [ ( t s )] 即 e s dt k!
对t s, n m：
4. P{N t n | N s m} e ( t s ) [ (t s )]n m ( n m)!
n s m 5. P{N s m | N t n} ( ) (1 s ) n m t m t
例 : 顾客依泊松过程到达某商店,速率为 4人/小时。已知商店上午9:00开门. (1)求到9:30时仅到一位顾客,而到11:30时 已到5位顾客的概率? (2)求第2位顾客在10点前到达的概率? (3)求第一位顾客在9:30前到达且第二位 顾客在10:00前到达的概率?
第三章：泊松过程
1.生成函数与泊松分布
分布律为：
或母函数
浙大数学随机过程
1
生成函数唯一地决定各阶矩 （可能为 ） （可能为 ）
例如：
定理：如果X 和Y 都是取值非负整数值的随机变量， 那么当X 与Y 独立时，对0 s 1都有： X Y ( s ) X ( s )Y ( s ). 这里 X Y ， X ，Y 分别是X Y ，X ，Y 的生成函数.
泊松过程也可用另一形式定义： 称 N (t ), t 0是参数为的泊松过程,若满足： 1. N (0) 0 2. 独立增量 3. 对任意的t s 0, N (t ) N (s) ~ t s
证 : P{N (t h ) N (t ) 1} he h(1 h o( h )) h o( h )
第二章泊松过程
2
泊松过程定义1： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ >0的泊松过程，若它满足下列条件： 1、X(0)=0； 2、X(t)是独立增量过程； 3、在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数λ>0的泊松分布， 即对任意s,t≥0，有
P { X ( t s ) X ( s ) n } e
18
例题 设{X(t),t≥0}是具有跳跃强度
1 ( t) ( 1 cos t) 的非齐次泊 2
松过程（ω ≠0），求E[X(t)]和D[X(t)]。
例题
设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时 按平均乘客为200人/时计算；5时至8时乘客平均到达率按线性增加， 8时到达率为1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到 21时从到达率1400人/时按线性下降，到21时为200人/时。假定乘客 数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来 站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。
n [ m ( t s ) m ( t )] X X exp{ [ m ( t s ) m ( t )]}, n 0 X X n !
或
n [ m ( t )] P { X ( t ) n } X exp{ m ( t )}, X n !
17
到达时间的条件分布
可以认为[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相等，或者 说，这个事件的到达时间应在[0,t]上服从均匀分布。对于s<t有
P { W s |X ( t ) 1 } ? 1
分布函数
s 0 0, s F 0 s t W 1(s) t , 1| X(t) 1 , s t
泊松过程
i 1
i
设 E[ X n ] ，由于Xn为非负随机变量且不恒为0，所以 有 0 。 因为Sn代表n次更新所花费的时间，则 N (t ) sup{n; Sn t}
由于>0，故当n∞时，要求Sn 趋于∞；反之，若Sn∞， 必然要求n ∞ ，这就说明在有限长的时间内只能出现 有限次更新。 t 有限时：
§4.4 泊松过程
一、计数过程 1、定义：在[0,t]内出现事件A的总数所组成的过程{N(t), t≥0}称为计数过程。计数过程{N(t), t≥0}应满足下列条件： （1） N(t) ≥0； （2） N(t) 一个是正整数； （3）如果两个时刻s,t, 且s<t, 则N(s)≤N(t)。 （4）对于s < t，N(t)-N(s)代表在时间间隔[s,t]内出 现事件A的次数。
[t 2、设有 t1 t 2 t3 t 4 ， 1 , t 2 )和[t 3 , t 4 ) ，是两个不相交 的时间间隔，若 [ N (t 2 ) N (t1 )]与[ N (t 4 ) N (t3 )] 相互统计 独立，则N(t)为独立增量计数过程。
3、若 [ N (t s) N (t )] 仅与s有关而与t无关，则称N(t)为 平稳增量计数过程。
由福克-普朗克方程可得： dp j (t ) j 1 p j 1 (t ) ( j j ) p j (t ) j 1 p j 1 (t ) dt 直接求解以上方程组比较困难，一般仅讨论平稳分布， t∞时的极限情况。 二、排队和服务问题 1、基本概念：任何排队过程包括三个不同的历程： 1）到达过程 2）排队过程 3）服务过程 排队服务系统一般用G1/G2/n/m 表示，其中： G1— 顾客到达服从G1分布； G2—服务时间服从G2分布；n — 服务员数目；m —顾客排队容许长度（或系统容量），m = ∞时不写出，为等待制系统。
第三章 泊松过程要点
k 0 m m
P[ N1 (t , t s ) k ]P[ N1 (t , t s ) m k )]
k 0 m m (1s ) k e 1s (2 s ) m k e 1s m! ( 1 2 ) s k mk 1 e (1s ) (2 s ) k! (m k )! m! k 0 k 0 k !( m k )!
P[ N1 (t , t s ) k1 | N (t , t s ) m]P[ N (t , t s ) m]
m0
m k1
P[ N (t , t s) k
1 k1 k1 m k1 C p (1 p ) m
1
| N (t , t s ) m]P[ N (t , t s ) m]
其中 N1 (t ) k1 | N (t ) k1 k2 表示独立到达泊松系统的 k1 k2 个质点中恰好到达系统A有 k1 个，则有
P[ N1 (t ) k1 | N (t ) k1 k2 ] C kk1k p k1 (1 p ) k2
1 2
第一节、泊松过程的基本概念
第一节、泊松过程的基本概念
（4）证明 N1 (t ), N2 (t ) 的独立性
P[ N1 (t ) k1 , N 2 (t ) k2 ] P[ N1 (t ) k1 , N (t ) k1 k2 ] P[ N1 (t ) k1 | N (t ) k1 k2 ]P( N (t ) k1 k2 )
泊松过程（Poisson process）最早由法国人Poisson于 1837年引入。
泊松过程
泊松过程一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。
例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。
泊松过程是由法国著名数学家泊松（Poisson, Simeon-Denis）（1781—1840）证明的。
1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
Poisson过程（Poisson process，大陆译泊松过程、普阿松过程等，台译卜瓦松过程、布瓦松过程、布阿松过程、波以松过程、卜氏过程等），是以法国数学家泊松（1781 - 1840）的名字命名的。
泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。
我们说一个随机过程N(t) 是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件：在两个互斥（不重叠）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。
在区间内发生的事件的数目的概率分布为：其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。
所以，如果给定在时间区间之中事件发生的数目，则随机变数呈现泊松分布，其参数为。
更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得•在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变数是独立的。
•在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变数，遵循泊松分布。
（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变数。
）泊松过程是莱维过程（Lévy process）中最有名的过程之一。
时间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子。
一个时间齐次、一维的泊松过程是一个纯出生过程，是一个出生-死亡过程的最简单例子。
泊松过程资料
05
泊松过程的未来研究方向
泊松过程在新兴领域的应用前 景
• 新兴领域的泊松过程应用 • 如人工智能、大数据等领域，泊松过程可以用于分析和优化事 件驱动的随机过程 • 如物联网、车联网等领域，泊松过程可以用于分析和优化信息 传输和信号干扰等随机过程
泊松过程的理论研究进展
• 泊松过程的理论研究进展 • 如高维泊松过程、非齐次泊松过程等，拓展泊松过程的理论研 究范围 • 如泊松过程的极限理论、泊松过程的稳定性理论等，深入研究 泊松过程的性质和规律
泊松过程的性能评估
泊松过程的性能评估
• 对泊松过程的控制和优化效果进行评估，如服务效率、等待时间等 • 可以用来指导泊松过程的控制和优化，如改进控制策略、优化资源分配等
泊松过程性能评估的实例
• 服务效率评估：通过比较控制前后的服务效率，评估控制策略的效果 • 等待时间评估：通过比较控制前后的等待时间，评估控制策略的效果
泊松过程：概念与应用
DOCS SMART CREATE
CREATE TOGETHER
DOCS
01
泊松过程的定义
• 是一个随机过程，表示在固定时间间隔内发生随机事件的次数 • 事件是相互独立的，且在每个时间间隔内发生的概率相同
泊松过程的性质
• 事件发生的概率分布服从泊松分布 • 在小时间间隔内，事件发生的概率与时间间隔成正比 • 泊松过程的均值和方差与时间间隔的长度成正比
泊松分布的概率质量函数
泊松分布的概率质量函数
• 表示在固定时间间隔内发生k次事件的概率 • 形式为：P(X=k) = (e^(-λt) * λ^k) / k!，其中X表示事件发生的次数，λ表示事件 发生的平均速率，t表示时间间隔的长度
泊松分布的性质
第五节 泊松过程
－泊松过程 －最简单的事件流——泊松流 －泊松流的性质
1
1 泊松过程
泊松过程是一种恒定增长率的纯增过程。
Q 0
0 ...
k= k=0
泊松过程是一种计数过程，例如对到达的顾客进行计数。 各个状态的增长率是稳定的，说明顾客到达的事件流是 平稳的
7
2 泊松流
随机事件流 通常把在随机时刻出现的事件序列称为 随机事件流。 泊松流 如果事件发生的个数为泊松过程的增长 规律，则此事件流为泊松流，为泊松流 的强度
时间
t
k!
k
e t
8
2 泊松流
泊松流＝最简单事件流，特点为
平稳性。在任何一段长度为t的时间区间内，出现任 意数量事件的概率只与t有关，而与t所处的位置 （或与起始时刻）无关。记λ为平稳流的强度。 无后效性（又称无记忆性或者马氏性）。在互不相 交的两时间区间T1、T2内所出现的事件数是相互独 立的。 普通性。在同一瞬间，多于一个顾客出现的概率 （或同时到达系统有两个或两个以上顾客的概率） 可忽略不计。
t
10
3 泊松流的性质
负指数分布与泊松流的密切关系 随机时间到达的间隔时间相互独立且服从同一 参数为的负指数分布，则这样的随机事件流 就是泊松流，强度为 定理5.1 设1,2, …k,…表示相继到达的随机事 件的间隔时间，假定它们服从同一负指数分布， 参数为，则在(0,t]时间内到达的随机事件数 N(t)服从泊松分布，即：
4
1 泊松过程
pi,i(0)=1，0时间内系统中顾客数增长0个 pi,i+k(t)表示t时间后系统中顾客数增加了k个的概 率，也就是在t时间内到达了k个顾客的概率
关于泊松分布与纯生过程
关于泊松分布与纯生过程【摘要】本文主要探讨了泊松分布与纯生过程的概念及特点，并着重介绍了它们之间的关系。
通过对泊松分布的定义和特点的分析，我们了解到泊松分布是一种描述事件在时间或空间上随机发生的概率分布。
纯生过程的概念和特点也被详细阐述，纯生过程是指在任意时间间隔内事件发生的次数是相互独立的。
通过比较泊松分布和纯生过程的特点和应用，我们发现它们在很多领域都有重要的应用价值，如通信网络、生态学等。
通过本文的阐述，读者能够更好地理解和应用泊松分布与纯生过程在实际问题中的作用。
【关键词】泊松分布、纯生过程、定义、特点、关系、应用1. 引言1.1 泊松分布与纯生过程概述泊松分布与纯生过程是概率论中重要的概念，常常在统计学、生态学、医学等领域得到广泛应用。
泊松分布是一种描述单位时间（或单位面积、单位体积等）内随机事件发生次数的概率分布，最早由法国数学家西蒙·丹尼·泊松提出，因而得名。
泊松分布的特点是事件的发生是相互独立、且各事件间的时间间隔是随机的。
纯生过程是一个不断进行、不断产生新事件的过程，其中每个事件的发生与之前的事件无关，且事件发生的概率在时间上保持不变。
纯生过程的特点是事件间的关联性很弱，每个事件的发生都是相互独立的，且事件的出现在时间上是随机的。
泊松分布与纯生过程有着密切的关系，泊松分布可以被看作是纯生过程的一种特例，即事件发生的概率为恒定值的情况。
泊松分布与纯生过程在实际应用中常常同时出现，例如在疫情爆发时，常常使用泊松分布来描述病例数量的分布，并假设病例的发生是一个纯生过程。
通过对泊松分布与纯生过程的深入研究，可以更好地理解随机事件的规律性，为实际问题的分析与解决提供重要参考。
2. 正文2.1 泊松分布的定义泊松分布是一种描述事件在一定时间或空间内发生次数的概率分布。
它通常用于描述在一个固定时间内事件发生的次数，比如单位时间内电话的拨打次数、一天内商店的顾客数量等。
泊松分布的定义为：若随机事件发生的次数服从泊松分布，那么该事件在任意两个不相交的区间上发生的次数是相互独立的，且在一个很小的时间段内发生的概率与时间段的长度成正比。
《随机过程》第3章-泊松过程
中南民族大学经济学院
43
.随机过程》第3章-泊松过程
2 非齐次Poisson过程
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44
.随机过程》第3章-泊松过程
随机过程
第三章 泊松过程
1 齐次Poisson过程 2 非齐次Poisson过程 3 复合Poisson过程 4 年龄与剩余寿命 5 更新过程
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37
.随机过程》第3章-泊松过程
2 非齐次Poisson过程
中南民族大学经济学院
38
.随机过程》第3章-泊松过程
2 非齐次Poisson过程
中南民族大学经济学院
39
.随机过程》第3章-泊松过程
证明：
2 非齐次Poisson过程
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40
.随机过程》第3章-泊松过程
22
.随机过程》第3章-泊松过程
证明：
1 齐次Poisson过程
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23
.随机过程》第3章-泊松过程
1 齐次Poisson过程
中南民族大学经济学院
24
.随机过程》第3章-泊松过程
1 齐次Poisson过程
中南民族大学经济学院
25
.随机过程》第3章-泊松过程
证明：
1 齐次Poisson过程
1 齐次Poisson过程
中南民族大学经济学院
9
.随机过程》第3章-泊松过程
证明：
1 齐次Poisson过程
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10
.随机过程》第3章-泊松过程
证明：
1 齐次Poisson过程
中南民族大学经济学院
11
.随机过程》第3章-泊松过程
第三章 泊松(Poisson)过程
从而非齐次泊松过程不再具有平稳增量性.
基础部张守成 2014年6月18日星期三
例1 某路公交车从早晨5时到晚上9时有车,乘客 流量如下:5时平均乘客为200人/小时;5时至8时 乘客平均到达率线性增加,8时到达率为1400人/ 小时;8时至18时保持平均到达率不变;18时到21 时到达率线性下降,到21时为200人/小时,假定 乘客数在不重叠的区间内是相互独立的,求 (1)7时至9时来站乘车人数的数学期望； (2)12时至14时有2000人乘车的概率. 解 设t=0为早晨5时,t=16为晚上9时,则均值函数 0 t 3 200 400t , ( t ) 1400, 3 t 13 1400 400( t 13),13 t 16
2、齐次泊松过程的概念
考虑下列随时间的推移迟早会重复出现的事件： (1)自电子管阴极发射的电子到达阳极; (2)意外事故或意外差错的发生; (3)要求服务的顾客到达服务站. 电子到达阳极、顾客到达服务站等事件会随 时间推移随机发生在时间轴上的不同时刻.
基础部张守成 2014年6月18日星期三
用N (t ), t 0表示在时间间隔 (0, t ]内发生的某种
由于Wn Ti , 利用矩母函数容易证明
i 1
n
Wn ~ (n, ), 即Wn具有概率密度
t ( t )n 1 ,t 0 e fWn ( t ) ( n 1)! 0 , t 0
基础部张守成 2014年6月18日星期三
二、泊松过程的推广
2600
(2) 12时至14时有2000人来站乘车的概率为
2000 (2800) 2800 P{ N (9) N (7) 2000} e 2000!
优选泊松分布与生灭过程
Pn (t, t t) o(t)
n2
流的平稳性
P1(t, t t) t o(t)
流的普遍性
Pn (t, t t) o(t)
n2
P0 (t, t t) 1 t o(t)
在区间(t,t+Δt)内没有顾客到达的概率
在长为(t,t+Δt)的时间区间内，到达n个顾 客的概率 Pn (t) ?
泊松分布
随机事件发生时间间隔 大于单位时间Δt的概率
P (h t) 1 et
在单位时间Δt内，发生 n次随机事件的概率
随机事件发生时间间隔 小于单位时间Δt的概率
参数1个：λ—顾客的平均到达率
❖ 如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客 单位时间内的到达数服从泊松分布。
❖ 如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客 到达的时间间隔服从负指数分布。
λi+1
λk-2
λk-1
S0
S1
S2
…
Si-1
Si
Si+1
…
Sk-1
Sk
μ1
μ2
μ3
μi-1
μi
μi+1
μi+2
μk-1
μk
状态
系统服务率
t→∞时，Pi(t)趋向于常数：系统达到稳定
❖ 系统达到稳定后：每个状态转入率的期 望值与转出率的期望值相等。
对于状态i：转出率的期望值为
i Pi i Pi (i i )Pi
❖ 流的无后效性
❖ 在时间轴上，互不相交的时间区段
t1,t2 和 t3 ,t4 (t1 t2 t3 t4 ) 内，顾客的到达数是相
互独立的，即前一顾客的到达不影响后一顾客的到 达。
泊松过程总结
泊松过程总结
泊松过程是一种常见的随机过程，它在许多领域中都有重要的应用，如通信、金融、物流等。
以下是泊松过程的一些重要特性和总结： 1. 定义：泊松过程是一种离散时间、连续状态的计数过程，其状态变化是以固定时间间隔发生的独立事件的个数。
2. 独立增量性：泊松过程具有独立增量性，即在不重叠的时间间隔内，事件的发生个数是相互独立的。
3. 平稳性：泊松过程是平稳的，即其统计特性在时间上是不变的。
4. 无记忆性：泊松过程是无记忆的，即过去的事件发生情况对未来的事件发生情况没有影响。
5. 期望值和方差：泊松过程的期望值和方差均等于参数λ，即E[N(t)] = λt，Var[N(t)] = λt。
6. 泊松分布：泊松过程的时间间隔和事件发生个数都服从泊松分布，即P(X=k) = (λt)^k * e^(-λt) / k!，其中X表示在时间t 内发生k次事件的概率。
7. 事件发生率：泊松过程的事件发生率λ表示在单位时间内平均发生的事件个数。
8. 泊松过程的应用：泊松过程在实际中有广泛的应用，如电话呼叫中心中的呼叫到达、网络数据包到达、交通流量变化等。
总之，泊松过程是一种描述离散、独立、平稳的计数过程，它的统计特性和概率分布具有一些重要的性质，使得它在实际应用中具有
广泛的用途。
4第三章泊松过程
定义3.3： 定义 ： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ>0的泊松过 为具有参数 称计数过程 为具有参数 的泊松过 若它满足下列条件： 程，若它满足下列条件： 1. X(0)=0； ； 2. X(t)是独立、平稳增量过程； 是独立、平稳增量过程； 是独立 3. X(t)满足下列两式： 满足下列两式： 满足下列两式
解：
W1(2)
y y
W1(2)
合
y
非齐次泊松过程
定义3.4： 允许速率或强度是t的函数 定义 ： 允许速率或强度是 的函数 称计数过程{X(t),t≥0}为具有跳跃强度函数 为具有跳跃强度函数 称计数过程 为具有 λ(t)的非齐次泊松过程，若它满足下列条件： (t)的非齐次泊松过程，若它满足下列条件： 的非齐次泊松过程 1. X(0)=0； X(0)=0； X(t)是独立增量过程 是独立增量过程； 2. X(t)是独立增量过程； 3. P{ X (t + h) − X (t ) = 1} = λ (t )h + o(h) 非齐次泊松过程的均值函数为 非齐次泊松过程的均值函数为 均值函数
等待时间Wn的分布
等待时间W 是指第n次事件 出现的时刻(或第 次事件A出现的时刻 等待时间 n是指第 次事件 出现的时刻 或第 n次事件 的等待时间 次事件A的等待时间 次事件 的等待时间)
n
=
∑
n
Ti
i=1
因此W 个相互独立的指数分布随机变量之和。 因此 n是n个相互独立的指数分布随机变量之和。 个相互独立的指数分布随机变量之和
定理3.2： 定理 ： 为具有参数λ的泊松过程 设{X(t),t≥0}为具有参数 的泊松过程，{Tn,n≥1} 为具有参数 的泊松过程， 是对应的时间间隔序列，则随机变量T 是对应的时间间隔序列，则随机变量 n是独立 同分布的均值为1/λ的指数分布。 同分布的均值为 的指数分布。 对于任意n=1,2, …事件 相继到达的时间 事件A相继到达的时间 即:对于任意 对于任意 事件 间隔T 间隔 n的分布为
关于泊松分布与纯生过程
关于泊松分布与纯生过程作者：臧梓涵来源：《文理导航·教育研究与实践》2019年第02期【摘要】概率与随机过程作为数学理论的一部分，在实际生活中有着重大的意义，可以成为许多生活应用的理论基础。
本文以一种随机过程一泊松过程及其应用为切入点，进一步推广到纯生过程的性质，对于纯生过程爆炸的条件予以研究与推断。
【关键词】计数过程;独立增量过程;泊松分布;纯生过程;爆炸一、引言据美国人口普查局统计，2018年元旦全世界人口总数达到74，4444，3881人。
人口的不断增长不免使我们产生担心与好奇：世界的人口在未来的某一天会不会增长到地球无法容下，甚至于无穷，这是一个很难解决的问题。
本文将结合数学中的泊松分布等理论尝试给出解答。
先是由基础的随机变量等数学概念引入，随后转向一种特殊的独立增量过程一泊松过程。
熟悉其性质后，转向其一般化应用的一种跳过程：生灭过程。
再对一种特殊化的生灭过程：纯生过程进行研究，最终从纯生过程的性质分析中得到纯生过程爆炸的条件（即人口增至无穷的条件）。
二、泊松过程在引入泊松过程之前，我们先介绍随机变量并对其分布和期望的基本性质进行分析。
随机变量：随机变量X的概念，在高中的统计概率部分就已引入了，表示了随机试验各种结果的实值单值函数。
它在本质上是定义在样本空间上的一个或离散或连续的函数，对于R 的任意子集A，{X∈A}是事件。
通过将随机事件的结果用数量化的方式表示，可以更好地分析生活中的随机现象。
例如灯泡的寿命，病毒的分裂感染，公交汽车站等车乘客人数等。
概率分布：对于随机变量X称F（X）为X的分布函数。
分布函数是单调不减的右连续函数，如果X有离散的概率分布。
数学期望：假设离散随机变量X在点x j的概率为p j，如果E（X）=∑x j p j存在，则称其为X的数学期望，也就是概率加权平均值。
计数过程：用N（t）表示时间段[0，t]内某类事件发生的个数，N（t）是随机变量。
称{N （t）：t≥0}是计数过程。
泊松分布与生灭过程
μ
μ
μ
μ
λ
…
Sm
μ
P0
P1
P2
Pi
Pm
列状态转移方程组求各状态概率
P1 P0
2019/9/30
P1 P0 P0
Pi
i1 i
Pi1
Pi1
i P0
m
Pi 1
i0
(1 2 3 i m )P0 1 37
ρ<1，数列收敛
1
1
P0
1
P0=1-ρ
系统稳定
ρ>1，数列发散 系统不稳定
称ρ为服务强度，若服务强度大于1，说明单位时间内到达的顾客
数比完成服务的顾客数多，系统中排队长度越来越大，产生阻塞。
2019/9/30
30
利用排队系统各状态概率计算运行指标
1、队长——系统中的顾客数量
LS Pi i i0
当Δt充分小时，在(t,t+Δt)内有一个顾客到达 的概率与Δt成正比，即
P1(t, t t) t o(t)
其中，O(Δt)是当Δt →0时，关于Δt高阶无穷小， λ为单位时间内的顾客到达平均数。
2019/9/30
4
流的无后效性
在时间轴上，互不相交的时间区段
t1, t2 t3 ,和t4 (t1 t2 t3 t4 )
状态转移方程
求解该方程，可以获得各状态对应的概率
2019/9/30
22
对于S0
1P1 0P0
P1
0 1
P0
对于S1
(1 1)P1 0P0 2P2
第十七讲泊松过程
Uk =
Байду номын сангаас
定义 n
∑u
i =k =k
i
∑ u W (t
k =1 k
n
k
) = U1W (t1 ) + ∑ U k [W (t k ) − W (t k −1 )]
k =2
n
• 服从正态分布，过程完全取决于均值函数和方差函数
维纳过程的性质
• 均值函数E(W(t))=0 • 方差函数为 D[W (t )] = σ 2t • 协方差函数 CW ( s, t ) = σ min( s, t ) • 其中 σ 2 称为维纳过程参数，可以通 过试验得到。
∑
i =1
i
无后效性
2
3
• 荷花池中一只青蛙的跳跃。青蛙按照它瞬 间的念头从一片荷叶跳到另一片荷叶上， 因为青蛙没有记忆，当现在所处位置已知 时，下一步跳到何处和它以往走过的路径 无关。若将跳过的荷叶编号，记Xn分别表 示第n次跳跃后所处的荷叶号，则{Xn}无后 效性(是马尔可夫过程)。
6 5 4
Pn (t + ∆t ) − Pn (t ) = −λ∆tPn (t ) + λ∆tPn −1 (t ) + o(∆t )
Pn (t + ∆t ) − Pn (t ) = −λPn (t ) + λPn −1 (t ) + o(1) ∆t
取极限：Pn′(t ) = −λPn (t ) + λPn −1 (t )
2
6、泊松流
• 通常记录到某一数量的质点所需的时间Wn, • 如W1表示一个质点到达的时间，W2表示两个质点 到达所需的时间,… • {Wn>t}={n个质点到达的时间>t} • ={[0,t)时间内到达的质点数<n}={N(t)<n} • Fwn(t)=P{Wn<=t}=1-P{Wn>t}=1-P{N(t)<n} • = P{N (t ) ≥ n} =
关于泊松分布与纯生过程
关于泊松分布与纯生过程【摘要】泊松分布是概率论中重要的一种分布，描述了在一定时间或空间内事件发生的次数的概率分布。
本文首先介绍了泊松分布的定义与性质，以及其参数与应用。
接着讨论了纯生过程的概念与特点，以及泊松分布与纯生过程之间的关系。
探讨了泊松分布与纯生过程在实际应用中的重要性，并提出了未来研究方向。
通过对泊松分布与纯生过程的研究，我们能更好地理解事件发生的概率规律，为实际应用提供科学依据。
【关键词】泊松分布、纯生过程、定义、性质、参数、应用、概念、特点、关系、实际应用、重要性、未来研究方向、总结1. 引言1.1 泊松分布与纯生过程概述泊松分布与纯生过程是概率论中重要的概念，它们在不同领域中有着广泛的应用。
泊松分布是描述某个区间内随机事件发生次数的概率分布，它具有独立性和无记忆性的特点。
泊松分布的参数λ表示单位时间（或单位面积）内事件的平均发生次数。
而纯生过程则是指在一段无时间和空间相关性的随机事件序列中，任何两个事件之间的时间间隔是独立同分布的。
泊松分布与纯生过程之间存在着密切的关系，泊松分布可以看作是纯生过程中间隔时间为指数分布的特殊情况。
泊松分布在现实生活中有着广泛的应用，例如描述自然界中的地震次数、传染病的发生次数等。
而纯生过程在信号处理、通信系统等领域中也有着重要的作用。
泊松分布与纯生过程的研究不仅有着理论上的意义，也对实际问题的解决具有重要意义。
未来研究的方向可以在泊松分布参数λ的确定、纯生过程的进一步理解以及两者之间更深入的关联等方面进行探索。
泊松分布与纯生过程为我们理解随机事件发生规律提供了重要的工具，值得进一步研究和探索。
2. 正文2.1 泊松分布的定义与性质泊松分布是概率论中一种重要的离散型概率分布，它是由法国数学家西蒙·丹尼·泊松在1837年提出的。
泊松分布的定义如下：设随机变量X表示单位时间（或单位面积、单位体积等）内某一事件发生的次数，若事件在任意相互不重叠的时间段（或区域、体积等）内发生的概率近似相等，且相邻两个事件之间是独立的，则随机变量X服从参数为λ的泊松分布，记为X~P(λ)。
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2021/3/5
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5
❖流的普遍性
❖ 在同一时刻，有两个及两个以上顾客到达的 概率与有一个顾客到达的概率相比小到可以 忽略的程度，即当Δt充分小时，在时间区间 (t,t+Δt)内有2个及2个以上顾客到达的概率是 关于的高阶无穷小。
Pn(t,tt)o(t)
第二节 顾客到达分布
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1
系统的组成
顾客
服务机构
顾客到达有先后
服务时间有长短
存在随机性
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2
❖ 要想预测在某一时刻将有多少顾客要求服务系统服 务，或者预测某一顾客的服务时间将要延误多久这 都是不可能的
❖ 对单位时间内到达系统的顾客数和服务时间这两个 随机变量进行概率的描述
当Δt充分小时，在(t,t+Δt)内有一个顾客到达的概 率与Δt成正比，即
P 1 (t,t t) t o ( t)
其中，O(Δt)是当Δt →0时，关于Δt高阶无穷小，λ为 单位时间内的顾客到达平均数。
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4
❖ 流的无后效性
❖ 在时间轴上，互不相交的时间区段
t1,t2 和t3,t4 (t1t2t3t4) 内，顾客的到达数是相
❖ 描述顾客到达和服务时间的方法，要求出单位时间 内有K个顾客到达系统要求服务的概率，以及服务 时间不少于某一时间长度的概率
2021/3/5
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3
最简单流（泊松流）
❖ 流的平稳性
➢ 对于任意的t≥0及Δt≥0，在时间区间(t,t+Δt)内有n 个顾客到达的概率只与Δt有关，与时间区间的起点t 无关。
n2
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6
流的平稳性
流的普遍性
P 1 (t,t t) t o ( t)
Pn(t,tt)o(t)
n2
P 0 (t,t t) 1 t o ( t)
在区间(t,t+Δt)内没有顾客到达的概率
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在长为(t,t+Δt)的时间区间内，到达n个顾 客的概率 Pn(t) ?
Δt内有一个顾客到达的概率
2、在（t,t+Δt）内系统由状态i转移到状态i-1的概 率为μiΔt+O(Δt)——平稳性条件
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Δt内有一个顾客离开的概率
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3、在（t,t+Δt）内系统发生两次以上转移的概率 为O(Δt)，即有2个以上顾客到达或离开的概率为
Pn (t) 0 ——普遍性条件
达可以看成是m次独立的试验
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在长为(t,t+Δt)的时间区间内，到达n 个顾客的概率 Pn(t) ?
在m个dt中，有n个dt被顾客“占着”的概
率 利用二项定律
P n( t)P m (n)C m n m t n 1m t m n
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dt0，m
2021/3t/5→∞时，Pi(t)趋向于精常品课数件：系统达到稳定
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❖ 系统达到稳定后：每个状态转入率的期 望值与转出率的期望值相等。
对于状态i：转出率的期望值为
iP iiP i(ii)P i
转入率的期望值为
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( n！ t)n m li m 1m tm
(t)n
n！
et
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Pn(t)( n！ t)n e10t
符合最简单流（泊松流）的随机事件
发生规律称为泊松分布
Pn(t)( n！ t)n et
单位时间发生n个随机时间的概率 参数1个：λ—顾客的平均到达率
思考：交叉口交通流量，排队车辆？
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P n( t)m l i m C m n m t n 1m t m n
lim m (m 1 )m ( 2 )(m n 1 ) t n 1 t m n
m
n !
m m
( n ！ t)nm l i m m m m m 1 m m n 1 1 m的输入过程和服务过程符合泊松分布， 排队过程符合生灭过程
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二、生灭过程状态转移图
顾客到达率
λ0
λ1
λ2
λi-2
λi-1
λi
λi+1
λk-2
λk-1
S0
S1
S2
…
Si-1
Si
Si+1
…
Sk-1
Sk
μ1
μ2
μ3
μi-1
μi
μi+1
μi+2
μk-1
μk
状态
系统服务率
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泊松分布的另外一种表达方 式——负指数分布
Pn(t)( n！ t)n et
若n=0
在Δt的时间段内没有顾客达到的概率
P0(t)et
前后两次随机事件发生的时间间隔大于Δt
P(ht)et
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P(ht)et
负指数分布
Pn(t)( n！ t)n et
泊松分布
随机事件发生时间间隔 大于单位时间Δt的概率
❖ 从本质上看，泊松分布与负指数分布是同一 个过程的不同表现形式。
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第三节 生灭过程
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一、生灭过程定义
❖ 研究系统内部状态变化的过程 状态i+1
一个事件
系统状态i
一个事件
状态i-1
在Δt时刻内发生两个或两个以上 事件的概率为O(Δt)
Δt→0， O(Δt) →0
P(ht)1et
在单位时间Δt内，发生 n次随机事件的概率
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随机事件发生时间间隔 小于单位时间Δt的概率
参数1个：λ—顾客的平均到达率
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❖ 如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客 单位时间内的到达数服从泊松分布。
❖ 如果顾客的到达过程服从最简单流，则顾客 到达的时间间隔服从负指数分布。
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如在Δt→0内，交叉口一条车道 到达两
辆精品车课的件概率为O(Δt) →0
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系统具有0,1,2,……个状态。在任何时刻，若系 统处于状态i，并且系统状态随时间变化的过程 满足以下条件，称为一个生灭过程：
1、在（t,t+Δt）内系统由状态i转移到状态i+1的概 率为λiΔt+O(Δt)——平稳性条件
❖ 设把长为Δt的时间区间分成m等分，每段长度为 dtt/m。若在dt内，有一个顾客到达，则称被“占着”，
如果在dt内，没有顾客到达，则称为“空着”。
被“占着”的概率近似为
P 1 (t,t t) t o ( t)
被“空着”的概率近似 P 0 (t,t t) 1 t o ( t)
根据流的无后效性，在m个dt中，有顾客到达与没有顾客到