定积分与二重积分的互化
利用二重积分解决有关定积分的问题
4.期刊论文 葛广俊 怎样计算二重积分 -安徽电子信息职业技术学院学报2003,2(6)
二重积分是定积分的推广,学好二重积分关键要记牢定积分的性质及基本公式.二重积分计算的基本途径是将其转化为二次积分计算.计算二重积分时 选择积分次序,交换积分次序以及转换坐标系都是至关重要的问题.
2006,26(4)
目前常用数学软件包无法直接进行二重积分的运算,只能处理累次积分,难以处理复杂的积分区域,文章基于有关数学定理提出一种新型算法,通过对 积分区域和边界条件进行判断和处理,实现二重积分与累次积分之间的转换,使常用数学软件包能够直接计算二重积分,从而简化运算过程,提高计算效率.
3.期刊论文 郑兆顺 谈二重积分的计算 -河南教育学院学报（自然科学版）2007,16(2)
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利用二重积分解决有关定积分的问题
浅谈定积分与二重积分中的统一解题技巧
浅谈定积分与二重积分中的统一解题技巧作者：肖菊霞来源：《科技视界》2014年第21期【摘要】积分学是高等数学的主要分支。
定积分与二重积分的概念和计算是积分学的重要组成部分，其在在几何、物理、概率统计等方面有着重要应用。
二重积分作为定积分的推广，其二者有着共同的解题技巧，包括利用几何意义、对称性、换元法来简化定积分与二重积分的计算。
【关键词】定积分；二重积分；对称性；几何意义；换元法0 前言如何解题对于学好高等数学的重要性毋庸置疑，定积分与二重积分的计算是高等数学的一个重点，也是难点。
而许多学生见到稍难一点的题目就无从下手，不知如何思考，这样就影响了学习的积极性。
定积分作为积分学的基础，在二重积分的计算中起着重要作用，掌握起来也相对比较容易。
本文总结出了一些定积分二重积分共有的计算技巧，可以让学生在学好定积分的基础上掌握二重积分的计算技巧，通过类比与推广，达到巧妙解决一般的定积分与二重积分的计算问题。
1 利用几何意义计算积分值2 利用对称性计算积分值3 利用换元法简化计算3.1 牛顿—莱布尼兹公式给定积分的计算提供了一种有效的方法，但它完全依赖于求被积函数的原函数，但有时原函数是很难直接求出来的，此时可采用定积分的换元法。
3.2 二重积分计算的一般方法是将其化为两次单积分，但当积分区域难于确定定积分限或者被积函数比较复杂时，可以考虑应用换元法。
4 建议定积分的通常计算方法是得到原函数，再利用牛顿-莱布尼茨公式进行计算；二重积分的一般计算步骤是：①画出积分域；②选择坐标系，选择时要遵循i域边界应尽量多为坐标线ii 被积函数关于坐标变量易分离；③确定积分序，需注意i积分域分块要少ii累次积分好算为妙；④写出积分限，方法有图示法和不等式法。
在计算的时候要充分利用它们的几何意义，对称性以及换元法来简化计算。
二重积分的计算是以定积分的计算为基础，只有会熟练的计算定积分，并把定积分的基本计算技巧熟练地推广到二重积分才能更好的掌握二重积分的计算。
二重积分的计算方法-DSEC
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
0
3
0
6
6e
例 6
D
曲面z f ( x, y) 为曲顶柱体的体积．
用平面x=x0截立体，
z
截得A(x0). 应用计算
“平行截面面积为
z f (x, y)
已知的立体求体积” y 的方法,
y 2(x)
A(x0 )
x
b
x0 a
得
f ( x, y)dxdy
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy.
1
b
(b
y )n1
f
(
y)dy.
n1 a
y x
D
a
b
例5 求曲面z x 2 y2 1上点M (1,1,3)处的 切平面与曲面z x 2 y2所围空间区域的体积。 解：F ( x, y, z) x2 y2 1 z
Fx ( x, y, z) 2x Fy ( x, y, z) 2 y Fz ( x, y, z) 1
z f1(x, y)
D
例7 计算 x2d . 其中 D由 y x, y 1 , x 2
y2
D
x
围成．
解 X-型 D : 1 y x, 1 x 2. x
D
x 2 d
y2
二重积分的概念及几何意义
若函数$f(x,y)$和$g(x,y)$在区域$D$ 上均可积，则有 $iint_{D}[f(x,y)+g(x,y)]dsigma=iint_ {D}f(x,y)dsigma+iint_{D}g(x,y)dsig ma$。
积分区域的可加性
简单区域的叠加
若复杂区域$D$可以划分为有限个简单区域（如矩形、三角形等）的并集，且函数在每个简单区域上 均可积，则二重积分可以通过在这些简单区域上分别进行积分并求和得到。
复杂区域的分解
对于复杂的不规则区域，可以通过引入辅助线将其划分为几个较简单的子区域，然后在每个子区域上 分别进行积分，最后将结果相加。这种方法在处理具有复杂边界或包含多个不同部分的积分区域时特 别有用。
03
二重积分的计算
直角坐标系下的二重积分
积分区域为矩形区域
通过对矩形区域进行划分，将二重积分转化为累次积分进行计算。
对于环形区域，可以通过对内外圆的极径 进行划分，将环形区域划分为若干个小扇 形区域，然后对每个小扇形区域进行积分 ，最后将结果相加得到二重积分的值。
二重积分的换元法
直角坐标与极坐标的互化
通过直角坐标与极坐标之间的互化公式，可以将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标 系下的二重积分进行计算。
一般变换
对于一般的二重积分，可以通过变量代换的方法将其转化为更简单的形式进行计算。常 用的变量代换方法有极坐标代换、广义极坐标代换等。
积分的数乘性质
若函数$f(x,y)$在区域$D$上可积，则对于任意常数$k$，有 $iint_{D}kf(x,y)dsigma=kiint_{D}f(x,y)dsigma$。
可加性质
积分区域的可加性
若区域$D$可分成两个不相交的区域$D_1$和 $D_2$，且函数$f(x,y)$在$D_1$和$D_2$上均 可积，则有 $iint_{D}f(x,y)dsigma=iint_{D_1}f(x,y)dsigm a+iint_{D_2}f(x,y)dsigma$。
定积分和二重积分的相同点和不同
定积分和二重积分的相同点和不同
定积分和二重积分是微积分中的两个重要概念，它们在数学和应用领域都有广泛的应用。
虽然定积分和二重积分都涉及到积分的概念，但它们在定义、计算方法和应用方面有着一些不同之处。
定积分和二重积分的相同点在于它们都是积分的一种形式。
积分是微积分的重要内容，是求取函数的面积、体积、质量、平均值等数学量的方法之一。
定积分和二重积分都可以用来求取曲线、曲面下的面积、体积等。
定积分和二重积分的不同之处在于它们的定义和计算方法有所不同。
定积分是对函数在一定区间上的积分，可以看作是对函数在一维上的积分。
而二重积分是对二元函数在一个二维区域上的积分，可以看作是对函数在二维平面上的积分。
定积分的计算方法通常使用黎曼和或牛顿-莱布尼兹公式，而二重积分的计算方法通常使用重积分法或换元法。
定积分和二重积分在应用方面也有一些不同之处。
定积分常用于求取曲线下的面积、质心、转动惯量等。
例如，在物理学中，定积分可以用来求取物体的质量、质心以及转动惯量等物理量。
而二重积分常用于求取平面区域上的质量、重心、转动惯量等。
例如，在工程学中，二重积分可以用来求取平面区域上的质心、转动惯量以及液体的体积等。
定积分和二重积分是微积分中的两个重要概念，它们在定义、计算方法和应用方面都有一些不同之处。
定积分是对函数在一维上的积分，用于求取曲线下的面积、质心、转动惯量等。
二重积分是对二元函数在二维区域上的积分，用于求取平面区域上的质量、重心、转动惯量等。
尽管定积分和二重积分有所不同，但它们都是积分的一种形式，都有着重要的数学和应用价值。
定积分拆分成两个积分的公式
定积分拆分成两个积分的公式定积分是计算函数在给定区间上的面积或曲线长度的数学工具。
有时我们需要将一个定积分拆分成两个积分进行计算，这种方法被称为积分拆分定理。
积分拆分定理是基于积分的线性性质。
根据积分的线性性质，我们可以在被积函数中引入一个新的函数，并将原来的积分拆分成两个部分，然后分别计算这两个部分的积分。
最后将这两个积分的结果相加，就得到了原始定积分的结果。
下面我们将介绍两种常见的积分拆分定理：换元积分法和分部积分法。
1.换元积分法换元积分法也被称为变量代换法。
它通过引入一个新的变量来将原来的积分转化为一个简单的积分。
具体步骤如下：步骤一：选择适当的变量代换。
我们需要选择一个适当的新变量来代替原来的变量，以使得被积函数在新变量下的形式更简单。
步骤二：计算变量代换后的导数。
将选定的新变量表示为原变量的函数，并计算其对原变量的微商。
步骤三：将原来的积分限和被积函数转化为新变量的积分限和被积函数。
通过将原来的变量用新变量表示，并利用变量代换的导数，将原来的积分限和被积函数用新变量表示出来。
步骤四：计算新变量下的积分。
计算新变量下的积分，并将结果转换回原变量的积分。
2.分部积分法分部积分法是将积分表达式中的被积函数拆分成两个因子的乘积，并选择其中一个因子进行微分，另一个因子进行积分。
具体步骤如下：步骤一：选择适当的因子。
我们需要选择一个适当的因子进行微分和积分，以使得新的积分形式更简单。
步骤二：计算微分和积分。
对选择的因子进行微分和积分，并将结果表示为新的积分形式。
步骤三：重复应用分部积分法。
如果新的积分形式仍然复杂，我们可以继续使用分部积分法，将新的积分进行再次拆分，并应用分部积分法。
步骤四：计算最终的积分。
重复应用分部积分法，直到积分不再复杂，可以直接计算出结果为止。
需要注意的是，选择合适的变量代换和因子是积分拆分定理的关键。
这需要对被积函数有一定的了解，并结合经验和技巧进行选择。
此外，积分拆分定理在应用过程中还需要注意积分限的变换和计算积分的技巧，以避免错误和混淆。
二重积分的计算法
d
y
d
x 1( y)
y
y
c
x 2 ( y)
c
o
x
o
x 2 ( y)
x
如果去掉以上结论中关于 z f (x, y) 0,(x, y) D 的限制，则上述结论仍是成立的.
几点说明：
（ⅰ）若区域D是一个矩形，D : a x b,c y d 则
b
d
d
b
f (x, y)dxdy a dxc f (x, y)dy c dya f (x, y)dx
oa x
bx
D：a x b, 1( x) y 2( x).
f (x, y)dxdy
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
a
1 ( x)
D
把计算二重积分的问题化为计算两次定积分的问题。
第一次计算定积分 A(x) 2 (x) f (x, y)dy 1 ( x) x 看作是常量，y 是积分变量；
ydy
00
0
0
22 4
（ⅲ）上面所讨论的积分区域 D是 X型或Y 型区域。
若不满足这个条件,可将D分块.
y
D3
D2 D1
再应用积分的分域可加性来计算. 0
x
由于二重积分归结于计算两个定积分,因此计算重 积分本身没有新困难,对于初学者来说,感到困难的 是如何根据区域D去确定两次积分的上、下限.
D
（ⅱ）若函数可积，且 D : a x b,c y d
且
f (x, y) f1(x) f2 ( y)
则
b
d
f (x, y)dxdy a f1(x)dx c f2 ( y)dy
§4 二重积分的变量变换
推广一般
: f (x, y )d xd y
D
f (x (u, v), y(u, v)) |
D
(x, y ) | d ud v (u, v )
D 将上述等式视为uov坐标系区域 到直角坐标系D 的 变换，其互逆的变换为：
x x (u , v ) y y (u , v )
x x ( u ,v ), y y ( u ,v ),( u ,v )
D
f (x , y )dxdy
f (x (u , v ), y (u , v )) ? dudv
x x ( u ,v ), y y ( u ,v ),( u ,v )
D
f (x , y )dxdy
b
a
f ( x )dx f ( ( t )) ( t )dt .
(1)
当 (即 ( t ) 0 )时, 记 X [a , b], Y [ , ], 则
X (Y ), Y 1 ( X ). 利用这些记号, 公式(1)又可
写成
X
x y
| M 1M 2 M 1M 4 |
o
i | M 1M 2 M 1M 4 | | x u xv
x x x x
j yu yv k xu 0 || xv 0 yu | u v yv
0 , dxdy , |
故有： dxdy |
xu xv
yu yv
| dudv
yu yv |
xu xv
yu yv
| dudv
xu (x , y ) | || 即有： xv (u, v )
定积分和二重积分的几何意义
定积分和二重积分的几何意义一、定积分的几何意义1. 当函数y = f(x)≥0，x∈[a,b]时- 定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。
例如，对于函数y=x + 1，x∈[0,2]，∫_{0}^2(x + 1)dx表示由直线y=x + 1，x = 0，x = 2和x轴围成的梯形的面积。
2. 当函数y = f(x)≤0，x∈[a,b]时- 定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形面积的相反数。
例如，对于函数y=-x，x∈[0,1]，∫_{0}^1(-x)dx的值为-(1)/(2)，其绝对值(1)/(2)就是由y =-x，x = 0，x = 1和x轴围成的三角形的面积。
3. 当函数y = f(x)在[a,b]上有正有负时- 定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的图形在x轴上方部分的面积减去在x轴下方部分的面积。
例如，对于函数y=sin x，x∈[0,2π]，∫_{0}^2πsin xdx=0，这是因为sin x在[0,2π]上，x轴上方和下方的图形面积相等。
二、二重积分的几何意义1. 当z = f(x,y)≥0，(x,y)∈ D时（D为积分区域）- 二重积分∬_{D}f(x,y)dσ表示以曲面z = f(x,y)为顶，以xOy平面上的区域D 为底的曲顶柱体的体积。
例如，对于z = x^2+y^2，D为x^2+y^2≤1的圆形区域，∬_{D}(x^2+y^2)dσ表示以抛物面z = x^2+y^2为顶，以单位圆x^2+y^2≤1在xOy平面上的区域为底的曲顶柱体的体积。
2. 当z = f(x,y)≤0，(x,y)∈ D时- 二重积分∬_{D}f(x,y)dσ表示以曲面z = f(x,y)为顶（此时z值为负），以xOy 平面上的区域D为底的曲顶柱体体积的相反数。
二重积分三角函数交换积分次序
二重积分三角函数交换积分次序在数学中，二重积分是一种重要的积分形式，涉及到在二维平面上对某个区域内的函数进行积分运算。
而在二重积分中，交换积分次序是一个重要而且常见的操作，尤其是当二重积分中包含有三角函数时，交换积分次序可以简化运算过程，使得数学推导更加清晰和简洁。
本文将就二重积分中的三角函数交换积分次序这一主题展开讨论，帮助读者深入理解这一数学概念。
1. 二重积分的基本概念让我们简要回顾一下二重积分的基本概念。
在二维平面上，对于一个给定的区域D，我们希望计算函数f(x, y)在该区域上的积分。
这时，我们可以通过将该区域分割成许多小的面积区域，并在每个小区域上进行积分运算，最终将这些小的积分值相加得到整个区域上的二重积分值。
这种运算方法不仅可以用于计算面积，还可以推广到更一般的函数情形，从而求得函数在该区域上的积分值。
2. 三角函数在二重积分中的应用对于二重积分中包含有三角函数的情况，通常会涉及到极坐标系的转换。
由于三角函数在极坐标系下有着更加简单的表达形式，因此将二维平面上的直角坐标系通过极坐标系进行转换，可以使得原本复杂的积分计算变得更加简单和直观。
这种变换方法在处理涉及到圆形区域或者具有旋转对称性的区域时尤其有用，可以大大简化积分的计算过程。
3. 三角函数交换积分次序的重要性在具体的计算过程中，我们可能会遇到需要交换二重积分的积分次序的情况。
特别是当原始的积分次序使得积分计算变得非常复杂或者难以进行时，通过交换积分次序往往可以使得计算过程变得更加简单明了。
在涉及到三角函数的二重积分中，这一操作尤为常见和重要。
通过恰当地选择积分次序，可以使得三角函数的积分形式变得更加简单，从而使整个计算过程更加高效。
4. 三角函数交换积分次序的具体操作具体来说，当我们需要对一个区域内的三角函数进行二重积分时，可以通过对其中的一个积分变量进行积分，然后再对另一个积分变量进行积分。
这种操作实质上就是交换了原始的积分次序，但需要注意的是，为了避免计算错误，我们需要在进行积分变量的交换时，同时调整积分的上下限，并且要格外小心地处理边界情况，以确保交换积分次序的操作是正确的。
高等数学(微积分)课件-87二重积分
二重积分的奇偶性
总结词
二重积分的奇偶性是指，对于可积函数$f(x,y)$，如果将函数中的$x$或$y$替换为其相 反数，则二重积分的结果可能会发生变化。
详细描述
设函数$f(x,y)$在有界闭区域$Omega$上可积，如果对于任意的$(x,y) in Omega$，都有$f(-x,y) = f(x,y)$ 或$f(x,-y) = f(x,y)$，则称$f(x,y)$为偶函数或奇函数。根据奇偶性，我们可以得到$int_{Omega} f(-x,y) dOmega = int_{Omega} f(x,y) dOmega$或$int_{Omega} f(x,-y) dOmega = -int_{Omega} f(x,y) dOmega$。
二重积分的几何意义
二重积分表示的是曲面z=f(x,y)与平面交线所围成的 区域D的体积。
当f(x,y)>0时，二重积分表示区域D在xoy平面上的 投影区域的面积乘以f(x,y)的高度。
当f(x,y)<0时，二重积分表示区域D在xoy平面上的 投影区域的面积乘以|f(x,y)|的高度。
02
二重积分的计算方法
03
2. 根据变量替换关系，将二重积分转化为新 的变量下的形式。
04
3. 对新的二重积分进行计算，得到结果。
03
二重积分的几何应用
曲面的面积计算
总结词
二重积分在计算曲面的面积时，可以将曲面转Байду номын сангаас 为平面区域，通过计算该区域的面积得到曲面的 面积。
总结词
在计算曲面的面积时，需要先确定曲面的函数表 达式和其在平面上的投影区域，然后利用二重积 分计算投影区域的面积，最后乘以 $sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}$ 得到曲面的面积。
几类积分的运算及其关系
本科毕业论文几类积分的运算及其关系SEVERAL TYPES OF INTEGRAL OPERATORS AND THEIRRELATIONSHIP学院（部）：理学院专业班级：数学与应用数学10-1学生姓名：戴永红指导教师：周小红讲师2014年 5 月30 日几类积分计算及其关系摘要本文首先通过积分的概念和性质举出了一些常见的积分。
随后对列举出的每一种积分都给出了它们的一些概念、公式以及计算方法。
接着讨论了每一种积分相互之间的关系，其中包括了不定积分和定积分两者之间的关系，曲面积分与二重积分两者之间的关系，曲面积分与三重积分之间的关系，以及曲面积分与曲线积分两者之间的关系。
随后对本文所述的所有积分进行了对比和总结。
关键词：定积分，不定积分，面积分，线积分，重积分，计算方法，关系安徽理工大学毕业论文ON THE CITY FESTIVAL’S MAR KETINGSTRATEGYABSTRACTFirstly, through the introduction of the concept and nature of the integration of several common points. Subsequently points are given for each of its concepts, formulas and calculations in this area. Followed by a discussion of the relationship between various types of integration with each other, including the relationship between the indefinite integral and definite integral between the relationship between surface integrals and double integrals, between the surface and triple integrals, and surface integrals and the relationship between the curve pointsKEYWORDS：definite integral, indefinite integral, the area of re-integration, calculation method, the relationship目录摘要 (I)ABSTRACT (II)绪论 (1)1. 概念与性质 (1)1.1.不定积分 (1)1.2.定积分 (2)1.3.二重积分 (3)1.4.三重积分 (4)1.5.曲线积分 (5)1.6.曲面积分 (6)2. 积分的计算 (7)2.1.定积分的计算 (7)2.2.二重积分的计算 (7)2.3.三重积分 (9)2.4.第一型曲线积分 (12)2.5.第二类曲线积分 (12)2.6.第一型曲面积分的计算 (12)2.7.第二型曲面积分的计算 (13)3. 几类积分之间的关系 (14)3.1.定积分和线积分以及二重积分和面积分之间的联系 (14)3.2.二重积分与线积分 (15)3.3.面积分与三重积分 (17)3.4.曲线积分与曲面几分 (19)结论 (22)参考文献 (23)谢辞 (24)绪论古代欧洲就有许多的方面的记录显示着积分学的应用。
利用二重积分解定积分问题
π
2
r
dθ e - r2 rd r
=
π lim (1 -
e- r2 )
π
=
,
x ≥0
r →+ ∞ 0
0
4 r →+ ∞
4
y ≥0
∫ 故 I =
+∞
e- x2 d x =
0
π 2.
参考文献
[1 ] 井爱雯. 利用二重积分证明积分不等式[J ]. 高等数学研究. 2000 ,3 (1) :24 - 25.
展示了二重积分与定积分在一定程度上的内在联系.
关键词 逆向思维 重积分 定积分
中图分类号 O172. 2
二重积分一般是通过转化为累次积分即两个定积分来计算的 ,但从逆向思维的角度来看 ,有些
定积分问题也可以转化为二重积分进行计算. 对于某些特殊结构的被积函数而言 ,化定积分为二重
积分可以使定积分问题大大简化《. 高等数学研究》曾两次刊登利用重积分证明定积分不等式的文
I,
故
I
π = 8 ln2.
∫+ ∞
例 3 计算广义积分 : I = e- x 2 d x. 0
解
∫ ∫ ∫ ∫ + ∞
+∞
+∞
+∞
I2 =
e- x2 d x · e- x2 d x =
e- x2 d x.
e- y2 dy =
0
0
0
0
∫∫ ∫∫ e- ( x2 +y2) = d xd y =
li m
[2 ] 王金金 ,马华. 利用二重积分证明积分不等式[J ]. 高等数学研究. 2004 ,7 (2) :34.
定积分与二重积分的互化
定积分与二重积分的互化
二重积分与定积分的区别在于定积分的被积函数是一元函数，积分区域是区间。
而二重积分的被积函数是二元函数，积分区域是平面区域。
二重积分与定积分的联系在于定义上二重积分也表示为和式极限，该极限也是通过“分割、近似代替、求和、取极限”而得到的。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分。
也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分。
若只有有限个间断点，则定积分存在。
若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
二重积分转化为二次积分的“三定法”
二重积分转化为二次积分的“三定法”
张庆海;范卓;王德强
【期刊名称】《科教导刊》
【年(卷),期】2016(000)018
【摘要】计算二重积分最关键的是在定积分计算的基础上，掌握好将二重积分转化为二次积分的方法步骤。
笔者结合自身的教学经验，将二重积分转化为二次积分的方法总结为“三定法”，即“定系、定序和定限”。
【总页数】3页(P24-25,42)
【作者】张庆海;范卓;王德强
【作者单位】军事经济学院基础部数理教研室湖北·武汉 430035;军事经济学院学员旅湖北·武汉 430035;军事经济学院学员旅湖北·武汉 430035
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
【相关文献】
1.关于二重积分转化为二次积分的讨论 [J], 郝琳;朱亚红;曾静
2.用元素法把二重积分直接化为单积分 [J], 熊明
3.二重积分与二次积分 [J], 龚冬保
4.二重积分化为累次积分的体积推导法 [J], 伍启期
5.论二次积分如何还原成二重积分再重新交换积分顺序 [J], 杨显中;王学荣
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
定积分与二重积分的互化
Ｄ
&ｆ
２
（ｘ）ｆ ２（ｙ）（ｘ－ ｙ） " ｆ（ ｘ） － ｆ（ ｙ） ’ ｄｘｄｙ≥０， 即
若
Ｄ
&ｅ
－ ｙ２
ｄｘｄｙ 表 示 为 先 ｙ 后 ｘ 的 累 次 积 分 ， 即
１ １
Ｉ≥０，由此可知原命题成立。 注例 ４ 的一般结论为 ： 若 ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在 ［ ０， １］上均为单调
增加的连续函数 ， 则
０ ｘ ｘ ０ ０ ０ ｘ ｘ ０ ０
ｘ Ｆ（ ｕ） ｄｕ） ＝ｕＦ（ ｕ） ０－ ０
原命题得证。 若要计算二重积分
＝ （ ｃｏｓ １ － ｓｉｎ １ ） ＋（ １ － ｃｏｓ １ ） ＝１ － ｓｉｎ １．
Ｄ
#
ｅ ｄｘｄｙ， 其中 Ｄ 是由抛物
１ ２
!ｆ（ ｘ） ｄｘ． 解 !ｆ（ ｘ） ｄｘ＝ !（ !ｓｉｎ ｔ ｄｔ） ｄｘ， 令 Ｆ（ ｘ） ＝ ! ｓｉｎ ｔ ｄｔ ， π －ｔ π －ｔ
２ ａ ａ ｂ ｂ ｂ ２ ２ ２ ａ ａ ａ
ｂ
ｂ
ｄｘ＝ １。很多同学对此结果很迷惑 ， 因 １ ｅ "２π
２ － ｘ ２
＝
为广义积分中的被积函数
的原函数不是
!ｆ （ ｙ） ｄｙ !ｆ （ ｘ） ｄｘ， 再注意 到 ｆ （ ｘ） ｆ （ ｙ） ≤ １ ２ $ ， 则（ ! ｆ （ ｘ） ｆ （ ｙ） % ｆ（ ｘ） ｄｘ） ≤ １ ! !$ ｆ （ ｘ） ＋ｆ （ ｙ） % ｄｘｄｙ ２
３ ３ ０ １ ０ ０ １ ０ ２ ２
１
１
化二重积分为定积分
计算二重积分 ， 通常是将二重积分化为累次积 分。累次积分中积分变量的次序有两种 ， 一种是先 ｘ 后 ｙ， 另一种是先 ｙ 后 ｘ。一般而言 ， 由于积分区域不 是矩形区域 ， 选择不同积分次序的累次积分 ， 积分变
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２ － ｙ ２
ｄｙ
２ － ｘ ２
!
＋∞
－∞
１ ｅ "２π
２ － ｙ ２
２ － ｘ ２
ｄｘ） ２＝ （
!
－∞ ＋∞
＋∞
－∞
１ ｅ "２π ｄｘｄｙ，
ｄｘ）
!
１
!
＋∞
－∞
ｂ ａ 分析 这里要化定积分为二重积分 ， 关键是将 ｘ － ｘ
１ ｅ ２ " π
ｄｙ） ＝ １ ２π
! !ｅ
－∞
２ ２ ＋ ∞ － ｘ ＋ｙ ２
ｌｎｘ
利用极坐标变换可得： （
ｂ ａ 用一个定积分表示出来 ， 实际上 ｘ － ｘ ＝
ｌｎｘ
１ ０
!ｘ ｄｙ
ｙ ０ ｙ
１
!
－∞
１ ｅ ２ " π
２ － ｘ ２
ｄｘ） ２＝
! ＝ !（ ｘ － ｘ ｙ＋ １
ｂ ｂ ａ
ｂ ａ 解： ｘ － ｘ ｄｘ＝ ０ ｌｎｘ ａ
１
例２
! !（ ｘ ｂｙ） ｄｘ＝ !ｄｘ !ｘ ｄｘ １） ｄｙ＝ ｂ 。 !ｙ＋１１ ｄｙ＝ ｌｎ １＋ ０ １＋ ａ １ ｅ ｄｘ ． 计算 ! "２π
ｙ ０ ａ ａ ｂ ａ ＋∞
２ － ｘ ２
１
ｂ
ｂ
１ ２π
! ｄθ! ｒｅ ｄｒ １ ｅ ｄｘ＝ １． 即 ! "２π
－∞ －∞ ＋∞
２ － ｘ ２
２π
＋∞
２ － ｒ ２
－∞
［ ２］
－∞
分析 由概率统计的知识我们知道 ， 若随机变量服从 正态分布 ， 其概率密度为 0 （ ｘ） ＝
１ ｅ "２π
２ － ｘ ２
摘要 ： 本文通过范例介绍了如何用二重积分解决定积分问题和如何用定积分解决二重积分问 题 ， 实现了两者在一定程度上的互化 ， 为积分问题的计算和证明等提供了计算技巧 ， 拓宽了解题途 径。 关键词 ： 二重积分 ； 定积分 ； 互化 中图分类号 ： Ｑ１７２．２ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １６７１－ ９１４Ｘ（ ２００８ ） ０１－ ００１２－ ０３
Ｄ
&ｆ
２
（ｘ）ｆ ２（ｙ）（ｘ－ ｙ） " ｆ（ ｘ） － ｆ（ ｙ） ’ ｄｘｄｙ≥０， 即
若
Ｄ
&ｅ
－ ｙ２
ｄｘｄｙ 表 示 为 先 ｙ 后 ｘ 的 累 次 积 分 ， 即
１ １
Ｉ≥０，由此可知原命题成立。 注例 ４ 的一般结论为 ： 若 ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在 ［ ０， １］上均为单调
增加的连续函数 ， 则
３ ３ ０ １ ０ ０ １ ０ ２ ２
１
１
化二重积分为定积分
计算二重积分 ， 通常是将二重积分化为累次积 分。累次积分中积分变量的次序有两种 ， 一种是先 ｘ 后 ｙ， 另一种是先 ｙ 后 ｘ。一般而言 ， 由于积分区域不 是矩形区域 ， 选择不同积分次序的累次积分 ， 积分变
!ｅ ｄｙ， 显然 Ｆ（ １） ＝ ０， 且 Ｆ＇ （ ｘ） ＝ ｅ ， 所 以 原 式 Ｉ＝ !Ｆ （ ｘ） ｄｘ＝ｘＦ （ ｘ） １ ０－ !Ｆ＇ （ ｘ） ｄｘ＝Ｆ （ １） ＋ １ ｅ １＝ １ （ １－ １ ） ． !ｘｅ ｄｘ＝－ ２ ０ ２ ｅ
此外还可以仿照例 ４ 得出下列结论 ： 设 ｆ（ｘ）为［ ０， １］上的单调递减的连续函数， 且 ｆ（ｘ）＞０， 则
２
Ｄ
&
ｅ－ ｙ２ｄｘｄｙ＝
１
! !
０
１
１
ｄｘ
ｘ
ｅ－ ｙ２ｄｙ＝
! !ｅ
０
１
１
（
－ ｙ２
ｘ
ｄｙ） ｄｘ，
－ ｙ２
!ｘｆ （ｘ）ｄｘ ≤ !ｆ （ ｘ） ｄｘ ． !ｘｆ （ｘ）ｄｘ !ｆ （ ｘ） ｄｘ
ｘ
!ｆ（ ｔ） ｄｔ，
０ ｘ
ｕ
则 Ｆ＇ （ ｕ ） ＝ｆ（ ｕ ） ， 由 分部
ｘ
!（ !
０ ０
１
"ｘ
ｓｉｎｙ ｄｙ） ｄｘ 令 Ｆ（ ｘ） ＝ ｙ
!
０
Hale Waihona Puke "ｘｓｉｎｙ ｄｙ， ｙ ｘ
显然， 且Ｆ（ ０） ＝ Ｆ（ １） ＝ ０， 且 Ｆ＇ （ ｘ） ＝ ｓｉｎ " ｘ － ｓｉｎｘ ，
ｙ
则Ｉ＝
!
Ｆ（ ｘ） ｄｘ＝ｘＦ（ ｘ） １ ０－ ０
２ ２ ａ ａ ａ ａ ｂ ｂ ｂ ２ ２ ２ ａ ａ ａ
ｂ
ｂ
ｂ
ｂ
量和积分上下限是不同的。 很多情况下 ， 两种不同次 序的累次积都可以计算出相应的二重积分 ， 不过由 于受被积函数和积分区域几何形状的影响 ， 可能一 种情况下计算简单而另一种情况下计算却很复杂。
ｘ２ 当被积函数中含有 ｅ± ，ｓｉｎｘ２， ｓｉｎｘ ， １ ， (ｓｉｎｘ 等时 ，
２
３
［３］［５］
０
１
２
０
１
１
１
３
２
３
２
０
０
０
０
由于这些函数的原函数都不是初等函数 ， 在这种情 况下 ， 先 ｘ 后 ｙ 的累次积分是不可行的 ， 只能选择先 ｙ 后 ｘ 的累次积分。一般情况下 ， 选择合适的累次积 分的原则是既要使计算可行又要使得计算简单 ［ １］。 关 于这个问题在文 ［ １］ 中已有研究。但是利用累次积分 计算二重积分也有一定的缺陷 ， 经验不足时不能正 确选择积分次序 ， 即使积分次序的选择正确也可能 不能熟练地根据积分区域确定积分变量的上下限 ， 积分区域的几何形状复杂时有时还要对积分区域进 行分割。 这些缺陷使我们想到 ， 不如直接将二重积分 化为一次定积分 ， 用定积分的分部积分法 ， 从而使问 题变得简洁明了 ， 易于计算。计算二重积分
!ｇ（ ｘ） ｆ （ｘ）ｄｘ ≥ !ｆ （ ｘ） ｄｘ 。 !ｇ（ ｘ） ｆ （ｘ）ｄｘ !ｆ （ ｘ） ｄｘ
３ ３ ０ １ ０ ０ １ ０ ２ ２
１
１
Ｄ
&ｅ
－ ｙ２
ｄｘｄｙ＝
!ｄｘ !ｅ
０ ｘ
－ ｙ２
但 ｄｙ， 这时累次积分无法计算。
换个思路 ， 直接利用定积分的分部积分法 ， 我们发现 计算是可行的。 解
例６
０ π π ｘ ｘ ０ ０ ０ ０
ｓｉｎ ｔ ｄｔ， 计算 设 ｆ（ ｘ） ＝ ０ π －ｔ
!
ｘ
π
线 ｙ２＝ｘ， 直线 ｘ＝０，ｙ＝１ 围成 ． 对于这个问题 ， 从被积函 数ｆ（ｘ，ｙ）－ ｅ 可以看出 ， 选择先 ｘ 后 ｙ 的累次积分计算 是可行的 ， 先 ｙ 后 ｘ 的累次积分是不可行的 ， 并且此 时不能应用定积分的分部积分法。这也就说明了不 是所有的二重积分问题都可以化为定积分从而应用 定积分的分部积分法 ， 该方法有时虽然好用 ， 但有局 限性 ， 不是万能的。 能不能用该方法归根到底与被积 函数和积分区域的几何形状有关。
Ｉ＝
Ｄ
&
ｆ ２（ｘ）ｆ ３（ｙ）（ｙ－ ｘ）ｄｘｄｙ．
（ ２）
０≤ｙ≤１ ，故& ｅ ) ０≤ｘ≤ｙ
Ｄ － ｙ２
－ ｙ２
ｄｘｄｙ＝
!ｅ－ ｙ ｄｙ !ｄｘ
２ ０ ０
１
ｙ
将 （ １） 、 （ ２） 相加 ， 并注意到 （ ｘ－ ｙ） " ｆ（ ｘ） － ｆ（ ｙ） ’ ≥０， 故 ２Ｉ＝
＝
!ｙｅ
０
１
１ １ ｄｙ＝ １ ｅ－ ｙ２ １ ０＝ ２ （１－ ｅ ） ２
０ ｘ ｘ ０ ０ ０ ｘ ｘ ０ ０
ｘ Ｆ（ ｕ） ｄｕ） ＝ｕＦ（ ｕ） ０－ ０
原命题得证。 若要计算二重积分
＝ （ ｃｏｓ １ － ｓｉｎ １ ） ＋（ １ － ｃｏｓ １ ） ＝１ － ｓｉｎ １．
Ｄ
#
ｅ ｄｘｄｙ， 其中 Ｄ 是由抛物
１ ２
!ｆ（ ｘ） ｄｘ． 解 !ｆ（ ｘ） ｄｘ＝ !（ !ｓｉｎ ｔ ｄｔ） ｄｘ， 令 Ｆ（ ｘ） ＝ ! ｓｉｎ ｔ ｄｔ ， π －ｔ π －ｔ
１ ０
＝－ １ ２
ｘ － ｓｉｎｘ ） ｄｘ !ｘ（ ｓｉｎ " ｙ ｘ !ｓｉｎ " ｘ ｄｘ＋ !ｓｉｎ ｘｄｘ
０ １ ０
１
! !ｕｆ（ ｕ） ｄｕ ＝ｘ !ｆ（ ｔ） ｄｔ－ !ｕｆ（ ｕ） ｄｕ） ＝ !（ ｘ－ ｕ） ｆ（ ｕ） ｄｕ ＝ !ｔｆ（ ｘ－ ｔ） ｄｔ＝ !ｆ（ ｘ－ ｕ） ｕｄｕ＝右式，（ 令 ｔ＝ｘ－ ｕ ）
令 Ｆ（ ｘ ） ＝
－ ｙ２ ｘ １ １ ０ ０ １ － ｘ２ － ｙ２ ０
此题用定积分的分部积分法计算的结果与上述 结果一致 ， 这样就拓宽了二重积分的计算途径 ， 使累 次积分次序的选择更加随意。
－ １３ －
第 ７ 卷 第 １期
襄樊职业技术学院学报
１
２００８ 年第 １ 期
例 ５ 计算二重积分
!ｄｘ !
注 ： １） 本题用到了定积分与积分变量符号无关的性 质， 即
!ｆ（ ｘ） ｄｘ＝ !ｆ（ ｙ） ｄｙ。 ２）本结论是柯西不等式（ ! ｆ（ ｘ） ｇ（ ｘ） ｄｘ） ≤ ! ｆ （ ｘ） ｄｘ． !ｇ （ ｘ） ｄｘ在ｇ（ ｘ） ＝ １时的一个特例。
ａ ａ ｂ ｂ ２ ２ ａ ａ ｂ ２ ａ
ｂ
ｂ
ｘ
ｌｎｘ
例４
１
设 ｆ（ ｘ） 为 ［０，１］上的单调增加的连续函数 ，
１ ０ １ ０
! !ｆ （ ｘ） ｄｘ 证 明 由 于 ≥ !ｘｆ （ ｘ） ｄｘ !ｆ （ ｘ） ｄｘ Ｉ＝ !ｘｆ （ ｘ ） ｄｘ !ｆ （ ｘ ） ｄｘ－ ! ｆ （ ｘ） ｄｘ ! ｘ ｆ （ ｘ） ｄｘ