反三角函数典型例题

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5 5

(1) sin x 解:

(2) sin x [0,]

解: (3) sin x

处］

解:

3

•胚或 arcs in 或 x

3 .3 arcsin

.3 arcsin

- 3

反三角函数典型例题

例2:求下列反正弦函数值

1 sin( arcs in

)该如何求? 2

4

用反正弦函数值的形式表示下列各式中的

变式：x ［一，］?

2

解:

x [2,]

时，n —x

【°,2]，

sin( n — x) =sinx

= £ • n — x = arcsin —3

，贝U x = n — arcsin —

3

5

5

解: x = arcsin —

3

或 x = n — arcsin —3

5

例1:在下列四个式子中，有意义的为

解：（4）有意

义。

(1) arcs in . 2 ； (2) arcsin _ ； (3) 点评：arcsinx 4 1,1]。

sin( arcs in 2) ； ( 4)

arcsin(sin2)。

(1) arcsin -

2 (2) arcsin0 解：0

(3) arcsin(-)

2

点评:

1

熟练记忆：0,-

2

解：-

6

2，

(4) arcs ini

1的反正弦值。

思考:

(1)sinx £，x [ -,^]

解: .43 x = arcs in

5

变式：x ［0,

]?

⑵ sin x -

4

变式：si nx

2 2 x [—,2 ]

2

解:

.1 arcs in 4

3

解：x [

,2 2

]时，2

-

x [0,2]，

1 sin(

2 n — x) = — sinx

=— 4

2 n — x =

1 山

arcs in ，贝U x = 2 n — arcs in — 点评：当

x ［ 2,

2

］

时，

x arcsina

；而当

处理对应角之三角比值即可。 ［舊］，可以将角转化到区间［

形］上，再用诱导公式

练习:

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3

x ［-,］时，求函数y arcsin(cosx)的值域。

例5:求下列函数的反函数 y arcsinx ， x [0,1]

［例6］求下列反三角函数的值： (1) arccos —

⑵ arccos(

2

)= 3

—(两种方法)

2 6

2

4 3 (3) arccos0 + arcta n1 =

⑷

arctan( . 3)=

4

3 1

1 (5) arcs in ( — )+ arccos (— )=-

2

2

2

⑹ arcta n(ta nJ

=

6

6

［例7］用反三角函数值的形式表示下列各式中的

x :

1

1

(1) cosx , x

[0,]

解: x arccos-

3

3

变式：cosx

- ,x [ ,2 ] 解: x

1

2

arccos- 3

3

(2) tanx 2,x

(,)

2 2

解: x arctan( 2) 变式：x (一，一)

解: x

arcta n2

2 2

［例8］ (1)已知arcsinx arcsin(1 x)，求x 的取值范围。

解：当x [4引时t cosx [子 ,1]

，

y arcs in t 为增函数,

4,2]。

解: 变式:

求函数y 2arcs in(5 2x 1，则

sin x arcs in x

2x)的定义域和值域。

x [2,3] , arcsin(5 2x)

解: x [1,1], y [

sin1 - ,sin1

2

2

]

思考：当 (1) y sinx ，x [-^,]

解: y [0,1], x [

,0]且 sin(x

2

arcsiny ，则反函数是f

sin x y ，贝y x

arcs in( y)，

1

(x)

arcsinx ， x [0,1]。

解: y [0,—], x siny ，则反函数是

2

f 1(x)

sin x , x [0,—]。

2

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2

2 2

4

解：由 1 1 x x 1，得—

2 x 1。

(2) arccosx arccos(1 x) 解: (3) arctanx - 解: 3

(4) arccosx - 解：1 由 x x

[例 9 求 y = arcsinx + arctanx 的值域。 3 3 解：T — 1 < x < 1 /•—

< y w

4 4

1x1x1，得 Ox 」。

2

.3

涉及和函数概念，反正弦、反正切函数单调性

［例10］求下列各式的值: sin( arccos ( 解: 设 x arccos( )，贝U cosx 3 tan[ arccos( ) ]

2 6

2 且 x [—,]，贝U sin x

3 2

解: tan &

3) 1 .3 1

(3 1)2

2 1

3 cos (—arccos ) 2 5

解: 设 x arccos 3

, 5 .r . 12 贝U cosx 2

x cos — 2

1 cosx 解: sin [arcta n 12

arcsi n 3] 5

5

设 arctan1f

, .3 arcs in , 5 tan 12

5

sin (

0,

-)

，

12 贝U sin[arctan 5 1 思考：若求arctan- 2 3 arcs in ] sin(

5 1

arctan-的值呢?

3 12 13

5 13

33 65

解: 1

arcta n

1 nt arctan ，贝y tan

tan (0，2)，

■/ tan( )

(0,)，二