黑龙江省大庆实验中学2020届高三5月第一次模拟数学(理)含解析
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对于 B，若 m / /, n / / ，则 m, n 可能相交或者异面，故 B 错；
对于 C，若 m / / , m , n ，由线面平行的性质定理可得 m // n ，故 C 正确；
对于 D，若 m // , n ，则 m, n 可能异面，故 D 错；
故选：C 7.A
点 3,1 和 4, 6 在直线 3x 2 y a 0 的两侧， 3 3 21 a 3 4 2 6 a 0 即
（其中无理数 e
2.718 ），关于
x 的方程
f x
1
f x
有四个不等的实根，则
实数 的取值范围是（ ）
A．
0,
e 2
B． 2,
C．
e2 4
4 e2
,
D．
e 2
2 e
,
二．填空题（本题共 4 道小题，每题 5 分，共 20 分）
13．曲线 y ax1 1(a 0 且 a 1）恒过定点 P，则 P 点坐标为_________.
2
a2 a
e2 1 ( b )2 5 或5,e 5 或 5.
a4
2
5.C
由题可知 ACB
72 ，且 cos 72
1 2
BC
AC
5 1 ， cos144 2 cos2 72 1 4
5 1， 4
则 sin 234 sin 144 90 cos144 5 1 .
4
6.C
对于 A，若 m, n 与平面 所成角相等，则 m, n 可能相交或者异面，故 A 错；
a 7a 24 0 ，解得 7 a 24.
8．C ∵960÷32＝30，∴每组 30 人，∴由题意可得抽到的号码构成以 30 为公差的等差数列， 又某组抽到的号码为 41，可知第一组抽到的号码为 11，
答案第 1页，总 8页
∴由题意可得抽到的号码构成以 11 为首项、以 30 为公差的等差数列，
14．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与
圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式1
1
1
1 1
中“…”既代表无限次重
复，但原式却是个定值，它可以通过方程1
1 x
x 求得 x
1 2
5
，类似上述过程，
3
3
__________．
11.
已知椭圆
C
源自文库
:
x a
2 2
y2 b2
1(a b 0)，过原点的直线交椭圆于 A, B 两点，以 AB 为直径的圆过右焦点 F
，若
FAB
12
,
3
，则此椭圆离心率的取值范围是（
）
A．
2, 2
3 1
B．
2, 2
6
3
C． 0 ,
2
2
D．
6 3
, 1
12．已知函数
f
x
ex x2
15．在四面体 S ABC 中，SA SB 2 ，且 SA SB ，BC 5 ，AC 3 ，则该四面体体积的最大值为________，
该四面体外接球的表面积为________.
16．在
ABC
中，
A
3
,
AC
:
BC
2 : 3 ，点
D
为线段
AB
上一动点，若
DA
DC
最小值为
3 4
，则
ABC
（2）若不等式 f (x) 2x a 的解集为 A, B x | x2 3x 0 ，且满足 B A ，求实数 a 的取值范围.
大庆实验中学 2020 届高三五月第一次模拟考试理科数学参考答案
1．B
∵集合
A
x
N
0
x
log2 16
{x N
|0
x
4} 1, 2,3 ，集合
B
部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验 1000 次.方案②：按 k 个人一 组进行随机分组，把从每组 k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴 性，这 k 个人的血只需检验一次（这．时．认．为．每．个．人．的．血．化．验．1k 次．）；否则，若呈阳性，则需对这 k 个人的血样再
由独立事件的概率乘法公式得
P
AB
C21
3 4
1 4
3 4
9 32
，
对于事件 A ，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件 AB ，
P A
3 4
2
9 32
27 32
， P B
A
P AB P A
9 32
32 27
1 3
10．C 11. B
设椭圆的另一焦点为 F ，连接 AF ， AF ， BF ，
种是顶角为108 的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，
如图所示，在其中一个黄金 ABC 中，BC 5 1 .根据这些信息，可得 sin 234 （ ）
AC
2
A． 1 2 5
B． 3 5
C． 5 1
D． 4 5
4
8
4
8
6. 已知 m, n 是两条不同的直线， , 是两个不同的平面,则 m // n 的充分条件是（ ）
（）
A．5 或 5 4
B． 5 或 5 2
C． 3 或 3 2
D．5 或 5 3
5．17 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分
割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄
金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为 36 的等腰三角形（另一
的
面积为_______________.
三．解答题（本题共 5 道小题，每题 12 分，共 60 分）
17.（本小题满分 12 分）已知数列 an 满足， a1 1 ， a2 4 ，且 an2 4an1 3an 0 n N* .
（1）求数列an 的通项公式； （2）设 bn 2n an ，求数列bn 的前 n 项和 Sn .
相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）
21.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) (x a) ln x 1 x(a R) . 2
（1）若 f '(x) 是 f (x) 的导函数，讨论 g(x) f '(x) x a ln x 的单调性；
（2）若 a ( 1 , 2 e ) （ e 是自然对数的底数），求证： f (x) 0 . 2e
3
,
7 12
，
2
sin
4
6, 2
2，
得e
2, 2
6
3
.
12．D
依题意可知函数
f
x
ex x2
的定义域为 , 0 0,
.且
f
'
x
ex
x
x3
2
.
所以 f x 在 , 0,2, 上递增，在 0, 2 上递减，且 f 2 e2 ，由此画
4
答案第 2页，总 8页
出 f x 的图像如下图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C，求 ABC 面积的最大值.
20.（本小题满分 12 分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全 公司范围内举行一次 NCP (新冠肺炎简称）普查，为此需要抽验 1000 人的血样进行化验，由于人数较多，检疫
设椭圆的焦距为 2c ，由题意则四边形 AFBF 为矩形，∴ AB FF 2c ，
| FA| 2ccos ， | FB | 2csin .
结合椭圆定义，可知 | FA| | FB | 2a ，即 2c
cos
2c sin
2a
e
，则
sin
1 cos
1
2
sin
4
，
由
12
,
3
，则
4
分别进行一次化验，这样，该组 k 个人的血总共需要化验 k 1 次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概 率为 p ，且这些人之间的试验反应相互独立.
（1）设方案②中，某组 k 个人的每个人的血化验次数为 X ，求 X 的分布列； （2）设 p 0.1，试比较方案②中，分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，
的虚部为（
）
A． i
B． i
C． 1
D．1
3.
在
3
x
1 x2
6
的展开式中，最中间一项的二项式系数为（
）
A．20
B． 20
C．15
D． 15
4. 已 知 对 称 轴 为 坐 标 轴 的 双 曲 线 有 一 条 渐 近 线 平 行 于 直 线 x ＋ 2y － 3 ＝ 0 ， 则 该 双 曲 线 的 离 心 率 为
比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A． 1 3
B． 2 5
C． 2 3
D． 4 5
10．已知 a 5ln 4 , b 4 ln 5 , c 5ln 4 ，则 a,b, c 的大小关系是（ ）
A. c b a
B. c a b
C. b a c
D. a b c
（1）写出曲线 C 的极坐标方程以及曲线 D 的直角坐标方程；
（2）若过点 A(2 2, ) （极坐标）且倾斜角为 的直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，弦 MN 的中点为 P，求
4
3
AP AM AN 的值．
23. （本小题满分 10 分）已知函数 f (x) 2x 4 x 1 . （1）解不等式 f (x) 9 ；
大庆实验中学 2020 届高三五月第一次模拟考试
理科数学试卷
一、单选题（本题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）
1．已知集合 A x N 0 x log2 16 ，集合 B x 2x 2 0 ，则集合 A B 真子集个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．8
2． i
为虚数单位,则 2i3 1 i
A． m, n 与平面 所成角相等
B． m / /, n / /
C． m / / , m , n
D． m // , n
7. 已知点 3,1 和 4, 6 在直线 3x 2 y a 0 的两侧，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．a | 7 a 24 B．7, 24 C．a | a 7或a 24 D．a| 24 a 7
18. （本小题满分 12 分）．如图，在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形，且垂直于底面 ABCD ，
AB BC 1，BAD ABC 90，AD=2 ， M , N 分别是 AD, PD 的中点.
（1）证明：平面 CMN / / 平面 PAB ；
（2）已知点
E
在棱
PC
上且 CE
请考生在第 22 23 题中任选一道作答，如果多做，则按所做第一题计分，作答时请写清题号.
22.（本小题满分
10
分）在直角坐标系中，曲线
C
的参数方程为
x y
3 cos 2 sin
(
为参数），以原点为极点，x
轴
的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为 4sin( ) . 6
∴等差数列的通项公式为 an＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，
由 401≤30n﹣19≤731，n 为正整数可得 14≤n≤25，
∴做问卷 C 的人数为 25﹣14+1＝12，
9．A
记事件 A :甲获得冠军，事件 B :比赛进行三局，
事件 AB : 甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局，
8. 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为1， 2 ，... ，960，分组后某组抽
到的号码为 41．抽到的 32 人中，编号落入区间401,731 的人数为（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13
9．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 3 ，且各局 4
令t gx
关于 x 的方程
f x ，则 t g x 的单调性与 f x 相同，且 g 2 e .
2
f x
1
f x
有四个不等的实根，所以 t
1 t
，即 t 2
t
1
0
在
0,
e 2
,
e 2
,
上各有
一实根.令
ht
t2
t
1, h0
1
0
x 2x 2 0
x x 1 ，
A B {2, 3} .∴集合 A B 真子集个数是 22-1＝3
2．C
2i3 1i
2i 1i
2i 1 i 1 i1 i
i
1
i
1
i
，故虚部为
1.
2．A
在
3
x
1 x2
6
的展开式中，共有
7
项，最中间一项是第 4
项，对应的二项式系数为 C63
20
3．B
由条件知一条渐近线斜率为 1; 所以 b 1 ,或 b 2 其中 a 为实半轴， b 为虚半轴；则离心率 e 满足
2 3
CP
，求直线
NE
与平面
PAB
所成角的余弦
值.
19.（本小题满分 12 分） 已知抛物线 y2 2 px （ p 0 ）上的两个动点 A x1, y1 和 B x2 , y2 ，焦点为 F. 线
段 AB 的中点为 M 3, y0 ，且 A，B 两点到抛物线的焦点 F 的距离之和为 8.
对于 C，若 m / / , m , n ，由线面平行的性质定理可得 m // n ，故 C 正确；
对于 D，若 m // , n ，则 m, n 可能异面，故 D 错；
故选：C 7.A
点 3,1 和 4, 6 在直线 3x 2 y a 0 的两侧， 3 3 21 a 3 4 2 6 a 0 即
（其中无理数 e
2.718 ），关于
x 的方程
f x
1
f x
有四个不等的实根，则
实数 的取值范围是（ ）
A．
0,
e 2
B． 2,
C．
e2 4
4 e2
,
D．
e 2
2 e
,
二．填空题（本题共 4 道小题，每题 5 分，共 20 分）
13．曲线 y ax1 1(a 0 且 a 1）恒过定点 P，则 P 点坐标为_________.
2
a2 a
e2 1 ( b )2 5 或5,e 5 或 5.
a4
2
5.C
由题可知 ACB
72 ，且 cos 72
1 2
BC
AC
5 1 ， cos144 2 cos2 72 1 4
5 1， 4
则 sin 234 sin 144 90 cos144 5 1 .
4
6.C
对于 A，若 m, n 与平面 所成角相等，则 m, n 可能相交或者异面，故 A 错；
a 7a 24 0 ，解得 7 a 24.
8．C ∵960÷32＝30，∴每组 30 人，∴由题意可得抽到的号码构成以 30 为公差的等差数列， 又某组抽到的号码为 41，可知第一组抽到的号码为 11，
答案第 1页，总 8页
∴由题意可得抽到的号码构成以 11 为首项、以 30 为公差的等差数列，
14．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与
圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式1
1
1
1 1
中“…”既代表无限次重
复，但原式却是个定值，它可以通过方程1
1 x
x 求得 x
1 2
5
，类似上述过程，
3
3
__________．
11.
已知椭圆
C
源自文库
:
x a
2 2
y2 b2
1(a b 0)，过原点的直线交椭圆于 A, B 两点，以 AB 为直径的圆过右焦点 F
，若
FAB
12
,
3
，则此椭圆离心率的取值范围是（
）
A．
2, 2
3 1
B．
2, 2
6
3
C． 0 ,
2
2
D．
6 3
, 1
12．已知函数
f
x
ex x2
15．在四面体 S ABC 中，SA SB 2 ，且 SA SB ，BC 5 ，AC 3 ，则该四面体体积的最大值为________，
该四面体外接球的表面积为________.
16．在
ABC
中，
A
3
,
AC
:
BC
2 : 3 ，点
D
为线段
AB
上一动点，若
DA
DC
最小值为
3 4
，则
ABC
（2）若不等式 f (x) 2x a 的解集为 A, B x | x2 3x 0 ，且满足 B A ，求实数 a 的取值范围.
大庆实验中学 2020 届高三五月第一次模拟考试理科数学参考答案
1．B
∵集合
A
x
N
0
x
log2 16
{x N
|0
x
4} 1, 2,3 ，集合
B
部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验 1000 次.方案②：按 k 个人一 组进行随机分组，把从每组 k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴 性，这 k 个人的血只需检验一次（这．时．认．为．每．个．人．的．血．化．验．1k 次．）；否则，若呈阳性，则需对这 k 个人的血样再
由独立事件的概率乘法公式得
P
AB
C21
3 4
1 4
3 4
9 32
，
对于事件 A ，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件 AB ，
P A
3 4
2
9 32
27 32
， P B
A
P AB P A
9 32
32 27
1 3
10．C 11. B
设椭圆的另一焦点为 F ，连接 AF ， AF ， BF ，
种是顶角为108 的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，
如图所示，在其中一个黄金 ABC 中，BC 5 1 .根据这些信息，可得 sin 234 （ ）
AC
2
A． 1 2 5
B． 3 5
C． 5 1
D． 4 5
4
8
4
8
6. 已知 m, n 是两条不同的直线， , 是两个不同的平面,则 m // n 的充分条件是（ ）
（）
A．5 或 5 4
B． 5 或 5 2
C． 3 或 3 2
D．5 或 5 3
5．17 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分
割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄
金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为 36 的等腰三角形（另一
的
面积为_______________.
三．解答题（本题共 5 道小题，每题 12 分，共 60 分）
17.（本小题满分 12 分）已知数列 an 满足， a1 1 ， a2 4 ，且 an2 4an1 3an 0 n N* .
（1）求数列an 的通项公式； （2）设 bn 2n an ，求数列bn 的前 n 项和 Sn .
相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）
21.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) (x a) ln x 1 x(a R) . 2
（1）若 f '(x) 是 f (x) 的导函数，讨论 g(x) f '(x) x a ln x 的单调性；
（2）若 a ( 1 , 2 e ) （ e 是自然对数的底数），求证： f (x) 0 . 2e
3
,
7 12
，
2
sin
4
6, 2
2，
得e
2, 2
6
3
.
12．D
依题意可知函数
f
x
ex x2
的定义域为 , 0 0,
.且
f
'
x
ex
x
x3
2
.
所以 f x 在 , 0,2, 上递增，在 0, 2 上递减，且 f 2 e2 ，由此画
4
答案第 2页，总 8页
出 f x 的图像如下图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C，求 ABC 面积的最大值.
20.（本小题满分 12 分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全 公司范围内举行一次 NCP (新冠肺炎简称）普查，为此需要抽验 1000 人的血样进行化验，由于人数较多，检疫
设椭圆的焦距为 2c ，由题意则四边形 AFBF 为矩形，∴ AB FF 2c ，
| FA| 2ccos ， | FB | 2csin .
结合椭圆定义，可知 | FA| | FB | 2a ，即 2c
cos
2c sin
2a
e
，则
sin
1 cos
1
2
sin
4
，
由
12
,
3
，则
4
分别进行一次化验，这样，该组 k 个人的血总共需要化验 k 1 次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概 率为 p ，且这些人之间的试验反应相互独立.
（1）设方案②中，某组 k 个人的每个人的血化验次数为 X ，求 X 的分布列； （2）设 p 0.1，试比较方案②中，分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，
的虚部为（
）
A． i
B． i
C． 1
D．1
3.
在
3
x
1 x2
6
的展开式中，最中间一项的二项式系数为（
）
A．20
B． 20
C．15
D． 15
4. 已 知 对 称 轴 为 坐 标 轴 的 双 曲 线 有 一 条 渐 近 线 平 行 于 直 线 x ＋ 2y － 3 ＝ 0 ， 则 该 双 曲 线 的 离 心 率 为
比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A． 1 3
B． 2 5
C． 2 3
D． 4 5
10．已知 a 5ln 4 , b 4 ln 5 , c 5ln 4 ，则 a,b, c 的大小关系是（ ）
A. c b a
B. c a b
C. b a c
D. a b c
（1）写出曲线 C 的极坐标方程以及曲线 D 的直角坐标方程；
（2）若过点 A(2 2, ) （极坐标）且倾斜角为 的直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，弦 MN 的中点为 P，求
4
3
AP AM AN 的值．
23. （本小题满分 10 分）已知函数 f (x) 2x 4 x 1 . （1）解不等式 f (x) 9 ；
大庆实验中学 2020 届高三五月第一次模拟考试
理科数学试卷
一、单选题（本题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）
1．已知集合 A x N 0 x log2 16 ，集合 B x 2x 2 0 ，则集合 A B 真子集个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．8
2． i
为虚数单位,则 2i3 1 i
A． m, n 与平面 所成角相等
B． m / /, n / /
C． m / / , m , n
D． m // , n
7. 已知点 3,1 和 4, 6 在直线 3x 2 y a 0 的两侧，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．a | 7 a 24 B．7, 24 C．a | a 7或a 24 D．a| 24 a 7
18. （本小题满分 12 分）．如图，在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形，且垂直于底面 ABCD ，
AB BC 1，BAD ABC 90，AD=2 ， M , N 分别是 AD, PD 的中点.
（1）证明：平面 CMN / / 平面 PAB ；
（2）已知点
E
在棱
PC
上且 CE
请考生在第 22 23 题中任选一道作答，如果多做，则按所做第一题计分，作答时请写清题号.
22.（本小题满分
10
分）在直角坐标系中，曲线
C
的参数方程为
x y
3 cos 2 sin
(
为参数），以原点为极点，x
轴
的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为 4sin( ) . 6
∴等差数列的通项公式为 an＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，
由 401≤30n﹣19≤731，n 为正整数可得 14≤n≤25，
∴做问卷 C 的人数为 25﹣14+1＝12，
9．A
记事件 A :甲获得冠军，事件 B :比赛进行三局，
事件 AB : 甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局，
8. 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为1， 2 ，... ，960，分组后某组抽
到的号码为 41．抽到的 32 人中，编号落入区间401,731 的人数为（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13
9．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 3 ，且各局 4
令t gx
关于 x 的方程
f x ，则 t g x 的单调性与 f x 相同，且 g 2 e .
2
f x
1
f x
有四个不等的实根，所以 t
1 t
，即 t 2
t
1
0
在
0,
e 2
,
e 2
,
上各有
一实根.令
ht
t2
t
1, h0
1
0
x 2x 2 0
x x 1 ，
A B {2, 3} .∴集合 A B 真子集个数是 22-1＝3
2．C
2i3 1i
2i 1i
2i 1 i 1 i1 i
i
1
i
1
i
，故虚部为
1.
2．A
在
3
x
1 x2
6
的展开式中，共有
7
项，最中间一项是第 4
项，对应的二项式系数为 C63
20
3．B
由条件知一条渐近线斜率为 1; 所以 b 1 ,或 b 2 其中 a 为实半轴， b 为虚半轴；则离心率 e 满足
2 3
CP
，求直线
NE
与平面
PAB
所成角的余弦
值.
19.（本小题满分 12 分） 已知抛物线 y2 2 px （ p 0 ）上的两个动点 A x1, y1 和 B x2 , y2 ，焦点为 F. 线
段 AB 的中点为 M 3, y0 ，且 A，B 两点到抛物线的焦点 F 的距离之和为 8.