二次函数经典测试题及答案解析
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二次函数经典测试题及答案解析
一、选择题
1.如图,ABC ∆为等边三角形,点P 从A 出发,沿A B C A →→→作匀速运动,则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是( )
A .
B .
C .
D .
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故可排除选项C 与D ;点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值,故选项B 符合题意,选项A 不合题意.
【详解】
根据题意得,点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故选项C 与选项D 不合题意;
点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值,
∴选项B 符合题意,选项A 不合题意.
故选B .
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象:通过分类讨论,利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系,然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题.
2.二次函数y =x 2+bx 的对称轴为直线x =2,若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0(t 为实数)在﹣1<x <4的范围内有解,则t 的取值范围是( )
A .0<t <5
B .﹣4≤t <5
C .﹣4≤t <0
D .t ≥﹣4
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出b ,确定二次函数解析式,关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0的解可以看成二次函
数y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点,﹣1<x <4时﹣4≤y <5,进而求解;
【详解】
解:∵对称轴为直线x =2,
∴b =﹣4,
∴y =x 2﹣4x ,
关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0的解可以看成二次函数y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点, ∵﹣1<x <4,
∴二次函数y 的取值为﹣4≤y <5,
∴﹣4≤t <5;
故选:B .
【点睛】
本题考查二次函数图象的性质,一元二次方程的解;将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题,数形结合的解决问题是解题的关键.
3.一列自然数0,1,2,3,…,100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到一列新数.则下列结论正确的是( )
A .原数与对应新数的差不可能等于零
B .原数与对应新数的差,随着原数的增大而增大
C .当原数与对应新数的差等于21时,原数等于30
D .当原数取50时,原数与对应新数的差最大
【答案】D
【解析】
【分析】
设出原数,表示出新数,利用解方程和函数性质即可求解.
【详解】
解:设原数为m ,则新数为
21100
m , 设新数与原数的差为y 则2211100100
y m m m m =-
=-+, 易得,当m =0时,y =0,则A 错误 ∵10100
-< 当1m 50122100b a ﹣﹣﹣===⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭
时,y 有最大值.则B 错误,D 正确. 当y =21时,21100
m m -+=21 解得1m =30,2m =70,则C 错误.
故答案选:D .
【点睛】
本题以规律探究为背景,综合考查二次函数性质和解一元二次方程,解题时要注意将数字规律转化为数学符号.
4.二次函数y =2ax bx c ++(a ≠0)图象如图所示,下列结论:①abc >0;②2a b
+=0;③当m ≠1时,+a b >2am bm +;④a b c -+>0;⑤若211ax bx +=222ax bx +,
且1x ≠2x ,则12x x +=2.其中正确的有( )
A .①②③
B .②④
C .②⑤
D .②③⑤
【答案】D
【解析】
【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系,由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断
【详解】
解:抛物线的开口向下,则a <0;
抛物线的对称轴为x=1,则-2b a
=1,b=-2a ∴b>0,2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴,则c >0;
由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标,是最大值,当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标,不是最大值
∴+a b >2am bm +(故③正确)
:b >0,b+2a=0;(故②正确) 又由①②③得:abc <0 (故①错误)
由图知:当x=-1时,y <0;即a-b+c <0,b >a+c ;(故④错误)
⑤若211ax bx +=222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=211ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-
x 2)=a(x 1+x 2)(x 1-x 2)+b(x 1-x 2)= (x 1-x 2)[a(x 1+x 2)+b]= 0
∵1x ≠2x
∴a(x 1+x 2)+b=0
∴x 1+x 2=2b a a a
-
=-=2 (故⑤正确) 故选D .
考点:二次函数图像与系数的关系.
5.已知抛物线2:4W y x x c =-+,其顶点为A ,与y 轴交于点B ,将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ,点,A B 的对应点分别为','A B ,若四边形''ABA B 为矩形,则c 的值为( )
A .32-
B .3
C .32
D .52
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出A(2,c-4),B(0,c),'(24),'(0)A c B c ---,
,,,结合矩形的性质,列出关于c 的方程,即可求解.
【详解】
∵抛物线2
:4W y x x c =-+,其顶点为A ,与y 轴交于点B , ∴A(2,c-4),B(0,c),
∵将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ,点,A B 的对应点分别为','A B ,
∴'(24),'(0)A c B c ---,
,,, ∵四边形''ABA B 为矩形,
∴''AA BB =,
∴[][]2222(2)(4)(4)(2)c c c --+---=,解得:52c =
. 故选D .
【点睛】
本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质,掌握二次函数图象上点的坐标特征,关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等,是解题的关键.
6.将抛物线y =x 2﹣4x +1向左平移至顶点落在y 轴上,如图所示,则两条抛物线.直线y =﹣3和x 轴围成的图形的面积S (图中阴影部分)是( )
A .5
B .6
C .7
D .8
【答案】B
【解析】
【分析】