第六章 假设检验(Hypothesis test)

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3.小样本的正态总体，σ未知

检验统计量：
X t ~ t n 1 S n
z
×
2
×
z
2
z
2
•它有两个拒绝域，两个临界值， 每个拒绝域的概率α/2 。 •在抽样分布两端各α/2位置上 确定拒绝域边界的临界值。
临界值
拒绝域： Z Baidu Nhomakorabea Z 0 or
2
Z 0 Z
2
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样本数据计算出来的统计量Z0落在拒绝域，则拒绝H0 。
单侧假设检验的拒绝域定义：
•单侧检验有一个拒绝域，一个 临界值，拒绝域的概率α 。 •在抽样分布某一端的α位置上 确定拒绝域边界的临界值。

如果有人对用户说：灯泡的平均使用寿命低于1600hr。 此时，用户要研究的是μ是否会小于1600hr。
提出假设：
H0：μ=1600； H1:μ＜1600
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思考题：

想要检验女性职员平均体重是否大于55公 斤，如何提出原假设和备择假设？
H0：μ=55； H1:μ>55 μ≦55；H1:μ>55
或
如果厂商的宣称是真的，随机抽取1件是次品的情况几乎是 不可能发生的。如果这种情况发生了，我们就有理由怀疑 原来的假设是否成立，这时我们可以推翻原来的假设。
当然，推论也可能犯错误，确实有1件次品，刚好1次被抽 到，这种错误概率是1%（显著水平）。
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二、接受域和拒绝域

以统计量（称检验统计量，test statistic）的抽 样分布为基础，给定小概率α ，判断样本数据 是否接受H0。
（1）以α=0.05 为检验标准，进行检验。
（2）以α=0.01 为检验标准，结论有变化吗？
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(1)解： H0：μ=500；H1： μ>500 α=0.05，正态总体，小样本n=16,X=554，σ=100 在H0为真的情况下，构造检验统计量：
X Z ~ N (0,1) n
由样本数据计算检验统计量的数值：
为检验此论述，进行随机抽样调查， 以样本数据检验此假设是否成立。
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假设检验

产生假设检验的原因大致有两个：

当对总体参数的真实性感到怀疑，需要通过 样本来考察其正确与否时，往往借助于假设 检验做出判断（决策）。 当对变量间存在某种关系的证据（平均值之 差、方差之比等）怀疑时，也会要求进行假 设检验。
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一、建立假设

原假设/虚无假设(null hypothesis)：H0
研究者要收集证据予以反对的假设。 将研究结果无效的说法作为原假设。
设定总体参数等于某一数值。
认为两个或两个以上总体参数相等。
H0：μ=2500 H 0 ： μ 1 = μ2
OR
H0：μ≥2500 （收入）
此时，H0：员工满意度和性别无关
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一、建立假设

备择假设(alternative hypothesis) ：H1

研究者要收集证据予以支持的假设。 将研究结果有效的假设作为备择假设。


与原假设对立，是要研究的问题。
强调差异或方向性。

例如，某品牌洗涤剂的产品， H1：μ＜500
例如， H1：员工满意度和性别有关
H 0 为真
（取伪错误） 1 （正确判断）
H 0 为假
弃真错误又称第I类错误（Type I error）。 取伪错误又称第II类错误（Type II error）。
假设检验时，希望正确判断并减少犯错误的概率。通过 控制α（显著性水平，level of significance）减少犯错， 此种检验称显著性检验。
双侧检验或单侧检验，根据H1来定。
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例如：灯泡厂商在给用户提供一批灯泡时声称，该 批灯泡的平均使用寿命是1600hr。为验证厂商的说 法，需要用样本数据进行检验。
提出假设： H0：μ=1600； H1:μ≠1600
如果样本数据很接近1600hr，则可以接受H0；如果 样本数据离1600hr很远，就会拒绝H0，接受H1。

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第六章 假设检验
第一节 假设检验原理 第二节 单一总体均值的假设检验 第三节 两个总体均值差的假设检验 第四节 总体比例与方差的假设检验 第五节 SPSS在假设检验中的应用
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第一节 假设检验原理
一、建立假设 二、接受域和拒绝域 三、两类错误 四、假设检验的步骤 五、p值（p-value） 六、正确表述统计决策结果
由样本数据计算检验统计量的数值：
554 500 Z 2.16 100 16 决策规则(如图)，如果 Z>Z0.01 拒绝H0
z 0.01 2.33
Z 2.16 Z0.01 2.33
因为检验统计量Z的数值落在接受域，所以不拒绝H0。 证据显示，参加辅导班对学生的SAT分数没有影响。
（1会计，2企管，统计学成绩）
“等号”始终在H0。
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一、建立假设

例如：你对某品牌洗涤剂的产品标签中声称： “平均净含量不低于500克”，感到质疑。
你想要证实“平均净含量不足500克”。即你想
要推翻的是μ≥500克，要证实μ＜500克。
此时，H0：μ≥500

例如：你研究认为员工满意度和性别有关，你 想要以样本数据来支持你的论点。
计算检验统计量的数值进行推断。
确定H0为真时，检验统计量服从的抽样分布。
• 例如：总体服从正态分布，且σ已知，则构 造检验统计量Z，在H0为真的情况下，有
X 0 Z ~ N 0,1 n
可以确定临界值，构 造拒绝域和接受域。
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四、假设检验的步骤
Step4：计算检验统计量的数值
根据样本数据计算检验统计量的数值。
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2.小样本的正态总体，σ已知

检验统计量：
X Z ~ N 0,1 n
【例】
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例题()

SAT测验分数遵从μ=500，σ=100的正态分布。一 位老师办辅导班，希望能够提高学生的SAT分数。 随机抽取16个学生参加他的辅导班，其参加测验 后得到的平均分数X=554。试问：参加这个辅导 班对学生的SAT分数有影响吗？
554 500 Z 2.16 100 16 决策规则(如图)，如果 Z>Z0.05 拒绝H0
z 0.05 1.64
Z 2.16 Z0.05 1.64
因为检验统计量Z的数值落在拒绝域，所以拒绝H0。 证据显示，参加辅导班对学生的SAT分数有显著影响。
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(2)解： H0：μ=500；H1： μ>500 α=0.01，正态总体，小样本n=16,X=554，σ=100 在H0为真的情况下，构造检验统计量： X Z ~ N (0,1) n
H0：
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二、接受域和拒绝域

假设设定之后，我们需要一个判别标准，判断拒绝或 接受H0。利用“小概率原理”，指发生概率很小的随机 事件，在一次试验中几乎是不可能发生的。如果发生 了，就可以拒绝提出的原假设。
例如：有一个厂商声称其产品的合格品率很高，可以达到 99%，则从一批产品（100件）中随机抽取1件，该件是次品 的概率就非常小，只有1%。
平均数的差异性 t 检验
主讲人：朱
丹
假设检验

你相信他们的说法吗？ 你要如何去证明这些说法 是正确或是错误？
对总体参数、分布形式、相互关系等提出假 设，然后利用样本数据来判断该假设论述的 合理性。
• 假设来西藏旅游的外国旅客平均消费支出8000元。 • 有人提出拉萨市民人均月收入是2500元。 • 有人提出西藏大学学生的平均IQ测验分数是110。
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计算的检验统计量数值
六、正确表述统计决策结果


统计决策得出：拒绝或不拒绝H0。
“不拒绝H0”不等同于“接受H0”
“不拒绝H0”只是说明根据现有样本不能认为H0
有问题，但重新抽取一个样本就有可能推翻H0。
如果说成“接受H0”，就等于认为H0在任何条件
下都是成立的。
没能拒绝H0，只是表示现有样本提供的证据还不
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四、假设检验的步骤
Step1：提出原假设 H0 和备择假设 H1
例如：H0：μ=μ0；H1:μ≠μ0
Step2：确定显著性水平α
是决策中的风险。主观确定。 α一般取0.05或0.01。
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四、假设检验的步骤
Step3：选择检验统计量（Test Statistic）
假设检验也是从抽样分布出发，借由样本数据

检验统计量所有可能取值分两为部分，可以拒绝H0 的检验统计量取值的集合称拒绝域。反之，称接受 域，不拒绝H0。划分的数值称临界值。

接受域的区间概率1-α，拒绝域的区间概率α。
如何定义接受域和拒绝域？
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双侧假设检验的拒绝域定义：
H0：μ=μ0； H1:μ≠μ0
•只要μ＞μ0或μ＜μ0，二者 之一成立，就可以否定H0。
在H0为真的情况下，构造检验统计量：
X Z ~ N (0,1) n
由样本数据计算检验统计量的数值：
69 65 Z 4 10 100
决策规则(如图)，如果 Z>Z0.05 拒绝H0
z 0.05 1.64
Z 4 Z0.05 1.64
因为检验统计量Z的数值落在拒绝域，所以拒绝H0。 证据显示，参加培训后可以提高词汇记忆任务的成绩。
(σ已知)
(σ未知)
【例】
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例题(★★★)

对大批学生进行词汇记忆考查，得到总体均值 μ=65，标准差σ=10。现抽取样本容量n=100的 样本，对其进行记忆技巧培训后，得到样本均 值X=69。试问：该培训是否能够提高词汇记 忆任务的成绩。（ α=0.05 ）
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解：
H0：μ=65；H1： μ>65 α=0.05，因为 n=100为大样本,X=69，σ=10
足以拒绝它而已。
故常用“拒绝H0”或“不拒绝H0”的表述方式。
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第二节 单一总体均值的假设检验
单一总体，关于定量数据的检验。

西藏外国旅客平均旅游消费支出5000元？ 经管学院毕业生平均起薪为每月2500元？ 女性消费者每年在化妆品的平均支出3500元？ 2010级统计学平均成绩为70分？
统计软件给出检验统计量的数值时，一般都给出该 检验统计量数值的p值。

以Zobs表示Z统计量的观测值： 双侧检验時p值=P(|Z|≥ Zobs) 右侧检验时p值=P(Z≥ Zobs)
p值/2
p值/2
α/2
-1.96
1 -α
α/2
1.96(临界值)
以p值进行假设检验： p值>α，接受H0 p值<α ，拒绝H0
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一、建立假设
H0和H1是互斥的，主要有三种情况：

双侧或双尾假设检验（two-tailed test）

H0：μ=2500 ，H1:μ≠2500 ≤2500 ，H1:μ＞2500

单侧或单尾假设检验（one-tailed test）
右侧假设检验： H0：μ
左侧假设检验：
H1: μ ≥2500 ，H1:μ＜2500
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第二节 单一总体均值的假设检验
1. 大样本
2. 小样本的正态总体，σ已知
3. 小样本的正态总体，σ未知
假设检验步骤相同，主要区别在于选择适当的 检验统计量，以利确定临界值和定义拒绝域。
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1.大样本

检验统计量：
X Z ~ N 0,1 n
X Z ~ N 0,1 S n
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三、两类错误

弃真错误
如前例，厂商声称产 品合格率是99%。100 件中确实只有1件次品。 进行抽样时，刚好1次 被抽到次品，这种错 误称弃真错误（第Ⅰ 类错误），错误概率 是1%（α）。

取伪错误
厂商声称产品合格率 是99%，实际上仅有 90%，表示100件中有 10件次品。为了检验 厂商宣称是否真实， 我们随机抽取20件产 品，结果都是合格品， 于是我们推断厂商宣 称是真实的。犯第二 类错误，错误概率β。
临界值
z
右侧检验图
×
右侧假设检验拒绝域在右边， 左侧假设检验拒绝域在左边。 右侧检验拒绝域：Z
0 0
Z
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左侧检验拒绝域： Z
Z
三、两类错误

以样本统计量推论总体参数，因为样本数据具随机性， 存在判断正确和错误的四种概率：
判 断 接受 H 0 拒绝 H 0

实
际
1 （正确判断） （弃真错误）
Step5：建立决策准则，进行判断
根据α值和抽样分布，确定临界值。
将检验统计量的数值与临界值相比较，做出
是否拒绝H0的判断。
或以检验统计量计算p值,确定是否拒绝H0 。
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五、p值（p-value）

p值：H0为真时，由样本数据给出的犯第Ⅰ类错误 的概率的精确数值（观察到的显著性水平）。