两平行线之间的距离

平面上两条直线的位置关系： 平面上两条直线的位置关系：
1. 重合
两直线相交 对顶角
1 2
源自文库
2. 相交
两直线被第三条直线所截 概念 同位角、内错角、 同位角、内错角、同旁内角
3. 平行
性质与判定 与平移的关系
平面上直线间的度量关系： 平面上直线间的度量关系： 垂线及其性质 垂线段最短 点到直线的距离 平行线之间的距离
可以把直尺放在课本上任何一个位置， 可以把直尺放在课本上任何一个位置， 但必须保持直尺与课本的两边互相垂直， 但必须保持直尺与课本的两边互相垂直，量 得的结果是一样的. 得的结果是一样的
与两条平行直线都垂直的直线， 与两条平行直线都垂直的直线，叫做这两 条平行直线的公垂线 公垂线， 条平行直线的公垂线， 这时连结两个垂足的线 如图3-97中AB，CD)叫做这两条平行直线 段(如图 中 ， ) 公垂线段. 的公垂线段
C
B
l2
两平行线上各取一点连结而成的所有线 段中，公垂线段最短. 段中，公垂线段最短 两平行线的公垂线段的长度叫做两平行 两平行线的公垂线段的长度叫做两平行 线间的距离. 线间的距离 l1
l2
如图3-99，设a，b，c是三条互相平行的直线 是三条互相平行的直线. 例3 如图 ， ， ， 是三条互相平行的直线 已知a与 的距离为 的距离为5cm，b与c的距离为 的距离为2cm， 已知 与b的距离为 ， 与 的距离为 ， 的距离. 求a与c的距离 与 的距离 A 解 在a上任取一点 ，过A作AC⊥a， 上任取一点A， 作 ⊥ ， 上任取一点 分别与b， 相交于 相交于B， 两点 两点， 分别与 ，c相交于 ，C两点， 5 cm 分别表示a与 ， 则AB，BC，AC分别表示 与b， ， ， 分别表示 b与c，a与c的公垂线段 的公垂线段. 与 ， 与 的公垂线段 AC=AB+BC=5+2=7， ， 因此a与 的距离是 的距离是7cm. 因此 与c的距离是 B
2 cm
a
b c
C
图3-99
动脑筋
习题3.4中 组第 组第1题介绍了一种画两条平行 习题 中A组第 题介绍了一种画两条平行 线的方法，学习完本节知识后， 线的方法，学习完本节知识后，你是否有其他 办法画两条平行线？ 办法画两条平行线？ P 画一条直线AB， 画一条直线 ， A 上取一点P， 在AB上取一点 ， 上取一点 过点P做 的垂线 的垂线PN， 过点 做AB的垂线 ， M 上取点M， 在PN上取点 ， 上取点 点做直线CD垂直于 过M点做直线 垂直于 ， C 点做直线 垂直于PN， 则AB∥CD. ∥ N
二、基本方法 利用圆规与直尺或其他工具画线段、 利用圆规与直尺或其他工具画线段、 平行线、垂线. 角、平行线、垂线 利用有刻度的直尺量线段的长短， 利用有刻度的直尺量线段的长短，利 用量角器量角的大小. 用量角器量角的大小
图形的平移： 图形的平移： 把一个图形的所有点向同一方向移动 相同的距离. 相同的距离 平移不改变图形的形状和大小． 平移不改变图形的形状和大小．
3. 你能举出日常生活中利用“垂线段最短” 你能举出日常生活中利用“垂线段最短” 的例子吗？ 的例子吗？
结
束
图3-97
如图3-98，设l1∥l2，A，B分别为 1，l2上的任 ， 分别为l 如图 ， 分别为 则 意点， 意点，结线段 ， 再过A作 ⊥ 垂足为C， 再过 作AC⊥l2，垂足为 ， AC 连结线段AB， 连 连结线段 之间的公垂线段， 是 之间的斜线段. 是l1，l2之间的公垂线段，AB是l1，l2之间的斜线段 因为AC， 又分别是 点到l 的垂线段和斜线段， 又分别是A点到 因为 ，AB又分别是 点到 2的垂线段和斜线段， 所以AC＜ (垂线段最短). 所以 ＜AB(垂线段最短). A l1
B
D
练习
1. 如图 如图3-100，MN∥AB，P，Q为直线 为直线MN上的任 ， ∥ ， ， 为直线 上的任
意两点，三角形 和三角形QAB的面积有什 意两点，三角形PAB和三角形 和三角形 的面积有什 么关系？为什么？ 么关系？为什么？
的面积等于三角形QAB 答：三角形PAB的面积等于三角形 三角形 的面积等于三角形 的面积.因为它们的底相同 因为它们的底相同， 的面积 因为它们的底相同，它们的 高是平行线之间的两条公垂线段， 高是平行线之间的两条公垂线段， 也相等，所以三角形PAB与三角形 也相等，所以三角形 与三角形 QAB同底等高，因而面积相等 同底等高， 同底等高 因而面积相等.
图3-100
2. 在图 在图3-101的四边形中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°， 的四边形中， 的四边形中 ∠ ∠ ∠
这样的四边形叫做矩形.矩形的两组对边 和 ， 这样的四边形叫做矩形 矩形的两组对边AB和CD， 矩形的两组对边 AD和BC相等吗？为什么？ 相等吗？ 和 相等吗 为什么？
答：因为直线AD∥直线 ， 因为直线 ∥直线BC， 同旁内角互补) (同旁内角互补)， AB和CD是AD与BC的公垂线段， 的公垂线段， 和 是 与 的公垂线段 所以AB=CD. 所以 类似的可以推出AD=BC. 类似的可以推出
本节内容 3.6
垂线的性质与判定
——3.6.3 两平行线之间的距离
动脑筋
请各位同学用直尺量一量自己的数学课本， 请各位同学用直尺量一量自己的数学课本， 它的宽度是多少？ 它的宽度是多少？
你的直尺与课本的 大家量得的结果是 量在课本的哪个位置？ 量在课本的哪个位置？ 两边成什么角度？ 两边成什么角度？ 一样的吗？ 一样的吗？
图3-97
结论
通过上面的操作，启发我们猜想： 通过上面的操作，启发我们猜想：
两平行线的所有公垂线段都相等. 两平行线的所有公垂线段都相等
可以证明这个猜想是对的. 可以证明这个猜想是对的
显然，两平行线的公垂线段， 显然，两平行线的公垂线段，也可以换一 种说法： 种说法： 两平行线中一条上的任一点到另一条的垂 线段叫做两平行线的公垂线段 公垂线段. 线段叫做两平行线的公垂线段
图3-101
小结与复习
本章我们初步接触了平面几何学中的一 些基本概念， 些基本概念，主要是两条直线的位置关系和 度量关系. 度量关系
一、基本概念 线段、线段的大小比较、直线、射线 线段、线段的大小比较、直线、射线. 角、角的大小比较、角的分类、角的度量、 角的大小比较、角的分类、角的度量、 补角与余角、对顶角. 补角与余角、对顶角
想一想
1.平面上两条直线的位置关系有几种？ 平面上两条直线的位置关系有几种？ 平面上两条直线的位置关系有几种 答：有三种. 相交、重合、平行 有三种 相交、重合、平行. 2.判断两条直线平行的方法有哪些 2.判断两条直线平行的方法有哪些？ 判断两条直线平行的方法有哪些？ 答：同位角相等，两直线平行. 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行. 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行. 同旁内角互补，两直线平行