两平行线之间的距离
点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳
点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳【知识梳理】点到直线的距离与两条平行线间的距离题型一、点到直线的距离【例1】 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.【类题通法】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．【对点训练】1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A .2 B ．2－ 2 C .2－1D .2＋12．点P(2,4)到直线l：3x＋4y－7＝0的距离是________．题型二、两平行线间的距离【例2】求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．【类题通法】求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝|b1－b2|k2＋1；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝|C1－C2|A2＋B2.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．【对点训练】3．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．题型三、距离的综合应用【例3】求经过点P(1,2)，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线l的方程．【类题通法】解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程．【对点训练】4．求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．5. 已知A(-2,0),B(2,-2),C(0,5),过点M(-4,2)且平行于AB的直线l将△ABC分成两部分,求此两部分面积的比.题型四距离最值问题例4.已知P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+6=0上任一点,则|PQ|的最小值为()A.B.C.3 D.6例5.已知x+y-3=0,则的最小值为.例6.已知直线l1过A(3,0),直线l2过B(0,4),且l1∥l2,用d表示l1与l2间的距离,则d的取值范围是.【练习反馈】1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1B. 3C．2 D. 52．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为()A．1 B. 2C. 3 D．23．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．4．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．5．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳参考答案【例1】[解] (1)185.(2) 8.(3) 1.【对点训练】 1．选C 2．答案：3【例2】设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋－2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 【对点训练】 3．104【例3】[解]当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. 【对点训练】4．x ＝2或4x －3y －10＝0. 5.两部分的面积之比为. 例4.答案:C 例5.答案:例6.答案:(0,5] 【练习反馈】1．选D 2．选B 3．12 4．答案：－3或1735．解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为 y2－0＝x ＋31＋3，即x －2y ＋3＝0.由两点间距离公式得|BC |＝－3－2＋－2＝25，点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高，d ＝|－1－2×3＋3|12＋－2＝455，所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4， 即△ABC 的面积为4.。
平行线间的距离例题
平行线间的距离例题
平行线是同一平面内不相交的两条线。
在平面几何中，我们经常需要计算平行线之间的距离。
下面是一个关于平行线间距离的例题。
例题：已知两条平行线L1和L2，L1上有一点P，L2上有一点Q。
设点P到直线L2的距离为d，求点Q到直线L1的距离。
解题思路：首先，我们需要知道平行线之间的距离定义。
在同一平面内，两条平行线之间的距离是它们之间的任意一条垂线的长度。
因此，我们可以先通过点P和直线L2构造垂线L3，然后计算L3的长度d。
接下来，我们需要构造点Q到直线L1的垂线L4，然后计算L4的长度即可。
步骤如下：
1. 构造垂线L3：从点P向直线L2作垂线L3。
2. 计算L3的长度：根据勾股定理，L3的长度等于线段PQ的长度乘以sinθ，其中θ为直线L1和L2的夹角，而线段PQ与直线L1和L2平行，因此θ可由线段PQ和直线L1的斜率求得，即：θ = arctan(k1) - arctan(k2)
其中，k1和k2分别为直线L1和L2的斜率。
3. 构造垂线L4：从点Q向直线L1作垂线L4。
4. 计算L4的长度：同样利用勾股定理，L4的长度可表示为线段PQ的长度乘以cosθ，即：
L4 = PQ*cosθ
5. 得出结果：将步骤2和步骤4中计算出的距离代入公式，即
可得到点Q到直线L1的距离：
d(Q,L1) = d*sinθ = PQ*cosθ*sinθ
这样，我们就成功地求出了点Q到直线L1的距离。
需要注意的是，如果两条直线不在同一平面内，则无法计算它们之间的距离。
同时，在实际应用中，我们也可以利用向量或矩阵的方法来求解平行线之间的距离。
两条平行线间的距离公式推导方法
两条平行线间的距离公式推导方法
要推导两条平行线之间的距离公式，我们可以采用几何方法或者向量方法。
首先，我们来看几何方法：假设我们有两条平行线L1和L2，距离为d，我们可以从平行线上取两个点P1和P2，分别连接成一条线段，并做垂线PH1和PH2，垂线的交点为H。
利用几何知识，我们可以得到一个三角形PH1H2，其中PH1和PH2是直角边，而H1H2就是两条平行线之间的距离d。
这时，我们可以利用直角三角形的勾股定理来推导出两条平行线之间的距离公式。
其次，我们来看向量方法：假设L1和L2的一般方程为ax + by + c1 = 0 和ax + by + c2 = 0，其中(a, b)是平行线的方向向量。
我们可以利用向量的性质，找到两个点P1和P2分别在L1和L2上，那么向量P1P2就是平行线方向的向量。
此外，我们可以通过向量P1P2在垂直于平行线的方向上的投影得到两条平行线之间的距离d的绝对值。
最后，通过选择合适的点P1和P2，并且考虑到距离为正或负的情况，我们可以得到两条平行线之间的距离公式。
湘教版数学七年级下册_《两条平行线间的距离》知识全解
《两条平行线间的距离》知识全解教学目标：
1．了解两条平行线的所有公垂线段都相等.
2．了解两条平行线之间距离的意义.
3．能度量两条平行线之间的距离.
教学重点：理解平行线之间的距离的意义.
教学难点：理解“两条平行线的所有公垂线段都相等”.
知识内容：
1.公垂线、公垂线段的概念
与两条平行直线都垂直的直线，叫做这两条平行直线
的公垂线.如图形中的直线AB与CD都是公垂线，这时连
结两个垂足的线段，叫做这两条平行直线的公垂线段.如图中的线段AB和CD.
两平行线的公垂线段也可以看成是两平行直线中一条上的一点到另一条的垂线段.
2.公垂线段定理：两平行线的所有公垂线段都相等.
3.两平行线上各取一点连结而成的所有线段中，公垂线段最短.
如图m∥n，直线m、n上各取一点A、B，连结AB.
再过A作n线段的垂线段AC，垂足为C，则有AC＜AB.
从而得到上述定理.
4.两平行间的距离：两平行线的公垂线段的长度.。
平行线之间的距离
x
尝试练习
第 2题
D
C
随堂练习 1 2 3
O
A
B
习题 1 2 3 4 5
习题 4
D
F
C
G
P
H
A
E
B
A
B
a
b
C
D
注意:是垂线段的长度，而不是垂线段
如图，l1 // l2 ， 线段 AB//CD//EF, 且 点 A 、 C 、 E 在 l1 上， B 、 D 、 F 在 l2 上，则 AB 、 CD、EF的长短相等吗？为什么？
E C A
l1
夹在两平行线间的平行线段相等。
F
D
B
l2
在笔直的铁轨上，夹在两根平行铁 轨之间的平行枕木是否一样长？
它们是同底等高
A
D
m
结论：同底等高的 两个三角形的面积相等
B
C
n
课本126页 想一想
（1）如图，S
ABCD
BC AE CD AF
（2）如图，同底（等底）同高（等高） 的平行四边形面积相等。
A D
l1
E′ E
D′ DFBECl2A H H
B
等积法
1 周周清题目
2 已知平行四边形ABCD的周长为20cm,对 边的距离分别为AE=2cm,AF=3cm,求这个平 行四边形的面积？
平行线之间的距离
A 两点间的距离：
B
连结两点的线段的长度叫两点间的距离 P 点到直线的距离： 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
A
B
a
b
已知，如图，直线a//b, A，B是直线a上任 意两点，AC ⊥b, BD ⊥b,垂足分别为C，D。 求证：AC=BD
坐标轴两条平行线的距离公式
坐标轴两条平行线的距离公式在我们平常的生活中，经常会碰到一些需要计算距离的情况，比如从家里到超市有多远？从公司到电影院走路要多久？这些都是我们日常生活中常常计算的“距离”。
但是今天咱们要聊的，不是那种走路的距离，也不是你和朋友约定见面的距离，而是一个稍微数学化一点的“距离”问题——坐标轴上两条平行线的距离。
好了，别被“坐标轴”和“平行线”这些听起来有点学术气息的词吓到，其实这个问题并不难理解。
你可以想象，坐标轴就像是我们平常说的“横坐标”和“纵坐标”的那两条线，而平行线嘛，就是那种永远不相交的两条线。
它们之间的距离，不像两点之间的距离那样需要直接用勾股定理去计算，而是有一个特别简单的公式，可以让你快速算出它们之间的“空隙”有多大。
不过你可能会问了，这两条平行线究竟该怎么定义呢？好嘛，不用着急，我们一步步来。
假设我们有两条平行线，它们的方程分别是：1. (Ax + By + C_1 = 0) 。
2. (Ax + By + C_2 = 0) 。
看上去是不是挺复杂？不过别怕，这两条线不过是斜的或是水平的，只有常数部分（也就是C_1和C_2）不同而已。
而且因为它们是平行的，斜率肯定是一样的。
好啦，公式出来了，要是你想知道这两条平行线之间的距离，记住这句话：。
距离 = (frac{|C_2 C_1|{sqrt{A^2 + B^2)。
这么一看，好像又回到了老套路，数学公式，求距离，根本没有什么新鲜感，对吧？不过你要是把这个公式一眼看明白，就会觉得其实没什么可怕的。
咱们把C_2和C_1之间的差取个绝对值，因为无论差值是正还是负，距离永远是个正数，不能让它成负数。
然后，下面的那个根号A²+B²就是线的斜率相关的内容，它让你知道两条线的“倾斜度”，或者说，它反映了两条线的方向。
如果线是水平的，那A和B就是0和1的组合，根号下的东西就会很简单。
如果是斜的，就得算一下它的斜率，才能搞清楚两条线的实际“距离”。
两条平行线的距离公式推导过程
两条平行线的距离公式推导过程平行线的距离公式是解决平行线之间的距离问题的重要工具。
在几何学中，平行线是指在同一个平面内永不相交的直线。
平行线之间的距离是指两条平行线之间的最短距离。
在本文中，我们将通过推导过程来了解平行线的距离公式。
假设有两条平行线L1和L2，我们的目标是求出这两条平行线之间的距离。
为了方便计算，我们可以选择一条直线L3与L1和L2相交，并且垂直于这两条平行线。
这样，我们可以将问题简化为求L3与L1和L2的交点之间的距离。
我们可以选择L3上的一个点A，并连接A与L1和L2上的相应点B和C。
由于L3与L1和L2垂直，所以角ABC是直角。
根据直角三角形的性质，我们可以得知三角形ABC是一个直角三角形。
接下来，我们可以利用三角形ABC的性质来求解平行线L1和L2之间的距离。
根据勾股定理，我们可以得到以下关系式：AB² + BC² = AC²由于我们已知L1和L2是平行线，所以AB和BC之间的距离是相等的。
我们可以将AB和BC之间的距离表示为d，即d²。
因此，上述关系式可以重新写成以下形式：d² + d² = AC²化简上述方程，我们可以得到：2d² = AC²通过移项和开方运算，我们可以得到：d = √(AC²/2)因此，我们得到了平行线L1和L2之间的距离公式：d = √(AC²/2)这就是平行线的距离公式。
通过这个公式，我们可以通过已知平行线的方程来求解它们之间的距离。
我们只需要计算出交点的坐标，然后使用距离公式来求出距离。
需要注意的是，这个公式只适用于平行线之间的距离。
如果我们想要求解一条直线与一条曲线之间的最短距离，我们需要使用其他方法来解决这个问题。
总结一下，通过推导过程，我们得到了平行线的距离公式。
这个公式可以帮助我们求解平行线之间的最短距离。
通过选择一条垂直于平行线的直线，并计算出交点的坐标，我们可以使用这个公式来求解平行线之间的距离。
平行直线距离的计算公式
平行直线距离的计算公式1.平行线定义平行线是指在同一个平面上，永远不相交且方向相同或平行的直线。
平行线之间的距离是它们之间任意两点的距离。
2.垂直距离公式给定平行直线L1和L2，通过直线L1上一点P1引一条垂直于L1的线段，并与直线L2相交于点P2、垂直距离是线段P1P2的长度，表示为d。
这个垂直距离公式可以用于计算垂直于一条平行直线的另一条平行直线的距离。
3.平行线间距离公式给定平行直线L1和L2，在这两条直线上分别选择两个点P1和P2，P1与P2连成一线段。
以线段P1P2的长度d表示平行直线L1和L2之间的距离。
这个距离公式是两条平行直线之间最短距离的一种计算方法。
4.点到直线距离公式对于给定的点P和平行直线L，点到直线的距离是点P到任意一条平行直线的距离。
我们可以使用点到直线距离公式来计算。
5.直线之间距离的切割公式给定平行直线L1，L2及其间的线段AB，如果线段AB与直线L1垂直，与直线L2平行，则线段AB的长度等于直线L1和L2之间的距离。
这些是几个常用的平行直线距离计算公式。
当我们求解与平行直线有关的几何问题时，可以根据具体情况选择合适的公式来计算距离。
这些公式都可以通过几何推导、直线方程、向量等方法得到。
平行直线距离的计算是几何学中的基础问题之一、掌握这些距离计算公式可以帮助我们解决各种与平行线相关的数学和实际问题，例如计算平行线上特定点到另一条平行线的距离，计算两条平行线之间的最短距离等。
这些技能可以在工程、建筑、地理测量、几何推导和其他领域中得到应用。
总之，平行直线距离的计算公式是解决与平行线相关问题的关键。
两平行线之间的距离
距离公式的几何意义
点到直线的距离
01
两平行线之间的距离实际上是任意一点到其中一条直线的垂直
距离。
平行四边形的性质
02
两平行线之间的距离等于平行四边形的高，而这个高也是平行
四边形的对角线的一半。
三角形的中位线性质
03
在三角形中，中位线与相对边平行且等于相对边的一半，而中
位线的长度就是两平行线之间的距离。
平行线的性质
性质1
性质2
同位角相等：两条平行线被一条横截线所 截，同位角相等。
内错角相等：两条平行线被一条横截线所 截，内错角相等。
性质3
性质4
同旁内角互补：两条平行线被一条横截线 所截，同旁内角互补。
平行线间的距离处处相等：两条平行线被 一条横截线所截，那么这两条横截线到各 自直线的距离是相等的。
THANKS
感谢观看
在工程学中的应用
机械零件设计
建筑设计
在机械设计中，两平行线之间的距离 常用于确定零件的尺寸和位置，以确 保机械运转的准确性和稳定性。
在建筑设计中，两平行线之间的距离 用于确定墙体的位置、窗户的高度等， 以确保建筑结构的稳定性和美观性。
电路板布线
在电子工程中，两平行线之间的距离 是电路板布线的重要参数，它决定了 信号传输的质量和稳定性。
02
两平行线之间的距离公式
距离公式的推导
平行线性质
两平行线之间的距离与它们的方 向向量成正比，与它们之间的垂
直距离成反比。
距离公式推导
基于平行线性质，通过向量运算和 几何变换，推导出两平行线之间的 距离公式。
公式形式
$d = frac{|c_2 - c_1|}{sqrt{a^2 + b^2}}$，其中$a, b$是直线方向向 量的分量，$c_1, c_2$是直线方程 $ax + by + c = 0$中的常数项。
平行线之间的距离处处相等
平行线之间的距离处处相等
根据垂直与平行的定义可知，平行线之间的距离处处相等。
两条平行线间的距离是指两条平行线之间的垂直线段的长度，因为平行线之间的距离是两条平行线的垂线段的长度，所以两条平行线之间的距离处处相等。
几何中，在同一平面内，永不相交（也永不重合）的两条直线(line)叫做平行线（parallel lines）。
平行线公理是几何中的重要概念。
欧氏几何的平行公理，可以等价的陈述为“过直线外一点有唯一的一条直线和已知直线平行”。
而其否定形式“过直线外一点没有和已知直线平行的直线”或“过直线外一点至少有两条直线和已知直线平行”，则可以作为欧氏几何平行公理的替代，而演绎出独立于欧氏几何的非欧几何。
平行线的距离公式
平行线的距离公式
平面上平行线间的距离公式为：d=|C1-C2|/√（A²+B²）。
设两条直线方程为Ax+By+C1=0，Ax+By+C2=0则其距离公式
d=|C1-C2|/√（A²+B²）。
几何中，在同一平面内，永不相交（也永不重合）的两条直线叫做平行线。
平行线一定要在同一平面内定义，不适用于立体几何，比如异面直线，不相交，也不平行。
基本定义：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
如若a∥b，b∥c，则a∥c。
平行线的定义包括三个基本特征：一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交。
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交。
平行线之间的距离与关系
平行线之间的距离与关系平行线是指在同一平面上永远不会相交的直线。
在几何学中，研究平行线之间的距离和关系是十分重要的。
本文将探讨平行线的性质，并分析其中的距离关系。
一、平行线的定义和性质平行线是指在同一平面上永远不会相交的直线。
常用的表示方法是使用符号“||”表示两条直线平行。
平行线有以下性质：1. 平行线具有相同的斜率。
两条直线的斜率相等时，它们是平行线。
2. 平行线之间的角度关系。
当一条与平行线相交的直线与另一条平行线之间的内角和为180度时，它们是平行线。
3. 平行线的对应角相等。
当两条平行线被一条截断时，它们之间对应的角度相等。
二、平行线之间的距离关系1. 平行线上的任意两点之间的距离是恒定的。
对于平行线上的任意两点A和B，它们到另一条平行线的距离是相等的。
这可以通过使用平行线的性质和三角形的相似性来证明。
2. 平行线之间的距离是垂直于这两条平行线的任意一条直线与它们的交点到这两条平行线的距离之差。
这个距离可以通过使用平行线的性质和勾股定理来计算。
三、平行线之间的应用平行线的距离关系在实际应用中具有广泛的应用。
以下是一些例子：1. 建筑设计中的平行线距离计算。
在建筑设计中，平行线的距离关系常常用于确定建筑物之间的间距，以及定位建筑物的位置。
2. 交通规划中的平行线距离计算。
在交通规划中，平行线的距离关系可以帮助计算道路之间的距离，以及指导车辆的行驶路线。
3. 几何学中的平行线关系应用。
平行线的距离关系是几何学中许多定理和问题的基础，对于解决复杂的几何问题具有重要意义。
总结：平行线之间的距离与关系是几何学的重要概念。
通过研究平行线的定义和性质，我们可以得出关于平行线之间距离的一些结论，并将其应用于实际问题中。
平行线的距离关系为建筑设计、交通规划和几何学等领域提供了有力的工具和方法。
通过深入理解平行线的性质和应用，我们可以更好地应用这一概念解决实际问题。
《两条平行线间的距离》教案2
《两条平行线间的距离》教案2教学目标：1．了解两条平行线的所有公垂线段都相等.2．了解两条平行线之间距离的意义.3．能度量两条平行线之间的距离.教学重点：理解平行线之间的距离的意义.教学难点：理解“两条平行线的所有公垂线段都相等”.教学过程：一、情境问题1．点到直线距离.2．直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短.3．三条直线的平行关系.二、新课学习1．做一做.测量自己的数学课本的宽度.要注意什么问题？刻度尺要与课本两边互相垂直.2．公垂线、公垂线段的概念与两条平行直线都垂直的直线，叫做这两条平行直线的公垂线.如图形中的直线AB与CD都是公垂线，这时连结两个垂足的线段，叫做这两条平行直线的公垂线段.如图中的线段AB和CD.两平行线的公垂线段也可以看成是两平行直线中一条上的一点到另一条的垂线段.3．公垂线段定理：两平行线的所有公垂线段都相等.4．两平行线上各取一点连结而成的所有线段中，公垂线段最短.如图m∥n，直线m、n上各取一点A、B，连结AB.再过A作n线段的垂线段AC，垂足为C，则有AC＜AB.从而得到上述定理.5．两平行间的距离：两平行线的公垂线段的长度.6．P106说一说我们可以把直线与直线的距离思转化为点到直线的距离.7．例题示范P105例 如图设直线a 、b 、c 是三条平行直线.已知a 与b 的距离为5厘米，b 与c 的距离为2厘米，求a 与c 的距离.(引导学生分析，然后按教材写出解题过程：解：在直线a 上任取一点A ，过A 作AC ⊥a ，分别交b 、c 于B 、C 两点，则AB 、BC 、AC 分别表示a 与b ，b 与c ，a 与c 的公垂线段.AC ＝AB+BC ＝5＋2＝7，因此a 与c 的距离为7厘米.三、实效训练1. 如图，MN ∥AB ，P ，Q 为直线MN 上的任意两点，三角形PAB 和三角形QAB 的面积有什么关系？为什么？2. 如图的四边形中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，这样的四边形叫做矩形.矩形的两组对边AB 和BC 相等吗？为什么？四、课堂小结五、课后作业 P106的A 组第1，2题六、拓展练习1．如图1，O 是△ABC 内一点，OD ∥AB ，OE ∥BC ，OF ∥AC ，∠B ＝45°， ∠C ＝75°，则∠DOE ＝________，∠EOF ＝________，∠FOD ＝________.2．如图2，ED ∥BC ，AF ⊥ED ，EH ⊥BC ，且AF=5㎝，EH=2㎝， 求点A 到ED 的距离.3．有一条直的等宽纸带，按图3折叠时，纸带重叠部分中的∠a ＝_______度． 图 2 图1 图3。
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图3-100
2. 在图 在图3-101的四边形中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°， 的四边形中， 的四边形中 ∠ ∠ ∠
这样的四边形叫做矩形.矩形的两组对边 和 ， 这样的四边形叫做矩形 矩形的两组对边AB和CD， 矩形的两组对边 AD和BC相等吗？为什么？ 相等吗？ 和 相等吗 为什么？
答：因为直线AD∥直线 ， 因为直线 ∥直线BC， 同旁内角互补) (同旁内角互补)， AB和CD是AD与BC的公垂线段， 的公垂线段， 和 是 与 的公垂线段 所以AB=CD. 所以 类似的可以推出AD=BC. 类似的可以推出
2 cm
a
b c
C
图3-99
动脑筋
习题3.4中 组第 组第1题介绍了一种画两条平行 习题 中A组第 题介绍了一种画两条平行 线的方法，学习完本节知识后， 线的方法，学习完本节知识后，你是否有其他 办法画两条平行线？ 办法画两条平行线？ P 画一条直线AB， 画一条直线 ， A 上取一点P， 在AB上取一点 ， 上取一点 过点P做 的垂线 的垂线PN， 过点 做AB的垂线 ， M 上取点M， 在PN上取点 ， 上取点 点做直线CD垂直于 过M点做直线 垂直于 ， C 点做直线 垂直于PN， 则AB∥CD. ∥ N
3. 你能举出日常生活中利用“垂线段最短” 你能举出日常生活中利用“垂线段最短” 的例子吗？ 的例子吗？
结
束
二、基本方法 利用圆规与直尺或其他工具画线段、 利用圆规与直尺或其他工具画线段、 平行线、垂线. 角、平行线、垂线 利用有刻度的直尺量线段的长短， 利用有刻度的直尺量线段的长短，利 用量角器量角的大小. 用量角器量角的大小
图形的平移： 图形的平移： 把一个图形的所有点向同一方向移动 相同的距离. 相同的距离 平移不改变图形的形状和大小． 平移不改变图形的形状和大小．
本节内容 3.6
垂线的性质与判定
——3.6.3 两平行线之间的距离
动脑筋
请各位同学用直尺量一量自己的数学课本， 请各位同学用直尺量一量自己的数学课本， 它的宽度是多少？ 它的宽度是多少？
你的直尺与课本的 大家量得的结果是 量在课本的哪个位置？ 量在课本的哪个位置？ 两边成什么角度？ 两边成什么角度？ 一样的吗？ 一样的吗？
B
D
练习
1. 如图 如图3-100，MN∥AB，P，Q为直线 为直线MN上的任 ， ∥ ， ， 为直线 上的任
意两点，三角形 和三角形QAB的面积有什 意两点，三角形PAB和三角形 和三角形 的面积有什 么关系？为什么？ 么关系？为什么？
的面积等于三角形QAB 答：三角形PAB的面积等于三角形 三角形 的面积等于三角形 的面积.因为它们的底相同 因为它们的底相同， 的面积 因为它们的底相同，它们的 高是平行线之间的两条公垂线段， 高是平行线之间的两条公垂线段， 也相等，所以三角形PAB与三角形 也相等，所以三角形 与三角形 QAB同底等高，因而面积相等 同底等高， 同底等高 因而面积相等.
可以把直尺放在课本上任何一个位置， 可以把直尺放在课本上任何一个位置， 但必须保持直尺与课本的两边互相垂直， 但必须保持直尺与课本的两边互相垂直，量 得的结果是一样的. 得的结果是一样的
与两条平行直线都垂直的直线， 与两条平行直线都垂直的直线，叫做这两 条平行直线的公垂线 公垂线， 条平行直线的公垂线， 这时连结两个垂足的线 如图3-97中AB，CD)叫做这两条平行直线 段(如图 中 ， ) 公垂线段. 的公垂线段
图3-101
小结与复习
本章我们初步接触了平面几何学中的一 些基本概念， 些基本概念，主要是两条直线的位置关系和 度量关系. 度量关系
一、基本概念 线段、线段的大小比较、直线、射线 线段、线段的大小比较、直线、射线. 角、角的大小比较、角的分类、角的度量、 角的大小比较、角的分类、角的度量、 补角与余角、对顶角. 补角与余角、对顶角
图3-97
结论
通过上面的操作，启发我们猜想： 通过上面的操作，启发我们猜想：
两平行线的所有公垂线段都相等. 两平行线的所有公垂线段都相等
可以证明这个猜想是对的. 可以证明这个，两平行线的公垂线段，也可以换一 种说法： 种说法： 两平行线中一条上的任一点到另一条的垂 线段叫做两平行线的公垂线段 公垂线段. 线段叫做两平行线的公垂线段
图3-97
如图3-98，设l1∥l2，A，B分别为 1，l2上的任 ， 分别为l 如图 ， 分别为 则 意点， 意点，结线段 ， 再过A作 ⊥ 垂足为C， 再过 作AC⊥l2，垂足为 ， AC 连结线段AB， 连 连结线段 之间的公垂线段， 是 之间的斜线段. 是l1，l2之间的公垂线段，AB是l1，l2之间的斜线段 因为AC， 又分别是 点到l 的垂线段和斜线段， 又分别是A点到 因为 ，AB又分别是 点到 2的垂线段和斜线段， 所以AC＜ (垂线段最短). 所以 ＜AB(垂线段最短). A l1
平面上两条直线的位置关系： 平面上两条直线的位置关系：
1. 重合
两直线相交 对顶角
1 2
2. 相交
两直线被第三条直线所截 概念 同位角、内错角、 同位角、内错角、同旁内角
3. 平行
性质与判定 与平移的关系
平面上直线间的度量关系： 平面上直线间的度量关系： 垂线及其性质 垂线段最短 点到直线的距离 平行线之间的距离
想一想
1.平面上两条直线的位置关系有几种？ 平面上两条直线的位置关系有几种？ 平面上两条直线的位置关系有几种 答：有三种. 相交、重合、平行 有三种 相交、重合、平行. 2.判断两条直线平行的方法有哪些 2.判断两条直线平行的方法有哪些？ 判断两条直线平行的方法有哪些？ 答：同位角相等，两直线平行. 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行. 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行. 同旁内角互补，两直线平行
C
B
l2
两平行线上各取一点连结而成的所有线 段中，公垂线段最短. 段中，公垂线段最短 两平行线的公垂线段的长度叫做两平行 两平行线的公垂线段的长度叫做两平行 线间的距离. 线间的距离 l1
l2
如图3-99，设a，b，c是三条互相平行的直线 是三条互相平行的直线. 例3 如图 ， ， ， 是三条互相平行的直线 已知a与 的距离为 的距离为5cm，b与c的距离为 的距离为2cm， 已知 与b的距离为 ， 与 的距离为 ， 的距离. 求a与c的距离 与 的距离 A 解 在a上任取一点 ，过A作AC⊥a， 上任取一点A， 作 ⊥ ， 上任取一点 分别与b， 相交于 相交于B， 两点 两点， 分别与 ，c相交于 ，C两点， 5 cm 分别表示a与 ， 则AB，BC，AC分别表示 与b， ， ， 分别表示 b与c，a与c的公垂线段 的公垂线段. 与 ， 与 的公垂线段 AC=AB+BC=5+2=7， ， 因此a与 的距离是 的距离是7cm. 因此 与c的距离是 B