2018年全国高中数学联赛河南赛区预赛(高二)

ｆ（
ａ
，
，
客
）
（
６
，
ａ）
＝
（
ｒ
，
ｕ）
ａ
．
易知
０
，
（
包含 重 复 的 数 每 个 集 合 中 的 每 个 二 次 剩
：
ｂ
＝
＾＞ ｆ（ ｌ ＜
ａ ａ
）
ｂ
，
＝
）
＾
ｆ（
（
ｂ
－
＝

，
０
余被 计算 了 两 次
．
）
，
知 所 求 之和 是 小 于
．
？
｜
的二
．
２
．
及 对 称轴
、 （
＂
２０
分 在 数列
）
，
丨
中
ｌ
ａ
．
、
ａ
２
为 给定
易知
ｗ
，
（
ｖ５

＋ ｉ
）
的 展 开 式 中 所 有奇 数
，
．
的非 零整 数
（
１ ）
项 的 和 为 复 数 的 实部
故 ？ ，、
（
（
ａ
＝
？ ＋ ２

ｌ
ａ
－
ｎ ＋
ｉ

ａ
？
。
若

ａ
１
＝ ６

§以
；
（
／１
£
２＋
）
，
则
＝〇
为


Ｓ
１

％除 以
７
．
３
的 余数 为
Ｍ
？

３．
在 Ａ
（

＋
１ ＊
ｉ
）
的 展 开 式 中 所 有 奇 数项
，
ｉ
＝
ｌ
的 和为
４
．
设经 过定 点
、
（
ａ
，
０）
的直 线
ＰＭ
２
Ｉ
Ｚ
与 抛物
？

已知点
在
ｊ
ＡＣ
，
，
／Ｕ ）
ｍ）
＝
在 区间

—
ｍ
，
上为 增 函 数
，
．
由 题意
，
知
Ｍ矣
＿ —
．
ａ
ｂ
ｃ
ｆ（
－
ｒｒ ｉ
＋ ｍ ＝ ｋｍ


故
－
ｆ（
ｎ）
：
ｎ
－
ｋｎ
结合
ｍ
＝
Ｍ
＝ ＞
得

．
０
，
（
舍 或
）
ｎ ＝ ２
（
１
－
ｋ ） ＜ ０
＊
〇
，
ｙ。
）
则
，
例 如 按 逆 时 针 方 向 确 定八 个 点 的 颜 色
，
为 红 红 红 蓝 蓝 蓝 红 蓝 符 合条 件
，
，
，
，
，
，
，
．
Ｈ 兮Ｈ
ｙ 〇
－
二 、 由 题 意得
ｃ ｏｓ ａ
＊
１

ｓ
—
１

—
ｃｏ ｓ

ｐ
－


ｓ ｉ ｎ ａ
则
？
设该方 程 的 两 根 为
，
＾
、ｆ
．
２
１
７
（
２ａ
－
２
－
ｌ
２
－
）
１
６（ ２〇 ２ａ
－
－
ｌ） （ ２６
，
－
ｌ
）
＋
Ｍ ＋
．
？
４ ｃｏ
２ ＝
ｓ Baidu Nhomakorabeaａ


＾ ＾
一 ￣￣

＾
９
＾
＼
ｈ
４ ａ
＝
４
￣—
（
２６
－
ｌ
）
３４
（
ｌ
）
＋ １ ６ （ ２ ６
－
ｌ
）
＋
易知
３ ＝ ０
■
，
？
＝
■
？
／？ ．
、 （
２
２０
分
）
已 知 方程
２
－
！
７？
－
１
６＊ ｙ ＋ ４ｙ
３４ ｘ ＋ １ ６ ｙ ＋
１
故 小 正 四 面体棱长 的 最 大值 为
３． ５
１
＂
＂

ｘ ６ ＝ ２


．
Ｉ
在
四
平面 上表 示
．
一
椭 圆 求 它 的 对称 中 心
１
３
＝
０
．
°
＝
ｎ ＋ ３ ＊


？
＞
ｎ ＋３ｉ ＋
ｌ
ａｎ
＞
＝ ＋ ３ ｋ ＋ ２


＾
？
将 式 ④ 代 人 上 式并 化 简得
其中
，
ｃ ｆ
＝
０
，
一
、
１
．
０
．
＝

ｊ
５
ＰＢ （
－
ＰＡ
）
＋

ｊ
｛
ＰＣ
－
ＰＡ
．
）
注 意到 则
Ａ ／ｉ
：
，
／Ｕ ）
２
＝

－
｜
（
＊
－
ｌ
）
＋
｜
＜
｜
．
贝Ｊ
Ｉ
裔 ＋４ 苑 ＋ 应

３
＝
０
？


矣

＝
ｙ
＞ ｒ ａ
矣

故
＝
５
：
４
：
３
．

＾
［
＜ １

＿
Ｓ． ｎ］
办
．
于是

记 大 正 四 面 体 的 外 接 球半 径 为
四 面 体 的 外 接球

及
，
小正
）
６
分
Ｐ）
）
已知

（
大正 四 面 体的 内 切 球 半
ｃｏ ｓ （ ａ ＋
＝

ｃ ｏ ｓ ａ ＋ ｃ ｏ ｓ
ｐ
．
径为
ｒ
．
求
三
１
ｃ ｏ ｓ ｃｔ
的 最 大值
．
两 种 选择 则
／Ｉ
３
阶色 序 共 有
／Ｉ
种
？
轴 方 程为
ｙ
＝ ｋ
（
个 点 可 以 构成
．
个
３
阶色序 知
，
ｘ
－
１
） （
ｋ
＾０ ）
．
在８
设点
，
４
（
１
，
１
）
关 于直线
．
ｙ
＝Ａ
：
（
＊
－
ｌ
）
的对
于是
“
ｎ ＝
８
可 以 取到
．
称点为 ４
”
〇 （

１
３
ｓ ｉ ｎ ａ ｓｉ
ｎ ａ
＝
〇
，
①
２
－ －
既

Ｉ
１
７
（
２ａ
ｌ
） ２
－
１
６ （ ２ａ
－
ｌ
）（
２ ６ ＋ ｌ
１
）
＋
＋１ ３
ＰＭ
２
Ｉ
啊
２
１
ｔ ＼

ｔ
＼
４ （ ２ ６ ＋ ｌ
＝
）
３４
（
２ａ
－
ｌ
）
＋
６ （ ２ ４ ＋ １
）
２０
１８
年第
１
２
期
２７
２０ １ ８
年全 国 高 中 数学 联 赛 河 南赛 区 预 赛 高 二
（
）
中 图 分 类号
：
Ｇ ４ ２４ ７９ 文 献 标 识 码
．
？ ？
Ａ
文 章 编 号
：
１
００ ５
－

６４
１
６
（
２０１ ８ ）
１２
－

００ ２７
－

０４
一
、
填空 题 每 小题 ８ 分 共 ６４ 分
ｍ
．
则
＝
引 理 得证
由 引
／（
ａ
， ，
．
＾ｆ
（
２
（
ｎ
，
ｐ）
２ｍ
．
理 知 对 于所 有 的
当且仅 当
６
－
ａ
６
，
）
６
Ａ
ｎ

＝

ｌ
６
）
＝ ｌ
ａ
模
｜
〇
６
的逆 属 于 集合
．
而在 区 间
卜
，
内 完 全 平 方数 的 个 数 为
Ｕ
，
２
… ，
，
１
且点
Ｐ
在直线 上
丨
．
故 圆心
０（０
，
０

）
到 直线
Ｉ
Ｚ
的 距 离为
：
— Ｉ
？
２ １ ）
Ｓｙ ｚ

ａ
＝
２ ｉ
（
６
２＂
＋
２
２ｎ
ｄ
）
．
＾
１
ｉ
＝０
ａ
／ （ ｃ ｏｓ ａ
２
－
＋
－
（

ｓ ｉ ｎ ａ ）
＝
故 ｌ＞

＝
ｉ

蓝 色 从任 意
，
一
点 开 始 按 逆 时针 方 向 依 次 记
一
ｊｍ
＝
２
（
１
－
ｋ
）
＜０
．
录
“
Ａ
Ｋ

Ａ
心 个点 的 颜 色 称 为 该 圆 的
，
个
２． ２
．
Ａ
阶色 序
”
，
当且 仅 当 两个
一
Ａ
阶色 序 对 应位
， ，
由 小 正 四 面体 可 在 大 正 四 面 体 内 任 意 转
，
１
直线
０
，

（
ｃｏ ｓ ａ
－
－
１
）

ｓ ｉ ｎ ａ
－
ｙ

ｃ ｏｓ ａ ＝
２

０
．
令
加得

ａ ＝
：
得


ａ
＝ 。
４
２＂
．
则 点 ／ 的 轨 迹 方 程 为单 位 圆
＊
－
＊

＋
／＝

１
，
分别 令 ａ
＝
１
和
＊ ＝
１
，
将得 到 的 两 式 相
置上 的 颜 色 至 少 有
．
个 不相 同 时 称 为 不 同
３
动 知 小 正 四 面 体棱 长 最 大 时 为 大 正 四 面 体
内 切 球 的 内 接 正 四面 体
．
的 Ａ 阶 色序 若 任 意 两个
阶 色 序 均 不相 同
，
则
ｎ
的 最 大值 为
二、
（ １
．
丨
且最 多 有
赛〇
（
１
个 对 于任 意 奇 素
）
，
数
；
＞
、
整数
２
／Ｉ
《（
／１
１１ 〇£
１
／
／〇
２
，
０ ）
＝
１
当
且仅当
模 Ｐ 的逆小 于 ｆ
．

（
熊斌
提供
李建泉
翻译
）
２８
中 等 数 学
８
？
将圆的
矣
一
组
？
等 分 点 分别 染 上 红 色 或
，

４
，
ａ
１
７
＝
１
，
求

ａ
（
２ ０ １ ８
。 。
（
－
；
全
＋
（
２）
证明 从
：
丨
中
一
定 能选 取 无穷 多
到
）
项组 成 两 个 不 同 的 常 数 列
五
？、 ６
、
．
、 （
２０
分
）
已 知 △ ＡＢＣ 的 边 长 分 别 为

Ｃ
，
且满足
－
＝ （
－
１
０２４
－
ｌ
）
（
＋
ｆ
ａｂ ｃ ＝ ２ （ ａ

ｌ
）
（
６
－
ｌ
）
（
ｃ
－
ｌ
）
．
＝
５
１
２
－
５１ ２
Ａ
ｉ
．
是 否 存 在边 长 均 为 整 数 的 △ ４Ｂ Ｃ ？ 若存

４． ５
：
４
：
３
．
在
，
求 出 三 边长
；
若 不 存 在 说明 理 由
，
．
注意到
，
参 考 答 案
＋
２
ｔ
２
＼

一
丄
ｔ
２
０
．
② ①并 化 简 得
－
（
＾
２ ） ２

＼

＾
１
＾
２

／
ｈ
②
ｂ ＝
－
２
２ ｃ ｏ ｓ ａ ＋ ｇ ｓ ｉ ｎ ａ
（
常数

２ａ
２
．
③
０
）
将 式 ③代 人 式 ①并 化简 得
因此
８
．
，
ａ ＝ ２
．
４ａ
２
ｋ
－
ｌ
－
ｒ〇
［
＝
若第
Ｍ Ｍ＃
（
＾Ｔ
次出 现 的
则
自
〇
ａ
＿
“
”
项为
，
ａ
？
，
记
＝
０
）
，
第
、
ｎ
项 开 始 每 三 个相 邻 的
，
又点 皂 在 椭 圆 上 则
，
项 周 期 地 取值
０
Ｍ Ｍ 即
、

１７？
－
；
含
１ ６ｊ
ｃ
０
ｙ０ ＋ ４ｙＪ
－
３４＊
＋ １ ６ ｙ０ ＋

－
８ａ
＋ ４ ＝ ０ ａ ＝ ｌ

６
，
＝
．
８
．
则 该椭 圆 的 对 称 中 心 为
（
１
〇
，
）
．
在
由
ｎ
‘
３
阶 色序 中
，
，
由
于每个 点 的 颜色均 有
２ ｘ ２ ｘ ２ ＝ ８

由 于 对 称 轴 经 过对 称 中 心
，
故 可 设 对称
＊
为 参数
２
，
ａ
为倾 斜 角 且
，
ａ ６ （ ０
，
ｔｃ
）
．
Ａ
＇
（
２ａ
－
ｌ
，
２ｂ
－
＼
） ，
Ｂ
＇
（
２ａ
－
ｌ
，
２ｂ ＋
ｌ
）
代 入 抛 物 线 方 程得
２
ｔ

均在 椭 圆 上
＝
．
ｓ ｉｎ

ａ
－
４ ＾ ｃｏｓ ａ
－
４ａ
０
．
代 入 已 知 方 程得
２ ０１ ８
年第
１
２
期
＝
＿
２９
故
时 取得
６
．
．
财
及 当且 仅 当
，
ｃ＝
２ ６ ＝ ４ ａ ＝ ２
及
Ｍ Ｊ （ ｃｏ ｓ ａ
ｌ
－
ｌ
）
ｃｏ ｓ ８
ｊ
＿
ｓ ｉｎ
ａ
．
ｓｉ ｎ
＾
８
＿
ｃ ｏｓ ａ
＝
０
－
记点
．

Ｐ（
ｌ
：
ｃ ｏｓ
ｊ
８
，
ｓｉ ｎ
＃）
ａ：

１
．
７
．
２
．
三 易知 点
，
ｌ
）
，
ｉ ｆ
（
ｌ
－
，
１
）
均 在椭
设直 线
ｘ
＝
Ｚ
的 参数 方 程 为
ｏ ｓ ａ
，
圆上
．
ａ ＋

ｆｃ
设椭 圆 的 对 称 中 心 为
则 由 对称性 知 点
，
（
ａ
，
６
）
．
ｙ
－

ｔ ｓｉ
ｎ ａ
，
其中
，
＊
ｓｉｎ
ｐ
＝


ｃ ｏ ｓ ａ ＋ ｃ ｏ ｓ
８
ｊ
，
．
ｘ
－
０
１
ｋ
３０
中 等 数 学
２
ｋ Ｘ
＝＞
＝ 〇
＋
２
２ ｋ ＋ ｌ
存在 某 项
’
＜０
，
这与
“
ｈ ＞ ０
”
矛盾
．
Ｑ
，

２
ｋ
＋
ｌ


ｒ
故
中 必有
一
〇
项
０
．
（
，
）
并 设厶
？
：
０价 ： 、
？
厶 ＾ 厶
／
、
：
／
＾５ 的 面 积 依 次 为
？
１
．
已 知 函 数／
［
（
＊
＝
）
若／
？１
（
）
的
］
Ｓ
！
、
Ｓ２
５
、
Ｓ３
则Ｓ
＝

２
？
已知
均 为正数 则
．
定 义域为
（
饥
，
《
］
（
／
？ ＜
）
，
值域 为 ＞ ＾
７
｜
，
＾ ７１
Ａ ＞
１
由
１
）
，
知
ａ
，
＆（
ａ
）
６
－
〇
，
〇）
＝
（
＾
（
，
《 ＋？
）
．
次剩 余 的 个 数 的 二 倍
）
？
故／
（
６
－
＝
０ ｅ
ｗｏ
由 归纳 假设
，
记
１
因为
６
＞ ａ
＝
＞
ｌ
，
且
ｕａ ＋ ｖ６ ＝ ｌ
所以
卜
在
２
Ａ
：
（
ｍｏ ｄ
／
＞
）
＜
元 专 中
｝
，
＾
＞ ｕ
＞０
素 的 个数 为
．
内 且满 足
，
知 交于 戶 Ｑ 两 点 若 线／ ＾ Ｊ ｖ

＝
．
Ｉ

＋

＼
１
ＱＭ
２
＼
Ａ Ｐ ＝

ｊ
ＡＢ ＋
为 常数 则
，
ａ
的值 为
？

由
＝
卜
ｊ
２ （
＂
ｍｏｄ ｐ
）
１
１

一
１

ｊ
ｎ
２ （
ｍ ｏｄ ｐ
）
ｌ
ｌ
＾ ｎ ＾ｐ
－
１
）
于是
ｌ
＾ ＋
２ｉ ２ｎ
＿
＝
（
６
２ｎ
＋２
２ｎ
－
）
４
２ｎ
？ ｃ ｏｓ
ａ ＋ ２ ｃｏｓ ａ
－
２
＾０
１
．
—
１
＾

ＣＯ Ｓ Ｑ
！

＾
－
Ｊ３
—
１
＝ （
－
ｌ

２ｎ
－
）
ｌ

＝ ｌ
（
ｍｏ ｄ ３
）
．
从而
、
，
ｃ ｏｓ ａ
的 最 大 值 为Ａ
４
（
ｌ
，
－
）
ＪＵ 的值为
Ｉ

．

２．
已 知 在棱 长 为
．
６
的 大 正 四 面体 内 放
一
的 最 大值 为
６
．
＿
个 小正 四 面 体 若 小 正 四 面 体 可 在 大 四 面
体 内 任 意 转动 则 小 正 四 面 体棱 长 的 最 大 值
，
若
（
２＊ ＋ ４
２＂ ）
＝